二次函数配方法练习
二次函数的图像与性质专题训练
二次函数的图象与性质专题【知识点1 二次函数的配方法】二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)配方成顶点式y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 2， 对称轴为2b x a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．【题型1 二次函数的配方法】【例1】用配方法将下列函数化成y ＝a （x -h ）2+k 的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y ＝2x 2+4x -1 （2）y =12x 2﹣2x +3； （3）y ＝（1﹣x ）（1+2x ）；【知识点2 二次函数的五点绘图法】利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =−+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【题型2 二次函数的五点绘图法】【例2】已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3（1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、与x 、y 轴交点；（2）选取适当的数据填表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】①二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． ②一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置，概括的说就是“左同右异”. ③常数项c ：总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3-1】如图所示的四个二次函数图象分别对应 ①y =ax 2， ②y =bx 2， ③y =cx 2， ④y =dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 .(用“>”连接)【例3-2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．②④B．②⑤C．①②③D．②③⑤【例3-3】函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【知识点4 二次函数图象的平移变换】平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=−+，确定其顶点坐标()h k，；②平移规律概括成八个字“左加右减，上加下减”．【题型4 二次函数图象的平移变换】【例4】要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【知识点5 二次函数图象的对称变换】2y ax bx c=++关于x轴对称，得到2y ax bx c=−−−；关于y轴对称，得到2y ax bx c=−+；()2y a x h k=−+关于x轴对称，得到()2y a x h k=−−−；关于y轴对称，得到()2y a x h k=++；2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=−+−；()2y a x h k=−+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=−+−；【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣5B．3C．5D．15【变式5-1】抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为．【变式5-2】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2【题型6 利用二次函数的性质判断结论】【例6】对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式6-1】关于抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a ﹣2，下列说法错误的是（ ）A ．开口向上B ．当a ＝2时，经过坐标原点OC ．不论a 为何值，都过定点（1，﹣2）D ．a ＞0时，对称轴在y 轴的左侧【变式6-2】对于二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣3，有下列结论：③ 它的图象与x 轴有两个交点；②如果当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而减小，则m ＝﹣1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m ＝1；④如果当x ＝2时的函数值与x ＝8时的函数值相等，则m ＝5．其中一定正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【题型7 利用二次函数的性质比较函数值】【例7】已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当﹣1＜x 1＜0， 1＜x 2＜2，x 3＞3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3【变式7-1】抛物线y ＝x 2+x +2，点（2，a ），（﹣1，﹣b ），（3，c ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．无法比较大小【变式7-2】已知点A （b ﹣m ，y 1），B （b ﹣n ，y 2），C （b +m+n 2，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2bx +c 的图象上， 若0＜m ＜n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2 【题型8 利用二次函数的性质求字母的范围】【例8】已知抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+9，当m ≤x ≤5时，0≤y ≤9，则m 的值可以是（ ）A ．﹣2B ．1C ．3D ．4【变式8-1】若抛物线y ＝（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）经过四个象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣3B ．﹣1＜m ＜2C ．﹣3＜m ＜0D ．﹣2＜m ＜1【题型9 利用二次函数的性质求最值】【例9】若实数m 、n 满足m+n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_______．【变式9-2】抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≤2或m ≥3B ．m ≤3或m ≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜4*【题型10 二次函数给定范围内的最值问题】【例10】若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣1≤x ≤2时的最大值为3，那么m 的值是（ ）A ．﹣4或72B ．﹣2√3或72C ．﹣4 或2√3D ．﹣2√3或2 √3【变式10-1】已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ）A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38 【变式10-2】若二次函数y ＝x 2﹣2x +5在m ≤x ≤m +1时的最小值为6，那么m 的值是 ．二次函数的图象与性质— 易错精选 —1. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c ＜0；②ab ＜0； ③a ﹣b +c ＞0；④2a ﹣3b ＝0；⑤c ﹣4b ＞0．你认为其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①abc ＞0；②2a ﹣b ＝0；③4ac ﹣b 2＜0；④若点B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2；⑤am 2+bm ＜a ﹣b （m 为任意实数）；其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc ＜0；②c +2a ＜0；③9a ﹣3b +c ＝0；④a ﹣b ≥m （am +b ）（m 为实数），其中正确的结论有 ．（只填序号）4. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图像如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a ﹣c ；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b ；⑤a+b＜m （am+b ），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．5. 如图是抛物线21(0)y ax bx c a =++≠图像的一部分，抛物线的顶点坐标为(1,3)A ，与x 轴的一个交点为(4,0)B ，点A 和点B 均在直线2(0)y mx n m =+≠上.①20a b +=；②>0abc ；③抛物线与x 轴的另一个交点时(4,0)−；④方程23ax bx c ++=−有两个不相等的实数根；⑤4a b c m n −+<+；⑥不等式2mx n ax bx c +>++的解集为14x <<.上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）6. 在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．。
二次函数之配方法求顶点式以及与一元二次方程的关系
