2016年上海中考二模数学24题图文解析

满分解答
（1）因为抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、C(3, 0)两点，所以
y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如图 2，由于∠1 与∠3 互余，∠2 与∠4 互余，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2．
所以 tan∠1＝tan∠2．所以 OP OE ．当 P (0, 2) 时， 2 OE ．
所以 GK＝2m＋6，HK＝m＋3．
所以 GK＝2HK．所以 GH＝HK．
图2
（3）如图 2，在△CGH 中，∠CHG＝45°，HG＝m＋3，HC＝ 2m ． 分三种情况讨论等腰三角形 CGH： ①如图 3，当 HG＝HC 时，m＋3＝ 2m ．解得 m 3 2 3 ． ②如图 4，当 GH＝GC 时，HC＝ 2 GH．解方程 2m 2(m 3) ，得 m 3 ．
图1
动感体验
备用图
请打开几何画板文件名“16 崇明 24”，拖动点 D 在抛物线上 A、E 两点间运动，可以体 验到，△CGH 有三个时刻可以成为等腰三角形．
思路点拨
1．设顶点式求抛物线的解析式比较简便． 2．求直线 AE、AC 的解析式，比较 G、H 两点的纵坐标，可以得到 GK＝2HK． 3．在△CGH 中，∠CHG＝45°，夹∠CHG 的两条边可以表示出来．分三种情况讨论 等腰三角形 CGH．这是几何法求解． 4．在△CGH 中，三个顶点的坐标都可以表示出来，用两点间的距离公式表示三边长（的 平方），再分三种情况解方程．这是代数法求解．
满分解答
（1）设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)2＋4，
代入点 A(－3,0)，得 4a＋4＝0．
解得 a＝－1．
所以 y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3．
（2）如图 2，由 y＝－x2－2x＋3，得 C(0,3)．
由 A(－3,0)、C(0,3)，得直线 AC：y＝x＋3．
由 A(－3,0)、E(－1,4)，得直线 AE：y＝2x＋6．
3 （3）当点 D 落在抛物线的对称轴上时，求点 P 的坐标．
图1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
动感体验
备用图
请打开几何画板文件名“15 奉贤 24”，拖动点 P 在 OB 上运动，可以体验到，点 D 有 两次机会可以落在抛物线的对称轴上．
思路点拨
1．第（1）题可以直接写出抛物线的交点式． 2．把图形中相等的锐角都标记出来，方便寻找比例线段． 3．当点 D 落在抛物线的对称轴上时，点 P 是 AD 的中点．
设 P(0, m)，那么 D(1, 2m)．
由△BMD∽△DNA，得 BM DN ．所以 1 2m ．解得 m＝1，或 m＝ 1 ．
MD NA
3 2m 2
2
所以点 P 的坐标为(0, 1)（如图 3 所示），或 (0, 1 ) （如图 4 所示）． 2
图2
图3
考点伸展
第（3）题也可以这样思考：设 P(0, m)．
2 ③如图 5，当 CG＝CH 时，GH＝ 2 HC．解方程 (m 3) 2( 2m) ，得 m＝－1（舍 去）．
图2
考点伸展
图3
图4
第（3）题也可以用代数法来解：已知 C(0,3)，G(m,2m＋6)，H(m,m＋3)． 所以 CG2＝m2＋(2m＋3)2，GH2＝(m＋3)2，HC2＝m2＋m2＝2m2．
如图 5，一方面，当点 D 落在抛物线的对称轴上时，D(1, 2m)．
另一方面，由 tan∠1＝tan∠2，得 OP OE ．于是可得 OE＝3m． OA OB
再根据 DN EN ，得 2m 3m 1 ．解得 m＝1，或 m＝ 1 ．
AN DN
2 2m
2
图4
图5
图6
为什么点 P 会有两个解呢？这是因为以 AB 为直径的圆与抛物线的对称轴有两个交点，
例
2016 年上海市崇明县中考模拟第 24 题
如图 1，一条抛物线的顶点为 E(－1,4)，且过点 A(－3,0)，与 y 轴交于点 C．点 D 是这 条抛物线上一点，它的横坐标为 m，且－3＜m＜－1，过点 D 作 DK⊥x 轴，垂足为 K，DK 分别交线段 AE、AC 于点 G、H．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GH＝HK； （3）当△CGH 是等腰三角形时，求 m 的值．
例
2015 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、C(3, 0)两 点，与 y 轴交于点 B，点 P 为 OB 上一点，过点 B 作射线 AP 的垂线，垂足为点 D，射线 BD 交 x 轴于点 E．
（1）求该抛物线的解析式； （2）联结 BC，当点 P 的坐标为 (0, 2) 时，求△EBC 的面积；
如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB 过点 A(3,0)、B(0,m)（m＞0），tan∠BAO＝2． （1）求直线 AB 的表达式； （2）反比例函数 y k1 的图像与直线 AB 交于第一象限内的 C、D 两点（BD＜BC），
x 当 AD＝2DB 时，求 k1 的值；
①当 HG＝HC 时，解方程(m＋3)2＝2m2，得 m 3 2 3 ，或 m 3 2 3 （舍去）．
②当 GH＝GC 时，解方程(m＋3)2＝m2＋(2m＋3)2，得 m 3 ，或 m＝0（舍去）． 2
③当 CG＝CH 时，解方程 m2＋(2m＋3)2＝2m2，得 m＝－1（舍去），或 m＝－3（舍去）．
因此对应的点 P 有两个（如图 6 所示）．
那么求点 D（点 P）的坐标还有更简便的方法：由勾股定理，得 AB2＝AD2＋BD2．
由 A(－1, 0)、B(0, 3)、D(1, 2m)，得 12＋32＝22＋(2m)2＋12＋(3－2m)2．
解得 m＝1，或 m＝ 1 ． 2
例
2016 年上海市虹口区中考模拟第 24 题
OA OB
3
33
此时 OE＝2．所以 EC＝1．
所以 S△EBC＝ 1 EC OB ＝ 1 1 3＝ 3 ．
2
2
2
（3）如图 3，由 y＝－x2＋2x＋3，可知抛物线的对称轴是直线 x＝1．
作 BM⊥y 轴交抛物线的对称轴于 M，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 N．
当点 D 落在抛物线的对称轴上时，由 AO＝ON＝1，可知 DN＝2PO．