七年级数学下册 对顶角、补角和余角习题
七年级数学余角和补角问题精选
七年级数学余角和补角问题精选概述本文档精选了一些关于七年级数学中余角和补角的问题，旨在帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
问题一：余角问题描述一个锐角的余角是多少？一个钝角的余角呢？解答一个锐角的余角是90°减去这个锐角的度数，而一个钝角的余角是180°减去这个钝角的度数。
示例1. 若一个锐角的度数是30°，则它的余角是90° - 30° = 60°。
2. 若一个钝角的度数是150°，则它的余角是180°- 150°= 30°。
问题二：补角问题描述一个锐角的补角是多少？一个钝角的补角呢？解答一个锐角的补角是90°减去这个锐角的度数，而一个钝角的补角是180°减去这个钝角的度数。
示例1. 若一个锐角的度数是40°，则它的补角是90° - 40° =50°。
2. 若一个钝角的度数是120°，则它的补角是180°- 120°= 60°。
问题三：余角和补角的关系问题描述余角和补角之间是否有什么关系？解答余角和补角的和等于90°。
示例1. 若一个角的度数是25°，则它的余角是90° - 25° = 65°，补角是90° - 25° = 65°，两者之和为65° + 65° = 130°。
结论通过学习本文档精选的数学问题，我们可以更好地理解和掌握七年级数学中的余角和补角概念，进一步提高我们的数学水平。
(完整版)余角和补角的练习题
2.1 余角与补角一、选择题1．如图1所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，那么下列结论错误的是（ ）A ．∠AOC 与∠COE 互为余角B ．∠BOD 与∠COE 互为余角C ．∠COE 与∠BOE 互为补角D ．∠AOC 与∠BOD 是对顶角2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 图13．下列说法正确的是（ ） A ．锐角一定等于它的余角 B ．钝角大于它的补角C ．锐角不小于它的补角D ．直角小于它的补角4．如图2所示，AO ⊥OC ，BO ⊥DO ，则下列结论正确的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1=∠3D ．∠1=∠2=∠3图2 图3 图4 图5二、填空题5．已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为 ．6．如图3所示，直线a ⊥b ，垂足为O ，L 是过点O 的直线，∠1=40°，则∠2= ．7．如图4所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OM ⊥AB ，•若∠COB=•135•，•则∠MOD= ．8．三条直线相交于一点，共有 对对顶角．9．如图5所示，AB ⊥CD 于点C ，CE ⊥CF ，则图中共有 对互余的角．三、解答题10．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，∠BOE=90°，若∠COE=55°，•求∠BOD 的度数．C O E DB A11．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=•120•°.求∠BOD，∠AOE的度数．一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．二、知识交叉题2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．3．（科外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=•28•°，则光的传播方向改变了______度．三、实际应用题4．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（•假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．四、经典中考题5．（2007，济南，4分）已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O•的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角6．（2008，南通，3分）已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．参考答案A卷一、1．C 点拨：因为∠COE与∠DOE互为补角，所以C错误，故选C．2．D 3．B4．C 点拨：因为AO⊥OC，BO⊥DO，所以∠AOC=90°，∠BOD=90°，即∠3+∠2=90°，∠2+∠1=90°，根据同角的余角相等可得∠1=∠3，故选C．二、5．125°点拨：因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°，又因为∠1=35°，•所以∠2=90°-35=55°，所以180°-∠2=180°-55°=125°，即∠2•的补角的度数是125°．6．50°点拨：由已知可得∠1+∠2=180°-90°=90°，∠2=90°-∠1=90°-•40°=50°．7．45°点拨：因为OM⊥AB，所以∠MOD+∠BOD=90°，所以∠MOD=90°-∠BOD，又因为∠BOD=180°-∠COB=180°-135°=45°，所以∠MOD=90°-45°=45°．8．6 点拨：如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD与∠BOC，∠AOE与∠BOF，∠DOE与∠COF，∠DOB与∠COA，∠EOB与∠FOA，∠EOC与∠FOD•均分别构成对顶角，共有6对对顶角．9．4 点拨：由AB⊥CD，可得∠ACE与∠ECD互余，∠DCF与∠FCB互余．由CE⊥CF，可得∠ECD与∠DCF互余，又由于∠ACB为平角，所以∠ACE与∠BCF互余，共有4对．三、10．解：因为∠BOE与∠AOE互补，∠BOE=90°，所以∠AOE=180°-∠BOE=•180°-90°=90°，即∠COE+∠COA=90°，又∠COE=55°，所以∠COA=90°-∠COE=90°-•55°=35°，因为直线AB，CD相交于点O，所以∠BOD=∠COA=35°．11．解：因为直线AB与CD相交于点O，所以∠BOD=∠AOC=120°，因为∠AOC+•∠AOD=180°，所以∠AOD=180°-120°=60°，因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=12∠AOD=12×60°=30°．点拨：由∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD的度数．由∠AOC与∠AOD 互补，•可得∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD，可得∠AOE的度数．B卷一、1．解法一：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB（已知），所以∠FOB+3•∠FOB=180°（等量代换），所以∠FOB=45°，所以∠AOE=∠FOB=45°（对顶角相等），因为∠AOC=90°，所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°．解法二：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB，所以∠FOB+3∠FOB=180°，•所以∠FOB=45°，所以∠AOF=3∠FOB=3×45°=135°，所以∠BOE=∠AOF=135°．又因为∠AOC=90°，所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-90°=90°，所以∠EOC=∠BOE-∠BOC=•135°-90°=45°．二、2．解：设这个角为x，则其补角为180°-x，余角为90°-x，根据题意，得（•180°-x）+（90°-x）=180°-10°，解得x=50°，所以这个角的度数为50°．点拨：本题是互余，互补及平角的概念的一个交叉综合题，要理清各种关系，才能正确列出方程．3．14 点拨：本题是对顶角的性质在物理学中的应用．三、4．解：落入2号球袋，如图所示．点拨：此题应与实际相联系，球被击中后在桌面上走的路线与台球桌面的边缘构成的角等于反弹后走的路线与台球桌面的边缘构成的角．四、5．B 点拨：因为AB⊥CD于点O，所以∠BOC=90°．又CD与EF相交于点O，•所以∠COE=∠2，所以∠1+∠2=∠1+∠COE=∠BOC=90°，即∠1与∠2互余，故选B．6．50°点拨：∠A的余角为90°-∠A=90°-40°=50°．。
七年级数学下册《余角与补角》典型例题(含答案)
《余角与补角》典型例题例1 下列判断正确的是（ ）A ．图（1）中1∠和2∠是一组对顶角B ．图（2）中1∠和2∠是一组对顶角C ．图（3）中1∠和2∠互为补角D ．图（4）中1∠和2∠是互为顶角例2 如图，AOB 是一条直线，︒=∠︒=∠90,90DOE AOC 问图中，互余的角有哪几对？哪些角是相等的．例3 在下图中，直线AE 、BF 、CG 、DH 交于O 点，且BF DH CG AE ⊥⊥,，请找出一对互余的角，找出一对互补的角，找出一对对顶角，找出三对相等的角并说出理由．例4 一个角的补角等于这个角余角的4倍，求这个角．例5 已知一个角的余角比它的补角的135还少4°，求这个角． (4) 1 2参考答案例1 分析： 图（1）中1∠与2∠不是由两条直线相交的构成的角故1∠与2∠不是对顶角图（2）中1∠和2∠不是对顶角图（3）中︒≠∠+∠18021图（4）中1∠与2∠互为补角解：D例2 分析：由互为余角的定义，只需找出图中的和为90°的角即可．解：互余的角有：1∠与2∠，3∠与4∠，2∠与3∠，1∠与4∠相等的角有：BOC DOE AOC ∠=∠=∠∠=∠∠=∠,42,31例3 分析：如果两个角的和是直角则这两个角互余；如果两个角的和是平角则这两个角互补．根据这两个定义再结合图形就可以找到互补、互余的角，再根据同角的余角、补角相等，对顶角相等就可以找出角之间的相等关系．解：AOB ∠和COB ∠互余；AOB ∠和EOB ∠互补；AOB ∠和EOF ∠是对顶角； BOC AOH ∠=∠，都是AOB ∠的余角；BOE AOF ∠=∠，都是AOB ∠的补角；DOE AOH ∠=∠是对顶角．说明：我们在找角与角之间的关系时，必须要有依据，这也是我们研究几何所必须注意的．例4 分析：若两个角互补则这两个角的和是180°，若两个角互余，则这两个角的和是 90，如果设这个角是︒x 就可以由已知和补角、余角的概念列出方案，最后求出x ．解：设这个角是︒x ，则这个角的余角是︒-)90(x ，这个角的补角是︒-)180(x ，依题意，得)90(4180x x -=-解得60=x答：这个角是60°．说明：在用方程解几何问题时，设的未知数和答都必须明确单位，根据设的未知数决定是否在解得的x 的值加不加单位．例5 分析：题中给出了这个角的余角与补角之间的关系，又由于余角和补角都和这个角有关，因此可建立这个角和它的余角，补角的一个关系式，利用方程求解．解：设这个角为︒x ，则它的余角为︒-)90(x ，补角为︒-)180(x 由题意得4)180(13590--=-x x解这个方程得 25.40=x答：这个角的度数为40.25°．。
七年级数学余角和补角练习题精选
七年级数学余角和补角练习题精选本文档为七年级数学余角和补角的练题精选，旨在帮助学生提高对余角和补角的理解和运用能力。
以下是一些精选练题，供学生们进行练和复。
问题1已知角A的度数为50°，求角A的余角和补角。
解答：角A的余角等于90°减去角A的度数，即90° - 50° = 40°。
角A的补角等于180°减去角A的度数，即180° - 50° = 130°。
问题2已知角B的度数为120°，求角B的余角和补角。
解答：角B的余角等于90°减去角B的度数，即90° - 120° = -30°。
角B的补角等于180°减去角B的度数，即180° - 120° = 60°。
问题3已知角C的余角为70°，求角C的度数和补角。
解答：角C的度数等于90°减去角C的余角，即90° - 70° = 20°。
角C的补角等于180°减去角C的度数，即180° - 20° = 160°。
问题4已知角D的补角为80°，求角D的度数和余角。
解答：角D的度数等于180°减去角D的补角，即180° - 80° = 100°。
角D的余角等于90°减去角D的度数，即90° - 100° = -10°。
以上为七年级数学余角和补角的练习题精选。
同学们可以根据题目要求进行计算，加深对余角和补角的理解。
希望能对大家的数学学习有所帮助。
(名师整理)最新北师大版数学七年级下册第2章第1节《两条直线的位置关系——对顶角、余角和补角》精品课件
× ）×
√
×
四、余角和补角的性质
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的 红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图2-2抽象成图2-3，ON与DC 交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2。
D
O
C
1
2
34
图2—2
A
N
图2-3
小组合作交流，解决下列问题：在图2—3中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
A
证明： ∵∠1 +∠AOC =180° (平角定义)
∠2 +∠AOC =180°(平角定义) ∴∠1 =180°-∠AOC ∴∠2 =180°-∠AOC ∴∠1 = ∠2 (等式性质)
C
）2 1（ O
B D
算一算
(3)如图，已知∠DOE=90°，AB是经过点O的一条直线。如果 ∠AOC=700，那么∠BOF等于多少度?为什么?
小关系是________∠_2，=∠理3由：______同_角__的__补__角__相. 等
1 23
作业：
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90 。 ∠AOF与∠DOE、∠BOF与∠COE有怎样的大小关系？为什 么？
E F
D
A
0
B
C
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
4.不相交的两条直线一定是平行线吗？.