§6.2二次函数的图像与性质⑸【课前自习】1. 根据y2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3与抛物线 关于x 轴成轴对称；抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3 与抛物线 关于y 轴成轴对称；抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3与抛物线 关于原点对称.5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的 式.一、探索归纳：1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ .2.你有办法解决问题①吗？y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是 ，顶点坐标是 .3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质.练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式： ，说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x二、典型例题：例1、用描点法画出y ＝12x 2＋2x －1的图像.⑴用 法求顶点坐标：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点.例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上 ，求抛物线的顶点坐标.【课堂检测】1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝x 2－3x －1 ②y ＝x 2＋4x ＋22.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝－2x 2＋3x －4 ②y ＝12x 2－x ＋23.用描点法画出y ＝x 2＋2x －3的图像. ⑴用 法求顶点坐标：⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：①抛物线与y 轴交点坐标是 ；②抛物线与x 轴交点坐标是 ； ③当x ＝ 时，y ＝0； ④它的对称轴是 ；⑤当x 时，y 随x 的增大而减小.【课外作业】1. 抛物线y ＝3x 2＋2x 的图像开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x ＝ 时， y 有最 值是 .2. 函数y ＝－2x 2＋8x ＋8的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.3. 用描点法画出y ＝－12x 2－x ＋32的图像.⑴用法求顶点坐标：⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：①抛物线与y轴交点坐标是；抛物线与x轴交点坐标是；②当x＝时，y＝0；③它的对称轴是；④当x时，y随x的增大而减小.§6.3二次函数与一元二次方程一、知识准备在同一坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3，y＝x2－6x＋9，y＝x2－2x＋3的图象并回答下列问题：⑴说出每个图象与x轴的交点坐标？⑵分析二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有什么关系?【归纳】〖例题解析〗例1．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．〖当堂练习一〗1.不画图象，你能求出函数y＝x2＋x－6的图象与x轴的交点坐标吗？2.判断下列函数的图象与x轴是否有交点，并说明理由.（1）y＝x2－x（2）y＝－x2＋6x－9（3）y＝3x2＋6x＋113.抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m＝．例2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．〖当堂练习二〗4.抛物线y ＝3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无5.如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，点A 、B 均在抛物线上，且AB与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为（ ） A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(3，3) D ．(4，3)6.二次函数y ＝kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．7.抛物线y ＝x 2－2x －8的顶点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________. 8.已知抛物线y ＝mx 2＋(3－2m )x ＋m －2(m ≠0)与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P (1，1)是否在抛物线上；【课后延伸】①已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .②已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．求c 的取值范围 .③已知函数y ＝mx 2－6x ＋1（m 是常数）．⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．④若二次函数y ＝－x 2＋2x ＋k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝3，另一个解x 2＝ ．⑤二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．x 1＝ _________ ，x 2＝ _________ ； （2）写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集． _________ ；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． _________ ；（4）若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． _________ ． ⑥阅读材料，解答问题．例．用图象法解一元二次不等式：x 2－2x －3＞0．解：设y ＝x 2－2x －3，则y 是x 的二次函数．∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上． 又∵当y ＝0时，x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3．∴由此得抛物线y ＝x 2－2x －3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，y ＞0．∴x 2－2x －3＞0的解集是：x ＜－1或x ＞3． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2－2x －3＜0的解集是 _________ ； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2－5x +6＜0．（画出大致图象）．⑦如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的一部分，对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为B (3，0)，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是 _________ ．⑧已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A (4,0)、B (1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ,n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.。
初中数学(中考)关于使用配方法求二次函数的解析式和顶点坐标、对称轴的专题问题：
关于使用配方法求二次函数的分析式和顶点坐标、对称轴的专题问题：1．（2013•安徽模拟）已知：二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的分析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．2．（2011•普陀区一模）已知一个二次函数的图象经过A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）三点，求这个函数的分析式，并用配方法求出图象的顶点坐标．3．（2011•黄浦区一模）已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（1，1）和（﹣1，9）．（1）求此函数的分析式；（2）用配方法求此函数图象的顶点坐标．4．（2010•嘉定区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（2，﹣3）、C（0，5）．（1）求这个二次函数的分析式；（2）用配方法求出这个二次函数的顶点坐标．5．（1999•福州）已知：二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12）、B（2，﹣3）．（1）求该二次函数的分析式；（2）用配方法把由（1）所得的分析式化为y=（x﹣h）2+k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）求抛物线和x轴的两个交点C、D的坐标及△ACD的面积．6．（2010•虹口区一模）已知二次函数y=x2+2x﹣3，解答下列问题：（1）用配方法将该函数分析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．7．（2012•闸北区一模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0）、（2，10）、（﹣2，﹣6）．（1）求这个抛物线的分析式；（2）运用配方法，把这个抛物线的分析式化为y=a（x+m）2+k的形式，并指出它的顶点坐标；（3）把这个抛物线先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，求平移后得到的抛物线和y轴交点的坐标．8．（2009•通州区二模）已知二次函数y=x2﹣3x﹣4．（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．9．（2005•静安区二模）如图，二次函数y=x2﹣（m+1）x+m（其中m＞1）和x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），和y轴相交于点C．（1）求点A、B的坐标（可用m的代数式表示）；（2）当△ABC的面积为6时，求这个二次函数的分析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．10．（2011•虹口区一模）已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过A（0，1）、B（﹣2，1）两点．（1）求该函数的分析式；（2）用配方法将该函数分析式化为y=a（x+m）2+k．11．（2009•黄浦区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）．（1）求此函数的分析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为y=a（x+m）2+k的形式，并写出其顶点坐标；（3）在线段AC上是否存在点P（不含A、C两点），使△ABP和△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2005•广州）已知二次函数y=ax2+bx+c．（1）当a=1，b=﹣2，c=1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．13．（2006•遂宁）已知二次函数y=x2+4x．（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）函数图象和x轴的交点坐标．14．（2005•乌兰察布）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出对称轴、顶点坐标及图象和x轴、y轴的交点坐标．15．（1997•上海）用配方法把函数y=1﹣4x﹣2x2化成y=a（x+m）2+k的形式，并指出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．16．（1997•安徽）通过配方，确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．17．（2014•虹口区一模）已知二次函数y=﹣﹣x+．