第2章时间价值与风险报酬
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或 F=2000×[(F/A，6%，6+1)-1]=2000× (8.3938-1) =14787.6(元)
② 预付年金的现值计算 先付年金的现值，是指一定时期内，每期期初等额的 系列收付款项的复利现值和。计算公式为： P=A×(P/A，i，n) ×(1+i)
1 (1 i ) n ]×(1+i) P =A×[ i
A ...
A
A
0
1
2
3
n-1
n
普通年金和预付年金对比示意图
从图可见，n期的预付年金与n期的普通年金，其收付款次 数是一样的，只是收付款时点不一样。如果计算年金终值，预 付年金要比普通年金多计一期的利息；如果计算年金现值，则 预付年金要比普通年金少折现一期，因此，只要在普通年金的
现值、终值的基础上，乘上(1+i)便可计算出预付年金的终值与
上述计算可表明，该生产线投产以后预计在今后10年间每 年的收益至少应该为53.097万元时，这项投资才合算。
⑶ 预付年金 先付年金，亦称预付年金，即在每期期初收付款项的年金。它与普通
年金的区别仅在于收付款的时点不同。如图2-3所示：
普通年金 A A A ．．． A A
0
1
2
3
n-1
n
预付年金 A
A
在年金和不等额现金流量混合的情况下，能用年金公示计算现值便用年金公
式计算；不能用年金计算的部分便用复利公式计算，然后把它们汇总，便得出年 金和不等额现金流量混合情况下的现值。
【例2-12】顺通公司现有一个投资项目，投产后每年获得的现金流见表2-2
(2) 复利现值是指未来某一时点上的一笔资金按复利计算的现在价 值。复利现值是复利终值的逆运算,其计算公式为:
P=F× (1 i ) - n
其中，
(1 i ) - n
= ( P / F，i，n)
称为复利现值系数，记作
( P / F，i，n)
，可以直接从复利现值系
数表中查出其值。
【例2-2】 李强到银行办理整存整取，想在5年后从银行 取得10 000元，银行存款年利率为10%，按年复利，问他现 在应存入多少元钱？ 解：P=10 000×(1+10%)5=10 000×0.621=6 210（元）
第2章时间价值与风险报酬
本章学习目标
(1) 掌握资金时间价值观念 (2) 掌握复利终值和现值的计算 (3) 掌握各种年金终值和现值的计算 (4) 掌握风险和收益的含义以及风险和收益的衡量
2.1 资金时间价值
2.1.1 资金时间价值理论 2.1.2 资金时间价值的计算 1. 单利和复利 利息的计算有单利和复利两种方法。单利是指在一定时
递延期期末的现值，再将此现值折现到第一期期初。 P=A×(P/A，i，n)×(P/F，1，m)
i
i
计算方法二：先计算m+n期的普通年金的现值，再扣除实 际并未发生递延期(m期)的普通年金现值，即可求得递延年金 现值。 P=A×[(P/A，i，m+n)－(P/A，i，m)]
计算方法三：先计算递延年金的终值,再将其折算到第一
投资额（万元）1000
2000
1500
3000
解：投资额现值=1000＋2000(PF,10%,1)＋1500(PF,10%,2)
＋3000(PF,10%,3)
=1000＋2000× 0.909＋1500×0.826＋3000×0.751 =631（万元）
2. 年金和不等额现金流量混合情况下的现值
递延年金终值的大小，与递延期无关，只与收付期有关，
它的计算方法与普通年金终值相同。 F=A×(F/A，i，n)
递延年金的现值的计算 递延年金现值的计算方法有三种： 假设最初有m年没有收付款项，后面n年的每年年底，有 年金为A，则该递延普通年金的现值为：
计算方法一：把递延年金视为n期的普通年金，先求出在
……….
