线性代数第五章 方阵的特征值和特征向量

评 注 n 阶方阵有 n 个线性无关的特征向量才可对角化的证明过程如下：
Q
A
(α1
,α
2
L
,
α
n
)
=
(
λ1α1,
λ2α
2
,L,
λnα
n
)
=
[α1
,L,α
n
]

λ1
O
0

=
[α1 ,L ,α n
]
Λ
0
λn
⇔ [α1，L，αn ]−1 A(α1,L,αn ) = Λ （[α1，L，αn ]−1 存在要求α1，L，αn 线性无关）

A−1
→
1 λ

A∗
→
A λ
2．特征向量 ξ
2.1 性 质： 首先它要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反
过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的 特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，实对称 矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。
0
1 0 0
评
注
ξ1
=

0 0

,
ξ2 = 10 ,
ξ3
=
10

⇒
正是三阶单位矩阵
E3 =

0 0
1 0
01 的三个列 (或行)向量，
1 0 0
这就是为什么在求形如

0 0
0 0
0 0

基础解系时，用
E
的列向量依次填补后面坐标分量的原因。
i=1
i=1
n
● ∏ λi = A i=1
● 如 A 的特征值为 λ ⇒ f ( A) 的特征值为 f (λ )
A1


●
设
A
为分块矩阵，即
A
=

A2 O


，则
A1
,
A2
,...,
As
的所有特征根就是
A
的特征根。

As

1

f ( A) → f (λ)

●
λ
是
A
的特征值
⇒
【例 2】设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，求 A 的特征值。
解：
1− λ 1 L
1 A−λE =
1−λ L
M MO
1
1 1L1
M
= (n − λ ) 0 −λ L
M
647n−148
= (n − λ )(−1)n λ n−1 ⇒ λ = n, 0, 0,L, 0
1
M MO1
1 1 L 1−λ
0 0 L −λ
第五章 方阵的特征值和特征向量
2012 年考试内容
矩阵的特征值和特征向量的概念、性质
相似变换、相似矩阵的概念及性质
矩阵可相似对角
化的充分必要条件及相似对角矩阵
实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
2012 年考试要求
1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。 2. 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方
A( x1 + x2 ) = µ ( x1 + x2 ) ⇒ Ax1 + Ax2 = µ ( x1 + x2 ) ⇒ λ1x1 + λ2x2 = µ ( x1 + x2 ) ⇒ ( µ − λ1 ) x1 + ( µ − λ2 ) x2 = 0 x1, x2线性无关→ (µ − λ1 ) = 0；( µ − λ2 ) = 0
● A与AT 有相同的 λ ，但特征向量不一定相同。
● Am 的 特征向量不一定是A 的特征向量 。
● An 可对角化 ⇔ 特征向量的个数（重根需重复计算） = r ( A) = n
a 0 0
【例
1】求
A
=

0 0
a 0
0 a

的特征值和特征向量
(
a
≠
0)
解：矩阵的特征方程为
A − λE = (a − λ )3 = 0 ， λ = a 是 A 的三重特征根。此时求特征向量的齐次方程组为
→

λ2 O


=
Λ

0
λr

的矩阵，称为
A
为可对角化矩阵。
Λ
称为
A
的相似标准形，它是唯一的。
A B
~ ~
Λ Λ
⇒
A
~
B
方阵的对角化一般采用相似矩阵进行等价变换（相似变换）来达到目的，即

λ1
P−1
AP
→
Λ
=

λ2
O
0 ，称为矩阵的相似对角化。

0
λr

由于 λ 取任意值上式成立，不妨令
λ λ
= =
0⇒ 1⇒
2 y
(x −2) = 2y ⇒
= −2 ⇒ x = 0
x
−
y
=
2
⇒

x y
= =
0 −2
6
4、一般方阵可相似对角化的充要条件
4.1 对角化矩阵的概念
λ1
0

任何方阵
A
，如能经过等价变换（也是一种初等变换）化为形如
A
4
● A ~ B ⇒ A, B 具有 5 个相同，即 ①相同的行列式 ⇒ A = B ；反之不成立。
②相同的特征多项式 ⇒ λE − A = λE − B ；证明如下
⇒ λE − B = P−1λP − P−1AP = P−1 (λE − A) P = P−1 λE − A P = λE − A ，反之不成立。

5
4 个矩阵的特征值都是 1，1，3，下面主要看是否具有满秩，也就是是否具有 3 个线性无关
的特征向量，由于不同的特征值对应的特征向量必线性无关，因此，只要检验属于重特征值
1 的线性无关向量是否有两个。
0 1 0
( A)
R
(
A
−
E
)
=
R

0 0
0 0
0 2

=
2
⇒
R
(
令 P = (α1,L,αn ) （注意 P 为特征向量组） 则 P−1AP = Λ ⇔ A ~ Λ ，由于要求 P 可逆，
故 n 阶方阵必须存在 n 个线性无关的特征向量。
1 0 0
2 0 0
【例
8】讨论矩阵
A
=

0 0
1 0
0 1

，
B
=

1 1
1 1
0 1

全部特征向量构成 AX = 0 的一个基础解η1, η2 ⋅⋅⋅ ηn−r (n为未知数的个数) ，解空间 S 维 度 = r ( S ) = n − r (系数矩阵A) ，不同特征值对应的特征向量必线性无关，同一特征值（重根）
对应的特征向量不一定线性无关。
2.2 基本结论
● 对同一 λ , x1和x2 是 λ 的特征向量，则 k1x1 + k2x2 (k1, k2不全为零) 也是 λ 的 特征向量，对于 不同的 λ , 则 k1x1 + k2x2 (k1, k2不全为零) 不是 λ 的 特征向量（参阅【例 4】）。
1 11
0 1 1
0 0 0


x1 x2 x3

=
0
1 0 0 1 0 0
0
111 10 0 →
0 0
1 0
0 0

⇒
R(S)
=
n
−
R(
A)
=
3
−
2
=
1⇒
ξ
=
10

只有一个特征向量，可见二重特征根不一定存在 2 个特征向量。
1
⇒
R
(
S
)
=
3
−1
=
2
故只有 ( D) 正确。
【例 7】设 A ， B 相似，其中
−2 0 0
−1

A=

2 3
x 1
12 ,
B
=

2
y

，求
x
和
y
的值。
解：由 A ~ B ⇒ λE − A = λE − B
⇒ (λ + 2) λ2 − ( x +1) λ + (x − 2) = (λ +1)(λ − 2)(λ − y)
③相同的特征值 ⇒ λA = λB ；反之不成立。例如
A
=

2 0
0 2

;
B
=

2 0
1 2
⇒
P −1 AP
=
P−1 2EP
=
2E
≠
B
如果是实对称矩阵则逆命题成立。
④相同的秩 ⇒ r ( A) = r ( B) ；反之不成立。 ⑤相同的迹 ⇒ Tr ( A) = Tr ( B) ；反之不成立。
的对角化。
7
解：
1 0 0
A
=

0 0
1 0
0 1

⇒
λE
−
A
=
0⇒