根的存在性证明(零点定理)
方程的根与零点定理
解决不等式问题
利用零点定理，我们可以找到满足不等式条件的$x$ 的取值范围。
求解函数的极值
通过寻找函数零点，我们可以确定函数的极值点。
零点定理与方程根的关系
零点定理是求解方程根的一种重要工具，通过寻找函数零点，我们可以找到方程的近似解。
对未来学习的思考与展望
深入学习数学分析
我希望能够深入学习数学分析， 掌握更多的定理和证明方法，提
高自己的数学素养。
拓展应用领域
我希望能够将所学的数学知识应用 到更多的领域中，如物理学、工程 学等，为实际问题提供解决方案。
持续思考与创新
在学习过程中，我会不断思考和创 新，探索更多的数学奥秘和应用前 景。
个，因此需要全面考虑各种情况。
05 总结与思考
本章重点回顾
方程的根的概念
01
方程的根是指使方程成立的未知数的值。
零点定理的应用
02
零点定理是数学分析中的一个基本定理，它指出如果连续函数
在区间两端取值异号，则在该区间内至少存在一个零点。
方程的根与零点定理的关系
03
通过零点定理，我们可以找到方程的根所在的区间，从而逼近
03 零点定理
定义与性质
定义
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) cdot f(b) < 0$，则称$f(x)$ 在区间$(a, b)$内至少有一个零点。
性质
零点定理表明，如果函数在区间的两 端取值异号，则函数在该区间内至少 存在一个零点。
零点定理的应用
确定方程的根
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专题9 方程根的存在性及个数--考研数学
2021考研高等数学17堂课主讲 武忠祥 教授专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根. 方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。
根的存在性证明(零点定理)
根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。
证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。
先将[a,b]二等分为],2[],2,[b b a b a a ++，如果0)2(=+b a f 。
则定理获证。
如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2(b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。
又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。
如果中点的函数值为零，则定理获证。
如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为],[22b a ，它满足[a,b]⊃[11,b a ]],[22b a ⊃，0)()(222222<-=-a f b f a b a b 且。
采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。
或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:①[a,b]⊃[11,b a ]⋅⋅⋅⊃⊃],[22b a ；②nn n a b a b 2-=-；③0)()(<n n a f b f 。
由单调有界定理，可以得到],[lim lim b a b a n n n n ∈==∞→∞→ξ，如果0)(=ξf ，则定理获证。
如果0)(≠ξf ，因为f(x)在ξ点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0>δ，使得f(x)在],[),(b a ⋂+-δξδξ上与)(ξf 同号。
根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时，],[),(],[b a b a n n ⋂+-⊂δξδξ。
考研数学-专题9 方程根的存在性及个数
专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根.方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。
利用零点定理证明方程在区间内实根存在性问题分析研究
利用零点定理证明方程在区间内实根存在性问题分析研究零点定理（Rolle's theorem）是数学中一个重要定理，它有助于我们证明函数在某一给定区间中是否存在实数根，从而在针对实现某个特定功能的方程组中取得更进一步的瓣解。
