2001年考研数学一试题答案与解析
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2001考研数学一试题及答案解析2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设 y= e x (C1 sin x + C2 cos x) ( C1 , C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设 r= x 2 + y 2 + z 2 ,则 div(gradr)(1, ?2 , 2 )=_____________.(3)交换二次积分的积分次序: (4)设矩阵 A 满足 A (5) 设随机变量2∫0 ?1dy ∫1? y 2f ( x, y )dx ＝_____________.+ A ? 4 E = 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A ? E ) ?1 =_____________.X 的方差是 2 ,则根据切比雪夫不等式有估计yP{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤_____________. 二、选择题(本题共 5 小题每小题 3 分,满分 15 分.) 本题共小题,每小题满分 (1)设函数则yf ( x) 在定义域内可导, y = f ( x) 的图形如右图所示,Ox= f ′( x) 的图形为(2)设 (A)f ( x, y ) 在点 (0, 0) 附近有定义,且 f x′ (0,0) = 3, f y′ (0,0) = 1 ,则d z |(0,0) = 3dx + dy .(B) 曲面 z= f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量为{3,1,1}.(C) 曲线 ?? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{1,0,3}. ? y=0 ? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{3,0,1}. ? y=0(D) 曲线 ?(3)设 (A)f (0) = 0 ,则 f (x) 在 x =0 处可导的充要条件为1 f (1 ? cosh) 存在. h →0 h2 1 (C) lim 2 f ( h ? sinh) 存在. h →0 h lim1 f (1 ? eh ) 存在. h →0 h 1 (D) lim [ f (2h) ? f (h)] 存在. h →0 h(B)lim?1 ?1 (4)设 A = ? ?1 ? ?11 1 1? ?4 ? ?0 1 1 1? ,B = ? ?0 1 1 1? ? ? 1 1 1? ?00 0 0? 0 0 0? ?,则 A与 B 0 0 0? ? 0 0 0?(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.(A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于 (A)-1. (B) 0. (C)1 . 2(D) 1.三、(本题满分 6 分) 求arctan e x ∫ e 2 x dx .四、(本题满分 6 分) 设函数 z= f ( x, y ) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1) = 1 ,.?f ?f |(1,1) = 2 , |(1,1) = 3 , ? ( x) = f ( x, ?x ?y f ( x, x)) .求d 3 ? ( x) dxx =1五、(本题满分 8 分)∞ ? 1+ x arctan x, x ≠ 0, (?1) n 设 f (x ) = ? x 将 f (x ) 展开成 x 的幂级数,并求级数∑的和. 2 x = 0, 1, n =1 1 ? 4 n ?2六、(本题满分 7 分) 计算 I 面= ∫ ( y 2 ? z 2 )dx + (2 z 2 ? x 2 )dy + (3x 2 ? y 2 )dz ,其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱Lx + y = 1 的交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针方向.七、(本题满分 7 分) 设f ( x) 在 (?1,1) 内具有二阶连续导数且 f ′′( x) ≠ 0 ,试证:(1)对于 (?1,1) 内的任一 x ≠ 0 ,存在惟一的θ ( x ) ∈ (0,1) ,使 f (x ) = f (0) + xf ′(θ ( x ) x ) 成立; (2) lim θ ( x ) =x →01 . 2八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 h(t ) ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 z= h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) (设 h(t )长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分6 分) 设α 1 , α 2 , ? , α s 为线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系, β1= t1α1 + t2α 2 , β 2 = t1α 2 + t2α 3 ,? ,β s = t1α s + t2α1 ,其中 t1 ,t 2 为实常数.试问 t1 ,t 2 满足什么条件时, β 1 , β 2 ,?, β s 也为 Ax = 0 的一个基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组x, Ax, A (1)记 P =（ x, Ax, A (2)计算行列式22x 线性无关,且满足 A3 x = 3 Ax ? 2 A 2 x .x ）,求 3 阶矩阵 B ,使 A = PBP ?1 ; A+ E .十一、(本题满分 7 分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ ( λ > 0 )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p ( 0 < p < 1 ),且中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量( X , Y ) 的概率分布.十二、(本题满分 7 分) 设总体X 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ( σ > 0 ), 从该总体中抽取简单随机样本n 1 2n ∑ X i ,求统计量 Y = ∑ ( X i + X n+i ? 2 X ) 2 的 2n i =1 i =1X 1 , X 2 , ? , X 2n ( n ≥ 2 ),其样本均值为 X =数学期望 E (Y ) .2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是 r1 , r2= 1 ± i ,从而得知特征方程为(r ? r1 )(r ? r2 ) = r 2 ? (r1 + r2 )r + r1r2 = r 2 ? 2r + 2 = 0 .由此,所求微分方程为y '' ? 2 y ' + 2 y = 0 .(2)【分析】先求 grad gradr. gradr= grad ?? ?r ?r ?r ? ? x y z ? , , ? = ? , , ?. ? ?x ?y ?z ? ? r r r ?? x ? y ? z ( )+ ( )+ ( ) ?x r ?y r ?z r 1 x2 1 y2 1 z2 3 x2 + y 2 + z 2 2 ? 3 )+( ? 3 )+( ? 3) = ? = . r r r r r r r r3 r再求divgrad gradr= grad=(于是divgrad (1, ?2,2) = gradr| grad2 2 |(1,?2,2) = . r 3y ≤0时(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 ?1 ≤1 ? y ≤2 .由此看出二次积分∫ dy ∫?121? yf ( x, y )dx 是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为∫0 ?1dy ∫21? yf ( x, y )dx = ∫∫ f ( x, y )dxdy .D由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D :?1 ≤ y ≤ 0,1 ? y ≤ x ≤ 2 .见图.现可交换积分次序原式= ?0 ?1 2 2 0 2 1? x∫dy ∫1? yf ( x, y )dx = ? ∫ dx ∫11? xf ( x, y )dy = ∫ dx ∫1f ( x, y )dy .(4)【分析】矩阵 A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法. 因为故按定义知( A ? E )( A + 2 E ) ? 2 E = A2 + A ? 4 E = 0 , ( A ? E )( A + 2 E ) = 2 E ,即 ( A ? E ) ?1 = 1 ( A + 2E) . 2 ( A ? E) ? A + 2E = E. 2(5)【分析】根据切比雪夫不等式P{ X ? E ( X ) ≥ε } ≤于是D( x)ε 2,P{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤D( x) 1 = . 22 2二、选择题 (1)【分析】当 x < 0 时, f ( x ) 单调增 ? f ( x) ≥ 0 ,(A),(C)不对;'当 x > 0 时, f ( x ) :增——减——增 ? f ( x ) :正——负——正,(B)不对,(D)对.'应选(D). (2)【分析】我们逐一分析.关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由微.因此(A)不一定成立. 关于(B)只能假设 Bf ( x, y ) 在(0,0)存在两个偏导数 ? f ( x, y ) 在(0,0)处可f ( x, y ) 在(0,0)存在偏导数?f (0, 0) ?f (0, 0) , ,不保证曲面 z = f ( x, y ) 在 ?x ?y? ? ?f (0, 0) ?f (0, 0) (0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在时,法向量 n= ± ? ，， 1? = ± {3,1,-1}与{3,1,1}不 ? 与 ?y ? ?x ?共线,因而(B)不成立.? x = t, ? 关于(C),该曲线的参数方程为 ? y = 0, ? z = f (t , 0), ?{t ', 0,因此,(C)成立.它在点 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为d f (t , 0)} |t = 0 = {1, 0, f x' (0, 0)} = {1, 0,3} . dt(3)【分析】当f ( x) f ( x) f ( x) ? ? lim = lim ?. x →0 x →0+ x →0 ? x x x 1 f (1 ? cos h) 1 ? cos h 1 f (t ) 关于(A): lim 2 f (1 ? cos h) = lim ? t = 1 ? cos h lim , 2 h →0 h h → 0 1 ? cos h h 2 t →0 + t 1 由此可知 lim 2 f (1 ? cos h) ? ? f +' (0) ? . h →0 h f (0) = 0 时, f ' (0) = lim 若f ( x) 在 x = 0 可导 ? (A)成立,反之若(A)成立 ? f +' (0)'? ? f ' (0)? .如 f ( x) =| x | 满足(A),但 f (0) 不 ? . 关于(D):若 f ( x ) 在 x = 0 可导, ?1 f (2h) f (h) lim [ f (2h) ? f (h)] = lim[2 ? ] = 2 f ' (0) ? f '(0) . h →0 h h →0 2h h? (D)成立.反之(D)成立 ? lim( f (2h) ? f (h)) = 0 ? f ( x) 在 x = 0 连续, ? f ( x) 在 x = 0 可h →0导.如 f ( x ) = ? 再看(C):? 2 x + 1, x ≠ 0 x=0 ? 0,满足(D),但 f ( x ) 在 x = 0 处不连续,因而 f (0) 也不 ? .'lim1 h ? sin h f (h ? sin h) h ? sin h f (t ) f (h ? sin h) = lim ? = lim ? (当它们都 ? 时).2 2 h →0 h h →0 h →0 h h ? sin h h2 t注意,易求得 limh ? sin h f (t ) = 0 .因而,若 f ' (0) ? ? (C)成立.反之若(C)成立 ? lim (即 2 h →0 t →0 h t f (t ) ' f ' (0) ? ).因为只要有界,任有(C)成立,如 f ( x ) =| x | 满足(C),但 f (0) 不 ? . t因此,只能选(B).(4)【分析】由| λ E ? A |= λ 4 ? 4λ 3 = 0 ,知矩阵 A 的特征值是 4,0,0,0.又因 A 是实对称矩阵, A必能相似对角化,所以 A 与对角矩阵 B 相似. 作为实对称矩阵,当 A ?B 时,知 A 与 B 有相同的特征值,从而二次型 xT Ax 与 xT Bx 有相同的正负惯性指数,因此 A 与 B 合同. 所以本题应当选(A). 注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如?1 0 ? ?1 0 ? A=? ? 与 B = ?0 3 ? , ?0 2? ? ?它们的特征值不同,故 A 与 B 不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以 A 与 B 合同.(5)【分析】解本题的关键是明确 X 和 Y 的关系: X+ Y = n ,即 Y = n ? X ,在此基础上利用性质:相关系数ρ XY 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量 X 与 Y 之间存在线性关系,即 Y = aX + b (其中 a, b 是常数),且当 a > 0 时, ρ XY = 1 ;当 a < 0 时, ρ XY = ?1 ,由此便知ρ XY = ?1 ,应选(A). 事实上, Cov ( X , Y ) = Cov ( X , n ? X ) = ? DX , DY = D ( n ? X ) = DX ,由此由相关系数的定义式有ρ XY =Cov( X , Y ) = DX DY? DX = ?1 . DX DY三、【解】1 1 ?2 x de x x ?2 x x ] 原式= ? ∫ arctan e d (e ) = ? [e arctan e ? ∫2 x 2 2 e (1 + e 2 x )1 ?2 x de x de x x = ? (e arctan e ? ∫ 2 x + ∫ ) 2 e 1 + e2 x=?1 ?2 x (e arctan e x + e ? x + arctan e x ) + C . 2四、【解】求先求 ? (1) =f (1, f (1,1)) = f (1,1) = 1 .d 3 ? ( x) |x =1 = 3? 2 (1)? ' (1) = 3? ' (1) ,归结为求 ? '(1) .由复合函数求导法 dx d ? ' ( x) = f1' ( x, f ( x, x)) + f 2' ( x, f ( x, x)) f ( x, x) , dx? ' (1) = f1' (1,1) + f 2' (1,1)[ f1' (1,1) + f 2' (1,1)] .注意f1' (1,1) =?f (1,1) ?f (1,1) = 2 , f 2' (1,1) = =3. ?x ?y,因此? ' (1) = 2 + 3(2 + 3) = 17d 3 ? ( x) |x =1 = 3 ×17 = 51 . dx2五、【分析与求解】关键是将 arctan x 展成幂级数,然后约去因子 x ,再乘上 1 + x 并化简即可. '直接将 arctan x 展开办不到,但 (arctan x ) 易展开,即(arctan x)' =x∞ 1 = ∑ (?1) n x 2 n , | x |< 1 , 1 + x 2 n =0①积分得arctan x = ∫ (arctan t )' dt = ∑ (?1) n ∫ t 2 n dt = ∑x 0 n =0 0∞(?1) n 2 n +1 x , x ∈ [?1,1] . ② n = 0 2n + 1∞因为右端积分在 x = ±1 时均收敛,又 arctan x 在 x = ±1 连续,所以展开式在收敛区间端点x = ±1 成立. 1 + x2 现将②式两边同乘以得 x∞ 1 + x2 (?1) n 2 n ∞ (?1)n 2 n ∞ (?1) n x 2 n + 2 arctan x = (1 + x 2 )∑ x =∑ x +∑ x 2n + 1 n = 0 2n + 1 n = 0 2n + 1 n =0(?1) n 2 n ∞ (?1)n ?1 2 n x +∑ x =∑ n = 0 2n + 1 n = 0 2n ? 1∞=1 +∑ (?1) ( 2n + 1 ? 2n ? 1) xn n =1∞112n= 1+ ∑(?1) n 2 2 n x 2 n =1 1 ? 4n∞,x ∈ [?1,1] , x ≠ 0上式右端当 x = 0 时取值为 1,于是f ( x) = 1 + ∑∞(?1) n 2 2 n x , x ∈ [?1,1] . 2 n =1 1 ? 4n∞上式中令 x = 1 ?(?1) n 1 1 ππ 1 ∑ 1 ? 4n2 = 2 [ f (1) ? 1] = 2 (2 × 4 ? 1) = 4 ? 2 . n =1y+ z = 2上L所六、【解】用斯托克斯公式来计算.记 S 为平面 x +为围部分.由 L 的定向,按右手法则 S 取上侧, S 的单位法向量n = (cos α , cos β , cos γ ) =于是由斯托克斯公式得1 (1,1,1) . 3cos γ ? ?z 3x 2 ? y 2 dScos α I = ∫∫Scos β ? ?y 2 z 2 ? x2? ?x y2 ? z2=∫∫ [(?2 y ? 4 z )S1 1 1 + ( ?2 z ? 6 x ) + (?2 x ? 2 y ) ]dS3 3 3=?2 2 ∫∫ (4 x + 2 y + 3z )dS (利用x + y + z = 2) ?3 ∫∫ (6 + x ? y)dS .3 S S于是'2 '2 1+ Zx + Z y = 1+1+1 = 3 .按第一类曲面积分化为二重积分得I =?2 ∫∫ (6 + x ? y ) 3dxdy = ?2∫∫ (6 + x ? y)dxdy ,3 D D | x | + | y |≤ 1 (图）.由 D 关于 x, y 轴的对称性及被积函数的奇其中 D 围 S 在 xy 平面上的投影区域偶性得∫∫ ( x ? y)dxdy = 0D?I = ?12∫∫ dxdy = ?12( 2) 2 = ?24 .D七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理, ? x ∈ (1, ?1) ,x ≠ 0 , ? θ∈ (0,1) ,使f ( x) = f (0) + xf ' (θ x)(θ与x 有关);又由 f '' ( x) 连续而 f '' ( x) ≠ 0 , f'' ( x) 在 (1, ?1) 不变号, f ' ( x) 在 (1, ?1) 严格单调, θ唯一. (2)对f ' (θ x) 使用 f '' (0) 的定义.由题(1)中的式子先解出 f ' (θ x) ,则有f ' (θ x) =再改写成f ( x) ? f (0) . x f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) . xf ' (θ x)? f ' (0) =f ' (θ x) ? f ' (0) f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) , ?θ = x2 θx解出θ ,令 x → 0 取极限得1 '' f (0) 1 f ( x) ? f (0) ? xf (0) f (θ x) ? f (0)2 lim θ= lim / lim = '' = . 2 x →0 x →0 x→0 2 x f (0) θx' ' '八、【解】先求(1)设 t 时刻雪堆的体积为 V (t ) ,侧面积为S (t ) . t 时刻雪堆形状如图所示S (t ) 与 V (t ) .侧面方程是z = h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) h 2 (t ) (( x, y ) ∈ Dxy : x 2 + y 2 ≤ ). 2 h(t ) ??z 4 x ?z 4y =? , =? . ?x h(t ) ?y h(t )?S (t ) = ∫∫Dxy?z 2 ?z 2 h 2 (t ) + 16( x 2 + y 2 ) 1 + ( ) + ( ) dxdy = ∫∫ dxdy . ?x ?y h(t ) Dxy作极坐标变换: x = r cos θ , y = r sin θ ,则Dxy : 0 ≤θ≤ 2π , 0 ≤ r ≤1 h(t ) . 2S (t ) =?1 h (t ) 1 2π dθ∫2 h 2 (t ) + 16r 2 rdr ∫0 0 h(t )3 h (t ) 2π 12 13π 2 ? [h (t ) + 16r 2 ] 2 |0 2 = h (t ). h(t ) 48 12 1=用先二后一的积分顺序求三重积分V (t ) = ∫h(t )dz∫∫ dxdy ,D( x)其中 D ( z ):2( x 2 + y 2 ) 1 ≤ h(t ) ? z (t ) ,即 x 2 + y 2 ≤ [h 2 (t ) ? h(t ) z ] . h(t ) 2V (t ) = ∫h (t )?π2[h 2 (t ) ? h(t ) z ]dz =π1 π [h3 (t ) ? h(t )3 ] = h3 (t ) .2 2 4 dV = ?0.9 S dt(2)按题意列出微分方程与初始条件.dV ,它与侧面积成正比(比例系数 0.9),即 dt π 2 dh 13π 2 将 V (t ) 与 S(t ) 的表达式代入得 3h (t ) = ?0.9 h (t ) ,即 4 dt 12 dh 13 =? . dt 10 体积减少的速度是 ?①②h(0) = 130 .(3)解①得 h(t ) = ? 令 h(t ) = 0 ,得 t13 t +C . 