球体体积公式的推导
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球体体积公式的推导
湖北仙桃二中 刘四云
1、如图，设球体的球心为O ，半径为R ，球体体积为V ，用垂直于半径 OA 的平
面将半球分成n 个圆柱体，则每个圆柱体的高是n
R
，半径分别为r 1、r 2、r 3、…
r n
由相交弦定理得 r 12 = n R ·(2R —n R ) = R 2(n 2—
21
n
) , r 22
= n R 2·(2R —n R 2) = R 2(n
2
2⨯—222n ) ,，
r 32
= n R 3·(2R —n R 3) = R 2(n
3
2⨯—222n )，
…………………
r n 2
= n nR ·(2R — n nR ) = R 2
·（ n
n 2— 22n n ）
∴V 半球 = 兀·n R 3(n 2—21n )
+兀·n R 3(n 22⨯—222n ) +兀·n R 3(n 32⨯—
2
2
3n )…… +兀·n R 3（ n
n
2— 22n n ）
=兀·n R 3（n 2+n 22⨯+n 3
2⨯+……+n n 2 —21n —222n —2
22n —……—22
n
n ）
=兀·n R 3（2×n n +⋅⋅⋅+++321—2
2
222321n n +⋅⋅⋅+++） =兀·n R 3〔n + 1—61·()()2
112n n n n ++〕
=兀R 3 〔
n n 1+ —61
·()()2
112n n n ++〕 =兀R 3
·2
261
34n n n -+
=兀R 3 ·（3
2+
261
21n n -） 当n 趋近于∞时，n 21 = 0，261
n = 0，
所以V 半球 = 兀R 3（32
+ 0 + 0 ）
= 32
兀R 3
V 球体体积 = 3
4
兀R 3。