2016年上海中考二模数学24题图文解析
上海市闸北区2016年中考数学二模试卷含答案解析
2016年上海市闸北区中考数学二模试卷一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列代数式中，属于分式的是（）A．﹣3 B．C．D．﹣4a3b2．的值为（）A．2 B．﹣2 C．土2 D．不存在3．下列方程中，没有实数根的方程是（）A．x2+2x﹣1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=04．方程组的解是（）A．B．C．D．5．如图，已知∠BDA=∠CDA，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD=DC B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD6．若⊙O1与⊙O2相交于两点，且圆心距O1O2=5cm，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径？（）A．1cm、2cm B．2cm、3cm C．10cm、15cm D．2cm、5cm二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：a5÷a2=．8．分解因式：3x2﹣6x=．9．不等式组的解集是．10．函数y=的定义域是．11．二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=．12．袋子里有4个黑球，m个白球，它们除颜色外都相同．经过大量实验，从中任取一个球恰好是黑球的概率是，则m的值是．13．某中学九（1）班5个同学在体育测试“1分钟跳绳”项目中，跳绳个数如下：126，134，118，152，148．这组数据中，中位数是．14．某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元．若设这个相同的增长率为x，那么可列出的方程是．15．如图，AB∥DE，△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，CB的延长线交DE于点G，则∠CGE=度．16．如图，在△ABC中，点D在AC边上且AD：DC=1：2，若，，那么=（用向量、表示）．17．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．如图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．写出点M （，0）关于以原点O为圆心，1为半径的⊙O的反演点M′的坐标．18．如图，底角为α的等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，点C与点E重合，联结AD、CE．已知tanα=，AB=5，则CE=．三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：cos30°+|1﹣|﹣（）﹣1．20．解方程：．21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB 于点E，且sin∠DAB=，DB=3．求：（1）AB的长；（2）∠CAB的余切值．22．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图所示，y甲、y乙分别表示甲、乙离开A地y（km）与已用时间x（h）之间的关系，且直线y甲与直线y乙相交于点M．（1）求y甲与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；（2）求A、B两地之间距离．23．如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．24．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．25．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B与边AB相交于点D，与边BC相交于点E，设⊙B的半径为x．（1）当⊙B与直线AC相切时，求x的值；（2）设DC的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若以AC为直径的⊙P经过点E，求⊙P与⊙B公共弦的长．2016年上海市闸北区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列代数式中，属于分式的是（）A．﹣3 B．C．D．﹣4a3b【考点】分式的定义．【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：A、3是整式，故A错误；B、a﹣b是整式，故B错误；C、是分式不是整式，故C正确；D、﹣4a3b是整式，故D错误；故选：C．2．的值为（）A．2 B．﹣2 C．土2 D．不存在【考点】算术平方根．【分析】直接根据算术平方根的定义求解．【解答】解：因为4的算术平方根是2，所以=2．故选A．3．下列方程中，没有实数根的方程是（）A．x2+2x﹣1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=0【考点】根的判别式．【分析】分别求出每一个方程中判别式△的值，如果△＜0，那么一元二次方程没有实数根．【解答】解：A、∵△=4+4=8＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根；B、∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的两个实数根；C、∵△=1﹣8=﹣7＜0，∴方程没有实数根；D、∵△=1+8=9＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根；故选C．4．方程组的解是（）A．B．C．D．【考点】解二元一次方程组．【分析】本题解法有多种．可用加减消元法或代入消元法解方程组，解得x、y的值；也可以将A、B、C、D四个选项的数值代入原方程检验，能使每个方程的左右两边相等的x、y的值即是方程的解．【解答】解：将方程组中4x﹣y=13乘以2，得8x﹣2y=26①，将方程①与方程3x+2y=7相加，得x=3．再将x=3代入4x﹣y=13中，得y=﹣1．故选B．5．如图，已知∠BDA=∠CDA，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD=DC B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个判断即可．【解答】解：A、BD=DC，∠BDA=∠CDA，AD=AD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；B、AB=AC，∠BDA=∠CDA，AD=AD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD ≌△ACD，故本选项正确；C、∠B=∠C，∠BDA=∠CDA，AD=AD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；D、∠BDA=∠CDA，AD=AD，∠BAD=∠CAD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；故选B．6．若⊙O1与⊙O2相交于两点，且圆心距O1O2=5cm，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径？（）A．1cm、2cm B．2cm、3cm C．10cm、15cm D．2cm、5cm【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由各选项中⊙O1与⊙O2的半径以及圆心距O1O2=5cm，根据圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系，得出⊙O1与⊙O2的位置关系即可求解．【解答】解：A、∵5＞2+1，∴d＞R+r，∴两圆外离，故本选项错误；B、∵5=2+3，∴d=R+r，∴两圆外切，故本选项错误；C、∵5=15﹣10，∴d=R﹣r，∴两圆内切，故本选项错误；D、∵5﹣2＜5＜5+2，∴R﹣r＜d＜R+r，∴两圆相交，故本选项正确；故选D．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：a5÷a2=a3．【考点】同底数幂的除法．【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．【解答】解：a5÷a2=a5﹣2=a3．8．分解因式：3x2﹣6x=3x（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】首先确定公因式为3x，然后提取公因式3x，进行分解．【解答】解：3x2﹣6x=3x（x﹣2）．故答案为：3x（x﹣2）．9．不等式组的解集是1＜x＜3．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+1＞2，得：x＞1，解不等式2x＜6，得：x＜3，∴不等式组的解集为：1＜x＜3，故答案为：1＜x＜3．10．函数y=的定义域是x≤1．【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：1﹣x≥0，解得x≤1．11．二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=1．【考点】二次函数的性质．【分析】将二次函数配方成顶点式即可确定对称轴方程．【解答】解：∵y=x2﹣2x+b=x2﹣2x+1+b﹣1=（x+1）2+b﹣1故对称轴是直线x=1．故答案为：1．12．袋子里有4个黑球，m个白球，它们除颜色外都相同．经过大量实验，从中任取一个球恰好是黑球的概率是，则m的值是4．【考点】概率公式．【分析】根据概率公式列出从中任取一个球恰好是黑球的概率公式，求出m的值即可．【解答】解：袋子里有4个黑球，m个白球，若从中任取一个球恰好是黑球的概率是，根据题意可得：=，解得m=4．故答案为：4．13．某中学九（1）班5个同学在体育测试“1分钟跳绳”项目中，跳绳个数如下：126，134，118，152，148．这组数据中，中位数是134．【考点】中位数．【分析】把这组数按从大到小（或从小到大）的顺序排列，因为数的个数是奇数个，所以中间哪个数就是中位数．【解答】解：按照从小到大的顺序排列为：118，126，134，148，152，中位数为：134．故答案为：134；14．某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元．若设这个相同的增长率为x，那么可列出的方程是100（1+x）2=125．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年年利润是100（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的年利润，即可列出方程．【解答】解：设增长率为x，根据题意2014年为100（1+x）万元，2015年为100（1+x）2万元．则100（1+x）2=125；故答案为：100（1+x）2=125．15．如图，AB∥DE，△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，CB的延长线交DE于点G，则∠CGE=135度．【考点】平行线的性质；等腰直角三角形．【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质求出∠DGB 的度数，根据补角的定义即可得出结论．【解答】解：∵△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，∴∠ABC=45°．∵AB∥DE，∴∠DGB=∠ABC=45°，∴∠CGE=180°﹣45°=135°．故答案为：135．16．如图，在△ABC中，点D在AC边上且AD：DC=1：2，若，，那么= 2+2（用向量、表示）．【考点】*平面向量．【分析】由，，直接利用三角形法则求解，即可求得，又由点D在AC边上且AD：DC=1：2，即可求得答案．【解答】解：∵，，∴=+=+，∵点D在AC边上且AD：DC=1：2，∴=2=2+2．故答案为：2+2．17．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．如图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．写出点M （，0）关于以原点O为圆心，1为半径的⊙O的反演点M′的坐标（2，0）．【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；点与圆的位置关系．【分析】根据点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，点P′为点P关于⊙C的反演点列式计算即可．【解答】解：设点M′的坐标为（a，0），由题意得， a=12，解得，a=2，则设点M′的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）．18．如图，底角为α的等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，点C与点E重合，联结AD、CE．已知tanα=，AB=5，则CE=．【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．【分析】如图，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，则BH=CH，先利用三角形函数的定义和勾股定理可计算出BH=4，则BC=2BH=8，再根据旋转的性质得∠CBE=α，BE=BC=8，接着在Rt△BEF中利用三角函数的定义可计算出EF和BF，然后在Rt△CEF中利用勾股定理计算CE．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，则BH=CH，在Rt△ABH中，tan∠ABH=tanα==，设AH=3t，则BH=4t，∴AB==5t，∴5t=5，解得t=1，∴BC=2BH=8，∵等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，∴∠CBE=α，BE=BC=8，在Rt△BEF中，tan∠EAF=tanα==，设AH=3x，则BH=4x，BE=5x，∴5x=8，解得x=，∴EF=，BF=，∴CF=8﹣=，在Rt△CEF中，CE==．故答案为．三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：cos30°+|1﹣|﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项分母有理化，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=++﹣1﹣3=2﹣．20．解方程：．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣5+x2﹣1=3x﹣3，整理得：（x﹣3）（x+1）=0，解得：x1=3，x2=﹣1，经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=3．21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，且sin∠DAB=，DB=3．求：（1）AB的长；（2）∠CAB的余切值．【考点】解直角三角形．【分析】（1）在Rt△BDE中，求得BE=DE=3，在Rt△ADE中，得到AE=4，根据线段的和差即可得到结论；（2）作CH⊥AB于H，根据已知条件得到BC=6，由等腰直角三角形的性质得到BH=CH=6，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△BDE中，DE⊥AB，BD=3∠ABC=45°，∴BE=DE=3，在Rt△ADE中，sin∠DAB=，DE=3，∴AE=4，AB=AE+BE=4+3=7；（2）作CH⊥AB于H，∵AD是BC边上是中线，BD=3，∴BC=6，∵∠ABC=45°，∴BH=CH=6，∴AH=7﹣6=1，在Rt△CHA中，cot∠CAB==．22．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图所示，y甲、y乙分别表示甲、乙离开A地y（km）与已用时间x（h）之间的关系，且直线y甲与直线y乙相交于点M．（1）求y甲与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；（2）求A、B两地之间距离．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设y甲=kx（k≠0），由点M的坐标利用待定系数法即可求出y甲关于x的函数关系式；（2）设y乙=mx+n，由函数图象得出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法即可求出y乙关于x的函数关系式，再令x=0求出y值即可得出结论．【解答】解：（1）设y甲=kx（k≠0），∵点M（0.5，7.5）在直线y甲的图象上，∴0.5k=7.5，解得：k=15．∴y甲关于x的函数关系式为y甲=15x．（2）设y乙=mx+n，将点（0.5，7.5），点（2，0）代入函数关系式得：，解得：．∴y乙关于x的函数关系式为y乙=﹣5x+10．令y乙=﹣5x+10中x=0，则y=10．∴A、B两地之间距离为10千米．23．如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由E为BC中点，得到BC=2CE，再由BC=2AD，得到CE=AD，再由AD 与CE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；（2）由四边形AECD为平行四边形，得到对角相等，再由已知角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，在Rt△ABE中，根据勾股定理表示出AE，由三角形AEC与三角形ADF相似得比例，表示出DF．由CD﹣DF表示出CF，再由AE与DC平行得比例，即可求出所求式子之比．【解答】解：（1）∵BC=2AD，点E为BC中点，∴BC=2CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵四边形AECD为平行四边形，∴∠D=∠AEC，∵∠EAF=∠CAD，∴∠EAC=∠DAF，∴△AEC∽△ADF，（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE==a，∵△AEC∽△ADF，∴=，即=，∴DF=a，∴CF=CD﹣DF=a﹣a=a，∵AE∥DC，∴===．24．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）首先求得C和D的坐标，证明=即可证得；（2）分成PN∥DB和CD∥AB两种情况进行讨论，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形OMPN是矩形，OM=6，ON=3，∴P的坐标是（6，3）．∵点C和D都在反比例函数y=的图象上，且点C在PN上，点D在PM上，∴点C（2，3），点D（6，1）．又∵DB⊥y轴，CA⊥x轴，∴A的坐标是（2，0），B的坐标是（0，1）．∵BG=2，GD=4，CG=2，AG=1．∴=， ==，∴=，∴AB∥CD；（2）解：①∵PN∥DB，∴当DE1=BC时，四边形BCE1D是等腰梯形，此时直角△CNB≌直角△E1PD，∴PE1=CN=2，∴点E1的坐标是（4，3）；②∵CD∥AB，当E2在直线AB上，DE2=BC=2，四边形BCDE2为等腰梯形，直线AB的解析式是y=﹣x+1，∴设点E2（x，﹣x+1），DE2=BC=2，∴（x﹣6）2+（x）2=8，解得：x1=，x2=4（舍去）．∴E2的坐标是（，﹣）．25．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B与边AB相交于点D，与边BC相交于点E，设⊙B的半径为x．（1）当⊙B与直线AC相切时，求x的值；（2）设DC的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若以AC为直径的⊙P经过点E，求⊙P与⊙B公共弦的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据勾股定理，求出AG，再由割线定理，求出BH即可；（2）由相似得出比例式，表示出DF，CF，由勾股定理建立函数关系式；（3）根据圆的性质求出BE，CE，再用△BQP∽△BGE，求出EG即可，【解答】解：（1）作AG⊥BC，BH⊥AC，∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=CG=2，∴AG==4，∵AG×BC=BH×AC，∴BH==，∴当⊙B与直线AC相切时，x=；（2）作DF⊥BC，∴DF∥AG，∴，∴，∴DF=x，∴CF=4﹣x，在Rt△CFD中，CD2=DE2+CF2，∴y==（＜x≤4），（3）①作PQ⊥BC，∵EF是⊙B，⊙P的公共弦，∵⊙P经过点E，∴PA=PE=PC，∴AE⊥BC，∵AC=AB，∴BE=CE=2，∵PQ∥AE，且P是AC中点，∴PQ=AE=2，CP=3，∴CQ=1，BQ=3，∴BP=，∵△BQP∽△BGE，∴，∴，∴EG=，∴EF=；②当点E，与点C重合时，EF=．2016年10月31日。
中考数学二模试卷(含解析)
上海市浦东新区2016年中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2016的相反数是（）A．B．﹣2016 C．﹣D．20162．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣14．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，156．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|= ．8．不等式x﹣1＜2的解集是．9．分解因式：8﹣2x2= ．10．计算：3（）+2（﹣2）= ．11．方程的根是．12．已知函数f（x）=，那么f（）= ．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为米．14．正八边形的中心角等于度．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2= ．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2sin45°﹣20160++（）﹣1．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（12分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD 于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC 上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．2016年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2016的相反数是（）A．B．﹣2016 C．﹣D．2016【考点】相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：2016的相反数是﹣2016．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=3，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=3，c=2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣1【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质．【分析】分析四个选项中得函数解析式，根据系数的正负结合各函数的性质即可得出其增减性，由此即可得出结论．【解答】解：A、y=﹣中k=﹣1＜0，∴函数y=﹣的图象在第二、四象限内y随着x的增大而增大；B、y=x2﹣1中a=1＞0，∴函数y=x2﹣1的图象在第二、三象限内y随着x的增大而减小，在第一、四象限内y随着x的增大而增大；C、y=﹣中k=1＞0，∴函数y=的图象在第一、三象限内y随着x的增大而减小；D、y=﹣x﹣1中k=﹣1＜0，b=﹣1＜0，∴函数y=﹣x﹣1的图象在第二、三、四象限内y随着x的增大而减小．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是逐项分析四个选项的增减性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各函数的性质及各函数的图象是解题的关键．4．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况，∴这个两位数是素数的概率为： =．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15【考点】众数；折线统计图；中位数．【分析】根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；17℃出现的次最多，为众数．【解答】解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃；共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，故中位数为14℃．故选C．【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．6．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的重心．