简言之，零点定理可以用来验证某一方程在某个区间内是否存在实数根。
零点定理的基本原理是：若满足条件的函数在闭区间[a,b]上连续，并且α,beta 分别为a,b 在函数f(x) 的值均为0 的点，则在[a, b] 将存在某个点c 使得f ' (c)= 0。
一般来讲，零点定理可以应用于有理函数，但有时也可以证明初等函数在给定区间上有实数根。
其重要性不言而喻，尤其是在几何学中，某些正弦波、余弦波和正切的性质的证明等都深受其影响。
而在统计学、抽样理论等方面也有着广泛的应用。
通过分析定理的定义和原理，可以发现，区间[a,b]的限定性是零点定理的关键要素，将定义和原理部分改写一下：若满足条件的函数在闭区间[a,b]上连续，并且已知f(a)和 f(b)分别为有限数量的常数，则在[a, b] 中将存在某个点c使得f ' (c)= 0，也即在[a, b] 中是存在一个根。
也可以说，若函数在某一给定的区间[a,b] 上连续，且在a,b的端点的值不等式，那么函数在该区间内存在至少一个实数根。
事实上，当使用零点定理时，应尽量选定集合[a,b]，使其能够局限性地描述函数，这样可以在较短的运算时间内有效地计算。
另外，当函数不能被完全归纳到有理函数中时，也可以使用零点定理来证明函数实根存在性问题。
至此，可以看出，零点定理在证明函数实根存在性问题方面具有显著的作用。
零点存在定理
零点存在定理零点存在定理是微积分学中一个重要的定理，用于证明在某些特定条件下，一个连续函数在定义域内至少存在一个根（即函数曲线与X轴相交的点）。
这个定理的证明经过了漫长的发展和完善，现在已经成为微积分学中基本的工具之一。
零点存在定理的最初形式是由17世纪法国数学家Rolles提出的，后来被推广到更一般的情况。
当然，像其它许多定理一样，不同的证明方法也相继出现。
今天，我们的证明方法按照经典传统来自Rolles的带状取值原理，这个原理，对于满足一定条件的连续函数，可以找到一个带状区域，其中的函数值就不会变号，故其中存在至少一个零点。
首先，假设f(x)在区间[a,b]上连续。
如果f(a)和f(b)符号相同，那么f(x)在[a,b]上没有根。
因此，我们只考虑f(a)和f(b)符号不同的情况。
现在假设f(a) < 0且f(b) > 0。
由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据最大值与最小值定理，f(x)在该区间上必有一个最小值。
不妨设这个最小值为f(c)，其中a < c < b。
现在考虑分两种情况。
第一种情况，f(c) < 0。
因为f(x)在区间[a,c]上连续且有限，所以根据带状取值原理，f(x)在[a,c]上的每一个值都小于f(b)，也就是说，在[a,c]上不存在f(x) = 0的解。
但是，在[c,b]上，f(x)的取值范围为[c,b]中的一个闭区间。
由于f(c) < 0且f(b) > 0，所以这个闭区间中必须至少存在一个点，使得f(x) = 0，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。
第二种情况，f(c) > 0。
这种情况下，我们对f(x)作一个取反处理，得到一个新的连续函数g(x) = -f(x)。
由于g(a) > 0且g(b) < 0，且g(x)也在区间[a,b]上连续，那么根据上面的分析，存在一个零点，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。
根的存在性定理及简单应用
< （请用＜或＞填空） 有 有/无)零点； f (c) · f (d ) _____0 3 在区间 [c, d ] 上______( ○ ．
观察探究以上两个函数 f ( x) 在有零点的区间端点函数值的符号有何规律？你能从 中 得出什么样的结论？ ●归纳概括 综上所述可得，零点存在定理:
二、探究新知
例 1. 函数 f ( x) ln x A. (1，2)； 解： ●解后反思 ●变式练习
2 的零点所在的大致区间是( B ) x
C. 1 (1， )和(3，4)； e D. (e，＋∞)．
B. (2，3)；
该题中函数的结构怎样？求解的方法怎样？依据是什么？还有方法吗？ 方程 2
x
x 2 的解所在区间是（
例2几何画板-1.gsp
解后反思 求函数 y 里？还有方法？ ●变式练习
f ( x) 的零点的本质是什么？解 此方程 x3 7 x 6 0 的关键在哪
请问下列函数有零点吗？若有，指出零点所在的大致区间为？
(1) f ( x) x3 3x 5； (2) f ( x) e x1 4x 4.