相交
平行
大家来找茬
1.判断下面说法同一是平否面内正确:
（1）不相交的两条直线叫做平行线。 （ ×）
（2）在同一平面内，不相交的两条线段
考点06 余角和补角(解析版)
考点06 余角和补角1．（甘肃省肃南县第一中学2019—2020学年七年级上学期期末试题（一））如果两个角互为补角，而其中一个角是另一个角的5倍，那么这两个角是( )A ．15o ，75oB ．20o ，100oC ．10o ，50oD ．30o ，150o【答案】D【分析】设较小的角为x ，则较大的角5x ，根据这两个角互为补角可得关于x 的方程，解方程即可求出x ，进而可得答案．【详解】解：设较小的角为x ，则较大的角5x ，根据题意得：x+5x=180°，解得：x=30°，5×30°=150°；所以这两个角是：30°，150°．故选：D ．【点睛】本题考查了互补两角的概念和简单的一元一次方程的应用，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．2．（河北省新乐市2020-2021学年七年级上学期期中数学试题）若90αθ∠+∠=︒，βθ∠=∠，则α∠与β∠的关系是（ ） A ．α∠与β∠互余B ．α∠与β∠互补C ．α∠与β∠相等D ．α∠大于β∠【答案】A 【分析】根据等角的余角相等可直接进行排除选项．【详解】解：∵90αθ∠+∠=︒，βθ∠=∠，∴90αβ∠+∠=︒，故选A ．【点睛】本题主要考查余角，熟练掌握余角的性质是解题的关键．3．（广东省珠海市香洲区紫荆中学2020-2021学年七年级上学期期中数学试题）已知一个角是30°，那么这个角的补角的度数是（ ）A ．120°B ．150°C ．60°D ．30°【答案】B【分析】根据互补的两角之和为180°即可得出这个角的补角．【详解】解：这个角的补角18030150=︒-︒=︒．故答案为：B ．【点睛】本题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互补的两角之和为180°是关键．4．（广东省揭阳市2019-2020学年七年级下学期期中数学试题）已知115A ∠=︒，B 是A ∠的补角，则B 的余角的度数是（ ）A ．65︒B ．115︒C ．15︒D ．25︒【答案】D【分析】根据余角与补角的定义逐步解答即可.【详解】解:由题意得,180B A ∠=︒-∠18011565=︒-︒=︒, ∴B 的余角为906525︒-︒=︒.故选:D.【点睛】本题考查了余角和补角的定义与计算,熟练掌握定义是解答关键.5．（河北省石家庄市灵寿县2019-2020学年七年级上学期期末数学试题）已知A ∠是它的补角的4倍，那么A ∠=（ ）A ．144︒B ．36︒C ．90︒D ．72︒【答案】A【分析】根据A ∠的补角是180A ∠︒-，结合A ∠是它的补角的4倍，列方程求解即可．【详解】∵A ∠的补角是180A ∠︒-，依题意得：()4180A A ∠∠=︒-，解得：144A ∠=︒．故选：A ．【点睛】本题主要考查了补角的概念，正确得出等量关系是解题关键．6．（陕西省榆林市清涧县2019-2020学年七年级上学期期末数学试题）如图，AOB ∠为平角，且14AOC BOC ∠=∠，则BOC ∠的度数是（ ）A ．144︒B ．36︒C ．45︒D ．135︒【答案】A 【分析】根据平角的性质得到180AOC BOC ∠+∠=︒，再根据这两个角之间的比例关系求出BOC ∠．【详解】解：∵AOB ∠是平角，∴180AOC BOC ∠+∠=︒， ∵14AOC BOC ∠=∠， ∴41801445BOC ∠=︒⨯=︒． 故选：A ．【点睛】本题考查平角的性质，解题的关键是利用平角的性质和角度之间的比例求角度．7．（甘肃省肃南县第一中学2019—2020学年七年级上学期期末试题（一）231745'''︒的余角是_________________，补角是___________________．【答案】664215'''︒ 1564215'''︒【分析】根据互为余角、互为补角的定义进行计算即可求得答案．【详解】解：∵90231745895960231745664215''''''''''''︒-︒=︒-︒=︒∴231745'''︒的余角是664215'''︒；∵18023174517959602317451564215''''''''''''︒-︒=︒-︒=︒∴231745'''︒的补角是1564215'''︒．故答案是：664215'''︒；1564215'''︒【点睛】本题考查了余角、补角的概念，掌握基本概念是解决问题的关键．8．（河北省张家口市宣化区2020-2021学年七年级上学期期中（冀教版）试题如果∠α＝26°，那么∠α的余角等于__________ ．【答案】64°【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可的解．【详解】∵∠α＝26°，∴∠α的余角=90°-26°=64°．故答案为：64°【点睛】本题考查了余角的定义，是基础题，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．9．（黑龙江省大兴安岭塔河县2019-2020学年七年级上学期期末数学试题）已知∠α＝36°14′，则∠α的余角的度数是_____．【答案】53°46′【分析】直接利用互为余角的定义结合度分秒的转化得出答案．【详解】解：∵∠α=36°14′，则∠α的余角的度数是：90°-36°14′=89°60′-36°14′=53°46′；故答案为：53°46′．【点睛】此题主要考查了互为余角的定义结合度分秒的转化，正确把握相关定义是解题关键．10．（河北省唐山市乐亭县第三初级中学2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）6250'°的余角等于______．【答案】2710'°【分析】根据余角的定义、角的四则运算即可得．【详解】6250'°的余角为906250896062502710''''︒-︒=︒-︒=︒，故答案为：2710'°．【点睛】本题考查了余角、角的四则运算，熟练掌握余角的定义是解题关键．11．（浙江省宁波市江北外国语学校2020-2021学年七年级上学期期中数学试题）30°角的补角是______度．【答案】150【分析】根据互补的两角之和为180°，即可得出答案．【详解】解：30°的补角为18030150︒︒︒-=．故答案为：150【点睛】本题考查了余角和补角的知识，互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，是需要我们熟练记忆的内容．12．（江西省赣州市定南县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）∠1的对顶角等于50︒，∠1的余角等于_______________．【答案】40°【分析】根据余角的概念进行解答即可．【详解】解：∠1的对顶角等于50︒，∠1=50︒，则∠1的余角等于90°-50°=40°．故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了余角的概念，注意：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．13．（河北省保定市曲阳县2020-2021学年七年级上学期期中数学试题）已知α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则有下列式子：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③()12αβ∠+∠；④()12αβ∠-∠；⑤()1902α∠-︒；其中，表示β∠的余角的式子有______（填序号）．【答案】①②④【分析】根据余角和补角的定义，把式子进行变形即可确定答案．【详解】解：∵α∠和β∠互补，∴α∠+β∠=180°，∴β∠=180°-α∠，根据余角定义①正确，②90α∠-︒=180°-β∠-90°=90°-β∠所以②正确，③()12αβ∠+∠=1180902⨯︒=︒故③错误，④()12αβ∠-∠=12（180°-β∠-β∠）=12（180°-2β∠）=90°-β∠故④正确，⑤()1902α∠-︒=()()1118090=9022ββ-︒--∠∠故⑤错误； 故答案为：①②④．【点睛】本题考查余角和补角相关计算以及余角和补角的定义，熟练进行式子的变形是解题的关键． 14．（湖南省长沙市2019-2020年七年级下学期第三次教学质量检测联考数学试题）如图所示，A 、O 、B 三点在同一条直线上，AOC ∠与AOD ∠互余，已知20AOD ∠=︒，则BOC ∠=______．【答案】110︒【分析】根据余角的性质，先解出AOC ∠的度数，再由邻补角的性质即可计算出BOC ∠度数．【详解】A 、O 、B 三点在同一条直线上，AOC ∠与AOD ∠互余， ∴AOC ∠+AOD ∠=90︒20AOD ∠=︒902070AOC ∴∠=︒-︒=︒AOC ∠+180BOC ∠=︒18070110BOC ∴∠=︒-︒=︒故答案为：110︒．【点睛】本题考查余角与补角，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．（河北省石家庄市栾城区2020-2021学年七年级上学期期中考试数学试题）如图，90BOC ∠=°，45COD ∠=︒，则图中互为补角的角共有______对．【答案】3对【分析】根据题意，补角的定义是两个角的和为180°即可得出结论．【详解】由题意知，∵90BOC ∠=°，45COD ∠=︒，∴∠BOD=45°，∠AOD=135°，∴互补的角为：∠BOD 和∠AOD ，∠COD 和∠AOD ，∠AOC 和∠BOC,共3对，故答案为：3对．【点睛】本题考查了补角的定义，掌握补角的定义是解题的关键．16．（江西省赣州市定南县2019-2020学年七年级上学期期末数学试题）一个角的余角是5134'，这个角的补角是__________． 【答案】14134'【分析】根据余角、补角和度分秒的性质计算即可；【详解】∵一个角的余角是5134'，所以这个角是9051343826''︒-︒=︒，∴这个角的补角为180382614134''︒-︒=︒； 故答案是14134'︒．【点睛】本题主要考查了余角和补角的性质，准确利用度分秒计算是解题的关键．17．（河南省新乡市原阳县2020-2021学年七年级上学期第二次月考数学试题）一个角的余角的度数为7028'47''︒，则这个角等于__________．【答案】1931'13''【分析】相加等于90°的两角称作互为余角，也作两角互余，即一个角是另一个角的余角．因而，已知一个角的余角，求这个角，就可以用90°减去它余角的度数．【详解】解：这个角的度数为907028'47''1931'13''-︒=，故答案为：1931'13''【点睛】本题主要考查余角的定义，是一个基本的题目，注意角度的单位换算1=60',1'60''=是本题的解题关键．18．（内蒙古乌兰察布市四子王旗2019-2020学年七年级上学期期末数学试题）已知∠α= 29°18′，则∠α的余角的补角等于_________．【答案】119°18´【分析】利用互余和互补两角的关系即可求出答案．【详解】解：∵∠α= 29°18′，∴∠α的余角=90°-29°18′=60°42′，∴∠α的余角的补角=180°-60°42′=119°18´．【点睛】本题考查了余角和补角．正确把握相关定义是解题的关键．19．（吉林省长春外国语学校2020-2021学年七年级上学期第二次月考数学试题）若A ∠=52°16′，则A ∠的补角为_____．【答案】127°44′【分析】根据补角的定义解题即可.【详解】A ∠的补角为180180521612744A ''︒-∠=︒-︒=︒故答案为：127°44′【点睛】本题考查补角，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.20．一个角的余角比它的补角的14还少12︒，则这个角的度数为_______． 【答案】76︒【分析】设这个角为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-,根据题意列出方程即可求解．【详解】设这个角为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒- ()190180124x x ∴-=-- 19045124x x -=-- 3574x =4573x =⨯ 76x =︒即这个角为76︒故答案为76︒．【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是根据题意列出方程求解．21．（云南省保山市第九中学2020-2021学年七年级上学期第三次月考数学试题）如果∠1=60°，∠1的余角等于__________【答案】30°【分析】根据余角的概念进行解答即可．【详解】如果∠1=60°，则∠1的余角等于90°-60°=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查了余角的概念，注意：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角． 22．（湖南省长沙市雅礼实验中学2020-2021学年七年级上学期第三次月考数学试题）已知，∠A ＝46°28'，则∠A 的余角＝_____．【答案】43°32′【分析】根据余角的定义求解即可．【详解】解：∵∠A ＝46°28′，∴∠A 的余角＝90°﹣46°28′＝43°32′．故答案为：43°32′．【点睛】本题考查了余角的定义，熟知余角的定义是解答的关键．23．（河北省唐山市乐亭县第三初级中学2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）如图，O 为直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．（1）图中有______个小于平角的角．（2）求COE ∠、∠BOE 的度数．【答案】（1）9；（2）6565COE BOE ∠=∠=︒°,．【分析】（1）根据平角的定义即可得；（2）先根据角平分线的定义可得1252COD AOC ∠=∠=︒，再根据余角的定义可得COE ∠的度数，然后根据平角的定义可得∠BOE 的度数．【详解】（1）图中小于平角的角为,,,,,,,,AOD AOC AOE DOC DOE DOB COE COB EOB ∠∠∠∠∠∠∠∠∠，共有9个，故答案为：9；（2）因为OD 平分AOC ∠，50AOC ∠=︒， 所以1252COD AOC ∠=∠=︒， 因为90DOE ∠=︒，所以902565COE DOE COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以180180506565BOE AOC COE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题考查了余角、平角、角平分线的定义，熟练掌握角的相关概念是解题关键．