（1）用配方法把该二次函数的分析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．18．（2009•门头沟区二模）已知二次函数y=2x2﹣4x+5，（1）将二次函数的分析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为A，请你直接写出点A的坐标；（3）若反比例函数y=的图象过点A，求反比例函数的分析式．答案：1．（2013•安徽模拟）已知：二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的分析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．解：把（1，1）和（2，10）代入y=2x2+bx+c有：，解有：，∴二次函数的分析式为：y=2x2+3x﹣4，y=2x2+3x﹣4，=2（x2+x+）﹣﹣4，=2（x2+x+）﹣，=2（x+）2﹣，∴二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）．2．（2011•普陀区一模）已知一个二次函数的图象经过A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）三点，求这个函数的分析式，并用配方法求出图象的顶点坐标．解：（1）设所求的二次函数分析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．由这个函数的图象过A（0，1），可知c=1．（1分）再由这个函数的图象过点B（1，3）、C（﹣1，1），有∴（2分）∴（2分）∴这个二次函数的分析式为：y=x2+x+1．（1分）（2）y=x2+x+1．（2分）∴这个二次函数的顶点坐标为．（2分）3．（2011•黄浦区一模）已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（1，1）和（﹣1，9）．（1）求此函数的分析式；（2）用配方法求此函数图象的顶点坐标．解：（1）由条件有，解有，∴分析式为y=2x2﹣4x+3；（2）y=2x2﹣4x+3，=2（x2﹣2x+1）+3﹣2，=2（x﹣1）2+1，∴顶点坐标为（1，1）．4．（2010•嘉定区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（2，﹣3）、C（0，5）．（1）求这个二次函数的分析式；（2）用配方法求出这个二次函数的顶点坐标．解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（2，﹣3）、C（0，5），∴（1分）∴（3分）∴这个二次函数的分析式为：y=x2﹣6x+5．（1分）（2）y=x2﹣6x+5y=（x2﹣6x+9﹣9）+5（2分）y=（x﹣3）2﹣4．（1分）∴这个二次函数的顶点坐标为（3，﹣4）．（2分）5．（1999•福州）已知：二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12）、B（2，﹣3）．（1）求该二次函数的分析式；（2）用配方法把由（1）所得的分析式化为y=（x﹣h）2+k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）求抛物线和x轴的两个交点C、D的坐标及△ACD的面积．解：根据题意，有（1分）解有；（3分）∴该二次函数的分析式y=x2﹣6x+5；（4分）（2）∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，（6分）∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），（7分）对称轴为直线x=3；（8分）（3）由x2﹣6x+5=0，解有x1=1，x2=5；（9分）∴C、D两点坐标分别为（1，0），（5，0）；（10分）S△ACD=×4×12=24．（12分）6．（2010•虹口区一模）已知二次函数y=x2+2x﹣3，解答下列问题：（1）用配方法将该函数分析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．解：（1）y=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4；（2）∵a=1＞0，m=1，k=﹣4，∴该函数图象的开口向上；顶点坐标是（﹣1，﹣4）；对称轴是直线x=﹣1；图象在直线x=﹣1左侧部分是下降的，右侧的部分是上升的．7．（2012•闸北区一模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0）、（2，10）、（﹣2，﹣6）．（1）求这个抛物线的分析式；（2）运用配方法，把这个抛物线的分析式化为y=a（x+m）2+k的形式，并指出它的顶点坐标；（3）把这个抛物线先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，求平移后得到的抛物线和y轴交点的坐标．解：（1）根据题意有：，解有∴这个抛物线的分析式是y=2x2+4x﹣6；（2）y=2x2+4x﹣6=2（x2+2x）﹣6，y=2（x2+2x+1）﹣2﹣6，∴y=2（x+1）2﹣8∴顶点坐标是（﹣1，﹣8）；（3）将顶点（﹣1，﹣8）先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，有顶点坐标为（3，﹣2），∴平移后到的抛物线的分析式是y=2（x﹣3）2﹣2，令x=0，则y=16，∴它和y轴的交点的坐标是（0，16）．9．（2005•静安区二模）如图，二次函数y=x2﹣（m+1）x+m（其中m＞1）和x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），和y轴相交于点C．（1）求点A、B的坐标（可用m的代数式表示）；（2）当△ABC的面积为6时，求这个二次函数的分析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．解：（1）抛物线y=x2﹣（m+1）x+m（其中m＞1）中，令y=0，有：x2﹣（m+1）x+m=0，即（x﹣m）（x﹣1）=0，解有：x1=m，x2=1；∴A（1，0），B（m，0）；（2）易知C（0，m）；∵S△ABC=AB•OC=（m﹣1）•m=6；∴m2﹣m﹣12=0，解有m=4，m=﹣3（不合题意，舍去）；∴y=x2﹣5x+4=（x﹣）2﹣；∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）．8．（2009•通州区二模）已知二次函数y=x2﹣3x﹣4．（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．解：（1）∵y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣4=（x﹣）2﹣；∴二次函数图象的顶点坐标是（，﹣），对称轴方程是x=．（2）∵y=x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4），图象和x轴两交点坐标为（﹣1，0），（4，0），∴函数值不小于0时，x的取值范围是x≤﹣1或x≥4．图象如图．10．（2011•虹口区一模）已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过A（0，1）、B（﹣2，1）两点．（1）求该函数的分析式；（2）用配方法将该函数分析式化为y=a（x+m）2+k．解：（1）根据题意，有，解得，，∴该二次函数的分析式是y=2x2+4x+1；（2）由（1）中的二次函数的分析式知，y=2（x2+2x）+1=2（x2+2x+1）+1﹣2=2（x+1）2﹣1．11．（2009•黄浦区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）．（1）求此函数的分析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为y=a（x+m）2+k的形式，并写出其顶点坐标；（3）在线段AC上是否存在点P（不含A、C两点），使△ABP和△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意有：，（2分）解有：；（1分）∴此函数分析式为y=﹣x2+2x+3；（1分）（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x2﹣2x+1）+3+1（2分）=﹣（x﹣1）2+4；（1分）∴顶点为（1，4）；（1分）（3）假设存在点P，使△ABP和△ABC相似，则/；当时，AP=AC；（不合题意，舍去）（1分）当时，；（1分）由题意易有直线AC的分析式为：y=﹣x+3，设P（x，﹣x+3），其中0＜x＜3，则，解有：（舍去）；（1分）∴．（1分）12．（2005•广州）已知二次函数y=ax2+bx+c．（1）当a=1，b=﹣2，c=1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．解：（1）当a=1，b=﹣2，c=1时，y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴该二次函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x=1，x …﹣1 0 1 2 3 …y … 4 1 0 1 4 …（2）由y=ax2+bx+c是二次函数，知a≠0y=a（x2+x）+c=a[x2+x+（）2]+c﹣a×（）2=a（x+）2+∴该二次函数图象的顶点坐标为．13．（2006•遂宁）已知二次函数y=x2+4x．（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；解：（1）∵y=x2+4x=（x2+4x+4）﹣4=（x+2）2﹣4，∴对称轴为：x=﹣2，顶点坐标：（﹣2，﹣4）；（2）y=0时，有x2+4x=0，x（x+4）=0，∴x1=0，x2=﹣4．∴图象和x轴的交点坐标为：（0，0）和（﹣4，0）．14．（2005•乌兰察布）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出对称轴、顶点坐标及图象和x轴、y轴的交点坐标．解：y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣1﹣3=（x﹣1）2﹣4，对称轴是x=1，顶点坐标是（1，﹣4），当x=0时，y=﹣3，∴y轴的交点坐标为（0，﹣3），当y=0时，x=3或x=﹣1即和x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．15．（1997•上海）用配方法把函数y=1﹣4x﹣2x2化成y=a（x+m）2+k的形式，并指出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．解：y=1﹣4x﹣2x2，=﹣2（x2+2x+1）+2+1，=﹣2（x+1）2+3，∴，∵a=﹣2＜0，∴它的图象的开口方向向下，顶点坐标为（﹣1，3），对称轴为直线x=﹣1．16．（1997•安徽）通过配方，确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y=﹣2x2﹣5x+7=﹣2（x2+x）+7=﹣2（x+）2+，∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，）．17．（2014•虹口区一模）已知二次函数y=﹣﹣x+．（1）用配方法把该二次函数的分析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．解：（1）y=﹣x2﹣x+，=﹣（x2+2x+1）++，=﹣（x+1）2+4；（2）∵a=﹣＜0，∴二次函数图象的开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线x=﹣1．18．（2009•门头沟区二模）已知二次函数y=2x2﹣4x+5，（1）将二次函数的分析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为A，请你直接写出点A的坐标；（3）若反比例函数y=的图象过点A，求反比例函数的分析式．解：（1）y=2x2﹣4x+5=2（x2﹣2x+）=2（x﹣1）2+3；（2）由题意有：移动后的函数变为y=2（x﹣3）2+2，∴A（3，2）．（3）∵反比例函数的图象经过点A（3，2），∴m=6．∴反比例函数的分析式是．。