【分析】延长AM交BC于点D，根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC，设AM=2x，则DM=x，利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：延长AM交BC于点D，∵△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC．设AM=2x，则DM=x，∴AD=3x，∴AB===2x．∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴△ABC∽△AMN，∴=（）2=（）2=．故选B．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|= ．【考点】有理数的减法；绝对值．【分析】首先根据有理数的减法法则，求出﹣1的值是多少；然后根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出|﹣1|的值是多少即可．【解答】解：|﹣1|=|﹣|=．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a 是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．8．不等式x﹣1＜2的解集是x＜3 ．【考点】解一元一次不等式．【分析】解不等式x﹣1＜2，即可得到不等式x﹣1＜2的解集，本题得以解决．【解答】解：x﹣1＜2两边同时加1，得x﹣1+1＜2+1x＜3，故答案为：x＜3．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是会解一元一次不等式的方法．9．分解因式：8﹣2x2= 2（2+x）（2﹣x）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可．【解答】解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x）（2﹣x）．故答案为：2（2+x）（2﹣x）．【点评】本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．10．计算：3（）+2（﹣2）= ﹣﹣．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：3（）+2（﹣2）=3﹣3+2﹣4=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．11．方程的根是x=﹣4 ．【考点】无理方程．【分析】9的算术平方根是3，故5﹣x=9，x=﹣4．【解答】解：因为算术平方根的被开方数是非负数，根据题意可得，5﹣x=9，解得：x=﹣4．故本题答案为：x=﹣4．【点评】记准算术平方根的被开方数是非负数这一要求，是解决这类问题的关键．12．已知函数f（x）=，那么f（）= 3 ．【考点】函数值．【分析】将x=代入计算即可．【解答】解：f（）====3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是求函数值，掌握二次根式的性质是解题的关键．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为18 米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用坡角的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：∵传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，∴可得：BC=9m，则=，解得：AC=9，则AB===18（m）．故答案为：18．【点评】此题主要考查了坡角的定义，根据题意得出AC的长是解题关键．14．正八边形的中心角等于45 度．【考点】正多边形和圆．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是720 ．【考点】条形统计图；用样本估计总体．【分析】用所有学生数乘以样本中课外阅读时间不少于6小时的人数所占的百分比即可．【解答】解：估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是：1200×=720（人），故答案为：720．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于6小时的人数所占的百分比．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为1或5 ．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由于⊙O1与⊙O2相切，则分两圆内切和外切讨论得到R+2=3或R﹣2=3，然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵⊙O1与⊙O2相切，∴R+2=3或R﹣2=3，∴R=1或R=5．故答案为1或5．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R ﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2= 4 ．【考点】解二元一次方程组；有理数的混合运算．【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：根据题中的新定义得：，解得：，则1﹡2=1×2+2×1=2+2=4，故答案为：4【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AD=x，再根据折叠的性质得∠PDE=∠ADE=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，于是可判断点P在边AC上，所以PC=20﹣2x，然后利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则∠A=∠3，则可判断Rt△BCP∽Rt△ABC，利用相似比可计算出x．【解答】解：如图，设AD=x，在△ABC中，∠A CB=90°，BC=15，AC=20，∴AB=25，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠ACB=90°，∵△ADE沿DE翻折得到△PDE，∴∠PED=∠AED=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，∴CD=20﹣x，∵∠CPD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90°，∴∠2=∠B，∴PC=BC=15，∵CD2=CP2+PD2，即（20﹣x）2=152+x2，∴x=，∴AD=．故答案为：．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2016•浦东新区二模）计算：2sin45°﹣20160++（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣1+2+2=1+3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2016•浦东新区二模）解方程：．【考点】解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．【分析】本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+（x+2）2=8，x2﹣2x+x2+4x+4=8，整理得x2+x﹣2=0．解得x1=﹣2，x2=1．经检验，x2=1为原方程的根，x1=﹣2是增根（舍去）．∴原方程的根是x=1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．21．（10分）（2016•浦东新区二模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．【考点】垂径定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于D，应用直角三角形的性质和三角函数的求法，求出AD的长度是多少；然后应用垂径定理，求出弦AB的长是多少即可．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于D，，∵OA2+OC2=AC2，∴AC2=42+32=25，∴AC=5．在Rt△AOC中，cos∠OAC==，在Rt△ADO中，cos∠OAD=，∴==，∴AD=×4=．∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2×=．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，直角三角形的性质和三角函数的求法，要熟练掌握．22．（10分）（2016•浦东新区二模）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）直接利用每吨的成本×生产吨数=总成本为210万元，进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设函数解析式为：y=kx+b，将（0，10），（40，6）分别代入y=kx+b 得：，解得：，所以y=﹣x+10（0≤x≤40）；（2）由（﹣x+10）x=210，解得：x1=30，x2=70，由于0≤x≤40，所以x=30，答：该产品的生产数量是30吨．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确利用待定系数法求出一次函数解析式是解题关键．23．（12分）（2016•浦东新区二模）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB得，即： =，可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECA=∠D，∴∠ECA=∠B，∵∠E=∠E，∴△EAC∽△ECB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，即：CD∥AE∴，∵DF=AF∴CD=AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AE=AB，∴BE=2AE，∵△EAC∽△ECB，∴，∴，即： =，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似形的对应边成比例和平行四边形的性质是关键．24．（12分）（2016•浦东新区二模）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）把B（3，6）代入y=ax2﹣4ax+2，求出a的值，得到二次函数的解析式，进而求出点A的坐标；（2）先求出抛物线的对称轴，根据对称性得出C点坐标，求出BC=2，AB=5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，再求出CH=，AH=，根据正切函数定义即可求出∠CAB的正切值；（3）由AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7），设P（x，0）根据PB=PB1，分B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）两种情况利用勾股定理求得x值．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象过点B（3，6），∴6=9a﹣12a+2，解得a=﹣，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2，∵二次函数y=﹣x2+x+2的图象与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣2）2+，∴对称轴为直线x=2，∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC=2，AB==5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=，BH=，AH=，∴tan∠CAB==；（3）由题意，AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）．设P（x，0）．①如果点B1（0，7），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+72，解得x=﹣，即P（﹣，0）；②如果点B1′（0，﹣3），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+32，解得x=6，即P（6，0）；综上所述，所求点P的坐标为（﹣，0）或（6，0）．【点评】本题主要考查待定系数求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等，求二次函数解析式是基础，构建直角三角形求三角函数值是基本做法，通过勾股定理得出点坐标间联系是关键．25．（14分）（2016•浦东新区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD=5，∵DEFG为矩形，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得，DE=，∵△ADE∽△FGB，∴=，则BG=，∴EF=DG=AB﹣AD﹣BG=；（2）如图2，作DH⊥AC于H，∴DH∥BC，又AD=DB，∴DH=BC=3，∵DH⊥AC，∠C=90°，∠DEF=90°，∴△DHE∽△ECF，∴==，∴EC=2DH=6，EH=x﹣6，∴DE2=32+（x﹣6）2=x2﹣6x+45，∴y=DE•EF=2DE2=x2﹣12x+90，（3）如图3，当点G在边BC上时，∵，DE=3，∴EF=，∴AC=9，如图4，当点G在边AB上时，设AD=DB=a，DE=2b，EF=3b，∵△ADE∽△FGB，∴=，即=，整理得，a2﹣3ab﹣4b2=0，解得，a=4b，a=﹣b（舍去），∴AD=2DE，∵△ADE∽△ACB，∴AC=2BC=12，综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．【点评】本题的是矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的求法以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．。
上海市闵行区2016届中考数学二模试卷含答案解析
2016年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果单项式2a n b2c是六次单项式，那么n的值取（）A．6 B．5 C．4 D．32．在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A．B．C．D．3．下列函数中，y随着x的增大而减小的是（）A．y=3x B．y=﹣3x C． D．4．一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．等腰梯形 C．平行四边形D．圆6．下列四个命题，其中真命题有（）（1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为a•sin20°．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣22|=．8．在实数范围内分解因式：a3﹣2a=．9．方程=2的解是．10．不等式组的解集是．11．已知关于x的方程x2﹣x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．12．将直线向下平移3个单位，那么所得到的直线在y轴上的截距为．13．如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称．14．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，点E是边DC的中点．设，，那么=（用、的式子表示）．15．布袋中有大小、质地完全相同的4个小球，每个小球上分别标有数字1、2、3、4，如果从布袋中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是．16．9月22日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是．17．点P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么OP的长等于cm．18．如图，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B=，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：．20．解方程：．21．如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．22．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．23．如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F，交边DC于点G，交边AB于点H．联结AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）如果OF=2GO，求证：GO2=DG•GC．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．25．如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD=2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．2016年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果单项式2a n b2c是六次单项式，那么n的值取（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】单项式．【分析】直接利用单项式的次数确定方法得出n的值即可．【解答】解：∵单项式2a n b2c是六次单项式，∴n+2+1=6，解得：n=3，故n的值取3．故选：D．【点评】此题主要考查了单项式的次数，正确把握定义是解题关键．2．在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A．B．C．D．【考点】分母有理化．【分析】直接利用有理化因式的定义得出答案．【解答】解：∵×=a﹣1，∴二次根式的有理化因式是：．故选：B．【点评】此题主要考查了有理化因式的定义，正确把握有理化因式的定义是解题关键．3．下列函数中，y随着x的增大而减小的是（）A．y=3x B．y=﹣3x C． D．【考点】反比例函数的性质；正比例函数的性质．【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的性质分析得出答案．【解答】解：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；B、y=﹣3x，y随着x的增大而减小，正确；C、y=，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；D、y=﹣，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．4．一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差【考点】统计量的选择．【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的鞋号．故鞋店的经理最关心的是众数．故选：C．【点评】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用．要求学生对统计量进行合理的选择和恰当的运用．5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．等腰梯形 C．平行四边形D．圆【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．下列四个命题，其中真命题有（）（1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为a•sin20°．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】利用反例对（1）进行判断；根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线性质、菱形的判定方法可对（2）进行判断；根据弦对两条弧可对（3）进行判断；根据正九边形的性质和余弦的定义可对（4）解析判断．【解答】解：有理数乘以无理数不一定是无理数，若0乘以π得0，所以（1）错误；顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，所以（2）正确；在同圆中，相等的弦所对的弧对应相等，所以（3）错误；如果正九边形的半径为a，那么边心距为a•cos20°，所以（4）错误．故选A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣22|=4．【考点】有理数的乘方；绝对值．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则化简，再结合绝对值的性质求出答案．【解答】解：|﹣22|=|﹣4|=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及绝对值的性质，正确掌握运算法则是解题关键．8．在实数范围内分解因式：a3﹣2a=a（a+）（a﹣）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：a3﹣2a=a（a2﹣2）=a（a+）（a﹣）．故答案为：a（a+）（a﹣）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．9．方程=2的解是．【考点】无理方程．【专题】推理填空题．【分析】根据解无理方程的方法可以解答本题．【解答】解：=2，两边平方，得2x+3=4，解得x=，检验：当x=时，，故原无理方程的解是x=．故答案为：x=．【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是明确解无理方程的解，注意最后要进行检验．10．不等式组的解集是﹣＜x≤3．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，解不等式4x+3＞﹣x，得：x＞﹣，所以不等式组的解集为：﹣＜x≤3，故答案为：﹣＜x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．已知关于x的方程x2﹣x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣．【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m=0没有实数根，∴b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＜0，解得：m＜﹣．故答案为：m＜﹣．【点评】本题主要考查对根的判别式、解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＜0是解此题的关键．12．将直线向下平移3个单位，那么所得到的直线在y轴上的截距为﹣2．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】直接利用一次函数平移的性质得出平移后解析式，进而得出答案．【解答】解：∵直线向下平移3个单位，∴平移后的解析式为：y=﹣x﹣2，∴所得到的直线在y轴上的截距为：﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了一次函数的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．13．如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称矩形．【考点】多边形．【专题】新定义；开放型．【分析】我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等，任选一个即可．【解答】解：矩形、正方形的两条对角线相等．故答案为：矩形．【点评】本题考查了多边形，知道我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等是解题的关键．14．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，点E是边DC的中点．设，，那么=+2（用、的式子表示）．【考点】*平面向量．【分析】首先连接AC，由在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，可求得，然后由三角形法则求得，继而求得，然后由点E是边DC的中点，求得，继而求得答案．【解答】解：连接AC，∵在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，∴=3=3，∴=+=+3，∴=﹣=（+3）﹣=+2，∵点E是边DC的中点，∴==+，∴=+=+（+）=+2．故答案为：+2．【点评】此题考查了平面向量的知以及梯形的性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．15．