10由②得C = 130 ,即 h(t ) = ?13 t + 130 . 10= 100 .因此,高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时.九、【解】由于β i (i= 1, 2? s ) 是α1 , α 2 ,?α s 线性组合,又α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知β i (i = 1, 2? s ) 均为 Ax = 0 的解. 从α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的基础解系,知 s = n ? r ( A) . 下面来分析β1 , β 2 ,? β s 线性无关的条件.设 k1β1 + k 2 β 2 + ?? k s β s = 0 ,即(t1k1 + t2 ks )α1 + (t2 k1 + t1k2 )α 2 + (t2 k2 + t1k3 )α 3 + ? + (t2 ks ?1 + t1k s )α s = 0 .由于α1 , α 2 ,?α s 线性无关,因此有?t1k1 + t2 k s = 0, ?t k + t k = 0, ?2 1 1 2 ? ?t2 k2 + t1k3 = 0, ? ? ? ?t2 ks ?1 + t1k s = 0. ?因为系数行列式(*)t1 0 0? 0 t2 t2 t1 0 ? 0 0s 0 t2 t1 ? 0 0 = t1s + (?1) s +1 t2 ,? ? ? ?? 0 0 0? t2 t1所以当 t1s s + (?1) s +1 t2 ≠ 0 时,方程组(*)只有零解 k1 = k2 = ? = ks = 0 . 从而β1 , β 2 ,? β s 线性无关.十、【解】(1)由于 AP= PB ,即A( x, Ax, A2 x) = ( Ax, A2 x, A3 x) = ( Ax, A2 x,3 Ax ? 2 A2 x)?0 0 0 ? = ( x, Ax, A x) ?1 0 3 ? , ? ? ?0 1 ? 2 ? ? ?2?0 0 0 ? ? ? . 所以 B = 1 0 3 ? ? ? ?0 1 ? 2 ? ?(2)由(1)知 A ?B ,那么 A + E ? B + E ,从而1 0 0 | A + E |=| B + E |= 1 1 3 = ?4 . 0 1 ?1m = m | X = n} = Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,? . 十一、【解】 (1) P{Y (2) P{ X= n, Y = m} = P{ X = n}P{Y = m | X = n}=λnn!m e ? λ ? Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,?.十二、【解】易见随机变量 ( X 1 +X n +1 ) , ( X 2 + X n + 2 ) , ? , ( X n + X 2 n ) 相互独立都服从正态分布N (2 ? , 2σ 2 ) .因此可以将它们看作是取自总体 N (2 ? , 2σ 2 ) 的一个容量为 n 的简单随机样本.其样本均值为1 n 1 2n ( X i + X n +i ) = ∑ X i =2 X , ∑ n i =1 n i =1 1 n 1 ∑ ( Xi + X n +i ? 2 X ) 2 = n ? 1 Y . n ? 1 i =11 Y ) = 2σ2 ,即 E (Y ) = 2(n ? 1)σ 2 . n ?1样本方差为因样本方差是总体方差的无偏估计,故 E (。
2001考研数学一试题及答案解析
2001考研数学一试题及答案解析2001年考研数学一试题及答案解析一、选择题1.设A是n阶实对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. AB是对称矩阵B. AB是反对称矩阵C. AB是零矩阵D. AB不一定是对称矩阵答案：D解析：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵，故选D。
2.设A是n阶矩阵，|A|≠0，则下列结论正确的是（）A. A是可逆矩阵B. A的行列式不等于0C. A的秩等于nD. A的特征值不等于0答案：A解析：根据矩阵可逆的定义，可知选项A正确。
3.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则下列结论正确的是（）A. 函数f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值B. 函数f(x)在(a,b)内一定有极值点C. 函数f(x)在[a,b]上一定有极值点D. 函数f(x)在(a,b)内一定有最大值和最小值答案：B解析：根据极值定理，可知选项B正确。
4.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则函数f(x)在[a,b]上（）A. 一定有最大值和最小值B. 一定有极值点C. 一定有极大值和极小值D. 不一定有极值点答案：D解析：函数在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导并不意味着一定有极值点，故选D。
5.若f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且f'(x)>0，则下列结论正确的是（）A. 函数f(x)在[a,b]上单调递减B. 函数f(x)在[a,b]上单调递增C. 函数f(x)在(a,b)内存在极大值D. 函数f(x)在[a,b]上存在极小值答案：B解析：根据导数的定义，可知选项B正确。
二、填空题1.设A是n阶实对称矩阵，且A的主对角线元素都为1，则A的特征值之和为____。
答案：n+1解析：根据实对称矩阵的特征值之和等于主对角线元素之和，故特征值之和为n+1。
2.设z为复数，|z|=1，则z^3的实部为____。
2001-数一真题、标准答案及解析
【】 【答】应选（D）
【详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y = f ( x) 是严格单调增加的，因此当 x < 0
时，一定有 f ' ( x) > 0 对应 y = f ' ( x) 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）；
又 y = f ( x) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f ' ( x) 图
（A）合同且相似
（B）合同但不相似
（C）不合同但相似
（D）不合同且不相似
【答】 应选(A) 【详解】 因为
【】
A 是实对称矩阵，且其特征值为： λ1 = 4, λ2 = λ3 = λ4 = 0, 故存在正交矩阵 Q, 使得
⎡4 0 0 0⎤ Q−1AQ = QT AQ = ⎢⎢0 0 0 0⎥⎥
⎢0 0 0 0⎥ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ 可见，则 A 与 B 既合同又相似.
∑ 五、设
f
(x)
=
⎧⎪1+ x2 ⎨x ⎪⎩
arctan x, x 1, x = 0
≠
0 ，试将
f
( x) 展开成
x
的幂级数，并求级数
∞ (−1)n
n=1 1 − 4n2
的和.
∑ 【详解】
因1 1+ x2
=
∞
( −1)n
n=1
x2n , x ∈ (−1,1)
-6-
∫ ∑ 故 ar(−1)n x2n+1, x ∈[−1,1]
0
n=1 2n +1
于是
∑ ∑ f ( x) = 1+ ∞ ( ) −1 n x2n+1 + ∞ ( ) −1 n x2n+2
2001-数一真题、标准答案及解析
形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）.
故正确答案为（D）.
（2）设函数
f
( x,
y)
在点 (0, 0)
附近有定义，且
f
' x
( 0, 0)
=
3,
f
' y
( 0, 0 )
= 1，则
| （A） dz = 3dx + dy. (0,0)
（B）曲面 z = f ( x, y) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为{3,1,1}
(5)将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相
关系数等于
（A）-1
（B）0
（C） 1 2
（D）1 【】
-5-
【答】 应选（A）
【详解】 设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y = n − X ，因此 X 和Y 的 相关系数为 r = −1
∫ ∫ (3)交换二次积分的积分次序：
0
dy
1−y f ( x, y)dx =
−1 2
.
∫ ∫ 【答】
2
dx
1− x
f
( x, y)dy .
1
0
【详解】 因为
∫ ∫ ∫ ∫ 0 dy
1−y f ( x, y)dx = −
0
dy
2
f ( x, y)dx,
−1 2
−1 1− y
积分区域为
D = {( x, y) | −1 ≤ y ≤ 0,1− y ≤ x ≤ 2},
ex cos x 线性无关，故 b (c1 − c2 ) + cc1 = 2c2 , b (c1 + c2 ) + cc2 = −2c1 ，解得 b = −2, c = 2
2001年考研数学一试题及完全解析(Word版)
yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.(5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y'=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分) 设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:XY n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P Xn Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
2001年考研数学一试题答案与解析
2001年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r rr r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 divgrad r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂ =222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是 divgra d r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分是二重积0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵的元素没A 有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为 2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x>时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面在(,)z f x y =(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点处的切(0,0,(0,0))f 向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0l i m ((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但在处不连续()f x 0x =,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t →(即 '(0)f ∃).因为只要有界()f t t ,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由43||40E A λλλ-=-=,知矩阵的特征A 值是4,0,0,0.又因是实对称A 矩阵,A 必能相似对角化,所以与对角矩A 阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知与有相同的A B 特征值,从而二次型与T x Ax T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确和的关XY系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数的绝XY ρ对值等于1的充要条件是随机变量与之间XY存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有(,)1XY Cov X Y DXDX DY DX DYρ-===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xx xde e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x x x xde de e e e e---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x xe e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将展成arctan x 幂级数,然后约去因子x ,再乘上并化简21x +即可. 直接将展开办arctan x不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n n n n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当时0x=取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记为平面上所S2x y z ++=L为围部分.由L的定向,按右手法则取S 上侧,S 的单位法向量1(cos ,cos ,cos )(1,1,1)3n αβγ== .于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=111[(24)(26)(22)]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰ =22(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS -++++=-+-⎰⎰⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面积分化为二重积分得2(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中围在平面D S xy 上的投影区域||||1x y +≤(图）.由关于轴的对D ,x y 称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒ 21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对使用的定义'()f x θ''(0)f .由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x ff x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=, 解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设时刻雪堆的t 体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒ 22222()16()()1()()()xyxyD D z z h t x y S t dxdy dxdy x y h t ∂∂++=++=∂∂⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则1:02,0()2xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒12()2220013()222221()()16()2113[()16]|().()4812h t h t S t d h t r rdr h t h t r h t h t πθππ=+=⋅+=⎰⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()0()()h t D x V t dz dxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. (3)体积减少的速度是dVdt-,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即将与的表达0.9dV S dt =-()V t ()S t 式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】由于是线性组(1,2)i i s β= 12,,s ααα 合,又12,,s ααα 是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知均为(1,2)i i s β= 0Ax =的解.从是的基础解12,,s ααα 0Ax =系,知()s n r A =-.下面来分析线12,,s βββ 性无关的条件.设11220s s k k k βββ++= ,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++= .由于线性无关12,,s ααα ,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*) 因为系数行列式1221121122100000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==== .从而线性无关12,,s βββ .十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知A B ,那么A E B E ++ ,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m mn m n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤= .(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X + 相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体的一个容2(2,2)N μσ量为的简单随n 机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。
2001考研数学一试题与答案解析
yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则 (A ) (0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立; (2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21Λ为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+L ,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21Λ也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,L ,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对. 应选(D ).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B :时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==r .于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS ------⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=L 是12,,s αααL线性组合,又12,,s αααL 是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=L 均为0Ax =的解. 从12,,s αααL是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββL 线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=L L ,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=L .由于 12,,s αααL 线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩L(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-L L L M M M M ML , 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====L .从而12,,s βββL 线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知A B :,那么A E B E ++:,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=L .(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=L十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +L 相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
2001年考研数学一真题
f ( x, y ) 在(0,0)存在偏导数
f (0,0) f (0,0) ,不保证曲面 z f ( x, y ) 在 , x y
f (0,0) f (0,0) (0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在时,法向量 n= ， ， 1 {3,1,-1}与{3,1,1}不 y x
f ( x) 单调增 f ' ( x) 0 ,(A),(C)不对;
f ( x) :增——减——增 f ' ( x) :正——负——正,(B)不对,(D)对.
