2017-2018-1(A2017)线性代数期末考试试卷

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(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且矩阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

2017-2018-1 线性代数1-8周期末试卷B

第1页共4页第2页共4页安徽工程大学2017——2018学年第 1学期(线性代数) 课程期末考试试卷 (B) 卷考试时间 120 分钟,满分100 分要求：闭卷[√],开卷[ ]；答题纸上答题[√],卷面上答题[ ] (填入√)一、选择题 (每小题3分，满分15分)1. 已知A 、B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，则下列各式中正确的是 ( ).（A ）(A +B )2=A 2+2AB +B 2 （B ） AB =BA （C ）(A +E )(A −2E )=(A −2E )(A +E ) （D ） (AB )2=A 2B 22. 已知A 、B 为2阶方阵，则下列各式中不正确的是 ( ). （A ）|AB |=|A ||B | （B ）|2A |=2|A | （C ）|A T |=|A | （D ）|AB |=|BA |3. 已知 α1，α2，α3 为 R 3中向量，下列说法不正确的是 ( ).（A ）若 α1，α2，α3 线性相关，则 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性相关（B ）若 α1，α2，α3 线性无关，则 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性无关（C ）α1，α2，2α1−α2 线性相关（D ）(1，0，0)T ，(1，1，0)T ,(1，1，1)T线性相关 4．已知A 为 m ×n 矩阵，则非齐次方程 Ax =b 有无穷多解的充要条件是 ( ).（A ）r (A )<n （B ） r (A )=r (A |b )<n （C ）r (A )=r (A |b )=n （D ） r (A )<n,r (A |b )=n 5. 已知 x,y 为内积空间V 中向量，下列说法不正确的是 ( ). （A ）若 x ⊥y , 则 ‖x +y ‖2=‖x ‖2+‖y ‖2 （B ）若 x ⊥y , 则 ‖x −y ‖2=‖x ‖2+‖y ‖2 （C ） λ 为任意实数，‖λx ‖=λ‖x ‖ （D ）|〈x,y 〉|≤‖x ‖‖y ‖二、填空题（每空3分，满分15分）1. 已知矩阵 A =(1−2y−1x −32−42y)，且 r (A )=1，则x=____,y=____.2. 已知 A 为3阶方阵，A ∗ 为其伴随矩阵，且 |A |=2，则 |A ∗|=_____.3．齐次线性方程组 { x 1+x 3=0x 2−x 4=0 的解空间维数为______.4. 已知矩阵 (x 110y 1004) 相似于对角矩阵 (100020004)，则x 2+y 2=______.5. 二次型 f (x,y,z )=x 2+2y 2+2xy +4xz −2yz 的矩阵为第3页共4页第4页共4页___________.三、计算题(每小题10分，满分60分)1. 已知矩阵 X 满足 XA =X +A ，其中 A =(001020002)，求 X .2. 计算行列式 D =|a 01−a b20−b3|. 3. λ为何值时，齐次线性方程组 { x 1+3x 2+5x 3=02x 1+x 2=03x 1+4x 2+λx 3=0有非零解，并求此时方程组的一般解.4. 求矩阵 A =(1−2−1221−442) 的秩 r (A )，以及列空间 R (A )的一组基。

线性代数期末测试题及其答案

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、选择题（每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x 10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ 三、解答题（每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(，求X 。

天津大学《线性代数》2017-2018第二学期期末试卷A

2017~2018学年第二学期《线性代数及其应用》期末考试试卷（2018 年 6 月15日）A 卷一、填空题（共15分，每小题3分）1、设向量组[][][]T T T1231,2,5,3,3,1,4,1,7,1,2,k ==-=--ααα线性相关，则k =_________.2、设123,,ααα是n 元线性方程组=0AX 的一个基础解系，且1223,,t t ++αααα31t +αα也是=0AX 的一个基础解系，则t 的取值范围是___________________________ .3、设3阶方阵A 的特征值为1,2,3，*A 为A 的伴随矩阵，则2tr(+)*=A A _____________.4、设矩阵A 与2102B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦相似，则10.A =5、设A 为3阶实对称矩阵，且满足22+=A A O ，≠A O ，已知3k +A E 为正定矩阵，则实数k 的取值范围是_____________________.二、单项选择题（共15分，每小题3分）1、设向量组(I)含有非零向量，且向量组(II)是(I)的一个部分组，则下列说法中正确的是( ).(A) 若(I)线性相关，则(II)线性相关(B) 若(I)线性无关，则(II)线性无关(C) 若(II)线性无关，则(I)线性无关(D) 若(I)可由(II)线性表示，则(II)是(I)的极大无关组2、设W 是线性空间V 的子空间，则下列说法中错误的是( ).(A) V 中的零向量必然也在W 中(B) 若12,,,s ααα与12,,,t βββ均为W 的基，则s t = (C) 若12,,,s ααα是W 中线性无关的向量组，则dim s W ≤ (D) 若12,,,s ααα可以生成W ，则12,,,s ααα是W 的一个基3、设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，且=AB C ，其中C 为可逆矩阵，则( ).(A) A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关(B) A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关(C) A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关(D) A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关4、设3元列向量[]T1,2,3α=，矩阵T αα=A , 则下列叙述中错误的是( ). (A) A 是实对称矩阵 (B) A 的特征值为14, 0, 0(C) α不是A 的特征向量 (D) A 与diag(1,0,0)合同5、设123,,ααα为矩阵A 的分别属于特征值1237,2,3λλλ===的特征向量，而[]2313,7,2=-αααS ，则1S AS -=( ).(A) 700020003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B) 700030002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 200030007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)60002100014⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦三、解答题（共16分，每小题8分）1、设232321234()12,()12,()27,()56f x x x f x x x f x x x x f x x x =+-=++=+++=+- 39x +，求向量组1234(),(),(),()f x f x f x f x 的秩和一个极大无关组.2、设011α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵1012213a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征向量，且A 可对角化，求参数,a b 的值. 四、（11分）设[]T 1,6,t =β可由向量组[][][]T T T 12341,2,4,1,1,5,1,4,2,αααα=== []T 1,5,1=线性表示. 求参数t 的值，并求出全部线性表示关系式.五、（11分）已知线性空间3的两个基 (I) [][][]T T T 1231,1,1,1,2,3,1,3,4ααα===；(II) [][][]T T T 1231,4,6,1,2,2,1,0,0βββ===.(1) 求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵S ；(2) 求3中满足在基123,,ααα和基123,,βββ下具有相同坐标的向量.六、（11分）设σ是线性空间3上的线性变换，规定()[][]T T 312323123,,,,,x x x x x x x x αα=+-∀=∈σ. (1) 求σ在标准基[][][]T T T1231,0,0,0,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵A ； (2) 求σ在基[][][]T T T 1231,0,0,0,2,1,0,5,3ααα===下的矩阵B .七、（15分）设实二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =++---.(1) 求一个正交线性替换，将二次型123(,,)f x x x 化为标准形，并写出其标准形；(2) 求二次型123(,,)f x x x 的正惯性指数和秩.八、（6分）设123,,ααα是欧氏空间3的一个标准正交基，且111121231321212223233131232333,,,s s s s s s s s s βαααβαααβααα=++=++=++ 令33[]ij s ⨯=S . 证明：(1) 若S 为可逆矩阵，则123,,βββ是3的一个基； (2) 若S 为正交矩阵，则123,,βββ也是3的一个标准正交基.。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大

