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2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试(十九)理科数学

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2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案

2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案

| 4 - x 22河北衡水中学 2020 年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {x ∈ Z 1≥ 0}， B = {x | ≤ 2x ≤ 4} ，则 A I B =（ ）x + 2 4A ． {x | -1 ≤ x ≤ 2}B ．{-1,0,1,2}C ． {-2, -1,0,1,2}D ．{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，若复数 z = 1 - ti1 + i在复平面内对应的点在第四象限，则 t 的取值范围为（ ）A ． [-1,1]B ． (-1,1)C ． (-∞, -1)3.下列函数中，既是偶函数，又在 (-∞,0) 内单调递增的为（）D ． (1,+∞)A. y = x 4 + 2 x B ． y = 2|x|C. y = 2 x - 2- x D ． y = log | x | -11 24.已知双曲线 C ： 1 x2 x2- y 2 = 1与双曲线 C：- y 2 = -1 ，给出下列说法，其中错误的是（ ） 2A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列 {a } 中，“ a ， a 是方程 x 2 + 3x + 1 = 0 的两根”是“ a = ±1 ”的（）n 4128A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，则输出的 S 值为（）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．10087.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πA．(-52B．a2+b2≥2ab(a>0,b>0)1ππ1π1+B．+1C．+D．+6312123438.已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示，则函数g(x)=A c os(ϕx+ω)图象的一个对称中心可能为（）1111,0)B．(,0) C.(-,0)D．(-,0)26269.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，B C=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a+b≥ab(a>0,b>0)2abC.≤ab(a>0,b>0)a+b D．a+b a2+b2≤22(a>0,b>0)10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768 C.810D．81611.焦点为F的抛物线C：y2=8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当|MA||MF|取得最大值时，f ( x) = ⎨ x 2 + 2g ( x) = ax + 1 ，对 ∀x ∈ [-2,0] ， ∃x ∈ [-2,1]，使得 g ( x ) = f ( x ) ，则实数 ,3 < x ≤ 4, ⎪A ． (-∞, - 1 14.已知实数 x ， y 满足不等式组 ⎨ x + 2 y - 5 ≥ 0, 且 z = 2 x - y 的最大值为 a ，则 ⎰ a cos 2 ⎪ y - 2 ≤ 0,直线 MA 的方程为（）A ． y = x + 2 或 y = - x - 2C. y = 2 x + 2 或 y = -2 x + 2B ． y = x + 2D ． y = -2 x + 212.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = 2 f ( x ) ，且当 x ∈ [2,4] 时，⎧- x 2 + 4 x ,2 ≤ x ≤ 3, ⎪ 1 2 2 1⎩ xa 的取值范围为（）1) U[ , +∞)8 8B ． [- 1 1,0) U (0, ]4 8C. (0,8]1 1D ． (-∞, - ] U[ , +∞)4 8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.r r r r r r r13.已知 a = (1,λ ) ， b = (2,1) ，若向量 2a + b 与 c = (8,6) 共线，则 a 和 b 方向上的投影为．⎧ x - y - 2 ≤ 0,⎪ π ⎩0 x 2dx = ．15.在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， b tan B + b tan A = -2c tan B ，且 a = 8 ， ∆ABC的面积为 4 3 ，则 b + c 的值为．16.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） A - BCD 的外接球， BC = 3 ，AB = 2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE ，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知 (1+ x) + (1+ x)2 + (1+ x)3 + L + (1+ x)n 的展开式中 x 的系数恰好是数列 {a } 的前 n 项和 S .n n（1）求数列 {a } 的通项公式；n（2）数列{b}满足b=n n(22a nan-1)(2a n+1-1)，记数列{b}的前n项和为T，求证：T<1.n n n18.如图，点C在以AB为直径的圆O上，P A垂直与圆O所在平面，G为∆AOC的垂心.（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；（2）若P A=AB=2A C=2，求二面角A-OP-G的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知椭圆C：x2y240+=1(a>b>0)的长轴长为6，且椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=的公共弦长a2b29为4103.（1）求椭圆C的方程.（2）过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x)=2ln x-2mx+x2(m>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；23 ⎪ x =4 + 已知直线 l 的参数方程为 ⎨（2）当 m ≥ 3 2时，若函数 f ( x ) 的导函数 f '(x) 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，其横坐标分别为 x ，1x ( x < x ) ，线段 AB 的中点的横坐标为 x ，且 x ， x 恰为函数 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，求证：212122( x - x )h '(x ) ≥ - + ln 2 . 1 2 0请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 .22.选修 4-4：坐标系与参数方程⎧ 2 ⎪ 2⎪ y = 2 t ⎪⎩ 2 t,（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ ，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点.（1）求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长；（2）动点 P 在圆 C 上（不与 A ， B 重合），试求 ∆ABP 的面积的最大值.23. 选修 4-5：不等式选讲.已知函数 f ( x ) =| 2 x - 1| + | x + 1| .（1）求函数 f ( x ) 的值域 M ；（2）若 a ∈ M ，试比较 | a - 1| + | a + 1| ，3 7， - 2a 的大小.2a 2即S=122参考答案及解析理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA6-10:BCCDB11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3514.3π15.4516.[2π,4π] 5三、解答题17.解：（1）(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+L+(1+x)n的展开式中x的系数为C1+C1+C1+L+C1=C2+C1+C1+L+C1=C2= 123n223n n+11n2+n，n 11n2+n，22所以当n≥2时，a=S-Sn n n-1=n；当n=1时，a=1也适合上式，1所以数列{a}的通项公式为a=n.n n（2）证明：b=n2n11=-(2n-1)(2n+1-1)2n-12n+1-1，所以Tn111111=1-+-+L+-=1-3372n-12n+1-12n+1-1，所以T<1.n18.解：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为∆AOC的重心，所以M为AC的中点.因为O为AB的中点，所以OM//B C.因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以OM⊥AC.因为P A⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，所以P A⊥OM.又P A⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，P A I AC=A，所以OM⊥平面PAC.即OG⊥平面PAC，又OG⊂平面OPG，所以平面OPG⊥平面PAC.z 13 1 3 3 1 ⎧ 3⎪ n ⋅ O M = - x = 0, ⎪ 2⎪n r ⋅ O P r = - 3 x + 1 y + 2 z = 0,H = CH cos ∠HCB = 3H = CH sin ∠HCB = uuur r| CH ⋅ n | 设二面角 A - OP - G 的大小为 θ ，则 cos θ = uuu r r = =uuur uuur uuur（2）以点 C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为 x ，y ，轴正方向建立空间直角坐标系 C - xyz ，则 C (0,0,0) ，A(0,1,0) ，B( 3,0,0) ，O( uuuur uuur , ,0) ，P(0,1,2) ，M (0, ,0) ，则 OM = (- ,0,0) ，OP = (- , , 2) .2 2 2 2 2 2r uuuur r平面 OPG 即为平面 OPM ，设平面OPM 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ uuu ⎪⎩ 2 2r令 z = 1，得 n = (0, -4,1) .过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H ，由 P A ⊥ 平面 ABC ，易得 CH ⊥ P A ，又 P A I AB = A ，所以 CH ⊥ 平面 P AB ，uuur即 CH 为平面 P AO 的一个法向量.1 3在 Rt ∆ABC 中，由 AB = 2 A C ，得 ∠ABC = 30︒ ，则 ∠HCB = 60︒ ， CH = CB =2 2 .所以 x3 ， y4 4.uuur 所以 CH = (3 3, ,0) . 4 43 3 | 0 ⨯ -4 ⨯ + 1⨯ 0 | 4 4| CH | ⋅ | n | 3 9+ ⨯ 42 + 12 16 162 5117.19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则P( A ) = C 3 3 = C 3 101 120，C2C17=3所以E(X)=0⨯1~B(3,3所以4得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE⊥AB.由⎨x2y2得(8+9k2)x2+36kx-36=0，故⎪+所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)⋅P(A)=114400.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000.P(X=0)=C33=C31017，P(X=600)=，120C34010P(X=700)=C1C237=C31021C3，P(X=1000)=7=40C310724，故X的分布列为，72171+600⨯+700⨯+1000⨯=764（元）.1204040246若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，由已知可得Y39)，故E(Y)=3⨯=，101010所以E(Z)=E(1000-200Y)=1000-200E(Y)=820（元）.因为E(X)<E(Z)，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得2a=6，所以a=3.由椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=可得椭圆C经过点(2,±210)，340=1，解得b2=8.+99b2x2y2所以椭圆C的方程为+=1.98409410的公共弦长为，恰为圆M的直径，3（2）直线l的解析式为y=kx+2，设A(x,y),B(x,y)，AB的中点为E(x,y).假设存在点D(m,0)，使112200⎧y=kx+2,⎪=1,⎩989k 2 + 8 9k 2 + 8- 09k 2 + 8-18k k 9k + 8 < x <x + x =- 1 2 36k 9k 2 + 8，-18k 16所以 x = ， y = kx + 2 =0 0 0. 因为 DE ⊥ AB ，所以 k DE =- 1 k，161 即 =- ，- m9k 2 + 8所以 m = -2k -2 =9k 2 + 8 k.8当 k > 0 时， 9k + ≥ 2 9 ⨯ 8 = 12 2 ，k所以 -2 ≤ m < 0 ；12当 k < 0 时， 9k + 8 k≤ -12 2 ，所以 0 < m ≤ 2 12 .综上所述，在 x 轴上存在满足题目条件的点 E ，且点 D 的横坐标的取值范围为 [- 2 2,0) U (0, ] .12 122( x 2 - mx + 1)21. 解：（1）由于 f ( x ) = 2ln x - 2mx + x 2的定义域为 (0, +∞) ，则 f '(x) = .x对于方程 x 2 - mx + 1 = 0 ，其判别式 ∆ = m 2 - 4 .当 m 2 - 4 ≤ 0 ，即 0 < m ≤ 2 时， f '(x) ≥ 0 恒成立，故 f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增.m ± m 2 - 4当 m 2 - 4 > 0 ，即 m > 2 ，方程 x 2 - mx + 1 = 0 恰有两个不相等是实根 x =，2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4令 f '(x) > 0 ，得 0 < x < 或 x > ，此时 f ( x ) 单调递增；2 2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4 令 f '(x) < 0 ，得 ，此时 f ( x ) 单调递减.2 2综上所述，当 0 < m ≤ 2 时， f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增；当 m > 2 时， f ( x ) 在 ( m - m 2 - 4 m + m 2 - 4, )2 2xxx - xx x + x x - x 2 2 1 2 xt因为 m ≥ 3 2内单调递减，在 (0, m - m 2 - 4 m + m 2 - 4) ， ( , +∞) 内单调递增.2 22( x 2 - mx + 1)（2）由（1）知， f '(x) = ，所以 f '(x) 的两根 x ， x 即为方程 x 2 - mx + 1 = 0 的两根.因为1 2m ≥ 3 22，所以 ∆ = m 2 - 4 > 0 ， x + x = m ， x x = 1 .1 2 1 2又因为 x ， x 为 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，1 2所以 ln x - cx 2 - bx = 0 ， ln x - c 2 - bx = 0 ，两式相减得 ln 1 11 2 22x1 - c( x - x )( x + x ) - b ( x - x ) = 0 ，得1 2 1 2 1 2 2x ln 1xb == c( x + x ) . 1 2 12而 h '(x) =1- 2cx - b ，所以xxln 11 2 x( x - x )h '(x ) = ( x - x )( - 2cx - b ) = ( x - x )[ - c( x + x ) -+ c( x + x )] 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 12 12x1 - 12( x - x ) x x= - ln 1 = 2 ⋅ 2 x + x x x 1 2 2 1 + 1 x2x - ln 1 .x 2令x1= t (0 < t < 1) ，由 ( x + x )2 = m 2 得 x 2 + x 2 + 2 x x 12121 22= m 2 ，因为 x x = 1 ，两边同时除以 x x ，得 t +1+ 2 = m 2 ，1 2 1 21 5 1 1，故 t + ≥ ，解得 0 < t ≤ 或 t ≥ 2 ，所以 0 < t ≤ .2 t 2 2 2设 G(t ) = 2 ⋅ t - 1 t + 1- ln t ，所以 G '(t ) =-(t - 1)2 t (t + 1)2 < 0 ，则 y = G(t ) 在 (0, 1 2] 上是减函数，所以 G(t ) min 1 2= G( ) = - + ln 2 ， 2 33 圆 C 的参数方程为 ⎨ （ θ 为参数），y = 2sin θ ,123. 解：（1） f ( x ) = ⎨2 - x, -1 ≤ x ≤ ,2 ⎪⎩ 2 2 2 2即 y = ( x - x )h '(x ) 的最小值为 - 1 2 0 2 3 + ln 2 .2所以 ( x - x )h '(x ) ≥ - + ln2 .1 2 0 22.解：（1）由 ρ = 4cos θ 得 ρ 2 = 4ρ cos θ ，所以 x 2 + y 2 - 4 x = 0 ，所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x - 2)2 + y 2 = 4 .将直线 l 的参数方程代入圆 C : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，并整理得 t 2 + 2 2t = 0 ，解得 t = 0 ， t 1 2 = -2 2 .所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 | t 1 - t |= 2 2 .2（2）直线 l 的普通方程为 x - y - 4 = 0 .⎧ x = 2 + 2cos θ ,⎩可设曲线 C 上的动点 P(2 + 2cos θ ,2sin θ ) ，则点 P 到直线 l 的距离d = | 2 + 2cos θ -2sin θ - 4 |2 2 + 2 .π π=| 2cos(θ + ) - 2 | ，当 cos(θ + ) = -1 时，d 取最大值，且 d 的最大值为4 4所以 S∆ABP 1 ≤ ⨯ 2 2 ⨯ (2 + 2) = 2 + 2 2 ，2即 ∆ABP 的面积的最大值为 2 + 2 .⎧⎪ -3x, x< -1,⎪⎪ ⎪⎪1 3x, x > .根据函数 f ( x ) 的单调性可知，当 x = 1 1 3时， f ( x ) = f ( ) = . min所以函数 f ( x ) 的值域 M 3 = [ , +∞) .23 3（2）因为 a ∈ M ，所以 a ≥ ，所以 0< 2 2a又 | a - 1| + | a + 1| = a - 1 + a + 1 = 2a ≥ 3 ， ≤ 1.所以a≥32，知a-1>0，4a-3>0，(a-1)(4a-3)37所以>0，所以>-2a，2a2a237所以|a-1|+|a+1|>>-2a.2a2。