22。3-4二次函数配方法专项练习试题
图象。
2
配方可得 y 1 x2 6x21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x21 的顶点是（6，3），对称轴 2
是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
7.5 x
y1x2 6x21 2
·· ·
··
3
·y
10
4
5
6
7
8
9
·· ·
y 1x2 3x4 2
yx2 5x-3
x25x （ -5） 2（ - -5） 2-3 22
（x25x25） -25-3 44
（x5）2 - 37 24
y-x212x9
（ -x21x 2） 9
（ -x2 1x2 3-6 3） 69 （ -x2 1x2 3） 6 （ 3 6 9 ）
求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性， 最值
yx22x2
y2x24x8
y2x2 8x
y 3x2 2x
yx22x
y
1x2 2
-2
x3
y1x24x3 2
2 抛物线如何 y2x24x5平移得到 y 2x2
范例
例2、画出 y1x2 6x21二次函数的
b 4ac b2
2a
,
4a
的对称轴是 x b 顶点 2a
1、二次函数 y = ax2 + bx + c (a、b、c为常数，a≠0)的图象是一条抛
物线，它的表达式也可以是 yaxh2 k ，
其中 h b ,k4acb2
2a
4a
2、二次函数 yax2bxc 的性质：
第一章 二次函数基础练习
第一章 二次函数基础练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释）1．已知二次函数y=ax 2－bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b －2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①④D ．②③④ 2．把二次函数y ＝－x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式（ ） A ．y ＝－（x －2）2＋2 B ．y ＝（x －2）2＋4 C ．y ＝－（x ＋2）2＋4 D ．y ＝2＋33．已知函数k x x y +-=632（k 为常数）的图象经过点A （0．8，1y ），B （1．1，2y ）， C （2，3y ），则有（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．1y ＞2y ＞3yC ．3y ＞1y ＞2yD ．1y ＞3y ＞2y 4．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ） A ． B ．C ．D ．5．若抛物线y=ax 2经过P （1，﹣2），则它也经过 ( ) A ．（2，1） B ．（﹣1，2） C ．（1，2） D ．（﹣1，﹣2）6．用配方法将二次函数y=3x 2-4x-2写成形如y=a （x+m ）2+n 的形式，则m 、n 的值分别是（ ）A ．m=32，n=310B ．m=-32，n=-310C ．m=2，n=6D ．m=2，n=-27．如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，-3），则此抛物线对应的二次函数有（ ）A ．最大值1B ．最小值-3C ．最大值-3D ．最小值1 8．下列函数中，不属于二次函数的是（ ） A ．y=2(2)xB ．y=-2（x+1）（x-1）C ．y=1-x-2xD ．y=211x9．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，要使y ＞0，则x 的取值范围是（ ）A ．﹣4＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜1C ．x ＜﹣4或x ＞1D ．x ＜﹣3或x ＞110．若点P 1（﹣1，y 1），P 2（﹣2，y 2），P 3（1，y 3），都在函数y=x 2﹣2x+3的图象上，则（ ）A ．y 2＜y 1＜y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 1＞y 2＞y 311．二次函数y=x 2﹣4x+5的最小值是( ) A ．﹣1 B ．1 C ．3 D ．512．若点A （2，y 1），B （﹣3，y 2），C （﹣1，y 3）三点在抛物线y=x 2﹣4x ﹣m 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A.y 1＞y 2＞y 3B.y 2＞y 1＞y 3C.y 2＞y 3＞y 1D.y 3＞y 1＞y 213．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果： ①b 2＞4ac ；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c ＜0， 则正确的结论是（ ）A.①②③④ B .②④⑤ C .②③④ D .①④⑤ 14．已知反比例函数y=k x的图象如图，则二次函数y=2kx 2-4x+k 2的图象大致为（ ）15．（3分）（2015•牡丹江）抛物线y=3x 2+2x ﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（ ）．A ．y=3x 2+2x ﹣5B ．y=3x 2+2x ﹣4C ．y=3x 2+2x+3D ．y=3x 2+2x+416．“一般的，如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．--苏科版《数学》九年级（下册）P 21”参考上述教材中的话，判断方程x 2-2x=1x-2实数根的情况是（ ） A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根17．已知二次函数c bx ax ++=2y 自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：x 2 4 5y 0．37 0．37 4那么()⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+-++a ac b b a ac b b c b a 242422的值为（ ） （A ）24 （B ）20 （C ）10 （D ）418．对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是x=-1C 、顶点坐标是（1，2）D 、与x 轴有两个交点19．（4分）（2015•天水）二次函数y=ax 2+bx ﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．320．将函数y=x 2+6x+7进行配方正确的结果应为（ ）A 、y=（x+3）2+2B 、y=（x-3）2+2C 、y=（x+3）2-2D 、y=（x-3）2-2 21．抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（ ） A ．()2,3- B ．()2,3 C ．()2,3- D ．()2,3-- 22．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，Q （n ，2）是图象上的一点，且AQ ⊥BQ ，则a 的值为（ ）A ．-13 B ．-12C ．-1D ．-2 23．抛物线2)3(2-+=x y 可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是（）A ．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位B ．先向右平移3个单位，再向下平移2个单位C ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位[来24．学生校服原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是 （ ）A ．9%B ．8．5%C ．9． 5%D ．10% 25．抛物线3)2(2---=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（-2，-3）B ．（2，3）C ．（-2，3）D ．（2，-3） 26．抛物线y=－212x 的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（ ） A ．（0，－2） B ．（0，2） C ．（ －2,0） D ．（2，0）27．对于二次函数y=-x 2+2x ．有下列四个结论： ①它的对称轴是直线x=1；②设y 1=-x 12 +2x 1，y 2=-x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1； ③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）； ④当0＜x ＜2时，y ＞0． 其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．428．下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）. A ．y=x-3 B ． y=-3x 2C ．x 34y =D ．x3y -= 29．判断下列哪一组的a 、b 、c ，可使二次函数y=ax 2+bx+c ﹣5x 2﹣3x+7在坐标平面上的图形有最低点（ ）A ．a=0，b=4，c=8B ．a=2，b=4，c=-8C ．a=4，b=-4，c=8D ．a=6，b=-4，c=-830．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为 （ ） A ．3 B ．－1 C ．4 D ．4或－131．抛物线22(3)y x =-的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．x 轴上D ．y 轴上 32．二次函数()223y x =-+-的图像的顶点坐标是（ ） A ．（2,3） B ．（2，-3） C ．（-2，3） D ．（-2，-3） 33．抛物线()225=--+y x 的顶点坐标是（ ）A ．()2，5-B ．()2，5C ．()25，--D ．()52，- 34．已知点（a ，8）在二次函数y ＝a x 2的图象上，则a 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±2 35．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．21y x x=+ B ．2y ax bx c =++ C ．22(7)y x x =-+ D ．(1)(21)y x x =+- 36．在反比例函数y=a x中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y=ax 2－ax 的图象大致是下图中的( )．37．下列函数不属于二次函数的是 （ ） A ．y=(x －1)(x+2) B ．y=21(x+1)2 C ．y=2(x+3)2－2x 2 D ．y=1－3x 238．