布袋中有大小、质地完全相同的4个小球，每个小球上分别标有数字1、2、3、4，如果从布袋中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据题意画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：由题意可得：，故一共有12种可能，这两个小球上的数字之和为偶数的有4种，故这两个小球上的数字之和为偶数的概率是：=．故答案为：．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．16．9月22日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是15．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】根据骑自行车的学生人数和所占的百分比求出调查的总学生数，再根据随机抽查的教师人数为学生人数的一半，得出教师人数，再用教师人数减去步行、乘公交车和骑自行车的教师数，即可得出乘私家车出行的教师人数．【解答】解：调查的学生人数是：15÷25%=60（人），则教师人数为30人，教师乘私家车出行的人数为30﹣（3+9+3）=15（人）．故答案为：15．【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．17．点P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么OP的长等于3cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得AB=10cm，CD=8cm．∵CD⊥AB，∴CP=CD=4cm．根据勾股定理，得OP===3（cm）．故答案为：3．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．18．如图，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B=，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】作AF⊥BC于F，连接AD，设AF=a，DC=x，根据相似三角形的性质用a表示CD和BD，计算即可．【解答】解：作AF⊥BC于F，连接AD，设AF=a，DC=x，∵tan∠B=，∴BF=3a，由勾股定理得，AB=a，∵DE⊥AC，AF⊥BC，∴△CED∽△CFA，∴=，即=，解得x=a，∴DF=CF﹣CD=a，∴BD=a，∴=．故答案为：．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：．【考点】二次根式的混合运算；分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】分别依据分母有理化、负整指数幂、特殊锐角三角函数值和零指数幂、分数指数幂将各部分计算化简可得．【解答】解：原式=﹣+（）0﹣=﹣+1﹣=﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，运用了分母有理化、负指数幂、特殊锐角三角函数值和零指数幂、分数指数幂等知识点，熟练掌握这些计算法则是关键．20．解方程：．【考点】解分式方程．【分析】首先去掉分母，然后解整式方程，最后验根即可求解．【解答】解：∵，∴（x﹣2）（x﹣4）+2x=x+2，∴x2﹣6x+8+2x=x+2，x2﹣5x+6=0，（x﹣2）（x﹣3）=0，解得x1=2，x2=3，检验：当x1=2时，x（x﹣2）（x+2）=0，是增根；当x2=3时，x（x﹣2）（x+2）=15≠0，∴x=2是原方程的解．【点评】此题主要考查了解分式方程，其中（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．21．如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．【考点】解直角三角形．【分析】（1）过点C作CE⊥AB与点E，根据已知条件分别解△BCE、△ACE可得BE、CE、AE的长，即可计算S△ABC；（2）过点D作DH⊥AB与点H知DH∥CE，由D是AC中点可得HE=AE、DH=CE，即可得cot∠ABD．【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB与点E，在RT△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°，∴BE=BC•cos∠ABC=8×=4，CE=BC•sin∠ABC=8×=4，在RT△ACE中，∵sin∠A=，∴AC===4，∴AE===8，则AB=AE+BE=8+4，故S△ABC=•AB•CE=×（8+4）×4=16+8；（2）过点D作DH⊥AB与点H，∵CE⊥AB，∴DH∥CE，又∵D是AC中点，∴AH=HE=AE=4，DH=CE=2，∴在RT△BDH中，cot∠ABD===2+2．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）根据坡度的概念得到BE：EA=12：5，根据勾股定理计算列式即可；（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i=1：，∴BE：EA=12：5，设BE=12x，则EA=5x，由勾股定理得，BE2+EA2=AB2，即（12x）2+（5x）2=262，解得，x=2，则BE=12x=24，AE=5x=10，答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；（2）作FH⊥AD于H，则tan∠FAH=，∴AH=≈18，∴BF=18﹣10=8，答：BF至少是8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．23．如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F，交边DC于点G，交边AB于点H．联结AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）如果OF=2GO，求证：GO2=DG•GC．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EAC=∠ACF，推出△EOA≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AE=CF，OE=OF，推出四边形AFCE是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换求得结论；【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC=∠ACF，在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC，∴AE=CF，OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）∵∠EDG=∠COG=90°，∠EGD=∠CGO，∴△EGD∽△CGO，∴，∵OF=2GO，∴EG=GO，∴GO2=DG•GC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求出a、c，将解析式配成顶点式即可得到对称轴方程和顶点坐标；（2）先由C、M两点坐标求出直线CM解析式，进而求出D点坐标，由于C、N两点关于抛物线对称轴对称，则CN∥AD，同时可求出N点坐标，然后得出CN=AD，结论显然；（3）设出P点纵坐标，表示出MP的长度，过点P作PH⊥DM于H，表示出PH的长度，在直角三角形PAE 中用勾股定理列出方程，解之即得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）如图1，∵点C关于直线l的对称点为N，∴N（2，3），∵直线y=kx+b经过C、M两点，∴，∴，∴y=x+3，∵y=x+3与x轴交于点D，∴D（﹣3，0），∴AD=2=CN又∵AD∥CN，∴CDAN是平行四边形；（3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，则MP=4﹣a，又∠HMP=45°，∴HP=AP=，Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即：，解得：，∴P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、求抛物线的对称轴及顶点坐标、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的切线性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度适中．第（3）问的直线与圆相切问题往往转化为点到直线的距离与半径相等来解决．25．如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD=2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，由DG∥BC得=====，设EG=a，则EH=3a，列出方程即可解决．（2）关键两个圆内切、外切半径之间的关系，先求出PH，设BP=x，根据AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2列出方程即可解决问题．（3）如图3中过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，根据AD2﹣AG2=DF2﹣FG2程即求出t与x的关系，再利用三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，∵AH⊥BC，AB=AC∴∠DGE=∠CHG=90°，BH=CH， ∴DG∥BC， ∴ ∴ = = = = = = ，设 EG=a，则 EH=3a，= ，∴AG=2a，AE=3a=2， ∴AH=6a=4．（2）如图 2 中，∵点 P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，CP 为半径的圆与⊙A 内切， ∴AP=AD+BP，AP=PC﹣AD， ∴AD+BP=PC﹣AD， ∴PC﹣BP=2AD=4， ∴PH+HC﹣（BH﹣PH）=4， ∴PH=2， ∵AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2，设 BP=x， ∴62﹣（x+2）2=（x+2）2﹣22， ∴x=2 ﹣2， ．∴BC=2BH=2（PB+PH）=4（3）如图 3 中，过点 D 作 DG⊥AF 于 G，设 AG=t， ∵AD2﹣AG2=DF2﹣FG2， ∴22﹣t2=x2﹣（2﹣t）2， ∴t= ，∴y=S△ ABC=18•S△ ADG=18× •AG•DG=9••，∴y=（0＜x＜2）．【点评】本题考查圆的有关知识、两圆的位置关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键 是用转化的思想，把问题掌握方程解决，属于中考参考题型．。
2016年上海市普陀区中考数学二模试卷(解析版)
2016年上海市普陀区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（）A．8.0016×106B．8.0016×107C．8.0016×108D．8.0016×109 2．（4分）下列计算结果正确的是（）A．a4•a2＝a8B．（a4）2＝a6C．（ab）2＝a2b2D．（a﹣b）2＝a2﹣b23．（4分）下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（）A．折线图B．扇形图C．条形图D．频数分布直方图4．（4分）下列问题中，两个变量成正比例关系的是（）A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高B．等边三角形的面积与它的边长C．长方形的长确定，它的周长与宽D．长方形的长确定，它的面积与宽5．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝4，DF＝6，那么下列结论正确的是（）A．BC：EF＝1：1B．BC：AB＝1：2C．AD：CF＝2：3D．BE：CF＝2：3 6．（4分）如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（）A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：ma2﹣mb2＝．8．（4分）方程＝x的根是．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）如果关于x的方程x2+x+a﹣＝0有两个相等的实数根，那么a的值等于．11．（4分）函数y＝的定义域是．12．（4分）某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是米．13．（4分）一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是．14．（4分）如图，在四边形ABCD中，点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，如果，那么＝．（用表示）15．（4分）如果某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是．16．（4分）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，如果当0＜x1＜x2，可得y1＜y2，那么k．（填“＞”、“＝”、“”＜）17．（4分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EF与对角线BD交于点G，如果BE＝5，BF＝3，那么FG：EF的比值是．18．（4分）如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为．二、解答题：（本大题共7题，满分78）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2＝AD•AB，求∠APD的正弦值．22．（10分）自2004年5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这线段高速公路时的对话片断．王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．（1）求证：四边形ABFD是菱形；（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE＝AB•EF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y＝有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝14，tan A＝，点D是边AC上一点，AD＝8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC 上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF＝x，CG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．2016年上海市普陀区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（）A．8.0016×106B．8.0016×107C．8.0016×108D．8.0016×109【解答】解：80016000＝8.0016×107．故选：B．2．（4分）下列计算结果正确的是（）A．a4•a2＝a8B．（a4）2＝a6C．（ab）2＝a2b2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：A、a4•a2＝a6，故错误；B、（a4）2＝a8，故错误；C、（ab）2＝a2b2，正确；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故错误；故选：C．3．（4分）下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（）A．折线图B．扇形图C．条形图D．频数分布直方图【解答】解：可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是折线统计图，故选：A．4．（4分）下列问题中，两个变量成正比例关系的是（）A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高B．等边三角形的面积与它的边长C．长方形的长确定，它的周长与宽D．长方形的长确定，它的面积与宽【解答】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，故A错误；B、设等边三角形的边长为a，则面积S＝＝，故B错误；C、周长＝2倍的长+2倍的宽，故C错误；D、长方形的面积＝长×宽，故D正确．故选：D．5．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝4，DF＝6，那么下列结论正确的是（）A．BC：EF＝1：1B．BC：AB＝1：2C．AD：CF＝2：3D．BE：CF＝2：3【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝＝，∴＝，∴BC：AB＝1：2；故选：B．6．（4分）如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（）A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm【解答】解：已知圆内接半径r为4cm，则OB＝4cm，∴BD＝OB•sin30°＝4×＝2（cm）．则BC＝2×2＝4（cm）．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：ma2﹣mb2＝m（a+b）（a﹣b）．【解答】解：ma2﹣mb2，＝m（a2﹣b2），＝m（a+b）（a﹣b）．8．（4分）方程＝x的根是x＝2．【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为x＝2．9．（4分）不等式组的解集是﹣1＜x＜2．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x＞﹣1，则不等式组的解集是：﹣1＜x＜2．故答案是：﹣1＜x＜2．10．（4分）如果关于x的方程x2+x+a﹣＝0有两个相等的实数根，那么a的值等于2．【解答】解：∵关于的方程x2+x+a﹣＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴12﹣4（a﹣）＝0，∴a＝2．故答案为：2．11．（4分）函数y＝的定义域是x≠0．【解答】解：由题意得，4x≠0，解得x≠0．故答案为：x≠0．12．（4分）某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是2400米．【解答】解：根据题意，飞机到控制点的距离是＝2400（米）．故答案是：2400．13．（4分）一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次摸出小球的数字的和为素数的有2种情况，∴两次摸出小球的数字的和为素数的概率是：＝．故答案为：．14．（4分）如图，在四边形ABCD中，点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，如果，那么＝﹣．（用表示）【解答】解：∵点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．15．（4分）如果某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是22．【解答】解：这组数据一共有30个，中位数是第15和第16个数据平均数，由图可知，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22，故答案为：22．16．（4分）已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，如果当0＜x1＜x2，可得y1＜y2，那么k＜．（填“＞”、“＝”、“”＜）【解答】解：∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝，y2＝，∵y1＜y2，∴＜，而0＜x1＜x2，∴k＜0．故答案为＜．17．（4分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EF与对角线BD交于点G，如果BE＝5，BF＝3，那么FG：EF的比值是．【解答】解：作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴GM＝GN，∴＝，∴＝＝；故答案为：．18．（4分）如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为（，2）．【解答】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2＝BE2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴BE＝ED＝，AE＝AD﹣ED＝，∴点E坐标（，2）．故答案为（，2）．二、解答题：（本大题共7题，满分78）19．（10分）计算：．【解答】解：＝﹣9+2﹣+9﹣＝﹣9+2﹣＝﹣9+2﹣＝1﹣2．20．（10分）解方程组：．【解答】解：，由②可得：（x﹣y）（x﹣2y）＝0，即x﹣y＝0或x﹣2y＝0，可得x＝y或x＝2y，将x＝y代入①，得：2y＝5，y＝，故；将x＝2y代入①，得：3y＝5，y＝，则x＝，故；综上，或．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2＝AD•AB，求∠APD的正弦值．【解答】解：∵AP2＝AD•AB，AB＝AC，∴AP2＝AD•AC，，∵∠P AD＝∠CAP，∴△ADP∽△APC，∴∠APD＝∠ACB＝∠ABC，作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝×24＝12，∴AE＝＝5∴sin∠APD＝sin∠ABC＝，22．（10分）自2004年5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这线段高速公路时的对话片断．王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？【解答】解：设李师傅的平均速度为x千米/时，则王师傅的平均速度为（x﹣20）千米/时．根据题意，得：﹣＝0.5，解得：x1＝100，x2＝﹣80，经检验，x1＝100，x2＝﹣80都是所列方程的根，但x2＝﹣80不符合题意，舍去．则x＝100，李师傅的最大时速是：100×（1+15%）＝115千米/时＜120千米/时．答：李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法．23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD 平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．（1）求证：四边形ABFD是菱形；（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE＝AB•EF．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABFD是平行四边形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴四边形ABFD是菱形；（2）连接AF，OF，∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠CEF＝∠BAC＝90°，∵四边形ABFD是菱形，∴BD垂直平分AF，∵AB⊥AC，∴∠OAF+∠AOB＝∠ABD+∠AOB＝90°，∴∠OAF＝∠ABD，∵BD垂直平分AF，∴AO＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠FOE＝2∠F AO＝2∠ABD＝∠ABC，∴△ABC∽△EOF，∴，∴AC•OE＝AB•EF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y＝有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵将x＝4代入y＝得：y＝2，∴B（4，2）．∵点A在y轴上，且直线AC在y轴上的截距是﹣6，∴A（0，﹣6）．∵将B（4，2）、A（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝+﹣6．（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1．∴点B关于x＝﹣1的对称点C的坐标为（﹣6，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+b．∵将点A（0，﹣6）、C（﹣6，2）代入得：，解得：k＝﹣，b＝﹣6，∴直线AC的解析式为y＝﹣6．（3）①∵B（4，2）C（﹣6，2），∴BC＝10．∵A（0，﹣6）、C（﹣6，2），∴AC＝＝10．∴AC＝BC．∴当CD∥AB时，不存在点D使得四边形A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形．②如图1所示：当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，A与D1关于x＝﹣1对称，∴D1（﹣2，﹣6）．③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．∵CB∥AM，∴∠BCA＝∠CAM．在△AMC和△CBF中，，∴△AMC≌△CBF．∴CF＝AM＝6．∴AF＝4．∵梯形ABD2C是等腰梯形，∴CE＝AF＝4．∴D2B＝EF＝2．∵BD2∥AC，∴∠D2BH＝∠BCA．∵∠BCA＝∠CAM，∴∠D2BH＝∠CAM．又∵∠M＝∠D2HB，∴BHD2∽△AMC．∴．∵BD2＝2，∴BH＝，HD2＝，∴D2（，）．综上所述，点D的坐标为（﹣2，﹣6）或D2（，）．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝14，tan A＝，点D是边AC上一点，AD＝8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC 上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF＝x，CG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．【解答】解：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于E，交AC于H，如图1，点E即为所求作．在Rt△EHA中，AH＝AD＝4，tan A＝，∴EH＝AH•tan A＝4×＝3，AE＝＝5．∴圆E的半径长为5；（2）当点G的边BC上时，如图2所示．∵∠C＝90°，FG⊥EF，EH⊥AC，∴∠C＝∠EHF＝90°，∠CFG＝∠FEH＝90°﹣∠EFH，∴△GCF∽△FHE，∴＝，∴＝，∴y＝﹣x2+6x﹣（4≤x＜14）；（3）①当点G在BC上时，Ⅰ．当∠FGE＝∠CGF时，过点E作EN⊥BC于N，如图2，∵∠C＝∠GFE＝90°，∴△GCF∽△GFE，∴＝．∵△GCF∽△FHE，∴＝，∴＝，∴FC＝FH＝CH＝（14﹣4）＝5，∴x＝AF＝5+4＝9，∴y＝CG＝，∴r G＝GC＝，r E＝5．∴GN＝﹣3＝，EN＝CH＝10，∴EG＝＝，∴r G﹣r E＜GE＜r G+r E，∴⊙E与⊙G相交；Ⅱ．当∠FGE＝∠CFG时，如图3，则有GE∥AC，∵∠C＝∠AHE＝90°，∴CG∥EH，∴四边形CGEH是矩形，∴r G＝CG＝EH＝3，GE＝CH＝10，∴GE＞r E+r G，∴⊙E与⊙G外离；②当点G在BC延长线上时，设GE交AC于M，如图4，∵∠EHF＝∠GCF＝90°，∠GFC＝∠HEF＝90°﹣∠HFE，∴△EHF∽△FCG，∴＝，∴＝，∴y＝（x﹣4）（x﹣14）．∵∠FGE＝∠CFG，∠FGE+∠MEF＝90°，∠GFM+∠MFE＝90°，∴MG＝MF，∠MEF＝∠MFE，∴ME＝MF，∴MG＝ME．在△GCM和△EHM中，∴△GCM≌△EHM，∴CG＝HE＝3，CM＝MH＝5，∴r G＝3，EG＝2GM＝2，∴GE＞r G+r E，∴⊙E与⊙G外离．综上所述：当△EFG与△FCG相似时，⊙E与⊙G相交或外离．第21页（共21页）。