2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷含答案

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河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数122z =--，则||z z +=（ ） A．122-- B．122i -+ C．122+ D．122- 2.集合2{|30}A x x x =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B I =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得 B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.2 B ．3 C.4D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE =u u u r u u u r，3AD AF =u u u r u u u r ，AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ．1 C.32D ．-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A.906 B ．1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．808π+B ．804π+C ．808π-D ．804π- 8.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤ C.2015?n < D ．2017?n < 9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A.3 B ．72 C.185D ．4 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00(2)()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3|MA ，若=2，则||AF =（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．311.若定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，则当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4(,)33ππ B ．4(,)33ππ- C.(0,)3π D ．(,)33ππ-12.已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e< C.002ln 0x x += D ．002ln 0x e x += 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若26()baxx+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B 两点，点)C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 16.已知下列命题：①命题“x R ∀∈，235x x +<”的否定是“x R ∃∈，235x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （1）证明：数列{1}nS n+为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++L .18.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||32BC =其周长为632+，若点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.21. 已知函数2()xf x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C ，2C 的直角坐标方程；（2）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为H ，I ，J ，K ，求||||||HI JK -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知a ，b 为任意实数.（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数4224()|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC二、填空题13.2 14.② 三、解答题17.解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n S n+为等比数列.（2）由（1）知111(1)221n nn S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L . 设212222nM n =⨯+⨯++⋅L ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n nn n T n ++=-⋅+-.18.解：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以ACBC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥. 又因为BCAC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角. 因为在Rt ACE ∆中，sin 4532BE BC =︒=，所以在Rt BAE ∆中，6sin BE BAE AB ∠==. 19.解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45. 所以412(0)(1)(1)5315P X ==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X ==-+-⨯=，414(2)5315P X ==⨯=.所以X 的分布列为：所以9417()012151515E X =+⨯+⨯=. 20.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则||||6||AB AC BC +=>， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆.所以26a =，232c =所以3a =，2c =， 所以22292ba c =-=， 所以点A 的轨迹方程为221(0)992x y y +=≠. 设(,)T x y ，点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =，所以(3,3)A x y ，代入221992x y +=，整理可得点T 的轨迹E 的方程是221(0)12y x y +=≠. （2）证明：设(,0)(0)M m m >，由||||1OM ON ⋅=得1(,0)N m，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)R x y .由题意，直线QM 不与坐标轴平行，11QM y k x m =-，直线QM 的方程为11()y y x m x m=--.与椭圆方程联立，消去y ，得22211(12)2(1)m mx x m x x +---+222111(2)0mx x m x --=.所以2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222111131221212mx x m x x x x x m mx --==+-， 所以23x x =，或10x =. 当23x x =时，PR x ⊥轴.当10x =时，2221m x m =+，322212211()1mmx x m m⋅===++，PR x ⊥轴， 所以||||MP MR =， 所以MPR ∆是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得'()2xf x e x =-，则'(0)1f b ==. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()y f x =，得1a =-，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--. 由'()10xg x e =-=，得0x =，当(,0)x ∈-∞，'()0g x <，()y g x =单调递减； 当(0,)x ∈+∞，'()0g x >，()y g x =单调递增. 所以min ()(0)0g x g ==，所以2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()()f x x x ϕ=，0x >，得2'()()'()xf x f x x xϕ-==22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)x x e x x ---. 由（2）可知，当(0,)x ∈+∞时，10xex -->恒成立，令'()0x ϕ>，得1x >；令'()0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，故min ()(1)2x e ϕϕ==-，所以min ()2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为，1234,,,t t t t ，如图.连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+=1414|||||1||()1|t t t t -+=-++.把1 2,23 2x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=，得23824t t=-，即238320t t+-=，故1483t t+=-，所以11||||||3HI JK-=.23. 解：（1）42242264()a ab b ab a b++-+=2222222()4()4a b ab a b a b+-++⋅=222(2)a b ab+-4()a b=-，因为4()0a b-≥，所以42242264()a ab b ab a b++≥+.（2）4224()|2(16)|f x x a a b b=-+--332|(221)|x a b ab+-+-=4224|2(16)|x a a b b-+--+ 33|22(221)|x a b ab-+-≥33|[22(221)]x a b ab-+--4224[2(16)]|x a a b b-+--=4|()1|1a b-+≥.即max()1f x=.。

2020年河北省衡水中学高考(理科)数学临考模拟试卷 (解析版)

2020年河北省衡水中学高考(理科)数学临考模拟试卷 (解析版)

2020年河北省衡水中学高考（理科）数学临考模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．807．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣428．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）二、填空题（共4小题）.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由1+zi＝0，得．故选：C．2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝（1，+∞），B＝（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），∴A∪B＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，利用同角三角函数基本关系式，即可求解cosα，tanα的值．解：∵，，∴，∴tanα＝2．故选：A．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，结合图形分析可得点P到三个顶点距离小于1的区域面积为三个扇形面积之和，求出其面积，计算三角形的面积，由几何概型公式计算可得答案．解：根据题意，在△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，点P到三个顶点距离小于3的区域面积为三个扇形面积之和，即S＝×π＝，则点P到三个顶点距离都大于1的概率P＝；故选：B．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据三分损益原理计算即可．解：按照三分损益原理，故选：A．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．80【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为两个长方体的组合体，其中每个长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．则其表面积可求．解：由三视图还原原几何体如图，则其表面积为S＝（40﹣4）×2＝72．故选：C．7．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣42【分析】先求出（﹣）8的通项公式，再分类求出含项的系数．解：∵（﹣）8的通项公式为T r+1＝••（﹣）r＝（﹣1）r••x，令﹣8＝﹣5得r＝2；令﹣4＝﹣2得r＝4；故选：D．8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，利用对称性和函数值的对应性进行排除即可．解：由|x|﹣2≠0得x≠±2，f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项B、D，故选：A．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由，得∠DAC＝30°，求出∠DAB＝60°，推导出∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，由此能求出异面直线AD1与DC1所成角的余弦值．解：由，得∠DAC＝30°，所以∠DAB＝60°，所以AD＝DD1，．则∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，利用勾股定理求出，所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为．故选：B．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由，可得：，即，利用e＝即可求解．解：如图，可得OA＝a，OF＝c，∠OPF＝90°，tan，由，可得FP•FO cos∠POA＝×，∴，即可得，∴e4＝2，e＝．故选：D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】由已知结合正弦定理进行化简后，再结合两角和的正切公式进行化简即可求解．解：由，利用正弦定理得，即6tan A＝3tan B＝2tan C，代入，所以．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）【分析】易知x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点，则f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，即与y＝a的图象有两个不为零的不同交点，作出函数h（x）的图象，即可求出实数a的取值范围．解：（1）当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，所以x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点；即f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，又h（x）＝＝，所以当x＜0时，h1′（x）＞0，h1（x）单调递增；令，x≥1，则，当x∈（3，+∞）时，h2′（x）＜0，h2（x）单调递减，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为56π．【分析】由球的截面性质得出长方体的三条棱长，从而得球半径，可计算出面积．解：由题意长方体相邻的三条棱长为2，4，6，外接球直径等于长方体对角线，所以，故答案为：．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．【分析】设出A的坐标，代入圆的方程，求解P即可．解：圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D 两点，且坐标原点O是AC的中点，代入圆的方程，解得．故答案为：．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于6．【分析】由题意，利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得ω的最小值解：由图象平移规律，可知，由f（x）与g（x）的图象关于点对称，化简，得恒成立，所以正数ω的最小值为6，故答案为：6．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是[﹣7，7]．【分析】将已知条件中的等式变形为，两边平方，再结合平面向量数量积的运算，化简整理后可推出+2+1≤+2+，即，从而得解．解：因为，所以，等式两边平方，得①．所以≤•，即+2+3≤25+2+25，所以．故答案为：[﹣6，7]．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．解：（1）因为{a n}各项为正数，设{a n}的公比为q，（q＞0），{b n}的公差为d，所以，b n＝n+1．所以＝．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式，即可求出对应的概率值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）记A1表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“好评”；A2表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“一般”；B2表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”；因为两个班级的评价相互独立，所以．差评好评或一般总计H平台51520G平台21820总计73340计算得，所以没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．【分析】（1）先计算出NC和MN的长度，再结合勾股定理可证得MN⊥NC；由中位线的性质可得MN∥AB，而AB⊥BD，故MN⊥BD；然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证．（2）根据二面角的定义可证得∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°．法一：以B为原点，BC、BA为x、y轴，建立空间直角坐标系，逐一写出B、C、M、N的坐标，根据法向量的性质求得平面MNC的法向量，设直线BM和平面MNC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．法二：取CN的中点E，连接BE，由面面垂直的性质定理可证得BE⊥平面MNC，故∠BME为直线BM和平面MNC所成的角，在Rt△ABD中，求得sin∠BME，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．【解答】（1）证明：在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点，∴．∵M、N分别是AD、BD的中点，∴MN∥AB，，∵AB⊥BD，MN∥AB，∴MN⊥BD，∵MN⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCD．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，．设平面MNC的法向量，则，即，设直线BM和平面MNC所成角为θ，∵θ∈[0，]，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，又∵平面MNC⊥平面BCD，平面MNC∩平面BCD＝NC，∴∠BME即为直线BM和平面MNC所成的角．∴，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及焦距，求解c，a，然后求解b，得到椭圆方程．（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），由，求出弦长MN，求出A到直线l的距离，推出三角形的面积的表达式，然后求解最大值即可．解：（1）由题意可知，，根据，得a＝4，b＝4，（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），得，，＝．所以＝，当k＜0时，，当且仅当时，等号成立，所以S△AMN的最大值为．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a，结合导数与单调性关系即可求解；（2）结合结论lnx≤x﹣1，构造函数g（x）＝f（x）+f（）﹣1，结合导数可得出f（x1），然后结合f（x1）+f（x2）＝1，及f（x）在（0，+∞）上单调性即可证明．解：（1），由题意可得，f′（5）＝3+2a＝4，解可得a＝，令m（x）＝lnx+x++4，则＝，故m（x）＝f′（x）＞f′（1）＞0恒成立，（2）设n（x）＝lnx﹣x+1，则，当x＝1时，n（x）取得最大值n（1）＝0，令g（x）＝f（x）+f（）﹣1＝（x+2）lnx+﹣（4+）lnx+，设h（x）＝（1+）lnx，则＝＞0，故当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≥g（1）＝5，即f（x）+f（）﹣1≥0，当x＝1时等号成立，所以4﹣f（x2）≥1﹣f（）即f（x2）≤f（），所以x6≤，即x1x2≤7．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用转换关系，把三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．解：（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以直线l1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，即．将x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式，得ρ2＝8ρcosθ．（2）因为直线l2：θ＝α，则A（ρ1，α），B（ρ4，α），所以＝．所以当时，取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．【分析】（1）利用零点分段．再分段解不等式即可；（2）利用绝对值不等式求解最小值为m，利用“乘1”法即可求解的最小值解：（1）依题意得f（x）＝，由不等式f（x）≤3；解得﹣2≤x≤﹣1，或，或．（2）由y＝f（x）+3|x+1|＝|7x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（5x+2）|＝3，即a+b＝3即当且仅当且a+b＝3，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为．。

2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)(解析版)

2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)(解析版)

2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．82．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．45．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．118．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 ．14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 种．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈﹣1N*）,则m地最小值为 ．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 女生 合计 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．8【考点】18:集合地包含关系判断及应用．【分析】解出集合Q,再根据P⊆Q,根据子集地性质,求出子集地个数即为集合P 地个数；【解答】解:集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},∴Q={0,1,2},共有三个元素,∵P⊆Q,又Q地子集地个数为23=8,∴P地个数为8,故选D；2．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【考点】A5:复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、虚部地定义即可得出．【解答】解:复数==i﹣2地虚部为1．故选:B．3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．【考点】BC:极差、方差与标准差．【分析】根据平均数公式先求出a,再计算它们地方差．【解答】解:设丢失地数据为a,则这组数据地平均数是×（a+0+1+2+3）=1,解得a=﹣1,根据方差计算公式得s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选:A．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．4【考点】KC:双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地离心率以及焦点到直线地距离公式,建立方程组即可得到结论．【解答】解:∵:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,∴e=,双曲线地渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F（c,0）到渐近线bx﹣ay=0地距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C5．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或【考点】7C:简单线性规划．【分析】依题意,三条直线围成一个直角三角形,可能会有两种情形,分别计算两种情形下三角形地顶点坐标,利用三角形面积公式计算面积即可．【解答】解:有两种情形:（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直,则k=﹣,三角形地三个顶点为（0,0）,（0,1）,（,）,三角形地面积为s=×1×=；（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直,则k=0,三角形地三个顶点为（0.0）,（0,1）,（,1）,三角形地面积为s=×1×=．∴该三角形地面积为或．故选:D．6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．【考点】GU:二倍角地正切．【分析】将已知等式两边平方,利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解:∵,∴,化简得4sin2α=3cos2α,∴,故选:C．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．11【考点】EF:程序框图．【分析】模拟程序框图地运行过程,求出运算结果即可．【解答】解:起始阶段有m=2a﹣3,i=1,第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9,i=2,第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21,i=3,第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45,i=4,第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93,跳出循环,输出m=32a﹣93=35,解得a=4,故选:A8．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【考点】K8:抛物线地简单性质．【分析】分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD地值,在直角三角形中求得a,进而根据BD∥FG,利用比例线段地性质可求得p,则抛物线方程可得．【解答】解:如图分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,∵|AE|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6,从而得a=1,∵BD∥FG,∴=求得p=,因此抛物线方程为y2=3x．故选C．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．【考点】L!:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中地四个三视图,可知四个三视图,分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥,但其中有一个是错误地,根据A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,可得A,C均正确,而根据AC可判断B正确,D错误．【解答】解:三棱锥地三视图均为三角形,四个解析均满足；且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2地棱锥A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥设A中观察地正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥故选D10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理．【分析】由题意求得cosA=﹣,再由余弦定理,得出关于﹣地方程,构造函数,利用函数零点地判断方法得出cosA地取值范围．【解答】解:△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,∴c=b=2,﹣acosA=1,cosA=﹣＜0,且4＞a＞2；由余弦定理得,cosA==,∴﹣=,化为:8•﹣8•+1=0,令﹣=x∈（﹣,﹣）,则f（x）=8x3﹣8x2+1=0,∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0,f（﹣0.3）=0.064＞0,∴cosA∈（﹣0.4,﹣0.3）．故选:A．11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．【考点】3O:函数地图象．【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1,可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,利用排除法即可得到解析．【解答】解:令f（x）=x3﹣3x2+x+1,则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,∴f（,1）=0,f（1﹣）=0,f（1+）=0,∵sgn（x）=,∴sgn（f（1））=0,可排除A,B；又sgn（f（1﹣））=0,sgn（f（1﹣））=0,可排除C,故选D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]【考点】6B:利用导数研究函数地单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增,分类讨论,根据函数地性质及对勾函数地性质,即可求得实数a地取值范围．【解答】解:由任意地x1,x2∈[1,2],且x1＜x2,由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0,则函数y=丨f（x）丨单调递增,当a≥0,f（x）在[1,2]上是增函数,则f（1）≥0,解得:0≤a≤,当a＜0时,丨f（x）丨=f（x）,令=﹣,解得:x=ln,由对勾函数地单调递增区间为[ln,+∞）,故ln≤1,解得:﹣≤a＜0,综上可知:a地取值范围为[﹣,],故选B．二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是　（）2018　．【考点】DB:二项式系数地性质．【分析】利用二项式定理,对等式中地x赋值﹣2,可求得a0=0,再令x=,即可求出解析．【解答】解:∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018,∴令x=﹣2,得a0=0再令x=﹣,得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018,∴=,故解析为:（）2018,14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有　18　种．【考点】D8:排列、组合地实际应用．【分析】根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,由排列数公式可得其排法数目,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,若A,E种地植物不同；由加法原理可得D、E 区域地排法数目,进而由分步计数原理计算可得解析．【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,三个区域两两相邻,种地植物都不能相同,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,有A33=6种情况,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,则D有2种种法,若A,E种地植物不同,则E有1种情况,D也有1种种法,则D、E区域共有2+1=3种不同情况,则不同地种法共有6×3=18种；故解析为:18．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1N*）,则m地最小值为　8　．【考点】H2:正弦函数地图象．【分析】由正弦函数地有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件地最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣1﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m地最小值为8．故解析为:8．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．【考点】LG:球地体积和表面积．【分析】由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,AD=1,可得四面体ABCD地外接球地半径==,即可求出四面体ABCD地外接球地表面积．【解答】解:由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,∵AD=1,∴四面体ABCD地外接球地半径==,∴四面体ABCD地外接球地表面积为=,故解析为:．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．【考点】8E:数列地求和；82:数列地函数特性；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列地通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论"裂项求和"即可得出．【解答】解:（Ⅰ）∵等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,∴S n==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时,T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时,T n=﹣++…﹣+ =1+=．∴Tn=．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．【考点】MT:二面角地平面角及求法；LS:直线与平面平行地判定．【分析】（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．（II）以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,求出相关点地坐标,求出平面BEF地一个法向量,平面BCF地一个法向量,设平面BCF 与平面BEF所成地锐二面角为θ,利用数量积求解即可．【解答】解:（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD地中点．因为F为DE地中点,所以OF∥BE．因为BE⊄平面ACF,OF⊂平面AFC,所以BE∥平面ACF．（II）因为AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为ABCD为正方形,所以CD⊥AD．因为AE∩AD=A,AD,AE⊂平面DAE,所以CD⊥平面DAE．因为DE⊂平面DAE,所以DE⊥CD．所以以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,则E（2,0,0）,F（1,0,0）,A（2,0,2）,D（0,0,0）．因为AE⊥平面CDE,DE⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为AE=DE=2,所以．因为四边形ABCD为正方形,所以,所以．由四边形ABCD为正方形,得==（2,2,2）,所以．设平面BEF地一个法向量为=（x1,y1,z1）,又知=（0,﹣2,﹣2）,=（1,0,0）,由,可得,令y1=1,得,所以．设平面BCF地一个法向量为=（x2,y2,z2）,又知=（﹣2,0,﹣2）,=（1,﹣2,0）,由,即:．令y2=1,得,所以．设平面BCF与平面BEF所成地锐二面角为θ,又cos===．则．所以平面BCF与平面BEF所成地锐二面角地余弦值为．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生　5 40 45　女生　15 40 55　合计　20　　80　　100　P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）【考点】CG:离散型随机变量及其分布列；BL:独立性检验．【分析】（1）由频率分布表地性质能完成表（一）,从而能完成频率分布直方图,进而求出30岁以下频率,由此以频率作为概率,能估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格,求出K 2=≈4.04＜5.024,从而得到没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2,分别求出相应地概率,由此能求出ξ地分布列．【解答】解:（1）完成表（一）,如下表:年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）150.1578[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555完成频率分布直方图如下:30岁以下频率为:0.1+0.15+0.25=0.5,以频率作为概率,估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为:12000×0.5=6000．（2）完成表格,如下:50岁以上50岁以下合计男生54045女生154055合计2080100K2==≈4.04＜5.024,所以没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2P（ξ=0）==,P（ξ=1）==,P（ξ=2）==．∴ξ地分布列为:ξ012P20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．【考点】KH:直线与圆锥曲线地综合问题．【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆地标准方程及其即可得出；（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x地一元二次方程,利用直线与椭圆相切⇔△=0,即可解得k地值,进而利用垂直与斜率地关系即可证明；（ii）分类讨论:l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,无论两条直线中地斜率是否存在,都有l1,l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4地直径．【解答】（Ⅰ）解:∵椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．∴,,∴=1,∴椭圆方程为,∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明:（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴地交点为P（0,2）,设过点P（0,2）且与椭圆相切地直线为y=kx+2,联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0,解得k=±1,∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2．∵,∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,则l1:,当l1:时,l1与准圆交于点,此时l2为y=1（或y=﹣1）,显然直线l1,l2垂直；同理可证当l1:时,直线l1,l2垂直．②当l1,l2斜率存在时,设点P（x0,y0）,其中．设经过点P（x0,y0）与椭圆相切地直线为y=t（x﹣x0）+y0,∴由得．由△=0化简整理得,∵,∴有．设l1,l2地斜率分别为t1,t2,∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程,∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直．综合①②知:∵l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4地直径,|MN|=4,∴线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中地应用；54:根地存在性及根地个数判断；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数,利用f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,列出方程组求解a,b．（2）通过a=0,a＜0,判断方程地解．a＞0,求出函数地导数判断函数地单调性,求出极小值,分析出当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a ＞e时方程有两解．【解答】解:（1）因为:（x＞0）,又f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b所以解得:a=2,b=﹣2ln2…（2）当a=0时,f（x）在定义域（0,+∞）上恒大于0,此时方程无解；…当a＜0时,在（0,+∞）上恒成立,所以f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数．∵,,所以方程有惟一解．…当a＞0时,因为当时,f'（x）＞0,f（x）在内为减函数；当时,f（x）在内为增函数．所以当时,有极小值即为最小值…当a∈（0,e）时,,此方程无解；当a=e时,．此方程有惟一解．当a∈（e,+∞）时,,因为且,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解,因为当x＞1时,（x﹣lnx）'＞0,所以x﹣lnx＞1,所以,,因为,所以,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e,+∞）上有惟两解．…综上所述:当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．…[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．【考点】Q4:简单曲线地极坐标方程；O7:伸缩变换．【分析】（I）直线l地参数方程消去数t,能求出直线l地一般方程,由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,能求出曲线C地直角坐标方程,由圆心（2,3）到直线l地距离d=r,得到直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,从而点M地参数方程为（θ为参数）,由此能求出地取值范围．【解答】解:（I）∵直线l地参数方程为（t为参数）．∴消去数t,得直线l地一般方程为,∵曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,∴由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,得曲线C地直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．∵圆心（2,3）到直线l地距离d==r,∴直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,则点M地参数方程为（θ为参数）,∴,∴地取值范围为[﹣2,2]．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．【考点】R2:绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式,然后解绝对值不等式,根据绝对值不等式地解法解之即可；（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式地解法去绝对值,然后利用图象研究函数地最小值,使得1﹣2m大于等于不等式左侧地最小值即可．【解答】解:（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3,2≤x≤8,∴解集为{x|2≤x≤8}；（II）当a=1时,f（x）=|x﹣1|,令,由图象知:当时,g（x）取得最小值,由题意知:,∴实数m地取值范围为．2023年7月23日31。