关于(A),涉及可微与可偏导的关系 .由 微.因此(A)不一定成立. 关于(B)只能假设
f ( x, y ) 在(0,0)存在两个偏导数 f ( x, y ) 在(0,0)处可
=(
于是
divgradr| (1, 2,2) =
2 2 |(1,2,2) . r 3
y 0时
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 1
1 y 2 .由此看出二次积分 dy
1
0
2
1 y
f ( x, y)dx 是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
y'' 2 y' 2 y 0 .
(2)【分析】 先求 gradr. gradr=
r r r x y z , , , , . x y z r r r
再求
divgradr=
x y z ( ) ( ) ( ) x r y r z r 1 x2 1 y2 1 z2 3 x2 y 2 z 2 2 3 )( 3 )( 3 ) . r r r r r r r r3 r
2001考研数学一真题及答案解析(统编)
y O x 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设222z y x r ++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________. (3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示, 则)(x f y '=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在. (B ) 01lim (1)h h f e h →-存在.(C ) 201lim (sinh)h f h h →-存在. (D ) 01lim [(2)()]h f h f h h →-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似.(B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1. (B ) 0. (C ) 12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx ee x x⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2f x∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ= (,))f x x .求13)(=x x dx d ϕ.。
2001-2010考研数一参考答案
2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r rr r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=. 于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故 ()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立. 关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim 1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--,由此可知201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim ((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃. 因此,只能选(B ).(4)【分析】 由43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型Tx Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xx x de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x ∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ②因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )n αβγ== .于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰=(423)(2)(6)S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-利用. 于是==.按第一类曲面积分化为二重积分得(62(6)D DI x y x y dxdy =+-=-+-⎰⎰,其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤. ⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dz dxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dVdt-,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β= 是12,,s ααα 线性组合,又12,,s ααα 是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β= 均为0Ax =的解. 从12,,s ααα 是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-. 下面来分析12,,s βββ 线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++= ,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++= .由于 12,,s ααα 线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s s t t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==== .从而12,,s βββ 线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知A B ,那么A E B E ++ ,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m mn m n P Ym X n C p p m n n -===-≤≤= .(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X + 相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n i i X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】 原式2ln 11.ln ln eed x x x+∞+∞==-=⎰(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得'6'620,y e y xy y x +++=① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得20dP yPP dy +=,即0dPy P dy +=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得0,dP dy P y+=积分得ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',y P y ===得11.C =于是又由01x y==得21,C =所求特解为y =(4)【分析】 因为二次型Tx Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.又因iiia λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【分析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=> 4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而 4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).(2)【分析】 由1lim 101n n un n→+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10n u >,且1lim 0,n nu →+∞=不妨认为,0,nn u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1nu 的单调性. 按定义考察部分和111111111111(1)()(1)(1)nn nk k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑ 1111111(1)11(1)1(1)(),k n nn l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n n n u u ∞=++∑.注意111112,1nn n n u u n n n u u n n++++=+⋅→+ 11n n ∞=∑发散⇒1111()n nn u u ∞=++∑发散.因此选(C ).(3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M-≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.(5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因121212[()()]()()21,()()112 1.f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰⎰⎰对于选项(B ),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).进一步分析可知,若令12max(,)XX X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=及(0)0f '≠,则有20a b +=. 综上,得2, 1.a b ==-四、【解】 由已知条件得(0)0,f =22arctan arctan 02'(0)()'1,1xx t xx x e f e dt x --=====+⎰故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示2222,,max{,}(,),,,x x y x y x y D y x y ⎧≥⎪=∈⎨≤⎪⎩于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥U I I⇒I 222212max{,}max{,}xy xy D D e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy =⎰⎰(选择积分顺序)221102 1.x xxe dx e e ===-⎰六、【分析与求解】(1)易知Pdx Qdy +∃原函数,2211()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y+=++-=-++ 0()()()[()].xy x xd f xy d xy d f t dt y y =+=+⎰⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dt y =+⎰. ⇒积分I在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a I u x y d b==-七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数3693()13!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++L L的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-L L ,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-L L ,所以2'''12!!nx x x y y y x e n ++=+++++=L L ()x -∞<+∞.(2)与'''x y y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,212λ=-±.因此齐次微分方程的通解为212()x Y eC x C -=+.设非齐次微分方程的特解为x y Ae *=,将y *代入方程'''x y y y e ++=可得13A =,即有13x y e *=. 于是,方程通解为2121()3xx y Y y eC x C e -*=+=++. 当0x =时,有112121(0)1,23,0.311'(0)0.23y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-++⎪⎩于是幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数为221()33x x y x e x e -=+()x -∞<+∞八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向0000(,)(,)0000(,){,}{2,2}x y x y h h h x y x y y x x y∂∂==-+-+∂∂grad方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,00(,)g x y ⇒=(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750xy xy +--=下的最大值点⇔22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-在条件22750x y xy +--=下的最大值点.这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--则有22108(2)0,108(2)0,750.Lx y x y x Ly x y x y L x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩ 解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或 2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=m 若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x =即x y =±=±于是得可能的条件极值点1234(5,5),(5,5),(M M M M ---- 现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:1234()()450,()()150.f M f M f M f M ====因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)gx y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.九、【解】由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由123412312(,,,)2010ααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T-再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解】 (1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,PAP B -=故111E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P -==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλL则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O B 也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解】 由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有2222111()()4(4) 5.222EY DY EY npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二、【解】22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=-θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8x =+++++++ 2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-= 对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-2ln ()62824286.112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=----令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得θ=(1,2θ=>不合题意).于是θ的最大似然估计值为ˆθ=2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题答案一、1、e12、542=-+z y x3、14、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21325、41 6、)49.40,51.39( 二、CDADBC 三、【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y 212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四、【详解】 因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n n n 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n 五、【详解】 方法一：(1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππsin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由于2sin sin ≥+-x x e e ，故由（1）得.2)(20s i n s i n s i n s i n πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx yedy xexx xLy方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以 ⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin ， 故dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDxy ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e e DDx x 六、【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a k x k k x d x W x ===⎰， ).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =-即 .)1(222a r x +=].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰ 由1223W r rW W ==可得22223)1(a r a r x =+-， 从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a r r r x n n 121-++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++- 由于1121W r W r rW W n n n n ====-+ ，故得22121)1(a r a rr x n n n =+++--+ , 从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++于是 a rx n n -=+∞→11lim 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 七、【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有 )(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21xxe C e C Y -+=设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.s i n 21x e e y xx --=- 八、【详解】 (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttr d rr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 020222002200022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(r d rr f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加. （2） 因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tt tr d r r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>-='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0).又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0, 因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>九、【详解】 方法一： 经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007.从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ，)3()9(522472009)2(2--=---=+-λλλλλλE B E ，故B+2E 的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数.当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数.方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即 ληη=A . 由于07≠=A ，所以.0≠λ又因 E A A A =*，故有 .*ηληAA =于是有 )()(*)(1111ηληη----==P AP P A P P B ，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为B+2E 的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于 )7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为.7,1321===λλλ当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP . 因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数.十、【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c c b b a c b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中.323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb a A ---++++-== =])()())[((3222ac c b b a c b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为 ])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点. 十一、【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3 P 201 209 209 201 因此.232013209220912010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====3}{}{)(k k X A P k X P A P=∑∑====⋅=303}{616}{k k k X kP k k X P=.41236161=⋅=EX 【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设,,,1,0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第i i X i ⎩⎨⎧=则i X 的概率分布为i X 0 1P21 21.3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以 .23321=++=EX EX EX EX 十二、【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{min(121x X X X P n >- =},,,{121x X x X x X P n >>>- =nx F )](1[1--=.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n(3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dxx dF x f x n 因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxedx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ=θθ≠+n21， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性.2004年数学一试题答案一、 1.y=x-1 2.2)(ln 21x 3.π23 4.221x c x c y += 5.91 6.e1二、7.B 8.C 9.B 10.B 11.D 12.A 13.C 14.A 三、15.【证法1】 对函数x 2ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得.),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(t tt -='ϕ， 当t>e 时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 【证法2】 设x e x x 224ln )(-=ϕ，则 24ln 2)(e x x x -='ϕ，2ln 12)(xxx -=''ϕ, 所以当x>e 时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，044)()(222=-='>'e e e x ϕϕ， 即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a e a b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-.16.【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t). 根据牛顿第二定律，得kv dt dvm -=. 又dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=， 由以上两式得dv k mdx -=， 积分得 .)(C v k m t x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v k mC =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时， ).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【详解2】 根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm -=, 所以.dt mk v dv -= 两端积分得通解t mkCev -=，代入初始条件00v vt ==解得0v C =，故 .)(0t mk ev t v -=飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(000km kmv ekmv dt t v x tm k==-==∞+-∞+⎰或由t m ke v dt dx-=0，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke mkv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→【详解3】 根据牛顿第二定律，得 dt dxk dt x d m -=22,022=+dtdxm k dt x d ， 其特征方程为 02=+λλm k ，解之得mk -==21,0λλ， 故 .21t mk eC C x -+=由 002000,0v e mkC dtdxv x t t m kt t t =-====-===，得 ,021k m v C C =-= 于是 ).1()(0t m ke kmv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.17.【详解】 取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdy z dzdx ydydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233.)1(3221233dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-由高斯公式知d x d y d z z y x d x d y z d z d x y d y d z x ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=-++)(6)1(322222331=rdz r z dr d r )(62011022⎰⎰⎰-+πθ=.2)]1()1(21[12232210ππ=-+-⎰dr r r r r 而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdy dxdy zdzdx y dydz x π，故 .32πππ-=-=I18.【证】 记 1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数的介值定理知，方程01=-+nx x n存在正实数根).1,0(∈n x当x>0时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x由01=-+nx x n与0>n x 知n n x x nn n 110<-=<，故当1>α时，αα)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.19.【详解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以 02262=∂∂-∂∂--xzz x z yy x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x .令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0yz xz得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--y x zz x z y z y x z y x z02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x zA ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x zB ，35)3,3,9(22=∂∂=yzC ， 故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x z A ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x z B ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yzC ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3.20.【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有.00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=当a=0时， r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有.10000120002)1(10000121111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→ n n n a n a B 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【详解2】 方程组的系数行列式为1)2)1((22221111-++=+++=n a n n a an n n n a a A .当0=A ，即a=0或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000000111122221111 n n n n A ， 故方程组的同解方程组为。
2001年考研数学试题详解及评分参考
数（不一定连续！），则曲线
ìz
í î
y
= =
f (x, y0
y)
在点 (x0 ,
y0 ,
f
(x0 ,
y0 ))
的切线向量为
(1, 0, fx¢(x0 , y0 )) ，可知(C)为正确选项，且(D)选项不正确.
(3) 设 f (0) = 0 ，则 f (x) 在点 x = 0 可导的充要条件为
(A)
(D)不对；而由1- eh ~ (-h) 易见(B)正确.
æ1 1 1 1ö æ 4 0 0 0ö
(4)
设
A
=
çç1 ç1
1 1
1 1
1÷÷ 1÷
,
B
=
ç ç ç
0 0
0 0
0 0
0 0
÷ ÷ ÷
，则
A
与
B
çè1 1 1 1÷ø
ç è
0
0
0
0 ÷ø
(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似 (C) 不合同但相似 (D) 不合同且不相似
【解】 抓住 y = f (x) 的图形中的曲线上升 ( f ¢(x) ³ 0) ，下降 ( f ¢(x) £ 0) 区间，驻点
( f ¢(x0 ) = 0) 的个数，就知应选 (D).
(2)
设函数
f (x, y) 在点 (0, 0) 附近有定义，且
f
¢
x
(0,
0)
=
3,
f
¢
y
(0,
0)
=
1
，则
(A) dz |(0,0) = 3dx + dy
lim
h®0
1 h2
2001年考研数学试题详解及评分参考
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、填空题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) (1) 设 y = e (C1 sin x + C2 cos x) （ C1 , C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方
-1
(B) 0
(C)
1 2
(D) 1
【答】 应选 (A). 【解法一】 因 X + Y = n ，故 Y = n - X . 由于相关系数 r X ,Y 的绝对值等于 1 的充要条 件是 X 与 Y 之间存在线性关系，即 Y = a + bX （其中 a, b 是常数） ，且当 b > 0 时，
r X ,Y = 1 ；当 b < 0 时， r X ,Y = -1 . 因此 r x , y = -1 ，故选 (A).
æ1 ç1 (4) 设 A = ç ç1 ç è1
1 1 1 1
1 1 1 1
1ö æ4 ÷ ç0 1÷ ,B = ç ç0 1÷ ÷ ç 1ø è0
0 0 0 0
0 0 0 0
0ö 0÷ ÷ ，则 A 与 B 0÷ ÷ 0ø
(C) 不合同但相似 (D) 不合同且不相似
(A) 合同且相似 【答】 应选 (A).
【解法二】 根据相关系数的定义， 有 r x, y =
C ov( X , Y ) . 由于 DY = D ( n - X ) = DX ， DX × DY - DX Cov( X , Y ) = Cov( X , n - X ) = -Cov( X , X ) = - DX ，因此 r x , y = = -1 . DX
2001考研数学真题+答案
1 2
.