线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ，由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.）（6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.）（13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分）同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*）记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ，解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L，解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ，其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ，其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ，其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ，故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。

复旦大学《线性代数I》2017-2018学年第一学期期末考试试卷A卷

2有惟一解，无解，
x1 x2 x3 1
无穷多解？并求其通解 .
解：
1 x 3 1 2 y
1 2 0
2
x
2 2 y
0 2 3
x y3
即得
3
x
16
2
y
4 7
解：
B
Ab
1
1
1 1
0 1 2
r1 r3
r2 r1 r3 r1
1 0
1 1
1
1 1 1
0 0 0 0 0 0
得基础解系
1
0
1
=
1
,2
0
0
1
1
2
0
.1
,
2
已正交，单位化得
p1 =
1 2
0
,
p2
0
1
2
当
3
=
1 时，
A
E
2
0
2 2 0
0 1
03
0 0
1 0 0
0
1 0
,
x1 x3
x2 0
0
1
1
2
得基础解系
3
=
1
，单位化得
0
得分
4= 5，2，4, 10T ,求该向量组的秩以及一个最大无关组，并将其余向量用该最大
无关组线性表示.
解：
1 1 3 5
1 1 3 5
1,
2,
3,
4
2 0
4 2
3 1
2 4
r2 2 r1
r4 2r1
0 0
6 2312Fra bibliotek1 4

大一线性代数期末考试试卷+答案

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

大学数学线性代数第二学期期末复习测试试卷含答案

线性代数第二学期期末测试试卷含答案班别_________ 姓名___________ 成绩_____________第一部分客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分）1. 若行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则212223111213313233232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d -2. 设123010111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（）(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（）(A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ⨯矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。

(A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(C) 存在一组数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(D) 对β的线性表达式唯一8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（）(A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解9. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。

2017-2018(1)线性代数期末考试-A卷参考答案

A. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα都不是零向量;B. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任意两个向量都不成比例;D. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任一部分组线性无关.6. 若二次型222123123(,,)(1)(1)(2)f x x x k x k x k x =++-+-正定，则k 的取值范围为 ( A ). A. 2k > ; B. 1k >; C. 12k << ;D. 1k >-.二、填空题（共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）1. 行列式是一个数值，矩阵是一个数表。

（请填“数表或数值”）2. 100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=210104350⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 行列式111111x x x= (x +2)(x -1)2 或x 3-3x +2 ．4. n 元齐次线性方程组A x =0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．5. 设向量1-2-1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，β=22λ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭正交，则λ= -6 ．6. 任意n +1个n 维向量线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”）7. 已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1,1,2,-则_-2_,A =1*132__.2A A -+=三、计算题（共60分）1. （10分）设122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1) 判断A 是否可逆；（4分）2) 如果A 可逆，请用初等行变换求出-1A .（6分）解：1）由于||=-270A ≠，所以A 可逆。

(4分)2）用初等行变换求得11/92/92/92/91/9-2/92/9-2/91/9A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（6分）2. （10分）计算行列式2004310050100232D =.解：将D 的第三行的-3倍加到第四行，得：2004200431003100501050100232-15202D ==（2分）对200431005010-15202按第三列展开，得：204310-1522D = （3分）将204310-1522第二行的-2倍加到第三行，得： 204310-2102D = （2分）按第二列展开得2488-212D ==。