衡中同卷2019-2020押题卷-数学(理)试卷答案

衡中同卷2019-2020押题卷-数学(理)试卷答案

, 0、B、C
是该图象与
x
轴的交点，过点
B
作直线交该图象
于
D、E
两点，点
F

7 12
，0
是
f
x
的图象的最高点在
x
轴上
(A) 2 2
(B) 2
(C)2
(D)以上答案均不正确
(11)已知点 F1、F2 是双曲线 C：ax22

y2 b2
1 a
0,b 0 的左、
(A)78，96，74，49，50 (B)78，96，74，39，50
(C)78，96，74，50 (D)78，96，74 (6)下列说法正确的是
(A)“ a R ，方程 ax2 2x a 0 有正实根”的否定为
(B)命题“ a、b R ，若 a2 b2 0 ，则 a b 0 ”的逆否

0,
则
F

x,
y


log2

y
1

log
1

x
1
的最小值为___________．
y 1 0,
2
(16)若数列an 满足 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an1 an ，则称数列an 为“差递减”数列．若数列an 是“差递减”数列，且其通项 an 与其前 n
(A) 9 1 46
(B) 9 1
(C) 9 1
(D)
16 2
16 6
9 1 86
编制：衡中同卷学问站 ｗｅｗｅｕ．ｃｏｍ 衡水中学总群 ３８６４２９８７９
(10)已知函数 y 2sin x 0 的部分图象如图所示，

2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(九)理科数学

2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(九)理科数学

2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（九）理科数学第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|90,{|15}A x x B x x =-<=-<„，则A ⋂()B =R ð（ ）A. ()3,0-B. ()3,1--C. (3,1]--D. ()3,3- 【答案】C【解析】【分析】根据集合的补运算和交运算，即可求得结果.【详解】由题知{|33},{|1R A x x B x x =-<<=-ð„或5}x >，所以(){|31}R A B x x ⋂=-<-„ð，故选：C.【点睛】本题考查二次不等式的解法，集合的运算，属于容易题. 2..已知()()5,1,3,2OA OB =-=u u u r u u u r ，AB u u u r 对应的复数为z ，则z =（ ）A. 5i -B. 32i +C. 23i -+D. 23i -- 【答案】D【解析】【分析】根据向量减法坐标公式，解得AB u u u r坐标，再写出对应的复数和其共轭复数. 【详解】由题可知()2,3AB =-u u u r ，故AB u u u r对应的复数为23z i =-+， 则23z i =--，故选：D .【点睛】此题考查复平面内点对应的向量，以及共轭复数的概念，属于容易题.3.已知直线1:70l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则实数m =（ ）A. 3m =-B. 1m =-C. 1m =-或3D. 1m =或3m =- 【答案】C【解析】【分析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果. 【详解】由题意得17232m m m=≠∴- 1m =-或3,选C. 【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题.4.在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100).据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在[80,90)中的学生有（ ）A. 30名B. 40名C. 50名D. 60名【答案】B【解析】【分析】 根据面积之和为1，计算出[80,90)所在长方形的面积，即为频率，乘以样本容量即可.【详解】由题知，成绩在[80,90)内的学生所占的频率为1(0.00520.0250.045)100.2-⨯++⨯=， 所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有2000.240⨯=名，故选：B .【点睛】本题考查频率分布直方图的概念及应用，属于容易题.5.函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2【答案】A【解析】【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】解：令320x -=，解得3log 2x =，令3log 60x +=，解得3log 6x =-，则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-， 故选A.【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）A. 23岁B. 32岁C. 35岁D. 38岁 【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-，又由9207S =，即91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁．故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.函数()()sin x x f x e e x -=+⋅的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据目标函数是奇函数，并且定义域为R ，据此判断.【详解】因为()()()sin()sin ()x x x x f x e e x e e x f x ---=+⋅-=-+⋅=-， 所以函数()f x 是奇函数，根据奇函数图象的特点可以排除A 、D ，又因为函数()f x 的定义域是R ，排除C .故选：B .【点睛】此题考查函数的奇偶性，函数图象识别，属于中档题；一般地，我们从定义域，奇偶性，单调性以及特值得角度来判断.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x =（ ）A. 35B. 911C. 2123D. 4547【答案】C【解析】【分析】 模拟执行程序框图，使得最后退出循环时1873x x -=，即可得解. 【详解】1i =时，21x x =-；2i =时，()221143x x x =--=-；3i =时，()243187x x x =--=-；4i =时，退出循环.此时，1873x x -=，解得2123x =. 故选C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9.设函数()323sin cos 412f x x x x θθ=++- ，其中 50,6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则导数()'1f - 的取值范围是 ( ) A. []36，B. 34+3⎡⎣，C. 4-3⎡⎤⎣⎦，D. 4-33⎡⎣，【答案】A【解析】【分析】 先对原函数进行求导可得到()f x '的解析式，将1x =-代入可求取值范围．【详解】解：Q 32cos ()412f x x x x θ=++-∴2()cos 4f x x x θθ'=++∴(1)cos 42sin()46f πθθθ'--+=-+ Q 5[0,]6πθ∈∴21[,]sin()[,1]66362ππππθθ-∈-∴-∈- []6(1)3f ∴'-∈,故选：A ．【点睛】本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大．10.已知单位向量12,e e u v u u v 分别与平面直角坐标系,x y 轴的正方向同向，且向量123AC e e =-u u u v u v u u v ，1226BD e e =+u u u v u v u u v ，则平面四边形ABCD 的面积为（）A.B. C. 10 D. 20【答案】C【解析】【分析】 由已知可得0AC BD ⋅=u u u r u u u r，可得AC BD ⊥uuu r uu u r ，可得平面四边形ABCD 的面积1||||2AC BD =⋅⋅u u u r u u u r ． 【详解】由向量正交分解的定义可知，(3,1)AC =-u u u r ，(2,6)BD =u u u r ，则||AC ==u u u r ，BD ==u u u r 因为32(1)60AC BD ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥uuu r uu u r ，所以平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积为||||1022AC BD S ⋅===u u u r u u u r . 故选：C.【点睛】本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算，考查推理能力与运算求解能力．11.经过双曲线()222210x y a b a b -=>>的右焦点为F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于,M N 两点，若O 为坐标原点，OMN ∆的面积是223a ，则该双曲线的离心率是（ ） A. 2 【答案】B【解析】 试题分析：双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，设两条渐近线的夹角为θ，则222tan tan 1b b b b ab MON a a a a a b θ⎛⎫⎛⎫=∠=--+⋅-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设FN ON ⊥，则F 到渐近线b y x a=的距离为22bcd b a b ==+，即有22ON c b a =-=，则OMN ∆的面积可以表示为322212tan 23a a a a b θ⋅⋅==-，解得2a b =，则222225 12c a b b e a a a +===+=．故选C ． 考点：双曲线的简单性质．【思路点睛】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tan tan MON θ=∠，求出F 到渐近线b y x a=的距离为b ，即有ON a OMN =∆，的面积可以表示为 1tan 2a a θ⋅⋅，结合条件可得ab ，的关系，再由离心率公式即可计算得到． 12.已知3()|sin |f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q L ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=u u u u v u uL u uv ，则15n n ++L 的值为（ ）A. 1532B. 45C. 452D. 1534【答案】C【解析】【分析】通过分析几何关系，求出230A OC ︒∠=，260A O C ︒∠=，再将i n 表示成222()=i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD =⋅=⋅+⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，结合向量的数量积公式求解即可【详解】 解：由图中几何关系可知，32OE =,23A E =,23OA =21A C =230A OC ︒∠=∴ 260A O C ︒∠=，32//A D A C Q ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥u u u u r u u u u r ． 则2222()cos 6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 1534533522n n ++==L 答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量2OA u u u u r ，OD uuu r是关键 第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 【答案】1【解析】【详解】化简三角函数的解析式，可得()22311cos 3cos 344f x x x x x =--=-++= 23(cos 1x -+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈， 当3cos x =时，函数()f x 取得最大值1．14.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【答案】2 ；-2【解析】((0))(4)2f f f ==；(1)2AB f k '==-．15.如图，在单位圆中，723,PON S MON ∆=∆为等边三角形，且3090POM ︒︒<∠<，则sin POM ∠=__________.53 【解析】【分析】 根据三角形PON 的面积，可求得sin PON ∠，再利用角度关系，应用正弦的和角公式即可求得.【详解】记POM α∠=，∵723PON S ∆=()123sin 602α︒+= ∴()43sin 60α︒+=，∵3090α︒︒<<， ∴9060120α︒︒︒<+<∴()1cos 607α︒+=-， ∴()4311353sin sin 606027αα︒︒⎡⎤=+-=+⨯=⎣⎦故答案为：5314. 【点睛】本题考查三角形的面积，单位圆的概念，角的分拆，和差角的三角函数，数形结合思想、逻辑推理能力等，属于中档题.16.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒．将ABE △绕直线BE 、CDF V 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．【答案】70︒【解析】【分析】由题旋转过程中AB 和DF 成为圆锥的母线，考虑其位置关系即可解答【详解】由题ABE V 绕直线BE 、CDF V绕直线CD 各自独立旋转一周，形成两个圆锥体，AB 和DF 成为圆锥的母线，所以无论怎么旋转，都有ABE 20∠=︒，CDF 30∠=︒．利用几何体性质得：最大角是AB 与BE 的对称直线B A '和DF 关于直线CD 的对称直线D F '在同一平面内时所成角，为ABA DCF 20203070∠∠+=︒+︒+︒=''︒故答案为70︒【点睛】本题考查两异面直线所成的角，圆锥的性质，将问题转化为两个圆锥的母线的位置关系是关键，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17.已知{}n a 是递增的等差数列，且满足241520,36a a a a +=⋅=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*1302n n b a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值. 【答案】（1）42n a n =-；（2）-225.【解析】【分析】（1）巧用等差数列的下标和性质，再由等差数列的基本量，根据题意列方程组即可求得. （2）由（1）知，数列{}n b 是等差数列，故直接用公式法求得n T ，再求其最小值即可. 【详解】（1）因为{}n a 为等差数列， 则241520a a a a +=+=， 又1536a a ⋅=，故15,a a 是方程220360x x -+=的两根， ∵{}n a 是递增的等差数列， 解得152,18a a ==， 则{}n a 的公差182451d -==-， 故24(1)42n a n n =+-=-. （2）由（1）知231n b n =-，因为()121312312n n b b n n +-=+--+=， 故数列{}n b 是首项为-29，公差为2的等差数列， 由公式可得(29231)2n nT n =-+-230n n =-， 由二次函数的单调性，可得当15n =时，n T 的最小值为2151********T =-⨯=-.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式，以及用公式法求解前n 项和，涉及其最小值的求解，属综合性基础题.18.已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ABCD ⊥底面，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点.（1）求证：PA MDB ∥平面 （2）求三棱锥P DBM -的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）12【解析】 【分析】（1）连结AC ，交BD 于O ，//MO PA ，欲证PA MDB ∥平面，只需证//MO PA 即可，再由题意可证明；（2）由已知条件可得1122P DBM C DMB P CDB P ADB V V V V ----===，再求出P ADB V -的体积即可得解. 【详解】解：（1）连结AC ，交BD 于O ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点 又M 为PC 的中点，//MO PA ，又MO MDB PA MDB ⊂⊄平面，平面//PA MDB ∴平面（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD △为正三角形，E 为AD 的中点，由于侧面PAD ABCD ⊥底面，由面面垂直的性质得PE ABCD ⊥平面，由,AD PE AD PB ⊥⊥，得AD PEB ⊥平面.60AD EB EAB ︒∴⊥∴∠=，因为M 为PC 的中点， 所以1122P DBM C DMB P CDB P ADB V V V V ----===113143232=⨯=， 故三棱锥P DBM -的体积为12.【点睛】本题考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求法，重点考查了运算能力，属中档题.19.某校为了了解篮球运动是否与性别相关，在高一新生中随机调查了40名男生和40名女生，调查的结果如下表：喜欢不喜欢总计女生 8男生 20总计（1）根据题意完成上面的列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关？（2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人做进一步调查，从这5人中任选2人，求2人都喜欢篮球运动的概率. 附：()20P K k …0.10 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.82822(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c d d -==+++++++.【答案】（1）填表、分析见详解，能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关；（2）35.【解析】【分析】（1）根据男生和女生各有40个，即可得到表格中的所有数据，再根据表格数据，利用参考公式，计算2K，即可进行判断；（2）先根据分层抽样的等比例抽取的性质，计算出5人中喜欢篮球和不喜欢篮球的人；从而列举出所有从5人中抽取2人的可能性，再找出满足题意的可能性，用古典概型概率计算公式即可求得.【详解】（1）填表如下：∴2280(3220208)7.912 6.63552284040K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关. （2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人，则其中喜欢篮球运动的有325440⨯=（人），不喜欢篮球运动的有85140⨯=（人）设喜欢篮球运动的4人记为,,,A B C D，不喜欢篮球运动的记为a，则从这5人中任选2人的所有结果有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D A a B C B D B a C D C a D a，共10种.其中恰好2人都喜欢篮球运动的有{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D B C B D C D，共6种.所以从这5人中任选2人，2人都喜欢篮球运动的概率为63105 P==.【点睛】本题考查2K 的计算，以及古典概型的概率计算，涉及分层抽样的计算，属综合性中档题.20.已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为1-4． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =u u u u r u u u r，求OAB ∆面积的最大值．【答案】(1) 24x +y 2＝1;(2) △OAB 面积的最大值为1 【解析】 【分析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，可得2121144PA PBy k k x ==--g ．又2211221x y a b +=，代入上式可得：2214b a -=-，2a =，解得b ，即可得出椭圆C 的标准方程．（2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立化为：222(4)240t y mty m +++-=，有2AM MB =u u u u r u u u r，可得122y y =-，利用根与系数的关系可得：22241694t m t +=+．OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，即可得出．【详解】解：（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PA PBy k k x ==--g ． 又2211221x y a b +=，代入上式可得：2214b a -=-， 又2a =，解得1b =．∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． （2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立2244x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，化为：222(4)240t y mty m +++-=， 12224mt y y t ∴+=-+，212244m y y t -=+，Q 2AM MB =u u u u r u u u r，122y y ∴=-，∴122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+． OAB ∴∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +∴==⨯⨯=⨯++++g ．212||1214949||||t S t t t ∴==++„，当且仅当249t =时取等号．OAB ∴∆面积的最大值为1．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21.已知函数21()(32)()2xf x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性； （2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）当0b „时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在)b 上单调递增，在,)b +∞上单调递减；（2）2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据极值点处导数为零，计算出参数m 以及()h x ，再对()h x 求导，对参数b 进行分类讨论，从而求得该函数的单调区间；（2）分离参数，构造函数，通过讨论构造的函数的单调性求得值域，即可求得参数m 的取值范围.【详解】（1）()(32)xf x m e x '=--，因为0x =是函数()f x 的一个极值点，则(0)320f m '=-=，所以23m =， 则21()ln (0)2h x b x x x =->， 当2()b b x h x x x x-'=-=，当0b „时，()0h x '„恒成立，()h x 在(0,)+∞上单调递减，当0b >时，2()000h x b x x '>⇒->⇒<<所以()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. 综上所述：当0b „时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. （2）()f x 在R 上有且仅有一个零点，即方程2322x x m e -=有唯一的解，令2()2xx g x e=， 可得(2)()0,()2xx x g x g x e -'>=， 由(2)()02xx x g x e -'==， 得0x =或2x =，（1）当0x „时，()0g x '„，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，所以()(0)0g x g =…，所以()g x 的取值范围为[0,)+∞. （2）当02x <<时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)上单调递增， 所以0()(2)g x g <<，即220()g x e<<， 故()g x 的取值范围为220,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）当2x …时，()0g x '„，所以()g x 在[2,)+∞上单调递减， 所以(0)()(2)g g x g <„，即220()g x e<„，即()g x 的取值范围为220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 所以，当320m -=或2232m e->， 即23m =或22233m e >+时，()f x 在R 上有且只有一个零点，故m 的取值范围为2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查对含参函数单调性的讨论，以及利用导数研究由函数零点个数求参数范围的问题，涉及分离参数，构造函数的数学方法，属综合性中档题.请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】 【分析】(1)先将1C 和2C 化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l 的普通方程有4x y +=，点(0,4)M ，写出直线l的参数方程4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入曲线1C ：22(5)10x y -+=，设交点,A B 两点的参数为1t ，2t ，根据韦达定理可得12t t +和12t t ，进而求得MA MB +的值．【详解】(1) 曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+= 曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =. 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. (2) 直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题． 23.已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ； （2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥= , 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |⋅|y +z |＞4xyz . （2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ⋅2yz ⋅2xz的最小值.【详解】（1）证明：∵x ，y ，z 均为正数，∴|x +z |⋅|y +z |＝（x +z ）（y +z ）≥4 当且仅当x ＝y ＝z 时取等号． 又∵0＜xy ＜1，∴44xyz >，∴|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ； （2）∵xyz x y z ++＝13，即1113yz xz xy ++=．∵112yz yz yz+=…， 112xz xz xz+=…，12xy xy +=…， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号， ∴1116xy yz xz xy yz xz+++++…， ∴xy +yz +xz ≥3，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz ＝2xy +yz +xz ≥8， ∴2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。