(2) 设函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0) 3, f y (0,0) 1 ，则 (A) dz |(0,0) 3dx dy (B) 曲面 z f ( x, y ) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为 {3,1,1} (C) 曲线
1
1 ( A 2E) 2
(5) 设随机变量 X 的方差为 2， 则根据切比雪夫不等式有估计 P{ X E( X ) 2} 二、选择题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) (1) 设函数 f ( x) 在定义域内可导， y f ( x ) 的图形如右图所示， 则导函数 y f ( x ) 的图形为 （D）
x 0
1 . 2
……1 分
证法一：(1) 任给非零 x ( 1,1) ，由拉格朗日中值定理得
f ( x) f (0) xf ( ( x) x) (0 ( x) 1) . 因为 f ( x ) 在 ( 1,1) 内连续且 f ( x) 0 ，所以 f ( x ) 在 ( 1,1) 内不变号.
x
……2 分 ……4 分 ……6 分
1 2 x e arctan e x e x arctan e x C . 2
注：答案中缺任意常数 C 扣 1 分. 四、(本题满分 6 分) 设函数 z f ( x, y ) 在点 (1,1) 处可微， 且 求
f x
2,
(C)
z f x, y 在点(0,0, f (0,0))的切向量为 {1, 0,3} y 0
(D) 曲线
z f x, y 在点(0,0, f (0,0))的切向量为 {3, 0,1} y 0
2001考研数一真题及解析
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)(1) 设12(sin cos )x y e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为 (2) 设222,r x y z =++则(1,2,2)()|div gradr -=(3) 交换二次积分的积分次序:112(,)ydy f x y dx --=⎰⎰(4) 设矩阵A 满足2A 40A E +-=,其中E 为单位矩阵,则()1A E --＝(5) 设随机变量X 的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计{}()2P X E X -≥≤ 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在定义域内可导,()y f x =的图形如右图所示,则导函数()y f x '= 的图形为 ( )(2) 设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义,且''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==则 ( )(A)(0,0)|3.dz dx dy =+(B)曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}.(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1, 0,3}.(D)曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0, 0, f (0,0))的切向量为{3,0,1}.(3) 设(0)0f =,则()f x 在点0x =可导的充要条件为 ( )(A)201lim(1cosh)h f h →-存在. (B)h 01lim (1)h f e h →-存在. (C)201lim (sinh)h f h h →-存在. (D)[]01lim (2)()h f h f h h→-存在.(4) 设111140011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 ( ) (A)合同且相似 . (B)合同但不相似. (C)不合同但相似 . (D)不合同且不相似.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X Y 和分别表示正面向上和反面向上的次数,则X Y 和的相关系数等于 ( )(A)-1 (B)0 (C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan xxe dx e⎰ 四、(本题满分6分)设函数(,)z f x y =在点(1,1) 处可微,且(1,1)(1,1)1,3,()(,(,)).f f x f x f x x xϕ∂===∂求31()x d x dxϕ=.五、(本题满分8分)设21arctan ,0(), 1, 0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩试将()f x 展开成x 的幂级数,并求级数21(1)14n n n ∞=--∑的和. 六、(本题满分7分)计算222222()(2)(3),LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰其中L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线,从z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设()y f x = 在(1,1)- 内具有二阶连续导数且"()0,f x ≠试证:(1) 对于(−1,1)内的任意0x ≠, 存在唯一的()x θ∈(0,1) ,使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+成立； (2) 01lim ().2x x θ→=八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130 厘米的雪堆全部融化需多少小时？九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组0Ax = 的一个基础解系,1112221223121,,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+其中12,t t 为实常数.试问12,t t 满足什么关系时,12,,,s βββ也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3 阶矩阵A 与三维向量x , 使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足3232A x Ax A x =-(1) 记()2,,,P x Ax A x =求2 阶矩阵B , 使1;A PBP -= (2) 计算行列式.A E +十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01)P P <<,且途中下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率； (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二、(本题满分7分)设总体X 服从证态分布2(,)(0),N μσσ>从该总体中抽取简单随机样本122,,,(2)n X X X n ≥,其样本均值为211,2ni i X X n ==∑求统计量()212ni n i i Y X X X +==+-∑的数学期望()E Y .2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】220y y y '''-+=.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解为12(sin cos )x y e c x c x αββ=+时,则特征方程20r pr q ++=对应的两个根为一对共轭复根:1,2i λαβ=±,所以根据题设12(sin cos )x y e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,知:1,1αβ==,特征根为1,2λi αβ=±1,i =± 从而对应的特征方程为:()()2(1)(1)220,i i λλλλ-+--=-+= 于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220y y y '''-+=.(2)【答案】2.3【分析】若(),,r x y z 具有连续的一阶偏导数,梯度gradr 在直角坐标中的计算公式为:r r r gradr i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂ 设()()()(),,,,,,,,A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,其中,,P Q R 具有一阶连续偏导数,散度divA 在直角坐标中的计算公式为:P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ 若(),,r x y z 具有二阶连续偏导数,则在直角坐标中有计算公式:222222()r r rdiv gradr x y z∂∂∂=++∂∂∂【详解】本题实际上是计算222222r r rx y z∂∂∂++∂∂∂rx ∂∂===xr=22r x ∂∂x x r ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2r r xx r∂-∂=2xr x r x r x r r -∂ = ∂223r x r -= 类似可得 r y y r ∂=∂,22r y∂∂223r y r -=；r z z r ∂=∂,22r z ∂∂223r z r -= 根据定义有 ()div gradr 222222r r r x y z∂∂∂=++∂∂∂222222333r x r y r z r r r ---=++ 222233r x y z r ---=2233r r r -=232r r=2r==于是 (1,2,2)()|div gradr-)1,2,2-=23==(3)【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【详解】由题设二次积分的限,画出对应的积分区域, 如图阴影部分. 但在10y -≤≤内,21y ≥-,题设的二次积分并不是(,)f x y 在某区域上的二重积分,因此,应先将题设给的二次积分变形为:1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰其中{}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤ 再由图所示,又可将D 改写为{}(,)12,10,D x y x x y =≤≤-≤≤于是112(,)ydy f x y dx --⎰⎰0211(,)ydy f x y dx --=-⎰⎰2011(,)xdx f x y dy -=-⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰(4)【答案】1(2).2A E + 【详解】要求()A E -的逆,应努力把题中所给条件化成()A EB E -=的形式.由题设240A A E +-=⇒222A A E E +-=⇒()()22A E A E E -+=即 ()()12,2A E A E E -⋅+= 故 ()()1122A E A E --=+.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式:{}2()()D X P X E X εε-≥≤【详解】根据切比雪夫不等式有{}22()21()2222D X P XE X -≥≤==二、选择题(1) 【答案】(D)【详解】从题设图形可见,在y 轴的左侧,曲线()y f x =是 严格单调增加的,因此当0x <时,一定有'()0f x >,对应()y f x '=图形必在x 轴的上方,由此可排除(A),(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增,所以在这一段内一定有'()0f x >,对应()y f x '=图形必在x 轴的上方,进一步可排除(B),故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==未设(,)f x y 在点(0,0)可微,也没设(,)z f x y =,所以谈不上dz ,因此可立即排除(A)；令(,,)(,)F x y z z f x y =-,则有''''',,1x x y y z F f F f F =-=-=. 因此过点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}''',,x y z F F F ±={}'',,1x y f f ±--=±{−3,−1,1} ,可排除(B)；曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩可表示为参数形式:0,(,0)x xy z f x =⎧⎪=⎨⎪=⎩点(0,0,(0,0))f 的切向量为 {}{}'1,0,(0,0)1,0,3x f ±=±. 故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1:因为0001()()lim(1)1lim lim ln(1)ln(1)h h h x x f x f x xf e e x h x x x →→→--==⋅-- 0()ln(1)limx f x x x x x x → -- ⋅-()()00()0()lim 0lim 0x x f x f f x f x x →→-=- =0 -()0f '=可见,若()f x 在点0x =可导,则极限01lim(1)h h f e h→-一定存在；反过来也成立. 方法2:排除法:举反例说明(A),(C),(D)说明不成立.比如,()f x x =, 在0x = 处不可导,但2220001cos 11cos lim (1cos )lim limh h h h h f h h h h →→→---==22012sin 2lim h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=2201112sin lim 22h h h h h→⎛⎫⎪⎝⎭12=,故排除(A)2200sin 1lim(sin )lim h h h h f h h h h →→--=30sin lim h h hh h→-=⋅ 其中,30sin lim h h h h →-30sin lim h h h h →-=201cos lim 3h h h →- 洛22012sin 2lim 3h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=22012lim 3h h h → 等16= 根据有界量与无穷小的乘积为无穷小,所以3sinhlim0h h h h→-⋅=.故排除(C). 又如1,0()0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处不可导,但[]00111lim (2)()lim0h h f h f h h h →→--==存在,进一步可排除(D).(4)【答案】 (A)【详解】方法1:因为A 是实对称矩阵,必相似于对角阵Λ.1111111111111111E A λλλλλ---------=--------44442,3,41111111111111λλλλλλλ----------------行分别加到行 111111111(4)111141111λλλλλ--------------行提出公因子()111110(4)00000λλλλ-行分别加到2,3,4行34λλ=-()=0 得A 的特征值为:12344,0,λλλλ====故必存在正交矩阵Q , 使得14000000000000000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此,A B 与相似.由两矩阵合同的充要条件:实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似. 因此,A B 与也合同. 即A B 与既合同且相似.应选(A).方法 2:因为A 是实对称矩阵,故A 必相似于一对角阵Λ. 又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩, 知A 与Λ有相同的秩,故()()1,r r A Λ== 即Λ对角线上有3个元素为零.因此,1230λλλ===是A 的特征值.求另一个特征值,由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和,知444114.iii i i a λλ=====∑∑ 故,44λ=.即A 有特征值40λλ==和(三重根),和对角阵B 的特征值完全一致,故A ,B 相似.又由两矩阵合同的充要条件:实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似. 知A ,B 合同.(5)【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上,所以X Y n +=,从而Y n X =-,故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义:22()DX EX EX =-, 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质:cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义,得 (,)1X Yρ===-三【详解】2arctan x x e dx e⎰2arctan x xe e dx -=⎰()21arctan 22x x e e d x -=--⎰ ()21arctan 2x x e d e -=-⎰()221arctan arctan 2x x x xe e e d e ----⎰分部 2221arctan 2(1)x x xx x de e e e e -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰222111arctan 21x x x x x e e de e e -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰ 22211arctan 21x x x x x xe e e de de e --⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭⎰⎰ ()21arctan arctan 2xx x x e e e e C --=-+++四【详解】 由题设,()d x dx ϕ[](,(,))df x f x x dx=()12(,(,))(,(,))(,)f x f x x f x f x x f x x '''=+ 1212(,(,))(,(,))(,)(,)f x f x x f x f x x f x x f x x ⎡⎤''''=++⎣⎦这里1f f x ∂'=∂,2ff y∂'=∂,所以1()x d x dx ϕ={}12121(,(,))(,(,))(,)(,)x f x f x x f x f x x f x x f x x =⎡⎤''''=++⎣⎦1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f f f f ⎡⎤''''=++⎣⎦[]2323=+⋅+17=又 (1,1)1,f =()(,(,))x f x f x x ϕ=, 所以 (1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1(1,1)f f = 1,=所以3211()()3()x x d d x x x dxdx ϕϕϕ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21()3(1)x d x dx ϕϕ==1()(1)1,173117x d x dx ϕϕ= == ⋅⋅51=五【详解】 首先将arctan x 展开.因为 ()arctan 'x =2211(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑故 ()0arctan arctan 0arctan 'xx x dx =+⎰2000(1)xn n n x dx ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑⎰2210(1)(1)21n xnnn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰, ()1,1x ∈-于是 21()arctan x f x x x +=22101(1)21n n n x x x n ∞+=+-=+∑220(1)(1)21n n n x x n ∞=-=++∑ 22200(1)(1)2121n n n n n n x x n n ∞∞+==--=+++∑∑()()011210210(1)(1)(1)20121211n n n n n n x x xn n +-∞∞+==---=++⋅+++-∑∑ 12211(1)(1)12121n n n n n n x x n n -∞∞==--=+++-∑∑2211(1)(1)12121n n n nn n x x n n ∞∞==--=+-+-∑∑21111(1)2121nn n x n n ∞=⎛⎫=+-- ⎪+-⎝⎭∑221(1)2114n n n x n∞=-=+-∑, ()1,1,0x x ∈-≠ 又0lim ()x f x →2201(1)2lim 114n n x n x n ∞→=⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑1=,且(0)1f =,所以()f x 在0x =处连续,从而0x =时,()f x 221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑也成立. 进而()f x 221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,(1,1)x ∈-,又在1x =±处级数22211(1)2(1)21414n n n n n x n n ∞∞==--=--∑∑收敛, 2111lim ()lim arctan x x x f x x x --→→+=2111lim lim arctan x x x x x--→→+=⋅242ππ=⋅=()1f =, 2111lim ()lim arctan x x x f x x x ++→-→-+=2111lim lim arctan x x x x x ++→-→-+=⋅()2142f ππ⎛⎫=-⋅-==- ⎪⎝⎭, 所以()f x 在1x =处左连续,在1x =-处右连续,所以等式可扩大到1x =±,从而 221(1)2()114n nn f x x n∞=-=+-∑,[]1,1x ∈-, 变形得 221(1)()1142n n n f x x n∞=--=-∑ 因此 21(1)14n n n ∞=--∑221(1)114n n n n∞=-=⋅-∑[]1(1)12f =-1122π⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦1.42π=-六【详解】方法1:用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧,(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D 为S 在xoy 坐标面上的投影, {(,)| 1 }D x y x y =+={}cos ,cos ,cos ,,1}x y z z αβγ''=-- 在2x y z ++=中,左右两边关于x 求偏导,得10x z '+=,得1x z '=-.