中国农业大学2017-2018.doc(秋)《线性代数》期末考试试题解析

2017~2018学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1.设100220345A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则1*1|()|4A A --=.解析：由于2211110,|10,,10A A A A A A A *-**=====则31*116(6)|()|441010A A A A A --**---=-==注释本题知识点：（1）1;n A A -*=（2）;AA A A A E **==（3）.n A A λλ=答案：3(6)10-2.设矩阵101112,011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭321,,ααα为线性无关的三维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为.解析：矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的秩为2,321,,ααα为线性无关的三维列向量组，因此，矩阵123(,,)ααα可逆，而123123(,,)(,,)A A A A αααααα=，则123,,A A A ααα的秩为2.注释本题知识点：(1)矩阵的秩的定义；(2)矩阵秩的性质:若=A PBQ ，其中,P Q 为可逆的矩阵，则=()()R A R B (3)向量组的秩与矩阵秩的关系:向量组321,,ααα的秩等于矩阵123(,,)ααα的秩．答案：2.3.设100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，要使A kE +为正定矩阵，k 应满足.解析：100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭特征值为1,2,1λ=-，则A kE +的特征值为1,2,1k k k λ=-+++，若A kE +为正定矩阵，则10,20,10k k k -+>+>+>，故1k >．注释本题知识点：（１）A 为正定矩阵的充要条件是A 的所有特征值大于零；答案：1k >4.设A 是三阶实对称矩阵，A 的秩()1,R A =若25A A O -=，则A 的非零特征值是.解析：由25A A O -=知矩阵A 的特征值为0λ=或5λ=，由A 的秩()1,R A =知A 的非零特征值是5.注释本题知识点：(1)特征值的定义；(2)正定矩阵的性质．答案：55.在四元非齐次线性方程组Ax b =中，A 的秩R (A )=3,且123,,ααα为它的三个解向量,已知()()1232,0,5,1,1,0,0,2,T Tααα=-+=则方程组Ax b =的通解可以写成.解析：由于A 的秩R (A )=3，则在四元齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有一个非零的解向量．又123,,ααα为Ax b =的三解向量,且()()1232,0,5,1,1,0,0,2,TTααα=-+=则231()2(1,0,0,2)2(2,0,5,1)(3,0,10,4),T T T ααα+-=--=--是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R ．注释本题知识点：（１）线性方程组通解的结构答案：-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R 二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，001010100P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100001010Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则PAQ 为（）(A)123456789⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)132465798⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)798465132⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.(D)321987.654⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：001123100789100798010456001456001465100789010123010132PAQ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：(1)初等矩阵在矩阵行列变换中的作用答案：C2.下列矩阵中,不能相似于对角阵的是（）(A)001010.100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)111022.003⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)121242.121-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(D)211020.403-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭解析：(A)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭001010100是实对称矩阵，能与对角阵相似；(B)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭111022003有三个不同的特征值1,2,3λ=，则能对角化；(C)中矩阵-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭121242121特征值为0,0,3λ=，0λ=为二重特征值，但对应两个线性无关的特征向量，因此能对角化．(D)中矩阵-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭211020403特征值2λ=为二重特征值，但对应一个线性无关的特征向量，因此不能能对角化．注释：本题知识点：(1)n 阶方阵对角化的充分必要条件是：存在n 个线性无关的特征向量；(2)实对称矩阵一定能对角化．答案：D3.设)(ij a A =是三阶方阵,满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵,A 为A 的行列式，则||A ＝()(A)0.(B)0或1.(C)-1.(D)1.解析：由*T A A =得,T A A A *==,由于2A A *=，得(1)0A A -=,故0A =或1.注释本题知识点：(1)行列式性质TA A =；(2)行列式性质1n A A-*=．答案：B4.设123,,ξξξ是方程组0Ax =的基础解系，则下列向量组中也是方程组0Ax =的基础解系的是（）(A)122331,,ξξξξξξ+++.(B)122331,,ξξξξξξ+-+.(C)122331,,ξξξξξξ---.(D)1231312,,2ξξξξξξξ+-++.解析：（A）中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭，而矩阵101110011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，则122331,,ξξξξξξ+++线性无关，为方程组0Ax =的基础解系；（B）中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-+= ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵101110011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭不可逆，则122331,,ξξξξξξ+++线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；(C)中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵101110011-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆，则122331,,ξξξξξξ---线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；（D）中1231312123112(,,2)(,,)101110ξξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-++= ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵112101110⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭不可逆，则1231312,,2ξξξξξξξ+-++线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；注释本题知识点：（１）线性方程组基础解系的定义；(2)向量组的秩与矩阵秩的关系；(3)矩阵秩的性质．答案：A5.设n 维列向量组1,,()m m n αα< 线性无关，则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为（）(A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示.(B)向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示.(C)向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价.(D)矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B .解析：（A）中令12(1,0,0,0),(0,1,0,0)T T αα==;12(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T ββ==,则（A）、(B)、(C)都不成立．在（D）中若矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B ，则1,,m ββ 线性无关；反之1,,m ββ 线性无关，则矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B ．注释本题知识点：（１）向量组的线性表示；（２）向量组的等价；（3）向量组秩的定义及性质．答案：D三、（本题满分14分）计算下列各题1.计算四阶行列式0052002112341326D =--.解析:()()00521234002113263254112340052132621D --===--=--2.设n 阶行列式=det()n ij D a ,其中||(1,)ij a i j i j n =-≤≤,求n D .解析：122301231111111012211111310131111132104111111234012340r r n r r n n n D n n n n n n n n n -----------==-------------213112100001200012200(1)(1)2.1222012324251c c n n c c n n n n n n +--+------==-----------注释本题知识点：（1）行列式性质；（2）行列式的计算方法．四、（本题满分16分）1.设三阶方阵A,B 满足16,A BA A BA -=+且131415A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求B .解析：显然A 可逆，用1A -右乘方程两边，得--=+⇒-=116()6A B E B A E B E ，从而--=-116()B A E ．--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11324,354A A E --⎛⎫⎪⎪⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭11121()314A E ．从而--⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭1136()232B A E 2.已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量依次为123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2),T T T p p p ==-=--求矩阵A .解析：由已知，A 可以对角化.令123122(,,)221212P p p p -⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则1101P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，从而1101A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，10210123220A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注释本题知识点：（1）矩阵的运算；（2）特征值特征向量的定义与矩阵对角化的定义．五、（本题满分12分）设有向量组12341111101121,,,,,2324335185a a a a a b a β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭问,a b 为何值时,1.β不能由1234,,,a a a a 线性表示.2.β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式唯一.3.β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式不唯一，并写出一般表示式.解析：设=++121233x a x a x a β，设1234(,,,)A a a a a =，对增广矩阵(,)A β实行初等行变换()11111111110112101121,2324300103518500010A r a b a b a a β⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪= ⎪ ⎪+++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，由此可见（1）当1,0a b =-≠时，方程组无解，即β不能由1234,,,a a a a 线性表示；（2）当1a ≠-时，β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式唯一；（3）当1,0a b =-=，方程组有无穷多解，并且112212123142202112112010001x k k x k k k k x k x k -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即=-+++-++∈121122132412(2)(12),(,).k k a k k a k a k a k k R β．注释本题知识点：（1）向量的线性表示与线性方程组的关系；（2）线性方程组的求解过程与方法．六、（本题满分10分）设A 是n 阶方阵，,,123ααα是n 维列向量，且10α≠，11A αα=，212A ααα=+，323A ααα=+，证明：向量组,,123ααα线性无关.解析：设有三个数123,,k k k 使得1122330k k k ααα++=（1），（1）式两边同时左乘A,可得1122330k A k A k A ααα++=，即11212323()()0k k k ααααα++++=，整理得12123233()()0k k k k k ααα++++=．（2）（2）减（1）得21320k k αα+=，（3）（3）式两边左乘A,得2131320k k k ααα++=（4）（4）减（3）得310k α=，因为10α≠，可得30k =，代入（3）式，可得20k =，从而10k =，即123,,ααα线性无关．注释本题知识点：（1）向量组的线性无关性的定义；（2）证明向量组的线性相关性的方法．七、（本题满分12分）设二次型22212312313(,,)222(0)T f x x x x Ax ax x x bx x b ==+-+>中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.1.求,a b 的值.2.用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换及标准形.解析：(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，设A 的特征值为123,,λλλ，由已知条件知123221a λλλ++=+-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=--，得1,2a b ==（2）由矩阵A 的特征多项式2102||020(2)(3)202E A λλλλλλ---=-=-+-+，得到A 的特征值为1232,2,3λλλ===-，对于特征值122λλ==，解齐次线性方程组(2)0E A x -=，得基础解系12(2,0,1),(0,1,0)T T ξξ==，对于33λ=-，解齐次线性方程组(3)0E A x --=，得基础解系3(1,0,2),T ξ=-由于123,,ξξξ已经是正交向量组，故只需将其单位化123,(0,1,0),T T T ηηη===-令010Q ⎫⎪⎪= ⎪ ⎪，则Q 为正交矩阵，在正交变换x Qy =下，二次型的标准行为222123223f y y y =+-．注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义与性质；（2）二次型化标准形的方法．八、（本题满分6分）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，求n 阶矩阵T A E αα=-的全部特征值并证明其不可逆.解析：因为-=T E A αα为对称矩阵，由=()1T R αα,知-=()1R E A ，则-=()1R A E .所以A-E 的特征值有一个是非零的，其余n -1个都是0．设矩阵A 的所有特征值为12,,n λλλ ，则A-E 的特征值为121,1,,1n λλλ--- ．因此，121,1,,1n λλλ--- 中有n -1个都是0，即12,,n λλλ 有n -1个都是1，由121,1,,1n λλλ--- 中有一个非零知，12,,n λλλ 中有一个不等于1．又因为0T A E ααααα=-=，所以0是A 的特征值．所以矩阵A 的所有特征值为1，1，，1，0．因为0是A 的特征值,所以A 不可逆.注释本题知识点：（１）矩阵秩的有关结论：()1,0T R ααα=≠；（２）矩阵特征值、特征向量的定义与性质．。

