陈纪修数学分析III第35讲
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f ( x , y ) d x一致有界,即存在常数 L 0,使得
A [ a , ) , y [ c , d ]
,恒有 a
A
f ( x, y )dx L
;
g (2) y [ c , d ] ,( x , y ) 关于x 单调;
(3)当
即 0 , A
L
,使得 x [ a , ) ,
则含参反常积分 a 证明:
f ( x , y ) g ( x , y ) d x 关于y 在[ c , d ]上一致收敛.
g 定理15.2.3 (Abel判别法)如果 f ( x , y ) , ( x , y ) 满足
以下三条件:
(1) a
co s x x
p
2
dx
关于p 在 ( 1,1) 上内闭一致
0
证明
作业:P392 5题~10题
以下三条件:
(1) a
f ( x , y ) d x 关于 y 在 [ c , d ]上一致收敛;
g g (2) ( x , y ) 关于 x 单调,即对于 y 0 [ c , d ] , ( x , y 0 ) 关于 x
单调; g (3) ( x , y ) 一致有界,即存在常数
y [ c , d ] ,恒有 g ( x , y ) L.
例15.2.3 证明含参积分0
e
x
sin x x
d x 关于
在 [0百度文库 ) 上
一致收敛.
证明
例15.2.4 证明:积分 F ( s )
se
0
sy
dy
在 [ ,1](其中
0 1 )一致收敛,但在 [0,1] 不一致收敛.
证明:
例15.2.5 证明: 收敛.
x 时, ( x , y ) 关于 y 在 [ c , d ]上一致趋于0, g
0 , x A , y [ c , d ],恒有 g ( x , y ) .
则含参反常积分 a 证明:
f ( x , y ) g ( x , y ) d x 关于y
在[ c , d ]上一致收敛.
A
f ( x, y )dx .
f ( x , y ) d x于奇点a 关于 y 在 [ c , d ] 一致收敛, ba 如果 0 , 0 2 ), ( a , a ) , y [ c , d ] (
a
(2)I ( y )
L
,使得 x [ a , ) ,
则含参反常积分 a 证明:
f ( x , y ) g ( x , y ) d x 关于y 在[ c , d ]上一致收敛.
定理15.2.3 (Dirichlet判别法)如果 x [ a , ), 满足以下三条件: (1) a
A
f ( x , y ) d x 关于 y 在 [ c , d ]上一致收敛;
g g (2) ( x , y ) 关于 x 单调,即对于 y 0 [ c , d ] , ( x , y 0 ) 关于 x
单调; g (3) ( x , y ) 一致有界,即存在常数
y [ c , d ] ,恒有 g ( x , y ) L.
b
恒有
a a
f ( x, y )dx
. 在[c, d ]
I (3) ( y )
b a
f ( x , y ) d x 若有多个奇点,它称为关于y
[ c , d ] 一致收敛.
一致收敛,如果它于每个奇点在
二、一致收敛的判别法 定理15.2.1(Cauchy收敛原理)含参反常积分 a
在 [ c , d ]上一致收敛,当且仅当 0 , A
A
'
f ( x, y )dx
0 , A ' , A A
,
y [c, d ]
,恒有 A
f ( x, y )dx
.
定理15.2.3 (Weierstrass判别法)如果存在函数F ( x ) 使得 (1) x [ a , ) ,y [ c , d ] ,恒有 f ( x , y )
数学分析III 第35讲
教学内容:含参变量的反常积分
§15.2 含参变量反常积分(第2讲)
一、含参反常积分一致收敛概念(复习)
(1) I ( y ) a
果 0 , A
f ( x , y ) d x 关于y 在区间 [ c , d ]一致收敛,如
a , A A ,y [ c , d ] ,恒有
F (x) ,
(2)反常积分 a
则含参积分 a 证明
F ( x)dx
收敛,
上一致收敛.
f ( x, y )dx 在 [c, d ]
二、一致收敛的判别法
例1 证明: ( s )
一致收敛. 证明:
2
xs x s
2
e
x
dx
1
关于 s 在 [0, ) 上
g 定理15.2.3 (Abel判别法)如果 f ( x , y ) , ( x , y ) 满足