数学-2014-2015学年高一12月月考试卷 数学

2014-2015学年度第一学期高一12月月考数学试卷2014-12-13一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________． 2．在函数y = 2sin(4x +32π)图象的对称中心中，离原点最近的点的坐标是___________． 3．已知函数y=cosx 与y=sin （2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．4．函数=)(x f ⎩⎨⎧<+-≥0,1)3(0,x x a x a x 为R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围为 ____．5．函数f (x )=236)21lg(cos x x -+-的定义域是________________________．6．将函数y =sin2x 的图象向左平移6π个单位, 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是___________．7．已知函数f (x )=2sin(2x +α) (|α|≤2π) 的图象关于直线x =3π对称，则α= ． 8．函数)23sin(xy -=π的单调递增区间是____________． 9．设f (x )是R 上的奇函数，当0≥x 时，f (x )=a x x+-22（a 为常数），则当0<x 时f (x )= _______．10．已知函数)tan(x y ω=在)2,2(ππ-内是减函数，则ω的取值范围是__________．11．设函数2)(-+=x e x f x ，3ln )(2-+=x x x g ，若实数b a ,满足0)(=a f ，0)(=b g 请将0，)(),(a g b f 按从小到大的顺序排列 （用“＜”连接）．12．函数11-=+x xy 与x y πsin 2=（42≤≤-x ）的图象所有交点横坐标之和是 ． 13．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=2x ,若对任意的[]2,+∈t t x 不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 14．关于f (x )＝4sin⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；(2)y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； (3)y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；(4)y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为___________________．将填空题答案填在下列区域内：1．____________________ 2．______________________ 3．_________________________ 4．____________________ 5．______________________ 6．_________________________ 7．____________________ 8．______________________ 9．_________________________ 10．___________________11．_____________________12．_________________________13．____________________ 14．______________________二、解答题（本大题共6个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题14分）已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1(a >0)的定义域为R ，若当－7π12≤x ≤－π12时，f (x )的最大值为2，(1)求a 的值；(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象．（3）写出该函数的对称中心的坐标. 16．（本题15分）下图为函数)20,0,0()sin()(πϕωϕω<<>>++=A c x A x f 图像的一部分．(1)求函数f (x )的解析式，并写出f (x )的振幅、周期、初相； (2)求使得f (x )>25的x 的集合 ； (3)函数f (x )的图像可由函数y =sin x 的图像经过怎样的变换而得到？17．（本题14分）已知函数cos 2(0)6y a b x b π=-+>⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为23，最小值为21-.（1）求b a ,的值；（2）求函数)3sin(4)(π--=bx a x g 的最小值并求出对应x 的集合．18．（本题15分）已知函数]2,0[],21,23[,1sin 2)(2παx αx x x f ∈-∈-+=． (1)当6πα=时，求f (x )的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x 的值；(2) 求α的取值范围，使得f (x )在区间]21,23[-上是单调函数．19．（本题16分）设函数xxaka x f --=)(（a ＞0且1≠a ，R k ∈），f （x ）是定义域为R 的奇函数．（1）求k 的值，判断并证明当a ＞1时，函数f （x ）在R 上的单调性；（2）已知f （1）=，函数g （x ）=a 2x +a﹣2x﹣2f （x ），]1,1[-∈x ，求g （x ）的值域；（3）已知a=3，若f （3x ）≥λ•f （x ）对于]2,1[∈x 时恒成立．请求出最大的整数λ．20（本题16分）函数f (x )＝Asin(ωx ＋ϕ)(A >0，ω>0，|ϕ|<π2)的一段图象(如图所示)(1) 求其解析式．(2)令g (x )=1)(2)(2)(2-+-x f x f x f ，当]4,0[π∈x 时，求g (x )的最大值．高一数学12月月考答案1. )(2Z k k ∈+=+ππβα2. )0,12(π3.6π 4. (1,3)5. ]6,35()3,3()35,6[ππππ --- 6. 1)32sin(++=πx y7. 6π-8. ]4311,435[ππππk k ++,(Z k ∈) 9. 122+---x x10. )0,1[-11．g （a ）＜0＜f （b ） 12. 413.),2[+∞ 14. (2)(3)15. 已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1(a >0)的定义域为R ，若当－7π12≤x ≤－π12时，f (x )的最大值为2，(1)求a 的值；(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象。