在2x y z ++=中,左右两边关于y 求偏导,得10y z '+=,得1y z '=-.代入上式得{}cos ,cos ,cos αβγ= 为S 指定侧方向的单位法向量,由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydz dzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分,而对于第二类曲面积分,一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分,进而化为二重积分进行计算.把111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===代入上式, I [](24)cos (26)cos (22)cos Sy z z x x y dS αβγ=--+--+--⎰⎰[](24)(26)(22)Sy z z x x y dS =--+--+--[]846S x y z dS =---⎰⎰(423)Sx y z dS =++ 按第一型曲面积分的算法,将S 投影到xoy ,记为σ.dS 与它在xoy 平面上的投影d σ的关系是1cos dS d σσγ==故dS σ,将2x y z ++=代入(423)S I x y z dS =++[423(2)Sx y x y σ=++-- 2(6)Dx y d σ=--+⎰⎰由于D 关于y 轴对称,利用区域的对称性,因为区域关于y 轴对称,被积函数是关于x 的奇函数,所以0Dxd σ=⎰⎰.D 关于x 轴对称,利用区域的对称性,因为区域关于x 轴对称,被积函数是关于y 的奇函数,故0Dyd σ=⎰⎰,所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知,Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)其中,D 为1x y +≤,D 的面积141122=⋅⋅⋅=,所以12224.I =-⋅=- 方法2:转换投影法.用斯托克斯公式,取平面2x y z ++=被L 所围成的部分为S ,按斯托克斯公式的规定,它的方向向上 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ,S 在xoy 平面上的投影域记为{(,)| 1 }D x y x y =+=.由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydz dzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰由 111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===, 及 {}cos ,cos ,cos ,,1}x y z z αβγ''=-- 知 11cos cos dS dydz dxdy αλ==,11cos cos dS dzdx dxdy βλ==, 故cos cos x dydz dxdy z dxdy αλ'===-cos cos y z dzdx dxdy dxdy z dxdy βλ'-'===- 因为S 为2z x y =--,式子左右两端分别关于,x y 求偏导,1,1,z zx y∂∂=-=-∂∂于是 (24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰{}24,26,26,,1Sz z y z z x x y dxdy x y ⎧⎫∂∂=------⋅--⎨⎬∂∂⎩⎭⎰⎰2(423)2(6)SDx y z dxdy x y dxdy =-++=--+⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于y 轴对称,被积函数是关于x 的奇函数,所以0Dxd σ=⎰⎰. 类似的,因为区域D 关于x 轴对称,被积函数是关于y 的奇函数,故0Dyd σ=⎰⎰,所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知,Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)D 为1x y +≤,D 的面积141122=⋅⋅⋅=,所以12224.I =-⋅=-方法3:降维法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ,D 为S 在xoy 坐标面上的投影,{(,)| 1 }D x y x y =+= 把2x y z ++=代入I 中, 1L 为L 在xoy 平面上投影,逆时针.1222222((2))(2(2))(3)()L I y x y dx x y x dy x y dx dy =---+---+---⎰ 12222(42444)(324888)L y x xy x y dx y x xy x y dy =--++-+-+--+⎰12222(324888)(42444)[]L y x xy x y y x xy x y dxdy x y∂-+--+∂--++--∂∂⎰格林公式2(6)24Dx y dxdy =--+=-⎰⎰方法4:用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧,(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则){}cos ,cos ,cos ,,1}x y z z αβγ''=-- 在2x y z ++=中,左右两边关于x 求偏导,得10x z '+=,得1x z '=-.在2x y z ++=中,左右两边关于y 求偏导,得10y z '+=,得1y z '=-.代入上式得{}cos ,cos ,cos αβγ= 为S 指定侧方向的单位法向量,由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydz dzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰用逐个投影法,先计算1(24),SI y z dydz =--⎰⎰ 其中{}(,)|21yz D y z y z y =--+≤为S 在yoz 平面上的投影,分别令0,0,20,20y y y z y z ≥≤--≥--≤, 可得到yz D 的4 条边界线的方程:右:23y z +=；上:3z = ；左:21y z +=；下:1z =.于是 13(3)2111(1)22(2)16z z I dz y z dy --=-+=-⎰⎰再计算2(26)SI z x dzdx =--⎰⎰,其中{}(,)|21xzDx z x x z =+--≤为S 在xoz平面上的投影,分别令0,0,20,20x x x z x z ≥≤--≥--≤, 可得到xz D 的4 条边界线的方程:右:23y z +=；上:3z = ；左:21y z +=；下:1z =.于是 13(3)321211(1)22(3)(6)8z z I dz z x dx z dz --=-+=-=-⎰⎰⎰再计算3(22)DI x y dxdy =--⎰⎰,其中{}(,)|1xyDx y x y =+≤为S 在xoy 平面上的投影,因为区域关于y 轴和x 轴均对称,被积函数是关于x 和y 都是奇函数, 于是 32()0SI x y dxdy =-+=⎰⎰故 12324.I I I I =++=- 方法5:参数式法.L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线,是由4条直线段构成的封闭折线,将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当0,0x y ≥≥时,1:1,2L y x z x y =-=--, 则,dy dx dz dx =-=-,x 从1 到0. 以x 为参数,于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(2)][2(2)]()[3(1)]()x x y dx x y x dx x x dx =----+----+--- 22[(1)1(2)(1)]x x dx =--+--则1222222()(2)(3)L y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰221(1)1(2)(1)x x dx ⎡⎤=--+--⎣⎦⎰7.3= 当0,0x y ≤≥, 2:1,12L y x z x =+=-, 则,2dy dx dz dx ==-,x 从0到1- 于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(12)][2(12)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =+--+--+-+-(24)x dx =+所以212222220()(2)(3)(24)3L y z dx z x dy x y dz x dx --+-+-=+=-⎰⎰当0,0x y ≤≤, 3:1,3L y x z =-=,则,0dy dx dz =-=,x 从1-到0,于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)3][23]()[3(1)]0x dx x dx x x =--+⋅--+--⋅ 2(2226)x x dx =+-所以32222222179()(2)(3)(2226)3L y z dx z x dy x y dz x x dx --+-+-=+-=-⎰⎰ 当0,0x y ≥≤, 4:1,32L y x z x =-=-,则,2dy dx dz dx ==-,x 从0 到1, 于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(32)][2(32)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =---+--+---(1812)x dx =-+所以41222222()(2)(3)(1812) 3.L y z dx z x dy x y dz x dx -+-+-=-+=⎰⎰所以 123424.LL L L L I ==+++=-⎰⎰⎰⎰⎰七【分析】拉格朗日中值定理:如果()f x 满足在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,则至少存在一点(),a b ξ∈,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立【详解】(1) 因为()y f x = 在(1,1)- 内具有二阶连续导数,所以一阶导数存在,由拉格朗日中值定理得,任给非零(1,1)x ∈-,存在()x θ∈(0,1),()(1,1)x x θ⋅∈-,使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅,(0()1)x θ<<成立.因为()f x ''在(1,1)-内连续且"()0,f x ≠ 所以()f x ''在(1,1)-内不变号,不妨设"()0,f x >则()f x '在(1,1)-内严格单调且增加,故()x θ唯一.(2)方法1:由(1)知[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅,(0()1)x θ<< 于是有 []'()()(0)xf x x f x f θ=-,即 []()(0)'()f x f f x x xθ-=所以[]2'()'(0)()(0)'(0)f x x f f x f f xxx θ---=上式两边取极限,再根据导数定义,得左端＝[]0'()'(0)limx f x x f xθ→-[]0'()'(0)lim()()x f x x f x x xθθθ→-=[]0'()'(0)limlim ()()x x f x x f x x xθθθ→→-=0"(0)lim ()x f x θ→=右端＝20()(0)'(0)limx f x f f x x →--0'()'(0)lim 2x f x f x →- 洛01'()'(0)lim 20x f x f x →-=-1"(0)2f 导数定义 左边=右边,即01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=,故01lim ().2x x θ→=方法2:由泰勒公式得()21()(0)'(0)"(),02f x f f x f x x ξξ=++ ∈，再与(1)中的 []()(0)'()(0()1)f x f xf x x x θθ=+<<比较,所以 []21'()()(0)'(0)"(),2xf x x f x f f x f x θξ=-=+ 约去x ,有 []1'()'(0)"(),2f x x f f x θξ=+凑成[]'()'(0)1()"(),()2f x x f x f x xθθξθ-=由于 []0'()'(0)lim"(0)()x f x x f f x xθθ→-=,0lim "()lim "()"(0)x f x f f ξξ→→==所以 01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→= 故 01lim ().2x x θ→=八【详解】222222()1()0()()2x y z h t x y h t h t +=-≥⇒+≤,所以侧面在xoy 面上的投影为:()2221,:()2D x y x y h t ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭记V 为雪堆体积,S 为雪堆的侧面积,则由体积公式V (),Df x y dxdy =⎰⎰Dzdxdy =⎰⎰222()()()D x y h t dxdy h t ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰化为极坐标,令cos ,sin x r y r θθ= =,02h t r πθ≤≤≤≤V 2202()()r d h t rdr h t πθ⎫=-⎪⎝⎭⎰2022()()r h t rdr h t π⎫=-⎪⎝⎭222()()r t rdr rdr h t π⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2(h t π⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭33()()248h t h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()4h t π=再由侧面积公式:DS =D=D=D= 化为极坐标,令cos ,sin x r y r θθ= =,02h t r πθ≤≤≤≤S =20d πθ⎰2π=2π=()()2221616h t rh t π=()()2222161163h t r h t π⎛=⋅⋅+ ⎝()()()32232228211163h t h t h t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22271163h t π=⋅⋅-213()12h t π= 由题意知0.9(),dVS t dt=- 将上述()V t 和()S t 代入,得 32()13()40.912dh t h t dt ππ=-⋅223()13()()0.9412dh t h t h t dt ππ⇒=-⋅() 1.3dh t dt ⇒=- 积分解得 13()10h t t C =-+ 由 ()0130h =, 得130C =. 所以13()130.10h t t =-+ 令()0h t →,即13130010t -+→100t ⇒→ 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知,12,,,s βββ均为12,,,s ααα的线性组合,齐次方程组当有非零解时,解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量,所以12,,,s βββ均为0Ax =的解. 下面证明12,,,s βββ线性无关. 设 11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+代入整理得,()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++=由12,,,s ααα为线性方程组0Ax =的一个基础解系,知12,,,s ααα线性无关,由线性无关的定义,知()*中其系数全为零,即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t 122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s st t +=+- (*（）变换:把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行,其中1,, 1.i s =-)由齐次线性方程组只有零解得充要条件,可见,当12(1)0,s st t +-≠,即12(),s s t t ≠-即当s为偶数,12;t t ≠±当s 为奇数,12t t ≠时,上述方程组只有零解120,s k k k ====因此向量组12,,,s βββ线性无关,故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时,12,,,s βββ也是方程组0Ax =的基础解系.十【详解】(1)方法1:求B ,使1A PBP -=成立,等式两边右乘P ,即AP PB =成立.由题设知,AP ()2,,A x Ax A x =()23,,Ax A x A x =,又3232A x Ax A x =-,故有AP ()22,,32Ax A x Ax A x =-()2000,,103012x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭000103012P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 即如果取000103012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,此时的B 满足1A PBP -= ,即为所求.方法2:由题设条件()2,,P x Ax A x =是可逆矩阵,由可逆的定义,知有1P -使11PP P P --=()()121112,,,,P x Ax A x P x P Ax P A x ----==E =100010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即有11121000,1,0001P x P Ax P A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由题设条件,3232A x Ax A x =-,有()131232P A x P Ax A x --=-11232P Ax P A x --=-00312001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭032⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭由1A PBP -=,得1B P AP -=()12,,P A x Ax A x -=()123,,P Ax A x A x -=()11213,,P Ax P A x P A x ---=000103012⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 由(1)及矩阵相似的定义知,A 与B 相似. 由矩阵相似的性质:若AB ,则()()f A f B ,则A E +与A E -也相似. 又由相似矩阵的行列式相等,得100113011A E B E ⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1001(1)0132011⎡⎤⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行加到行1113(1)11+=--4=-十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景. 它的背景是:做n 次独立重复试验,每次试验的结果只有两个(要么成功,要么失败),每次试验成功的概率都为p ,随机变量X 表示n 次试验成功的次数,则~(,)X B n p . 在此题中,每位乘客在中途下车看成是一次实验,每个人下车是独立的,有n 个人相当于做了n 次独立重复实验,把乘客下车看成实验成功,不下车看成实验失败,而且每次实验成功的概率都为p ,则问题(1)成为n 重伯努利实验中有m 次成功. 【详解】 (1)求在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率,相当于求条件概率{}|P Y m X n ==,由题设知,此条件概率服从二项分布,因此根据二项分布的分布律有:{}|(1),0,0,1,2m mn m n P Y m X n C P P m n n -===-≤≤=(2) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布,其实就是求{},P X n Y m ==,利用乘法公式,有 {}{}{},|P X n Y m P Y m X n P X n ======又X 服从参数(0)λλ>的泊松分布,由泊松分布的分布律有{}!nP X n e n λλ-==故 {}{}{},|(1)!m mn mn ne P X n Y m P Y m X n P X n C P P n λλ--=======-⋅, 其中0,0,1,2m n n ≤≤=十二【详解】 记121111,n ni n i i i X X X X n n +====∑∑,则()1212X X X =+,即122X X X =+ 且 1111nin i i i EX nu E X E X u n n n ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑,211n n i i E X E X u n +=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑因此 ()()()221211()2n n i n i i n i i i E Y E X X X E X X X X ++==⎡⎤⎧⎫⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑ ()()()()22112212n i i n i n i i E X X X X X X X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑()()()()2211221112n n n i i n i n i i i i E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑因为样本方差()221111ni i S X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑是总体方差的无偏估计,则22ES σ=,即()2221111n i i ES E X X n σ=⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦∑ 所以 ()2211(1)n i i E X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑,同理 ()2221(1)n n i i E X X n σ+=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑而 ()()()()12121122n n i n i i n i i i E X X X X E X X X X ++==⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤--=--⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑()()1212ni n ii E X X XX +=⎡⎤=--⎣⎦∑()21121ni n i i n i i E X X X X X X X X ++==--+∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑由于122,,,(2)n X X X n ≥相互独立同分布,则2i X X 与,1n i X X +与,12X X 与也独立(1,2i n =). 而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y 独立,且,EX EY 都存在,则EXY EXEY =),所以2i n i i n i EX X EX EX u ++==,222i i EX X EX EX u ==211n i n i EX X EX EX u ++==,21212EX X EX EX u ==故有 ()()121n i n i i E X X X X +=⎧⎫⎡⎤--⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑()222210ni u u u u ==--+=∑即 ()()()()221122111()2n n ni i n i n i i i i E Y E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑ ()()()2221121n n n σσσ=-+-=-。