2020年河北衡水中学理科数学高考模拟试卷(含答案)

2020年河北衡水中学理科数学高考模拟试卷(含答案)

2 2✓)20如图，椭圆吓兰+.L = l (a > h > 0)的左右焦点分别为八，九，离心率为—,a b 2 2 7 过抛物线C 2:x 1 =4b y 住点J,的直线交抛物线千M,N两点，当I M们＝－时，M 4点在x轴上的射影为F;。

连接NO,MO并延长分别交c l 于A,B两点，连接AB,� LlOMN与Ll OAR的曲积分别记为S"a,,JN禾11S !,OAB '设/4=兰罕兰s!,OAB (l)求椭圆(_'\和抛物线C \的方程；(2)求入的取值范围x7 解：(1)由抛物线定义可得M (-c,--h),:. 点M在抛物线2=4by J:,47 :.c 1 =4b(--b), 即c 2=7h-4h�(D 4心一又由.:.=—，得c 2= 3b 2, 将上式代入＠，得7b:=7b,解得b = I , .". c =✓3,a 2:. a= 2,X 2 所以仙线c l 的方程为—+y 2 = 1, 曲线c 2的方程为x 2=4y 4 (2)设直线M N的方程为y =kx+I,由｛y =kx + 1 消去Y挔理得x 2-4kx—4= 0, x -= 4y 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则X 1X 2=-4,V, y 1 I 1 1 设从=m,k 。

�1= n 1', 则mm'=.:....=.—=—X1X 2=--, 所以n1'=-—-, ®x 2 x 1 164 4m 设直线ON 的方程为y =mx (m>O),叶y,=mx , 解得x 0=4m, 所以jO N!=✓一x -=4y l+m lx N l =4m五言了，1 I 山＠可知，用—一代替m ,可得IOMI=上✓l+(-上)2 I X ,11 = - 1 + '1 4m m 4m m厂二第14页由｛勹'�I '解得x ,:J.;, 气，所以iOA i :汇伈I :2汇4五＇用-i,;;代替m,可行1081:三1,./j三1 4m✓I 言�-I+ 1 m 言s 所以A,=�竺=I ON I I OM 仁1S !!.O忠I OAIIOBI 2�_2厂二=�言归丿二厂41111 1 1 4nt 2 + 2+—=2m+—:2: 2'当目仅当m=1时等号成立4m 2 2m 所以入的取伯范围为[2,+吩21已知函数f(x)= x 2 -a e x -1.(1)若f(x)有两个不同的极值点X 1,X 2, 求实数a 的取值范围；4 (2)在(l)的条件下，求证：e -''+e·'0 >一雇(1)函数f (x ) =x 2 -ae 入-1' ．寸(x)=2x -ae 入，守(x)有两个不同的极值点X1,X2, 习(x)=2.x -ae 入'=O有两个根，即a =尘，e x 即y=a与y=g (x ) =坠－有两个交点，e x :.g '(x) = 2 (1-x) X ' ea 当x<I时，g'(x)>O, 函数g (x)单调递增，当x>l H寸，g'(x)<O, 函数g (x )单调递减，: .g (x) mcu•=g (1) =乌当X ---->一动时，g Cx) ---->十心，当X---->十心时，g (x)一O ,第15页。

2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）. 1．设复数z 1＝1+i ，z 2＝1﹣i ，则1z 1+1z 2=（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．已知集合M ＝{x |y ＝ln （x +1）}，N ＝{y |y ＝e x }，则M ∩N ＝（ ） A ．（﹣1，0）B ．（﹣1，+∞）C ．（0，+∞）D ．R3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养与数学建模素养相同C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强 4．若α∈（π2，π），cos2α=725，则sinαsin(3π2+α)=（ ） A ．−34B ．34C ．43D ．−435．已知x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＜x 2＜x 3，设y 1=x 1+x 22，y 2=x 2+x 32，y 3=x 3+x12，z 1=y 1+y 22，z 2=y 2+y 32，z 3=y 3+y 12，若随机变量X ，Y ，Z 满足：P （X ＝x i ）＝P （Y ＝y i ）＝P （Z ＝z i ）=13（i ＝1，2，3），则（ ）A ．D （ X ）＜D （Y ）＜D （Z ）B ．D （ X ）＞D （Y ）＞D （Z ）C ．D （ X ）＜D （Z ）＜D （Y ）D ．D （ X ）＞D （Z ）＞D （Y ）6．函数y ＝﹣cos x •ln |x |的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的√1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．1045aB ．10910aC ．（110）45aD ．（110）910a8．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2m+y 2＝1（m ＞0）的两个焦点，若C 上存在点M 满足MF 1⊥MF 2，则实数m 取值范围是（ ） A ．（0，12]B ．[2，+∞）C ．（0，12]∪[2，+∞）D ．[12，1）∪（1，2]9．已知函数f （x ）=√2sin ωx 和g （x ）=√2cos ωx （ω＞0）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点，为了得到y ＝g （x ）的图象，只需把y ＝f （x ）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移π2个单位C ．向右平移1个单位D ．向右平移π2个单位10．已知函数f （x ）＝ax +1+|2x 2+ax ﹣1|（a ∈R ）的最小值为0，则a ＝（ ） A ．12B ．﹣1C ．±1D ．±1211．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1BC 1内一动点，且满足|PD |+|PB 1|＝2+√13，则直线B 1P 与直线AD 1所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．[0，12]B ．[0，13]C ．[12，√22]D ．[12，√32]12．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P ，F ），与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若HN →=−3OH →（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（共4题，每题5分）13．已知平面向量a →与b →的夹角为45°，a →=（﹣1，1），|b →|＝1，则|a →+b →|＝ ．14．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3． 则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的所有选项是 ．（填A 、B 、C 、D ）15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3b cos C +3c cos B ＝5a sin A ，且A 为锐角，则当a 2bc取得最小值时，a b+c的值为 ．16．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，正四面体P ﹣ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，若该正四面体的棱长为2，则|OP |的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

衡中同卷2019-2020押题卷-数学(理)试卷答案

衡中同卷2019-2020押题卷-数学(理)试卷答案

【衡水金卷】河北省衡水中学届高考模拟押题卷（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知i 是虚数单位，复数11z i i=+-，则复数z 的虚部是 (A) 12-(B) 32(C) 32- (D)2 (2)若集合{}{}222,20xA y yB x x x ==+=-++≥，则(A) A B ⊆ (B) A B R ⋃= (C) {}2A B ⋂= (D A B ⋂=∅(3)已知定义域为[]2,21a a --的奇函数()3sin 1f x x x b =-++，则()()f a f b +的值为(A)0 (B)1(C)2 (D)不能确定(4)已知函数()()1201x f x a a a +=->≠且的图象恒过定点A ，设抛物线24E y x =：上任意一点M 到准线l 的距离为d ，则d MA +的最小值为(A)5(B)(C)(D)42，78，96，74，49，35，39，50，则输出的i x 值依次为(5)执行如图所示的程序框图，其中输入的x i 值依次为14，8，(A)78，96，74，49，50 (B)78，96，74，39，50 (C)78，96，74，50 (D)78，96，74(6)下列说法正确的是(A)“a R ∃∈，方程220ax x a -+=有正实根”的否定为“a R ∀∈，方程220ax x a -+=有负实根”(B)命题“a b R ∈、，若220a b +=，则0a b ==”的逆否命题是“a b R ∈、，若0a ≠，且b ≠0，则220a b +≠” (C)命题p ：若回归方程为1y x -=，则y 与x 负相关；命题q ：数据1，2，3，4的中位数是2或3．则命题p ∨q 为真命题 (D)若X ～N(1，4)，则()()212P X t P X t <-=>成立的一个充分不必要条件是t =1(7)等差数列{}n a 中的两项22016a a 、恰好是关于x 的函数()()228f x x x a a R =++∈的两个零点，且100910100a a +>，则使{}n a 的前n 项和n S 取得最小值的行为 (A)1009(B)1010(C)1009，1010D.2018(8)某省巡视组将4名男干部和2名女干部分成两小组，深入到A 、B 两城市进行巡视工作，若要求每组最多4人，且女干部不能单独成组，则不同的选派方案共有 (A)40种(B)48种 (C)60种(D)72种(9)某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，现从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是 (A)9146π- (B)91162π- (C) 91166π- (D)9186π-2019-2020编制：衡中同卷学问站　ｗｅｗｅｕ．ｃｏｍ 衡水中学总群　３８６４２９８７９点,06A B C π⎛⎫-⎪⎝⎭、、是该图象与x 轴的交点，过点B 作直线交该图象(10)已知函数()()2sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，于D 、E 两点，点7012F π⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的图象的最高点在x 轴上的射影，则()()AD EAAC ω-的值是(A) 22π (B) 2π(C)2(D)以上答案均不正确(11)已知点12F F 、是双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12122,3F F OP PF PF =≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（A ）()1,+∞（B）,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭（C）1,2⎛ ⎝⎦（D ）51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(12)已知定义在R 内的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当[]1,3x ∈-时，()f x =()[](]1,1,1,1,3,t x x x ⎧-∈-∈则当8,27t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()720f x x -=的不等实数根的个数是(A)3 (B)4(C)5(D)6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高考数学模拟试卷(衡水中学理科)(20200616210135)

高考数学模拟试卷(衡水中学理科)(20200616210135)

在两个图中三个 规则是：同时转
动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时
,
则这次转动
无效 ,
重新开始） ,
记转盘（ A ）指针所对的区域为 x,
转盘（ B ）指针所对
的区域为 y,
x、y∈ { 1,
2,
3} ,
设 x+y 的值为 ξ．
（Ⅰ ）求 x＜ 2 且 y＞ 1 的概率；
（Ⅱ ）求随机变量 ξ的分布列与数学期望．
C． 16
D ．16+6
【解答】 解：由三视图可知该三棱锥为边长为 2,
an+2=
,
则数列 { an} 前 2n 项和 S2n=
．
15．（ 5 分）（2020?衡中模拟）若直线 ax+（ a﹣ 2）y+4﹣a=0 把区域
分成面积
相等的两部分 ,
则
的最大值为
．
16．（ 5 分）（ 2020?衡中模拟）已知函数 f （x） =（ a+1） lnx +
x2（ a＜﹣ 1）对任
12．（ 5 分）（ 2020?衡中模拟）已知数列 { an} 的通项公式为 an=﹣ 2n+p,
数列 { bn} 的通项
公式为
b
n
n=2
﹣4,
设 cn=
,
若在数列 { cn} 中 c6＜ cn（ n∈N *,
n
≠6） , A ．（ 11,
则 p 的取值范围（ 25） B ．（12,
） 22）
C．（ 12,
则 A ∩B=
A ． ? B．（ 0,
1） C． [ 0,
1） D． [ 0,
1]