二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图所示，2 1 -1 O xy若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A ．0>M ，0>N ，0>P B ．0<M ，0>N ，0>P C ．0>M ，0<N ，0>P D ．0<M ，0>N ，0<P39．乘雪橇沿倾斜角是︒30的斜坡滑下，滑下的路程S （米）与时间t （秒）间的关系式为210t t S +=，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） A ．24米 B ．12米 C ．312米 D ．6米40．如图中的三条抛物线形状相同，关于这三条抛物线叙述错误的是（ ）A ．三条抛物线的表达式中二次项的系数不一定相同B ．三条抛物线的顶点的横坐标相同C ．当1>x 时，三条抛物线各自的y 值都随x 的增大而增大D ．三条抛物线与直线2-=y 都无交点41．抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移方法是（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位42．在同一平面直角坐标系内，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象 可能是（ ）43．对抛物线y ＝－x 2＋2x －3 而言，下列结论正确的是（ ） A ．与x 轴有两个交点 B ．开口向上C ．与y 轴的交点坐标是（0,3）D ．顶点坐标是（1，－2）44．下列函数中，不是二次函数的是（ ） A ．y ＝1－x 2B ．y ＝2（x －1）2＋4C ．y ＝（x －1）（x ＋4）D ．y ＝（x －2）2－x 245．下列函数中，图象通过原点的是（ ）A ．y=2x+1B ．y=x 2﹣1 C ．y=3x 2D ．y=211x - 46．下列函数中，不属于二次函数的是（ ）A ．y=（x ﹣2）2B ．y=﹣2（x+1）（x ﹣1）C ．y=1﹣x ﹣x 2D ．y=211x - 47．下列函数有最大值的是（ ）A ．y=xB ．y=-xC ．y=﹣x 2D ．y=x 2﹣248．二次函数y=（x ﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ） A ．（﹣1，﹣2） B ．（﹣1，2） C ．（1，﹣2） D ．（1，2）49．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论中错误的是A ．a ＞0B ．当x≥1时，y 随x 的增大而增大C ．c ＜0D ．当﹣1＜x ＜3时，y ＞050．若二次函数2ax y =的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点 A ．（－2，－4） B ．（2，4） C ．（－4，2） D ．（4，－2）二、填空题（题型注释）51．（本题8分）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … －2 －1 0 1 2 … y…－4－48…（1）根据上表填空：① 抛物线与x 轴的交点坐标是 和 ； ② 抛物线经过点 （-3， ）；③ 在对称轴右侧，y 随x 增大而 ； （2）试确定抛物线2y ax bx c =++的解析式．52．二次函数221y x x =--的图象在x 轴上截得的线段长为_________． 53．若抛物线23y bx x -+＝的对称轴为直线x ＝－1，则b 的值为_________． 54．把二次函数y=x 2+6x+4配方成y=a （x-h ）2+k 的形式，得y=___，它的顶点坐标是___．55．将二次函数y=x 2﹣4x+5化成y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= ． 56．若函数y=（m ﹣3）是二次函数，则m= ．57．抛物线y=x 2+的开口向 ，对称轴是 ．58．试写出二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标： ． 59．已知函数2142+-+-=a ax x y ，当0≤x ≤1时的最大值是2，则实数a 的值为 ．60．将抛物线y=3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为___________________．61．抛物线c bx x y ++=2经过A （1-,0），B （3,0）两点，则这条抛物线的解析式 为 ．62．已知点（m ，n ）在抛物线122+=x y 的图象上，则1242+-n m = ． 63．若把二次函数y=x 2+6x+2化为y=（x-h ）2+k 的形式，其中h ，k 为常数，则h+k= ． 64．顶点为25-（-，）且过点114（，-）的抛物线的解析式为 ． 65．对于二次函数223y x mx =--，有下列说法： ①如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m ≥1；②如果它的图象与x 轴的两交点的距离是4，则1m =±；③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，则m=－1；④如果当x=1时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2014时的函数值为－3． 其中正确的说法是 ．66．二次函数622+-=x x y 的最小值是 ．67．函数y=9－4x 2，的顶点坐标是________．68．二次函数y=－2x 2+3的开口方向是_________．69．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（2，0），（6，0）两点，则它的对称轴为 .70．小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上找到三点（－1，y 1），（21，y 2），（－321，y 3），则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为 ．71．如图，二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3．与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中： ①2a-b=0；②a+b+c ＞0；③c=-3a ；④只有当a=12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个． 其中正确的结论是72．抛物线y=ax 2-bx+11（a ≠0）与y 轴的交点坐标是 。
配方法二次函数
配方法二次函数嘿，朋友们！今天咱来聊聊配方法二次函数这个神奇的玩意儿！你说这二次函数啊，就像是一个有点调皮的小精灵，得用对方法才能把它给驯服咯。
咱先来说说啥是二次函数。
就好比你去果园摘果子，果子的高度和你走的距离之间就可能存在着二次函数的关系呢。
它的一般式是y=ax²+bx+c，这里面的 a、b、c 就像是小精灵的各种小脾气。
那配方法又是咋回事呢？这就像是给小精灵穿上一件合适的衣服，让它变得乖乖的。
咱通过一些巧妙的运算，把一般式变成顶点式y=a(x-h)²+k。
你看，这不就把小精灵的脾气摸得透透的啦！比如说，给你一个二次函数 y=x²+2x+3，咱怎么用配方法呢？嘿，别着急，跟着我一步步来。
先把 x²+2x 这部分看成一个整体，就像是给它们俩绑在了一起。
然后呢，在里面加上一个 1，为了保持平衡，还得再减去一个 1 呀。
这样就变成了 y=(x²+2x+1)+2 啦，再一化简，可不就成了 y=(x+1)²+2 嘛！你瞧，这小精灵是不是一下子就被我们给搞定啦！配方法有啥用呢？那用处可大啦！就好比你知道了小精灵的脾气，就能预测它下一步会干啥。
你能通过配方法找到二次函数的顶点坐标，知道它的对称轴，还能清楚它的最值呢！这多厉害呀，就像你有了一双能看透小精灵心思的眼睛。
咱再举个例子呗，y=2x²-4x+1。
哎呀，这次好像有点复杂呢，但咱不怕呀！还是按照老办法，先把2x²-4x 这部分处理一下，给它加上2，再减去 2。
最后变成 y=2(x²-2x+1)-1，再化简就是 y=2(x-1)²-1 啦！是不是很神奇呀？朋友们，配方法二次函数就像是一把打开数学宝藏的钥匙呀！只要你掌握了它，就能在数学的世界里畅游无阻啦！别觉得它难，多试试，多练练，你肯定能行的！就像你刚开始学走路的时候，不也跌跌撞撞的嘛，但现在不也走得稳稳当当的啦！相信自己，你一定能把这个调皮的小精灵给驯服得服服帖帖的！加油哦！。
二次函数配方法练习
二次函数 配方法（练习）学习目标：能熟练地利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
学习重点：利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
学习难点：利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
学习过程：一、课前热身1、写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：⑴ y=2x 2 (2) y ＝－12 x 2－1 （3） y ＝－12(x ＋1)2⑷ y ＝－12 (x -1)2－1 (5) y=12(x -6)2 ＋32、将二次函数2(2)3y x =--化成一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c ，结果是二、新授引入：当一个二次函数所给的关系式是顶点式的时候，我们都可以很熟练的求出它们的开口方向，对称轴，顶点坐标。
那么当一个二次函数所给的关系式是一般形式时，我们又如何求它的开口方向，对称轴，顶点坐标呢？例如：如何求二次函数241y x x =-+的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？通过课前热身2我们可以发现，其实241y x x =-+可以转化成2(2)3y x =--。
也就是把一般形式转化成了顶点式。
那么如何把一个二次函数的一般式转化成顶点式，这就是本节课所要探索的主要内容。
三、探索过程：1、用配方法解一元二次方程2410x x -+=2222212414212322,2x x x x x x x -=--+=-+=-=∴==+…………………①常数项移到方程右边………②两边加上一次项系数一半的平方（x-2)?………………③写成完全平方形式④直接开平方……⑤求出结果在刚才的配方法解方程里其实已经告诉我们如何把一般式转化成顶点式。
2．把下列二次函数化成顶点式，并求出它们的开口方向，对称轴，顶点坐标。
（1）261y x x =+- （2）2241y x x =-+-四、巩固练习：求下列二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。
（1）221y x x =+- （2）2241y x x =-+（3）2y 3x 2x?=+ （4）2y x 2x =--(5)2y 2x 8x 8=-+- (6)21432y x x =-+。
二次函数练习题及解析4
专题：配方法。
分析：（1）这个函数的二次项系数是﹣3，配方法变形成y=（x+h）2+k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数﹣3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．
（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
21、小明在学习二次函数时，总结了如下规律：
（1）请帮助小明补全此表①y轴②（h，k）③直线x= ；
（2）根据此表判断，如何将抛物线y=﹣2x2经过适当的平移得到抛物线y=﹣2x2+4x+1．
22、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
∵﹣2（x﹣15）2≤0，
∴当x=15时，盈利最大，最大盈利为1250元．