2017-2018-1-线代A试卷+答案

湖北工业大学线性代数试题答案A 卷 2017年11月一选择题：（3×5=15分）1、B2、 C3、B4、C5、D 二填空题：（3×5=15）分6、27、118、 E 59、 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321201/2-0011/2-11),,(x x x x x x 10、-32 三计算题（共60分）11（10分）、先将第2,3,4列依次加到第一列得4-44-33-3032-52-3211-3=D ......3分6-33-05-214-41-0211-134-44-13-3012-52-1211-13== ..........6分5/2-0003-2004-41-0211-12769-009-6004-41-0211-13===135 ..........10分 12（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010002,102010001B D A C ..........4分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10001000,10201000121D B C A ..........6分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴81427511301000100010201000121CD AB ....10分1. 13（10分）、αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3272123411511011123012(,,,)31810000139700 ..........4分12,αα∴可作为向量组的一个极大无关组。

..........6分αααα=1234(,,,) 2.r ..........8分3732241222,2.αααααα=-=+ ..........10分 14（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010001012411210)(E A ..........2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→12-30010102-00210411 ..........5分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→1/2-13/2-12-411-2100010001 ..........8分所以，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1/2-13/2-12-411-21A ..........10分15（10分）、 A 的特征多项式为2400031(2)(4).13E A --=--=----λλλλλλ故 A 的特征值为 .........2分对应基础解系分别为..........4分 ..........6分..........8分将123,,ααα单位化得)())123,1,,1,0,,,,1.T T T===0-1001ηηη故，为所求正交矩阵.......10分16（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000021/210051321~7232-1-2-1-04251321~A ..........4分化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000021/21001-1/2-021~~A ..........6分所以，原方程组的通解是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020112/102/10012214321k k x x x x ..........10分四证明题：17、（10分）令 0222110=++++*ηηηξn-r k k k k .........2分所以 0222110=++++*ηηηξA k A k A k A k n-r00=b k , 得00=k .........2分故 022211=+++ηηηn-r k k k .........2分由r n -ηηη，，， 21是其导出组（对应齐次线性方程组0=Ax ）的一个基础解系知 021====n-r k k k ， .........2分此即0210=====n-r k k k k ，故线性无关 .........2分()21,0,T =0α()3,,1.T=01α()10,1,1T =-α234==λλ12=λ12310(,,)00P ⎛⎫⎪ ⎪== ⎝0ηηη。