2020届河北衡水中学新高考押题模拟考试(十九)理科数学

2020届河北衡水中学新高考押题模拟考试(十九)理科数学

2020届河北衡水中学新高考押题模拟考试（十九）数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知某校有高一学生1000人，高二学生800人，高三学生600人，该校学生会希望调查有关本学期学生活动计划的意见，现从全体高中学生中抽取10%作为样本.若利用分层抽样，则应在高二学生中抽取（ ） A. 100人 B. 80人C. 600人D. 240人【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合分层抽样的定义求解需要抽取的高二学生人数即可. 【详解】由分层抽样的定义可知，应在高二学生中抽取人数为：()800100080060010%801000800600++⨯⨯=++.故选：B .【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解： (1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 2.已知复数21iz i-+=+，则z 在复平面内对应点的坐标为（ ） A. 13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C. 31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 31,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】首先化简所给的复数，然后结合化简结果即可确定其所在的象限.【详解】()()()()2121313111222i i i i z i i i i -+--+-+====-+++-， 则z 在复平面内对应的点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数所对应的点的坐标的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知命题p ：x R ∀∈，2x x e e -+>，命题q ：0x R ∃∈，0ln 1x =-，则下列判断正确的是（ ） A. ()p q ⌝∧是真命题 B. ()p q ∨⌝是真命题 C. ()p q ∧⌝是真命题 D. ()()p q ⌝∨⌝是假命题【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定命题p ,q 的真假，然后判定所给的复合命题的真假即可. 【详解】当0x =时，2x x e e -+=，命题p 为假命题； 当01x e=时，0ln 1x =-，命题q 为真命题； 则：()p q ⌝∧是真命题，()p q ∨⌝是假命题，()p q ∧⌝是假命题，()()p q ⌝∨⌝是真命题. 故选：A .【点睛】本题主要考查命题真假的判定，复合命题的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.在()()65112x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A. -100 B. -60 C. 60 D. 100【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合排列组合和二项式的展开式特点确定含3x 的项的系数即可. 【详解】由题意可得：含3x 的项为()()()33333652100C x C x x +⨯-=-⨯-，则含3x 的项的系数是100-. 故选：A .【点睛】本题主要考查二项式展开式系数的计算，排列组合与二项式展开式的联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知直线1l ：230mx y m --+=，2l ：0x my m -+=，若12l l //，则m =（ ） A. ±1 B. 1 C. -1 D. 不存在【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合直线平行的充分必要条件得到关于m 的方程，解方程即可确定m 的值. 【详解】由直线平行的充分必要条件可得：()1(1)m m ⋅-=⨯-且1(23)m m m ⋅≠⋅-+， 据此可得：1m =-. 故选：C .【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，属于基础题.6.已知2log a e π=，()2log b e π=，ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用对数函数的性质和作差法比较所给的数的大小即可.【详解】很明显1,0,1c a b ><<，且：()()2221log log log log 2e e e e ππππ-=-()1log log log log log 02e e e e πππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭， ∴a b <，∴a b c <<， 故选：B .【点睛】本题主要考查对数的运算性质，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线()2210x my m -=>的两条渐近线分别与抛物线24y x =的准线交于A ，B 点，O 为坐标原点.若AOB ∆的面积为1，则m 的值为（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定渐近线方程和准线方程，然后结合三角形面积公式得到关于m 的方程，解方程即可确定m 的值.【详解】双曲线()2210x my m -=>的渐近线方程为0x ±=，抛物线24y x =的准线方程为l ：1x =-，联立得A ⎛- ⎝⎭，1,B ⎛- ⎝⎭，则AB =由1111122AOB S AB m∆=⨯=⨯=，解得1m =， 故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线的性质，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.我国某省新高考将实行3+1+2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某校高一新生甲、乙分别选了历史、物理，若他们都对后面四科没有偏好且彼此选课互不影响，则他们选课恰有一科相同的概率为（ ）A.13B.23C.16D.18【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定所有的选课方法种数和满足题意的选课方法数，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】由题意可得，所有的选课方法有2244C C 种，满足题意的选课方法有111432C C C 种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：1114322244242363C C C P C C ===， 故选：B .【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 9.在直角三角形ABC 中，2C π∠=，4AC =，取点D 、E ，使3BD DA =u u u r u u u r ，4AB BE =u u u r u u u r，那么CD CA CE CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A. -8B. -4C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】首先将向量,CD CE u u u r u u u r 均表示为以,CA CB u u u r u u u r为底的线性组合形式，然后结合向量数量积的运算法则和题意整理计算即可求得最终结果.【详解】∵3BD DA =u u u r u u u r，∴()3CD CB CA CD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，化简得3144CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，同理可得1544CE CA CB =-+u u u r u u u r u u u r ，∵2C π∠=，可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，∴()CD CA CE CA CA CD CE ⋅+⋅=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 213132222CA CA CB CA CA CB ⎛⎫=⋅+=+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2182CA ==u u u r ，故选：D .【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，平面向量数量积的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.若关于x 的方程()22ln 2ln a x x x x=-恰有4个不相等实根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 22,e e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 212,8e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 22,0e e -⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先将所给的方程进行恒等变形，然后换元之后将其转化为二次函数根的分布的问题，最后求解关于实数a 的不等式组即可确定实数a 的取值范围. 【详解】由题可转化为()()22ln ln 0x x a x x x =->， 令ln t x x =，则'ln 1t x =+，则函数在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 当1x e =时，1t e=-，做出函数ln t x x =的图象如图所示，结合题意可知：要使原方程恰有4个不相等的实数根，则1,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且关于t 的方程220t t a +-=在1,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有两个不相等的实数根，即()22g t t t a =+-在1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个不同的零点，则∴()22001112011120444g a g a e e e g a ⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫-=⨯-->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-=⨯--<⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2128e a e --<<，表示为区间形式即212,8e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数零点个数问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知实数x ，y 满足条件223448x y +=（ ）A. 8+B. 16+C. 8+D. 8+【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先将问题转化为定点到两个动点之间距离的问题，然后利用椭圆的定义进行等价转化，最后利用三点共线的结论即可确定满足题意的最值.【详解】根据题意，点(),P x y 在椭圆2211612x y +=上，=表示点(),P x y 到点()2,0A 和到点()1,2B -的距离之和，即PA PB +.其中点A 是椭圆的右焦点，左焦点为()'2,0A -.2'2'PA PB a PA PB a PB PA +=-+=+-，又因为''PB PA BA -≤=于是2'8PA PB a PB PA ⎡+=+-∈⎣，8+故选：C .【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，椭圆的定义的应用，最值的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.存在函数()f x ，满足对任意x ∈R ，都有（ ） A. ()2f xx =B. ()sin 2sin f x x =C. ()()cos 2cos f x x = D. ()xf ex =【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义，逐一考查所给的函数，不满足题意的选项给出反例，符合题意的函数给出解析式即可. 【详解】根据函数的定义可知，A 选项：当24x =时，有()42f =-和()42f =，因此不符合函数的定义.B 选项：当sin 20x =时，()2k x k Z π=∈.于是当k 为偶数时，()00f =，当k 为奇数时，()01f =±，因此不符合函数的定义. C 选项：当cos20x =时，()24k x k Z ππ=+∈.于是当k 为偶数时，()02f =±，当k 为奇数时，()02f =±，因此不符合函数的定义. D 选项，由()xf e x =可得()ln f x x =，满足函数的定义.故选：D .【点睛】本题主要考查函数的定义及其应用，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是_____． 【答案】56【解析】 乙不输的概率为115236+=，填56. 14.有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下图：根据样本的频率分布估计，总体的平均数为______.（保留小数点后两位） 【答案】123.67 【解析】 【分析】由题意利用平均数公式计算平均数即可. 【详解】由题意可得，平均数为：9521058115101252013516145460⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯123.67≈.故答案为：123.67．【点睛】本题主要考查频率分布表的应用，平均数的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知圆1C ：()222244004x y mx y m n n +--+-+=<<与圆2C ：()2214x y +-=相内切，则2m n +的最小值为______.【答案】1 【解析】 【分析】首先确定两圆的圆心和半径，然后结合两圆内切的条件得到关于m ,n 的等量关系，最后利用基本不等式即可确定2m n +的最小值.【详解】1C ：()()()22204x m y n n-+-=<<，圆心()m,2，r =2C ：()2214x y +-=，圆心()0,1，2r =，圆1C ，2C2=2=，∴222=⨯≤1≥⇒，即21m n +≥，当且仅当即21m n +=时等号成立，因此2m n +最小值为1.故答案为：1．【点睛】本题主要考查圆的方程的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.2019年1月1日新修订的个税法正式实施，规定：公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算（预扣）：国家在实施新个税时，考虑到纳税人的实际情况，实施了《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，具体如下表：老李本人为独生子女，家里有70岁的老人需要赡养，有一个女儿正读高三，他每月还需缴纳住房贷款2734元.若2019年11月老李工资，薪金所得为20000元，按照《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，则老李应缴纳税款（预扣）为______元.【答案】890 【解析】 【分析】由题意首先确定老李需要纳税的钱数，然后结合税率计算需要缴纳的个人所得税即可. 【详解】根据题意，老李应纳税的工资、薪金为2000020001000100016000---=元， 其中应纳税额所得额为16000500011000-=.缴纳的个人所得税（预扣）为30003%800010%890⨯+⨯=元， 故答案为：890．【点睛】本题主要考查信息处理题的解法，实际问题的数学建模等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 和n S 满足：()()2*128n n S a n N =+∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列6142n n n a b +=⨯，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*42n a n n N =-∈（2）332n n n T +=-【解析】 【分析】(1)首先求得1a 的值，然后结合递推关系式整理可得数列{}n a 为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列{}n a 的通项公式；(2)结合(1)的结论首先求得数列{}n b 的通项公式，然后错位相减求解其前n 项和即可. 【详解】（1）当1n =时，()2111128a S a ==+，解得：12a =， 当2n ≥且*n N ∈时，()211128n n S a --=+， ∴()()2211112288n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理可得：()()()1114n n n n n n a a a a a a ---+-=+， ∵0n a >，∴10n n a a ->+，∴14n n a a --=，∴数列{}n a 以2为首项，4为公差的等差数列， ∴()()*24142n a n n n N =+-=-∈.（2）由（1）知，614261412242n n n n n n b n a +-+⨯=+=⨯=， 则1212231222n n n n T b b b +=+++=+++L L ①则23112312222n n n T ++=+++L ，② 由①-②得12311111142111111331112222222212n nn n n n n n n T -+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦=++++-=+-=--L化简得332n nn T +=-. 【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．18.已知向量()2,sin 2m x =-u r，(2cos n x =r ，且函数()f x m n =⋅u r r .（1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A为锐角，a =11sin 212f A C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，且ABC ∆求ABC ∆的周长. 【答案】（1）最小正周期为π，对称中心为,1122k ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，k Z ∈.（2）5 【解析】 【分析】(1)首先将函数的解析式化简为()()sin ωφf x A x B =++的形式，然后确定其最小正周期和对称中心即可； (2)由题意首先求得a 的值，然后利用正弦定理求得∠A 的大小，最后结合余弦定理求得b +c 的值即可求得三角形的周长.【详解】（1）()22cos 3sin 2f x m x x n ==-+⋅u r r 1cos 23sin 22sin 216x x x π⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭，由222T πππω===，故最小正周期为π.由26x k ππ-=，∴122k x ππ=+，k Z ∈，∴()f x 的对称中心为,1122k ππ⎛⎫+-⎪⎝⎭，k Z ∈. （2）由于112sin 112sin 21266f A A A πππ⎛⎫⎛⎫++=+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故72sin sin A b C =，于是72a bc =，又7a =，解得6bc =. 133sin 2ABC S bc A ∆==，解得3sin 2A =.故3A π=或23A π=（舍去）. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则2217122b c =+-⋅化简得：2213b c +=，∴()2213b c bc +-=，∴5b c +=， ∴三角形ABC ∆的周长为57a b c ++=+.【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.为进一步优化教育质量平台，更好的服务全体师生，七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析，分别绘制的频率分布直方图如图所示.为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量，该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“A ，B ，C ”三个不同的等级，并按照不同的等级，设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分，如下表所示.（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布，若将甲学校考生的数学测试等级划分为“A 等”和“非A 等”两种，利用分层抽样抽取10名考生，再从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“A 等”的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，若从乙学校全体考生．．．．中随机抽取3人，记3人中数学测试等级为“B 等”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）根据考生的数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则，分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为x 甲和x 乙，用样本估计总体，求x 甲和x 乙的估计值，并以此分析，你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色？ 【答案】（1）815；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】(1)由题意首先确定需要抽取的人数，然后结合对立事件公式即可求得满足题意的概率值.(2)由题意可知随机变量服从二项分布，结合二项分布的概率公式求得相应的概率值即可得到其分布列，然后求解数学期望即可；(3)设x 甲和x 乙的估计值为'x 甲和'x 乙，求得其相应的值即可给出相应的结论.【详解】（1）由题意知抽取的10人中，数学成绩为“A 等”和“非A 等”的人数分别为2人和8人. 设从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“A 等”的事件为A ，则()383108115C C P A =-=. （2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则每位考生数学测试等级为“B 等”的概率为35.记3人中数学测试等级为“B 等”的人数为X ，则33,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:.()3003238055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2132336155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12232325541255P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()03332335271255P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.故()39355E X =⨯=. （3）由题可知，设x 甲和x 乙的估计值为'x 甲和'x 乙，'x 甲()()0.0051010010.0070.030.0381010020.0110.009101003100⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=2.15=（分）'x 乙()()0.011010010.0170.020.023*******.0220.008101003100⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=2.2=（分）则''x x <甲乙，如果仅以考生的数学测试分数对学校贡献的积分来看，本次考试，我认为乙学校本次数学测试更加出色.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，分布列与数学期望的计算，实际问题中的概率统计问题决策方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.已知抛物线C ：22y px =的准线经过点()1,0P -. （1）求抛物线C 的方程；（2）设O 是原点，直线l 恒过定点()1,0，且与抛物线C 交于A ，B 两点，直线1x =与直线OA ，OB 分别交于点M ，N .请问：是否存在以MN 为直径的圆经过x 轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24y x =（2）存在，以MN 为直径的圆经过x 轴上的两个定点分别为()1,0-和()3,0【解析】 【分析】(1)由题意首先求得p 的值，然后确定抛物线方程即可；(2)设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求得圆的方程，结合圆的方程即可确定圆是否过定点.【详解】（1）由于12px =-=-知2p =，故抛物线C ：24y x =； （2）设直线AB ：1x ty =+，且211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩知2440y ty --=，由韦达定理知124y y t +=①，124y y =-②，由于直线OA ：14y x y =，故点141,M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.直线OB ：24y x y =，故点241,N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故以MN 为直径的圆的方程为()2124410x y y y y ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令0y =知()2121610x y y -+=，代入②知()2140x --=解得11x =-，23x =. 故以MN 为直径的圆经过x 轴上的两个定点分别为()1,0-和()3,0.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 21.已知函数()sin f x ax x =-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）当1a =时，求函数()y f x =在23x π=处的切线方程； （2）若()1cos f x x ≤-对,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）9620x y π---=（2）2a π≤【解析】 【分析】(1)首先求得切点坐标，然后利用导函数的几何意义求得切线的斜率即可确定切线方程；(2)结合函数的解析式分离参数，然后构造新函数，利用导函数研究构造的新函数的最值即可确定实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()sin x x x f -=，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22332f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 又因为()'1cos f x x =-，则23'32f π⎛⎫=⎪⎝⎭.故切线方程为2323223y x ππ⎛⎛⎫--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，化简得9620x y π---=. （2）若()1cos f x x ≤-对,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即1sin cos x x a x +-≤对,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，记()1sin cos x x x g x +-=，则()()()2sin cos 1sin c s 'o x x x g x x x x +-+-=，记()()()sin cos 1sin cos x x x x h x x =+-+-，则()()'cos sin 0h x x x x =-<恒成立，则()y h x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，则()2022h h x ππ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即()'0g x <，故函数()y g x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，则()()min 2g x g ππ==，故2a π≤.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数），曲线2C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）射线l ：()0θϕρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于点A ，B （且点A ，B 均异于原点O ），当02πϕ<≤时，求22OA OB +的最小值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，2C 的极坐标方程为22514sin ρθ=+（2）1 【解析】 【分析】(1)由题意首先将参数方程化为直角坐标方程，然后再化为极坐标方程即可；(2)结合(1)中的参数方程首先求得,OA OB 的表达式，然后结合均值不等式即可求得22OA OB +的最小值.【详解】（1）曲线1C 的普通方程为()2211x y +-=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的普通方程为221y +=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得2C 的极坐标方程为22514sin ρθ=+. （2）联立()0θϕρ=≥与1C 的极坐标方程得2sin OA ϕ=， 联立()0θϕρ=≥与2C 的极坐标方程得22514sin OB ϕ=+，则222254sin 14sin OA OB ϕϕ=+++2254sin 1114sin ϕϕ=++-+11≥=（当且仅当sin ϕ=.所以22OA OB +的最小值为1.【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的互化，基本不等式求最值的方法，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知函数()2f x x =.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若正数a ，b ，c 满足14923a b c f ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，求149a b c++的最小值. 【答案】（1）11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）1963【解析】 【分析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可；(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可. 【详解】（1）化简得()221f x x x =-->.①当0x ≤时，()()222f x x x x =---=+，由()1f x >，即21x +>， 解得1x >-，又0x ≤，所以10x -<≤；②当02x <<时，()23f x x =-，由()1f x >，即231x ->， 解得13x <，又02x <<，所以103x <<；③当2x ≥时，()2f x x =--不满足()1f x >，此时不等式无解； 综上，不等式()1f x >的解集为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由于111221333f ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，故149233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭， ∴()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭， ∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=.当且仅当314a b c===时，等号成立.所以149a b c++的最小值为1963.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21。