上海市2016年二模数学第24题汇编
2016年二模第24题汇编如图1，一条抛物线的顶点为E(－1,4)，且过点A(－3,0)，与y 轴交于点C．点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且－3＜m＜－1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、图1备用图如图1，在平面直角坐标系中，直线AB过点A(3,0)、B(0,m)（m ＞0），tan∠BAO＝2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数1ky的图像与直线AB交于第一象限内的C、xD两点（BD＜BC），当AD＝2DB时，求k的值；1（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数2ky的图像于点F，联结OE、OF，当△OEF与△xOBE相似时，请直接写出满足条件的所有k的值．（2016虹口）2图1x（2）如果点E是抛物线上的一个动点，过点E作EF平行x轴交直线AD于点F，且F在E的右边．过点E作EG⊥AD于点G，设点E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，如果以A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q 的坐标．（2016嘉定宝山）图1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1经过点A (2,－1)，它的对称轴与x 轴相交于点B ．（1）求点B 的坐标；如图1，在平面直角坐标系中，二次函数213y x bx c =++的图像与y 轴交于点A ，与双曲线8y x=有一个公共点B ，它的横坐标为4．过点B 作直线l //x 轴，与二次函数图像交于另一点C ，直线AC 的截距是－6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．（2016普陀）如图1，平面直角坐标系中，已知B(－1,0)，一次函数y＝－x（3）点M在直线x＝－1上，点N在反比例函数的图像上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．（2016徐汇）如图1，已知在直角坐标系中，抛物线y＝ax2－8ax＋3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB＝BD时，求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，当DP//AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB＝1∠ABD，求△ABG的2面积．（2016杨浦）（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥x轴于点F，DF与直线PB 相交于点E，设点D的横坐标为t（t＞3），且DE∶EF＝2∶1，求点D的坐标；（3）在第（2）题的条件下，求证：∠DPE＝∠BDE．（2016长宁金山）图1。
上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
2016年某某市静安区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．下列各数中，与8﹣2相等的是（）A．2 B．6 C．4 D．32．如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2B．1﹣a＞1﹣b C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣13．已知在函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0，那么这个函数的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个家庭与上月比较的一个月的节水情况统计：节水量（m3）家庭数（个） 1 2 2 4 1那么这10个家庭的节水量（m3）的平均数和中位数分别是（）5．如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD=2AD，那么S△DBE：S△EBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：#6．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．AB=CD B．AC=BD C．∠A=∠D D．∠A=∠B二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算：（﹣2）﹣3=______．8．如果分式的值为0，那么x的值为______．9．方程=x﹣1的根是______．10．函数的定义域是______．11．已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值X围是______．12．如果一个二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，且在对称轴右侧y随x的增大而减小，那么这个二次函数的解析式可以是______（只要写出一个符合条件的解析式）．13．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中______的成绩较稳定．14．某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是1男1女的概率是______．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交于点E，那么∠AEB的度数是______．16．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、OD的中点，如果=，=，那么=______．17．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3、2，且⊙O1上的点都在⊙O2的外部，那么圆心距d的取值X围是______．18．如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosC=，BD是中线，将△CBD沿直线BD翻折后，点C落在点E，那么AE的长为______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．先化简，再求值：÷（﹣），其中a=+1，b=﹣1．20．已知双曲线y=经过点A（a，a+4）和点B（2a，2a﹣1），求k和a的值．21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA⊥AB，cos∠ABC=，BC=5，AD=2．求：（1）AC的长；（2）∠ADB的正切值．22．某区园林部门计划在一块绿地内种植甲、乙两种树木共6600棵，其中甲种树木数量比乙种树木数量的2倍少600棵．（1）问：甲、乙两种树木各有几棵？（2）如果园林部门安排26人同时种植这两种树木，每人每天能种植甲种树木60棵或乙种树木40棵，应分别安排多少人种植甲种树木和乙种树木，才能确保同时完成各自的任务？23．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF=DE，AE 的延长线与DF相交于点G．（1）求证：∠CDF=∠DAE；（2）如果DE=CE，求证：AE=3EG．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y=x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC=∠ACB．求此抛物线的表达式．25．已知：⊙O的半径为5，点C在直径AB上，过点C作⊙O的弦DE⊥AB，过点D作直线 EB 的垂线DF，垂足为点F，设AC=x，EF=y．（1）如图，当AC=1时，求线段EB的长；（2）当点F在线段EB上时，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果EF=3BF，求线段AC的长．2016年某某市静安区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．下列各数中，与8﹣2相等的是（）A．2 B．6 C．4 D．3【考点】分数指数幂．【分析】根据分数指数幂的性质计算即可．【解答】解：8﹣2=2×2﹣2=2，故选A．2．如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2B．1﹣a＞1﹣b C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣1【考点】不等式的性质．【分析】不等式的基本性质是解不等式的主要依据，分析中注意不等式的基本性质是有条件的，要确定符合其中的条件，再运用相关性质得出结论．【解答】解：A、a＜0时，a2＜b2，故A错误；B、不等式的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故B错误；C、左边乘以1，右边乘以﹣1，故C错误；D、左边加1，右边减1，故D正确；故选：D．3．已知在函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0，那么这个函数的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的图象．【分析】根据函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0判断出函数的图象所经过的象限即可．【解答】解：∵函数y=kx+b中k＞0、b＜0，∴函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选B．4．某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个家庭与上月比较的一个月的节水情况统计：节水量（m3）家庭数（个） 1 2 2 4 1那么这10个家庭的节水量（m3）的平均数和中位数分别是（）【考点】中位数；加权平均数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【解答】×1+×2+×2+×4+0.6）÷10=0.42；+0.5）÷2=0.45；故选C．5．如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD=2AD，那么S△DBE：S△EBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：#【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据BD=2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解．【解答】解：∵BD=2AD，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴DE：BC=1：3．∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，∴S△DBE：S△EBC h===，故选B．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．AB=CD B．AC=BD C．∠A=∠D D．∠A=∠B【考点】矩形的判定．【分析】先根据已知推出四边形ABCD是平行四边形，再求出一个角是直角，根据矩形的判定得出即可．【解答】解：条件为∠A=∠B，理由是：∵∠B=∠C，∠A=∠B，∴∠A=∠C，∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥DC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥DC，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=∠C，∴∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，即选项D能推出四边形ABCD是矩形，选项A、B、C都不能推出四边形ABCD是矩形，所以选项D正确，选项A、B、C都错误；故选D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算：（﹣2）﹣3= ﹣．【考点】负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：原式==﹣．故答案为：﹣．8．如果分式的值为0，那么x的值为 2 ．【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4=0，且x+2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣4=0，且x+2≠0，解得：x=2，9．方程=x﹣1的根是x=3 ．【考点】无理方程．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+1=（x﹣1）2，解此一元二次方程得到x1=3，x2=0，把它们分别代入原方程得到x2=0是原方程的增根，由此得到原方程的根为x=3．【解答】解：方程两边平方得，x+1=（x﹣1）2，解方程x2﹣3x=0得x1=3，x2=0，经检验x2=0是原方程的增根，所以原方程的根为x=3．故答案为x=3．10．函数的定义域是x≥．【考点】函数自变量的取值X围．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0即可求解．【解答】解：根据题意得：3x﹣2≥0，解得：x≥．故答案是：x≥．11．已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值X围是m＜10 ．【考点】根的判别式．【分析】关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的X围．【解答】解：∵a=1，b=﹣6，c=m﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）=40﹣4m＞0，解得：m＜10．12．如果一个二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，且在对称轴右侧y随x的增大而减小，那么这个二次函数的解析式可以是y=﹣x2+2x （只要写出一个符合条件的解析式）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则a＜0；根据二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，﹣＞0，则b＞0，即可得到解析式．【解答】解：根据题意，二次函数的解析式是y=﹣x2+2x，故答案为y=﹣x2+2x．13．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中甲的成绩较稳定．【考点】方差．【分析】利用方差的公式求得乙的方差，与甲的方差比较，方差较小的成绩稳定．【解答】解：乙的平均成绩为（7+8+10+6+9）÷5=8，方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2]=2，∵甲的方差为1.6，∴甲的方差较小，∴成绩较稳定的是甲，故答案为：甲．14．某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是1男1女的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生恰好是1男1女的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，选出的2名学生恰好是1男1女的有12种情况，∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率是：=．故答案为：．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交于点E，那么∠AEB的度数是135°．【考点】三角形内角和定理．【分析】由条件可求得∠A+∠B=90°，由角平分线的定义可求得∠EAB+∠EBA=45°，在△ABE 中由三角形内角和定理可求得∠AEB的度数．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A、∠B的平分线相交于点E，∴∠EAB+∠EBA=（∠A+∠B）=×90°=45°，∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA）=180°﹣45°=135°，故答案为：135°．16．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、OD的中点，如果=，=，那么=+．【考点】*平面向量．【分析】根据平行四边形法则表示出，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．【解答】解：由向量的平行四边形法则得，+=2，所以，=2﹣，∵=，∴=﹣，∴=2+，∵点E、F分别是OA、OD的中点，∴EF∥AD且EF=AD，∴EF∥BC且EF=BC，∴=，∴=+．故答案为：+．17．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3、2，且⊙O1上的点都在⊙O2的外部，那么圆心距d的取值X围是d＞5或0≤d＜1 ．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】据两圆的位置关系有相交、相切、相离，可得两圆的位置关系是相离，即外离或内含；再根据位置关系来判断其数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：∵⊙O1上的点都在⊙O2的外部，∴它们的位置关系是外离或内含，∴它们的圆心距d的取值X围是d＞5或0≤d＜1，故答案为：d＞5或0≤d＜1．18．如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosC=，BD是中线，将△CBD沿直线BD翻折后，点C 落在点E，那么AE的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH是矩形，先证明△ADM≌△CDB，在RT△BMN中利用勾股定理求出BM，再证明四边形BCDE是菱形，AE=2OD，即可解决问题．【解答】解：如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH 是矩形．∵AB=AC=4，cosC=，∴CH=1，AH=NB=，BC=2，∵AM∥BC，∴∠M=∠DBC，在△ADM和△CDB中，，∴△ADM≌△CDB，∴AM=BC=2，DM=BD，在RT△BMN中，∵BN=，MN=3，∴BM==2，∴BD=DM=，∵BC=CD=BE=DE=2，∴四边形EBCD是菱形，∴EC⊥BD，BO=OD=，EO=OC，∵AD=DC，∴AE∥OD，AE=2OD=．故答案为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．先化简，再求值：÷（﹣），其中a=+1，b=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=，当a=+1，b=﹣1时，原式===．20．已知双曲线y=经过点A（a，a+4）和点B（2a，2a﹣1），求k和a的值．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k=a（a+4）=2a（2a﹣1），解方程即可求得．【解答】解：根据题意得k=a（a+4）=2a（2a﹣1），解得a=2，k=12．21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA⊥AB，cos∠ABC=，BC=5，AD=2．求：（1）AC的长；（2）∠ADB的正切值．【考点】梯形；解直角三角形．【分析】（1）由三角函数求出AB，再由勾股定理求出AC即可；（2）作AH⊥BC于H，交BD于E，得出∠HAC=∠ABC，由三角函数求出AH=AC=2，由勾股定理求出CH，得出BH，由平行线得证出△ADE∽△HBE，得出比例式求出AE，即可求出∠ADB 的正切值．【解答】解：（1）∵CA⊥AB，cos∠ABC==，BC=5，∴AB=，∴AC===2；（2）作AH⊥BC于H，交BD于E，如图所示：∵CA⊥AB，∴∠HAC=∠ABC，∴cos∠HAC==cos∠ABC=，∴AH=AC=2，∴CH==，=4，∴BH=BC﹣CH=5﹣4=1，∵AD∥BC，∴△ADE∽△HBE，∴=2，∴AE=AH=，∴tan∠ADB==．22．某区园林部门计划在一块绿地内种植甲、乙两种树木共6600棵，其中甲种树木数量比乙种树木数量的2倍少600棵．（1）问：甲、乙两种树木各有几棵？（2）如果园林部门安排26人同时种植这两种树木，每人每天能种植甲种树木60棵或乙种树木40棵，应分别安排多少人种植甲种树木和乙种树木，才能确保同时完成各自的任务？【考点】分式方程的应用．【分析】（1）根据题意可得等量关系：①甲、乙两种树木共6600棵；②A甲种树木数量比乙种树木数量的2倍少600棵．根据等量关系列出方程，再解即可；（2）首先设应安排x人种植甲种树木，则安排（26﹣x）人种植乙种树木，由题意可等量关系：种植甲种树木所用时间=乙种树木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）设甲种树木的数量为a棵，乙种树木的数量为b棵，由题意得：，解得：，答：甲种树木的数量为4200棵，乙种树木的数量为2400棵；（2）设种植甲是x人，则种植乙的（26﹣x）人=，解得：x=14，经检验：是原方程的解，∴安排种植甲种树木的14人，乙种树木的12人，才能确保同时完成各自的任务．23．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF=DE，AE 的延长线与DF相交于点G．（1）求证：∠CDF=∠DAE；（2）如果DE=CE，求证：AE=3EG．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到AD=CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠DCF，推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得到∠CDF=∠DAE；（2）过E作EH∥BF交DF于H，根据三角形中位线的性质得到EH=CF，推出DE=CF=CD=AD，求得EH=AD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，AD∥BC，∴∠ADE=∠DCF，在△ADE与△DCF中，，∴△ADE≌△DCF，∴∠CDF=∠DAE；（2）过E作EH∥BF交DF于H，∵DE=CE，∴EH=CF，∵△ADE≌△DCF，∴DE=CF=CD=AD，∴EH=AD，∵EH∥AD，∴△GHE∽△GDA，∴，∴AE=3EG．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y=x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC=∠ACB．求此抛物线的表达式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由点A（2，﹣1）在抛物线y=ax2+bx﹣1，代入即可；（2）由于点C是直线y=x+1和抛物线对称轴x=1的交点，确定出点C的坐标，再根据△BCD ∽△ABC得到BC2=CD×AB，CD的长，从而求出点D坐标，即可．【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在抛物线y=ax2+bx﹣1上，∴4a+2b﹣1=﹣1，∴﹣=1，∴对称轴为x=1，∴B（1，0）．（2）∵直线y=x+1与此抛物线的对称轴x=1交于点C，∴C（1，2），∴BC=2，∵∠DEB=45°，∠xBA=45°，∴∠BCD=∠CBA=135°，∵∠BDC=∠ACB，∴△BCD∽△ABC，∴BC2=CD×AB，∴CD=2，设点D（m，m+1），∵C（1，2），∴（m﹣1）2+（m+1﹣2）2=（2）2，∴m=3或m=﹣1（舍），∴D（3，4），∵点D在抛物线y=ax2+bx﹣1上，∴9a+3b﹣1=4，∵4a+2b﹣1=﹣1，∴a=，b=﹣，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1．25．已知：⊙O的半径为5，点C在直径AB上，过点C作⊙O的弦DE⊥AB，过点D作直线 EB 的垂线DF，垂足为点F，设AC=x，EF=y．（1）如图，当AC=1时，求线段EB的长；（2）当点F在线段EB上时，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果EF=3BF，求线段AC的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接AE，易证△EBC∽△ABE，所以BE2=BC•AB，把BC和AB的长度代入即可求出BE的长度；（2）利用△EBC∽△ABE与△ACE∽△ECB，可求出BE与CE的长度，然后再证明△DEF∽△BEC，利用对应边的比相等即可得出y与x的函数解析式；（3）若EF=3BF，需要分情况讨论，①当点F在线段EB上；②当点F在EB的延长线上．【解答】解：（1）连接AE，由题意知：AB=10，∴BC=AB﹣AC=9，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB=90°，∵DE⊥AB，∴∠ECB=90°，∵∠CBE=∠ABE，∴△EBC∽△ABE，∴=，∴BE2=BC•AB，∴BE=3；（2）当点F在线段EB上时，由题意知：AC=x，∴BC=10﹣x，∵DE⊥AB，∴=，∴∠AEC=∠ABE，∴△ACE∽△ECB，∴，∴CE2=AC•BC，∴CE=，由垂径定理可知：DE=2CE=2，由（1）可知：BE2=BC•AB，∴BE=，∵DF⊥EB，∴∠DFE=∠EC B=90°，又∵∠DEB=∠DEB，∴△DEF∽△BEC，∴，∴，∴y=（0＜x≤5）；（3）如图 1，当点F在线段BE上时，∵EF=3BF，∴4EF=3BE，由（2）可知，4y=3，∴x=，∴AC=，当点F在EB的延长线上时，连接OE，∴OC=x﹣5，BC=10﹣x，∴由勾股定理可知：OE2﹣OC2=BE2﹣BC2，∴BE=，∵EF=3BF，∴，∴BE=y，∴y=，由垂径定理可知：DE=2CE，∵∠DFE=∠ECB=90°，∠DEB=∠DEB，∴△EBC∽△EDF，∴=，∴y2=2（﹣x2+10x），化简得：4x2﹣70x+300=0，∴解得：x=10（不符合题意，舍去）或x=，∴AC=综上所述，当EF=3BF，AC的长为或．。
