(易错题精选)初中数学图形的相似全集汇编及答案解析(1)

（易错题精选）初中数学图形的相似全集汇编及答案解析(1)

一、选择题

1．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）

A．AF＝1

2 CF

B．∠DCF＝∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD

3

【答案】D

【解析】

【分析】

由AE=1

2

AD=

1

2

BC，又AD∥BC，所以

1

2

AE AF

BC FC

==，故A正确，不符合题意；

过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1

2

BC，得到

CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；

根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；

由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．

【详解】

解：A、∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴AE

BC

＝

AF

FC

，

∵AE＝1

2

AD＝

1

2

BC，

∴AF

FC

＝

1

2

，故A正确，不符合题意；

B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝1

2 BC，

∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF＝DC，

∴∠DCF＝∠DFC，故B正确，不符合题意；

C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C正确，不符合题意．

D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有b

a

＝

2

a

．

∵tan∠CAD＝CD

AD

＝

b

a

＝

2

2

，故D错误，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

2．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】D

【解析】

分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性

质可得出AF AB

GF GD

=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出

CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=CD ，AB ∥CD ，

∴∠ABF=∠GDF ，∠BAF=∠DGF ，

∴△ABF ∽△GDF ， ∴AF AB GF GD

==2， ∴AF=2GF=4，

∴AG=6． ∵CG ∥AB ，AB=2CG ，

∴CG 为△EAB 的中位线，

∴AE=2AG=12．

故选D ．

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．

3．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：

①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBF DEG ∆∆:；④23

BFC BEF S S ∆∆=

．其中所有正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】

【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13

a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．

【详解】

解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，

∴∠DFG ＝∠A ＝90°，

在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，

AD DF DG DG ⎧⎨⎩

＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；

设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，

∵BE ＝EC ，

∴EF ＝CE ＝BE ＝

12

a

∴GE=12

a+x 由勾股定理得：EG 2＝BE 2＋BG 2，

即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x ＝13

∴BG ＝2AG ， 故②正确；

∵BE ＝EF ，

∴△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，

∴△EBF 与△DEG 不相似，

故③错误；

连接CF ，

∵BE ＝CE ，

∴BE ＝12

BC ， ∴S △BFC ＝2S △BEF ．

故④错误，

综上可知正确的结论的是2个．

故选：B ．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．