24．（广东省深圳市福田区石厦学校2020-2021学年七年级上学期期中数学试题）已知：如图1，OB 、OC 分别为锐角AOD ∠内部的两条动射线，当OB 、OC 运动到如图的位置时，100AOC BOD ∠+∠=︒，40AOB COD ∠+∠=︒．(1)求BOC ∠的度数．(2)如图2，射线OM 、ON 分别为AOB ∠、COD ∠的平分线，求MON ∠的度数．(3)如图3，若OE 、OF 是AOD ∠外部的两条射线，且90EOB COF ∠=∠=︒，OP 平分EOD ∠，OQ 平分AOF ∠，当BOC ∠绕着点A 旋转时，POQ ∠的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由．【答案】（1）BOC ∠的度数为30︒；（2）MON ∠的度数为50︒；（3）POQ ∠的大小不变，110∠=︒POQ【分析】（1）根据角的和与差即可得出答案；（2）根据角平分线的性质及角的和与差即可得出答案；（3）根据90EOB COF ∠=∠=︒，可得出60COE BOF ∠=∠=︒，进而求出EOF ∠，再根据OP 平分DOE ∠，OQ 平分AOF ∠，即可得出答案．【详解】（1）∵100AOC BOD ∠+∠=︒，∴100AOB BOC BOC COD ∠+∠+∠+∠=︒，∴2100AOB COD BOC ∠+∠+∠=︒，∵40AOB COD ∠+∠=︒，∴260BOC ∠=︒，∴30BOC ∠=︒．答：BOC ∠的度数为30︒．（2）∵OM 平分AOB ∠， ∴12BOM AOB ∠=∠， ∵ON 平分COD ∠， ∴12CON COD ∠=∠， ∴()12BOM CON AOB COD ∠+∠=∠+∠， ∵40AOB COD ∠+∠=︒，30BOC ∠=︒，∴302050MON BOM BOC CON ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒．答：MON ∠的度数为50︒．（3）∵90EOB COF ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，∴60COE BOF ∠=∠=︒，又150EOF COE BOF BOC ∠=∠+∠+∠=︒，70AOD ∠=°，1507080DOE AOF ∠+∠=︒-︒=︒，∵OP 平分DOE ∠，OQ 平分AOF ∠， ∴()1402POQ AOQ DOE AOF ∠+∠=∠+∠=︒， ∴4070110POQ POD AOQ AOD ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒．故POQ ∠的大小不变．【点睛】本题考查了角平分线的定义、余角和补角的意义，掌握角平分线的定义以及角的和差关系是正确解答的前提．25．（江苏省南通市崇川区南通田家炳中学2020-2021学年七年级上学期12月月考数学试题）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是一个直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，当∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；（2）如图2，若∠AOC＝x°，求∠DOE的度数．（用含有x的代数式表示）【答案】（1）15°；（2）12x【分析】（1）根据互补求出∠BOC，再根据角平分线求出∠COE，再用互余，求出结果即可；（2）方法同（1），把角度用未知数表示，相应的角度用含有x的代数式表示即可．【详解】（1）∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE＝12∠BOC＝75°，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝15°；（2）∵∠AOC＝x°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝（180﹣x）°，又∵OE平分∠BOC∴∠BOE＝∠COE＝12∠BOC＝12（180﹣x）°，又∵∠COD＝90°∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣12（180﹣x）°＝12x°【点睛】本题考查角平分线、互为余角、互为补角的意义，通过图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．26．（吉林省白山市临江2019-2020学年七年级上学期期末数学试题）已知两个角的大小之比是7：3，它们的差是36°，这两个角是否互余？请说明理由．【答案】两角互余，理由见解析．【分析】由两角之比是7：3，即可设这两个角分别为：7x°，3x°，又由它们的差是36°，即可得方程：7x°-3x°=36°，解此方程即可求得答案．【详解】两角互余．理由：设两角分别为7x°，3x°，由题得7x°-3x°=36，解得x°=9°，则7x°=63°，3x°=27°，∵63°+27°=90°∴这两个角互余．【点睛】此题考查了角的计算．解题时注意掌握方程思想的应用．。
余角、补角、对顶角的概念和习题答案
余角战补角战对于顶角之阳早格格创做余角：如果二个角的战是一个曲角,那么称那二个角互为余角,简称互余,也不妨道其中一个角是另一个角的余角.∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：如果二个角的战是一个仄角，那么那二个角喊互为补角．其中一个角喊干另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对于顶角：一个角的二边分别是另一个角的反背延少线，那二个角是对于顶角.二条曲线相接后所得的惟有一个大众顶面且二个角的二边互为反背延少线，那样的二个角喊干互为对于顶角.二条曲线相接,形成二对于对于顶角.对于顶角相等.对于顶角与对于顶角相等.对于顶角是对于二个具备特殊位子的角的称呼;对于顶角相等反映的是二个角间的大小闭系.补角的本量：共角的补角相等.比圆：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B.等角的补角相等.比圆：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D 则：∠C=∠B.余角的本量：共角的余角相等.比圆：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B.等角的余角相等.比圆：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B.注意：①钝角不余角；②互为余角、补角是二个角之间的闭系.如∠A+∠B+∠C=90°，不克不迭道∠A、∠B、∠C互余；共样：如∠A+∠B+∠C=180°，不克不迭道∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相闭，与角的位子无闭.只消它们的度数之战等于90°或者180°，便一定互为余角或者补角.余角与补角观念认识提示：（1）定义中的“互为”一词汇怎么样明白？如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，共样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，共样∠2的补角是∠1.（2）互余、互补的二角是可一定有大众顶面或者大众边？二角互余或者互补，只与角的度数有闭，与位子无闭.（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能道∠1 、∠2、∠3 互余（互补）吗？不克不迭，互余或者互补是二个角之间的数量闭系.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=50°，则∠C的度数是[ D ] A．40°B．50°C．130°D．140°如果∠A的补角是它的余角的4倍，则∠A=______度．设∠A 为x ，则∠A 的余角为90°-x ，补角为180°-x ，根据题意得，180°-x=4（90°-x ），解得x=60°．故问案为：60． 已知∠ α=50°17'，则∠α的余角战补角分别是[ B ]A ．49°43'，129°43'B ．39°43'，129°43'C ．39°83'，129°83'D ．129°43′，39°43′二个角的比是6：4，它们的好为36°，则那二个角的闭系是（ ）A ．互余B ．相等C ．互补D ．以上皆分歧过失设一个角为6x ，则另一个角为4x ， 则有6x-4x=36°，∴x=18°，则那二个角分别为108°，72°， 而108°+72°=180°∴那二个角的闭系为互补． 故选C ．如果∠A=35°18′，那么∠A 的余角等于______．如果∠A=35°18′，那么∠A 的余角等于90°-35°18′=54°42′． 故挖54°42′．已知∠1战∠2互补，∠3战∠2互余，供证：∠3= =21（∠1-∠2）． 道明：由题意得：∠2+∠3=90°，∠1+∠2=180°，∴2（∠2+∠3）=∠1+∠2，故可得：∠3=21（∠1-∠2） 如图，∠1的邻补角是[ ]A.∠BOCB.∠BOC 战∠AOFC.∠AOFD.∠BOE 战∠AOF二个角互为补角，那么那二个角大小 [ D ]如果二个角互为补角,那么那二个角一定互为邻补角，道明此命题真——加本果如果二个角互为补角,那么那二个角一定互为邻补角,那是假命题. 如果二个角互为收补角,那么那二个角一定互为补角,那是真命题. 譬如道,二曲线仄止,共旁内角互补,然而互为共旁内角的二个角一定不互为收补角.如果二个角互补,那它们是邻补角”——————为什么道那个是假命题? 二条仄止线切出的共旁内角也互补,然而是它们不是邻补角.所以道：“如果二个角互补,那它们是邻补角”是假命题!果为邻补角是相邻的二个角互补，那么那二个角是互为邻补角，而互补的二个角有不相邻的，比圆四边形的二个对于角互补，则那四面共圆如果一个角是36°，那么[ D ]．它的余角是64°B．它的补角是64°C．它的余角是144°D．它的补角是144°下列道法中：①共位角相等；②二面之间，线段最短；③如果二个角互补，那么它们是邻补角；④二个钝角的战是钝角；⑤共角或者等角的补角相等．精确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个①共位角相等，道法过失；②二面之间，线段最短，道法精确；③如果二个角互补，那么它们是邻补角，道法过失；④二个钝角的战是钝角，道法过失；⑤共角或者等角的补角相等，道法精确；道法精确的公有2个，故选：A．下列道法精确的是（）A．小于仄角的角是钝角B．相等的角是对于顶角C．邻补角的战等于180°D．共位角相A、小于仄角的角有：钝角、曲角、钝角，故本选项过失；B、对于顶角相等，相等的角纷歧定是对于顶角，故本选项过失；C、邻补角的战等于180°精确，故本选项精确；D、惟有二曲线仄止，才有共位角相等，故本选项过失．故选C．下列道法精确的是（）A．相等的角是对于顶角B．对于顶角相等C．共位角相等D．钝角大于它的余角A、相等的角是对于顶角，道法过失；B、对于顶角相等，道法精确；C、共位角相等，道法过失；D、钝角大于它的余角，道法过失；故选：B．下列道法中，精确的是（）A．对于顶角相等B．内错角相等C．钝角相等D．共位角相等A、对于顶角相等，道法精确；B、内错角相等，道法过失，惟有二曲线仄止时，内错角才相等；C、钝角相等，道法过失，比圆30°角战20°角；D、共位角相等，道法过失，惟有二曲线仄止时，共位角才相等；故选：A．三条曲线相接于一面不妨形成几对于对于顶角？二条曲线出现2*（2-1）=2对于对于顶角三条曲线出现3*（3-1）=6对于对于顶角四条曲线出现4*（4-1）=12对于对于顶角依次类推，n 条曲线相接于一面有n*(n-1)对于对于顶角三条曲线相接于一面，共可组成______对于对于顶角．如图，单个的角是对于顶角的有3对于，二个角的复合角是对于顶角的有3对于，所以，公有对于顶角3+3=6对于．故问案为：6．三条曲线相接与一面，能形成几对于对于顶角？四条呢？五条呢？N条呢？尔要要收战问案！三条曲线相接与一面,6对于；四条曲线相接与一面，12对于；五条曲线相接与一面，20对于；N条曲线相接与一面，N(N-1)对于；如果有n条曲线相接于一面，有几对于对于顶角？n的仄圆减去2条数个数2 2=2x13 6=3x24 12=4x35 20=5x4…………n n(n-1)三条曲线相接于一面，对于顶角最多有______对于．把三条曲线相接于一面，拆成三种二条曲线接于一面的情况，果为二条曲线相接于一面，产生二对于对于顶角，所以三条曲线相接于一面，有3个二对于对于顶角，共6对于对于顶角二条曲线相接，有一个接面.三条曲线相接，最多有几个接面？四条曲线呢？您能创造什么顺序吗？那个本去便是拉拢问题.果为二条线形成一个接面，所以三条线时，从三条线中与二条线，有3*2/2=3种与法，所以有3个接面.四条线中与二条，有4*3/2=6种与法，所以有6个接面.n条线中与二条，有n(n-1)/2种与法，所以有n(n-1)/2个接面.邻补角是互补的角是真命题吗天然是,邻补角相加等于180度便是互补啊互补的角是邻补角是真命题仍旧假命题假如真命题,请举反例二个角有一条大众边,它们的另一条边互为反背延少线,具备那种闭系的二个角称为互为邻补角.不妨随便绘二个不大众边的角,比圆1个60度,另一个120度,隐然它们是互补的,然而是本去不是邻补角所以互补的角是邻补角那是一个假命题该当道邻补角是互补的角,那才是真命题既相邻又互补的二个角是邻补角吗二条仄止线切出的共旁内角也互补，然而是它们不是邻补角.所以道：“如果二个角互补，那它们是邻补角”是假命题！成互补闭系的二个角互为邻补角是对于仍旧错分歧过失相邻的二个角互补称之为邻补角像二曲线仄止,共旁内角互补（那二个互补的角不相邻）、互补的二个角是邻补角用果为所以问果为二个角是邻补角所以二个角互补反过去不可坐。
七年级数学余角和补角
D
O
解： ∠AOB=180°- ∠BOD B ∴ ∠AOB与∠BOD互补； ∠COD=180 °- ∠AOC ∴ ∠COD与∠AOC互补；
A
又∠AOB=∠COD= 180 °- ∠AOC ∴ ∠AOB与∠AOC互补； 又∠COD=∠AOB= 180 °- ∠BOD
∴ ∠COD与∠BOD互补；
小结：
答：这个角是60°.