2016上海初三二模第24题汇编解析
(1,0)，与y轴相交于点C(0,3)，抛物线的顶点为P．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥x轴于点F，DF与直线PB相交于点E，设点D的横坐标为t（t＞3），且DE∶EF＝2∶1，求点D的坐标；（3）在第（2）题的条件下，求证：∠DPE＝∠BDE．如图1，一条抛物线的顶点为E(－1,4)，且过点A(－3,0)，与y轴交于点C．点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且－3＜m＜－1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．答案解析加微信或QQ:512934082（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH＝HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．图1 备用图轴交于点B ，点P 为OB 上一点，过点B 作射线AP 的垂线，垂足为点D ，射线BD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的解析式；（2）联结BC ，当点P 的坐标为2(0,)3时，求△EBC 的面积； （3）当点D 落在抛物线的对称轴上时，求点P 的坐标．图1 备用图如图，在平面直角坐标系中，直线AB 过点A (3,0)、B (0,m )（m ＞0），tan ∠BAO ＝2． （1）求直线AB 的表达式； （2）反比例函数1k y x=的图像与直线AB 交于第一象限内的C 、D 两点（BD ＜BC ），当AD ＝2DB 时，求k 1的值；（3）设线段AB 的中点为E ，过点E 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交反比例函数2k y x=的图像于点F ，联结OE 、OF ，当△OEF 与△OBE 相似时，请直接写出满足条件的所有k 2的值．点C(0, 2)．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠CAO＝∠BCO；（3）若点P是抛物线上的一点，且∠PCB＋∠ACB＝∠BCO，求直线CP的表达式．如图1，在平面直角坐标系中，经过点A(－1,0)的抛物线y＝－x2＋bx＋3与y轴交于点C，点B 与点A，点D与点C分别关于抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上的一个动点，过点E作EF平行x轴交直线AD于点F，且F在E的右边．过点E作EG⊥AD于点G，设点E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，如果以A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－1经过点A(2,－1)，它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y＝x＋1与此抛物线的对称轴交于点C，与此抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式．如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y 轴交于点C(0, 3)，抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y＝kx＋b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．如图，在平面直角坐标系中，二次函数213y x bx c =++的图像与y 轴交于点A ，与双曲线8y x=有一个公共点B ，它的横坐标为4．过点B 作直线l //x轴，与二次函数图像交于另一点C ，直线AC 的截距是－6．（1）求二次函数的解析式； （2）求直线AC 的表达式；（3）平面内是否存在点D ，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．如图1，平面直角坐标系中，已知B (－1, 0)，一次函数y ＝－x ＋5的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过A 、B 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积；（3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标．如图1，直线y＝mx＋4与反比例函数kyx（k＞0）的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO＝2，AC∶CD＝1∶2．（1）求反比例函数的解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x＝－1上，点N在反比例函数的图像上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．如图1，已知在直角坐标系中，抛物线y＝ax2－8ax＋3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB＝BD时，求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，当DP//AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB＝12∠ABD，求△ABG的面积．图1 备用图如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM＝6，ON＝3，反比例函数6yx的图像与PN交于点C，与PM交于点D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB//CD；（2）在直角坐标平面内是否存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．。
上海市2016年二模数学第24题汇编
2016年二模第24题汇编如图1，一条抛物线的顶点为E(－1,4)，且过点A(－3,0)，与y轴交于点C．点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且－3＜m＜－1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK 分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH＝HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．（2016崇明）图1 备用图如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、C(3, 0)两点，与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD 交x轴于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）联结BC，当点P的坐标为2(0,)3时，求△EBC的面积；（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．（2016奉贤）图1 备用图如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 过点A (3,0)、B (0,m )（m ＞0），tan ∠BAO ＝2． （1）求直线AB 的表达式； （2）反比例函数1k y x=的图像与直线AB 交于第一象限内的C 、D 两点（BD ＜BC ），当AD ＝2DB 时，求k 1的值；（3）设线段AB 的中点为E ，过点E 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交反比例函数2k y x=的图像于点F ，联结OE 、OF ，当△OEF 与△OBE 相似时，请直接写出满足条件的所有k 2的值．（2016虹口）图1如图1，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(1, 0)、B(4, 0)两点，与y 轴交于点C(0, 2)．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠CAO＝∠BCO；（3）若点P是抛物线上的一点，且∠PCB＋∠ACB＝∠BCO，求直线CP的表达式．（2016黄浦）图1如图1，在平面直角坐标系中，经过点A(－1,0)的抛物线y＝－x2＋bx＋3与y轴交于点C，点B与点A，点D与点C分别关于抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上的一个动点，过点E作EF平行x轴交直线AD于点F，且F 在E的右边．过点E作EG⊥AD于点G，设点E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m 表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，如果以A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．（2016嘉定宝山）图1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－1经过点A(2,－1)，它的对称轴与x 轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y＝x＋1与此抛物线的对称轴交于点C，与此抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式．（2016静安青浦）如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C(0, 3)，抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y＝kx＋b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．（2016闵行）图1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数213y x bx c =++的图像与y 轴交于点A ，与双曲线8y x=有一个公共点B ，它的横坐标为4．过点B 作直线l //x 轴，与二次函数图像交于另一点C ，直线AC 的截距是－6．（1）求二次函数的解析式； （2）求直线AC 的表达式；（3）平面内是否存在点D ，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由． （2016普陀）如图1，平面直角坐标系中，已知B(－1, 0)，一次函数y＝－x＋5的图像与x轴、y轴分别交于A、C两点．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过A、B两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图像的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．（2016松江）图1如图1，直线y＝mx＋4与反比例函数kyx（k＞0）的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO＝2，AC∶CD＝1∶2．（1）求反比例函数的解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x＝－1上，点N在反比例函数的图像上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．（2016徐汇）如图1，已知在直角坐标系中，抛物线y＝ax2－8ax＋3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB＝BD时，求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，当DP//AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB＝12∠ABD，求△ABG的面积．（2016杨浦）图1 备用图如图1，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM＝6，ON＝3，反比例函数6yx的图像与PN交于点C，与PM交于点D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB//CD；（2）在直角坐标平面内是否存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．（2016闸北）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，已知点A 的坐标为(1,0)，与y轴相交于点C(0,3)，抛物线的顶点为P．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥x轴于点F，DF与直线PB相交于点E，设点D的横坐标为t（t＞3），且DE∶EF＝2∶1，求点D的坐标；（3）在第（2）题的条件下，求证：∠DPE＝∠BDE．（2016长宁金山）图1。
黄浦区2016中考数学二模试卷及解析
黄浦区2016年九年级学业考试模拟考（二模）数学试卷（时间100分钟，满分150分）2016.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．32．下列计算中，正确的是（）A．（a2）3=a5B．a3÷a2=1 C．a2+a2=a4D．4a﹣3a=a3．下列根式中，与互为同类二次根式的是（）A．B．C．D．4．某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如下表所示：该投篮进球数据的中位数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．如果两圆的半径长分别为1和3，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．外切 D．相交6．如图，点A是反比例函数y=图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为点B，AC垂直于y轴，垂足为点C，若矩形ABOC的面积为5，则k的值为（）A．5 B．2.5 C．D．10二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：|﹣2|=．8．已知f（x）=，那么f（1）=．9．计算：（2a+b）（2a﹣b）=．10．方程=x+1的根是．11．从1至9这9个自然数中任取一个数，是素数的概率是．12．如果关于x的方程x2+4x+k=0有一个解是x=﹣1，那么k=．13．在某公益活动中，小明对本年级同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所示的不完整的统计图，其中捐10元的人数占年级总人数的25%，则本次捐款20元的人数为人．14．如果抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，那么m=．15．中心角为60°的正多边形有条对称轴．16．已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且，过，，则=．（结果用表示）17．在平行四边形ABCD中，BC=24，AB=18，∠ABC和∠BCD的平分线交AD于点E、F，则EF=．18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE=．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）化简求值：，其中x=．20．（本题满分10分）解方程式：．21．（本题满分10分，第（1）满分6分，（2）小题满分4分）已知一次函数的图象经过点P（3，5），且平行于直线y=2x．（1）求该一次函数的解析式；（2）若点Q（x，y）在该直线上，且在x轴的下方，求x的取值范围．22．（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P是AB所在直线上一点，OP=10，点C是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC=，求CD的长．23．（本题满分12分，第（1），（2）小题满分各6分）如图，在△ABC上，点D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且CD=CE，∠1=∠2．（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；（2）若EC=2，BE=1，∠AOD=2∠1，求AB的长．24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠CAO=∠BCO；（3）若点P是抛物线上的一点，且∠PCB+∠ACB=∠BCO，求直线CP的表达式．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）满分6分，（3）小题满分4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．2016年上海市黄浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】估算无理数的大小．【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分．【解答】解：∵1＜2＜4，∴1＜2，∴的整数部分为1，故选B．【点评】本题主要考查了无理数的估算，利用“夹逼法”确定该无理数在那两个数之间是解题关键．2．下列计算中，正确的是（）A．（a2）3=a5B．a3÷a2=1 C．a2+a2=a4D．4a﹣3a=a【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C错误；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．3．下列根式中，与互为同类二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】先把化成最简二次根式，再进行选择即可．【解答】解：=2，故选C．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．4．某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如下表所示：该投篮进球数据的中位数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】中位数．【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：∵50名同学参加投篮，∴中位数为第25和第26的平均数，为3次、3次，∴中位数为3次，故选B．【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．5．如果两圆的半径长分别为1和3，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．外切 D．相交【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由两圆的半径长分别为1和3，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵两圆的半径长分别为1和3，∴两圆的半径和为4，差为2，∵圆心距为3，∴这两个圆的位置关系是：相交．故选D．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．6．如图，点A是反比例函数y=图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为点B，AC垂直于y轴，垂足为点C，若矩形ABOC的面积为5，则k的值为（）A．5 B．2.5 C．D．10【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】设点A的坐标为（x，y），用x、y表示OB、AB的长，根据矩形ABOC的面积为5，列出算式求出k的值．【解答】解：设点A的坐标为（x，y），则OB=x，AB=y，∵矩形ABOC的面积为5，∴k=xy=5，故选：A．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．二、填空题7．计算：|﹣2|=2．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵﹣2＜0，∴|﹣2|=2．故答案为：2．【点评】解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．8．已知f（x）=，那么f（1）=1．【考点】函数值．【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：当x=1时，f（1）==1，故答案为：1．【点评】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．9．计算：（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2．【考点】平方差公式．【分析】根据平方差公式，即可解答．【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，故答案为：4a2﹣b2．【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．10．方程=x+1的根是x=2．【考点】无理方程．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=4，求出x的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解．