（Ⅱ）观察下面函数 y
f ( x) 的图象
1 在区间 [a, b] 上______( ○ 有 有/无)零点；
f (a ) · f (b) _____0 ． < （请用＜或＞填空）
2 在区间 [b, c] 上______( ○ ． < （请用＜或＞填空） 有 有/无)零点； f (b) · f (c) _____0
一、学习准备
上节课我们学习了函数零点的概念及求一些简 单函数零点的方法，请会回顾后回答： 1.什么是函数的零点？它与方程的根有什么关 系？2.求函数零点有哪些思想方法？ 3.你能判断方程 ln(x 1) 2x 6 0 有根吗？若有根，根 唯一吗？这些根在什么区间上呢？（链接 1）这就 是本节课我们要研究的问题！
判别代数方程根的存在性的几种方法
判别代数方程根的存在性的几种方法摘要：代数方程通常指整式方程，即由多项式组成的方程。
有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和无理方程。
在数学学习中，常常要计算一些代数方程的解，然而在解代数方程时，我们首先就要判断这类方程的解的存在性。
本文从复变函数论、连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、Kronecker定理方面判别代数方程根的存在性。
总结前人的研究成果，并略作一些整理，使分散的知识点汇聚在一起，以方便阅读。
关键词：代数方程；根；存在性Several methods ofdetermining the existence of Algebraic EquationWang Sheng-feng，College of Mathematics and Computer Science Abstract：Algebraic equations usually mean equations of integral expression, that is composed of polynomial equations. Sometimes it also refers to the unknown algebraic equations, including equation of integral expression, fractional equation and irrational equation. During learning mathematics, often to calculate the number of algebraic equation, but in solving algebraic equations, we must first determine the existence of solutions of these equations. From the theory of complex functions, continuous functions’zero, polynomial root discriminant, fixed point theorem, Kronecker theorem of algebraic equations determine the root of the problem. We summarize previous research results, and slightly up a bit, so that brings together scattered knowledge points to facilitate reading.Key words：Algebraic equations；Root；Existence1 引言中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。
函数的零点与根的存在性
函数的零点与根的存在性在数学领域中，研究函数的零点与根的存在性是一个重要的问题。
在本文中，我们将讨论函数的零点与根的概念，并探讨一些定理和方法，以判断一个函数是否存在零点或根。
函数的零点与根首先，让我们明确函数的零点与根的定义。
在数学中，对于一个函数 f(x)，如果存在一点 a，使得 f(a) = 0，则我们称 a 是函数的零点。
类似地，如果存在一点 b，使得 f(b) = c，我们称 b 是函数的根。
而 c 则是我们所说的函数的根的值。
对于计算机科学和工程学领域而言，求解函数的零点与根是一个常见的问题。
它在许多应用中都有着重要的作用，如求解方程、优化问题等。
因此，深入理解函数的零点与根的存在性对于我们解决实际问题非常关键。
存在性定理接下来，我们将介绍一些判断函数零点与根是否存在的定理。
1. 零点存在定理：假设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f(a) 和 f(b) 分别是异号的实数。
则在(a, b) 内至少存在一个点 c，使得 f(c) = 0。
该定理也被称为零点定理或Bolzano定理。
它基于连续函数的性质，说明了对于异号的函数值，总会存在一个零点。
这为我们寻找函数的零点提供了理论依据。
2. 根存在定理：设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续。
若 f(a) 和 f(b) 的符号相反，那么存在至少一个点 c，使得 f(c) = 0。
这个定理也是基于连续函数的性质，它指出如果在一个闭区间上，函数的两个端点的函数值符号相反，那么这个函数一定存在一个根。
寻找函数的零点与根的方法有了上述的定理作为支撑，我们可以通过一些方法来寻找函数的零点与根。
1. 图像法：函数的图像可以提供一个直观的视觉参考来判断函数的零点与根的存在性。
通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的表现形式，找到可能存在零点或根的区间。
2. 数值逼近：数值逼近是一种常见的方法，用于计算函数的零点或根。
其中最著名的方法是二分法，它基于零点存在定理。
根的存在性和唯一性的常用证明思路与步骤（以一个习题一题多解为例）
(2)【证法二】：(根的唯一性)因为f’’(x)≤a<0，所以曲线y=f(x)在[0,+∞)上是严格凸的，又 由f(0)=0,f’(x0)=0，可知，x0为f(x)在(0,+∞)内唯一的驻点，且取最大值f(x0)>0. 并且当0<x<x0 时，f(x)严格单调递增，f(x)>0；当x>x0时，f(x)严格单调递减，于是f(x)=0在(0,+∞)内最多有 一个根，且若存在只能在(x0,+∞)内. (根的存在性) f(x)在x0处的一阶泰勒公式为
f(x)=0在0<x<x0内无实根. 当x>x0时，f’(x)<f’(x0)=0，则f(x)在严格单调递减，方程f(x)=0在x>x0时至多只有一个实
根. (根的存在性证明一)由拉格朗日中值定理，有
由于f’(x0)=0，所以
再由拉格朗日中值定理，存在η∈(x0,x)，使得
由于a<0，所以存在x2>x0，使f(x2)<0(参照证明一)，由零点定理，存在c∈(x0,x2)，使 f(c)=0，即方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根x=c． (根的存在性证明二)f(x)在x0处的一阶泰勒公式为
所以
所以由零点定理, 在[x2,x1]上, 可知存在 c∈(x2,x1), 使得 f(c)=0. 所以在[0,c]上使用罗尔定理, 则有x0∈(0,c), 使得f’(x0)=0.