练习2、（1）如果∠ 的余角是∠ 的2 倍，求 ∠ 的度数。 （2）如果∠1的补角是∠1的3 倍，求∠1的度数。
练习2、（1）如果∠ 的余角是∠ 的2 倍， 求 ∠ 的度数。 解：设∠ 的度数为x度，则 ∠ 的余 角为（90-x）度。 由题意，得： 90-x=2 x -3x=-90
的余角=90°- ∠
若∠ =∠ 则90°- ∠ =90°- ∠ 即∠
的余角= ∠ 的余角
图形一
同角或等角的余角相等。
（2）补角的基本性质：
∠ 的补角= 180o
-∠
∠ 的补角= 180o -∠ 若∠ =∠ 则 180o -∠ =180o -∠
即∠ 的补角= ∠ 的补角
同角或等角的补角相等。
图形2
例1、如图，∠AOC=∠BOD=Rt∠，
问有哪两个锐角相等？ 解：∠AOB=90°-∠COB， ∠DOC=90°-∠COB， ∴∠AOB=∠COD
D
C
B
O
A
例2、已知一个角的补角是这个角的余角 的4倍，求这个角的度数。 解：设这个角为x度， 则其余角为（90-x）度， 补角为（180-x）度。 由题意，得： 180 - x =4（90 - x） 解方程，得： x =60（度）
解：∠ 的余角=90°- ∠ ∠的余角=90°-62°32′ =27°28′ ∠
62 角、余角、补角以及对顶角(解析版)
2021-2022学年七年级数学上册同步课堂专练（苏科版）6.2角、余角、补角以及对顶角一、单选题1．下列说法中正确的是（）A．射线AB与射线BA是同一条射线B．两条射线组成的图形叫做角C．各边都相等的多边形是正多边形D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离【答案】D【详解】解：A、射线AB与射线BA不是同一条射线，故此选项错误；B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；C、各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，故此选项错误；D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故此选项正确．故选：D．2．如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（）A．∠AOD的度数B．∠AOC的度数C．∠EOF的度数D．∠DOF的度数【详解】 解：OE ，OF 平分∠AOD ，∠BOD11,22AOE EOD AOD DOF FOB BOD ∴∠=∠=∠∠=∠=∠180AOD BOD ∠+∠=︒111()90222EOD DOF AOD BOD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒90EOF ∴∠=︒180AOD BOD ∴∠=︒-∠1,2AOC BOD DOF BOD ∴∠=∠∠=∠都与∠BOD 大小变化有关，只有∠EOF 的度数与∠BOD 大小变化无关， 故选：C ．3．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，12740'∠=︒，则2∠的余角是（ ）A ．1720'︒B ．3220︒'C ．3320'︒D ．5820︒'【答案】B解：由题意可得：∠2+∠EAC =90° ∠∠2的余角是∠EAC∠∠EAC =601602740'3220'︒-∠=︒-︒=︒ 故选：B ．4．设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α，则（ ） A ．090α︒<<︒或90180α︒<<︒ B ．0180α︒<<︒ C ．090α︒<<︒ D ．090α︒<≤︒【答案】B 【详解】解：设这个角的为x 且0＜x ＜90°，根据题意可知180°-x -x =α， ∠α=180°-2x ，∠180°-2×90°＜α＜180°-2×0°， 0°＜α＜180°． 故选：B ．5．如图，直线a 、b 被直线c 所截，则下列说法错误的是（ ）A ．1∠与2∠是邻补角B ．1∠与3∠是对顶角C ．2∠与4∠是同位角D ．3∠与4∠是内错角【答案】D 【详解】解：A 、1∠与2∠是邻补角，故原题说法正确；B 、1∠与3∠是对顶角，故原题说法正确；C 、2∠与4∠是同位角，故原题说法正确；D 、3∠与4∠是同旁内角，故原题说法错误；答案：D ．6．下列推理错误的是（ ）A ．因为1223∠=∠∠=∠，，所以13∠=∠B ．因为12123∠=∠∠+∠=∠，，所以321∠=∠C ．因为1223∠+∠=∠，所以1323∠=∠∠=∠，D ．因为1∠与2∠互补，13∠=∠，所以2∠与3∠互补 【答案】C 【详解】解：A ．因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3（等量代换），故原说法正确； B ．因为∠1=∠2，∠1+∠2=∠3，所以∠3=∠1+∠1=2∠1，故原说法正确； C ．当∠1+∠2=2∠3时，∠1，∠2不一定等于∠3，故原说法错误； D ．因为∠1与∠2互补，∠1=∠3，所以∠2与∠3互补，故说法正确． 故选：C ．7．下列说法正确的是（ ）A．如果∠1+∠2+∠3=90º，那么∠1、∠2、∠3三个互余B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．不相等的两个角一定不是对顶角D．若两条直线被第三条所截，则同位角相等【答案】C【详解】如果两个角的和是90°，称这两个角互为余角，所以选项A说法错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以选项B说法错误；对顶角永远相等，所以不相等的两个角一定不是对顶角，所以选项C正确；若两条平行直线被第三条所截，则同位角相等，所以选项D说法错误；故选C．8．在下列说法中，正确的是（）A．连接A，B就得到AB的距离B．延长AOB∠的平分线C．一个有理数不是整数就是分数D．23-a是单项式【答案】C 【详解】解：A. 连接A ，B 就得到线段AB ，而线段AB 的长度叫做的距离，故原说法错误，不符合题意； B. AOB ∠的平分线就是射线，若延长也只能反向延长，故原说法错误，不符合题意； C. 一个有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意； D.23-a 是多项式，故原说法错误，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题9．已知，//MN PQ ，将一副三角板按照如图方式摆放在平行线之间，且线段BC 落在直线MN 上，线段DE 落在直线PQ 上，其中60ACB ∠=︒，45AED ∠=︒，CO 平分ACB ∠，EO 平分AED ∠，两条角平分线相交与点O ，则COE ∠=________︒．【答案】52.5 【详解】延长CO 交PQ 于点F ，则∠COE =∠CFE +∠OEF ，∠60ACB ∠=︒，45AED ∠=︒，CO 平分ACB ∠，EO 平分AED ∠， ∠∠BCF =30°，∠OEF =22.5°， ∠//MN PQ ， ∠∠BCF =∠CFE ，∠∠COE =30°+22.5°=52.5°，故答案为：52.5°．10．如图是某城市一座古塔底部平面图，在不能进入塔内测量的情况下，学习兴趣小组设计了如图所示的一种测量方案，学习兴趣小组认为测得COD ∠的度数就是AOB ∠的度数．其中的数学原理是__________．【答案】对顶角相等 【详解】解：∠∠COD 与∠AOB 互为对顶角 ∠∠COD =∠AOB 故答案为：对顶角相等11．如图，AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是___；AOC ∠的对顶角是___；若40AOC ∠=︒，则BOD ∠=___，AOD ∠=___，BOC ∠=___．【答案】AOD ∠和BOC ∠ BOD ∠ 40° 140° 140° 【详解】解：AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是AOD ∠和BOC ∠；AOC ∠的对顶角是BOD ∠，40AOC ∠=︒，40BOD AOC ∴∠=∠=︒，180********AO D AO C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 140BO C AO D ∴∠=∠=︒．故答案为：AOD ∠和BOC ∠；BOD ∠；40︒；140︒；140︒．12．如图，某海域有三个小岛A ，B ，O ，在小岛O 处观测到小岛A 在它北偏东62°的方向上，观测到小岛B 在它南偏东38°12＇的方向上，则∠AOB 的补角的度数是_____．【答案】100°12′． 【详解】解：∠OA 是表示北偏东62°方向的一条射线，OB 是表示南偏东38°12′方向的一条射线， ∠∠AOB =180°-62°-38°12′=79°48′，∠∠AOB 的补角的度数是180°-79°48′=100°12′． 故答案是：100°12′． 三、解答题13．如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．（1）写出图中∠AOC的对顶角，∠COE的补角是；（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．【答案】（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°【详解】解：（1）由图形可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠COE的补角是∠DOE；（2）设∠COE＝x，则∠AOE＝2x，∠∠AOC＝60°，∠x+2x＝60，解得x＝20，即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，∠∠AOC+∠AOD＝180°，∠∠AOD＝120°，∠∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．14．在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．（1）当∠COD的位置如图1所示时，且∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；（2）当∠COD的位置如图2所示时，作∠AOC的角平分线OF，求∠EOF的度数；（3）当∠COD的位置如图3所示时，若∠AOC与∠BOD互补，请你过点O作射线OM，使得∠COM为∠AOC的余角，并求出∠MOE的度数．（题中的角都是小于平角的角）【答案】（1）40°；（2）150°；（3）见解析，∠MOE的度数为105°或135°．【详解】解：（1）∠∠COD＝90°，∠EOC＝35°，∠∠EOD＝55°，∠OE平分∠BOD，∠∠BOD＝2∠EOD＝110°，∠∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝40°；（2）∠∠AOB＝150°，∠COD＝90°，∠∠AOC+∠BOD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，∠OF平分∠AOC，OE平分∠BOD，∠∠COF＝12∠AOC，∠DOE＝12∠BOD，∠∠COF+∠DOE＝60°，∠∠EOF＝60°+90°＝150°；（3）设∠AOC＝α，∠∠AOB＝150°，∠COD＝90°，∠∠AOD＝90°﹣α，∠BOC＝150°﹣α，∠∠AOC与∠BOD互补，∠∠AOC+∠BOD＝180°，∠∠AOD+∠BOC＝180°，∠90°﹣α+150°﹣α＝180°，∠α＝30°，即∠AOC＝30°，∠∠BOD＝150°，∠OE平分∠BOD，∠∠DOE＝∠BOE＝75°，如图3，∠∠COM为∠AOC的余角，∠∠COM＝60°，∠∠DOM＝30°，∠∠MOE＝∠MOD+∠DOE＝30°+75°＝105°，如备用图，∠∠COM为∠AOC的余角，∠∠COM＝60°，∠BOM＝60°，∠∠MOE ＝∠BOM +∠BOE ＝60°+75°＝135°；综上所述，∠MOE 的度数为105°或135°．15．已知直线AB 与CD 相交于点O ．（∠）如图1，若90AOM ∠=︒，OC 平分AOM ∠，则AOD ∠=_________．（∠）如图2，若90AOM ∠=︒，4BOC BON ∠=∠，OM 平分CON ∠，求MON ∠的大小；（∠）如图3，若AOM α∠=，4BOC BON ∠=∠，OM 平分CON ∠，求MON ∠的大小（用含α的式子表示）．【答案】（∠）135°；（∠）54°；（∠）54035α︒- 【详解】解（∠）90AOM =︒∠，OC 平分AOM ∠，11904522AOC AOM ∴∠=∠=⨯︒=︒， 180AOC AOD ∠+∠=︒，180********AOD AOC ∴∠=-∠=︒-︒︒=︒，即AOD ∠的度数为135︒；（∠）4BOC NOB ∠=∠∴设NOB x ∠=︒，4BOC x ∠=︒，43CON COB BON x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，OM 平分CON ∠，1322COM MON CON x ∴∠=∠=∠=︒， 3902BOM x x ∠=︒+︒=︒， 36x ∴=︒，33365422MON x ∴∠=︒=⨯︒=︒， 即MON ∠的度数为54︒；（∠）4BOC NOB ∠=∠∴设NOB x ∠=︒，4BOC x ∠=︒，43CON COB BON x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， OM 平分CON ∠，1322COM MON CON x ∴∠=∠=∠=︒， 31802BOM x x α∠=︒+︒=︒-， 36025x α︒-∴=， 336025403255MON αα︒-︒-∴∠=⨯=．。
七年级数学余角和补角(1)
D
3
E
1
A
CБайду номын сангаас
B
课堂练习
一个角的余角和它的补角互补.求这个角。
小结：
本节课你有什么收获？
布置作业：
1、P141 练习 第1、3题；
2、已知两个角互为补角，它们的差为30 °，
求这两个角的度数。
； 2019亚洲杯澳门盘口 ；
陆续前来.呐名银色长袍男子,并不是混沌至尊,从其生命气息看,也绝不是初始生灵.他の实历,应该是天尊层次,若是在人类族群中,算得上是比较强の天尊,可能是接近第壹档次天尊..如果您喜欢呐部作品,欢迎您来起点投、,您の支持,就是俺最大の动历.收寄用户请到阅读.<!--qigka--> 第壹陆肆陆章银玉雕见那银色长袍男子正与白雪说话,鞠言也就顿住脚没有走过去.由于,看起来此人是与白雪认识の.既然白雪与此人正在说话,那自身冒然过去可能就显得有些冒失了.“银玉雕,俺不知道你在说哪个.”白雪开口如此回应那银色长袍男子.“白雪,你怎么能不知道俺在说哪 个呢?万年前,俺随师父他老人家来过呐里,当事俺第壹眼见到你,就喜欢上了你.俺师父,也向你师父女砧娘娘提过呐件事,女砧娘娘都不反对你俺两人结为道侣.”“白雪,俺只是没想到,呐才万年事间过去,你居然就成了混沌至尊.俺记得,万年之前,你那事候の实历可比俺低多了.”“你也 知道,俺喜欢上你,全部是真心の,并不是由于你现在の实历.否则,万年前你实历还很低の事候,俺也不会要你答应成为俺の道侣.”银色长袍男子银玉雕焦急の说道.“银玉雕,你不要再说了.俺和你,是不可能成为道侣の.俺师尊女砧娘娘和你の师父银泊尪虽然是朋友,但俺与你却算不上是 朋友,更不要谈成为道侣了.”白雪微微皱眉说.白雪の语气,还算委婉.但她の眼申,却已经有壹些不耐.显然,白雪并不想与呐个银玉雕多说哪个.可是,
七年级数学下册-两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)(解析版)