【解答】解：方程两边平方得，2x+5=x2+2x+1，移项合并同类项得：x2，=4，解方程x1=2，x2=﹣2，经检验x2=﹣2不是原方程的解，则原方程的根为x=2；故答案为：x=2．【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．11．从1至9这9个自然数中任取一个数，是素数的概率是．【考点】概率公式．【分析】根据概率的求法，求出1至9这9个自然数中素数的个数，再根据概率公式列式计算即可．【解答】解：∵1至9这9个自然数中素数是2、3、5、7，∴1至9这9个自然数中任取一个数，是素数的概率是；故答案为：．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12．如果关于x的方程x2+4x+k=0有一个解是x=﹣1，那么k=3．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解该方程来求k的值即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+4x+k=0，得（﹣1）2+4×（﹣1）+k=0，解得k=3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13．在某公益活动中，小明对本年级同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所示的不完整的统计图，其中捐10元的人数占年级总人数的25%，则本次捐款20元的人数为35人．【考点】条形统计图．【分析】根据捐款10元的人数占总人数25%可得捐款总人数，将总人数减去其余各组人数可得答案．【解答】解：根据题意可知，本年级捐款捐款的同学一共有20÷25%=80（人），则本次捐款20元的有：80﹣（20+10+15）=35（人），故答案为：35．【点评】本题主要考查条形统计图，熟悉计算公式是基础和解决本题根本，从条形图中读取有用信息是关键．14．如果抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，那么m=﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用二次函数的性质得出m+1的值，进而得出答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，∴m+1=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．15．中心角为60°的正多边形有6条对称轴．【考点】正多边形和圆；轴对称图形．【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得多边形的边数，然后根据正n边形有n条对称轴即可求解．【解答】解：正多边形的边数是=6．则正多边形有6条对称轴．故答案是：6．【点评】本题考查了多边形的计算以及正多边形的性质，理解正n边形有n条对称轴是关键．16．已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且，过，，则=﹣．（结果用表示）【考点】*平面向量．【分析】由，，利用三角形法则可求得，然后由DE∥BC，易证得△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵，，∴=﹣=﹣，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵，∴=，∴=（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．17．在平行四边形ABCD中，BC=24，AB=18，∠ABC和∠BCD的平分线交AD于点E、F，则EF= 12．【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF，进而得出EF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，同理DF=CD，∴AE=DF，即AE﹣EF=DF﹣EF，∴AF=DE，∵AB=18，BC=24，∴DE=AD﹣AE=24﹣18=6，EF=DF﹣DE=18﹣6=12；故答案为：12．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=AE是解决问题的关键．18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE= 4：3．【考点】旋转的性质；三角形的重心．【专题】计算题；平移、旋转与对称．【分析】先证明DA ′=CB ′，由DA ′∥CB ′，得==即可解决问题．【解答】证明：∵∠BAC=90°，A ′是△ABC 重心，∴BD=DC=AD ，DA ′=AA ′=AD=BC ，∵△A ′CB ′S 是由△ABC 旋转得到，∴CA ′=CA ，BC=CB ′，∠ACB=∠A ′CB ′=∠DAC ，∠CA ′B ′=90°，∴∠CAA ′=∠CA ′A=∠DAC ，∠DA ′B ′+′CA ′A=90°，∠B ′+∠A ′CB ′=90°，∴∠DA ′B ′=∠B ′∴DA ′∥CB ′，∴==，设DE=k ，则EC=6k ，BE=DC=7k ，BE=8k ， ∴BE ：CE=8k ：6k=4：3．故答案为4：3．【点评】本题考查三角形重心、旋转平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是发现DA ′=CB ′，记住三角形的重心把中线分成1：2两部分，属于中考常考题型．三、解答题19．化简求值：，其中x=．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•﹣=﹣=，当x=﹣1时，原式==+2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．解方程式：． 【考点】高次方程．【分析】将方程②左边因式分解后可得x=﹣y 或x=5y ，分别将x=﹣y 、x=5y 代入方程①，求每个方程组的解可得．【解答】解：由②可得，（x+y ）（x ﹣5y ）=0，即x+y=0或x ﹣5y=0，∴x=﹣y 或x=5y ，当x=﹣y 时，把x=﹣y 代入①，得：2y 2=26，解得：y=±，故方程组的解为：或； 当x=5y 时，把x=5y 代入①，得：25y 2+y 2=26，解得：y=±1，故方程组的解为：或，；综上，该方程组的解为：或或或．【点评】本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次数较高可通过因式分解再代入等方法降幂求解即可．21．已知一次函数的图象经过点P （3，5），且平行于直线y=2x ．（1）求该一次函数的解析式；（2）若点Q （x ，y ）在该直线上，且在x 轴的下方，求x 的取值范围．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）根据两直线平行可知该一次函数斜率k=2，设出解析式，将点P 坐标代入可得； （2）根据直线上的点Q 在x 轴下方可得y ＜0，解不等式可得x 的范围．【解答】解：（1）∵一次函数的图象平行于直线y=2x ，可设该一次函数解析式为y=2x+b ， ∴将点P （3，5）代入得：6+b=5，解得：b=﹣1，故一次函数解析式为：y=2x﹣1；（2）∵点Q（x，y）在x轴下方，∴y=2x﹣1＜0，解得：x＜．【点评】本题主要考查一次函数解析式及图象上的点的坐标，待定系数法求出解析式是前提，根据点的位置确定函数值小于0．22．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P是AB所在直线上一点，OP=10，点C是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC=，求CD的长．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．【分析】过O作OE⊥CD于E，由垂径定理得到CD=2CE，解直角三角形得到OE=OP×sin∠BPC=6，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过O作OE⊥CD于E，∴CD=2CE，∵AB是⊙O的直径，AB=16，∴OC=8，∵sin∠BPC=，OP=10，∴OE=OP×sin∠BPC=6，∴CE==2，∴CD=2CE=4．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．23．如图，在△ABC上，点D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且CD=CE，∠1=∠2．（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；（2）若EC=2，BE=1，∠AOD=2∠1，求AB的长．【考点】等腰梯形的判定．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CDE=∠CED，由三角形的外角性质和已知条件得出∠AED=∠BDE，证出OD=OE，由AAS证明△AOD≌△BOE，得出AD=BE，OA=OB，由等腰三角形的性质得出∠OAB=∠OBA，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，证出DE∥AB，即可得出结论；（2）由三角形的外角性质和已知条件得出∠1=∠OED，证出AD=ED=BE=1，由平行线的性质得出△CDE∽△CAB，得出对应边成比例，即可得出AB的长．【解答】（1）证明：∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∵∠CDE=∠2+∠AED，∠CED=∠1+∠BDE，∠1=∠2，∴∠AED=∠BDE，∴OD=OE，在△AOD和△BOE中，，∴△AOD≌△BOE（AAS），∴AD=BE，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠AOD=∠BOE，∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是等腰梯形；（2）解：∵∠AOD=2∠1=∠ODE+∠OED，∠OED=∠ODE，∴∠1=∠OED，∴AD=ED=BE=1，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，即，解得：AB=．【点评】本题考查了等腰梯形的判定、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰梯形的判定，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠CAO=∠BCO；（3）若点P是抛物线上的一点，且∠PCB+∠ACB=∠BCO，求直线CP的表达式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线的解析式为为y=a（x﹣1）（x﹣4），将点C的坐标代可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）先证明，从而可证明△AOC∽△COB，由相似三角形的性质可证得∠CAO=∠BCO；（3）先证明∠PCB=∠CBO，如图2所示可得到CD=BD，然后由勾股定理可求得OD的长，从而得到点D的坐标，由点C和点D的坐标可求得PC的解析式，如图3所示当∠PCB=∠CBO时，PC∥OB，从而可得到PC的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）．∵将C（0，2）代入得：4a=2，解得a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2x+2．（2）如图1所示：连接AC．∵由题意可知；OA=1，OC=2，OB=4，∴．又∵∠COA=∠BOC，∴△AOC∽△COB．∴∠CAO=∠BCO．（3）①如图2所示：∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，∴∠PCB=∠ACO．∵△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO．∴∠PCB=∠CBO．∴CD=BD．设OD=x，则DBCD=4﹣x．在Rt△DCO中，由勾股定理得：OD2+CO2=DC2，即x2+22=（4﹣x）2．解得：x=1.5．∴点D的坐标为（1.5，0）．设直线CP的解析式为y=kx+b．∵将（0，2），D（1.5，0）代入得：，解得：，∴直线CP的解析式为y=﹣x+2．如图3所示：∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，∴∠PCB=∠ACO．∵△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO．∴∠PCB=∠CBO．∴CP∥OB．∴CP的解析式为y=2．综上所述，直线CP的解析式为y=﹣x+2或y=2．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，证得DC=DB，然后依据勾股定理求得OD的长是解题的关键．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；正方形的判定与性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．【专题】综合题．【分析】（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，易证EH是△DBC的中位线及△AHE∽△EHD，设AH=x，运用相似三角形的性质可求出x，就可求出tan∠AFB的值；（2）取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，易证四点A、C、B、E共圆，根据圆周角定理可得∠BCE=∠BAF，根据圆内接四边形内角互补可得∠CBE+∠CAE=180°，由此可推出∠CBE=∠BFA，从而可得△BCE∽△FAB，即可得到CE•FA=BC•AB，只需求出AB就可解决问题；（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，易证四边形EMCH是矩形，由△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似可得△BGE与△BCE相似，即可得到∠EBG=∠ECB．由点A、C、B、E共圆可得∠ECA=∠EBG，即可得到∠ECB=∠ECA，根据角平分线的性质可得EM=EH，即可得到矩形EMCH是正方形，则有CM=CH，易证EB=EA，根据HL可得Rt△BME∽Rt△AHE，则有BM=AH．设AH=x，根据CM=CH可求出x，由此可求出CE的长，再利用（2）中的结果就可求出AF的值．【解答】解：（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，则有∠EHA=∠EHD=90°．∵∠BCD=90°，BE=DE，∴CE=DE．∴CH=DH，∴EH=BC=．设AH=x，则DH=CH=x+1．∵AE⊥BD，∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90°．∵∠AEH+∠EAH=90°，∴∠EAH=∠DEH，∴△AHE∽△EHD，∴=，∴EH2=AH•DH，∴（）2=x（x+1），解得x=（舍负），∴tan∠EAH===．∵BF∥CD，∴∠AFB=∠EAH，∴tan∠AFB=；（2）CE•AF的值不变．取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，∵∠BCA=∠BEA=90°，∴OC=OA=OB=OE，∴点A、C、B、E共圆，∴∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°．∵BF∥CD，∴∠BFA+∠CAE=180°，∴∠CBE=∠BFA，∴△BCE∽△FAB，∴=，∴CE•FA=BC•AB．∵∠BCA=90°，BC=7，AC=1，∴AB=5，∴CE•FA=7×5=35；（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90°，∴四边形EMCH是矩形．∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，∴△BGE与△BCE相似，∴∠EBG=∠ECB．∵点A、C、B、E共圆，∴∠ECA=∠EBG，∴∠ECB=∠ECA，∴EM=EH，∴矩形EMCH是正方形，∴CM=CH．∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45°，∴∠EBA=∠EAB=45°，∴EB=EA，∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），∴BM=AH．设AH=x，则BM=x，CM=7﹣x，CH=1+x，∴7﹣x=1+x，∴x=3，∴CH=4．在Rt△CHE中，cos∠ECH===，∴CE=4．由（2）可得CE•FA=35，∴AF==．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、正方形的判定与性质等知识，综合性强，有一定的难度，证到△BCE∽△FAB 是解决第（2）小题的关键，证出Rt△BME≌Rt△AHE是解决第（3）小题的关键．。
上海中考数学第24题分析(中)
上海中考数学第24题分析（中）——二次函数中的三角形存在问题一、我们先复习下各类特殊三角形的性质1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二、两圆一线VS两线一圆1、“两圆一线”模型如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为等腰三角形；这样的点C的集合如下图所示，在以点A，B分别为圆心且AB为半径的圆和AB的垂直平分线上，除了与AB在同一直线上的点外的所有点，简称“两圆一线”。
2、“两线一圆”模型如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形；这样的点C的集合如下图所示，分别过点A，B作线段AB的垂线，并以AB为直径画圆，除点A，B以外的点都可以与点A，B构成直角三角形，这个模型简称“两线一圆”。
三、关于等腰三角形找点（作点）和求点的方法1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图上找出存在点的个数，只找不求。
2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分顶点进行讨论，例1：已知两点A、B，在二次函数图像上求一点C，使得△ABC 为等腰三角形解法——这是求点法：第一步：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB、BC、AC的长度；第二步：作假设，（1）以点A为顶点的两条腰相等，即AB=AC；（2）以点B为顶点的两条腰相等，即BA=BC；（3）以点C为顶点的两条腰相等，即CA=CB；第三步：根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步：进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。
2016年上海市徐汇区中考数学二模试卷及答案解析
2016年上海市徐汇区中考数学⼆模试卷及答案解析2016年上海市徐汇区中考数学⼆模试卷及答案解析⼀.选择题1．不等式组的解集是（）A．x＜2 B．2＜x≤3 C．x≥3 D．空集2．实数n、m是连续整数，如果，那么m+n的值是（）A．7 B．9 C．11 D．133．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的⼤⼩是（）A．24°B．30°C．32°D．36°4．已知两组数据，2、3、4和3、4、5，那么下列说法正确的是（）A．中位数不相等，⽅差不相等 B．平均数相等，⽅差不相等C．中位数不相等，平均数相等 D．平均数不相等，⽅差相等5．从1、2、3、4四个整数中任取两个数作为⼀个点的坐标，那么这个点恰好在抛物线y=x2上的概率是（）A．B．C．D．6．下列命题中假命题是（）A．两边及第三边上的⾼对应相等的两个三⾓形全等B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三⾓形全等C．两边及其中⼀边上的⾼对应相等的两个三⾓形全等D．两边及其中⼀边上的中线对应相等的两个三⾓形全等⼆.填空题7．计算：4a3b2÷2ab=．8．计算：2m（m﹣3）=．9．⽅程﹣3=0的解是．10．如果将抛物线y=（x﹣2）2+1向左平移1个单位后经过点A（1，m），那么m的值是．11．点E是△ABC的重⼼，，，那么=（⽤、表⽰）12．建筑公司修建⼀条400⽶长的道路，开⼯后每天⽐原计划多修10⽶，结果提前2天完成了任务．如果设建筑公司实际每天修x⽶，那么可得⽅程是．13．为了了解某区5500名初三学⽣的体重情况，随机抽测了400名学⽣的体重，统计结果列表如下：那么样本中体重在50﹣55范围内的频率是．14．如图，在平⾏四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加⼀个条件，可得平⾏四边形ABCD是矩形．15．梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，点E是边BC上的点，如果AE将梯形ABCD的⾯积平分，那么BE的长是．16．如果直线y=kx+b（k＞0）是由正⽐例函数y=kx的图象向左平移1个单位得到，那么不等式kx+b ＞0的解集是．17．⼀次越野跑中，当⼩明跑了1600⽶时，⼩刚跑了1400⽶，⼩明、⼩刚所跑的路程y（⽶）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为⽶．18．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC沿直线CD 翻折，点B′是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果∠CAE=∠BAB′，那么CE的长是．三.解答题19．计算：+π0﹣|cot30°﹣tan45°|+．20．解⽅程组：．21．如图，抛物线y=+bx+2与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B（点B在点A右侧）；（1）求该抛物线的顶点D的坐标；（2）求四边形CADB的⾯积．22．如图①，三个直径为a的等圆⊙P、⊙Q、⊙O两两外切，切点分别是A、B、C．（1）那么OA的长是（⽤含a的代数式表⽰）；（2）探索：现有若⼲个直径为a的圆圈分别按如图②所⽰的⽅案⼀和如图③所⽰的⽅案⼆的⽅式排放，那么这两种⽅案中n层圆圈的⾼度h n=，h′n=（⽤含n、a的代数式表⽰）；（3）应⽤：现有⼀种长⽅体集装箱，箱内长为6⽶，宽为2.5⽶，⾼为2.5⽶，⽤这种集装箱装运长为6⽶，底⾯直径（横截⾯的外圆直径）为0.1⽶的圆柱形铜管，你认为采⽤第（2）题中的哪种⽅案在这种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由；参考数据：≈1.41，≈1.7323．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，AD=BD=DE，联结BE，∠ABC=∠DBE=72°；（1）联结CE，求证：CE=BE；（2）分别延长CE、AB交于点F，求证：四边形DBFE是菱形．24．如图，直线y=mx+4与反⽐例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反⽐例函数解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反⽐例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平⾏四边形，求点N的坐标．25．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a（a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP?OD，以O为圆⼼，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．点C是弧AB上的点，联结PC、DC．（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；（3）当直线DC经过点B，且满⾜PC?OA=BC?OP时，求扇形OAB的半径长．2016年上海市徐汇区中考数学⼆模试卷参考答案与试题解析⼀.选择题1．不等式组的解集是（）A．x＜2 B．2＜x≤3 C．x≥3 D．空集【考点】解⼀元⼀次不等式组．【分析】分别求出每⼀个不等式的解集，根据⼝诀：同⼤取⼤、同⼩取⼩、⼤⼩⼩⼤中间找、⼤⼤⼩⼩⽆解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x﹣1＞1，得：x＞2；解不等式x+1≤4，得：x≤3；所以不等式组的解集为：2＜x≤3，故选：B．【点评】本题考查的是解⼀元⼀次不等式组，正确求出每⼀个不等式解集是基础，熟知“同⼤取⼤；同⼩取⼩；⼤⼩⼩⼤中间找；⼤⼤⼩⼩找不到”的原则是解答此题的关键．2．实数n、m是连续整数，如果，那么m+n的值是（）A．7 B．9 C．11 D．13【考点】估算⽆理数的⼤⼩．【分析】根据题意结合5＜＜6即可得出m，n的值，进⽽求出答案．【解答】解：∵n、m是连续整数，如果，∴n=5，m=6，∴m+n=11．故选：C．【点评】此题主要考查了估算⽆理数的⼤⼩，正确得出m，n的值是解题关键．3．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的⼤⼩是（）A．24°B．30°C．32°D．36°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由EF是BC的垂直平分线，得到BE=CE，根据等腰三⾓形的性质得到∠EBC=∠ECB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABD=∠CBD，根据三⾓形的内⾓和即可得到结论．