假设除了c外函数还有一个非零的零点x3, 则有0, c, x3为函数f(x)的零点，则两两使用罗尔 定理可得两个一阶导数等于零的点, 对一阶导数结果再使用罗尔定理, 可得存在二阶导数等于 0的点, 所以与二阶导数小于0矛盾，因此函数只有一个非零的零点. 【证明二】 (1)【证明一】：由拉格朗日中值定理，对任意x>0，有 由于f’’(x)≤a<0,x>0，所以存在x1>0，使f’(x1)<0(参考证明一)，故由零点定理可知，存 在x0∈(0,x1)，使f’(x0)=0. (1)【证明二】：拉格朗日中值定理，对任意x>0，并由f’’(x)≤a<0，有
方程的根函数的零点
方程的根（函数的零点）相关结论：零点定理、罗尔定理．证明方程f （x ）＝0的根（即f （x ）的零点）的存在性一般用零点定理或罗尔定理． 考查连续函数f （x ）是否有零点（即方程f （x ）＝0是否有根）通常依据零点定理． 考查可导函数f （x ）是否有零点（即方程f （x ）＝0是否有根），当方程f （x ）＝0可改写成F ′（x ）＝0的形式时，通常依据罗尔定理．一、确定根的存在性【例1】设f （x ）在[0，1）上连续，且0＜f （x ）＜1，证明：方程f （x ）＝1－x 在（0，1）内至少有一个实根．证明：略．【例2】设f （x ）在区间[0，1]上可微，且满足条件dx x xf f )(2)1(210⎰=， 试证在（0，1）内方程f （x ）＋xf ′（x ）＝0有根．分析：要证f （x ）＋xf ′（x ）在（0，1）内有零点，就是要证其原函数F （x ）＝xf （x ）的导数在（0，1）内有零点．如果存在x 1、x 2∈[0，1]，使F （x 1）＝F （x 2），则由罗尔定理知，在（x 1，x 2）内存在ξ，使F ′（ξ），即在（0，1）内方程f （x ）＋xf ′（x ）＝0有根．证明：令F （x ）＝xf （x ），由积分中值定理，存在η∈[0，21]，使 F （1）＝dx x xf f )(2)1(210⎰=＝2·F （η）·（21－0）＝F （η），又F （x ）在[η，1]上连续，在（η，1）内可导，根据罗尔定理，存在ξ∈（η，1）⊂（0，1），使F ′（ξ）＝0，即f （ξ）＋ξf ′（ξ）＝0．在此题中，f （x ）＋xf ′（x ）的原函数很容易看出，是F （x ）＝xf （x ）．在某些情况下，所考虑的函数的原函数很难表示，但所考虑的函数乘以某一因子后，其原函数就容易表示了．【例3】设f （x ）在（－∞，＋∞）内可微，证明：在f （x ）的任何两个零点之间必有f （x ）＋f ′（x ）的一个零点．分析：f （x ）＋f ′（x ）的原函数不易表示，但 e x[f （x ）＋f ′（x ）]的原函数为F （x ）＝e x f （x ），它在f （x ）的任何两个零点之间都满足罗尔定理的条件，若F ′（ξ）＝0，则e ξ[f （ξ）＋ f ′（ξ）]＝0，即f （ξ）＋ f ′（ξ）＝0．要考查方程f （x ）＝0在某区间I 上有多少根，可先找出f （x ）的单调区间，然后再确定在每个单调区间内有无函数f （x ）的零点．（注：单调区间的端点也可能是函数f （x ）的零点）即e ξ[f （ξ）＋ f ′（ξ）]＝0，因为e ξ≠0，所以f （ξ）＋ f ′（ξ）＝0．二、确定根的个数【例4】设常数k ＞0，试确定函数k e x x x f ＋－＝n 1)(在区间（0，＋∞）内零点的个数．解析：k exx x f ＋－＝n 1)(在区间（0，＋∞）上连续． exx e e x x f －＝－＝11)('， 令0)(＝x f '，得唯一驻点x ＝e ．易知f （x ）在（0，e ）内严格单调递增，在（e ，＋∞）内严格单调递减．因为∞++→→＝－＋－＝)n 1(lim )(lim 00k ex x x f x x ， 0n 1)(＞＝＋－＝k k e e e e f ．∞∞→∞→∞→＝－－－－－＝＋－＝)]1n 1([lim )n 1(lim )(lim 000xk e x x x k e x x x f x x x ． 由零点定理知f （x ）在区间（0，e ）及（e ，＋∞）内分别至少有一个零点．再由f （x ）在（0，e ）及（e ，＋∞）上的严格单调性知f （x ）在区间（0，e ）及（e ，＋∞）内分别有且仅有一个零点，因此，函数f （x ）在（0，＋∞）内有两个零点．。