点评：此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
3、用配方法把函数y=﹣3x2﹣6x+10化成y=a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
（5）若自变量x满足：﹣3≤x≤1，则对应的函数值中，最大值为：0．
24、已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1．
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中：
（2）观察第（1）问表中的有关的数据，猜一猜：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？并证明你的结论．
二次函数配方法练习
二次函数配方法练习一、单选题1.把二次函数y=−14x2−2x−3配方化为y=a(x-h)²+k形式是().A.y=−14(x−4)2−1B.y−14y2+7C.y=−14(x+4)2+1D.y=−14(x−2)2−1二、填空题2. 二次函数y=x²+bx+5配方后为y=(x-2)²+x.则b= . k= .3.二次函数y=x²+bx+5配方后为y=(x-2)²+k.则k= .4. 若二次函数y=x²-2x-3配方后为y=(x-h)²+k,则h+k= .5.若二次函数y=x²+bx+5配方后为y=(x-2)²+k.则b+k= .6.若二次函数y=x³-3x-31配方后为y=(x-0)²+8, 则离y+x= .7.将二次函数y=x²+6x+5配方为y=(x-h)²+ k形式, 则h= , k= .8.将二次函数y=x²+6x+5配方为 y=(x-h)²+k形式,则h= . k= .9.将二次函数y=2x²-4x+7配方成y=a(x+m)²+k的形式为 .10.已知二次函数y=-2x²+4x+6.用配方法化为y=a(x-m)²+k的形式为，这个二次函数图像的顶点坐标为 .11.用配方法将二次函数 y-2x²-2x-1化成 y-a(x-b)²+k的形式是 .12.将二次函数解析式y=2x²-8x+5|配方成y=a(x-h)²+k的形式为 .13.用配方法将二次函数y=2x²-2x-1化成y=a(x-h)²+k的形式是 .14.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成y=a(x-b)°+k的形式, 其中 h= . k= .15.用配方法将二次函数y=−12x2+x−1化成y=a(x-h)²+k的形式,则y= .16.把二次函数y=-2x²-8x+9利用配方法化为：y=a(x-h)²+k的形式是，其激物线的顶点是: .17.用配方法将二次函数y=4x³-24x+26写成y=a(x-b)²+k的形式是 .对称轴为 .顶点坐标为 .三、解答题18.(1)用配方法解一元二次方程x²-4x-1=0.(2) 用配方法求二次函数y=x²+2x+3的最小值。
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案一、单选题1．二次函数y=x 2﹣2x+4化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，下列正确的是（ ）A ．y=（x ﹣1）2+2B ．y=（x ﹣1）2+3C ．y=（x ﹣2）2+2D ．y=（x ﹣2）2+42．抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的对称轴和顶点坐标分别是（ ）．A ．x=1，（1，﹣4）B ．x=1（1，4）C ．x=﹣1，（﹣1，4）D ．x=﹣1，（﹣1，﹣4）3．把y=4x 2﹣4x+2配方成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．y=（2x ﹣1）2+1B ．y=（2x ﹣1）2+2C ．y=（x ﹣ 12）2+1D ．y=4（x ﹣ 12）2+24．若把抛物线y ＝x 2－2x ＋1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则b 、c 的值为（ ） A ．b ＝2，c ＝－2 B ．b ＝－8，c ＝14 C ．b ＝－6，c ＝6D ．b ＝－8，c ＝185．直角坐标平面上将二次函数y=x 2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ） A ．（0，0）B ．（1，-1）C ．（0，-1）D ．（-1，-1）6．将二次函数y=x 2+4x ﹣8化为y=（x+m ）2+n 的形式正确的是（ ）A ．y=（x+2）2+8B ．y=（x+2）2﹣8C ．y=（x+2）2+12D ．y=（x+2）2﹣127．若b<0，则二次函数y=x 2-bx-1的图象的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．通过配方法将二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，此二次函数可变形为（ ）A ．y=a （x+ b 2a ）2+ 4ac−b 24aB ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ 4ac−b 24aC ．y=a （x+ b 2a ）2+ b 2−4ac 4aD ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ b 2−4ac 4a9．将二次函数y=x 2﹣2x+3化为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，结果为（ ）A ．y=（x+1）2+4B ．y=（x+1）2+2C ．y=（x ﹣1）2+4D ．y=（x ﹣1）2+210．抛物线y=﹣ 15 x 2+ 25x ﹣1，经过配方化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．y =15(x +1)2−45B ．y =15(x −1)2+45C ．y =15(x −1)2−45D ．y =15(x +1)2+4511．如图，在 ΔABC 中 ∠B =90° ，tan ∠C =34,AB=6cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.若P,Q 两点分别从A,B 两点同时出发，在运动过程中 ΔPBQ 的最大面积是( )A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 212．如图，在平面直角坐标系中抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x ﹣h ）2+k ，则下列结论正确的是( )A ．h ＞0，k ＞0B ．h ＜0，k ＞0C ．h ＜0，k ＜0D ．h ＞0，k ＜0二、填空题13．二次函数 y =−x 2+2x +3 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点， P 为它的顶点，则S △PAB = ．14．把二次函数的表达式y=x 2﹣6x+5化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，那么h+k= 15．将二次函数y=x 2﹣2x+4化成y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= ． 16．若二次函数y=x 2+bx+5配方后为y=（x ﹣2）2+k ，则b+k= ．17．若将二次函数y=x 2﹣2x+3配方为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= ． 18．已知抛物线的表达式是y =2(x +2)2−1，那么它的顶点坐标是 ；三、综合题19．如图，抛物线的顶点M 在x 轴上，抛物线与y 轴交于点N ，且OM=ON=4，矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．20．已知二次函数y= 2x2 -4x-6.（1）用配方法将y= 2x2 -4x-6化成y=a (x-h) 2 +k的形式；并写出对称轴和顶点坐标。
配方法求顶点式
用配方法把二次函数化成顶点式
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
y （3） 2x2 8x 8 解： y 2(x2 4x) 8
y 2(x2 4x 4 4) 8 y 2(x 2)2 8 8
y 2(x 2)2
答：开口向下、对称轴是直线 x 2 、顶点 (2，0)
用配方法把二次函数化成顶点式
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
（1） y 1 x 2 4x 3 2
解： y 1 (x2 8x) 3 2
y 1 (x2 8x 16 16) 3 2
y 1 (x 4)2 8 3 2
y 1 (x 4)2 5 2
答：开口向上、对称轴是直线 x 4 、顶点 (4， 5)
对
比
课题：把二次函数化成顶点式
1、配方法 2、公式法
用配方法把二次函数化成顶点式
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
（1） y 3x 2 2x
解： y 3(x 2 2 x)
y 3(x2 23x 1 1)
3 99
y 3(x 1)2 1
3
答：开口向上、对称轴是直线
请说出下列二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴：
① y 2x2
② y x2
③ y 2x2 3
复习回顾：
请说出下列二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴：
④ y 2x2 5
⑤ y x2 7
⑥ y x2 4
复习回顾：
请说出下列二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴：
3
x
1
3
、顶点 ( 1， 1) 33
第二十二章 第6课 用配方法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式
(1)求这个二次函数的解析式． (2)连接 PO，PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP′C，
那么是否存在点 P，使四边形 POP′C 为菱形？若存在，请求 出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)求四边形 ABPC 面积最大时点 P 的坐标及四边形 ABPC 的最 大面积．
图2
则d4＝k＋－d＝4 0 ，解得：kd＝＝1－4 ， ∴直线 BC 的解析式为：y＝x－4，则 Q 点的坐标为(x，x－4)； 当 0＝x2－3x－4，解得：x1＝－1，x2＝4，∴AO＝1，AB＝5，
S 四边形 ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ ＝21AB·OC＋21QP·BF＋21QP·OF ＝21×5×4＋21(4－x)[x－4－(x2－3x－4)]＋12x[x－4－(x2－3x－ 4)]
3．抛物线 y＝－2x2－4x 的开口方向向_下__，对称轴是_x_＝__－__1， 顶点坐标是_(_－__1_,2_)__，当 x__＜__－__1__时，y 随 x 的增大而增 大；当 x_＞__-_1__时，y 随 x 的增大而减小；当 x_＝__-_1____时， 函数有最__大____值，其值是__2______.
2．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y＝x2－2x＋2 上运 动．过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD， 连接 BD，则对角线 BD 的最小值为__1_______.