2001考研数一真题答案及详细解析
一、填空题(1)【答案】220y y y '''-+=.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解为12(sin cos )x y e c x c x αββ=+时，则特征方程20r pr q ++=对应的两个根为一对共轭复根：1,2i λαβ=±，所以根据题设12(sin cos )xy e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1αβ==，特征根为1,2λi αβ=±1,i =±从而对应的特征方程为：()()2(1)(1)220,i i λλλλ-+--=-+=于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220y y y '''-+=.(2)【答案】2.3【分析】若(),,r x y z 具有连续的一阶偏导数，梯度gr adr 在直角坐标中的计算公式为：r r r gradr i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂设()()()(),,,,,,,,A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，其中,,P Q R 具有一阶连续偏导数，散度d ivA 在直角坐标中的计算公式为：P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂若(),,r x y z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：222222()r r rdiv gradr x y z∂∂∂=++∂∂∂【详解】本题实际上是计算222222r r rx y z∂∂∂++∂∂∂r x ∂∂222x y z x ∂++=∂22222xx y z=++222x x y z =++xr=2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析22r x ∂∂x x r ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2rr xx r∂-∂=2x r x r x r x r r -∂ = ∂223r x r -=类似可得r y y r ∂=∂，22r y ∂∂223r y r -=；r z z r ∂=∂，22r z ∂∂223r z r -=根据定义有()div gradr 222222r r r x y z ∂∂∂=++∂∂∂222222333r x r y r z r r r ---=++222233r x y z r ---=2233r r r-=232r r =2r =2222x y z =++于是(1,2,2)()|div gradr -()2221,2,22x y z -=++2222231(2)2==+-+(3)【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在10y -≤≤内，21y ≥-，题设的二次积分并不是(,)f x y 在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰其中{}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤再由图所示，又可将D 改写为{}(,)12,10,D x y x x y =≤≤-≤≤于是112(,)ydy f x y dx --⎰⎰211(,)ydy f x y dx --=-⎰⎰2011(,)xdx f x y dy-=-⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰(4)【答案】1(2).2A E +【详解】要求()A E -的逆，应努力把题中所给条件化成()A EB E -=的形式.由题设240A A E +-=⇒222A A E E +-=⇒()()22A E A E E-+=Oxyx+y=1x=21即()()12,2A E A E E -⋅+=故()()1122A E A E --=+.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式：{}2()()D X P X E X εε-≥≤【详解】根据切比雪夫不等式有{}22()21()2222D X P XE X -≥≤==二、选择题(1)【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在y 轴的左侧，曲线()y f x =是严格单调增加的，因此当0x <时，一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==未设(,)f x y 在点(0,0)可微，也没设(,)z f x y =，所以谈不上dz ，因此可立即排除(A)；令(,,)(,)F x y z z f x y =-，则有''''',,1x x y y z F f F f F =-=-=.因此过点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}''',,x y z F F F ±={}'',,1x y f f ±--=±{−3,−1,1}，可排除(B)；曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩可表示为参数形式：0,(,0)x x y z f x =⎧⎪=⎨⎪=⎩点(0,0,(0,0))f 的切向量为{}{}'1,0,(0,0)1,0,3x f ±=±.故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为001()()lim (1)1lim lim ln(1)ln(1)h h h x x f x f x xf e e x h x x x →→→--==⋅--0()ln(1)limx f x x x x x x → -- ⋅- ()()00()0()lim 0limx x f x f f x f x x →→-=- =0 -()0f '=可见，若()f x 在点0x =可导，则极限01lim(1)h h f e h→-一定存在；反过来也成立.方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，()f x x =,在0x =处不可导，但2220001cos 11cos lim (1cos )lim lim h h h h h f h h h h →→→---==22012sin 2lim h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=2201112sin lim 22h h h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12=，故排除(A)2200sin 1lim (sin )lim h h h h f h h h h→→--=30sin lim h h h h h →-=⋅其中，30sin limh h h h →-30sin lim h h h h →-=201cos lim 3h h h →- 洛22012sin 2lim 3h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=22012lim 3h hh → 等16=根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以3sinhlim0h h h h→-⋅=.故排除(C).又如1,0()0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处不可导，但[]00111lim (2)()lim0h h f h f h h h →→--==存在，进一步可排除(D).(4)【答案】(A)【详解】方法1：因为A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ.1111111111111111E A λλλλλ---------=--------44442,3,41111111111111λλλλλλλ----------------行分别加到行111111111(4)111141111λλλλλ--------------行提出公因子()11111000(4)000000λλλλ-行分别加到2,3,4行34λλ=-()=0得A 的特征值为：12344,0,λλλλ====故必存在正交矩阵Q ,使得14000000000000000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A B 与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.因此，A B 与也合同.即A B 与既合同且相似.应选(A).方法2：因为A 是实对称矩阵，故A 必相似于一对角阵Λ.又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩,知A 与Λ有相同的秩，故()()1,r r A Λ==即Λ对角线上有3个元素为零.因此,1230λλλ===是A 的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知444114.iii i i a λλ=====∑∑故，44λ=.即A 有特征值40λλ==和(三重根)，和对角阵B 的特征值完全一致，故A ,B 相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.知A ,B 合同.(5)【答案】A【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-，故()DY D n X DX=-=由方差的定义：22()DX EX EX =-,所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：c ov(,)0X c =(c 为常数)；c ov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以c ov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX=-=-=-=-由相关系数的定义，得c ov(,)(,)1X Y DX X Y DX DYDX DXρ-===-三【详解】2a rctan x x e dx e⎰2a rctan x x e e dx -=⎰()21arctan 22x xe e d x -=--⎰()21arctan 2x x e d e -=-⎰()221arctan arctan 2x x x xe e e d e ----⎰分部2221arctan 2(1)x x xx x de e e e e -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰222111arctan 21x x x x x e e de ee -⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰22211arctan 21x x x x x x e e e de de e --⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭⎰⎰()21arctan arctan 2xx x x e e e e C --=-+++四【详解】由题设，()d x dx ϕ[](,(,))df x f x x dx=()12(,(,))(,(,))(,)f x f x x f x f x x f x x '''=+1212(,(,))(,(,))(,)(,)f x f x x f x f x x f x x f x x ⎡⎤''''=++⎣⎦这里1f f x ∂'=∂，2ff y∂'=∂，所以1()x d x dx ϕ={}12121(,(,))(,(,))(,)(,)x f x f x x f x f x x f x x f x x =⎡⎤''''=++⎣⎦1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f f f f ⎡⎤''''=++⎣⎦[]2323=+⋅+17=又(1,1)1,f =()(,(,))x f x f x x ϕ=，所以(1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1(1,1)f f = 1,=所以3211()()3()x x d d x x x dxdx ϕϕϕ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21()3(1)x d x dx ϕϕ==1()(1)1,173117x d x dx ϕϕ= == ⋅⋅51=五【详解】首先将a rctan x 展开.因为()a rctan 'x =2211(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑故()0arctan arctan 0arctan 'xx x dx =+⎰2000(1)xn n n x dx ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑⎰22100(1)(1)21n xnnn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰，()1,1x ∈-于是21()arctan x f x x x +=22101(1)21n n n x x x n ∞+=+-=+∑220(1)(1)21n n n x x n ∞=-=++∑22200(1)(1)2121n n n n n n x x n n ∞∞+==--=+++∑∑()()011210210(1)(1)(1)20121211n n n n n n x x x n n +-∞∞+==---=++⋅+++-∑∑12211(1)(1)12121n n n n n n x x n n -∞∞==--=+++-∑∑2211(1)(1)12121n n n nn n x xn n ∞∞==--=+-+-∑∑21111(1)2121nn n x n n ∞=⎛⎫=+-- ⎪+-⎝⎭∑221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑，()1,1,0x x ∈-≠又0lim ()x f x →2201(1)2lim 114n n x n x n ∞→=⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑1=，且(0)1f =，所以()f x 在0x =处连续，从而0x =时，()f x 221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑也成立.进而()f x 221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑，(1,1)x ∈-，又在1x =±处级数22211(1)2(1)21414n n n n n x n n ∞∞==--=--∑∑收敛，2111lim ()lim arctan x x x f x x x --→→+=2111lim lim arctanx x xx x --→→+=⋅242ππ=⋅=()1f =，2111lim ()lim arctan x x x f x x x ++→-→-+=2111lim lim arctan x x xx x ++→-→-+=⋅()2142f ππ⎛⎫=-⋅-==- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1x =处左连续，在1x =-处右连续，所以等式可扩大到1x =±，从而221(1)2()114n n n f x x n ∞=-=+-∑，[]1,1x ∈-，变形得221(1)()1142n n n f x x n∞=--=-∑因此21(1)14n n n ∞=--∑221(1)114n n n n ∞=-=⋅-∑[]1(1)12f =-1122π⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦1.42π=-六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+={}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.把111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===代入上式，I [](24)cos (26)cos (22)cos Sy z z x x y dSαβγ=--+--+--⎰⎰[]1(24)(26)(22)3Sy z z x x y dS =--+--+--⎰⎰[]18463S x y z dS =---⎰⎰2(423)3Sx y z dS =-++⎰⎰按第一型曲面积分的算法，将S 投影到x oy ，记为σ.d S 与它在x oy 平面上的投影d σ的关系是2211cos x y dS d z z d σσγ''==++故3dS d σ=，将2x y z ++=代入2(423)3S I x y z dS =-++⎰⎰2[423(2)](3)3Sx y x y d σ=-++--⎰⎰2(6)Dx y d σ=--+⎰⎰由于D 关于y 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.D 关于x 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)其中，D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面2x y z ++=被L 所围成的部分为S ，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，S 在x oy 平面上的投影域记为{(,)| 1 }D x y x y =+=.由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰由111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===，及{}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++知11cos cos dS dydz dxdy αλ==，11cos cos dS dzdx dxdy βλ==，故22221cos 1cos 1xx yx x yz z z dydz dxdy dxdy z dxdy z z αλ'-''++'===-''++22221cos 1cos 1yx yy x yz z z dzdx dxdy dxdy z dxdy z z βλ'-''++'===-''++因为S 为2z x y =--，式子左右两端分别关于,x y 求偏导，1,1,z zx y∂∂=-=-∂∂于是(24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰{}24,26,26,,1S z z y z z x x y dxdyx y ⎧⎫∂∂=------⋅--⎨⎬∂∂⎩⎭⎰⎰2(423)2(6)SDx y z dxdy x y dxdy=-++=--+⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.类似的，因为区域D 关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法3：降维法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+=把2x y z ++=代入I 中，1L 为L 在x oy 平面上投影，逆时针.1222222((2))(2(2))(3)()L I y x y dx x y x dy x y dx dy =---+---+---⎰ 12222(42444)(324888)L y x xy x y dx y x xy x y dy =--++-+-+--+⎰ 12222(324888)(42444)[]L y x xy x y y x xy x y dxdy x y ∂-+--+∂--++--∂∂⎰ 格林公式2(6)24Dx y dxdy =--+=-⎰⎰方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则){}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰用逐个投影法，先计算1(24),SI y z dydz =--⎰⎰其中{}(,)|21yz D y z y z y =--+≤为S 在y oz 平面上的投影，分别令0,0,20,20y y y z y z ≥≤--≥--≤,可得到y z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)2111(1)22(2)16z z I dz y z dy --=-+=-⎰⎰再计算2(26)SI z x dzdx =--⎰⎰，其中{}(,)|21xzD x z x x z =+--≤为S 在xoz 平面上的投影，分别令0,0,20,20x x x z x z ≥≤--≥--≤,可得到x z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)321211(1)22(3)(6)8z z I dz z x dx z dz --=-+=-=-⎰⎰⎰再计算3(22)D I x y dxdy =--⎰⎰，其中{}(,)|1xyDx y x y =+≤为S 在xoy 平面上的投影，因为区域关于y 轴和x 轴均对称，被积函数是关于x 和y 都是奇函数，于是32()0SI x y dxdy =-+=⎰⎰故12324.I I I I =++=-方法5：参数式法.L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，是由4条直线段构成的封闭折线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当0,0x y ≥≥时，1:1,2L y x z x y =-=--,则,dy dx dz dx =-=-，x 从1到0.