线性代数总复习大纲及复习题

04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念
1、 行列式的 定义
2、 向量组相关与无关的定义
3、 对称阵与反对称阵
4、 可逆矩阵
5、 矩阵的伴随矩阵
6、 基与向量的坐标
7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵
13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论
1、 与向量组相关与无关相关的等价结论
2、 行列式的性质
3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）
4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质
5、 初等变换与初等矩阵的关系
6、
A A A A A E **==
7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换
10、 矩阵正定的充要条件
11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案
1．若三阶行列式1
23
11
22
331
2
3
2226a a a b a b a b a c c c ---=，则 1
23
1
231
2
3
a a a
b b b
c c c = 12 2．若方程组12312312
3000
tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。

3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪
-=⎨⎪-+=⎩
仅有零解，则λ≠ 0
4．已知三阶行列式D=123
312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；
3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。

（ 对 ）
4.行列式
0020
023
16.02342345
= （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。

（ 错 ）
6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。

（ 对 ）
7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。

（ 对 ）
8 矩阵212111215A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
是正定的。

（ 对 ）
9. n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 同时可逆或同时不可逆。

（ 对 ）
10．已知向量组123(1,2,1),(,1,1),(1,,1).a a ααα===则当a= 1 或a= 2 时向量组321,,ααα线性相关。

（ 对 ） 11．n 阶矩阵A 满足2320,A A E -+=则A-3E 可逆，A-2E 可逆。

（ 对 ） 12．阵A 与其转置T A 具有相同的行列式和特征值。

（ 对 ）
13．如果n 阶矩阵 A 的行列式┃A ┃=0，则A 至少有一个特征值为零 。

（ 对） 14. 设A 为n 阶方阵，k 为常数，则kA k A =。

（ B ） 15.设6阶方阵A 的秩为3，则其伴随矩阵的秩也是3。

（ B ）
16．行列式042()2
310.12
3
x f x x x -=-=-的实根为6 （ A ）
17. 如果向量组s ααα,,,21 线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示。

（ B ）
18．n 阶矩阵A 满足2320,A A E E n
--=其中为阶单位矩阵，则A 可逆。

（ A ）
19．若矩阵A 可逆，则AB 与BA 相似。

（ A ）
20．如果n 阶矩阵 A 的行列式┃A ┃≠0，则A 的特征值都不为零 。

（ A ）
21．矩阵123214341A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
是正定。

（ b ）
22．n 阶单位矩阵的特征值都是1。

（ A ）
123123231
232353552,1,0.49
x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪
+-===-=
⎨⎪-+=⎩123.方程组的解为 （ A ） 24.果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合。

（ B ）
25． 矩阵A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是A 的列向量线性相关。

（ A ）
26．若矩阵A 有特征值1
2，则2一定是矩阵A 的逆矩阵的特征值。

( B )
27 若12,ζζ为非齐次线性方程组AX b =(0)b ≠的两个解，则12ζζ-为线性方程组 的解；A
28．如果()r A r =，A 中能否有秩等于零的1r -阶子式？能否有秩等于零的r 阶子式？ 能否有秩不为零的1r +阶子式？
答 A 中不能有秩等于零的1r -阶子式；能有秩等于零的r 阶子式；没有秩不为零的1r +阶子式。

29．若32,1T A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪
-⎝⎭
033,167T B -⎛⎫= ⎪⎝⎭则2().4T
AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （ 错 ）
30．已知n 元线性方程组AX b =，其增广矩阵为A ，当（ C ）时，线性方程组有解。

A 、()r A n =， B 、()r A n ≠； C 、()()r A r A =； D 、()()r A r A ≠ 31．若线性方程组Ax b =的增广矩阵A 经初等行变换化为
A →12
3400012λλλλλ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
当λ≠（ B ）时，此线性方程组有惟一解
A 、-1,0
B 、0,1
C 、-1,1
D 、1,2
32．若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4， 则D=（ B ）
A 、-8
B 、8
C 、-20
D 、20
33. 设A 为n 阶方阵，且|A |=4，则|1
4A |=14
1-n ⎽⎽⎽A ⎽⎽⎽⎽ 。

（A ） 114n -； （B ）14n ； （C ）114n + ； （D ）21
4
n +。

34、行列式_______.c a b
a b c b c a
=3333c b a abc --- 35．设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩
阵，A *为A 的伴随矩阵，则B =（ B ）. （A ）
13； （B ）19； （C ）14； （D ）13。

36、 二次型222
1231231213(,,)3264f x x x x x x x x x x =-++-的矩阵为 D
（A ）521212
12111⎛⎫
- ⎪
⎪
⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭
； （B ）541411112-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭；
（C ）522211212-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭； （D ）332320201-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。

37．设矩阵10102102,()03110244A r A *⎛⎫
⎪--
⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭
则⎽⎽⎽⎽⎽⎽1⎽⎽ 。

（A ）0； （B ）3； （C ）1； （D ）4。

38．设A 、B 均为三阶矩阵，且┃A ┃=4，┃B ┃=-2，则*-A B 1)3(=⎽⎽-8/27⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。

（其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵）
39．设实对称矩阵⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，则与矩阵A 相似的对角阵为⎽⎽⎽⎽A ⎽⎽⎽⎽ 。

（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010004； （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001； （C ）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-200010001； （D ）⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛200010004。