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(4,0)， 与 y 轴交于 C(0，－4)点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一 动点．
1．如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1,0)，B(3,0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
《用配方法解二次函数的相关问题》练习
用配方法解二次函数的相关问题的导练案一、选择题1．下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;422x x y +=③④y ＝5－2x 2，二次函数的有（ ）A ．②B ．②③④C ．②③D ．②④2．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）A ．向下，(0，4)B ．向下，(0，－4)C ．向上，(0，4)D ．向上，(0，－4)3．抛物线x x y --=221的顶点坐标是（ ）A ．)211(-，B ．)211(，-C ．)121(-，D ．(1，0)4．二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点（ ）A ．(0，a )B ．(－1，－a )C ．(－1，a )D ．(0，－a )5、已知方程x 2-6x+q=0可配方成（x-p ）2=7的形式，那么x 2-6x+q=2可配方成下列的（ ）A ．（x-p ）2=5B ．（x-p ）2=9C ．（x-p+2）2=9D ．（x-p+2）2=56、把方程x 2+23x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ）A ．（x+43）2=1673-B ．（x+23）2=415-C ．（x+23）2=415D ．（x+43）2=1673 二、填空题1．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ．当x ＝ 时，y 最值＝ ；当a ＜0时，x 时，y 随x 增大而减小；x 时，y 随x 增大而增大．2．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为．当x＝时，y有最______值是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是，当x时，y随x增大而减小，当x时，y随x增大而增大．3．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是，它与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是．4．把二次函数y＝x2－4x＋5配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，得，这个函数的图象有最点，这个点的坐标为．5．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝时，函数y有最值是，当x时，函数y随x的增大而增大，当x＝时，y＝0．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状大小完全相同，只是位置不同，则a＝．7．抛物线y＝2x2先向平移个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2，再向平移个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4．三、解答题1．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．(1)将其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线y＝2x2的平移关系；(6)当x取何值时，y随x增大而减小；(7)当x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；1．).44,2(,44)2(222a b ac ab a b ac a b x a y ---++= ⋅-<-≥--=-=ab x a b x a b ac a b x a b x 2,2,44,2,22 2．,43),849,43(-小，⋅>≤---43,43),5,0(),0,1()0,25(,849x x 、 3．(－1，4)，(－3，0)、(1，0)，(0，3)．4．y ＝(x －2)2＋1，低，(2，1)．5．－2，－7，x ≥－2，.72±-=x6．±2． 7．右，3，上，4．8．D ． 9．B. 10．B ． 11．C ．12．(1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)开口向上，直线x ＝－1，顶点(－1，－8)；(3)与x 轴交点(－3，0)(1，0)，与y 轴交点(0，－6)；(4)图略；(5)将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到y ＝2x 2＋4x －6的图象；(6)x ≤－1；(7)当x ＜－3或x ＞1时，y ＞0；当x ＝－3或x ＝1时，y ＝0；当－3＜x ＜1时，y ＜0；参考答案1、答案：C 解析：使用直接开平方法，（x+1）2=3，x+1=±3，x=-1±3，故选C2、答案：C 解析：4x 2+25=0，4x 2=-25，x 2=425-，一个数的平方不可能为负数，故选C3、答案：D 解析：①中方程无解，③中x=±2，故选D4、答案：B 解析：3x 2-6=21，即x=±3，故选B5、答案：D 解析：x 2+23x=4，x 2+23x+169=4+169，即（x+43）2=1673，故选D 6、答案：C 解析：3x 2+8x-3=3（x 2+38x ）-3=3（x 2+38x+916-916）-3 =3（x+34）2-316-3 =3（x+34）2-325，故选C 7、答案：C 解析：m 2=9，m=±3，故选C8、答案：B 解析：由（x-p ）2=7得（x-p ）2-7=0，所以x 2-6x+q=（x-p ）2-7，因为x 2-6x+q=2，所以（x-p ）2=9，故选B9、答案：23，26，2p ，442p q 解析：掌握配方方法：加上一次项系数一半的平方，另外，要注意两题的区别。
二次函数的认识与待定系数法、配方法
二次函数的认识与待定系数法、配方法【问题探索】某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子；（2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2510060000y x x =-++。
【新课引入】提问：1、在式子2510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。
2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。
（其中）答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。
总结：一般地，形如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。
因此，最简单的二次函数形式是2(0)y ax a =≠举例：2510060000y x x =-++和2100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2S r π=等，都是二次函数．3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？答案：是，因为化简能变成2y ax bx c =++（0a ≠）的形式。
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题及答案
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题及答案一、单选题1．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）2．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是（)A．y＝(x－2)2－1B．y＝(x＋2)2－1C．y＝(x－2)2＋7D．y＝(x＋2)2＋73．把二次函数y=x2﹣2x﹣1配方成顶点式为（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x+1）2﹣2C．y=（x+1）2+1D．y=（x﹣1）2﹣24．已知二次函数y=(x−1m)(mx−4m)（其中m＞0），下列说法正确的是（）A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小C．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≥2+12mD．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≤2+12m5．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化成y=（x﹣h）2+k形式，则h+k结果为（）A．-5B．5C．3D．-36．用配方法将y=x2﹣8x+12化成y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+4B．y=（x﹣4）2﹣4C．y=（x﹣8）2+4D．y=（x﹣8）2﹣47．将二次函数y=x2-4x-1化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（）A．y=(x+2)2+5B．y=(x+2)2−5C．y=(x−2)2+5D．y=(x−2)2−5 8．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化成y=（x﹣h）2+k形式，则h+k结果为（）A．﹣5B．5C．3D．﹣39．抛物线y=(x+2)2−3的对称轴是（）A．直线x=2B．直线x=-2C．直线x=-3D．直线x=310．抛物线y=(x−2)2的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（－2，0）C．（0，2）D．（0，－2）11．下列二次函数中，顶点坐标是（2，－3）的函数解析式为（）A．y=(x-2)2+3B．y=(x+2)2+3C．y=(x-2)2-3D．y=(x+2)2-312．通过配方法将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x﹣h）2+k的形式，此二次函数可变形为（ ）A ．y=a （x+ b 2a ）2+ 4ac−b 24aB ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ 4ac−b 24aC ．y=a （x+ b 2a ）2+ b 2−4ac 4aD ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ b 2−4ac 4a二、填空题13．关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=2，那么抛物线y=x 2+bx+c 的顶点坐标为 .14．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 与正方形EFGH 的顶点G ，H 同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD 和y 轴上，正方形边AB 与EF 同时落在x 轴上，若正方形ABCD 的边长为4，则正方形EFGH 的边长为15．抛物线y=x 2-2x+5化成y=a(x-h)2+k 的形式是 ．16．将二次函数y=x 2﹣2x+3写成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为 17．将二次函数y=x 2﹣2x+4化成y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则k=18．把二次函数的表达式y=x 2﹣6x+5化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，那么h+k=三、综合题19．把下列函数化为y=a （x+m ）2+k 形式，并求出各函数图象的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值：（1）y=x 2﹣2x+4； （2）y=100﹣5x 2．20．已知二次函数y=x 2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x 取什么值时，y 随x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随x 增大而减小．21．如图，抛物线的顶点M 在x 轴上，抛物线与y 轴交于点N ，且OM=ON=4，矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．22．已知二次函数y=x2−2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D.（1）当a＝﹣1，m＝1时.①求点D的坐标；②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标.