证明方程根的存在性的方法
在数学的研究领域中，求解方程是一个重要的知识点，而证明方程根的存在性又是求解方程的关键一步.本文利用连续函数的介值定理，费马定理，微分中值定理，函数的单调性，最大值与最小值定理，泰勒公式，积分中值定理七种方法来解决这一问题，并给予了相应的方法步骤，例题简析及结论.1 利用连续函数的介值定理1.1 知识回顾：介值性定理：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ¹,若m 为介于()f a 与()f b 之间的任何实数(()f a <m <()f b 或()f a >m >()f b ),则至少存在一点0x Î(,)a b ,使得0()f x m =.根的存在定理:若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号(即()()0f a f b <),则至少存在一点0x Î(,)a b ，使得0()0f x =.1.2 方法步骤：（1）构造合适的辅助函数；（2）选取合适的区间，使辅助函数在区间两端点的函数值不同或符号异号；（3）由介值性定理或根的存在定理得出结论.1.3 例题简析：例1. 设f 在[,]a b 上连续，且满足([,])[,]f a b a b Ì,证明在区间[,]a b 内，方程()f x x=至少有一根.分析： 通过引入一个辅助函数()()F x f x x =-,把原来要证明的()f x x =变为()0F x =,这就相当于证明方程()0F x =的根的存在问题，这种证明方法常见. 证明：令()()F x f x x =-.由于([,])[,]f a b a b Ì, 所以，对任何[,]x a b Î有()a f xb ＃.进而()a f a £,()f b b £. 若()a f a =或()b f b =,则取0x a =或b ,于是方程()f x x =至少有一根a 或b . 若()a f a <与()f b b <,则()()0F a f a a =-> ()()0F b f b b =-<由根的存在性定理得：存在0x Î(,)a b 使得000)()0(x f x F x =-=,即00)(f x x =于是，方程()f x x =在(,)a b 至少有一根0x .综上可得，在闭区间[,]a b 内，方程()f x x =至少有一根.2 利用费马定理2.1 知识回顾:费马定理:设函数f 在点0x 的某领域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为f 的极值点,则必有'0()0f x =.2.2 例题简析:例 2.设函数()f x 在[0,2]上连续,在(0,2)可导,且(0)(2)0,(1)2f f f ===,试证明:对任意的实数l 必至少存在一点(0,2),x Î使得'()[()]1f f x l x x --=.分析：若能确定某一函数()f x 在给定闭区间[0,2]上的最优值必在该区间内部(0,2)达到，则由费马定理即刻可以断定方程'()0f x =在该区间内部(0,2)有一实根. 证明：欲证的结论等价于证明方程''[()()1][(())]0x x f x f x x e f x x e l l l l ---+-=-=在(0,2)内至少存在一实根，则构造辅助函数()(())x F x f x x e l -=-.显然()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且有(0)0F = (1)F e l -= 2(2)2F e l -=-， (2)(0)(1)F F F << 则函数()F x 在开区间(0,2)内点1x =处的函数值(1)F 大于其在端点处函数值(0)F 与(2)F即知在闭区间[0,2]上的连续函数()F x 的最大值必定能在开区间(0,2)内部的某一点x 处取到，于是由费马定理得''()[()()1]0,(0,2)F f f e l x x x l x l x x -=-+-=?因0e l x -¹ ，则原命题成立.2.3 结论：利用费马定理证明方程根的存在性方法是：找一个函数()F x ，使'()()F x f x =，证明()F x 在某点0x 处取到极值且'0()F x 存在.