以x 为参数，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(2)][2(2)]()[3(1)]()x x y dx x y x dx x x dx =----+----+---22[(1)1(2)(1)]x x dx=--+--则1222222()(2)(3)L y z dx z x dy x y dz-+-+-⎰221(1)1(2)(1)x x dx ⎡⎤=--+--⎣⎦⎰7.3=当0,0x y ≤≥,2:1,12L y x z x =+=-,则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1-于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(12)][2(12)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =+--+--+-+-(24)x dx=+所以212222220()(2)(3)(24)3L y z dx z x dy x y dz x dx --+-+-=+=-⎰⎰ 当0,0x y ≤≤,3:1,3L y x z =-=,则,0dy dx dz =-=，x 从1-到0，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)3][23]()[3(1)]0x dx x dx x x =--+⋅--+--⋅2(2226)x x dx=+-所以32222222179()(2)(3)(2226)3L y z dx z x dy x y dz x x dx --+-+-=+-=-⎰⎰ 当0,0x y ≥≤,4:1,32L y x z x =-=-，则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(32)][2(32)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =---+--+---(1812)x dx=-+所以412222220()(2)(3)(1812) 3.L y z dx z x dy x y dz x dx -+-+-=-+=⎰⎰ 所以123424.LL L L L I ==+++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 七【分析】拉格朗日中值定理：如果()f x 满足在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立【详解】(1)因为()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零(1,1)x ∈-，存在()x θ∈(0,1)，()(1,1)x x θ⋅∈-，使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<成立.因为()f x ''在(1,1)-内连续且"()0,f x ≠所以()f x ''在(1,1)-内不变号，不妨设"()0,f x >则()f x '在(1,1)-内严格单调且增加，故()x θ唯一.(2)方法1：由(1)知[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<于是有[]'()()(0)xf x x f x f θ=-，即[]()(0)'()f x f f x x xθ-=所以[]2'()'(0)()(0)'(0)f x x f f x f f xxx θ---=上式两边取极限，再根据导数定义，得左端＝[]0'()'(0)limx f x x f x θ→-[]0'()'(0)lim ()()x f x x f x x x θθθ→-=[]0'()'(0)limlim ()()x x f x x f x x xθθθ→→-=0"(0)lim ()x f x θ→=右端＝20()(0)'(0)limx f x f f x x →--0'()'(0)lim2x f x f x →- 洛01'()'(0)lim 20x f x f x →-=-1"(0)2f 导数定义左边=右边，即01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=，故01lim ().2x x θ→=方法2：由泰勒公式得()21()(0)'(0)"(),02f x f f x f x x ξξ=++ ∈，再与(1)中的[]()(0)'()(0()1)f x f xf x x x θθ=+<<比较，所以[]21'()()(0)'(0)"(),2xf x x f x f f x f x θξ=-=+约去x ，有[]1'()'(0)"(),2f x x f f x θξ=+凑成[]'()'(0)1()"(),()2f x x f x f x xθθξθ-=由于[]0'()'(0)lim "(0)()x f x x f f x xθθ→-=，00lim "()lim "()"(0)x f x f f ξξ→→==所以01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=故01lim ().2x x θ→=八【详解】222222()1()0()()2x y z h t x y h t h t +=-≥⇒+≤，所以侧面在x oy 面上的投影为：()2221,:()2D x y x y h t ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式V (),Df x y dxdy =⎰⎰Dzdxdy =⎰⎰222()()()D x y h t dxdy h t ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤V ()22202()()h t r d h t rdr h t πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰()22022()()h tr h t rdr h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰()()22222()()h t h t r h t rdr rdr h t π⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰()()24222()22()h t h t r r h t h t π⎛⎫ ⎪=-⎪⎪⎝⎭33()()248h t h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()4h t π=再由侧面积公式：()()22''1x y DS f f dxdy =++⎰⎰()()221xy Dz z dxdy''=++⎰⎰22441()()Dx y dxdy h t h t ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰22216()1()D x y dxdy h t +=+⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤S =()()22220161h t r d rdr h t πθ+⎰⎰()()22201621h t r rdr h t π=+⎰()()22220161h t r dr h t π=+⎰()()()()22222201616116h t h t r r d h t h t π=+⎰()()()32222202161163h t h t r h t π⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭()()()32232228211163h t h t h t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22271163h t π=⋅⋅-213()12h t π=由题意知0.9(),dVS t dt =-将上述()V t 和()S t 代入，得32()13()40.912dh t h t dt ππ=-⋅223()13()()0.9412dh t h t h t dt ππ⇒=-⋅() 1.3dh t dt ⇒=-积分解得13()10h t t C =-+由()0130h =,得130C =.所以13()130.10h t t =-+令()0h t →，即13130010t -+→100t ⇒→因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知，12,,,s βββ 均为12,,,s ααα 的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以12,,,s βββ 均为0Ax =的解.下面证明12,,,s βββ 线性无关.设11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+ 代入整理得，()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++= 由12,,,s ααα 为线性方程组0Ax =的一个基础解系，知12,,,s ααα 线性无关，由线性无关的定义，知()*中其系数全为零，即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s s t t +=+-(*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行，其中1,, 1.i s =- )由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当12(1)0,sst t +-≠，即12(),sst t ≠-即当s 为偶数，12;t t ≠±当s 为奇数，12t t ≠时，上述方程组只有零解120,s k k k ==== 因此向量组12,,,s βββ 线性无关，故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时，12,,,s βββ 也是方程组0A x =的基础解系.十【详解】(1)方法1：求B ，使1A PBP -=成立，等式两边右乘P ，即AP PB =成立.由题设知，AP ()2,,A x Ax A x =()23,,Ax A x A x =，又3232A x Ax A x =-，故有AP ()22,,32Ax A x Ax A x =-()2000,,103012x Ax A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭000103012P ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭即如果取000103012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，此时的B 满足1A PBP -=，即为所求.方法2：由题设条件()2,,P x Ax A x =是可逆矩阵，由可逆的定义，知有1P -使11PP P P --=()()121112,,,,P x Ax A x P x P Ax P A x ----==E =100010001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭即有11121000,1,0001P x P Ax P A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题设条件，3232A x Ax A x =-，有()131232P A x P Ax A x --=-11232P Ax P A x --=-00312001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭032⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭由1A PBP -=，得1B P AP -=()12,,P A x Ax A x -=()123,,P Ax A x A x -=()11213,,P Ax P A x P A x ---=000103012⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭(2)由(1)及矩阵相似的定义知，A 与B 相似.由矩阵相似的性质：若A B ，则()()f A f B ，则A E +与A E -也相似.又由相似矩阵的行列式相等，得100113011A E B E ⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1001(1)0132011⎡⎤⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行加到行1113(1)11+=--4=-十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p ，随机变量X 表示n 次试验成功的次数，则~(,)X B n p .在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n 个人相当于做了n 次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p ，则问题(1)成为n 重伯努利实验中有m 次成功.【详解】(1)求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{}|P Y m X n ==，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有:{}|(1),0,0,1,2m mn m n P Y m X n C P P m n n -===-≤≤=(2)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布，其实就是求{},P X n Y m ==，利用乘法公式，有{}{}{},|P X n Y m P Y m X n P X n ======又X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，由泊松分布的分布律有{}!nP X n en λλ-==故{}{}{},|(1)!m mn mn neP X n Y m P Y m X n P X n C P P n λλ--=======-⋅，其中0,0,1,2m n n ≤≤=十二【详解】记121111,n n i n i i i X X X X n n +====∑∑，则()1212X X X =+，即122X X X =+且1111nin i i i E Xnu E X E X u n nn ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑，211n n i i E X E X u n +=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑因此()()()221211()2nn i n i i n i i i E Y E X X XE X X X X ++==⎡⎤⎧⎫⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑()()()()22112212n i i n i n i i E X X X X XX X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑()()()()2211221112n n ni i n i n i i i i E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑因为样本方差()221111n i i S X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑是总体方差的无偏估计，则22ES σ=，即()2221111ni i ES E X X n σ=⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦∑所以()2211(1)ni i E X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑，同理()2221(1)nn i i E X X n σ+=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑而()()()()12121122n n i n i i n ii i E X X X X E X X XX ++==⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤--=--⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑()()1212ni n ii E X X XX +=⎡⎤=--⎣⎦∑()21121ni n i i n i i E X X X X X X X X ++==--+∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑由于122,,,(2)n X X X n ≥ 相互独立同分布，则2i X X 与，1n i X X +与，12X X 与也独立(1,2i n = ).而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y 独立，且,E X EY 都存在，则E XY EXEY =)，所以2i n i i n i EX X EX EX u ++==，222i i EX X EX E X u ==211n i n i E X X E X EX u ++==，21212E X X E X E X u ==故有()()121n i n i i E X X XX +=⎧⎫⎡⎤--⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑()22221ni u u u u ==--+=∑即()()()()221122111()2n n n i i n i n i i i i E Y E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑()()()2221121n n n σσσ=-+-=-。
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准
2001 年 • 第 3 页
不妨设 f (x) 0 ，则 f (x) 在 (1,1) 内严格单调递增，故 (x) 唯一.
……3 分
(2) 由泰勒公式得 f (x) f (0) f (0)x 1 f ( )x2, 2
(5) 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P{ X E(X ) 2} 1 . 2
二、选择题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
(1) 设函数 f (x) 在定义域内可导， y f (x) 的图形如右图所示，
则导函数 y f (x) 的图形为
（D）
(2)
设函数
f
(x, y) 在点 (0, 0) 附近有定义，且
f
x
(0,
0)
3,
f y(0,0) 1，则
(C)
(A) dz |(0,0) 3dx dy
(B) 曲面 z f (x, y) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为{3,1,1}
(C)
曲线
z y
f 0
x,
y 在点(0,0,
(2) lim (x) 1 .
x0
2
证法一：(1) 任给非零 x (1,1) ，由拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) xf ( (x)x) (0 (x) 1) .
……1 分
因为 f (x) 在 (1,1) 内连续且 f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (1,1) 内不变号.
n1 2n 1
n0 2n 1
n1 2n 1
n1 2n 1
1
n1
(1)n 2 1 4n2
x2n ,
x [1,1] ,
……6 分
【考研数学】2001年一数一真题、标准答案及解析
[作者姓名]1理工数学一试题详解及评析xsincosx )（c ,c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的12(1)设2详解】 方法一 看出所给解对应的特征根为λ =1± i ，从而特征方程为 λ − 1+ i ,( ( )) 1,2 ( ( ))−2− 2λ + 2 = 0,于是所求方程为y ' 2y '方法二 将已知解代入y ' + by + cy = 0，得' ( ( ) ) ( ( ) )xxsin x ⋅ b c − c + cc − 2c +e xcos x ⋅ b c + c + cc + 2c . 由 于 e sin x 与x1 2 1 2 1 22 1= −2,c = 2cc 1 2c ,b c c 2c ，解得b 2 12 1 xsin x + c 2((c − c )sin x + (c + c )cos x 1212)y y ' = e '= e (−2c sin x + 2c cos x )2 1 从这三个式子消去c 与c ，得 y ' − 2y ' + 2y = 0 1 2r = x 2 + y 2 + z 2 , 则div gradr ( =3∂r ∂r ∂y ∂r ∂z x y zgradr = i + j + k = i +j + k ∂x r r r ⎛ ⎝ ∂x ⎞ r ⎠ x ⎛ y ⎞ ⎝ r ⎠∂y ⎛ z ⎞ ⎝ r ⎠ ∂z ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 2 2 2 2 r − x r − y r − z 2 2 ( ) = + + = + + = = div gradr r 3 r 3 r 3 r 3 r2 ==21 2 + (−2) + 220 1−y∫( )f x , y dx =−122 1−x∫( )f x , y dy .1∫−1 2∫−10 1−y2( )D = {(x , y )| −1≤ y ≤ 0,1− y ≤ x ≤ 2},又可将 D 改写为{( ) } D = x , y |1≤ x ≤ 2,1− x ≤ y ≤ 2 ,0 2 2 0( )f x , y dy 12−11−y1dx∫1−x2( )=1( − )−1+ A − 4E = O ,其中 E 为单位矩阵，则 A E(4)设矩阵 A 满足 A212A 2 + A − 4E = O ，A 2 + A − 2E = 2E ，( − )( +) =A E A 2E 2E ,1( − )⋅ ( + ) =A E A 2E E , 2 1( − )−1 ( + A 2E)A E 2 { ( ) } 5）设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P X − E X ≥ 2 ≤.12( ) D X 12{ ( ) } P X − E X ≥ 2 ≤= 2 2( ) = ( )= ' ( )1）设函数 f x 在定义域内可导， y f x 的图形如右图所示，则导函数 y f x 的【 】( )是严格单调增加的，因此当 x < 0 详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y f x= y = f (x )图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A ），（C ）； ' ( )的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f (x )图' = 形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B ）. 故正确答案为（D ）.