（2）当m＝23时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E.试判断直线AD是否经过点E？请说明理由.24．对于二次函数y= 12x2﹣3x+4（1）配方成y=a（x﹣h）2+k的形式．（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴．（3）求出函数的最大或最小值．参考答案1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】( 32,- 14)14．【答案】2 √5﹣215．【答案】y=(x-1)2+416．【答案】y=（x﹣1）2+217．【答案】318．【答案】﹣119．【答案】（1）解：y=x2﹣2x+4=x2﹣2x+1+3=（x﹣1）2+3．顶点坐标是（1，﹣1），对称轴为x=1，最小值为﹣1（2）解：y=100﹣5x2．顶点坐标是（0，100），对称轴为x=0，最大值为10020．【答案】（1）解：y=x2﹣6x+8=x2﹣6x+9﹣1=（x﹣3）2﹣1（2）解：开口向上，对称轴是x=3，顶点坐标是（3，﹣1）（3）解：x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小21．【答案】（1）解：∵OM=ON=4∴M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4）设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2把N（0，4）代入得16a=4，解得a= 1 4所以抛物线的解析式为y= 14（x﹣4）2= 14x2﹣2x+4（2）解：∵点A的横坐标为t∴DM=t﹣4∴CD=2DM=2（t﹣4）=2t﹣8把x=t代入y= 14x2﹣2x+4得y= 14t2﹣2t+4∴AD= 14t2﹣2t+4∴l=2（AD+CD）=2（14t2﹣2t+4+2t﹣8）= 12t2﹣8（t＞4）22．【答案】（1）解：∵⊥=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3∴把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．23．【答案】（1）解：①解：当a=-1，m=1时y=−x2−x+2= −(x+12)2+94∴点D的坐标为(−12，94)②∵y=−x2−x+2当y=0时解得：x1=−2∴点A的坐标为(−2，0)设直线AD的表达式为：y=kx+b（k≠0）{0=−2k+b94=−12k+b解得{k=32b=3∴直线AD的表达式为：y=32x+3∵F为线段AD上一动点设点F的横坐标为t∵FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P∴点P的横坐标也为t，点P的纵坐标为−t2−t+2∴P (t,−t2−t+2)，H（t，0)∴PH+OH= −t2−t+2+0−t= −t2−2t+2= −(t+1)2+3∴当t=−1时，PH+OH有最大值当t=−1时，y=32×(−1)+3= 32∴F（−1，3 2）（2）解：∵m= 2 3∴y＝ax2+(2a−ma)x−2am= ax2+(2a−23a)x−43a= a(x+23)2−169a∴D (−23，−169a)∵y＝ax2−(6a+ma)x+6am= ax2−(6a+23a)x+4a= a(x−103)2−649a∴E (103，−649a)∵y＝ax2+(2a−23a)x−43a当y=0时，ax2+(2a−23a)x−43a=0解得x1=−2∴A（-2，0）设直线AD的表达式为：y=mx+n{−2m+n=0−23m+n=−169a解得{m=−43an=−83a∴直线AD的表达式为y=−43ax−83a当x=103，y=−43a⋅103−83a= −649a∴点E在直线AD上∴直线AD经过点E.24．【答案】（1）解：y= 12x2﹣3x+4 = 12（x2﹣6x）+4= 12[（x﹣3）2﹣9]+4= 12（x﹣3）2﹣12（2）解：由（1）得：图象的顶点坐标为：（3，﹣1 2）对称轴为：直线x=3（3）解：∵a= 12＞0∴函数的最小值为：﹣1 2。
第06课 用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式-2020年中考数学专项突破课之二次函数
中考专项突破课 二次函数第06课 用配方法将2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式一、知识回顾1、（1）完全平方公式：222a ab b ±+=()2a b ±（2）269x x ++= ()23x + . （3）2934x x -+= 232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ . 2、填空：（1）221x x ++= ()21x + ；（2）22554x x -+= 252x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ . 二、典例分析类型一：1a =例1：把函数221y x x =+-写成2()y a x h k =++的形式为 ．解：221y x x =+-，2212y x x =++-22(1)2y x =+-，故答案为2(1)2y x =+-．练习：用配方法把二次函数224y x x =--+化为2()y a x h k =-+的形式为 ． 解：224y x x =--+Q2(2)4x x =-++2(1)5x =-++．故答案为：2(1)5y x =-++．类型二： 1a ≠例2：用配方法把二次函数2231y x x =-+写成2()y a x h k =-+的形式为解：2231y x x =-+232()12x x =-+ 2392[()]1416x =--+ 2312()48x =--． 故答案为：2312()48y x =--． 练习：把二次函数2212y x x =-化为形如2()y a x h k =-+的形式为 ．解：2222122(69)182(3)18y x x x x x =-=-+-=--，即22(3)18y x =--．三、知识点小结：用配方法将2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式步骤：①首先将二次函数2y ax bx c =++的二次项2ax 转换成2x 的形式，即将二次项系数a 作为公因数提取出去 ②利用完全平方公式，将提取公因数后的二次函数转化成()2y a x h k =-+的形式. 四、知识点检测1．将二次函数2361y x x =-+化成顶点式是( )A ．23(3)26y x =--B ．23(3)8y x =--C ．23(1)2y x =--D ．23(1)y x =-【解析】2361y x x =-+23(2)1x x =-+23(1)2x =--．故选：C ．2．二次函数265y x x =-+配成顶点式正确的是( )A ．2(3)4y x =--B ．2(3)4y x =+-C ．2(3)5y x =-+D ．2(3)14y x =-+【解析】222265634(3)4y x x x x x =-+=-++=--，即2(3)4y x =--．故选：A ．3．把二次函数221y x x =--的解析式配成顶点式为( )A ．2(1)y x =-B ．2(1)2y x =--C ．2(1)1y x =++D ．2(1)2y x =+-【解析】222212111(1)2y x x x x x =--=-+--=--．故选：B ．4．把二次函数2134y x x =--+用配方法化成2()y a x h k =-+的形式( ) A ．21(2)24y x =--+ B ．21(2)44y x =-+C ．21(2)44y x =-++D ．211()322y x =-+ 【解析】2221113(44)13(2)4444y x x x x x =--+=-++++=-++，故选：C ． 5．抛物线2611y x x =-+的顶点坐标是( )A ．(3,2)B ．(3,2)-C ．(3,2)-D ．(3,2)--【解析】2611y x x =-+Q ，2692y x x ∴=-++，2(3)2y x ∴=-+，2611y x x ∴=-+的顶点坐标为(3,2)，故选：A ．6．对于二次函数223y x x =-+的图象，下列说法正确的是( )A ．开口向下B ．顶点坐标是(1,2)C ．对称轴是1x =-D ．当1x =-时，y 有最大值是2【解析】2223(1)2y x x x =-+=-+Q ，∴由10a =>知抛物线开口向上，A 选项错误； 顶点坐标是(1,2)，B 选项正确；对称轴是直线1x =，C 选项错误；当1x =时，y 取得最小值2，无最大值，D 选项错误；故选：B ．7．已知抛物线21352y x x =-+，则下列关于最值叙述正确的是( ) A ． 函数有最小值是 3B ． 函数有最大值是 3C ． 函数有最小值是12D ． 函数有最大值是12【解析】2211135(3)222y x x x =-+=-+， 12a =Q ，抛物线开口向上， 对称轴为直线3x =，顶点坐标为1(3,)2， ∴函数有最小值12，故选：C ． 8．用配方法把二次函数2231y x x =-+写成2()y a x h k =-+的形式为【解析】2231y x x =-+232()12x x =-+ 2392[()]1416x =--+ 2312()48x =--． 故答案为：2312()48y x =--． 9．用配方法把二次函数224y x x =--+化为2()y a x h k =-+的形式为 ．【解析】224y x x =--+Q2(2)4x x =-++2(1)5x =-++．故答案为：2(1)5y x =-++．10．已知函数223y x x =-+-，则y 的最大值为 ．【解析】2223(1)2y x x x =-+-=---Q ，y ∴的最大值为2-，故答案为：2-．11．抛物线2483y x x =-+-的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值的最大值是 ．【解析】2224834(21)14(1)1y x x x x x =-+-=--++=--+Q ，∴开口方向向下，对称轴是直线1x =，最高点的坐标是(1,1)，函数值的最大值是1．故答案为：下，直线1x =，(1,1)，1．12．已知抛物线245y x x =-++．（1）用配方法将245y x x =-++化成2()y a x h k =-+的形式；（2）指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）若抛物线上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，如果122x x >>，试比较1y 与2y 的大小．【解析】（1）222454445(2)9y x x x x x =-++=-+-++=--+，即2(2)9y x =--+；（2）10a =-<Q ，∴抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为(2,9)，对称轴为直线2x =； （3）Q 抛物线的对称轴方程为2x =，122x x >>Q ，A ∴，B 在对称轴的右侧，10a =-<Q ，∴抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小， 122x x >>Q ，12y y ∴<．13．已知二次函数243y x x =++．（1）用配方法将243y x x =++化成2()y a x h k =-+的形式； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象．【解析】（1）2(4)3y x x =++2(444)3x x =++-+2(2)1x =+-；（2）函数243y x x =++图像如图示：。
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二次函数配方法练习 The latest revision on November 22, 2020
1．抛物线y ＝2x 2－3x －5配方后的解析式为顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大
． 2．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，配方后为
它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______．
3．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．
4．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，配方后为当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0．
5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______．
6．抛物线y ＝2x 2如何变化得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．请用两种方法变换。
7．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是()
A ．向下，(0，4)
B ．向下，(0，－4)
C ．向上，(0，4)
D ．向上，(0，－4) 8．抛物线x x y --=221
的顶点坐标是()
A ．)21,1(-
B ．)21,1(-
C ．)1,21
(- D ．(1，0)。