第n-1年年末A折算到第n年末的终值为
第n年年年末A折算到第n年末的终值为
经算整理：
(1 i ) 1 FA i
n
=（F/A,i，n)
，
【例2-3】 顺通公司拟于5年后，购置一台预计价值800万 元的大型变压机组。现每年从利润中留存150万元存入银行 作为专项基金，按银行复利计息，年利率为8%。问5年后这 笔基金是否能够购买大型变压机组？ 每年从利润留成中存入银行的款项均相等，表现为年金， 求5年后的价值，即为年金终值。 解：F=150×(F/A，8%，5)= 150×5.866=879.9（万元） 上述计算可表明，该公司每年年末从利润中留出150万元 存入银行，银行复利计息，年利率8%，5年后这笔基金为 879.9
1 (1 i ) n i
【例2-10】 某职业技术学院准备建立一种永久性奖学金 制度，初步计算每年需10万元，若银行复利计息，年利率为 5%。问现在应存入银行多少元钱？ 思路：永久性奖学金每年需支付10万元，表现为永续年金
，求现在存多少元钱，即为求现值。
10 解：P= 5%
=200（万元）
元，现在应存入银行2 879元钱（银行复利计息，年利率为5%
）。
⑸ 永续年金
永续年金是指无限期收付的年金。例如无期限的附息
债券可视为永续普通年金。 由于假设永续年金没有终止的时间，因此不存在终值, 只存在现值。永续年金的现值计算公式可由 得出。
设每年的年金为A，年复利率为i，则该永续（普通）
年金现值为： P=A×
现值。
① 预付年金的终值计算
预付年金的终值，是指一定时期内，每期期初等额
的系列收付款项的复利终值和。其值可以在普通年金终 值的基础上做适当的调整然后计算得出。计算公式为： F=A×（F/A，i，）×(1+i) F=A×
(1 i ) n 1 i
×(1+i)
即
(1 i ) n 1 百度文库 =A×[ i
期
内指根据本级计算利息，当前产生的利息在下一期不作为本金 ，不重复计算利息。而复利则是不仅本金要计算利息，利息也 要计算利息，即俗称的 “利滚利”。
2. 复利的计算 (1) 复利终值。复利终值是指一定量的本金加上 按复利计算的若干期内所得利息的总数。其一般计算 公式为：
n F＝ P (1 i)
A A .. . A m+n
0
1
2
.. .
m-1
m
m+1 m+2 连续期
递延期
A
0 1
A 2 .. .
A
m-1
A
m
A m+ 1
A
m+2 .. .
A
m+n
从图中可知，递延年金与普通年金相比，尽管期限一 样，都是m+n期，但普通年金在m+n期内，每个期末都要发生 等额收付款。而递延年金在m+n期内，前m期无等额收付款项 发生,称为递延期。只在后n期才发生等额收付款。
万元，高于预计价值800万元，能够购买大型变压机组。
②年偿债基金的计算 偿债基金是指为了在未来某一时点偿还一定的金额 而提前在每年年末存入相等的金额。它是年金终值的逆 运算，亦属于已知整取求零存的问题，即由已知的年金
终值F，求年金A。计算公式如下：
i AF n (1 i ) 1
所以上式也可表示为： A=F×(A/F，i，n)=F×[1/(F/A,i ,n)]
年 年初，即可求得递延年金的现值。
P=A×(F/A，i，n)×(P/F，i，m+n)
【例2-9】 某人今年已30岁，打算从现在开始存入银行一 笔款项作为退休养老金，准备30年后每年年末从银行提取1 000 元，连续提取20年，银行复利计息，年利率为5%。问他现在
应存入银行多少元钱？
解：P1 000(PA,5%,20)(PF,5%,30)1 00012.4620.2312 879（元 ） 上述计算可表明，在60岁退休，并连续20年每年支取1 000
A。计算公式如下：
A=P
i 1 (1 i ) n
A=P×(A/P，i，n)=P×[1/(P/A，i，n)]
【例2-6】 顺通公司拟筹资300万元，用于投资一条生产线。 公司要求的最低投资报酬率是12%，该生产线投产以后预计在 今后10年间每年的收益至少应该为多少时，这项投资才合算？ 解：因为300A´(A/P，12%，10%)A´5.650， 所以A =53.097（万元）
③普通年金现值的计算 普通年金现值是指一定时期内每期期末取得或付出 相等金 额的复利现值之和。
按照复利的现值计算原理，经推导整理可得：
1 (1 i ) n =A(P/A,i,n) P A i