第01讲两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)1．理解对顶角、补角和余角的概念，能在图形中辨认；2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；3．掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题．4．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；5．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；6．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．知识点01相交线1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O2.对顶角的概念及性质对顶角的概念概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等.3.互补与互余互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.知识点02垂线1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线l的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线l的距离，此时线段AB叫垂线段.题型01对顶角的定义【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在下图中，1∠为对∠，2顶角的是（）A．B．C．D ．【答案】B【分析】本题主要考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．【详解】解：根据对顶角的定义，只有B 选项正确，故选：B ．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，1∠与2∠是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．【详解】解：A 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠不是对顶角，故该选项不合题意；B 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠不是对顶角，故该选项不符合题意；C 、1∠的两边分别是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠是对顶角，故该选项符合题意；D 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠不是对顶角，故该选项不合题意．故选：C ．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，1∠和2∠是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．【详解】解：根据对顶角的定义：A ．1∠和2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；B ．1∠和2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；C ．1∠和2∠的两边互为反向延长线，是对顶角；D ．1∠和2∠的顶点不同，不是对顶角；故选：C ．【点睛】本题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．题型02利用对顶角相等求角度A．145︒B【答案】D【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到A．20︒B【答案】C【分析】首先根据AOC∠【答案】40︒/40度【分析】本题考查了对顶角的知识，根据∠【详解】解：1，3∠题型03求一个角的余角、补角题型04垂线的定义的理解与应用【例题】（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，P 是直线l 外一点，A ，B ，C 三点在直线l 上，且PB l ⊥于点B ，90APC ∠=︒，则下列结论中正确的是（）①线段BP 的长度是点P 到直线l 的距离；②线段AP 是A 点到直线PC 的距离；③在PA PB PC ，，三条线段中，PB 最短；④线段PC 的长度是点P 到直线l 的距离A ．①②③B ．③④C ．①③D ．①②③④【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键．【详解】解：∵PB l ⊥于点B ，∴线段BP 的长度是点P 到直线l 的距离，故①正确，④错误；∵90APC ∠=︒，∴线段AP 的长度是A 点到直线PC 的距离，故②错误；根据垂线段最短，在PA PB PC ，，三条线段中，PB 最短，故③正确；故选：C ．【变式训练】1．（2023下·河南濮阳·七年级统考期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l 是起跳线，则需要测量的线段是（）A ．AEB ．AC C ．AD D ．BE【答案】B 【分析】利用垂线段最短求解．【详解】解：根据垂线段最短可得，需要测量的线段是AC ，故选：B ．【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键．2．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）如图所示，下列说法不正确的是（）A ．点B 到AC 的垂线段是线段ABB ．点C 到AB 的垂线段是线段AC C ．线段AD 是点D 到BC 的垂线段D ．线段BD 是点B 到AD 的垂线段【答案】C【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、点B 到AC 的垂线段是线段AB ，正确，故此选项不符合题意；B 、点C 到AB 的垂线段是线段AC ，正确，故此选项不符合题意；C 、线段AD 是点A 到BC 的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；D 、线段BD 是点B 到AD 的垂线段，正确，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键．题型05利用垂线的定义求角的度数【例题】（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，直线、AB CD 相交于点O ，EO OF ⊥，且OC 平分AOE ∠，若36BOF ∠=︒．(1)求AOC ∠的度数；(2)写出DOF ∠的度数是________°【答案】(1)63AOC ∠=︒(2)27【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义；（1）先由垂直求出∠BOE ，再由平角求出1．（2023上·北京石景山·七年级统考期末）已知：OA OB ⊥，射线OC 是平面上绕点O 旋转的一条动射线，OD 平分BOC ∠．(1)如图，若40BOC ∠=︒，求AOD ∠．同理得AOD AOB ∠=∠+综上所述，AOD ∠的度数为2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，直线(1)图中与1∠相等的角是(2)若155AFD ∠=︒，求∠【答案】(1)23∠∠，；(2)115︒．（2）∵155AFD ∠=︒，∴180********BFD AFD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵EF AB ⊥，∴90BFE ∠=︒，∴2590115DFE BFD BFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．题型06作垂线与求点到直线的距离(1)画线段AB ，画直线(2)过点D 画直线AC 的垂线，垂足为(3)点D 到直线AC 的距离为线段【答案】(1)见解析(2)见解析（3）点D到直线AC的距离为线段DE的长度．故答案为：DE．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上．(1)过点A作直线BC的垂线，垂足为G；(2)过点A作直线AH AB⊥，垂足为A，直线AH交BC于点H；(3)点A到直线BC的距离等于__________个单位长度．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可；（2）根据垂线的定义作出图形即可；（3）线段AG的长即为点A到直线BC的距离．【详解】（1）解：如图，直线AG即为所求．（2）解：如图，直线AH即为所求．（3）解：由（1）中图可得：点A到直线BC的距离等于2个单位长度．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型．∠的边OB上的一点2．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是AOB（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．(1)过点P 画OB 的垂线，交OA 于点E ；过点P 画OA 的垂线，垂足为F ；(2)线段PF 的长度是点P 到______的距离，线段______的长度是点E 到直线OB 的距离，所以线段PE PF OE 、、这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．【答案】(1)图见解析(2)OA ，PE ，PF PE OE <<，垂线段最短【分析】（1）如图，找点C ，连接PC ，与OA 交点即为E ，过P 点作竖直的线，与OA 交点即为F ；（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．【详解】（1）解：由题意作图如下，PE 是OB 的垂线，PF 是OA 的垂线．（2）解：线段PF 的长度是点P 到OA 的距离，线段PE 的长度是点E 到直线OB 的距离，由垂线段最短可知，PF PE OE <<，故答案为：OA ，PE ，PF PE OE <<，垂线段最短．【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．题型07与对顶角、余角、补角、直角有关的综合计算问题【例题】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，75BOC ∠=︒，射线ON 将AOD ∠分成两个角，且:2:3AON NOD ∠∠=．(1)求AON ∠的度数；(2)若OM 平分BON ∠，则OB 是COM ∠的平分线吗？判断并说明理由．【答案】(1)30AON ∠=︒(2)OB 是COM ∠的平分线，理由见解析1．（2023下·陕西西安·七年级校联考阶段练习）如图，直线AB CD ，相交于点O ，OM CD ⊥，垂足为O ，28BOD =︒∠(1)求AOM ∠的度数．(2)若OA 平分MOE ∠，求∠BOE 的度数．【答案】(1)62︒(2)118︒【分析】（1）由垂直的定义和对顶角相等，求解即可；（2）由角平分线的定义，邻补角的性质，即可求解．【详解】（1）解：因为OM CD ⊥，所以90MOC ∠=︒因为28AOC BOD ∠=∠=︒，所以902862AOM ∠=︒-︒=︒．（2）因为OA 平分MOE ∠，所以62EOA AOM ∠∠==︒．因为180BOE AOE ∠+∠=︒，所以18062118BOE ∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了垂线，对顶角相等，邻补角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．2．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 与CD 相交于O ，OF ，OD 分别是AOE ∠，∠BOE 的平分线．(1)写出DOE ∠的两个补角；(2)若62BOE ∠=︒，求AOD ∠和EOF ∠的度数；(3)试问射线OD 与OF 之间有什么特殊的位置关系？为什么？【答案】(1)COE AOD∠∠，(2)14959AOD EOF ∠=︒∠=︒，(3)垂直，见解析【分析】（1）根据角平分线的定义结合邻补角的性质即可解答；（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质解答即可；（3）根据角平分线的定义和邻补角的性质可得90DOF ∠=︒，即可得出结论．【详解】（1）∵OD 是∠BOE 的平分线，∴DOE BOD ∠=∠，∵180,180DOE COE BOD AOD ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴DOE ∠的两个补角为：COE AOD ∠∠，；（2）∵OD 是∠BOE 的平分线，62BOE ∠=︒，∴31BOD DOE ∠=∠=︒，180118AOE BOE ∠=︒-∠=︒，∴180149AOD BOD ∠=︒-∠=︒；∵OF 是AOE ∠的平分线．（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：∵OF，OD分别是AOE∠∴1,2DOE BOE EOF ∠=∠∠∴DOF DOE EOF∠=∠+∠即射线OD与OF互相垂直．【点睛】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和垂直的定义，属于基础题型，熟练掌握角平分线的定义等基本知识是关键．一、单选题1．（2023下·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）下列图中，1∠与2∠是对顶角的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据对顶角的定义判断即可．【详解】解：A、1∠与2∠不是对顶角，故此选项不符合题意；B、1∠与2∠不是对顶角，故此选项不符合题意；C、1∠与2∠不是对顶角，故此选项不符合题意；D、1∠与2∠是对顶角，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是关键．2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，直线AB CD 、相交于点O ，OE 平分BOC ∠，若:2:5BOD BOE ∠∠=，则AOE ∠的大小为（）A ．60︒B ．90︒C ．100︒D ．105︒【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得到COE BOE ∠∠=，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出BOD ∠，根据对顶角相等求出AOC ∠，结合图形计算，得到答案．【详解】解：设2BOD x ∠=，:2:5BOD BOE ∠∠=，5BOE x ∠∴=，OE 平分BOC ∠，5COE BOE x ∠∠∴==，255180x x x ∴++=︒，解得，15x =︒，即30BOD ∠=︒，75COE ∠=︒，30AOC BOD ∠∠∴==︒，105AOE COE AOC ∠∠∠∴=+=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角相等、邻补角之和为180︒是解题的关键．3．（2023下·七年级单元测试）如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，则下列说法正确的是（）A ．线段AC 的长表示点C 到AB 的距离B ．线段CD 的长表示点A 到CD 的距离C ．线段BC 的长表示点B 到AC 的距离D ．