中国农业大学2017-2018年(春) 《线性代数》期末考试试题解析

2017~2018学年（春）学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1.已知321,,ααα为3维列向量，且三阶行列式,3,,321=ααα则三阶行列式.18,26,2131321=++++ααααααα解析：12313123131231123312312123 |++, 62,|=|, 62,|=|, 6,||, 2,|=|, 6,|=6|, ,|=18.αααααααααααααααααααααααααα+++++++注释本题知识点：此题主要考察行列式的如下性质：111111111(1) |, ,,,,,|=|, ,,,k ,,|;(2) |, ,,,|=|, ,,,|+|, ,,,|;(3) |, ,,,|=k|, ,,,|;(4) |, ,,,,,|=-|, ,,,,,|.i j n i i j n i j n i n j n i n i n i j n j i n k ααααααααααααααααααααααααααααααααα++ 2.设向量组()()()TTTa 1,,1,1,5,3,1,1,3,2,0,1321-===ααα线性相关，则.1=a 解析：若向量组123,,ααα线性相关，则齐次线性方程组1122330x x x ααα++=有非零解.因此，123(,,) 3.R ααα<123111011(,,)001000r a ααα⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ，当1a =时，123(,,)2 3.R ααα=<注释：本题知识点：此题主要考察向量组的线性相关性的概念及齐次线性方程组存在非0解的条件.通常需借助线性方程组的理论来研究向量组的线性相关性，当齐次线性方程组系数矩阵的秩比未知量个数小时，齐次线性方程组有非0解，系数矩阵所对应的列向量组线性相关.3.若二次型()31212322213214456,,x x x x tx x x x x x f +-++=为正定二次型，那么t 的取值范围是1310>t .解析：二次型123(,,)f x x x 的矩阵为62225020t -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.若为正定二次型，则其矩阵为正定矩阵.故62225020t -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的各阶顺序主子式均大于0.由6222552620025t t--=->得1013t >.注释本题知识点：矩阵为正定矩阵当且仅当其各阶顺序主子式均为正.4.设123,,ηηη是4元非齐次线性方程组=Ax b 的3个解向量，矩阵A 的秩为3，若T T )0,1,1,0(32,)4,3,2,1(321-=-=ηηη，则方程组=Ax b 的通解为ℜ∈+k k T )4,2,3,1(1η．解析：若()3R A =，则4元齐次方程0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的向量.由于123,,ηηη是b Ax =的解，123(23)0A ηηη+-=，故bAx =通解为1231(23)(1,32,23,44)T k k k k k ηηηη+-+=++++.注释本题知识点：此题主要考察非齐次线性方程组的结构，Ax b =通解为R ()1n A i ii x k ηη-*==+∑，其中，η*为Ax b=的特解，R(A)1n i ii k η-=∑为齐次方程Ax =的通解.5.设2阶矩阵A 有两个不同的特征值，21,αα是A 的线性无关的特征向量，且满足21212()+=+A αααα，则A 相似于对角阵.10011001⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-或解析：由21212()()0,0-+=+≠E A αααα知1是2A 的特征值.设12,λλ是A 两个不同的特征值，则2212,λλ均是2A 的特征值.假设2212λλ≠，则+αβ不可能是特征向量.故2212==1λλ，12,λλ为1，-1.A 相似于diag(1,-1).设21,αα对应的特征值为12,λλ，由21212()A αααα+=+得221122(1)(1)0.-+-=λαλα又12,αα线性无关，则221210,10.-=-=λλ由于12,λλ不同，则A 相似于对角阵.10011001⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-或注释本题知识点：（1）若λ为A 的特征值，则多项式()f λ为()f A 的特征值；（2）不同的特征值对应的特征值向量线性无关，不同特征值的特征向量相加不是特征向量；（3）同一特征值对应的特征值向量构成一个特征子空间；（4）若A 有n 个不同的特征值12,,,n λλλ ，则A 相似于12diag(,,,).n λλλ 二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.三阶行列式,0798031042=+-+--x x x 则x 的可能取值为【C】()()()().7,1,1D .2,7,1C .2,1,1B .2,7,1A -----解析：把行列式按最后一列进行展开得(x+7)(x+2)(x-1)=0，故x=-7,-2,1.注释：此题主要考察行列式的计算，如果行列式的某一行或某一列含有较多的0，我们通常把行列式按改行或该列展开进行计算.2.设A 为3阶方阵，交换A 的第1行与第2行得到矩阵B ，再把B 的第3列的2倍加到第1列得单位矩阵，记,1000010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P ,1020100012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 则=A 【D 】()()()().D .C .B .A 121111121221----P P P P P P P P 解析：利用初等矩阵的性质得12P AP E =，故1112.A P P --=注释本题知识点：对一个矩阵做初等行变换相当于左乘一个相应的初等矩阵，做初等列变换相当于右乘一个相应的初等矩阵.3.若二次型32232132122),,(x x ax x x x x f ++=经正交变换Py x =可化成标准形232221y by y -+，则【B 】()()()().2,0D .2,1C .2,0B .2,1A -==-======b a b a b a b a 解析：二次型的矩阵为20000101A a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，经正交变换后其标准型的矩阵为(1,,1)B diag b =-，则A相似于B.由,||||trA trB A B ==得2, 2.a b b +==故0, 2.a b ==注释本题知识点：此题主要考察相似矩阵的性质，若A 相似于B ，则,||||.trA trB A B ==4.线性方程组b Ax =的系数矩阵A 是43⨯的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则下列命题错误的是【C】()0A =x A T 只有零解.()0B =Ax A T 必有无穷多解.()C 对任意b x A b T=,总有唯一解.()D 对任意b Ax b =,总有无穷多解.解析：由A 的行向量组线性无关知T ()()=3R A R A =，因TA 为43⨯矩阵，对于（A）()()3TR A R A ==，故0=x A T 只有零解;对于（B）因T AA 为44⨯矩阵，()()34T A A R A ==<，故0=Ax A T 必有无穷多解；对于（C）T A 为43⨯矩阵，当()3(,)4TT R A R A b =<=时，b x A T=无解；对于（D）对任意的b ，()(,)34R A R A b ==<，b Ax =总有无穷多解.注释本题知识点：（1）对于n 元齐次线性方程组0Ax =，当()R A n =时，有唯一解；当()R A n <时，有无穷多解.（2）对于n元非齐次线性方程组Ax b=，当()(,)R A R A b <时，无解；当()(,)R A R A b n ==时，有唯一解；当()(,)R A R A b n =<时，有无穷多解.（3）对任意的矩阵A ，()()T R A R A A =.5.设P 为三阶非零矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q ，且满足O PQ =，则关于矩阵P 的秩，下列说法正确的是【C 】(A)6=t 时，P 的秩必为1.(B)6=t 时，P 的秩必为2.(C)6≠t 时，P 的秩必为1.(D)6≠t 时，P 的秩必为2．解析：由P 为3阶非零矩阵，PQO =知()1,()()3R P R P R Q ≥+≤.当6t =时，()1,1()2R Q R P =≤≤；当6t ≠时，()2,() 1.R Q R P ==注释本题知识点：若A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，则()()()R A R B n R AB +≤+.三、（本题满分14分）计算下列各题解析：1.计算1n +阶行列式∑=----=+++ni ii i nn r a b r r a b r r a b r nn n a c b a c a c a c a a b b b c a ca c a nnnn n n 10221102122110000000000000122211111解：.1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i i i n a c b a a a a 2.