【例2-5】 顺通拟筹资300万元，用于投资一条生产线。 该生产线投产以后预计在今后的10年间每年的收益为35万元， 公司要求的最低投资报酬率是12%，问这项投资是否合算？ 因生产线投产以后预计的每年收益均为35万元，表现为年
=3911.94(元)
或 P=5000×[(P/A,6%,8-1)+1] = 5000×（5.5824+1） =32912(元)
⑷ 递延年金
递延年金是指第一次收付款发生时间不在第一期期末,，而
是在第二期或第二期以后才开始发生的等额系列收付款项。它 是普通年金的特殊形式。递延年金与普通年金的区别如图所示 。
3. 年金的概念与计算
⑴ 年金的概念 年金是指一定时期内，以相同的时间间隔连续发生的等 额 收付款项，通常以A表示。折旧、利息、租金、保险费等通常
表现为年金的形式。根据年金发生时点的不同，年金可分为普
通年金（后付年金）、先付年金（即付年金，也称为预付年金 ）、递延年金（延期年金）和永续年金（永久年金，或无限支 付年金）。
= P ( F / P，i，n)
式中，F为本利和，也即资金的终值，P为本金 ，也即现值，i为利率，n为期数。
【例2-1】 李强到银行办理整存整取，存入款项1 000元
，5年期，银行存款年利率为10%，按年复利，问5年后李强
能从银行得到多少元钱？ 解：F=1 000 × ( F / P， %， =1 000×1.610=1 610（元） 10 5)
【例2-4】 顺通公司拟于5年后，购置一台预计价值800万 元的大型变压机组。现每年从利润中留存一部分款项存入 银行作为专项基金，按银行复利计息，年利率8%。问每年 从利润中留存多少款项？ 解：因为800=A×(A/F，8%，5)= A×5.866， 所以A= 136.38（万元） 上述计算可表明，该公司每年年末从利润中留出136.38万 元存入银行，银行复利计息，年利率8%，5年后这笔基金为 800万元，可以购买大型变压机组。
金，可以用年金现值公式求每年收益的现值之和。
解：P=35×(P/A，12%，10) =35×5.650=197.75（万元） 每年收益的现值之和为197.75万元，小于拟筹资额300万 元 ，这项投资不合算。
④年资本回收额的计算 年资本回收额是指在一定时期内，等额回收初始投入 资本或清偿所欠债务的金额。它是年金现值的逆运算，亦 属于已知整存求零取的问题。即由已知年金现值P，求年金
⑵ 普通年金 ①普通年金终值的计算 普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收入或支出款 项的复利终值之和。若F为本利和，A为年金，i为利率，n为
期
限，则普通年金终值如图所示。
A
0 1 2
A
3
A
A A
n-1 n
第1年年末的A折算到第n年末的终值为
第2年年末的A折算到第n年末的终值为
第3年年末的A折算到第n年末的终值为
-1]
上式预付年金终值的计算公式也可表示为： F=A×〔(F/A，i，n+1)-1〕
【例2-7】 某人连续每年年初存入银行2 000元，连续存6 年，年利率为6%，则到第6年末的本利和是多少？ 解： F=2000×（F/A，6%，6）×（1+6%）
=2000×6.9753×1.06=14787.636(元)
1 (1 i ) ( n 1) 1] =A× [ i
上式预付年金现值的计算公式也可表示为：
P=A×[(P/A，i，n-1)+1]
【例2-8】 某企业租用一台机器8年，每年年初要支付租 金5 000元，年利率为6%，这些租金相当于现在一次性支付多 少钱？ 解： P=5000×(P/A,6%,8) ×(1+6%)=5000×6.2098×1.06
上述计算可表明，只要现在存入银行200万元，就能建立 一项永久性奖学金制度，每年支付10万元。
2.1.3 资金时间价值计算的特殊问题
1. 不等额现金流量现值的计算 【例2-11】 顺通公司现有一个投资项目（见表2-1）。银行借款利
率为10%，求项目的投资额现值。
表2-1 大华公司投资项目资料表 投资期（年） 0 1 2 3
② 预付年金的现值计算 先付年金的现值，是指一定时期内，每期期初等额的 系列收付款项的复利现值和。计算公式为： P=A×(P/A，i，n) ×(1+i)
1 (1 i ) n ]×(1+i) P =A×[ i
A ...