线段BD 的长表示点C 到DB 的距离【答案】C 【分析】根据点到直线距离的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A 、线段AC 的长表示点A 到BC 的距离，故A 不正确，不符合题意；B 、线段CD 的长表示点C 到AB 的距离，故B 不正确，不符合题意；C 、线段BC 的长表示点B 到AC 的距离，故C 正确，符合题意；D 、线段BD 的长表示点B 到CD 的距离，故D 不正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离．4．（2023上·贵州遵义·七年级校联考期末）如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，DOE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠=︒，则BOD ∠的度数为（）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．56︒【答案】A 【分析】本题考查角平分线定义，角度的计算，余角定义，邻补角定义．根据题意先计算出56EOF ∠=︒，再利用角平分线性质得到112BOE ︒∠=，即可计算出本题答案．【详解】解：∵DOE ∠是直角，34COF ∠=︒，直线AB 和CD 相交于点O ，∴90EOC ∠=︒，∴56EOF EOC COF ∠=∠-∠=︒，∵OF 平分AOE ∠，∴56AOF EOF ∠=∠=︒，∴112AOE ∠=︒，∴=180112=68BOE ∠︒-︒︒，∴906822BOD ∠=︒-︒=︒，故选：A ．5．（2023下·天津·七年级校考期末）已知OA OB ⊥，直线CD 经过点O 且40AOC ∠=度，则BOD ∠等于（）A ．130︒B ．50︒C ．130︒或50︒D ．40︒【答案】C【分析】根据垂线的定义结合题意，分OC 在AOB ∠的内部时，OC 在AOB ∠的外部时，求解即可．【详解】解：当OC 在AOB ∠的内部时，∵40AOC ∠=︒，OA OB ⊥，∴90904050BOC AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180********BOD BOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒．当OC 在AOB ∠的外部时，180180409050∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．BOD AOC AOB故选C．【点睛】本题考查垂线的定义，邻补角互补以及角的和差关系，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．二、填空题【答案】1.74【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题关键．直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案．【详解】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是故答案为：1.74．【答案】70︒【分析】利用对顶角相等可得【详解】解：20BON ∠= ，EO AB ⊥ ，90AOE ∴∠=︒，COE AOE AOC ∴∠=∠-∠如图，，EO AB ⊥ ，90AOE ∴∠=︒，COE AOE AOC ∴∠=∠+∠综上所述，COE ∠的度数是故答案为：50︒或130︒．（1）AOM ∠的度数为（2）若OA 平分MOE ∠【答案】62︒/62【分析】（1）根据垂直的定义得出三、解答题(1)求AOM ∠的度数；(2)作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，求【答案】(1)25︒(2)65︒或165︒1306565COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒-︒=当射线OP 在BOC ∠外部时，如图：180********AOP BOP ∠=︒-∠=︒-︒=11550COP AOP AOC ∠=∠+∠=︒+︒=综上可知，COP ∠的度数为65︒或165︒12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）如图，(1)已知35AOC ∠=︒，求(2)若:BOC BOD ∠∠=【答案】(1)55BOE ∠=(2)135AOE ∠=︒．∵90COE ∠=︒，∴9045135AOE COE AOC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角、角的和差关系等知识，理解对顶角、邻补角的定义是解答此题的关键．13．（2023下·北京怀柔·七年级统考期末）如图，在射线AB 上有一点M ，请选择适当的工具作图，完成以下问题：(1)过点M 作射线AC 的垂线，垂足为点H ；(2)在线段HC 上任取一点N （不与H ，C 重合），连接MN ；(3)在线段MA ，MH ，MN 中，线段______最短，依据是__________．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)MH ，垂线段最短【分析】（1）根据垂线的作法作图即可；（2）根据平行线的作法作出平行线即可；（3）根据直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示，直线HM 即为所求；（2）解：如图所示，线段MN 即为所求；（3）解：∵MH ⟂AC ，∴MH AM <，MH MN <，理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短．故答案为MH ，垂线段最短．【点睛】题目主要考查垂线、平行线的基本作法及垂线段最短的性质，理解垂线及平行线的作法是解题关键．14．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 是BOC ∠的平分线，且::1:2:4BOC DOF AOC ∠∠∠=．(1)若BOC x ∠=︒，则DOF ∠=______︒，AOC ∠=_______︒；（用含x 的式子表示）(2)求AOD ∠的度数；(3)若:1:4,BOE BOF ∠∠=试判断OE 与OF 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)()2x ，()4x (2)36︒(3)垂直，见解析【分析】（1）根据::1:2:4BOC DOF AOC ∠∠∠=求解即可；（2）根据:1:4BOC AOC ∠∠=以及BOC ∠与AOC ∠互补可求出BOC ∠度数，最后根据对顶角的性质求解即可；（2）根据角平分线的定义求出∠BOE 的度数，结合:1:4BOE BOF ∠∠=求出BOF ∠的度数，即可求解．(1)图中AOF ∠的余角是（把符合条件的角都填出来）(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：①；②；③．(3)①如果160AOD ∠=︒．那么根据可得②如果4AOD EOF ∠=∠，求。
七年级数学余角和补角易错题总结(含答案)
七年级数学余角和补角易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共3小题，共9.0分）1.如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠DOC，图中互补的角有()A. 10对B. 11对C. 12对D. 13对【答案】D【解析】解：图中互补的角有：∠AOF与∠BOF，∠AOF与∠COE，∠DOE与∠BOF，∠DOE 与∠COE，∠AOE与∠EOB，∠AOE与∠DOF，∠DOF与∠EOB，∠BOD与∠AOD，∠EOF与∠AOD，∠BOC与∠AOD，∠BOD与∠AOC，∠EOF与∠AOC，∠BOC与∠AOC，有13对．故选：D．根据补角的定义和同角或等角的补角相等解答即可．本题考查了补角的定义，性质：同角或等角的补角相等．2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中互余的角有()A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对【答案】C【解析】【分析】根据互余的定义，进行判断即可．本题考查互余的知识，注意掌握互余的定义是关键．【解答】解：由题意，∠ACB=90°，CD⊥AB，则互余的角有：∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠ACD与∠BCD，∠BCD与∠B，共4对．故选：C．3.若∠β与∠α互补，∠γ与∠α互余，且∠β与∠γ的和是4个平角，则∠β是∠α的()3A. 11倍B. 5倍C. 21倍 D. 无法确定倍数5【答案】A【解析】【分析】此题考查了补角和余角的定义.考查学生对知识的理解及运用能力.解题关键在于补角、余角及平角的定义.难度适中．【解答】×180°③，解：∵∠β+∠α=180°①，∠γ+∠α=90°②，∠β+∠γ=43×180°，整理得∠β−由②得∠γ=90°−∠α④，将④代入③得，∠β+90°−∠α=43∠α=150°⑤，由①⑤得∠α=15°，∠β=165°，∴∠β是∠α的11倍．故选A．二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）4.如图，点O在直线AB上，∠AOD=120°，CO⊥AB，OE平分∠BOD，则图中一共有______对互补的角．【答案】6【解析】解：∵∠AOD=120°，CO⊥AB于O，OE平分∠BOD，∴∠COD=∠DOE=∠EOB=30°，∴这三个角都与∠AOE互补．∵∠COE=∠DOB=60°，∴这两个角与∠AOD互补．另外，∠AOC和∠COB都是直角，二者互补．因此一共有6对互补的角．故答案为：6．根据互补的定义进行解答，找到两个角之和为180°角的对数．本题主要考查余角和补角、角平分线的知识点，两角之和为90，两角互余，两角之和为180，两角互补，解答此题的关键是找全互补的角．5.若一个角比它的补角大36°48′，则这个角为____°____′．【答案】108，24．【解析】解：设这个角为x，则这个角的补角为(180°−x)，那么180°−x=x−36°48′，解得x=108°24′．∴这个角为108°24′．故答案为：108，24．首先根据补角的定义，设这个角为x，则它的补角为(180°−x)，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．此题考查补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．6.如图，点O在直线AB上，∠AOD=120°，CO⊥AB，OE平分∠BOD，则图中一共有_________对互补的角．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查余角和补角、角平分线的知识点，两角之和为90°，两角互余，两角之和为180°，两角互补，解答此题的关键是找全互补的角．根据互补的定义进行解答，找到两个角之和为180°的角的对数．【解答】解：∵∠AOD=120°，CO⊥AB于O，OE平分∠BOD，∴∠COD=∠DOE=∠EOB=30°，∴这三个角都与∠AOE都互补．∵∠COE=∠DOB=60°，∴这两个角与∠AOD都互补．另外，∠AOC和∠COB都是直角，二者互补．因此一共有6对互补的角．故答案为：6．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）7.将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上(直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°)，保持三角板OBC不动，).将三角板MON绕点O以每秒8°的速度顺时针方向旋转t秒(0<t<454(1)如图2，∠NOD=______度(用含t的式子表示)；(2)在旋转的过程中，是否存在t的值，使∠NOD=4∠COM？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转．①当t=______秒时，∠COM=15°；②请直接写出在旋转过程中，∠NOD与∠BOM的数量关系(关系式中不能含t)．【答案】解：(1)∠NOD一开始为90°，然后每秒减少8°，因此∠NOD=90°−8t，故答案为(90−8t)(2)当MO在∠BOC内部时，即t<45时890°−8t=4(45°−8t)解得：t=154时当MO在∠BOC外部时，即t>45890°−8t=4(8t−45°)解得：t=274时(3)①当MO在∠BOC内部时，即t<4588t−2t=30°解得：t=5时当MO在∠BOC外部时，即t>4588t−2t=60°解得：t=10，故答案为5或10②∠NOD=90°−8t，∠BOM=6t∴3∠NOD+4∠BOM=3(90°−8t)+4×6t=270°即3∠NOD+4∠BOM=270°，故答案为：3∠NOD+4∠BOM=270°．【解析】(1)把旋转前∠NOD的大小减去旋转的度数就是旋转后的∠NOD的大小．(2)相对MO与CO的位置有两种情况，所以要分类讨论，然后根据∠NOD=4∠COM建立关于t的方程即可．(3)①其实是一个追赶问题，分MO没有追上CO与MO超过CO两种情况，然后分别列方程即可．②分别用t的代数式表示∠NOD和∠BOM，然后消去t即可得出它们的关系．本题一元一次方程和图象变换相结合的题目，考查了一元一次方程的应用，渗透了分类的思想方法．四、解答题（本大题共14小题，共112.0分）8.已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC=50∘，将一个三角板的直角顶点放在点O处(注：∠DOE=90∘，∠DEO=30∘).(1)如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE=______．(2)如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．∠AOE时，求∠BOD的(3)如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14度数．(4)将图1中的三角板绕点O以每秒5∘的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．【答案】(1)40°，(2)∵OE平分∠AOC，∠COA，∴∠COE=∠AOE=12∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；(3)设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，∵∠DOE=90°，∠BOC=50°，∴5x=40，∴x=8，即∠COD=8°∴∠BOD=58°．(4)如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t=140，t=28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，5t=320，t=64．所以当t=28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．【解析】【解析】∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠BOC=50°，∴∠COE=40°，故答案为：40°；(2)见答案；(3)见答案．(4)见答案．