计算机辅助几何设计论文

计算机辅助几何设计期末论文

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一、Coons曲面

1、基本概念

假定参数曲面片方程为，P(u,v),u,v[0,1]参数曲线P(u,0),P(u,1),

P(0,v),P(1,v)称为曲面片的四条边界,P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)称为曲

面片的四个角点。P(u,v)的u向和v向求偏导矢有：

分别称为u线上和v线上的切矢。边界线P(u,0)上的切矢为：

同理，Pu(u,1),Pv(0,v),Pv(1,v)也是边界线上的切矢。

曲面示意图

边界曲线P(u,0)上的法向（指参数v向）偏导矢：

称为边界曲线的跨界切矢，同理，Pv(u,1),Pu(0,v),Pu(1,v)也是边界曲线的

跨界切矢。

称为角点P(0,0)的u 向和v 向切矢，在曲面片的每个角点上都有两个这样的切 矢量。

称为混合偏导矢或扭矢，它反映了Pu 对v 的变化率或Pv 对u 的变化率。同样，

称为角点的扭矢，显然，曲面片的每个角点都有这样的扭矢。

2、曲面表示法与记号

1) 曲面上的点（x,y,z ）可表示为双参数u 和w 的函数平P(u,w)： ()()()()[]w u z w u y w u x w u P ,,,,,,= []1,0,∈w u 2) 令

w w =，则

()

0,w u P 是曲面上一条以u 为参数的曲线，称为u 向线或u 线。

w 的值由0变化到1，可得到一组u 向线，由此构成整张曲面片，类似地，参数

u 由0变化到1，可得到一组w 向线，同样构成了整张曲面片。 3) 曲面片的四条边界曲线为P(u,0),P(u,1),P(0,w)和P(1,w)。 4) 曲面片的四个角点为P(0,0),P(0,1),P(1,0)和P(1,1). 3、插值四个角点的双线性曲面

给定四个角点P(0,0),P(0,1),P(1,0)和P(1,1),则可按下式定义一双线性曲面Q(u,w):

()()()()()()()()()uw P w u P w u P w u P w u Q 1,110,111,0110,0,+-+-+--=(1.1)

显然上式满足给定的约束条件：

()()()()()()()()1,11,1,0,10,1,1,01,0,0,00,0P Q P Q P Q P Q ≡≡≡≡

4、线性插值两条边界的曲面

给定两条边界P(u,0)和P(u,1)，可在其间构造一线性曲面()w u Q ,1：

()()()()w u p w u P w u Q 1,10,,1+-= (1.2)

显然，()()0,0,1u P u Q ≡，()()1,1,1u P u Q ≡。类似地，可构造插值与另两边界P(0,w)和P(1,w)的线性曲面()w u Q ,2：

()()()()u w p u w P w u Q ,11,0,2+-= (1.3)

上述两式就是用Coons 方法定义的直纹面。 5、双线性Coons 曲面

如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线，P(u,0),P(u,1), P(0,v),P(1,v)，如图3.5.1，怎样构造一张参数曲面P(u,v),u,v [0,1]，使

得以给定的四条参数曲线为边界？

图3.5.1

问题的解有无穷多个，我们来看一种最简单的情况。首先，在u 向进行线 性插值，可以得到以P(0,v)和P(1,v)为边界的直纹面P1(u,v),，如3.5.2(a)：

如3.5.2(a)

再在v向进行线性插值，可以得到以P(u,0)和P(u,1)为边界的直纹P2(u,v), 如图3.5.2(b）

如果把和迭加，产生的新曲面的边界是除给定的边界外，迭加了一个连

接边界两个端点的直边。为此，我们再构造分别过端点P(0,0)、P(0,1)及

P(1,0、P(1,1)的双线性曲面

容易验证便是所要求构造的曲面，称

之为双线性Coons曲面片。

可进一步改写成矩阵的形式：

观察，可以发现：对曲面片满足边界条件的要求提高一阶，曲面方程中

的边界信息矩阵就要扩大二阶，并且要多用一对调和函数；边界信息矩阵的 第一行与第一列包含着全部给定边界信息；余下的子方阵则包含着角点信息。 认识了这些规律后，就能容易地构造出满足更高阶边界条件的Coons 曲面方程。

二、Bezier 曲面

1，双三次Bezier 曲面

定义一张双三次Bezier 曲面需16个控制顶点，式(2.1)为该顶点

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=C SCD SDC D SCB TC TD SDA SBC TB TA SAD B SBA SAB A

V (2.1) V 称为定义双三次Bezier 曲面的特征多边形网格，双三次Bezier 曲面的形成过程如下：

1) 由式(2.1)中的四个列阵生成四条三次Bezier 曲线()u S 0，()u S 1，()u S 2和()u S 3，

表示为

()()()()[]()

()()[

]

V u u u u u u u S u S u S u S 32

2

3

321013131---=

[]1,0∈u (2.2) 2) 给定任一u ，设1u u =，[]1,01∈u ，则可在上述四条曲线上分别得到点

()

10u S ，

()11u S ，()12u S 和()13u S ，它们构成了一个新的多边形，该多边形在w 向定义了

一条新的三次Bezier 曲线()w u P ,1：

()()()()

()[]()()()⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡---=3

22313121110113131,w w w w w w u S u S u S u S w u P (2.3)

取任意一w ，如1w w =，[]1,01∈w ，则可求得曲线()w u P ,1上的一个点()11,w u P 。实际上，()11,w u P 就是曲面上与参数()11,w u 对应的一个点。

3) 当参数u 和w 在0到1上的区间上遍历时，就构成了整张双三次Bezier 曲面。 我们可以将式(2.3)表示成更一般的形式，即