A
A
0
1
2
3
n-1
n
普通年金和预付年金对比示意图
从图可见，n期的预付年金与n期的普通年金，其收付款次 数是一样的，只是收付款时点不一样。如果计算年金终值，预 付年金要比普通年金多计一期的利息；如果计算年金现值，则 预付年金要比普通年金少折现一期，因此，只要在普通年金的
现值、终值的基础上，乘上(1+i)便可计算出预付年金的终值与
上述计算可表明，该生产线投产以后预计在今后10年间每 年的收益至少应该为53.097万元时，这项投资才合算。
⑶ 预付年金 先付年金，亦称预付年金，即在每期期初收付款项的年金。它与普通
年金的区别仅在于收付款的时点不同。如图2-3所示：
普通年金 A A A ．．． A A
0
1
2
3
n-1
n
预付年金 A
A
在年金和不等额现金流量混合的情况下，能用年金公示计算现值便用年金公
式计算；不能用年金计算的部分便用复利公式计算，然后把它们汇总，便得出年 金和不等额现金流量混合情况下的现值。
【例2-12】顺通公司现有一个投资项目，投产后每年获得的现金流见表2-2
(2) 复利现值是指未来某一时点上的一笔资金按复利计算的现在价 值。复利现值是复利终值的逆运算,其计算公式为:
P=F× (1 i ) - n
其中，
(1 i ) - n
= ( P / F，i，n)
称为复利现值系数，记作
( P / F，i，n)
，可以直接从复利现值系
数表中查出其值。
【例2-2】 李强到银行办理整存整取，想在5年后从银行 取得10 000元，银行存款年利率为10%，按年复利，问他现 在应存入多少元钱？ 解：P=10 000×(1+10%)5=10 000×0.621=6 210（元）
第2章时间价值与风险报酬
本章学习目标
(1) 掌握资金时间价值观念 (2) 掌握复利终值和现值的计算 (3) 掌握各种年金终值和现值的计算 (4) 掌握风险和收益的含义以及风险和收益的衡量
2.1 资金时间价值
2.1.1 资金时间价值理论 2.1.2 资金时间价值的计算 1. 单利和复利 利息的计算有单利和复利两种方法。单利是指在一定时
递延期期末的现值，再将此现值折现到第一期期初。 P=A×(P/A，i，n)×(P/F，1，m)
i
i
计算方法二：先计算m+n期的普通年金的现值，再扣除实 际并未发生递延期(m期)的普通年金现值，即可求得递延年金 现值。 P=A×[(P/A，i，m+n)－(P/A，i，m)]
计算方法三：先计算递延年金的终值,再将其折算到第一
投资额（万元）1000
2000
1500
3000
解：投资额现值=1000＋2000(PF,10%,1)＋1500(PF,10%,2)
＋3000(PF,10%,3)
=1000＋2000× 0.909＋1500×0.826＋3000×0.751 =631（万元）
2. 年金和不等额现金流量混合情况下的现值
递延年金终值的大小，与递延期无关，只与收付期有关，
它的计算方法与普通年金终值相同。 F=A×(F/A，i，n)
递延年金的现值的计算 递延年金现值的计算方法有三种： 假设最初有m年没有收付款项，后面n年的每年年底，有 年金为A，则该递延普通年金的现值为：
计算方法一：把递延年金视为n期的普通年金，先求出在
……….