由费马定理知：'0()0F x =，即 0()0f x =.3 利用微分中值定理3.1 知识回顾：(1)罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在区间[,]a b 上连续(ii) f 在区间(,)a b 内可导（iii ）()()f a f b =则在(,)a b 内至少存在一点x ，使得'()f x 0=.（2）拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：(i) f 在闭区间[,]a b 上连续(ii) f 在开区间(,)a b 内可导则在(,)a b 内至少存在一点x ，使得'()f x =()()f b f a b a--. （3）柯西中值定理：设函数f 和g 满足（i ）在区间[,]a b 上都连续(ii) 在区间(,)a b 内都可导（iii ）'()f x 和'()g x 不同时为零(iv)()()g a g b ¹ 则存在x Î(,)a b , 使得''()()f g x x =()()()()f b f ag b g a --. 3.2 方法步骤：（1）根据题设条件，分析运用哪个中值定理；（2）灵活，恰当的构造辅助函数;（3）验证辅助函数是否满足微分中值定理的条件；（4）得出结论.3.3 例题简析：例3. 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明方程'()()(()))(()bf b af a b a f x xf x -=-+在(,)a b 内有根.分析：从证明的目标可发现等式左边分子为()xf x |x b =-()xf x |x a =,若令()()F x xf x =，则方程左边为()()F b F a -是某一函数在两个不同点处的值，可联想到拉格朗日中值定理，且恰好'()F x ='[()]xf x ='(())f x xf x +.证明：作辅助函数()()F x xf x =,则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而在(,)a b 内至少存在一点x ，使()()F b F a b a--='()F x 由于 '()F x ='(())f x xf x +可见 ()()bf b af a b a--= f (x )+x '()f x 即 '()()(()))(()bf b af a b a f f x x x -=-+ 于是方程'()()(()))(()bf b af a b a f x xf x -=-+在(,)a b 内至少有一根.例 4. 设函数()f x 在[0,1]上有二阶导数，且'(0)f =0，试证方程"()f x ='2()1f x x- 在区间(0,1)内有根.分析：所给问题为导函数在区间(0,1)内某点值的问题，可以考虑利用微分中值定理证明，如果将要证明的结论变形为"()f x (1-x )-2'()f x =0,由此认定'()F x ="()f x (1)x --2'()f x ,如果取'()(()1())f x x x F x f -=-,但是()F x 在[0,1]上不满足罗尔定理条件.如果将上式两端同乘以非零函数()G x ,使"'()()(1)2()()G x f x x G x f x x轾--犏臌=0,且()()'G 1x x 轾-臌=2()G x -,则可取()G x =2(1)x -,从而可设()F x =2'(1)()x f x -.证明：设()F x =2'(1)()x f x -,由题设条件可知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)(1)0F F == 由罗尔定理可知，存在x Î(0,1),使得'2"'()(1)()2(1)()F f f x x x x x =---=0由于x ¹1，可知 "'(1)()2()f f x x x --=0 '"2()()1f f x x x =- 即 方程"()f x ='2()1f x x -在区间(0,1)内有根. 3.4 结论：有关导数在区间内某点处值的关系式常可以考虑利用微分中值定理证明.（1）如果关系式中出现某函数的导数在两个不同点处的值，常需两次利用罗尔中值定理或拉格朗日中值定理来证明.