矢量运算法则

a. 标量三重积
法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义：
v A
v B
v C
|
v A ||
v B ||
v C
|
sin
cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
v vv
h BC v
A
v C
v B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
vvv vvv vvv V A (BC) C (A B) B (C A)
v vv vv v A(BC) (A B)C
推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
第1章 矢量分析
等温面
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2. 标量场的梯度 标量场的场函数为 (x, y, z,t)
a.方向导数： d 空间变化率，称为方向导数。
dl
d
dn 为最大的方向导数。
P1
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dnv
P2
v
dl
P 0
0 d
b.梯度
定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，
(
v A
v B)
v (C
v D)
v (A
v C)
v (B
v D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆx , aˆy , aˆz 表示。
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
dSvy dxdzaˆy dSz dxdyaˆz 体元： dV dxdydz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2. 圆柱坐标系
在圆柱坐标系中，坐标变量为(r,, z)，如图，做一微分体元。
线元：
v dl
dravr
rdav
dzavz
面元：
v
dSvr dSv
dSz
rddzavr drdzav rddravz
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A
v C
v B
在直角坐标系中：
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
S
若曲面为闭合曲面：
vv
v dS
S
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
求： rv4 arv1 brv2 crv3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
2.减法：换成加法运算
v vvv v
D A B A (B)
逆矢量：Bv 和
v (B)
的模相等，方向相反，互为逆矢量。
v
vv
D
v
A
AD
v
v
v
B
B
B
v
v C
Bv v v
v
ABC 0
A
推论：
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
vv A B (Ax Bx )aˆx (Ay By )aˆy (Az Bz ) aˆz
v A
、Bv
所在平面。
vv
aˆn
Av Bv A B
v v aˆx aˆy aˆz A B 2 6 3 15aˆx 10aˆy 30aˆz
4 3 1
vv | A B | 152 (10)2 302 35
aˆn
1 7
(3aˆx
2aˆ y
6aˆz )
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例4：
已知A点和B点对于原点的位置矢量为
其方向为该点所在等值面的法线方向。
数学表达式：
grad
d
dn
aˆn
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
d
计算：
d
dn
dl dn dl
d cos
dn
d
dn
aˆn
aˆl
P1
v
d grad dl
dnv
P2
v
dl
在直角坐标系中：
P
d dx dy dz
0
x y z
v
dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
者符合右手螺旋法则。
vv vv vv vv 推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
v v v vvvv 推论2：服从分配律： A(B C) A B AC
推论3：不服从结合律：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
vv kA k | A | aˆ
k 0 方向不变，大小为|k|倍
k
0
k
0
方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）： vv v v A B | A| | B | cos
v B
v
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
则： 2a b 2c 3 a 3b c 2 a 2b 3c 5
a 2 b 1 c 3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例3：
已知
v A 2aˆx 6aˆy 3aˆz
v B 4aˆx 3aˆy aˆz
求：确定垂直于 Av、Bv所在平面的单位矢量。
解：已知
vv A B
所得矢量垂直于
z
v Az
v A
v
v Ax
o
Ay
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
vvv A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
体元： dV rdrddz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
线元：
v dl
dRavR
Rd av
Rsindav
面元：
v dSR
R2
sin d davR
v dS
R sin dRdav
v dS
RdRd av
体元：
dV R2 sin dRd d
0 d
所以：grad
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
梯度也可表示： grad
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在不同的坐标系中，梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
aˆ
z
aˆz
在球坐标系中：
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
角度，其拉梅系数为：
h1 1, h2 R, h3 R sin
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量 (u1,u2,u3)不一定都是 长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅
系数，若已知其拉梅系数 h1, h2, h3，就可正确写出其线元、
面元和体元。
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
vv v v
B
A B | A | | B | sin aˆc
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
其结果是一标量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
推论1：满足交换律
vv vv A B B A
推论2：满足分配律
v v v vv vv A(B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
Cx Cy Cz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积：
v v v vv v vv v A(BC) B(AC) C(A B)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例2：设 rv1 2aˆx aˆy aˆz , rv2 aˆx 3aˆy 2aˆz rv3 2aˆx aˆy 3aˆz , rv4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
aˆu1
h2u2
aˆu 2
h3u3
aˆu3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
五、矢量场的散度
1. 矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量：
定义：如果在该矢量场中取一曲面S，
通过该曲面的矢线量称为通量。
Ñ 表达式：
vv
v dS
6aˆx
y
图示法：
6aˆx
x
力的图示法：
v
F
v
FN
v
Ff
vv v F FN Ff
v G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
v
v
B
C
v vv C AB
v C
v B
v A
v A
a.满足交换律：
vv vv AB B A
b.满足结合律：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
注意：
a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，
即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为(r,, z), 其中 为角度，
其对应的线元 rdav ，可见拉梅系数为：
h1 1, h2 r, h3 1
c. 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，其中, 均为
av
和
v b
，
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
任矢取量一为点cvC，，则对于原点的位置
cv
av
v k(b
av)
cv
(1
k)av
v kb
z av A cv C
v b
B y
x
其中：k 为任意实数。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
三、矢量微分元：线元、面元、体元
例：
vv
F dl ,
vv
B dS,
dV
其中：dlv,
v dS
和
dV
称为微分元。
v
v
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系v 中，坐标变量为(x,y,z)，如图v，做一微分体元。
线元：dlvx dxaˆx
面元： dSvx dydzaˆx
dly dyaˆy
v v dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
v •线元： dl h1du1aˆu1 h2du2aˆu2 h3du3aˆu3
•面元：
v dS1
h2h3du2du3aˆu1
v dS2 h1h3du1du3aˆu2
v dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
电磁场与电磁波
四、标量场的梯度
1. 标量场的等值面 以温度场为例：
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算：
v | A |
Ax2 Ay2 Az2
单位矢量： v
aˆ
|
Av A
|
Avx | A|
aˆx
Avy | A|
aˆ y
Avz |A
|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz 方向角与方向余弦： , ,
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E
等
vv 矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？