【最新排版】2007年高考数学试题宁夏、海南卷(文科)

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（宁夏、 海南卷）参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ） Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-|Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<<2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3．函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）x--Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．BA4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ）Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500Ｃ．2550Ｄ．26526．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则a d 等于（ ） Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1 Ｄ．2-7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ， 在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）， 可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm正视图侧视图俯视图yx9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．210．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e11．已知三棱锥S A B C -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在A B 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） Ａ．π Ｂ．2πＣ．3π Ｄ．4π123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．213s s s >>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ．15．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用，a b ∈R ，）16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =则其公差d = ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高A B 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得B C D B D C C D sαβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高A B ．18．（本小题满分12分）如图，A B C D ，，，为空间四点．在A B C △中，2AB AC BC ===，． 等边三角形AD B 以A B 为轴运动．（Ⅰ）当平面AD B ⊥平面ABC 时，求C D ； （Ⅱ）当AD B △转动时，是否总有AB C D ⊥？证明你的结论．19．（本小题满分12分）设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ， 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，．DBAC（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与P Q共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22．请考生在Ａ、Ｂ两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知A P 是O 的切线，P 为切点，A C 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在P A C ∠的内部，点M 是B C 的中点． （Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求O A M A P M ∠+∠的大小．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（宁夏、 海南卷） 参考答案1、【答案】：A【分析】：由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B = {}|2x x >-.2、【答案】：C【分析】：p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x > .3、【答案】：A【分析】：π()sin 232f ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 排除Ｃ。

也可由五点法作图验证。

4、【答案】：D 【分析】：1322-=a b (12).-，AASCB5、【答案】：C【分析】：由程序知，15021222502502550.2S +=⨯+⨯++⨯=⨯⨯=6、【答案】：B【分析】：曲线223y x x =-+的顶点是(12)，，则：1, 2.b c ==由a b c d ，，，成等比数列知，12 2.ad bc ==⨯=7、【答案】：C【分析】：由抛物线定义，2132()()(),222p p p x x x +=+++即：2132FP FP FP =+．8、【答案】：B 【分析】：如图，180********.33V =⨯⨯⨯=9、【答案】：C 【分析】：22cos 2cos sin cos )π2sin 42αααα-==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭1c o s s i n.2αα⇒+= 10、【答案】：D【分析】：(),x x y e e ''⇒==曲线在点2(2)e ，处的切线斜率为2e ，因此切线方程为22(2),y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(1,0),(0,),A B e -所以：2211.22AOB eS e ∆=⨯⨯=11、【答案】：D【分析】：如图，2,90,,AB r AC B BC ⇒=∠==31111,3323A B C V SO S r r ∆∴=⨯⨯=⋅⋅=三棱锥333441,::4.333V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥12、【答案】：B 【分析】：(78910)58.5,20x +++⨯== 甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(101.25,20s ⨯-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +⨯++⨯==乙2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s ⨯-+-+⨯-+-== (710)4(89)68.5,20x +⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ⨯-+-+⨯-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得13、【答案】：3【分析】：如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ， 则：||||6 3.||||2OF FC c OA AB a=⇒==14、【答案】：-1【分析】：(1)(1)2(1)0, 1.f f a a =-⇒+=∴=- 15、【答案】：44i -【分析】：238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++= 16、【答案】：12【分析】：46563,a a a +=⇒=1515135510 1.22a a a S a ++=⨯=⨯=⇒=511.512a a d -∴==-17、解：在BC D △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC C D BD CC BD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBDβαβ∠==∠+·．在A B C R t △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18、解：（Ⅰ）取A B 的中点E ，连结DE CE ，， 因为AD B 是等边三角形，所以D E AB ⊥． 当平面AD B ⊥平面ABC 时， 因为平面ADB 平面ABC A B =， 所以D E ⊥平面ABC ，DA可知D E C E ⊥由已知可得1D E EC ==，在D E C R t △中，2CD ==．（Ⅱ）当AD B △以A B 为轴转动时，总有AB C D ⊥． 证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段A B 的垂直平分线上，即AB C D ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB D E ⊥．又因A C B C =，所以A B C E ⊥．又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面C D E ，由C D ⊂平面C D E ，得AB C D ⊥． 综上所述，总有AB C D ⊥．19、解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞． （Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++．当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭． 又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 20、解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤．构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．21、解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=， 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ②又1212()4y y k x x +=++． ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，．所以OA OB + 与P Q共线等价于1212()6()x x y y +=+，将②③代入上式，解得34k =-．由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ． 22（A ）、（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为A P 与O 相切于点P ，所以O P A P ⊥． 因为M 是O 的弦B C 的中点，所以O M B C ⊥． 于是180O PA O M A ∠+∠=°．由圆心O 在P A C ∠的内部，可知四边形APO M 的对角互补， 所以A P O M ，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以O A M O P M ∠=∠．由（Ⅰ）得O P A P ⊥．由圆心O 在P A C ∠的内部，可知90O PM APM ∠+∠=°． 所以90O AM APM ∠+∠=°．22（B ）、解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，． 过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．A。