( ) '(0, 0) ='2）设函数 f x , y 在点 0,0 附近有定义，且 fx= 3dx + dy .(0,0)（ （ = ( )在点(0, 0, f (0, 0))的法向量为{3, 1, 1}B ）曲面 z f x , y ⎧ z = ( f x , y )( ( )){ }C ）曲线 ⎨在点 0, 0, f 0,0 的切向量为 1, 0,3 y = 0⎩⎧z f x , y )( ( )) { }D ）曲线 ⎨在点 0, 0, f 0,0 的切向量为 3, 0,1 ⎩【 】答】 应选（C ）详解】 题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A ）；( ) = − ( )令 F x , y , z z f x , y ，则有 F ' ' ' ' ' x xyyz( { }因此过点 0, 0, f 0,0 的法向量为 ± −3,−1,1 ，可排除（B ）； x = x⎧ z f x , y )( ( ))可表示为参数形式： ⎨ y = 0 ，其中点 0, 0, f 0,0 的切向量为 ⎩⎪ ) z = ⎩( 0,0 = ±1, 0, 3} )} { 'x( ) = = 3）设 f 0 0，则 f x 在点 x 0 可导的充要条件为 11 ( − ) hA ） lim→ 0 h 2h →0 h 1h 1( − ) f h ⎦ 存在 ⎡ ( )− ( )⎤C ） lim f h sinh 存在.（D ） lim ⎣ f 2h → 0 h2 h →0 hh 【 】f (x ) 1x(lim f 1− e h = x lim⋅ h → 0 hx → 0x1 ( ) = ( − h ) 可 见 ， 若 f x 在 点 x 0 可 导 ， 则 极 限 lim f 1 e 一 定 存 在 ； 反 过 来 ， 若 h → 0 h1( )lim f 1− e hh → 0 h( ) ( )f x xf 1 e − h f 1 e h h1− e lim x =1− e hlim⋅ = −lim h hx → 0 h → 0 h h → 0 ( ) = 存在，即 f x 在点 x 0可导，因此正确选项为（B ）.( ) = 至于（A ），（C ）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比如， f x x ,在1 cosh − 1 cosh− 1( − ) = limf 1 cosh lim lim2 h 2h 2h → 0 h h → 0h → 0 1 ( − ) = lim f h sinh lim lim2 h 2 h 3h → 0 h h → 0 h → 0⎧⎨ ⎩ 1, x ≠ 0=0, x = 011−1 ( )− ()⎤ = = 0 limf 2h f h lim h → 0 h h → 0 h1 1 1 1⎤⎡4 0 0 0⎤4）设 A =，则 A 与 B1 1 1 1⎦ ⎣0 0 0 0⎦【 】A 是实对称矩阵，且其特征值为： λ = 4,λ = λ = λ = 0, 故存在正交矩阵Q ,使得1 2 3 4 4 0 0 0⎤0 =TAQ可见，则 A 与 B 既合同又相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的相1 2【 】详解】 设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y = n − X ，因此 X 和Y 的 相关系数为 r = −1arctan ex∫ 三、求 dxe2xarctan e x∫ ∫arctan e x() − dxd e 2x e 2x⎛ ⎞ ⎟ ⎠ 1 de x− ⎜ e −2x arctan e x − ⎜ (1+ e 2x ) ⎟ 2 e ⎝1 ( − e −2x arctan e x + e −x arctan e + x 2()在点(1, 1)处可微，且= f| = |= ϕ ( )= ( ( )) 2, 3, x f x , f x, x . x (1,1)d 3ϕ dxx =1详解】 由题设，有1 f 1, f 1,1f 1,1 1,ϕ ( ) = ( ( ))= ( ) =⎡ d ϕ ( )⎤ x (x )|(x ) ϕ 3 = 3ϕ 2 ⎢ ⎥dxx =1dx ⎣ ⎦⎡ (x , f (x , x ))+ f (x , x )+ fy= = 3ϕ 2 (x ) f ' ' '' ⎣ x y x 3 1 2 3 2 3 ⋅ ⋅⎡ + ( + )⎤ =51⎣ ⎦ ⎧ 1+ x 2 (− )n⎪∞ 1 ∑( ) = 五 、设 f x ⎨ x1 − 4n 2n =11 + x ∞∑ 【 详解】 因 = 2 (− ) 1 x , x 1, 1 n2n ∈(− ) 1 n =1(− ) n∞1 ∑∫ x( )'x 2n +1, x1,1∈[− ]= arctan x dx = 2 n +1 0n =1(− )n(− )n∞1 ∞1 ∑ ∑( )= ++ f x 1 2 n +1n =1 (− )n(− )n∞1 ∞1 ∑∑= 1+ x 2n+ x 2n2n +1 2n +1n =1 n =1n∞∑=1 + x∈[− ] 2n , x 1, 12 n +1n =1(− )n 1π 1∞1 ∑ =− . 1 − 4n224 2n =1∫ () () ( )dz ，其中 L 是平面 x y z 2 + =I = y 2 2dx + 2z 2− x 2dy + 3x2− y 2+ 与L柱面 x + y =1的交线，从 z 轴正向看去， L 为逆时针方向.详解 1】记 S 为平面 x + y + z = 2 上 L 所围成部分的上侧， D 为 S 在 xOy 坐标面上的投 影.由斯托克斯公式得∫2z 6x dzdx+ (− − ) 2x 6y dxdy + (− − )I =S 2∫ ∫ (4 + ) = −x 2y 3z dS + 3 S∫ ∫= −2 D∫ ∫ = = −12 dxdyD−24.【详解 2】转换投影法.用斯托克斯公式，取平面 x + y + z = 2 被 L 所围成的部分为 S ，按斯 托 克 斯 公 式 的 规 定 ， 它 的 方 向 向 上 ， S 在 xOy 平 面 上 的 投 影 域 记 为 z ∂z D , D = x , y | x + y ≤1 . S 为z = 2 − x − y , = −1, = −1, 于是 ∂y{( ) } ∂x∫ ( ) ( ) ( I = y 2 − z 2dx+ 2z 2− x 2 dy + 3x2− y+ (− − ) 2L∫ ∫(−2 − ) y 4z dydz 2z 6x dzdx+ (− − )= 2x 6y dxdyS⎧ ∂z ∂z ⎫ ∫ ∫{−2− }⋅ − = = = y 4z , 2z 6x , 2x 2y ⎨ − − − − ∂⎩ ⎭S−2∫∫(4x 2y 3z dxdy = −2 x y 6 dxdy ( − + ) + + ) ∫∫SD∫ ∫ −12 dxdy = −24D∫ ∫( − ) = ∫∫ =−∫∫ x y dxdy xdxdy ydxdy = 0 − 0 = 0 ，用得性质：x 为 x 得奇函数，D 对DDD称于 y 轴； y 为 y 的奇函数， D 对称于 x 轴；积分均应为零.降维法，取 S 如解法 1 中定义，代入 I 中，∫ () ( ( )) ( I = y 2 2dx + 2 (2 − x − y )22dy + 3x2− y2L 1∫ ( )()= y 2222+8xy −8x −8y +8 dy L 1∫ ∫格林公式− 2 D1逐个投影法，由斯托克斯公式∫− ) ∫∫ ( + ) I 1 =2y 4z dydz 2 y 2z dydz , − SD{( ) } 其中 D = y , z | 2 − y − z + y ≤1 , 分别令 y ≥ 0, y ≤ 0,2 − y − z ≥ 0,2 − y − z ≤ 0, 可 yz 得到 D 的 4 条边的方程：yz 右： 2y + z = 3 ；上： z = 3；左： 2y + z =1；下： z =1.13(3−z ) ∫ ∫(y + 2z )dy = −16于是 I 1 = − 2dz 2 112(1−z )∫ ∫( + ) 类似地， I 2−2 2 3x dzdx = −8 = S∫ ∫I 3 = −2 ( + ) x y dxdy = 0 （由奇、偶数及对称性）SI = I + I + I = −24 1 2 31( ) () ( y 2 − z 2 dx + 2z 2− x 2dy + 3x 2 21∫ 0⎡ ( − ) 2)(− ) ⎤= 1 x 21 1 7 3⎣ ⎦= . 当 x ≤ 0, y ≥ 0, L : y =1+ x , z =1− 2x , x 从 0 到-12 −1 ∫ (2 + )= − x 4= 3 0 37 9∫= −13当 x ≥ 0, y ≤ 0, L : y = x −1, z = 3− 2x , x 从 0 到 14 ∫ 1(−1 + ) = 8x 12 dx 3.= 0 ∫ = + + + = −24L= ( )在(−1, 1)内具有二阶连续导数且 f ' (x ) ≠ 0,试证：七、设 y f x(− ) ≠ 0,1 ，使 f x θ ( )∈( ) ( )= ( )+ ' ⎡θ ( ) ⎤f 0 xf ⎣ x x ⎦1）对于 1,1 内的任意 x 0, 存在唯一的 x 2）lim θ ( ) = x .x → 01）任给非零 x1,1∈(− )，由拉格朗日中值定理得( )= ( )+ '⎡θ ( ) ⎤( <θ ( )< )f x ⎣ ⎦ ' (x ) 在1,1 内 连 续 且 f(− ) '( ) ≠'( ) (− )0, 所 以 f x 在1,1 内 不 变 号 ， 不 妨 设因 为 f x ' (x ) > 0，则f'(x )在(−1, 1)内严格单调且增加，故唯一.f(− )，由拉格朗日中值定理得1,1( )= ( )+ ' ⎡θ ( )⎤( <θ ( )< )f x f 0 xf x x 0 x 1 ⎣ ⎦ f ' ⎡θ (x )x ⎤ − f ' (0) f (x )− f ( )− f 0 '⎣ ⎦ =x x 2f ' ' ⎡θ (x )x ⎤ − f ' (0) ⎣ ⎦ θ ( )= ' ( ) θ ( )x f 0 lim x x → 0x → 0(x )− f 2x ' (0) 1f lim= x → 0 2 1 lim θ ( ) = x . x → 0 2( )= ( )+ ' ( )+ ' (ξ ) 2 εf x f 0 f 0 x f 1 (0)x + xf f ' ⎡θ (x )x ⎤ = f (x )− f (0)= f ' ⎣ ⎦ 2 ' '⎣⎦'(ξ ),fθ ( ) =x ' ⎡θ (x )x ⎤ − f '(0) f ⎣ ⎦ '''= f ' (0)，lim flim θ ( )x x x → 0 x →0 ξ →0lim θ () = x .x → 0' (x ) ≠ 0,故 ' (x )存在单值连续可导的反函数，记为ϕ (x ), 则有f f⎡ ⎢⎣f x f 0 ( )− ( )⎤, ⎥ x ⎦ ⎡ f x f 0⎥ = 0, lim ϕ ⎢ x → 0 ⎣ x ⎦⎡ f x f 0 ( )− ( )⎤ ϕ ⎢ ⎣ ⎥⎡ f x f 0 ( )− ( )⎤ 'x ⎦ ' lim θ ( ) =x lim = lim ϕ ⋅ 2x → 0 x → 0 x x → 0 xx xf ' (x ) 2xϕ '⎡ f ' (0)⎤ lim ⎣ ⎦ x →0 ϕ ' ⎡ f''⎣ ⎦ϕ ⎡ f ' (x )⎤ = x ，两边对x 求导，有⎣ ⎦ ϕ ' ⎡ f ' (x )⎤ f ' (x )=1，以x = 0 代入，⎣ ⎦ 1 lim θ ( ) = x . x → 0 2' (θ ( ) ) '(θ ( ) )2） 由 f x f 0f x x x ,将 fx x 再展开，有 ( ) ( ) ( ) ( ( ) )f ''0 + f ' 0 θ x x + o θ x x 代入上式，得'( ) + ' ( )θ ( )2f x( )− ( )− ' ( ) − (θ ( ) )f x f 0 f 0 x o x x x θ ( ) =x ' (0) xf ( )− ( )+ ' ( )f x f 0 f 0 x = '(0)flim2 x → 0 x ( () ) o θ x x xlim == 0. 2x → 0x) 八 、 设 有 一 高 度 为 h t t 为时间 得 雪 堆 再 融 化 过 程 中 ， 其 侧 面 积 满 足 方 程2(x + y) 2 2()−z h t = （设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数 0.9），问高度为 130 厘米）的雪堆全部融化需多少小时？h (t )∫ ∫∫ V =dz =dxdy0 1 x 2 + y 2≤ h (t )2 −h (t )z ⎤ ⎡ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 1 h (t ) ∫ ⎡ h t h t z dz ( ) − ( )2⎤ = = π 0⎣ ⎦2 π h 34∫ ∫( ) 2 2S =1+ z ' + z ' x yh 2 (t )x 2 + y 2≤2( ) 1 6 x 2 + y 2 ∫ ∫=1+ dxdy 2(t ) h h 2 (t ) x 2 + y 2≤21h (t )2π( )h t 2∫ ⎡(t ) 16r ⎤ = h 2+ 2rdr 2 ⎣ ⎦ 0 12=12()dVdt dh t = − ( ) 将上述V (t )和 S (t )代入，得 0.9S t ,= − dt13( )= − t + Ch t 1 1 1= 0 得t 100（小时）. 九 、 设 α ,α ,L ,α 为 线 性 方 程 组 Ax = 0 的 一 个 基 础 解 系 ，1 2 sβ = t α + t α ,β = t α + t α ,L ,β = t α + t α , 其中t ,t 为实常数.试问t ,t 满足什 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 s 1 s 2 1 1 21 2 么关系时，β ,β ,L ,β 也为Ax = 0的一个基础解系.1 2 s 由于α ,α ,L ,α 为均为α ,α ,L ,α 的线性组合，所以α ,α ,L ,α 为均为Ax = 0的解. 1 2 s 1 2 s 1 2 s 下面证明β ,β ,L ,β 线性无关.设1 2 s 1 122ss( + )α + ( + )α +L + (+t k t k t k t k 1 1 2 s 1 2 1 1 2 2 s −112s⎧t k + t k = 0 2 1 1 2 M ⎪ ⎪ t k + t k = 0⎩ 2 s −1 1 s t 1 0 0 0 0 t 2 t 1 0 L 0t 2 t 1 0 s 1 s 2 L M = t + (− )t 1 M M M M 0 0 0 t 2 t 1+ (− )t 0 ≠ ，即当s 为偶数，t ≠ ±t ；当s 为奇数，t ≠ t 时，上述方程组2 1 2 1 2 可见，当ts 1 s1只有零解k = k =L = k = 0，因此向量组β ,β ,L ,β 线性无关， 1 2 s 1 2 s 从而β ,β ,L ,β也为Ax = 0的一个基础解系.1 2 s 十、已知3 阶矩阵A 与三维向量x , 使得向量组x , Ax , A2x 线性无关，且满足A32( ) P = x , Ax , A2x ,求2 阶矩阵B , 使A PBP −1= ;（ 2） 计算行列式 A + E . 【 详解】Ax = Ax ( ) = 2 A Ax A x A A 232( A x , Ax , A2 2x , A 32 20 0 0 ⎤⎥ =x 1 0 3 , )⎢ 0 1⎡ ⎢ 0 0 0 ⎤⎥ AP = P 1 0 3 = PB⎢ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 1 ⎡ 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥A = PBP −1 ; ⎢ ⎥⎢ 0 1 ⎣ ⎦⎡ ⎢ a 1 a 2 a ⎤ 3 ⎥ 设 b b 2 b , 则由 AP = PB 得⎢ ⎥ 1 3 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a ⎤3 ⎥ ( ) Ax , A2x , A 32x b b 2 b , ⎢ ⎥ 1 3 ⎢ ⎣c 1 c 2 c 3 Ax = a x + b Ax + c A 2 x ,(1)(2) (3)1 1 1 A2 x = a x + b Ax + c A2x ,2 2 2A 3x = a x + b Ax + c A2 x ,3 3 3A 3 x = 3Ax − 2AAx − 2A x = a x + b Ax + c A x , Ax , A23 2 2 x（4）3 332x 线性无关，故由于a =b = 0,c =1; 2 2 1 a = 0,b = 0,c = −2;333⎡ ⎢ 0 0 0 ⎤⎥ B = 1 0 3 − ⎥2⎢ ⎥⎢ 0 1 ⎣ ⎦ A32( ) (A A 2 2故 λ = −3 为 A 的特征值， A 2x − Ax 为属于-3 的特征向量；1 λ =1为 A 的特征值， A 2x + 3Ax 为属于 1 的特征向量；2λ = 0 为 A 的特征值， A x + 2Ax −3Ax 为属于-3 的特征向量；2 3 ⎡ ⎢ 0 0 −3⎤ ⎡ 0 0 −3⎤⎥ ⎢ ⎥ ( ) Q = x , Ax , A2 x −13 2 = P −13 2 , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 1 1 1 1 1 −1⎡ ⎢ 0 0 −3⎤⎡ 0 0 −3⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥Q −1 AQ = − 1 3 P − AP −1 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎦1 1 1 1⎣ ⎣ −1 ⎡ 0 0 −3⎤ ⎡ 0 0 −3⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = −1 3 B −1 3 ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎦1 1 1 1 ⎣ 但另一方面，Q 为特征向量组成的矩阵，所以 Q −1 AQ 为由对应的特征值组成的对角矩阵：⎡ ⎢ ⎢−3 0 0⎤⎥ Q −1 AQ = 0 0 1 0 , ⎥ ⎢ ⎣⎥ 0 0 ⎦1 ⎡ ⎢ 0 0 −3⎤ ⎡−3 0 0⎤ ⎡ 0 0 −3⎤−⎡0 0 0 ⎤ ⎢ B = −1 3 =1 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 1 0 0 1 1 0 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦2）由（1）知，A 与B 相似，故A + E 与B + E 也相似，于是有⎡ ⎢ 1 0 0 ⎤⎥ A + E = B + E = 1 13 = −4 ⎢ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 1 十一、设某班车起点站上客人数X 服从参数 λ (λ >)的泊松分布，每位乘客在中途下车的0 ( < < ) 概率为P 0 P 1 ，且途中下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求： 1） 在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； 2） 二维随机变量 X ,Y 的概率分布.1） 求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{ = = }因此有:{ = m m P Y m | XC P 1 Pn 2） 利用乘法公式，得{ = = }= { = = } { = }P Y m | X n P x nP X n |Y m e −λ m = C n m P m ⋅ λn n !( )( ) 十二、设总体 X 服从证态分布 N µ,σ 2 σ > 0 ，从该总体中抽取简单随机样本21 2nn∑ ∑( )2X( ≥ )= = + X , X ,L , Xn 2 其样本均值为X X ，求统计量Y i X X 1 2 2n i 2 n i =1 i =1( )的数学期望E Y .1 n 1 n∑ ∑ X , X = X 则有 2X = X + X n +i 121i 2n n i =1 i =1 ⎡ 2⎤ n ⎧ n∑( − ) = ∑ ⎡( − )+ ( − )⎤ 2 + E ⎢ X X 2X ⎥ E ⎨ X X X X ⎣ ⎦ i n +i i 1 n +i 2 ⎢ ⎣ ⎩ i =1 i =1 ⎧ n ∑ ⎡( ) 2 ( )( ) ( 2 X − X + X − X ⎢ n +i n +i ⎣i i 1 2 2 i =1 ⎡ n⎤ ⎡ n⎤∑( ) 2 ∑( 2X − X 1 + 0 + E X ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ i n +i⎣ i =1 ⎦⎣ i =1⎦= = ( − )σ n 1 2 + ( − )σn 1 2( − )σ2 2 n 1。
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2001年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 div grad r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ). (2)关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f +∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t 有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x x e e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可. 直接将arctan x展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑ =12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑. 六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==.于是由斯托克斯公式得 222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22333Sy z z x x y dS --+----⎰⎰ =(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()0()()h t D x V t dzdxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. (3)体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即0.9dVS dt =-将()V t 与()S t 的表达式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ① (0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-. 下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有 112211222132110,0,0,0.s s st k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ (*) 因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A EB E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。