2020届河北省衡中同卷新高三原创精准预测考试(十九)理科数学

2020届河北省衡中同卷新高三原创精准预测考试(十九)理科数学

2020届河北省衡中同卷新高三原创精准预测考试（十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设121iz ii-=++，则||z z+=（）A. 1i-- B. 1i+ C. 1i- D. 1i-+【答案】C【解析】【分析】先利用复数的四则运算律求出复数z，再利用共轭复数、复数求模公式结合复数的加法法则可得出结果。

【详解】()()()21122221112ii iz i i i ii i i---=+=+=+=++-Q，11z z i i∴+=-+=-，故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的模，考查计算能力，着重考查对复数基础知识的理解和应用能力，属于基础题。

2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试(九)理科数学

2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试(九)理科数学

2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试（九）理数★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1.已知复数()131i izi-=+，则其共轭复数z的虚部为（）A. -1B. 1C. -2D. 2 【答案】B【解析】【分析】利用复数乘法、除法运算化简z，由此求得z的共轭复数z，进而求得z的虚部.【详解】依题意()()()()3134221112i ii iz ii i i+-+-====-++-，故2z i=+，其虚部为1.故选：B.【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题.2.已知集合1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，则A B =I （ ） A. (]0,1 B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x ->解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I ， 故选：C.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，属于基础题.3.设a r ，e r 均为单位向量，当a r ，e r 的夹角为23π时，a r 在e r 方向上的投影为（ ）A. B. 12-C.12D.【答案】B 【解析】 【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影.【详解】a r 在e r 上的投影为21cos ,cos 32a a e π<>==-r r r ， 故选：B.【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题. 4.已知等差数列{}n a 满足3243a =a ，则数列{}n a 中一定为零的项是（ ） A. 6a B. 7aC. 8aD. 9a【答案】A【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此判断出一定为零的项.【详解】设公差为d ，由3243a =a 得15a d =-，∴6150a a d =+=， 故选：A.【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.5.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ） A. 获得A 等级的人数减少了 B. 获得B 等级的人数增加了1.5倍 C. 获得D 等级的人数减少了一半 D. 获得E 等级的人数相同【答案】B 【解析】 分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E 的人数，由此判断出正确选项. 【详解】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示： 年份ABCD E2016 0.28x 0.32x 0.30x 0.08x 0.02x 2018 0.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题. 6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A. 201921-B. 201922-C. 202022-D. 202021-【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.设函数()23cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简()f x ，求得()f x 向左平移ϕ个单位后的()g x 的解析式，根据()g x 为偶函数，求得ϕ的表达式，由此求得ϕ的最小值. 【详解】()πππcos 2cos 2sin 2cos 2626f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12cos 22x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0ϕϕ>，得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，令π2π62k πϕ+=+，得26k ππϕ=+，由于0ϕ>，k Z ∈，∴ϕ最小值为6π， 故选：A.【点睛】本小题主要考查诱导公式、辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112nn n n S a =-+，则135S S S ++=（ ） A. 0 B.564C. 1764 D.2164【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给已知条件，求得135,,S S S 的值，进而求得它们的和.【详解】()()()11122nn n n n S S S n -=--+≥，若n 为偶数，则112n nS -=，∴112k k S +=（k 为奇数）. 则135111214166464S S S ++=++=，故选：D.【点睛】本小题主要考查()12n n n a S S n -=-≥的运用，属于基础题.9.已知抛物线C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记AOB ∆的面积为S ，且满足32AB FB S ==，则p =（ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的定义，计算出三角形OAB 的面积S ，由此列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，则211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知21y y -==.依题意32AB FB S ==，则11322a p =⨯⨯，∴2p =， 故选：D.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，考查方程的思想，属于基础题.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.287π B.287πC.282127π D.28219π 【答案】C 【解析】 【分析】将三视图还原为原图，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将三视图还原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为123π33sin 3==，所以其外接球的222237133R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，213R =.则3428213V R ππ==球，故选：C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥外接球体积有关计算，属于基础题.11.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，则23132220ABn n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.12.在ABC ∆中，A 、B 、C 为其三内角，满足tan A 、tan B 、tan C 都是整数，且A B C >>，则下列结论中错误的是（ ） A. 25A π>B. 3B π>C. 49A π<D. 512B π<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出,,A B C 均为锐角，根据tan A 、tan B 、tan C 都是整数，求得tan A 、tan B 、tan C 的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于0C B A π<<<<，所以B 、C 都是锐角，又tan B 、tan C 都是正整数，这样()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B CA CBC B +=+-->=，可见A 也是锐角.这时，tan 1C ≥，tan 2B ≥，tan 3A ≥.有tan tan tan 1tan tan 1A BC A B +=≥-，即()()tan 1tan 12A B --≤.但是tan 12A -≥，tan 11B -≤，比较可知只可能tan 3A =，tan 2B =，tan 1C =.由tan B >3B π>，选项B 是正确的.至于选项C 和D，由5tan 2tan 12A π=+>，可知512A π<，又54129ππ<，故选项C 正确； 又由512A B π>>，选项D 正确、A 选项错误. 故选：A.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查三角形内角和定理，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13.已知()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++L ，则2a =______. 【答案】10 【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==. 故答案为：10【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C 的一条渐近线于点P （P 在第一象限内），若线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，则C 的离心率e =______.【答案】2 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，由此求得ba=而利用e =计算出双曲线的离心率. 【详解】由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 60ba=︒=，所以2e =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.【答案】375 【解析】 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=∈，现有以下判断：①11A D C P ⊥；②若1BD ⊥平面PAC ，则13λ=；③PAC ∆周长的最小值是④若PAC ∆为钝角三角形，则λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中正确判断的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得13PB BD =，由此判断②正确.将1ABD ∆和1CBD ∆展开成平面，由此求得AP CP +的最小值，进而求得三角形PAC ∆周长的最小值，由此判断③错误.先求得APC ∆为直角三角形时λ的值，由此确定λ的取值范围【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；由1BD ⊥平面PAC ，在1Rt ABD ∆中，212,AB AD BD ===由于1BD AP ⊥，由射影定理得21AB BP BD =⋅,即4PB PB =⋅=，13PB BD ==,可得13λ=，故②正确；将1ABD ∆和1CBD ∆展开，可得AP CP +，又AC = 利用1BD ⊥平面11AC D ，可得当APC ∆为直角三角形时，23λ=，故当APC ∆为钝角三角形时，λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，④正确. 所以正确判断为①②④. 故答案为：①②④【点睛】本小题主要考查正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考查距离和的最值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.三、解答题：解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =. （1）求sin B 的值；（2）若1AD =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）5sin 5B =；（2）98ABC S ∆=【解析】 【分析】（1）利用正弦定理列方程，求得1sin cos 2B B =，两边平方后利用同角三角函数的基本关系式求得sin B 的值.（2）首先求得cos B 的值，利用两角和的正弦公式求得sin BDA ∠，然后求得AB ，进而求得AC ，从而求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒， 两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =，∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故5sin 5B =.（2）由90BAC ∠=︒，得B 是锐角，于是25cos B =， 所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒31010=， 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 32sin 2BDA AB ADB ∠==，于是32tan 4AC AB B ==， 所以113232922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=. 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.18.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P的位置（P ∉平面ABCE ）.（Ⅰ）证明：AE PB ⊥；（Ⅱ）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）5. 【解析】 【分析】（I ）先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；（II ）在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ，证明OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值.【详解】（I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=Q I 平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥Q 平面；（II ）解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE ,AE ∩OB=O ∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(,0,0),(,0,(222P E C PE EC ∴==u u u r u u u r , 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =u r，则11130 02,, 0132x zPE nEC nx y⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩u u u v u vu u u v u v设3x=，则y=-1,z=1，∴1(3,-1,1)n=u r，由题意得平面PAE的一个法向量2(0,1,0)n=u u r，设二面角A-EP-C为α，1212||5|cos|=||||5n nn nα⋅==u r u u ru r u u r.易知二面角A-EP-C为钝角，所以5cos=-α.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19.已知点233M⎝⎭在椭圆C：()222210x ya ba b+=>>上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为2（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求OA OB⋅u u u r u u u r的取值范围. 【答案】（1）2212xy+=；（2）45,33⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.（2）设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围.【详解】（1）由条件知2241133a b+=，2a =，所以a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OMk =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，即1AB k =-.设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m ∆=->解得23m <，又由12223x x m +⎛=∈ ⎝，∴0m <<由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+u u u r u u u r()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-.而0m <<OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围是45,33⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.20.武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A 型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X （单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 13X <<35X ≤≤5X >频数（年） 244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X （单位：万人）的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X13X <<35X ≤≤5X >A 型游船最多使用量123若某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y （单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？ 【答案】（1）()4353P ξ==；（2）投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】 【分析】（1）首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=. （2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.【详解】（1）年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.可得()31464103435C C C P ξ===. （2）①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，则()3E Y =（万元）. ②当投入2艘A 型游船时，若13X <<，则30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛⎫==<<== ⎪⎝⎭； 若3X ≥，则326Y =⨯=，此时()()()463555P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()142.56 5.355E Y =⨯+⨯=（万元）. ③当投入3艘A 型游船时，若13X <<，则312Y =-=，此时()()21213105P Y P X ==<<==；若35X ≤≤，则320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()25.5355P Y P X ==≤≤=； 若5X >，则339Y =⨯=，此时()()2955P Y P X ==>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()1222 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=（万元）. 由于6.2 5.33>>，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大. 【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21.已知函数21()(1)2,2xf x x e ax ax a R =+++∈. (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且-2(2)>e f -，证明: 0()<1f x .【答案】(1) 当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或20e a --<<时，()f x 有2个极值点；(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()()()2xf x x e a '=++；分别在0a ≥、2a e -<-、2a e -=-和20e a --<<四种情况下根据()f x '的符号确定()f x 的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；（2）由（1）的结论和()22f e -->可求得()2,a e-∈-∞-，从而得到()0ln xa =-，代入函数解析式可得()0f x ；令()()ln 2,t a =-∈-+∞可将()0f x 化为关于t 的函数()g t ，利用导数可求得()g t 的单调性，从而得到()1g t ≤，进而得到结论.【详解】（1）()()()()222xxf x x e ax a x e a '=+++=++①当0a ≥时，0x e a +>∴当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增2x ∴=-为()f x 的唯一极小值点，无极大值点，即此时()f x 极值点个数为：1个②当0a <时，令()0f x '=，解得：12x =-，()2ln x a =- ⑴当2a e -<-时，12x x <()1,x x ∴∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减1x x ∴=为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个⑵当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，即()f x 极值点个数为：0个⑶当20e a --<<时，12x x >()2,x x ∴∈-∞和()1,x +∞时，()0f x '>；()21,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()2,x -∞，()1,x +∞上单调递增；在()21,x x 上单调递减2x x ∴=为()f x 的极大值点，1x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或20e a --<<时，()f x 有2个极值点（2）由（1）知，若()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，则()()22,,0a e e--∈-∞-⋃-又()2222f e a e ---=-->，即2a e -<- ()2,a e-∴∈-∞-02x ≠-Q ()0ln x a ∴=-()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦令()()ln 2,t a =-∈-+∞，则t a e =- ()()21222t g t e t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞则()()()2114422t tg t e t t t t e '=-+=-+当2t >-时，40t +>，0t e >∴当()2,0t ∈-时，()0g t '>；当()0,t ∈+∞时，()0g t '<()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减 ()()max 01g t g ∴==，即()1g t ≤ ()01f x ∴≤【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；本题中证明不等式的关键是能够通过换元的方式将()0f x 转化为关于t 的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（2【解析】 【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；（2）先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23.已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞ 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集. （2）化简不等式()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或2a x <--，结合恒成立知识的运用，求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.。