（2）如果关系式中出现某函数的二阶导数在某点处值，常可考虑对该函数的导函数利用罗尔中值定理或拉格朗日中值定理来证明.（3）如果某关系式中出现两个函数的导数在某点处值，常可考虑利用柯西中值定理来证明.（4）如果某关系式中出现两个函数的导数在两个不同点处值，常可考虑两次利用柯西中值定理与拉格朗日中值定理证明.4 利用函数的单调性4.1 知识回顾：单调性定理：设()f x 在区间I (I 可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半开半闭区间，也可以是无穷区间)上连续，在I 内部可导（不需要在端点可导）（1）若x I Î内部，'()f x ≥0，则()f x 在区间I 上递增.（2）若x I Î内部，'()f x ≤0，则()f x 在区间I 上递减.（3）若x I Î内部，'()f x =0，则()f x 在区间I 上是常数函数.（4）若x I Î内部，'()f x ＞0，则()f x 在区间I 上严格递增.（5）若x I Î内部，'()f x ＜0，则()f x 在区间I 上严格递减.4.2 方法步骤：求具体连续函数在其定义域上或指定的区间上有几个零值点的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求出导数等于零或导数不存在的点；（3）列表;（4）讨论每个严格单调区间两端函数（或极限）值的情况;（5）结论.4.3 例题简析:例 6. 证明方程0ln 1cos 2x x xdx e p =--ò在区间(0,)+?内有且仅有两个不同的实根.证明: 由20001cos22sin 2sin 22xdx xdx xdx p p p-===蝌?， ln 22ln 220x x x x e e =-?-=. 设()ln 22,x F x x e =--求出F(x) 的单调区间,由于11(),x e F x e x xe -¢=-=令()0,F x ¢=得,x e =且)(x F 无导数不存在的点,下面列表 x0 (0,e) e (,e +?) +? ()F x ¢_ + )(x F0lim ()x F x +®=+?↘ 22- ↗ lim ()x F x ??=+? 由)(x F 在(0,e)内严格递减且在两端点函数(极限)值异号,知在(0,e)仅有一个根,)(x F 在(,)e +?内严格递增且在两端点函数(极限)值异号,知)(x F 在(,)e +?内仅有一个根,故原方程在(0,)+?内有且仅有两个实根.例7. 证明若()0q x <,则方程"()0y q x y +=的任一非零解至多有一个零点. 分析：可考虑用反证法，利用导函数'()y x 是单调函数这一性质找出矛盾. 证明：反证法设1x ,2x 是原方程的一个非零解()y x 的两个相邻的零点，不妨设1x <2x ,且在区间(1x ,2x )内()0y x >.由导数定义，'1()y x =1lim x x +®11()()y x y x x x --³0 '2()y x =2lim x x -®22()()y x y x x x --0£ 而由已知条件"y ()0q x y =-> x Î(1x ,2x ) 即'()y x 是单调增函数，故矛盾.因此，方程"()0y q x y +=的任一非零解至多有一个零点.4.4 结论：（1）利用闭区间上连续函数的介值性定理证明方程根的存在性，这是最常见的证明方法，而在讨论方程根的唯一性问题时，常常利用函数的单调性.（2）若()f x 在区间I 上连续且严格单调，则()f x 在I 内至多有一个零点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则()f x 无零点.若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则()f x 有一个零值点.（3）求具体连续函数()f x 在定义域内零值点的个数：首先求出()f x 的严格单调区间的个数，若有m 个严格单调区间，则至多有m 个不同的零值点.至于具体有几个，按照（2）研究每个严格单调区间是否有一个零值点.。
根的存在定理
根的存在定理以根的存在定理为标题，我们来探讨一下这个重要的数学定理。
根的存在定理是数学中的一个重要定理，也被称为零点定理。
它是关于函数的根（即函数取零值的点）存在与否的一个判定条件。