40． 设312312311212,,,,R ξξξηηηηξηξξ==-和是的两组基，其中，，
3123ηξξξ=--，
则32132ξξξα+-=关于基321321,,,,ηηηξξξ和的坐标为⎽⎽⎽（1，-2，3）和（-1，5，-3）⎽⎽⎽⎽⎽ 。

41 矩阵3151A ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
的特征值是（ C ）
A 、12λ=，24λ=；
B 、12λ=-，24λ=-；
C 、12λ=-，24λ=；
D 、12λ=，24λ=-。

42. 已知20010132025A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求A ，1A -，*1()A - 答案 14
A =-， 11000106042A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， *1400()0260410A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦。

43 n 阶矩阵A 可以对角化的充分必要条件是（ B ）。

A 、A 有n 个不全相同的特征值；
B 、A 有n 个线性无关的特征向量；
C 、A 有n 个不相同的特征向量；
D 、T A 有n 个不全相同的特征值。

44．设矩阵120826,435534A B -⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足方程2A+X=B-2X ，则X=⎽⎽⎽
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---21122
2⎽⎽⎽⎽⎽。

45．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1
213A -⎛⎫
⎪⎝⎭有一个特征值等于
B 。

（A ）34； （B ）4
3
；
（C ）2
1
； （D ）4
1
46．设-3是三阶实对称矩阵A 的二重特征值，且A 的迹tr （A ）=-1，那么1A -的特征 值为⎽⎽⎽⎽⎽1/5，-1/3，-1/3⎽⎽⎽ 。

47．已知线性方程组12341234
123412342313633153510121x x x x x x x x x x tx x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩，参数t= ⎽⎽⎽2⎽⎽⎽⎽⎽时，方程组有无穷多解。

48．设矩阵1121020601,()15252A r A -⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪--⎝⎭
则⎽⎽⎽⎽⎽⎽C ⎽⎽ 。

（A ）0； （B ）3； （C ）2； （D ）4
49．行列式
11101
101
_______.10110111
= B （A ）3； （B ）-3； （C ）6； （D ）-6。

50．二次型222
1231231213(,,)3224f x x x x x x x x x x =+-+-的矩阵为 3
121
10202-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭
51．方阵A 经过行的初等变换变为方阵B ，且0,A ≠则必有 （ D ）
();();()00()0.
A A
B B A B
C B B
D B =≠=≠≠或与所做变换无关;
52. 设A 为m ⨯n 矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，且m <n ，则 ⎽⎽⎽|BA |=0⎽⎽⎽⎽⎽ 。

53．设矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则=-*1)(A 521220101--⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
54．设A 为n 阶可逆矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则 1
n A A
-*=
55．已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--的秩为2，则t=⎽⎽⎽⎽⎽3 ⎽⎽。

56．设A 为m ×n 矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是：（ A ） （A ）A 的列向量线性无关；（B ）A 的列向量线性相关； （C ）A 的行向量线性无关；（D ）A 的行向量线性相关。

57．设有向量组123,,ααα和向量β：123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0);(0,3,1)αααβ====
则向量β由向量组123,,ααα的线性表示是 。

A
123123123123
()23;()23()23()23A B C D βαααβαααβαααβααα=+-=--=---=++
58．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1
313A -⎛⎫
⎪⎝⎭
有一个特征值等
于（ 3
8
）。

59．方程组1234123
41234123432024602378060x x x x x x x x x x x x
x x x x
++-=⎧⎪++-=⎪⎨++-=⎪⎪-++=⎩有一个基础解系为
12(2,1,1,0),(2,4,0,1);ηη=--=-
60．α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解向量，且
r （A ）=3，α1=（1，2，3，4）T ，α2+α3=（0，1，2，3）T ，c 表示任意常数，则线性方程组AX=B 的通解X=（ C ） （A ）（1，2，3，4）T +c （1，1，1，1）T （B ）（1，2，3，4）T +c （0，1，2，3）T （C ）（1，2，3，4）T +c （2，3，4，5）T （D ）（1，2，3，4）T +c （3，4，5，6）T
61．若三阶行列式1
23
1
23
1
2312312
31
2
3
221,22x x x z z z y y y y y y z z z x x x =-=则（ 2 ）
62．若三阶行列式D 的第二行的元素依次1，2，4，它们的余子式分别为4，2，1，则
D=（ -4 ）
63．设A 和B 为可逆矩阵，⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=00
B A X 为分块矩阵，则X -1
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--00
11A B 64．设A 和B 均为n 阶方阵，且满足BA=0，则必有（ |A|=0或|B|=0 ）。

65．设三阶矩阵A 的特征值为3，3，-3，则行列式
=+-133
1
A A ( -8 )。

66．设矩阵10010123015A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则=-*1)(A （9A ） 。

67．二次型222
1231231323(,,)262f x x x x x x x x x x =---+的矩阵为( ).
（A ）103011312-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭； （B ）313101312-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪--⎝⎭；
（C ）122211212-⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪
---⎝⎭
； （D ）321211112-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭。

68．设有向量组α1=（1，-1，2，4）,α2=（0，3，1，2）α3=（3，0，7，14）,
α4=（1，-2，2，0）,α5=（2，1，5，10）
则该向量组的极大线性无关组是（α1，α2，α4 ）
69．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的（ C ）。

（A ）充分必要条件；
（B ）必要而非充分条件； （C ）充分而非必要条件；
（D ）既非充分也非必要条件
70．设A 、B 均为三阶矩阵，且3,3A B ==-，则*-A B 1)3(=（1
9- ）。

（其中
*A 为矩阵A 的伴随矩阵）。