(1)代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；(2)求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD= 90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；(3)根据平角等于180°求出即可；(4)分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O 旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°；依此列出方程求解即可．本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．9.(1)已知∠AOB=25°42′，则∠AOB的余角为____，∠AOB的补角为____；(2)已知∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，用含α，β的代数式表示∠MON的大小；(3)如图，若以OA、OB中的一条为钟表上的时针，另一条为分针，且∠AOB=65°，时针在3点到4点之间，求此刻的时间．【答案】解：(1)64°18′；154°18′；(2)①如图1：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠AOM=∠BOM=12∠AOB=12α，∠CON=∠BON=12∠COB=12β，∴∠MON=∠BOM+∠CON=α+β2；②如图2，∠MON=∠BOM−∠BON=α−β2；③如图3，∠MON=∠BON−∠BOM=β−α2．∴∠MON为α+β2或α−β2或β−α2．(3)设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x 分钟，时针与分针成65°角． ①当分针在时针上方时，由题意得：(3+x 60)×30−6x =65，解得：x =5011②当分针在时针下方时，由题意得：6x −(3+x 60)×30=65解得：x =31011．∴此刻的时间为3点5011分或3点31011分．【解析】【分析】此题考查了余角和补角，角的计算以及钟面角，解题时注意：分针60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°；时针12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．(1)根据余补角的定义解答；(2)分三种情况，分别画出图形，根据角平分线的定义解答即可；(3)分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可．【解答】解：(1)∵∠AOB =25°42′，∴∠AOB 的余角=90°−25°42′=64°18′，∠AOB 的补角=180°−25°42′=154°18′；故答案为：64°18′，154°18′；(2)见答案；(3)见答案．10.如图所示，射线ON，OE，OS，OW分别表示从点O出发向北、东、南、西四个方向，点A在点O的北偏东45°方向，点B在点O的北偏西30°方向．(1)画出射线OB，若∠BOC与∠AOB互余，请在图中画出∠BOC．(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程)．【答案】解：(1)如图所示，射线OB，∠BOC与∠BOC′即为所求；(2)∵∠AON=45°，∠BON=30°，∴∠AOB=75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC=∠BOC′=15°，∴∠AOC=90°，∠AOC′=60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP=45°或30°．【解析】此题主要考查了方向角的定义，余角的定义，作出图形，正确掌握方向角的定义是解题关键．(1)根据题意作出图形即可；(2)根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】(1)∵∠AON=45°，∠BON=30°，∴∠AOB=75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC=∠BOC′=15°，故射线OB，∠BOC与∠BOC′即为所求；(2)见答案．11.(1)如图1所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．①直接写出图中∠AOF的余角．②如果∠EOF=15∠AOD，求∠EOF的度数．(2)如图2所示，O为线段AB的中点，AC=23AB，BD=45AB，线段OC的长为1，求线段AB，CD的长．【答案】解：(1)①∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOF+∠COA=90°，∠AOF+∠FOE=90°．∴∠COA与∠FOE是∠AOF的余角．∵由对顶角相等可知：∠AOC=∠BOD，∴∠BOD+∠AOF=90°．∴∠BOD与∠AOF互为余角．∴∠AOF的余角为∠AOC，∠FOE，∠BOD；②∵∠AOC=∠EOF，∠AOC+∠AOD=180°，∠EOF=15∠AOD，∴6∠AOC=180°．∴∠EOF=∠AOC=30°．(2)∵O为线段AB中点，∴AO=12AB，∵AC=23AB，∴OC=16AB，∵线段OC长为1，∴AB=6，∵AC=23AB，BD=45AB，∴CD=AC+BD−AB=715AB=715×6=145．【解析】(1)①由垂直的定义可知∠AOF+∠COA=90°，∠AOF+∠FOE=90°，从而可知∠COA与∠FOE是∠AOF的余角，由对顶角的性质从而的得到∠BOD是∠AOF的余角；②依据同角的余角相等可知∠AOC=∠EOF，∠EOF=15∠AOD，从而得到∠EOF=16平角．(2)先根据中点的定义和已知得到OC所占比，从而得到线段AB的长，从而得到线段CD的长．本题主要考查的是垂线、余角的定义、对顶角、平角的定义，掌握相关性质是解题的关键．12.解答下列各题：①如图1，已知AB=BC=CD，O为DE的中点，且CO=6cm，AE=14cm，求AB的长．②如图2所示，已知AC为一条直线，O为直线AC上一点，且∠DOB=1 6∠AOB，∠BOE=23∠BOC，∠DOB与∠BOE互余，求∠AOB和∠BOC．【答案】解：①已知AB=BC=CD，O为DE的中点即DO=EO，∴AE−CO=AB+BC+EO=14−6=8，BC+EO=CD+DO=CO=6，∴AB=AB+BC+EO−(BC+EO)=AE−CO−(BC+EO)=AE−CO−CO=14−6−6=2；②已知∠DOB=16∠AOB，∠BOE=23∠BOC，∠DOB与∠BOE互余，∴得：(1)16∠AOB+23∠BOC=90°，已知AC为一条直线，O为直线AC上一点得：(2)∠AOB+∠BOC=180°，由(1)(2)得：∠AOB=60°，∠BOC=120°．【解析】略13.如图是一副三角尺拼成的图形，其中∠1比∠2的一半小30°，则∠1的余角的度数是多少？【答案】解：∴∠1+∠2=360°−90°−90°=180°，∴∠1=180°−∠2，∵∠1=12∠2−30°，∴∠2=140°，∴∠1=40°，∵90°−40°=50°，∴∠1的余角度数是50°．【解析】本题考查角的计算，余角的定义，属于基础题．根据图形即可推出∠1+∠2=360°−90°−90°=180°，然后由∠1=12∠2−30°，即可推出∠1的度数，再求其余角的度数即可．14.如图，OC，OB，OD是∠EOA内三条射线，OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．(1)已知∠EOD=80°，∠AOB=20°，求∠BOC的度数．(2)设∠EOD=α，用含α的代数式表示∠BOC．(3)若∠EOD与∠BOC互余，求∠BOC的度数．【答案】解：(1)∵OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．∴∠AOB=∠BOD=12∠AOD，∠EOC=∠AOC=12∠EOA，∵∠EOD=80°，∠AOB=20°，∴∠EOA=80°+20°×2=120°，∴∠EOC=∠AOC=12∠EOA=60°，∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=60°−20°=40°．(2)∵∠BOC=∠AOC−∠AOB=∠DOE−∠COD−∠BOD=∠DOE−∠BOC，∴2∠BOC=∠DOE，∴∠BOC=12∠DOE=12α，(3)∵∠EOD与∠BOC互余，∴∠EOD+∠BOC=90°，∵∠BOC=12∠DOE，∴∠BOC=13×90°=30°．【解析】本题主要考查角平分线的意义，互余的意义，根据图形直观得出各个角的和或差是得出结论的前提，等量代换起到非常关键的作用．(1)根据角平分线和∠EOD=80°，∠AOB=20°，求出各个角，得出答案；(2)由特殊到一般，根据角平分线的意义，和各个角之间的和差关系，等量代换得出∠EOD 与∠BOC的数量关系，(3)利用(2)中的结论和∠EOD与∠BOC互余，求出∠BOC的度数．15.(1)已知∠1与∠2互为补角，且∠2的13比∠1小15∘，则∠1的余角为多少？(2)已知∠AOB为直角，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数．【答案】解：(1)设∠1=x°，由题意可得，解得x=2254；(2)若OC在∠AOB内部，则∠MON=12∠AOB=45°，若OC在∠AOB外部，则∠MON=12(∠AOB+∠AOC)−12∠AOC=45°．【解析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义以及角的计算，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．(1)设∠1=x°，根据题意可列出方程，即可解答；(2)分两种情况：当若OC在∠AOB内部，当若OC在∠AOB外部进行分析．16.(1)如图1所示，将两个正方形的一个顶点重合放置，若∠AOD=40°，则∠COB=_________(2)如图2所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，求∠1的度数．(3)如图3所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若OF平分∠DOB，则OE平分∠AOC吗？为什么？【答案】解：(1)140°；(2)如图，由题意知，∠1+∠2=50°①，∠1+∠3=60°②，又∠1+∠2+∠3=90°③，①+②−③得∠1=20°；(3)OE平分∠AOC，理由如下：∵∠COD=∠AOB，∴∠COA=∠DOB(等角的余角相等)．同理：∠EOA=∠FOB．∵OF平分∠DOB，∴∠DOF=∠FOB=12∠DOB，∴∠EOA=12∠DOB=12∠COA，∴OE平分∠AOC．【解析】【分析】本题考查了角的计算，余角和补角以及正方形的性质，根据所给出的图形，找到角与角的关系是本题的关键．(1)根据正方形各角等于90°，得出∠COD+∠AOB=180°，再根据∠AOD=40°，∠COB=∠COD+∠AOB−∠AOD，即可得出答案；(2)根据已知得出∠1+∠2，∠1+∠3的度数，再根据∠1+∠2+∠3=90°，最后用∠1+∠2+∠1+∠3−(∠1+∠2+∠3)，即可求出∠1的度数；(3)根据∠COD=∠AOB和等角的余角相等得出∠COA=∠DOB，∠EOA=∠FOB，再根据角平分线的性质得出∠DOF=∠FOB=12∠DOB和∠EOA=12∠DOB=12∠COA，从而得出答案．【解答】解：(1)∵两个图形是正方形，∴∠COD=90°，∠AOB=90°，∴∠COD+∠AOB=180°，∵∠AOD=40°，∴∠COB=∠COD+∠AOB−∠AOD=140°．故答案为140°；(2)见答案；(3)见答案．17.如图，已知∠AOM与∠MOB互为余角，且∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．(1)求∠MON的度数；(2)如果已知∠AOB=80°，其他条件不变，求∠MON的度数；(3)如果已知∠BOC=60°，其他条件不变，求∠MON的度数；(4)从(1)(2)(3)中你能看出什么规律？【答案】解：(1)因为OM平分∠AOC，所以∠MOC=12∠AOC．又ON平分∠BOC，所以∠NOC=12∠BOC．所以∠MON=∠MOC−∠NOC=12∠AOC−12∠BOC=12∠AOB．而∠AOB=90°，所以∠MON=45°；(2)当∠AOB=80°，其他条件不变时，∠MON=12×80°=40°；(3)当∠BOC=60°，其他条件不变时，则∠MON=45°；(4)分析(1)、(2)、(3)的结果和(1)的解答过程可知：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关．【解析】本题考查角的平分线，难度不大．(1)根据题意，可得∠MON=∠MOC−∠NOC=12∠AOC−12∠BOC=12∠AOB，即可得解；(2)根据题意，即可得解；(3)根据题意，即可得解；(4)分析可知：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关，即可得解．18.已知点A，B，C(如图)，按要求完成下列问题：(1)画出直线BC、射线CA、线段AB．(2)过C点画CD⊥AB，垂足为点D．(3)在以上的图中，互余的角为______，互补的角为______.(各写出一对即可)【答案】∠DBC和∠BCD等等∠BDC和∠ADC等等【解析】解：(1)如图，直线BC、射线CA、线段AB为所作；(2)如图，CD为所作；(3)∠DBC+∠BCD=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∠BDC+∠ADC=180°．故答案为∠DBC和∠BCD等等；∠BDC与∠ADC．(1)(2)根据几何语言画出对应的几何图形；(3)根据余角和补角的定义求解．本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．19.已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD=90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．(1)如图1所示，当∠DOE=20°时，∠FOH的度数是______．(2)若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．(3)若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．【答案】解：(1)35°；(2)∠BOE=2∠FOH，理由如下：设∠AOH=x，因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=x所以∠FOH=90°−∠HOE=90°−x∠BOE=180°−∠AOE=180°−2x所以∠BOE=2∠FOH；(3)如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=12∠AOE因为OG平分∠BOF∠FOG=∠GOB=12∠BOF所以∠GOH=∠GOF−∠FOH=1∠BOF−(∠AOH−∠AOF)=12(180°−∠AOF)−12∠AOE+∠AOF=90°−12∠AOF−12(90°+∠AOF)+∠AOF=90°−12∠AOF−45°−12∠AOF+∠AOF=45°；所以∠GOH的度数为45°；如图4，当OE落在其他位置时因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=12∠AOE 因为OG平分∠BOF∠FOG=∠GOB=12∠BOF所以∠GOH=∠GOF+∠FOH=12∠BOF+∠AOH+∠AOF=12(180°−∠AOF)+12∠AOE+∠AOF=90°−12∠AOF+12(90°−∠AOF)+∠AOF=90°−12∠AOF+45°−12∠AOF+∠AOF=135°；所以∠GOH的度数为135°；综上所述：∠GOH的度数为45°或135°．