设行列式,1253422266254233335554321--求.353433M M M ++353433353433A A A M M M +-=++解：1253422266111003335554321---=.01253400066111000005554321343223=-=--r r r r 注释本题知识点：计算行列式时通常需利用行列式的性质化上、下三角行列式进行计算或是把行列式按某一行、某一列进行展开.若()i j n n A a ⨯⨯=，则1||nij ijj A a A ==∑.改变行列式的某一行时并不会影响该行的代数余子式，故计算1nijijj b A =∑时，只需用12,,,i i in b bb 去替换||A 的第i 行即可.四、（本题满分12分）设,321011330⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B 解析：()AB E A B A AB =-⇒+=22因为,021210113322≠=---=-E A 所以E A 2-可逆且(),2/12/12/12/32/12/12/32/32/121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--E A 故().0113213303210113302/12/12/12/32/12/12/32/32/121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-A E A B 注释本题知识点：若A 可逆，对分块矩阵(,)A E 做初等行变换化为1(,)E A -，即可得到A 的逆.五、（本题满分12分）讨论当q p ,满足什么条件时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++-=+--=+--.143,105,1263,0324321432143214321x px x x q x x x x x x x x x x x x 无解?有惟一解?有无穷多解?在有无穷多解时,求出通解.解析：设该线性方程组的增广矩阵为B ,,7312020021212102127001~1413110511263103211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=q q p p q B r 当22≠=q p 且时，()(),43=<=B R A R 该线性方程组无解；当2≠p 时，()(),4==B R A R 该线性方程组有惟一解；当22==q p 且时，()(),43<==B R A R 该线性方程组有无穷多解.此时,,0000071100073021000001~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r B 得与原线性方程组同解的方程组为,,71732,04321⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=x x x x 为自由未知数取3x ，令k x =3,得该线性方程组的通解为:.,71073001204321取任意常数其中k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛注释本题知识点：讨论线性方程组解的存在情况时，通常要先对方程组的增广矩阵做初等行变换化行最简型矩阵，然后利用系数矩阵及增广矩阵的秩与未知量个数的关系进行判断，参看二（4）的注释.六、（本题满分12分）已知二次型()323121232232184234,,x x x x x ax x x x x x f +-+-=的一个特征值为1，1.求a 的值；2.求正交变换将此二次型化成标准形，并写出标准形.解析：1.该二次型的矩阵为.3424420⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a a A 因该二次型的一个特征值为1，所以有().202444243212=⇒=-=----=-a a a a E A 2.该二次型的矩阵为.342442220⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A ()()(),66134244222+---=------=-λλλλλλλE A A 的特征值为.6,6,1321-===λλλ当11=λ时,()0=-x E A 的基础解系为:,1021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ξ单位化;5/105/21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p 当62=λ时,()06=-x E A 的基础解系为:,2512⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξ单位化得;30/230/530/12⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 当63-=λ时,()06=+x E A 的基础解系为:,2113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ξ单位化得;6/26/16/13⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p -令,6/230/25/16/130/506/130/15/2⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=P 则P 为正交矩阵,正交变换Py x =,将此二次型化为标准形.66232221y y y f -+=注释本题知识点：（1）实对称矩的特征值均为实数且不同的特征值对应的特征向量是正交的；（2）实对称矩阵可正交相似于对角矩阵，其特征向量可构成一组标准正交基.七、（本题满分8分）设γβα,,均为n 维向量，且向量组γαβγαβ---,2,3线性无关，证明：向量组γβα,,线性无关.解析：证法一设()1,0321=++γβαk k k 令,,2,3321γαβγαβ-=-=-=a a a 则解得()()(),351,2251,6351321321321a a a a a a a a a ++==++=++=γβα代入()1式得()()(),026332332123211321=++++++++a k k k a k k k a k k k 由于γαβγαβ-=-=-=321,2,3a a a 线性无关，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,026,033,02321321321k k k k k k k k k 解得,0321===k k k 故向量组γβα,,线性无关.证法二向量组γαβγαβ---,2,3与向量组γβα,,的关系可合写为()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---120013101,,,2,3γβαγαβγαβ记作.AK B =,0512013101≠=---=K()().A RB R =∴而向量组γαβγαβ---,2,3线性无关，所以().3=B R 从而().3=A R 故向量组γβα,,线性无关.注释本题知识点：向量组12,,,n ααα 线性无关，当且仅当10niii k α==∑时，120n k k k ==== .此题也可用向量组秩的性质证明，因向量组γαβγαβ---,2,3线性无关，且可用γβα,,线性表示，故3(3,2,)(,,)3R R βαγβαγαβγ=---≤≤，则(,,)3R αβγ=，向量组,,αβγ线性无关.八（本题满分12分）设A 为n 阶实方阵，且满足O E A A =+-232，1.求A 的特征值；2.证明()()n E A R E A R =-+-2；3.问A 是否可以和对角阵相似？请说明理由.解析：1.设λ为A 的特征值，A 对应于特征值λ的特征向量为x ，即,0,≠=x x Ax λ又由于A 满足O E A A =+-232，所以有()(),0,0232322≠=+-=+-x x x E A A λλ从而.210232==⇒=+-λλλλ或故A 的特征值只可能为.21或2．一方面，()()O E A E A E A A =--=+-2232()(),2n E A R E A R ≤-+-∴另一方面，()()()()()(),222n E R A E E A R A E R E A R E A R E A R ==-+-≥-+-=-+-综上所述，有()().2n E A R E A R =-+-3．（1）当A 的特征值都是2时，E A -可逆，由O E A A =+-232得，E A 2=则A 可以和对角阵相似；----10分（2）当A 的特征值都是1时，E A 2-可逆，由O E A A =+-232得E A =，则A可以和对角阵相似；（3）当21和均为A 的特征值时，E A -不可逆且E A 2-不可逆，()0=-x E A 的基础解系所含向量个数为()E A R n l --=1，()02=-x E A 的基础解系所含向量个数为()E A R n l 22--=，由2知()()n E A R E A R =-+-2，从而有,221n n n l l =-=+故n 阶方阵A 有n 个线性无关的特征向量，从而A 可以和对角阵相似.注释本题知识点：(1)若λ为A 的特征值，则多项式()f λ为()f A 的特征值；(2)若,A B 为n 阶方阵，则()()()R A R B n R AB +≤+,()()()R A B R A R B +≤+.(3)若n 阶方阵有n 个线性无关的特征向量，则其可相似于对角矩阵.。