第n-1年年末A折算到第n年末的终值为
第n年年年末A折算到第n年末的终值为
经算整理：
(1 i ) 1 FA i
n
=（F/A,i，n)
，
【例2-3】 顺通公司拟于5年后，购置一台预计价值800万 元的大型变压机组。现每年从利润中留存150万元存入银行 作为专项基金，按银行复利计息，年利率为8%。问5年后这 笔基金是否能够购买大型变压机组？ 每年从利润留成中存入银行的款项均相等，表现为年金， 求5年后的价值，即为年金终值。 解：F=150×(F/A，8%，5)= 150×5.866=879.9（万元） 上述计算可表明，该公司每年年末从利润中留出150万元 存入银行，银行复利计息，年利率8%，5年后这笔基金为 879.9
1 (1 i ) n i
【例2-10】 某职业技术学院准备建立一种永久性奖学金 制度，初步计算每年需10万元，若银行复利计息，年利率为 5%。问现在应存入银行多少元钱？ 思路：永久性奖学金每年需支付10万元，表现为永续年金
，求现在存多少元钱，即为求现值。
10 解：P= 5%
=200（万元）
元，现在应存入银行2 879元钱（银行复利计息，年利率为5%
）。
⑸ 永续年金
永续年金是指无限期收付的年金。例如无期限的附息
债券可视为永续普通年金。 由于假设永续年金没有终止的时间，因此不存在终值, 只存在现值。永续年金的现值计算公式可由 得出。
设每年的年金为A，年复利率为i，则该永续（普通）
年金现值为： P=A×
现值。
① 预付年金的终值计算
预付年金的终值，是指一定时期内，每期期初等额
的系列收付款项的复利终值和。其值可以在普通年金终 值的基础上做适当的调整然后计算得出。计算公式为： F=A×（F/A，i，）×(1+i) F=A×
(1 i ) n 1 i
×(1+i)
即
(1 i ) n 1 百度文库 =A×[ i
期
内指根据本级计算利息，当前产生的利息在下一期不作为本金 ，不重复计算利息。而复利则是不仅本金要计算利息，利息也 要计算利息，即俗称的 “利滚利”。
2. 复利的计算 (1) 复利终值。复利终值是指一定量的本金加上 按复利计算的若干期内所得利息的总数。其一般计算 公式为：
n F＝ P (1 i)
A A .. . A m+n
0
1
2
.. .
m-1
m
m+1 m+2 连续期
递延期
A
0 1
A 2 .. .
A
m-1
A
m
A m+ 1
A
m+2 .. .
A
m+n
从图中可知，递延年金与普通年金相比，尽管期限一 样，都是m+n期，但普通年金在m+n期内，每个期末都要发生 等额收付款。而递延年金在m+n期内，前m期无等额收付款项 发生,称为递延期。只在后n期才发生等额收付款。
万元，高于预计价值800万元，能够购买大型变压机组。
②年偿债基金的计算 偿债基金是指为了在未来某一时点偿还一定的金额 而提前在每年年末存入相等的金额。它是年金终值的逆 运算，亦属于已知整取求零存的问题，即由已知的年金
终值F，求年金A。计算公式如下：
i AF n (1 i ) 1
所以上式也可表示为： A=F×(A/F，i，n)=F×[1/(F/A,i ,n)]
年 年初，即可求得递延年金的现值。
P=A×(F/A，i，n)×(P/F，i，m+n)
【例2-9】 某人今年已30岁，打算从现在开始存入银行一 笔款项作为退休养老金，准备30年后每年年末从银行提取1 000 元，连续提取20年，银行复利计息，年利率为5%。问他现在
应存入银行多少元钱？
解：P1 000(PA,5%,20)(PF,5%,30)1 00012.4620.2312 879（元 ） 上述计算可表明，在60岁退休，并连续20年每年支取1 000
A。计算公式如下：
A=P
i 1 (1 i ) n
A=P×(A/P，i，n)=P×[1/(P/A，i，n)]
【例2-6】 顺通公司拟筹资300万元，用于投资一条生产线。 公司要求的最低投资报酬率是12%，该生产线投产以后预计在 今后10年间每年的收益至少应该为多少时，这项投资才合算？ 解：因为300A´(A/P，12%，10%)A´5.650， 所以A =53.097（万元）
③普通年金现值的计算 普通年金现值是指一定时期内每期期末取得或付出 相等金 额的复利现值之和。