2020届河北省衡中同卷新高三原创精准预测考试(九)理科数学

2020届河北省衡中同卷新高三原创精准预测考试(九)理科数学

2020届河北省衡中同卷新高三原创精准预测考试（九）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线2219y x -=的渐近线的斜率是( )A. 19±B. 13±C. 3±D. 9±【答案】C 【解析】 【分析】直接利用渐近线公式得到答案.【详解】双曲线2219y x -=渐近线方程：33y x k =±⇒=±答案为C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.2.若3()22(1)5f x x f x '=+-,则()1f =( )A. 6-B. 15-C. 15D. 6【答案】B 【解析】 【分析】对()f x 求导,在导函数里取1x =,解得'(1)f ,代入函数,再计算(1)f 【详解】32()22(1)5'()62'(1)f x x f x f x x f '=+-⇒=+'(1)62'(1)'(1)6f f f =+⇒=-3()25(1)1125f x x x f -⇒=--=答案为B【点睛】本题考查了导数的计算,属于简单题.3.命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A. 2,x x R e x ∀∈≤B. 0200,x x R e x ∃∈>C. 0200,x x R e x ∃∈≤D. 2,x x R e x ∀∈<【答案】C 【解析】 【分析】命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定. 【详解】命题的否定需要将限定词和结论同时否定，题目中：∀为限定词，x ∈R 为条件，2e x x >为结论；而∀的否定为∃，2e x x >的否定为2x e x ≤，所以2,x x R e x ∀∈>的否定为0200,x x R e x ∃∈≤故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了命题的否定,属于简单题.4.现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A. 120种 B. 5种C. 35种D. 53种【答案】D 【解析】 【分析】先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.【详解】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案D【点睛】本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.5.小明同学在做市场调查时得到如下样本数据他由此得到回归直线的方程为ˆ 2.115.5yx =-+，则下列说法正确的是( ) ①变量x 与y 线性负相关 ②当2x =时可以估计11.3y = ③6a = ④变量x 与y 之间是函数关系 A. ① B. ①②C. ①②③D.①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据和回归方程对每一个选项逐一判断得到答案. 【详解】① 2.1b =-⇒变量x 与y 线性负相关,正确 ②将2x =代入回归方程，得到11.3y =，正确③将(,)x y 代入回归方程，解得6a =，正确 ④变量x 与y 之间是相关关系，不是函数关系，错误 答案为C【点睛】本题考查了回归方程的相关知识，其中中心点(,)x y 一定在回归方程上是同学容易遗忘的知识点.6.(113x dx -=⎰ ( )A. 2π B. 2 C.22π- D.22π+【答案】A 【解析】 【分析】将定积分分为前后两部分,前面部分奇函数积分为0,后面部分转换为半圆,相加得到答案.【详解】(1111133022x dx xdx ππ---=+=+=⎰⎰⎰【点睛】本题考查了定积分计算的两个方法,意在考查学生的计算能力和转化能力.7.已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(3)0.031P x >=，则(13)P x -<<=( )A. 0.031B. 0.969C. 0.062D. 0.938【答案】D 【解析】 【分析】随机变量ξ服从正态分布()21,N σ,则P(x>3)=P(x<-1),利用概率和为1得到答案.【详解】随机变量X 服从正态分布()21,N σ, P(X>3)=P(X<-1)=0.031,P(-1<x<3)=1-20.031=0.938⨯答案为D.【点睛】本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.8.若l m n ，，是互不相同的空间直线，αβ，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A. 若l n αβαβ⊂⊂，，，则//l nB. 若l αβα⊥⊂，，则l β⊥C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥D. 若l n m n ⊥⊥，，则l m【答案】C 【解析】析：对于A ，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理； 对于B ，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理； 对于C ，考虑面面垂直的判定定理；对于D ，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理．解答：解：选项A 中，l 除平行n 外，还有异面的位置关系，则A 不正确． 选项B 中，l 与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B 不正确．选项C 中，由l∥β，设经过l 的平面与β相交，交线为c ，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c?β，所以α⊥β，正确．选项D 中，l 与m 的位置关系还有相交和异面，故C 不正确． 故选C ．9.下列不等式中正确的有( )①sin ,(,0)x x x >∈-∞；②1,x e x x R ≥+∈；③ln ,(0,)x x x e x <<∈+∞ A. ①③ B. ①②③ C. ②D. ①②【答案】B 【解析】 【分析】逐一对每个选项进行判断,得到答案.【详解】①()sin ,,0x x x >∈-∞,设函数()sin f x x x =-,()f x 递减,()(0)0f x f >=,即sin x x >,正确②1,x e x x R ≥+∈,设函数()1x g x e x =--,()g x 在(0,)+∞递增,()g x 在(,0)-∞递减,()(0)0g x g ≥=,即1x e x ≥+,正确③ln ,(0,)x x x e x <<∈+∞,由②知x e x >,设函数()ln m x x x =-,()m x 在(0,1)递减,()m x 在(1,)+∞递增,()(1)10m x m ≥=>,即ln ,(0,)x x x e x <<∈+∞正确 答案为B【点睛】本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力.10.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,a b c ()a b c >>且,,a b c N *∈；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( )A. 乙有四场比赛获得第三名B. 每场比赛第一名得分a 为4C. 甲可能有一场比赛获得第二名D. 丙可能有一场比赛获得第一名 【答案】A 【解析】 【分析】先计算总分，推断出5a =，再根据正整数把,,a b c 计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.【详解】由题可知()626111148a b c ++⨯=++=,且,,a b c 都是正整数=8a b c ++当4a ≤时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当6a ≥时，2b c +≤，不满足 推断出，a=5, b=2, c=1 最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 丙5个项目得第二,1个项目得第三, 所以A 选项是正确的.【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定a 的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力.11.口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以ξ表示取出球的最大号码，则()E ξ= ( ) A. 4.5 B. 4 C. 3.5 D. 3【答案】A 【解析】 【分析】首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案.【详解】3335(3)110C P C ξ=== 2335(4)310C P C ξ===2435(5)610C P C ξ===故3()345 4.5101016451010E ξ=⨯+⨯+⨯==. 故本题正确答案为A.【点睛】本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力.12.已知抛物线22(0)C y px p =>：，过点(3,0)P 的任意一条直线与抛物线交于,A B 两点，抛物线外一点(),0Q t ，若∠OQA =∠OQB ，则t 的值为( ) A. p - B. pC. 32-D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】设出点和直线，联立方程得到关于y 的韦达定理，将OQA OQB ∠=∠转化为,QA QB 斜率相反，将根与系数关系代入得到答案.【详解】设221212(,),(,)22y y A y B y p p ，设直线AB ：3x ay =+又22y px =22(3)y p ay ⇒=+2260y pay p ⇒--= 224240p a p ∆=+>恒成立121226y y pay y p +=⎧⎨=-⎩ BQ AQ OQA OQB k k ∠=∠⇒=-即211212122221()()222y y y y y y t y y y y p t t pp=-⇒+=+--3t =- 答案为D【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去x 可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.若复数323ia i-+是纯虚数，则实数a = _________________ 。

2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试(一)理科数学

2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试(一)理科数学

2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试（一）数学（理科）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A. {}|11x x -≤≤ B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【此处有视频，请去附件查看】【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2.在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A. 1i + B. 1i -C. 1i --D. 1i -+【答案】B 【解析】 【分析】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．【详解】Q 复数()()()2121111i i i z i i i i -===+++-， ∴复数的共轭复数是1i -，就是复数21iz i=+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数； 故选B ．【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题． 3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 考点：全称命题与特称命题 【此处有视频，请去附件查看】4.设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】21121,13x x x -<∴-<-<<<Q ,又()1,2n ()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．5.在ABC V 中，60A o∠=，2AB =u u u r ，1AC u u u r =，则AB AC ⋅u u u r u u u r的值为( )A. 1B. 1-C.12D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】运用数量积公式则60AB AC AB AC cos ⋅=⋅ou u u r u u u r u u u r u u u r 求解即可． 【详解】60A o∠=，2AB =u u u r ，1AC u u u r=，则1602112AB AC AB AC cos ⋅=⋅=⨯⨯=ou u u r u u u r u u u r u u u r故选A ．【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可． 6.已知数列{}n a ，点{},n n a 在函数()sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，则2015a 的值为( ) 3 B. 3 C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2015sin 20153a ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解．【详解】由题意可得：2015sin 2015sin sin 333a πππππ⎛⎫⎛⎫=+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选B ．【点睛】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．7.已知点()2,8在幂函数()nf x x =的图象上，设(),ln ,a f b f c f π===⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的定义可得n ＝3，f （x ）＝x 3，且f （x ）在R 上递增，结合对数函数和幂函数的性质，即可得a ，b ，c 的大小关系．【详解】点（2，8）在幂函数()nf x x =的图象上，可得2n ＝8，n ＝3，则f （x ）＝x 3，且f （x ）在R 上递增，02＜1，ln π＞1，得()ln ,2f f f π⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即a ＜c ＜b ，故选A ．【点睛】本题考查利用幂函数的单调性比较函数值的大小问题，属于基础题. 8.如图给出的是计算111124620+++⋯+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A. 8i >B. 9i >C. 10i >D. 11i > 【答案】C 【解析】试题分析：从所给算法流程可以看出当时仍在运算,当时运算就结束了,所以应选C.考点：算法流程图的识读和理解．9.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m o =，若24m n +=(m n= ) A. 8 B. 4C. 2D. 1【答案】C 【解析】【详解】∵2sin18m =︒，24m n +=, ∴222444sin 184cos 18n m ︒︒=-=-=．222sin184cos 184sin18cos184sin364sin3642cos 271cos54sin36m n ︒︒︒︒︒︒=====︒-︒︒． 选B ．10.在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“sin 1x x +≤”发生的概率为( ) A.14B.13C.12D.23【答案】C 【解析】试题分析：先根据题中所给的不等式解出x 的范围，再结合几何概率模型的公式P=事件A 包含区域(长度、面积、体积): 总的事件区域(长度、面积、体积)求出答案即可,根据sin 1x x +≤可知2sin （x+)13π≤，那么解得sin （x+1)32π≤，可知得到[,]2x ππ∈，由几何概型概率可知P=1202πππ-=-，故答案为C.考点：几何概率点评：解决此类问题的关键是熟练掌握关于三角不等式的求解与几何概率模型的公式．11.已知等比数列{}n a 的公比0q <，其前n 项的和为n S ，则98a S 与89a S 的大小关系是( ) A. 9889a S a S > B. 9889a S a S <C. 9889a S a S ≥D. 9889a S a S ≤【答案】A 【解析】 【分析】将两个式子作差，利用等比数列的前n 项和公式及通项公式将差变形，能判断出差的符号，从而得到两个数的大小．【详解】根据等比数列的前n 项和公式和数列的通项公式得到：两式作差()()()892711872719889111111111a q a q a q a S a S a qa qq a q qqq---=⨯-⨯=⨯-=---- 0q <Q 2710a q ∴->8998S a S a ∴>故选A ．【点睛】解决比较数的大小的题目，一般利用作差比较或作商比较，关键是将差或商变形．或者可以两元化一元，转化为一元的函数问题.12.已知()()2ln 1f x x =+，()1()2xg x m =-，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是( ) A. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m 的取值范围.【详解】因为1]3[0x ∈，时，()10,l [10]n f x ∈， 2]2[1x ∈，时，()21214g x m m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，故只需11044m m ≥-⇒≥，故选A. 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数()2,31,3xx f x x x ≤⎧=->⎨⎩，则，()()2f f =______．【答案】3 【解析】 【分析】将2x =代入3x ≤对应的解析式；再将()2x f =代入3x >对应的解析式求出函数值． 【详解】()2224f ==()()()24413f f f ==-=故答案为3【点睛】本题考查求分段函数的函数值关键判断出自变量属于哪一段就将自变量的值代入哪一点的解析式． 14.函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1y e=- 【解析】()()(1)x x y f x xe f x x e ==⇒=+'，令()01f x x =⇒=-'，此时1(1)f e-=-函数xy xe =在其极值点处的切线方程为1y e=-考点：：导数的几何意义. 【此处有视频，请去附件查看】15.已知偶函数()y f x =满足条件()()11f x f x +=-，且当[]1,0x ∈-时，()439f x x =+，则13log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】由(1)(1)f x f x +=-可判断()f x 的周期为2，从而求得[0,1]x ∈时()f x 的解析式，再由偶函数性质将13log 5f ⎛⎫⎪⎝⎭可化为135log 9f ⎛⎫⎪⎝⎭，代入已知表达式求出即可． 【详解】由f(x ＋1)＝f(x －1)，知f(x ＋2)＝f(x)，函数y ＝f(x)是以2为周期的周期函数． 因为log 5∈(－2，－1)，log 5＋2＝log ∈(0,1)， 又f(x)为偶函数且x ∈[－1,0]，f(x)＝3x ＋， 所以当x ∈[0,1]时，f(x)＝3－x ＋.所以f(log 5)＝f(log 5＋2)＝f(log )＝3－log ＋＝3log3＋＝＋＝1. 故答案为1.【点睛】本题考查函数的周期性与函数的奇偶性，根据周期性可将函数变化至相近的定义区间，再由偶函数的性质求得结果，也可以根据偶函数性质求出对称区间内的解析式，再求值. 16.若对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”，给出下列函数：①；②()32sin cos y x x x =--；③1y e ='+；④()ln ,0{0,0x x f x x ≠==，以上函数是“H 函数”的所有序号为________________． 【答案】②③ 【解析】试题分析：∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为1212[]0x x f x f x --（）（）（）＞恒成立，即函数f x （）是定义在R 上的增函数．①321'31y x x y x =-++=-+；，则函数在定义域上不单调．②32sin cos '32cos sin 322sin 04y x x x y x x x π=--=-+=-+（）；（）（）＞，函数单调递增，满足条件．③e 1xy =+为增函数，满足条件．④,0{0,0ln x x f x x ≠==（）．当x ＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，故答案为②③． 考点：【思路点睛】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+等价为1212[]0x x f x f x --（）（）（）＞，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在四边形ABCD 中，112AC CD AB ===，1AB AC u u u r u u u r ⋅=，3sin 5BCD ∠=． ()1求BC 边的长；()2求四边形ABCD 的面积．【答案】3325+【解析】【详解】试题分析：（1）先根据向量数量积求∠BAC,再根据余弦定理求BC边的长；（2）四边形ABCD的面积等于两个三角形面积之和,而△ABC为直角三角形，可得其面积;根据∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD,所以先由sin∠BCD＝35求sin∠A CD,再根据三角形面积公式求S △ACD,最后相加得四边形ABCD的面积试题解析：(1)∵AC＝CD＝12AB＝1，∴AB AC⋅u u u v u u u v＝2cos∠BAC＝1.∴cos∠BAC＝12，∴∠BAC＝60°.在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴BC＝3.(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2.∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.∴S△ABC＝12BC·AC＝32又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，sin∠BCD＝，∴cos∠ACD＝.从而sin∠ACD＝. ∴S△ACD＝12AC·CD·sin∠ACD＝12×1×1×＝.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝3225+. 18.高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[)85,95①②[)95,1050.050 [)105,1150.200 [)115,125120.275[)125,135③[)135,14540.050[)145,155④合计（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为_____、____、____、_______；85,155的频率分布直方图；（2）在所给的坐标系中画出[]129,155中的频率.（3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[]【答案】（1）① 1 ② 0.025；③ 0.1 ④ 1（2）略（3）0.315【解析】【分析】()1根据直方图可以看出②对应的频率是0.025，当频率是0.3时，对应的频数是12，按照比例作出①的结果，用1减去其他的频率得到③的结果，④是合计，每一个表中这个位置都是1;()2根据上一问补充完整的频率分布表，画出频率分步直方图;()3估计总体落在[]129,155中的概率，利用组中值算得平均数，总体落在[]129,155上的概率为60.2750.10.0510⨯++，得到结果． 【详解】() 1根据直方图可以看出②对应的频率是0.025， 当频率是0.3时，对应的频数是12，按照比例作出①的结果， 用1减去其他的频率得到③的结果，④处是合计1，1∴①；0.025②；0.1③；1④()2根据频率分布表得到频率分布直方图如图．()3利用组中值算得平均数为：900.0251000.051100.21200.3⨯+⨯+⨯+⨯+ 1300.2751400.11500.05122.5⨯+⨯+⨯=；故总体落在[]129,155上的概率为60.2750.10.050.31510⨯++=． 【点睛】本题考查频率分步直方图，考查频率分布表，考查等可能事件的概率，是一个典型的统计问题，注意解题时不要在数字运算上出错．19.圆锥PO 如图①所示，图②是它的正（主）视图．已知圆O 的直径为AB ，C 是圆周上异于A ，B 的一点，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求该圆锥的侧面积S ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面POD ；（Ⅲ）若60CAB ∠=︒，在三棱锥A PBC -中，求点A 到平面PBC 的距离． 【答案】（1）3π;（2）参考解析；（3）22d = 【解析】试题分析：由圆锥的正视图可知，圆锥的底面直径为2，高为2，（1）所以圆锥的母线长22123l =+=，由圆锥的侧面积公式3S rl ππ==.本小题的关键是应用根据三视图得到圆锥的半径以及圆锥的高，从而运用圆锥的侧面积公式.（2）欲证平面PAC ⊥平面POD.由判定定理可知，转化为线面垂直.通过观察确定直线AC 垂直平面PDO.由已知即可得到结论.（3）点A 到平面PCB 的距离，，利用P ABC A PCB V V --=，分别计算出,,ACB PCB PO S S ∆∆.即可得到点A 到平面PCB 的距离.试题解析：（1）由正（主）视图可知圆锥的高2PO =，圆O 的直径为2AB =，故半径1r =．∴圆锥的母线长2222213PB PO OB =+=+=，∴圆锥的侧面积133S rl πππ==⨯⨯=．（2）证明：连接OC ，∵OA OC =，D 为AC的中点，∴OD AC ⊥．∵PO O ⊥圆，AC O ⊂圆，∴PO AC ⊥．又OD PO O ⋂=， ∴AC POD ⊥平面．又，平面平面（3），又,利用等体积法可求出距离，223d =考点：1.圆锥的侧面积的计算.2.面面垂直的证明.3.棱锥的体积公式.4.等积法的应用.20.已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =u u u r u u u r u u r ．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程； ()2一条纵截距为2直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．【答案】（1）22143x y +=（2）y 2x =+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1)因为2OP OA =u u u v u u u v u u v即()())()0000,2,00,2x y x y x ==所以002,x x y =所以001,23x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:221123x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++=由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点所以OP OQ ⊥,•0OP OQ =u u u v u u u v即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++= 将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以3k =±所以直线2y x =±+ 21.函数()ln f x x =，()2g x x x m =--，(1)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值．(2)若()()()22x f x g x x x e +<--在()0,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）极大值为m ，无极小值；（2）)3ln33,e ⎡+-+∞⎣． 【解析】试题分析：（１）当0m =时分析函数()F x 的单调性，确定函数的最大值；（２）()()()22xx g x x x e+<--在()0,3x ∈恒成立，通过变量分离转化为()2ln xm x e x x >-+-在()0,3x ∈恒成立，进而构造新函数求最值即可． 试题解析：解：（1）当0m =时，()()2ln ,0,F x x x x x =-+∈+∞()()()()211,0,x x F x x x+-∴=-∈'+∞由()0F x '>得01x <<；由()0F x '<得1x >，()F x ∴在()0,1递增，在()1,+∞递减所以，当01a <≤时，()F x 的最大值为()2ln F a a a a =-+当1a >时，()F x 的最大值为()10F =（2）Q ()()()22xf xg x x x e +<--在()0,3x ∈恒成立∴ ()2ln x m x e x x >-+-在()0,3x ∈恒成立设()()(]2ln ,0,3xh x x e x x x =-+-∈则()()11xh x x e x ⎛⎫=--⎝'⎪⎭当1x >时，10x ->，且()11,1,0,0xx e e e h x x x>∴-∴>' 当01x <<时，10x -< 设()1xu x e x =-，则()()210xu x e u x x>'=+∴在()0,1递增又()120,1102u u e ⎛⎫==-⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得()00u x =()0,x x x ∴∈时，()()00;,1u x x x <∈时，()0u x > ()0,x x x ∴∈时，()()00;,1h x x x ∈'>时，()0h x '<∴函数()h x 在()00,x 递增，在()0,1x 递减，在()1,3递增由()00u x =知01x ex =，所以00ln x x =- 又()()()0000000000122ln 2212xh x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=-- ()()000000220,1,2,12121x h x x x x x ∈∴-<-∴=--<--<-Q 又()33ln330,h e =+->∴当()0,3x ∈时，()()3h x h <()3m h ∴≥，即m 的取值范围是)3ln33,e ⎡+-+∞⎣.22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1x cos y sin ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅰ）将1C 的方程化为普通方程，将2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）已知直线l 的参数方程为()2x tcos y tsin απαπα=⎧<<⎨=⎩，t 为参数，且0t ≠，l 与1C 交于点A ，l 与2C 交于点B ，且AB =，求α的值.【答案】（1）曲线1C ：()2211x y -+=，曲线2C ：()2224x y -+=（2）56πα= 【解析】 【分析】（1）将曲线1C 消去参数β得1C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得2C 的直角坐标方程．（2）将直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程,得到参数A t ，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得到参数B t ，利用A B AB t t =-计算即可答案. 【详解】解：（1）曲线1C 消去参数β得()2211x y -+=，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=即2=4cos ρρθ 化为直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程()2211x y -+=得22cos 0t t α-= 0,2cos A t t α≠∴=Q .同理，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得24cos 0t t α-=，0,4cos B t t α≠∴=Q .=2cos A B AB t t α∴-==cos 2παπα<<∴=Q5=6πα.综上所述：5=6πα 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 23.已知()12f x x x =++-(1)已知关于x 的不等式()21f x a <-有实数解，求实数a 的取值范围； (2)解不等式()22f x x x ≥-．【答案】（1）2a > （2）1,2⎡∈-⎣x【解析】 【分析】（1）由题意可得只需()min 21f x a <-，利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，从而得到a 的范围；（2）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可． 【详解】解：（1）因为不等式()21f x a <-有实数解，所以()min 21f x a <-，()123,213,2f x x x a a Q =++-≥∴->∴>. （2）()21,2=3,1221,1x x f x x x x -≥⎧⎪-<<⎨⎪-+≤-⎩①当2x ≥时，2212,2222x x x x x -≥-∴-≤+∴≤≤+ ②当12x -<<时，232,13,1 2.x x x x ≥-∴-≤≤∴-<< ③当1x ≤-时，2212,11, 1.x x x x x -+≥-∴-≤≤∴=-综上得，1,2⎡∈-⎣x【点睛】本题考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题.。