【解析】解：(1)因为∠AOD=90°，∠DOE=20°所以∠AOE=∠AOD+∠DOE=110°因为OH平分∠AOE所以∠HOE=12∠AOE=55°所以∠FOH=90°−∠HOE=35°；故答案为35°；(2)∠BOE=2∠FOH，理由如下：设∠AOH=x，因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=x所以∠FOH=90°−∠HOE=90°−x∠BOE=180°−∠AOE=180°−2x 所以∠BOE=2∠FOH；(3)如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=12∠AOE因为OG平分∠BOF∠FOG=∠GOB=1∠BOF所以∠GOH=∠GOF−∠FOH=12∠BOF−(∠AOH−∠AOF)=12(180°−∠AOF)−12∠AOE+∠AOF=90°−12∠AOF−12(90°+∠AOF)+∠AOF=90°−12∠AOF−45°−12∠AOF+∠AOF=45°；所以∠GOH的度数为45°；如图4，当OE落在其他位置时因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=12∠AOE 因为OG平分∠BOF∠FOG=∠GOB=12∠BOF所以∠GOH=∠GOF+∠FOH=1∠BOF+∠AOH+∠AOF=12(180°−∠AOF)+12∠AOE+∠AOF=90°−12∠AOF+12(90°−∠AOF)+∠AOF=90°−12∠AOF+45°−12∠AOF+∠AOF=135°；所以∠GOH的度数为135°；综上所述：∠GOH的度数为45°或135°．(1)根据∠AOD=90°，∠DOE=20°得∠AOE=∠AOD+∠DOE=110°，再根据OH平分∠AOE，即可求解；(2)可以设∠AOH=x，根据OH平分∠AOE，可得∠HOE=∠AOH=x，进而∠FOH= 90°−∠HOE=90°−x，∠BOE=180°−∠AOE=180°−2x，即可得结论；(3)分两种情况解答：当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内，当OE落在其他位置时，根据OH平分∠AOE，OG平分∠BOF即可求解．本题考查了余角和补角、角平分线定义，解决本题的关键是掌握角平分线定义，进行角的和差计算．20.如图，点B是线段AC上一点，AC=4AB，AB=6cm，直线MN经过线段BC的中点P，(1)图中共有线段______条，图中共有射线______条；(2)图中有______组对顶角，与∠MPC互补的角是______；(3)线段AP的长度是______．【答案】(1)6，2；(2)2，∠APM和∠CPN；(3)15cm．【解析】解：(1)图中共有线段6条，图中共有射线2条，故答案为：6，2；(2)图中有2组对顶角，与∠MPC互补的角是∠APM和∠CPN，故答案为：2，∠APM和∠CPN；(3)∵AC=4AB，AB=6cm，∴BC=3AB=18cm，∵P是线段BC的中点，∴PB=1BC=9cm，2∴AP=AB+PB=6+9=15cm，∴线段AP的长度是15cm，故答案为：15cm．【分析】(1)根据题意即可得到结论；(2)根据对顶角和补角的定义即可得到结论；BC=9cm，(3)根据已知条件得到BC=3AB=18cm，根据线段中点的定义得到PB=12于是得到结论．本题考查了两点间的距离，对顶角，补角的定义，正确的识别图形是解题的关键．21.如图，0°<∠AOB<180°，射线OC，射线OD，射线OE，射线OF均在∠AOB内部，∠AOC=∠BOD=∠EOF，∠COE=∠DOF，∠COD=2∠EOF．(1)若∠COE=20°，求∠EOF的度数；(2)若∠EOF与∠COD互余，找出图中所有互补的角，并说明理由；(3)若∠EOF的其中一边与OA垂直，求∠AOB的度数．【答案】解：(1)∵∠COE=20°，∴∠COE=∠DOF=20°，∵∠COD=2∠EOF，即∠COE+∠DOF+∠EOF=2∠EOF，∴∠EOF=∠COE+∠DOF=20°+20°=40°；(2)设∠COE=∠DOF=x，∵∠COD=2∠EOF，∴∠COE+∠DOF+∠EOF=2∠EOF，∴∠EOF=∠COE+∠DOF=2x，∴∠AOC=∠BOD=∠EOF=2x．∵∠EOF与∠COD互余，∴∠EOF+∠COD=90°，即2x+4x=90°，∴x=15°，∴∠COE=∠DOF=15°，∠AOC=∠BOD=∠EOF=30°，∴∠COD=60°，∠AOB=120°，∴∠AOB+∠COD=120°+60°=180°，∠COB=90°，∠AOD=90°，∴∠COB+∠AOD=180°，∴互补的角为：∠AOB与∠COD，∠COB与∠AOD．(3)若OF与OA垂直，则∠AOF=∠AOC+∠COE+∠EOF=90°，设∠COE=∠DOF=x，∴2x+x+2x=90°，∴x=18°，∴∠AOB=8x=144°，若OE与OA垂直，则∠AOE=∠AOC+∠COE=90°，设∠COE=∠DOF=m，∴2m+m=90°，∴m=30°，∴∠AOB=8m=240°，∵0°<∠AOB<180°，∴这种情况应舍去，综上，∠AOB=144°．【解析】本题主要考查了角的计算，关键是正确地进行角的计算，正确列出方程．(1)根据角的关系进行计算便可；(2)根据互余角列出方程解答；(3)分两种情况讨论：OF与OA垂直和OE与OA垂直，进行解答．。
余角、补角、对顶角
性质
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
E
1
D
C
2
F
A
B
①两个角互余或互补只与 它们的度数有关，而与它 们的位置无关; ②互余互补是两个角之间 的关系; ③直角和钝角不存在余角.
练一练
B C
第 2题
1、如果∠1 =∠2 ，∠2 =∠3 那 么∠1____∠3; = 如果∠1 > ∠2 ∠2 > ∠3，那 > 么∠1____∠3。
例题 评讲
例1: 如图，∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相 等吗？为什么？
2 1 4 3
答：∵ ∠1 =∠3 ∴ 90°–∠1 = 90°– ∠3 ∵ ∠2 = 90°– ∠1，∠4 = 90°–∠3 ∴ ∠2 =∠4
性质定理：同角（等角）的 余角相等
如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠1=∠3， 那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
∠1+∠2=180°。像这样：如果
做互为补角，简称互补，其中一 个角叫另一个角的补角。
练一练
1、如图 ∠1+∠2=90°，
⑴∠1与∠2互为 ⑵∠1的余角是 ； ；
A 2 C
⑶∠1是 的余角。 2.画相等吗？
O B
D
一、填表：
∠1的度数
∠1的余角 ∠1的补角
B C O
？
A
5、已知一个角的补角是这个角的余角的4 倍，求这个角的度数．
课堂 小结
1. 余角、补角的定义：
2. 余角、补角的性质： 3. 余角、补角的异同点。
《数学》( 苏科版.七年级 上册 )
议一议！
如图： ∠1与∠2有什么样
七年级数学余角和补角(基础)(含答案)
余角和补角（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列说法错误的是( )A.同角或等角的余角相等B.如果两个角相等，则他们的补角相等C.若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互余D.两个直角的补角相等答案：C解题思路：根据同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等可知，选项A，B，D均正确；如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角，所以互余指的是两个角之间的关系，而选项C中三个角的和为90°，不能说他们互余，因此选项C错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：补角2.如图，OC⊥AB，∠COD=45°，则图中互为补角的角共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对答案：C解题思路：和为180°的两个角互为补角．补角是大小角，只跟大小有关，跟位置无关．图中OC⊥AB，∠COD=45°，可得∠AOC=∠BOC=90°，∠BOD=∠COD=45°，∠AOD=135°，综上可知，互补的角有∠AOC和∠BOC，∠BOD和∠AOD，∠COD和∠AOD，共3对．故选C．试题难度：三颗星知识点：补角3.如图，已知∠AOB=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一条直线上，则∠COD的度数为( )A.75°B.15°C.105°D.165°答案：C解题思路：∵，∴．∵，∴，∴．故选C．试题难度：三颗星知识点：补角4.如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是( )A.130°B.140°C.150°D.160°答案：B解题思路：一个角的余角是50°，则这个角为，那么这个角的补角是．故选B．试题难度：三颗星知识点：补角5.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为( )A.145°B.115°C.135°D.125°答案：D解题思路：由∠1与∠2互余，且∠1=35°，得，所以∠2的补角为．故选D．试题难度：三颗星知识点：补角6.一个锐角的补角比这个角的余角大( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D解题思路：设这个角为α，则它的补角为180°-α，它的余角为90°-α．180°-α-(90°-α)=90°，因此一个锐角的补角比这个角的余角大90°．故选D．试题难度：三颗星知识点：补角7.若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系是( )A.相等B.互补C.互余D.不确定答案：A解题思路：根据同角的余角相等，可知∠α=∠γ．故选A．试题难度：三颗星知识点：余角8.如图所示，，则与关系为( )A.互补B.互余C.和为45°D.和为22.5°答案：B解题思路：观察图形可知，，又，则与关系为互余．故选B．试题难度：三颗星知识点：补角9.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是( )A.北偏西30°B.北偏西60°C.东偏北30°D.东偏北60°答案：B解题思路：如图所示，OA是北偏东30°方向的一条射线，OA的方位角是北偏东30°，且射线OB与射线OA垂直，故OB是北偏西60°的一条射线，则OB的方位角是北偏西60°故选B试题难度：三颗星知识点：方位角10.如图，下列说法中错误的是( )A.OA的方向是东北方向B.OB的方向是北偏西60°C.OC的方向是南偏西60°D.OD的方向是南偏东60°答案：D解题思路：A．OA的方向是北偏东45°，也就是东北方向，正确B．OB的方向是北偏西60°。
七年级数学余角和补角
x° 90°- ∠
180°- ∠
90° 同一个锐角的补角比它的余角大
互余和互补是两个角的数量关系，与它
们的位置无关。
练习
一、填空 1、70°的余角是 20° ，补角是 110 ° 。 2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补 角是 180°- ∠ 。
21
43
猜想： 等角的补角相等
想一想:1、钝角有余角吗？ 没有
2、同一个角的补角比它的 余角大多少度？ 90°
试一试：
1.∠A与∠B互补，∠B与∠C互补，∠C=80°，则∠A的度数是
__8_0_°____.
【解析】因为同角的补角相等，所以∠A=∠C=80°. 答案:80°
2、下列说法正确的是（ C ）
4、若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数。
解：设这个角是 x °，则它的补角是 (180°－ x°), 余角是(90°－x°) , 根据题意得： （180－x）= 4 (90－x)
解得： x = 60
答：这个角的度数是60 °。
活学活用 加深理解
1、已知 的补角是105°,则 的余角
如图，你能画出∠1的补角的吗？能画出 几个？若有多个它们之间有什么关系？为什 么？
21 3
解：∵∠1+∠2=180º，∠1+∠3=180º ∴∠2=180º-∠1，∠3=180º-∠1 又∵∠1=∠1，∴∠2=∠3
探究:补角的性质（二）
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ， ∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
DA
B
2
3 4
1
余角、补角与对顶角
1234◎苏丹图2我们已经学习了锐角、直角和钝角，并且了解了三角形的内角和为180°，现在我们来认识三个新朋友——余角、补角与对顶角。
下图中你能找到几个角？它们分别是什么角？图1中有三个角，分别为两个锐角，一个直角。
一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角，平角为180°，因此我们知道∠1+∠2+∠3=180°，∠3为直角（90°），因此∠1+∠2=180°-90°=90°。
当两个角的和为90°（直角）时，则这两个角互为余角，因此∠1和∠2互为余角。
图2为两条直线相交，看看这个图，你能找到几个角？它们分别是什么角？123图1 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.图2中有四个角，两个锐角、两个钝角。
∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=∠4+∠1= 180°。
当两个角的和为180°（平角）时，则这两个角互为补角，因此∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1互为补角。
两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角，其中不相邻的两个角互为对顶角。
因此，∠1与∠3、∠2与∠4互为对顶角。
拿尺子量一量，你会发现对顶角相等。
想一想看看下面这个图，哪个角与哪个角互为余角？如果∠1=∠4，那么∠2与∠3是否相等？1234《余角、补角与对顶角》参考答案∠1与∠2，∠3与∠4互为余角。
如果∠1=∠4，那么∠2=∠3。
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1．在一个平面内，任意三条直线相交，交点的个数最多有( )
A.7个
B.6个
C.5个
D.3个
2. 下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是()
3．如图，两条直线a、b相交于点O，若∠1=70°，则∠2=_____．
4．试用几何语言描述下图：_____．
5．如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数．
6.平面上有9条直线，任意两条都不平行，欲使它们出现29个交点，能否做到，如果能，怎么安排才能做到？如果不能，请说明理由．
7. 如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
8. 已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
9. 如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
答案：（未完）
1．答案：D
3．答案：110°
解析：【解答】∵∠1+∠2=180°又∠1=70°
∴∠2=110°．。