中国海洋大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷

一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18分)1. n 阶行列式122222222222322222122222n n−的值为______.2. 设矩阵001110123010,010,023*********A C D −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3阶方阵B 满足ABC D =，则1B −=______. 3. 已知2R 中两组基为ααββ===−=1212(1,1),(0,1);(1,1),(1,2),T TTT则从基αα12,到基ββ12,的过渡矩阵是，已知α在基αα12,下的坐标为(3,0)T ，则α在基ββ12,下的坐标为 .4.设111101,1101a A b α−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为A 的属于特征值2−的特征向量，则a =______，b =______.5.设3阶实对称矩阵A 的秩()2r A =且A 满足22A A O −=(O 表示零矩阵)，则4I A −=______.6. 已知实二次型22212312313(,,)2f x x x x ax x x x =+++经正交变换x Py =可化为标准型221223f y y =+，则a =______.二、选择题(共 8题，每题 3分，共 24分) 1. 下列(2)n n ≥阶行列式的值必为0的是（）.(A) 行列式主对角线上的元素均为0 (B) 行列式零元素的个数多于n 个 (C) 行列式零元素的个数多于2n n −个 (D) 行列式非零元素的个数比+1n 少2. 将2阶方阵A 的第二列加到第一列得方阵B ，再交换B 的第一行与第二行得单位矩阵，则A =（）.（A ）0111⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）0111⎛⎫ ⎪−⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1110−⎛⎫ ⎪⎝⎭3．设A 是n 阶矩阵，O A =3，则 =−−1)(A I （）.（A ）2A A I +− （B ）2A A I ++ （C ）2A A I −+ （D ）2A A I −−4. 齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在3阶非零矩阵B 使得AB O =，则（）.中国海洋大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷（A ）2λ=−且0B = （B ）2λ=−且0B ≠ （C ）1λ=且0B = （D ）1λ=且0B ≠ 5. 已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同解，12,αα是对应齐次方程组0Ax =的基础解系，则Ax b =的一般解是（）.（A ）1211212()2k k ββααα−+++ （B ）1211221()2k k ββααα++−+（C ）1211212()2k k ββαββ−+++ （D ）1211212()2k k ββαββ++−+6.下列矩阵中不能对角化的是（）.（A ）1101⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 1102⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C) 1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1212⎛⎫ ⎪⎝⎭注：以下两道为多选题 7. 对向量组12,,,m ααα，其中,1,2,,n i R i m α∈=，下列说法正确的是（）.(A)设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性相关，则12,,,m A A A ααα也线性相关 (B) 设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性无关，则12,,,m A A A ααα也线性无关(C) 12,,,m ααα线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出 (D) 若12,,,m ααα中有一个是零向量，则此向量组线性相关(E)零向量可由12,,,m ααα线性表出8. 下列说法正确的是（）.(A)对矩阵A 不管施行初等行变换还是初等列变换都不会改变矩阵的秩的值 (B)若A 、B 均可逆，则()()r ACB r C =(C)若n 阶方阵A 的秩()1r A n =−，则*()0r A =，其中*A 为A 的伴随矩阵 (D)若1212=(,,,),=(,,,),m n a a a b b b αβ，其中,i j a b (1,2,,;1,2,,i m j n ==)均非零，则()1T r αβ=三、计算题 (共 3题，共24分)1．（8分）已知4阶行列式42134102315211152D =−,ij A 表示第i 行第j 列元素ij a 的代数余子式，求1323432A A A ++的值。

线性代数期末测试题（卷）与答案解析

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=c __________。

2．若齐次线性方程组ïîïíì=++=++=++000321321321x x x x x x x x x l l 只有零解，则l 应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ´=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A 为3´3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、选择题（每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（）A.054<<-tB.5454<<-tC.540<<tD.2154-<<-t7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ-=，求x 的值（）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. 0¹A B. 01¹-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（）A.14322-=-=-z y xB.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x10．已知矩阵÷÷øöççèæ-=1513A ,其特征值为（） A.4,221==l lB.4,221-=-=l lC.4,221=-=l l D.4,221-==l l三、解答题（每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011÷÷÷÷øöççççèæ---=B ÷÷÷÷÷øöçççççèæ=2000120031204312C 且矩阵C 满足关系式EX B C T=-)(，求C 。

17-18-1线代试题答案

2017-2018-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、12 2 、6 3 、72 4、2 5、-5二（每小题3分，共15分）1 B 2C 3 C 4D 5 D三（8分）3111666613111311=1131113111131113D =……………………………………（3） =11111311611311113…………………………………………………………………（2） 11110200=600200002=48 (3)四（10分）由AB A B =+，得()A E B A -=…………………………………………（1分）||0,A E A E -≠-可逆 ………………………………………………（1分）()120220,203213011010A E A ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭……………………………………（1分） 120220011010001213⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………………………（3分） 100226010203001223-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭………………………………（3分）所以 226203213B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………………………………………（1分）五（15分）()()11114111λλλλλ=-+…………………………………………………… （5分）4λ≠且1λ≠-时，有唯一解…………………………………………………（2分）1λ=-时()11141114,1111023811240005A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解………………………………………（3分）4λ=时，()114411441030,1411601140114112400000000A b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，令3x c =得方程组通解为123331410x x x c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………（5分）六（10分）()12341321132111010222,,,1210011125310111a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1012011100000000--⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………（6分）向量组秩为2，………………………………………………………………………………（1分）一个最大无关组为：12,a a ………………………………………………………………… （1分）312a a a =-+……………………………………………………………………………………（1分） 4122a a a =-+…………………………………………………………………………（1分）七（10分）证明：设存在数1x ，2x ，3x ，使1123223313(2-3)(3+)(4)0x x x ααααααα++++=…………………………………（2分） 1211221233()(23)(34)0x x x x x x x ααα++++-++=………………………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知13121230230340x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪-++=⎩，因101230230314=≠-，故齐次线性方程组只有零解，……………………（4分）从而1x ，2x ，3x 全为零12323ααα+-，233+αα，134αα+是线性无关。