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2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试（十九）数学理科试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题（每题5分，共60分）1.已知复数1i iz +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A. 1B. -1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论． 【详解】21i i(1)1z i ii i+=+==-，1z i =+，其虚部为1． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题． 2.已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B U =（ ） A. (,1)[2,)-∞-+∞U B. (,1)[1,)-∞-+∞UC. []1,2-D. (]1,2-【答案】D【解析】 【分析】解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算． 【详解】由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-，11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]A B =-U ． 故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0．3.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A. 12 B. 24 C. 36 D. 72【答案】C 【解析】 【分析】4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得．【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为234336C A =．故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法．5.若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>C 的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. y =C. 2y x =±D. 2y x =±【答案】D 【解析】 【分析】由离心率得ca=,a b 的关系即得．【详解】由题意c a =222223c a b a a +==，222b a =，2a b =，∴渐近线方程为：2y x =±． 故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题方法就是由离心率得,a b 的关系，但要注意双曲线的标准方程，渐近线的形式．6.若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 60 D. 120【答案】C 【解析】 【分析】先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项． 【详解】03sin m xdx π=⎰03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，622mx x x x =⎛⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式通项公式36662166(2)()2r rrr r rr T C x C x x---+==， 令3602r -=，4r =，∴常数项为2456260T C ==． 故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础． 7.如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A. e 1<e 2<e 3<e 4B. e 2<e 1<e 3<e 4C. e 1<e 2<e 4<e 3D. e 2<e 1<e 4<e 3【答案】C 【解析】【详解】根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜e 1＜e 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜e 4＜e 3 ∴可得到e 1＜e 2＜e 4＜e 34, 故选C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（ ） A.459B. 459-C. 19-D.19【答案】A 【解析】 【分析】以正方体的棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,1)M ，(2,2,1)N ，所以(2,2,1)CM =-u u u u r，1(2,2,1)D N =-u u u u r，1111cos ,999CM D N CM D N CM D N⋅<>===-⨯u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ． 2115sin ,1()99CM D N <>=--=u u u u r u u u u r ， ∴异面直线CM 与1D N 45故选：A ．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，由于在正方体中，因此建立空间直角坐标系，用向量法求解．9.函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（ ）A. 向右平移3π个长度单位 B. 向左平移3π个长度单位 C. 向右平移23π个长度单位D. 向左平移23π个长度单位【答案】A 【解析】 【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后结合图象变换得结论．【详解】由题意74()123T πππ=⨯-=，∴22πωπ==， 又7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，而2πϕ<，∴3πϕ=， ∴()sin(2)3f x x π=+，sin(2)sin[2()]333y x x πππ=-=-+，因此只要向右平移3π个单位就满足题意．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查由函数图象求解析式．解题关键是掌握“五点法”．掌握三角函数的图象变换的概念．10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31x f x =-，则使不等式()839x xf e e--<成立的x 的取值范围是（ ） A. (ln3,)+∞ B. (0,ln 3)C. (),ln3-∞D. ()1,3-【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．【详解】当0x <时，()31xf x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()31x f x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，8(2)9f -=-，∴8(2)(2)9f f =--=()83(2)9x x f e e f --<=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3<x e ，ln3x <，即原不等式的解集为(,ln3)-∞． 故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >．11.己知函数1()2x f x e x -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（ ）A. 7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,)+∞D. [2,3]【答案】D 【解析】 【分析】首先确定11x =，根据题意问题转化为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．再用分离参数法转化为求函数值域．【详解】易知1()2x f x e x -=+-是R 上的增函数，且(1)0f =，∴()f x 只有一个零点1，即11x =，∴问题变为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．由2()30g x x mx m =--+=得231x m x +=+，令1t x =+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]t x =+∈，2(1)342t m t t t-+==+-，由双勾函数的单调性可知，当[1,2]t ∈时，42m t t =+-递减，当[2,3]t ∈时，42m t t=+-递增， ∴42m t t=+-的最小值是2，最大值是3．即[2,3]m ∈． 故选：D.【点睛】本题考查函数零点分布问题，考查转化与化归能力．题中两个函数的零点问题，通过一个函数的零点确定，转化为另一个函数的零点范围．然后再转化为求函数值域． 12.已知数列{}n a 满足112a =，*11,2n na n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：①*0N n ∃∈，使得01n a >；②*n ∀∈N ，都有121n a a a n<L ； ③使得210.999nii a i=≤∑成立的一个充分不必要条件为99n ≤；④设函数2()ln 2xf x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<≥∈⋅有无穷多个解.其中所有正确结论的编号为（ ） A. ②④ B. ②③C. ②③④D. ①③④【答案】B 【解析】 【分析】由递推公式求出通项公式，然后验证各个选项．【详解】∵*11,2n na n a +=∈-N ，∴121111111112n n n n na a a a a +-===+-----，1121a =-， ∴数列1{}1na -是首项为2，公差为1的等差数列，∴1111n a =+-， 1n na n =+， 显然对任意*n N ∈，1n a <，①错；*n ∀∈N ，1212123111n a a a n nn n =⨯⨯⨯=++<L L ，②正确； 21111111()10.999(1)111nn ni i i i a n i i i i i n n =====-=-=≤++++∑∑∑，999≤n ，③正确； 2()ln 2x f x =，则()2xf x '=，不等式21(1)()1n n n f n a a --'-<⋅为2211n n -<-，即22n n <， 由数学归纳法可证当5n ≥时，22n n >恒成立，证明如下： (i)5n =时，52232255=>=，命题成立， (ii)假设n k =(5k ≥)时，命题成立，即22k k >， 则1n k =+时，122222222(1)(1)1(1)k k k k k k +=⨯>=++-->+，命题也成立，综上，对任意的正整数n ，5n ≥时，22n n >恒成立． 所以22n n <有无穷多个解，是错误的．④错误． 只有②③正确． 故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查数列的通项公式．解题关键是求出数列通项公式．本题中第4个命题有一些难度．题中证明是用数学归纳法给出的．当然对我们学生来讲这样的结论可能都记得，反而不显得有难度．二.填空题（每题5分，共20分）13.抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞， 则f （n）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．15.若实数x ，y 满足约束条件020x y x y ->⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11x y -+的取值范围为______________.【答案】(]1,1- 【解析】 【分析】 作出可行域，利用11y x +-的几何意义求解． 【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（不含虚线边界，含实线边界），令11x z y -=+，1x =时，0z =， 1x ≠时，111y z x +=-表示可行域内点(,)Q x y 与点(1,1)P -连线的斜率，111PO k -==-，1112PA k -==-， 由图可知11z <-或11z ≥，所以10z -<<或01z <≤，综上 11z -<≤． 故答案为：(]1,1-．【点睛】本题考查简单线性规划中的非线性目标函数的取值范围问题．解题关键是理解目标函数的意义．由几何意义求解是解题的基本方法．16.在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅=u u u r u u u r，沿BD 将四边形折起成直二面角A BD C --，且2|2BD +=u u u r u u u r，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________________.【答案】4π 【解析】 【分析】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，结合直二面角A BD C --，可证AB ⊥平面BCD ，从而有AB BC ⊥，因此AC 中点O 就是外接球球心．由此可求得表面积．【详解】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，∴AB ⊥平面BDC ，∴AB BC ⊥，同理CD AD ⊥，取AC 中点O ，则O 到四顶点的距离相等，即为三棱锥A BCD -的外接球的球心．222222222AC CD AD CD BD AB AB BD =+=++=+， ∵|2|2BD +=u u r u u u r，∴2222|222BD AB BD BD +=+⋅+u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 2224AB BD =+=， ∴24AC =，2AC =， ∴224()42S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线．三.解答题（共70分） （一）必考题（共60分）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =u r ，(2,)n a c b =+r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B 的大小；（2）若13b =4a c +=，求ABC V 的面积.【答案】(1) 23B π= (2) 33【解析】 【分析】（1）由m n ⊥u r r ，得0m n ⋅=u r r，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角．（2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】（1）∵m n ⊥u r r ，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=u r r，即2cos cos cos 0a B c B b C ++= 由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+= ∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+ ∵13b =4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac =则ABC V的面积1sin 2S ac B ==【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题． 18.已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2n n n b c a =，12n n S c c c =+++L ，求证：101nS <<. 【答案】(1) 2,N*32n a n n =∈+，1*2,N n n b n -=∈ (2) 证明见解析 【解析】 【分析】（1）变形已知等式得数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立． 【详解】（1）∵113220n n n n a a a a ++-+=，∴*1223,n nn N a a +-=∈ ∴2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为125a =，公差为3 ∴253(1)32n n n a =+-=+，2,N*32n a n n =∈+ ∵{}n b 为正项等比数列，设公比为()0q q >，则121(1)3b b b q +=+=，2314b b q == 整理得23440q q --=，解得2q =，11b =，∴1*2,N n n b n -=∈（2）12(32)2n nn nb c n a -==+⋅21582112(32)2n n S n -=+⨯+⨯+++⋅L ①2125282(31)2(32)2n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅++⋅L ②①-②得215323232(32)2n n n S n --=+⨯+⨯++⨯-+⋅L 53(22)(32)2n nn =+--+⋅, ∴(31)21nn S n =-⋅+∵*N n ∈，∴1n S >，∴101nS <<，得证. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．基本量法是求等差数列和等比数列的通项公式的常用方法．19.如图，已知四棱锥 P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.（1）求证：AE PD ⊥；（2）若直线PB 与平面PAD 所成角的余弦值为104，求二面角E AF C --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 15【解析】 【分析】（1）在底面菱形中可得AE BC ⊥，AE AD ⊥.由PA ⊥平面ABCD ，得PA AE ⊥.从而有线面垂直，因此线线垂直；（2）由于图中有AE ，AD ，AP 两两垂直，因此以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，AP a =，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a ，再求解二面角．【详解】（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC V 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥. 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD .所以AE PD ⊥.（2）由（1）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图，设2AB =，AP a =，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)AB C -，(0,2,0),(0,0,),(3,0,0)D P a E ，31,,222a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以3,1,)PB a =--u u u r，且)3,0,0AE =uu u r 为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由10cos 4θ=，则有2||6sin |cos ,|||||43PB AE PB AE PB AE a θ⋅=<>===⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r解得2a =所以3,0,0)AE =u u u r，31,12⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r AF设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =u r ，则0m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，因此111101022x y z =++=⎪⎩取11z =-， 则(0,2,1)m =-u r因为,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=I ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD u u u r为平面AFC 的一法向量又(BD =u u u r所以c |os ,|m BD m BDm BD <⋅==>=⋅u r u u u u ru r u u u u u r r u r 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求线面角和二面角．本题对学生的空间想象能力，运算求解能力有一定的要求．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN V的面积为定值. 【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）离心率提供一个等式c a =PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式21222b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程． （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440kxkmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入 12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意>0∆，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN 的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则c a =① 过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以2122b c a ⨯⨯=② 把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a = 所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =， 所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-， 即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+ ()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k-+=++=+++=+所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=>||MN ==O 到直线MN 的距离d =所以OMN21||||214SMN d m k ∆=⋅==+2||||||1m m m m==⋅=，即OMN V 的面积为定值1 （ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12yx =，代入椭圆方程，解得2M ⎭，此时OMNV的面积为12122⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 综上可知，OMN V 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代 入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形． 21.已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >，讨论()f x 的零点个数； 【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【解析】 【分析】（1）先判断()f x 为偶函数，再利用导数研究[0,]x π∈上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先求出导函数，然后对a 按照1a ≥，01a <<，进行分类讨论，当1a ≥，得到()f x 在[0,]x π∈单调递增，结合()01f =，判断出此时无零点，当01a <<，得到()f x 单调性，结合()0f ，()f π的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.【详解】解：∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数， 只需先研究[0,]x π∈()sin cos f x x x x =+()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤， 所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减 所以根据偶函数图像关于y 轴对称， 得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， .故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增 又(0)1f =，所以()f x [,]x ππ∈-上无零点②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点 （ii ）21102a π-≤，即220a π<≤ ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点 综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.【答案】（1）曲线22:13x C y +=，直线:80l x y +-=；（2）最小值是N 31(,)22． 【解析】 【分析】（1）由22cos sin 1αα+=消元后可得曲线Ｃ的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线的直角坐标方程；（2）,sin )N αα，由点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角函数知识可求得最小值及相应点的坐标．【详解】（1）由由22cos sin 1αα+=得2213x y +=，此为C 的普通方程，直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin )844m ππ+==，∴直线l 的直角坐标方程为8x y +=，即80x y +-=．（2）设,sin )N αα，[0,2)απ∈，则d==， 当sin()13πα+=，即6πα=时，min d =N 点坐标为31(,)22．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩是解题基础．23.已知函数()|1||2|f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b +=++，求a b +的最小值.【答案】（1）[1,)+∞；（2）49．【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ．【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b +=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a ba b a b ++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

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