【解答】解：∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB，∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=（180°﹣60°﹣24°）=32°．故选C．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，⾓平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．4．已知两组数据，2、3、4和3、4、5，那么下列说法正确的是（）A．中位数不相等，⽅差不相等 B．平均数相等，⽅差不相等C．中位数不相等，平均数相等 D．平均数不相等，⽅差相等【考点】⽅差；算术平均数；中位数．【分析】分别利⽤平均数以及⽅差和中位数的定义分析，进⽽求出答案．【解答】解：2、3、4的平均数为：（2+3+4）=3，中位数是3，⽅差为：[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣4）2]=；3、4、5的平均数为：（3+4+5）=4，中位数是4，⽅差为：[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]=；故中位数不相等，⽅差相等．故选：D．【点评】此题主要考查了平均数以及⽅差和中位数的求法，正确把握相关定义是解题关键．5．从1、2、3、4四个整数中任取两个数作为⼀个点的坐标，那么这个点恰好在抛物线y=x2上的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；⼆次函数图象上点的坐标特征．【分析】通过列表列出所有等可能结果，然后根据⼆次函数图象上点的坐标特征确定在函数图象上的点的情况数，再根据概率公式列式进⾏计算即可得解．【解答】解：列表如下：从1、2、3、4四个整数中任取两个数作为⼀个点的坐标共有12种等可能结果，其中点恰好在抛物线y=x2上的只有（1，4）这⼀个结果，所以这个点恰好在抛物线y=x2上的概率是，故选：B．【点评】本题主要考查概率的计算，熟知：概率=所求情况数与总情况数之⽐以及⼆次函数图象上点的坐标特征是解题的根本．6．下列命题中假命题是（）A．两边及第三边上的⾼对应相等的两个三⾓形全等B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三⾓形全等C．两边及其中⼀边上的⾼对应相等的两个三⾓形全等D．两边及其中⼀边上的中线对应相等的两个三⾓形全等【考点】命题与定理．【分析】利⽤全等三⾓形的判定⽅法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、有两边及第三边上的⾼对应相等，这两边的夹⾓有可能⼀个是锐⾓⼀个是钝⾓，所以这两个三⾓形不⼀定全等，故错误，为假命题；B、两边及第三边上的中线对应相等的两个三⾓形全等，正确，为真命题；C、两边及其中⼀边上的⾼对应相等的两个三⾓形全等，正确，为真命题；D、两边及其中⼀边上的中线对应相等的两个三⾓形全等，正确，为真命题，故选A．【点评】本题考查了全等三⾓形的判定与旋转变换的性质，要求对三⾓形全等的判定准确掌握并灵活运⽤，希望同学们掌握．⼆.填空题7．计算：4a3b2÷2ab=2a2b．【考点】整式的除法．【分析】直接利⽤整式的除法运算法则求出答案．【解答】解：4a3b2÷2ab=2a2b．故答案为：2a2b．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．8．计算：2m（m﹣3）=2m2﹣6m．【考点】单项式乘多项式．【分析】直接利⽤单项式乘以多项式运算法则直接求出答案．【解答】解：2m（m﹣3）=2m2﹣6m．故答案为：2m2﹣6m．【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．9．⽅程﹣3=0的解是x=5．【考点】⽆理⽅程．【专题】推理填空题．【分析】根据解⽆理⽅程的⽅法解答即可解答本题．【解答】解：﹣3=0，移项，得，两边平⽅，得2x﹣1=9，解得x=5，检验：当x=5时，，故原⽆理⽅程的解是x=5．故答案为：x=5．【点评】本题考查⽆理⽅程，解题的关键是明确解⽆理⽅程的⽅法，注意最后要进⾏检验．10．如果将抛物线y=（x﹣2）2+1向左平移1个单位后经过点A（1，m），那么m的值是1．【考点】⼆次函数图象与⼏何变换．【分析】直接利⽤⼆次函数平移规律得出平移后解析式，再利⽤函数图象上点的坐标性质得出m的值．【解答】解：∵将抛物线y=（x﹣2）2+1向左平移1个单位后经过点A（1，m），∴平移后解析式为：y=（x﹣1）2+1，把（1，m）代⼊得：m=1，故答案为：1．【点评】此题主要考查了⼆次函数图象与⼏何变换，正确掌握平移规律是解题关键．11．点E是△ABC的重⼼，，，那么=（⽤、表⽰）【考点】*平⾯向量；三⾓形的重⼼．【分析】⾸先根据题意画出图形，由点E是△ABC的重⼼，可求得，然后由三⾓形法则，求得，继⽽求得答案．【解答】解：如图，BE的延长线交AC于点D，∵点E是△ABC的重⼼，，∴==，∵，∴=﹣=﹣，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平⾯向量的知以及三⾓形重⼼的性质．注意掌握三⾓形法则的应⽤是解此题的关键．12．建筑公司修建⼀条400⽶长的道路，开⼯后每天⽐原计划多修10⽶，结果提前2天完成了任务．如果设建筑公司实际每天修x⽶，那么可得⽅程是﹣=2．【考点】由实际问题抽象出分式⽅程．【分析】设实际每天修x⽶，则原计划每天修（x﹣10）⽶，根据实际⽐原计划提前2天完成了任务，列出⽅程即可．【解答】解：设建筑公司实际每天修x⽶，由题意得﹣=2．故答案为：﹣=2．【点评】本题考查从实际问题中抽出分式⽅程，理解题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题的等量关系为原计划⽤的天数﹣实际⽤的天数=2．13．为了了解某区5500名初三学⽣的体重情况，随机抽测了400名学⽣的体重，统计结果列表如下：那么样本中体重在50﹣55范围内的频率是0.21．【考点】频数（率）分布表．【专题】计算题．【分析】只需运⽤频率公式（频率=）即可解决问题．【解答】解：样本中体重在50﹣55范围内的频率是=0.21．故答案为0.21．【点评】本题主要考查的是频率公式的运⽤，其中频率=，三个量中只要知道其中的两个量，就可求第三个量．14．如图，在平⾏四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加⼀个条件AC=BD或∠ABC=90°，可得平⾏四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】开放型．【分析】矩形是特殊的平⾏四边形，矩形有⽽平⾏四边形不具有的性质是：矩形的对⾓线相等，矩形的四个内⾓是直⾓；可针对这些特点来添加条件．【解答】解：若使?ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC=BD；（对⾓线相等的平⾏四边形是矩形），∠ABC=90°等（有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形），故答案为：任意写出⼀个正确答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°．【点评】本题主要考查了平⾏四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平⾏四边形是解题关键．15．梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，点E是边BC上的点，如果AE将梯形ABCD的⾯积平分，那么BE的长是4．【考点】全等三⾓形的判定与性质；三⾓形的⾯积；梯形．【分析】过点A作AF⊥BC于点E，根据AE将梯形ABCD的⾯积平分，得到梯形ABCD的⾯积=2△ABE的⾯积，列出等式即可解答．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点E，梯形ABCD的⾯积为：（AD+BC）?AF×=（2+6）?AF×=4AF，△ABE的⾯积为：BE?AF×=BE?AF，∵AE将梯形ABCD的⾯积平分，∴梯形ABCD的⾯积=2△ABE的⾯积，∴4AF=2×BE?AF，解得：BE=4．故答案为：4．【点评】本题考查了梯形，解决本题的关键是明确梯形ABCD的⾯积=2△ABE的⾯积．16．如果直线y=kx+b（k＞0）是由正⽐例函数y=kx的图象向左平移1个单位得到，那么不等式kx+b ＞0的解集是x＞﹣1．【考点】⼀次函数与⼀元⼀次不等式；⼀次函数图象与⼏何变换．【分析】直接利⽤⼀次函数平移规律得出图象平移后与x轴交点，进⽽得出答案．【解答】解：∵直线y=kx+b（k＞0）是由正⽐例函数y=kx的图象向左平移1个单位得到，∴y=kx+b经过（﹣1，0），∴不等式kx+b＞0的解集是：x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．【点评】此题主要考查了⼀次函数的⼏何变换以及⼀次函数与⼀元⼀次⽅程的应⽤不等式，正确得出图象与x轴交点是解题关键．17．⼀次越野跑中，当⼩明跑了1600⽶时，⼩刚跑了1400⽶，⼩明、⼩刚所跑的路程y（⽶）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为2200⽶．【考点】⼀次函数的应⽤．【专题】数形结合．【分析】设⼩明的速度为a⽶/秒，⼩刚的速度为b⽶/秒，由⾏程问题的数量关系建⽴⽅程组求出其解即可．【解答】解：设⼩明的速度为a⽶/秒，⼩刚的速度为b⽶/秒，由题意，得，解得：，∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200⽶．故答案为：2200．【点评】本题考查了⾏程问题的数量关系的运⽤，⼆元⼀次⽅程组的解法的运⽤，解答时由函数图象的数量关系建⽴⽅程组是关键．18．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC沿直线CD翻折，点B′是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果∠CAE=∠BAB′，那么CE的长是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先证明∠AB′B=90°，再证明△ACE∽△ABB′，得到∠AEC=90°，利⽤⾯积法求出AE，再利⽤勾股定理求出EC即可．【解答】解：如图，∵△CDB′是由□CDB翻折，∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CDB′，AD=DB=DB′，∴∠DBB′=∠DB′B，∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，∵∠CDA=∠CDB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=180°，∴∠ABB′=∠ACE，∵AD=DB=DB′=3，∴∠AB′B=90°，∵∠ACE=∠ABB′，∠CAE=∠BAB′，∴△ACE∽△ABB′，∴∠AEC=∠AB′B=90°，在RT△AEC中，∵AC=4，AD=3，∴CD==5，∵AC?AD=?CD?AE，∴AE==，在RT△ACE中，CE===．故答案为．【点评】本题考查翻折变换、相似三⾓形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利⽤翻折不变性解决问题，学会利⽤相似三⾓形证明直⾓，属于中考常考题型．三.解答题19．计算：+π0﹣|cot30°﹣tan45°|+．【考点】⼆次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊⾓的三⾓函数值．【分析】根据⼆次根式的性质、零指数幂、三⾓函数值及绝对值性质、分母有理化将各部分化简可得．【解答】解：原式=π﹣3+1﹣|﹣1|+=π﹣2﹣（）+（﹣1）=π﹣2．【点评】本题主要考查了⼆次根式的化简、零指数幂、三⾓函数值及绝对值性质、分母有理化等知识点，熟练掌握这些性质和运算法则是根本．20．解⽅程组：．【考点】⾼次⽅程．【分析】⽤代⼊法求解，由⽅程①得x=y+1，将该⽅程代⼊②，解该⽅程可得y的值，代回x=y+1可得x的值．【解答】解：解⽅程组，由①得：x=y+1 ③，把③代⼊②得：4（y+1）2﹣4y（y+1）+y2=4，整理，得：y2+4y=0，解得：y1=0，y2=﹣4，把y=0代⼊③，得：x=1，把y=﹣4代⼊③，得：x=﹣3．故原⽅程组的解为：或；【点评】本题主要考查化归思想解⾼次⽅程的能⼒，⽤代⼊法把⼆元⼆次⽅程组转成⼀元⼆次⽅程来解是解题的关键．21．如图，抛物线y=+bx+2与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B（点B在点A右侧）；（1）求该抛物线的顶点D的坐标；（2）求四边形CADB的⾯积．【考点】抛物线与x轴的交点；⼆次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）先把A点坐标代⼊y=+bx+2中求出b，从⽽得到抛物线解析式，然后把⼀般式配成顶点式即可得到D点坐标；（2）通过计算⾃变量为0时的函数值得到C点坐标，通过解x2﹣x+2=0可得到B点坐标，然后根据三⾓形⾯积公式，利⽤四边形CADB的⾯积=S△CAB+S△DAB进⾏计算即可．【解答】解：（1）把A（1，0）代⼊y=+bx+2得+b+2=0，解得b=﹣，所以抛物线解析式为y=x2﹣x+2，因为y=x2﹣x+2=（x﹣）2﹣，所以抛物线的顶点D的坐标为（，﹣）；（2）当x=0时，y=x2﹣x+2=2，则C（0，2），当y=0时，x2﹣x+2=0，解得x1=1，x2=4，则B（4，0），所以四边形CADB的⾯积=S△CAB+S△DAB=×（4﹣1）×2×（4﹣1）×=．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求⼆次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的⼀元⼆次⽅程．也考查了⼆次函数的性质．22．如图①，三个直径为a的等圆⊙P、⊙Q、⊙O两两外切，切点分别是A、B、C．（1）那么OA的长是a（⽤含a的代数式表⽰）；（2）探索：现有若⼲个直径为a的圆圈分别按如图②所⽰的⽅案⼀和如图③所⽰的⽅案⼆的⽅式排放，那么这两种⽅案中n层圆圈的⾼度h n=na，h′n=（n﹣1）a+a（⽤含n、a的代数式表⽰）；（3）应⽤：现有⼀种长⽅体集装箱，箱内长为6⽶，宽为2.5⽶，⾼为2.5⽶，⽤这种集装箱装运长为6⽶，底⾯直径（横截⾯的外圆直径）为0.1⽶的圆柱形铜管，你认为采⽤第（2）题中的哪种⽅案在这种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由；参考数据：≈1.41，≈1.73【考点】圆的综合题．【分析】（1）由切线的性质，易得△OPQ是等边三⾓形，然后等边三⾓形的性质以及三⾓函数的知识进⾏求解，即可求得答案；（2）n个圆的直径即为②中的⾼，结合（1），由等边三⾓形的性质和勾股定理进⾏计算③中的⾼；（3）结合（2）的结论进⾏分析求即即可求得答案．【解答】解：（1）连接OA，∵三个直径为a的等圆⊙P、⊙Q、⊙O两两外切，∴OP=PQ=OQ=a，∴△OPQ是等边三⾓形，∴∠OPQ=60°，∵AP=AQ，∴OA⊥PQ，∴OA=OP?sin60°=a；故答案为：；（2）如图②：⾼度h n=na；如图③：h′n=（n﹣1）a+a；故答案为：na，（n﹣1）a+a；（3）⽅案⼆在这种集装箱中装运铜管数多．理由：⽅案⼀：0.1n≤2.5，解得：n≤25，25×25=625．⽅案⼆：根据题意，第⼀层排放25根，第⼆层排放24根，设钢管的放置层数为n，可得（n﹣1）×0.1+0.1≤2.5，解得n≤27.7．∵n为正整数，∴n=27．钢管放置的最多根数为：25×14+24×13=662（根）．∴⽅案⼆在这种集装箱中装运铜管数多．。
上海市杨浦区2016届中考数学二模试卷含答案解析
2016年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题1．下列等式成立的是（）A．=±2 B．=πC．D．|a+b|=a+b2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C．=m D．=m3．下列函数中，图象经过第二象限的是（）A．y=2x B．y=C．y=x﹣2 D．y=x2﹣24．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形D．等腰梯形5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（）成绩（环） 6 7 8 9 10次数 1 4 2 6 3A．2 B．3 C．8 D．96．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（）A．5 B．10 C．36 D．72二、填空题7．计算：=．8．写出的一个有理化因式：．9．如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是．10．函数y=+x的定义域是．11．如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m=．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为．13．在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如果，那么=（用表示）．14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m，那么m=．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．三、解答题19．计算：．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．2016年上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列等式成立的是（）A．=±2 B．=πC．D．|a+b|=a+b【考点】实数的运算；绝对值．【专题】推理填空题；实数．【分析】A：根据求一个数的算术平方根的方法计算即可．B：分别把、π化成小数，判断出它们的大小关系即可．C：根据8=23，可得=，据此判断即可．D：①当a+b是正有理数时，a+b的绝对值是它本身a+b；②当a+b是负有理数时，a+b的绝对值是它的相反数﹣（a+b）；③当a+b是零时，a+b的绝对值是零．【解答】解：∵=2，∴选项A不正确；∵≈3.142857，π≈3.1415927，∴≠π，∴选项B不正确；∵8=23，∴=，∴选项C正确；当a+b是正有理数时，|a+b|=a+b；当a+b是负有理数时，|a+b|=﹣（a+b）；当a+b是零时，|a+b|=0；∴选项D不正确．故选：C．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C．=m D．=m【考点】无理方程；一元一次方程的解；根的判别式；分式方程的解．【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A.2x=m，一定有实数解；B．x2=m，当m＜0时，无解；C.=m，当m=0或﹣时无解；D.=m，当m＜0时，无解；故选A．【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关键是灵活运用有关知识点进行判断．3．下列函数中，图象经过第二象限的是（）A．y=2x B．y=C．y=x﹣2 D．y=x2﹣2【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答．【解答】解：A、∵y=2x的系数2＞0，∴函数图象过一三象限，故本选项错误；B、∵y=中，2＞0，∴函数图象过一、三象限，故本选项错误；C、在y=x﹣2中，k=1＞0，b=﹣2＜0，则函数过一三四象限，故本选项错误；D、∵y=x2﹣2开口向上，对称轴是y轴，且函数图象过（0，﹣2）点，则函数图象过一、二、三、四象限，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置．4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形D．等腰梯形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求即可．【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点是解题的关键．5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（）成绩（环） 6 7 8 9 10次数 1 4 2 6 3A．2 B．3 C．8 D．9【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两数的平均数即可．【解答】解：∵共16次射击，∴中位数是第8和第9的平均数，分别为9环、9环，∴中位数为9环，故选：D．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．6．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（）A．5 B．10 C．36 D．72【考点】正多边形和圆．【分析】设正多边形的中心角的度数是x，根据弧长公式即可求得x的值，然后利用360度除以x即可得到．【解答】解：设正多边形的中心角的度数是x，根据题意得：=π，解得：x=10．则n==36．故选C．【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式，正确求得中心角的度数是关键．二、填空题7．计算：=﹣1．【考点】分式的加减法．【分析】把原式化为﹣，再根据同分母的分式相加减进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．8．写出的一个有理化因式：+b．【考点】分母有理化．【分析】根据这种式子的特点：﹣b和+b的互为有理化因式解答即可．【解答】解：的一个有理化因式：+b；故答案为：+b．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．9．如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是4．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，列出m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4×m=0，且m≠0，解得m=4．故答案是：4．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．函数y=+x的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2﹣x≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m=4．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），再利用点平移的规律得到把点（0，﹣m）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣m），接着利用顶点式写出平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，然后把原点坐标代入可求出m的值．【解答】解：函数y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），把点（0，﹣m）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣m），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，把点（0，0）代入=（x+2）2﹣m得4﹣m=0，解得m=4．故答案为4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为．【考点】列表法与树状图法；点的坐标．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所得点落在第一象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，所得点落在第一象限的有4种情况，∴所得点落在第一象限的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如果，那么=﹣（用表示）．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，由AM：MB=CN：NA=1：2，可表示出与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵AM：MB=CN：NA=1：2，∴AM=AB，AN=AC，∵，∴=，=，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m，那么m=．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据在一个斜面上前进13米，铅锤方向上升了5米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在自动扶梯上前进13米，在铅锤方向上升了5米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+52=132，解得，x=12（舍去负值），故该斜坡坡度i=5：12=1：m．所以m=．故答案为：m=．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是0.05．【考点】频数（率）分布直方图．