按照复利的现值计算原理，经推导整理可得：
1 (1 i ) n =A(P/A,i,n) P A i
【例2-5】 顺通拟筹资300万元，用于投资一条生产线。 该生产线投产以后预计在今后的10年间每年的收益为35万元， 公司要求的最低投资报酬率是12%，问这项投资是否合算？ 因生产线投产以后预计的每年收益均为35万元，表现为年
=3911.94(元)
或 P=5000×[(P/A,6%,8-1)+1] = 5000×（5.5824+1） =32912(元)
⑷ 递延年金
递延年金是指第一次收付款发生时间不在第一期期末,，而
是在第二期或第二期以后才开始发生的等额系列收付款项。它 是普通年金的特殊形式。递延年金与普通年金的区别如图所示 。
3. 年金的概念与计算
⑴ 年金的概念 年金是指一定时期内，以相同的时间间隔连续发生的等 额 收付款项，通常以A表示。折旧、利息、租金、保险费等通常
表现为年金的形式。根据年金发生时点的不同，年金可分为普
通年金（后付年金）、先付年金（即付年金，也称为预付年金 ）、递延年金（延期年金）和永续年金（永久年金，或无限支 付年金）。
= P ( F / P，i，n)
式中，F为本利和，也即资金的终值，P为本金 ，也即现值，i为利率，n为期数。
【例2-1】 李强到银行办理整存整取，存入款项1 000元
，5年期，银行存款年利率为10%，按年复利，问5年后李强
能从银行得到多少元钱？ 解：F=1 000 × ( F / P， %， =1 000×1.610=1 610（元） 10 5)
【例2-4】 顺通公司拟于5年后，购置一台预计价值800万 元的大型变压机组。现每年从利润中留存一部分款项存入 银行作为专项基金，按银行复利计息，年利率8%。问每年 从利润中留存多少款项？ 解：因为800=A×(A/F，8%，5)= A×5.866， 所以A= 136.38（万元） 上述计算可表明，该公司每年年末从利润中留出136.38万 元存入银行，银行复利计息，年利率8%，5年后这笔基金为 800万元，可以购买大型变压机组。
金，可以用年金现值公式求每年收益的现值之和。
解：P=35×(P/A，12%，10) =35×5.650=197.75（万元） 每年收益的现值之和为197.75万元，小于拟筹资额300万 元 ，这项投资不合算。
④年资本回收额的计算 年资本回收额是指在一定时期内，等额回收初始投入 资本或清偿所欠债务的金额。它是年金现值的逆运算，亦 属于已知整存求零取的问题。即由已知年金现值P，求年金
⑵ 普通年金 ①普通年金终值的计算 普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收入或支出款 项的复利终值之和。若F为本利和，A为年金，i为利率，n为
期
限，则普通年金终值如图所示。
A
0 1 2
A
3
A
A A
n-1 n
第1年年末的A折算到第n年末的终值为
第2年年末的A折算到第n年末的终值为
第3年年末的A折算到第n年末的终值为
-1]
上式预付年金终值的计算公式也可表示为： F=A×〔(F/A，i，n+1)-1〕
【例2-7】 某人连续每年年初存入银行2 000元，连续存6 年，年利率为6%，则到第6年末的本利和是多少？ 解： F=2000×（F/A，6%，6）×（1+6%）
=2000×6.9753×1.06=14787.636(元)
1 (1 i ) ( n 1) 1] =A× [ i
上式预付年金现值的计算公式也可表示为：
P=A×[(P/A，i，n-1)+1]
【例2-8】 某企业租用一台机器8年，每年年初要支付租 金5 000元，年利率为6%，这些租金相当于现在一次性支付多 少钱？ 解： P=5000×(P/A,6%,8) ×(1+6%)=5000×6.2098×1.06
上述计算可表明，只要现在存入银行200万元，就能建立 一项永久性奖学金制度，每年支付10万元。
2.1.3 资金时间价值计算的特殊问题
1. 不等额现金流量现值的计算 【例2-11】 顺通公司现有一个投资项目（见表2-1）。银行借款利
率为10%，求项目的投资额现值。
表2-1 大华公司投资项目资料表 投资期（年） 0 1 2 3