天津大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末考试试卷A卷

一、填空题1、子空间412341234{[,,,]R 0,0}W x x x x x x x x =∈+=+=的维数为__________________.2、设向量组12(I),αα和 123(II),,ααα的秩均为2, 向量组124(III),,ααα的秩为3, 则向量组1234,,23−αααα的秩为___.3、设3阶方阵A 的特征值为1,2, 则223______.−+=A A E4、设矩阵21222361a −=−− −A 与矩阵diag(2,2,4)=−B 相似, 则_______.a = 5、设3阶方阵A 的全部特征值为123,,λλλ, 且123,,λλλ互异, 对应的特征向量依次为1230111,,1110k===ααα, 则参数k 的取值范围是___________.二、选择题1、设矩阵A 与B 相似, 则下列结论中错误的是( ).(A) 2A 与2B 相似 (B) A+E 与B +E 相似 (C) T A 与T B 相似 (D) T A+A 与T B +B 相似2017 ～ 2018 学年第一学期期末考试试卷《线性代数及其应用》（A 卷共4页）12、设向量β可由向量组12,,,m ααα线性表示, 但不可由121(I),,,m − ααα线性表示, 记121(II),,,,m − αααβ, 则( ). (A) 向量m α不可由向量组(I)线性表示, 也不可由向量组(II)线性表示 (B) 向量m α不可由向量组(I)线性表示, 但可由向量组(II)线性表示 (C) 向量m α可由向量组(I)线性表示, 也可由向量组(II)线性表示 (D) 向量m α可由向量组(I)线性表示, 但不可由向量组(II)线性表示3、设A 为m n ×矩阵, 非齐次线性方程组=βAX 有唯一解, 则( ). (A) 向量β可由矩阵A 的线性无关的列向量组线性表示 (B) 向量β可由矩阵A 的线性无关的行向量组线性表示 (C) 向量β可由矩阵A 的线性相关的列向量组线性表示 (D) 向量β可由矩阵A 的线性相关的行向量组线性表示4、设A 为n 阶实对称矩阵, 则−A E 正定矩阵当且仅当A 的特征值( ). (A) 全为正数 (B) 全小于1 (C) 全大于1 (D) 全为15、设实对称矩阵A 与120210002−=−B 合同, A *为A 的伴随矩阵, 则实二次型f X ()=X T A*X 的规范形为( ). 2(A) 222123y y y ++ (B) 222123y y y +− (C) 222123y y y −− (D) 222123y y y −−−三、1、求向量组123411210251,,,20131141− ==== − −αααα的秩和一个极大无关组, 并用该极大无关组线性表示其余向量. 2、设矩阵12212221a =A , 11b=α是1−A 的对应于特征值λ的特征向量, 求常数,a b 的值以及λ的值. 四、试问a 取何值时, 线性方程组1231231232,2(2),1x x x x a x x a x x ax a ++= ++−=−−+=− 有唯一解, 无解, 无穷多解？在有解时求其通解. 五、设123,,ααα是线性空间V 的一个基, 且11223323,,2==+=+βαβααβαα. (1) 证明123,,βββ也是V 的一个基;(2) 求由基123,,βββ到基123,,ααα的过渡矩阵; 123+2α+α3在基123(3) 求γα=ββ,,β下的坐标.六、设σ是线性空间R 3上的线性变换, 规定σ()=[,y z ,x ],T αα∀=[x ,,y z ]T 3∈R .(1) 求σ在标准基123=[1,0,0],εε=T [0,1,0],=[TT ε0,0,1]下的矩阵A ;3七、求一个正交线性替换, 将实二次型222123123121323(,,)710744f x x x x x x x x x x x x =++−−+化为标准形, 并写出其标准形. 八、设 ,αβ分别是长度为1,2 的3 元列向量, 且α 与β 正交, 记A =αβ + 4βαT T . 证明(1) r A ()≤ 2；(2) 矩阵A 可对角化.填空题: 1、2. 2、3. 3、6. 4、3. 5、2k ≠. 选择题: DBACC三、1、秩为3, 41232=+−αααα. 2、2,2,1a b λ==−=−或152,1,a b λ===.四、0,1a a ≠≠−, 唯一解[]T11123,,,1,1a a x x x =− ; 0a =, 无解; 1a =−, 无穷多解T T [3,5,0][2,3,1]k =−+−X . 五、过渡矩阵为100021011 −− ; 坐标111. 六、(1) 010001100; (2) 490241120− −. 七、123λ=λ=6,λ=12. (2) 求σ在标准基123=[1,α0,0],=T [2,α1,0],=T [α0,2,1]T 下的矩阵B .4答案。

2017-2018-1(A2017)线性代数期末考试试卷

。
9、设三阶方阵 A （， 2， 3）， B （， 2， 3），其中， , 2， 3 均为 3 维列向量且
A 3, B 1，则 A B =
。
2 2 0
1
10、设 A 2
a
2
与
2
相似，则a b =
。
0 2 0
b
二、解答题（1-6 每题 8 分，7-8 每题 10 分，共 68 分）
课程名称线性代数（2017 级）
课程编号
注：1、考生必须在《武汉轻工大学学生考试答题纸》上答题。
学号：
2、只交答题纸,答题纸上要填写姓名、班级、学号。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
(1 )x1 x2 x3 0
7、为何值时，线性方程组
x1
(1 )x2
x3
3
x1 x2 (1 )x3
有唯一解？无解？有无穷多组解？
8、求一个正交变换化二次型 f (x1, x2 , x3 ) 4x12 3x22 3x32 4x2 x3 成标准形。
三、证明题（每小题 6 分，共 12 分）
1、证明：若n 阶方阵 A 具有n 个互不相同的特征值，方阵 B 与 A 有相同的特征值，证明 A 与 B 相似。
2、设1 , 2 , 3 是线性无关的四维向量组，1 、 2 也是四维向量，证明：存在不全为零的数c1 、c2 ，使得
c11 c2 2 可用1 , 2 , 3 线性表示。

复旦大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷

复旦大学考试试卷B2017~2018学年一学期线性代数课程时间110分钟32学时，2学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%17年月日班级________姓名_______学号_______成绩________三、填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____,j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2=A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（）(A) αβγ(B)γβα---(C)αγγββα+++(D)γβαβαα+++2、设A,B ，C 为n 阶方阵,若AB =BA,AC =CA,则ABC=()(A)BCA(B)ACB(C)CBA(D)CAB3、A,B 均为n 阶方阵,A*为A 的伴随矩阵，3B 2, -==A ，则21-*B A =()(A)32 12--n (B)32 1--n (C)23 12--n (D)23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（）(A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关(D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～B ，则有()(A)A 、B 有相同的特征矩阵(B)B=A (C)对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量(D)A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式（13分）3、D=2- 3 0 11 2 1 - 12 1 0 33 1- 2 14、D n =11 1 11 1 x 1 1 ... (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 1 2 04 3 1 2 ,且矩阵A 满足E C B C E A =''--)(1,试将关系式化简并求A(12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 1 3 2 4321432143214321有无穷多个解并求出通解（14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x 0 有三个线性无关的特征向量，证明：x –y =0（7分）。