【分析】利用1减去其它组的频率即可求得．【解答】解：m=1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.075=0.05．故答案是：0.05．【点评】本题考查了频率分布直方图，了解各组的频率的和是1是关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】开放型．【分析】先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴B点坐标为（2，2），当函数y=（k≠0）过B点时，k=2×2=4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意画出图形，当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，再利用△ODE∽△BDA，求出答案．【解答】解：如图所示：当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，则OE⊥BD，且OE=r，∵∠OED=∠A=90°，∠ADE=∠EDO，∴△ODE∽△BDA，∴=，∵AB=3，AD=4，∴BD=5，∴=，解得：EO=．故答案为：．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ODE∽△BDA是解题关键．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判断△BAE∽△BDA，利用相似比可得=，然后证明AD=BD即可得到的值．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好是对角线BD 的中点，∴∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，∵EF∥AG，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB，∴AB2=BD2，∴=，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABD，∴∠ABD=∠DAB，∴DB=DA，∴=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA，三、解答题19．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：=1+9+6×﹣||=10﹣2=10【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定非负整数解即可．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x＞﹣．则不等式组的解集是：﹣＜x＜2．则非负整数解是：0，1．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过M作MN⊥AB于H，由直角三角形的性质得到CN=AN=AB，由等腰三角形的性质得到∠ACN=∠A=30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点N分别是边AB的中点，点D是线段BM的中点，∴=，=，∴；（2）过M作MN⊥AB于H，∵点N分别是边AB的中点，∴CN=AN=AB，∴∠ACN=∠A=30°，∴∠NCD=∠MCD﹣30°=∠CMB﹣30°=∠MBA，∴设BC=2k，则MA=k，MH=k，HB=4k﹣k=k，∴cos∠NCD===．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由OA过原点O，故设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，将点A的坐标代入函数解析式得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出函数解析；（2）根据比例关系设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3am/min，结合路程=速度×时间，得出关于a的一元一次方程，解方程可求出a的值，再根据路程=速度×时间可得出C点的纵坐标．【解答】解：（1）设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，根据已知可得：600=20k，解得：k=30．故上山时y关于x的函数解析式为y=30x（0≤x≤20）．（2）设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3a/min，由已知得：18×2a+8×3a=600，解得：a=10．故8×3a=8×3×10=240（米）．答：点C的纵坐标为240．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据数量关系列出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，（1）没有难度；（2）巧用比例关系设未知数，解该类型题目时，由数量关系列出方程（或方程组）是关键．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的判定；等腰梯形的判定．【分析】（1）由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，继而证得四边形AFED是正方形；（2）由BG与CD平行且相等，可得四边形BCDG是平行四边形，即证得CB=DG，在正方形AFED 中，易证△DAG≌△EFG，则可得DG=EG=BC，即四边形GBCE是等腰梯形．【解答】（1）证明：∵DC∥AB，∠A=90°，∴∠ADE=90°，由折叠的性质可得：∠A=∠DEF=90°，AD=ED，AF=EF，∵四边形ADEF为矩形，∴四边形ADEF为正方形；（2）连接EG，DG，∵BG∥CD，且BG=CD，∴四边形BCDG是平行四边形．∴CB=DG．∵四边形ADEF是正方形，∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．∵G是AF的中点，∴AG=FG．在△DAG和△EFG中，，∴△DAG≌△EFG（SAS），∴DG=EG，∴EG=BC．∴四边形GBCE是等腰梯形．【点评】此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定．注意证得四边形BCDG是平行四边形与△DAG≌△EFG是关键．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可；（2）先确定出直线AB解析式，再由DP∥AB确定出直线DP解析式，利用方程组确定出交点坐标；（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，（选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底）．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣8ax+3=a（x﹣4）2+3﹣16a，∴对称轴为x=4，B（4，0），A（0，3），∴AB=5，∵AB=BD，∴BD=5，∵抛物线的顶点为D，其对称轴交x轴于点B，∴3﹣16a=BD=5，∴a=﹣，∴y=x2+x+3，（2）∵B（4，0），A（0，3），∴直线AB解析式为y=﹣x+3，∵DP∥AB，设直线DP解析式为y=﹣x+b，∵D（4，5）在直线DP上，∴b=8，∴直线DP解析式为y=﹣x+8，由，∴x1=10，x2=4（舍），∴P（10，）；（3）如图①以B为圆心，BA为半径作圆，交DB延长线于G1，∵BG=AB，∴∠BAG1=∠BG1A，∴∠AGB=∠ABD，∵AB=5，点G在对称轴BD上x=4，∴G1（4，﹣5），∴S△ABG1=×BG1×AH=×5×4=10；②以A为圆心，AG1为半径作圆，交BD延长线于G2，过点A作AH⊥BD于H，∴HG2=HG1=BH+BG1=8，∴BG2=11，∴G2（4，11），S△ABG2=×BG2×AH=×11×4=22；即：S△ABG=10或22，【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法，图象交点坐标的确定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的常用方法，解本题的关键是确定出抛物线的解析式．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得，由此即可解决．【解答】解；（1）如图1中，连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=2，∴可以假设AC=2k，BC=k，∵AB=6，AB2=AC2+BC2，∴36=8k2+k2，∴k2=4，∵k＞0，∴k=2，BC=2．（2）如图2中，∵△MBC与△MOC相似，∴∠MBC=∠MCO，∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，∴∠OBC=∠OCD，∵OB=OC=OD，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，在△OBC和△OCD中，，∴△OBC≌△OCD，∴BC=CD=2．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．∵BC∥OD，∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，∴BO=BG=3，∵tan∠HBG=，设GH=2a，HB=a，∵BG2=GH2+HB2，∴8a2+a2=9，∴a2=1，∵a＞0，∴a=1，HB=1，GH=2，OH=2，OG==2，∵GC∥DO，∴=，∴ON=×=．【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，灵活应用这些知识解决问题是解题的关键，第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．。
上海市闵行区2016届中考数学二模试卷(含答案)
22．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面 BC 平行于地面 AD，斜坡 AB 的坡比为 i=1： ，
且 AB=26 米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡 角不超过 53°时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离 BE 的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡 AB 改造成 AF（如图所示），那么 BF 至少是多少米？（结 果精确到 1 米） （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
．
13．如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学
过的特殊的等对角线四边形的名称
．
14．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥ BC，且 BC=3AD，点 E 是边 DC 的中点．设
，
，
那么 =
（用 、 的式子表示）．
15．布袋中有大小、质地完全相同的 4 个小球，每个小球上分别标有数字 1、2、3、4，如果从布袋
交边 BC 于点 D，交边 AC 于点 E，那么 的值为
．
479749745 群资料
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．计算：
．
20．解方程：
．
21．如图，已知在△ ABC 中，∠ ABC=30°，BC=8，sin∠ A= ，BD 是 AC 边上的中线．求： （1）△ ABC 的面积； （2）∠ ABD 的余切值．
中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是
．
16．9 月 22 日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生，将收
(完整版)上海市2016年二模数学第24题汇编
2016年二模第24题汇编如图1，一条抛物线的顶点为E(－1,4)，且过点A(－3,0)，与y轴交于点C．点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且－3＜m＜－1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK 分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH＝HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．（2016崇明）图1 备用图如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、C(3, 0)两点，与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD 交x轴于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）联结BC，当点P的坐标为2(0,)3时，求△EBC的面积；（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．（2016奉贤）图1 备用图如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 过点A (3,0)、B (0,m )（m ＞0），tan ∠BAO ＝2． （1）求直线AB 的表达式； （2）反比例函数1k y x=的图像与直线AB 交于第一象限内的C 、D 两点（BD ＜BC ），当AD ＝2DB 时，求k 1的值；（3）设线段AB 的中点为E ，过点E 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交反比例函数2k y x=的图像于点F ，联结OE 、OF ，当△OEF 与△OBE 相似时，请直接写出满足条件的所有k 2的值．（2016虹口）图1如图1，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(1, 0)、B(4, 0)两点，与y 轴交于点C(0, 2)．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠CAO＝∠BCO；（3）若点P是抛物线上的一点，且∠PCB＋∠ACB＝∠BCO，求直线CP的表达式．（2016黄浦）图1如图1，在平面直角坐标系中，经过点A(－1,0)的抛物线y＝－x2＋bx＋3与y轴交于点C，点B与点A，点D与点C分别关于抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上的一个动点，过点E作EF平行x轴交直线AD于点F，且F 在E的右边．过点E作EG⊥AD于点G，设点E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m 表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，如果以A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．（2016嘉定宝山）图1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－1经过点A(2,－1)，它的对称轴与x 轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y＝x＋1与此抛物线的对称轴交于点C，与此抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式．（2016静安青浦）如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C(0, 3)，抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y＝kx＋b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．（2016闵行）图1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数213y x bx c =++的图像与y 轴交于点A ，与双曲线8y x=有一个公共点B ，它的横坐标为4．过点B 作直线l //x 轴，与二次函数图像交于另一点C ，直线AC 的截距是－6．（1）求二次函数的解析式； （2）求直线AC 的表达式；（3）平面内是否存在点D ，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由． （2016普陀）如图1，平面直角坐标系中，已知B(－1, 0)，一次函数y＝－x＋5的图像与x轴、y轴分别交于A、C两点．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过A、B两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图像的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．（2016松江）图1如图1，直线y＝mx＋4与反比例函数kyx（k＞0）的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO＝2，AC∶CD＝1∶2．（1）求反比例函数的解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x＝－1上，点N在反比例函数的图像上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．（2016徐汇）如图1，已知在直角坐标系中，抛物线y＝ax2－8ax＋3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB＝BD时，求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，当DP//AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB＝12∠ABD，求△ABG的面积．（2016杨浦）图1 备用图如图1，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM＝6，ON＝3，反比例函数6yx的图像与PN交于点C，与PM交于点D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB//CD；（2）在直角坐标平面内是否存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．（2016闸北）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，已知点A 的坐标为(1,0)，与y轴相交于点C(0,3)，抛物线的顶点为P．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥x轴于点F，DF与直线PB相交于点E，设点D的横坐标为t（t＞3），且DE∶EF＝2∶1，求点D的坐标；（3）在第（2）题的条件下，求证：∠DPE＝∠BDE．（2016长宁金山）图1。
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因此对应的点 P 有两个（如图 6 所示）．
那么求点 D（点 P）的坐标还有更简便的方法：由勾股定理，得 AB2＝AD2＋BD2．
由 A(－1, 0)、B(0, 3)、D(1, 2m)，得 12＋32＝22＋(2m)2＋12＋(3－2m)2．
解得 m＝1，或 m＝ 1 ． 2
例
2016 年上海市虹口区中考模拟第 24 题
例
2015 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、C(3, 0)两 点，与 y 轴交于点 B，点 P 为 OB 上一点，过点 B 作射线 AP 的垂线，垂足为点 D，射线 BD 交 x 轴于点 E．
（1）求该抛物线的解析式； （2）联结 BC，当点 P 的坐标为 (0, 2) 时，求△EBC 的面积；
如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB 过点 A(3,0)、B(0,m)（m＞0），tan∠BAO＝2． （1）求直线 AB 的表达式； （2）反比例函数 y k1 的图像与直线 AB 交于第一象限内的 C、D 两点（BD＜BC），
x 当 AD＝2DB 时，求 k1 的值；
例
2016 年上海市崇明县中考模拟第 24 题
如图 1，一条抛物线的顶点为 E(－1,4)，且过点 A(－3,0)，与 y 轴交于点 C．点 D 是这 条抛物线上一点，它的横坐标为 m，且－3＜m＜－1，过点 D 作 DK⊥x 轴，垂足为 K，DK 分别交线段 AE、AC 于点 G、H．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GH＝HK； （3）当△CGH 是等腰三角形时，求 m 的值．
如图 5，一方面，当点 D 落在抛物线的对称轴上时，D(1, 2m)．
另一方面，由 tan∠1＝tan∠2，得 OP OE ．于是可得 OE＝3m． OA B
再根据 DN EN ，得 2m 3m 1 ．解得 m＝1，或 m＝ 1 ．
AN DN
2 2m
2
图4
图5
图6
为什么点 P 会有两个解呢？这是因为以 AB 为直径的圆与抛物线的对称轴有两个交点，
2 ③如图 5，当 CG＝CH 时，GH＝ 2 HC．解方程 (m 3) 2( 2m) ，得 m＝－1（舍 去）．
图2
考点伸展
图3
图4
第（3）题也可以用代数法来解：已知 C(0,3)，G(m,2m＋6)，H(m,m＋3)． 所以 CG2＝m2＋(2m＋3)2，GH2＝(m＋3)2，HC2＝m2＋m2＝2m2．
满分解答
（1）因为抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、C(3, 0)两点，所以
y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如图 2，由于∠1 与∠3 互余，∠2 与∠4 互余，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2．
所以 tan∠1＝tan∠2．所以 OP OE ．当 P (0, 2) 时， 2 OE ．
设 P(0, m)，那么 D(1, 2m)．
由△BMD∽△DNA，得 BM DN ．所以 1 2m ．解得 m＝1，或 m＝ 1 ．
MD NA
3 2m 2
2
所以点 P 的坐标为(0, 1)（如图 3 所示），或 (0, 1 ) （如图 4 所示）． 2
图2
图3
考点伸展
第（3）题也可以这样思考：设 P(0, m)．
所以 GK＝2m＋6，HK＝m＋3．
所以 GK＝2HK．所以 GH＝HK．
图2
（3）如图 2，在△CGH 中，∠CHG＝45°，HG＝m＋3，HC＝ 2m ． 分三种情况讨论等腰三角形 CGH： ①如图 3，当 HG＝HC 时，m＋3＝ 2m ．解得 m 3 2 3 ． ②如图 4，当 GH＝GC 时，HC＝ 2 GH．解方程 2m 2(m 3) ，得 m 3 ．
满分解答
（1）设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)2＋4，
代入点 A(－3,0)，得 4a＋4＝0．
解得 a＝－1．
所以 y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3．
（2）如图 2，由 y＝－x2－2x＋3，得 C(0,3)．
由 A(－3,0)、C(0,3)，得直线 AC：y＝x＋3．
由 A(－3,0)、E(－1,4)，得直线 AE：y＝2x＋6．
图1
动感体验
备用图
请打开几何画板文件名“16 崇明 24”，拖动点 D 在抛物线上 A、E 两点间运动，可以体 验到，△CGH 有三个时刻可以成为等腰三角形．
思路点拨
1．设顶点式求抛物线的解析式比较简便． 2．求直线 AE、AC 的解析式，比较 G、H 两点的纵坐标，可以得到 GK＝2HK． 3．在△CGH 中，∠CHG＝45°，夹∠CHG 的两条边可以表示出来．分三种情况讨论 等腰三角形 CGH．这是几何法求解． 4．在△CGH 中，三个顶点的坐标都可以表示出来，用两点间的距离公式表示三边长（的 平方），再分三种情况解方程．这是代数法求解．
3 （3）当点 D 落在抛物线的对称轴上时，求点 P 的坐标．
图1
动感体验
备用图
请打开几何画板文件名“15 奉贤 24”，拖动点 P 在 OB 上运动，可以体验到，点 D 有 两次机会可以落在抛物线的对称轴上．
思路点拨
1．第（1）题可以直接写出抛物线的交点式． 2．把图形中相等的锐角都标记出来，方便寻找比例线段． 3．当点 D 落在抛物线的对称轴上时，点 P 是 AD 的中点．
①当 HG＝HC 时，解方程(m＋3)2＝2m2，得 m 3 2 3 ，或 m 3 2 3 （舍去）．
②当 GH＝GC 时，解方程(m＋3)2＝m2＋(2m＋3)2，得 m 3 ，或 m＝0（舍去）． 2
③当 CG＝CH 时，解方程 m2＋(2m＋3)2＝2m2，得 m＝－1（舍去），或 m＝－3（舍去）．
OA OB
3
33
此时 OE＝2．所以 EC＝1．
所以 S△EBC＝ 1 EC OB ＝ 1 1 3＝ 3 ．
2
2
2
（3）如图 3，由 y＝－x2＋2x＋3，可知抛物线的对称轴是直线 x＝1．
作 BM⊥y 轴交抛物线的对称轴于 M，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 N．
当点 D 落在抛物线的对称轴上时，由 AO＝ON＝1，可知 DN＝2PO．