（3）写出该函数的单调递增区间及对称中心的坐标. 解：（1）当，则∴当，f （x ）有最大值为.又∵f （x ）的最大值为2，∴=2， 解得：a=2．（2）由（1）知令分别取0，，π，，2π，则对应的x 与y 的值如下表 x﹣π2π y13 ﹣1 13画出函数在区间[﹣，]的图象如下图（3）令Z ，解得x= k ∈Z ，∴函数的对称中心的横坐标为，k ∈Z ，又∵函数的图象是函数的图象向上平移一个单位长度得到的，∴函数的对称中心的纵坐标为1．∴对称中心坐标为（，1）k ∈Z16.如图为函数y=Asin （ωx+ϕ）+c （A ＞0，ω＞0，0<ϕ<2π）图象的一部分． (1)求函数f (x )的解析式，并写出f (x )的振幅、周期、初相；(2)求使得f (x )>25的x 的集合 ； (3)函数f (x )的图像可由函数y =sin x 的图像经过怎样的变换而得到？ 解：（1）由函数图象可知函数的最大值为A+c=4，最小值为﹣A+c=﹣2，∴c=1，A=3， ∵，∴函数的周期T=．由=得，ω=，∴y=3sin （x+ϕ）+1∵（12，4）在函数图象上∴4=3sin （•12+ϕ）+1，即sin （+ϕ）=1∴+ϕ=+2k π，k ∈Z ，得ϕ=﹣+2k π，k ∈Z∵0<ϕ<2π ∴ϕ=∴函数解析式为y=3sin （•x+）+1．（2）)332928,33294(k k ++-,(z k ∈) （3）略17. 已知函数cos 2(0)6y a b x b π=-+>⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为23，最小值为21-. （1）求b a ,的值；（2）求函数)3sin(4)(π--=bx a x g 的最小值并求出对应x 的集合。

解：（1）∵b ＞0∴﹣b ＜0，；∴（7分）（2）由（1）知：∴∴g （x ）∈[﹣2，2]∴g （x ）的最小值为﹣2对应x 的集合为（14分）18. 已知函数]2,0[],21,23[,1sin 2)(2παx αx x x f ∈-∈-+=． (1)当6πα=时，求f (x )的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x 的值；(2) 求α的取值范围，使得f (x )在区间]21,23[-上是单调函数。

解：(1) 当6πα=时，116sin 2)(22-+=-+=x x πx x x f =45)21(2-+x∵]21,23[-∈x∴当x =21-时，f (x )取到最小值45- 当x =21时，f (x )取到最大值41-(2)函数1sin 2)(2-+=αx x x f 图象的对称轴为直线x =αsin -当αsin -≤23-，即αsin ≥23，即323παπ≤≤时，函数f (x )在区间]21,23[-上是增函数；当23-αsin -<<21，即23sin 21<<-α，即0≤α<3π或32π<α<67π或απ<611≤π2时，f (x )在区间]sin ,23[π--上为减函数，在]21,sin [π-上为增函数； 当αsin -≥21，即αsin ≤21-，即67π≤α≤611π时，函数f (x )在区间]21,23[-上是减函数。

综上所述：当323παπ≤≤或67π≤α≤611π时，函数f (x )在区间]21,23[-上是单调函数。

19. （本题16分）设函数x x a ka x f --=)(（a ＞0且1≠a ，R k ∈），f （x ）是定义域为R 的奇函数．（1）求k 的值，判断并证明当a ＞1时，函数f （x ）在R 上的单调性； （2）已知f （1）=，函数g （x ）=a 2x+a﹣2x﹣2f （x ），]1,1[-∈x ，求g （x ）的值域；（3）已知a=3，若f （3x ）≥λ•f （x ）对于]2,1[∈x 时恒成立．请求出最大的整数λ． 解：（Ⅰ）∵f （x ）=ka x﹣a ﹣x是定义域为R 上的奇函数， ∴f （0）=0，得k=1，∴f （x ）=a x﹣a ﹣x ，∵f （﹣x ）=a ﹣x ﹣a x=﹣f （x ），∴f （x ）是R 上的奇函数，设x 2＞x 1，则f （x 2）﹣f （x 1）=a x2﹣a﹣x2）﹣（a x1﹣a﹣x1）=（a x2﹣a x1）（1+），∵a ＞1，∴a x2＞a x1，∴f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∴f （x ）在R 上为增函数； （Ⅱ）∵f （1）=，∴a ﹣=，即2a 2﹣3a ﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去）， 则y=g （x ）=22x+2﹣2x﹣2（2x ﹣2﹣x ），]1,1[-∈x ，令t=2x ﹣2﹣x，]1,1[-∈x ，由（1）可知该函数在区间]1,1[-∈x 上为增函数，则[∈t ﹣，]， 则y=h （t ）=t 2﹣2t+2，[∈t ﹣，]， 当t=﹣时，y max =；当t=1时，y min =1，∴g （x ）的值域为[1，]，（Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x ﹣3﹣x），在]2,1[∈x 时恒成立令t=3x﹣3﹣x，x ∈[1，2]，则[∈t ]980,38， 则（3x﹣3﹣x）（32x +3﹣2x+1）≥λ（3x ﹣3﹣x），]2,1[∈x 恒成立，即为t （t 2+3）≥λ•t ，t恒成立， λ≤t 2+3，t恒成立，当t=时，（t 2+3）min =，∴λ≤，则λ的最大整数为10．20. 函数f (x )＝Asin(ωx ＋ϕ)(A >0，ω>0，|ϕ|<π2)的一段图象(如图所示)(1)求其解析式。