根的存在定理在数学分析和代数学中有着广泛的应用，对于解方程、研究函数性质等都起到了重要的作用。
我们来看一下根的定义。
对于一个函数f(x)，如果存在一个数a，使得f(a) = 0，那么我们称a为函数f(x)的一个根。
根的存在定理则是判断函数是否存在根的一个重要工具。
根的存在定理有很多不同的形式和表述方式，下面我们介绍其中一种常见的形式——零点定理。
零点定理是根的存在定理的一种特殊情况，它主要是用来判断连续函数是否存在根的。
零点定理的表述如下：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号（即f(a) * f(b) < 0），那么在(a, b)之间一定存在一个根。
这个定理的证明比较复杂，我们在这里不做展开。
但是我们可以通过一个简单的例子来理解这个定理的应用。
假设我们要证明方程x^2 - 3x + 2 = 0在区间[1, 2]上存在一个根。
首先，我们可以计算出f(1) = 0和f(2) = 0，并且f(1)和f(2)异号。
根据零点定理，我们可以得出在(1, 2)之间一定存在一个根。
实际上，我们可以通过解方程x^2 - 3x + 2 = 0来验证这个结论。
解方程得到的解为x = 1和x = 2，而这两个解正好落在了区间[1, 2]之间。
根的存在定理不仅适用于多项式函数，还适用于更一般的函数形式。
只要函数在某个区间上连续，并且函数值在区间的两个端点上异号，那么在这个区间内一定存在一个根。
除了零点定理，根的存在定理还有其他的形式和推广。
比如，拉格朗日中值定理可以看作是根的存在定理的一种推广形式。
拉格朗日中值定理是说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)之间存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间两端点的斜率，即f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
根的存在性定理的一个应用
根的存在性定理的一个应用
根的存在性定理（或者称为求根定理）是指：对于任何实数 a 和b，存在实数x 使得x^2+a*x+b=0。
根的存在性定理的一个常见应用是用来求解一元二次方程的根。
例如，对于方程x^2-5*x+6=0，我们可以使用根的存在性定理来求解x 的值。
根的存在性定理还可以用于证明其他数学定理。
例如，可以使用根的存在性定理来证明求解一元三次方程的公式（称为卡特兰公式）的正确性。
此外，根的存在性定理也被广泛应用于计算机科学、物理学和工程学等领域，用于求解各种复杂的方程组。
知识点34 函数的零点(方程的根)存在性与唯一性的证明
所以 f (b) 0 . 又因为 f (a) 0 ，所以由零点定理可知，至少存在一点 (a, b) ，使 f ( ) 0 ，即方 程 f ( x) 0 在 (a, b) 内至少有一个实根. 因为 f ( x) k 0 ，所以 f ( x) 在 (a, b) 内单调增加，故 f ( x) 在 (a, b) 内只有一个零点， 即方程 f ( x) 0 在 (a, a
因此 f '( x) 0 至少有两个实根.另一方面，由于 f '( x) 是二次多项式，方程 f '( x) 0 最多有两个实根，从而 f '( x) 0 有且仅有两个实根，即应选择(B). 解：(B). 例34.8(难度系数0.6，跨知识点53) 设 f x 在 0, 1上连续，满足方程
2 x2 1 3 ， lim f ( x ) lim ， lim f ( x) 0 ，从而若原方程有且仅 x x 0 x 0 9 x3 2 3 或k 0. 有一个实根，据介值定理得 k 9 f ( 3)
例34.4(难度系数0.4) 设在 [1, ) 上， f ''( x) 0 ， f (1) 2 ， f '(1) 3 ，证明：方程 f ( x) 0 在 (1, ) 内只有 一个实根. 解析：本题为函数 f ( x) 零点的存在性与唯一性问题.在用零点定理时需要用 拉格朗日中值定理找到一个函数值小于零的点，方法类似例34.2. 证明：当 x (1, ) 时， f ''( x) 0 ， f '( x) 递减， f '( x) f '(1) 3 0 ，因此 f ( x) 单 调减，因此 f ( x) 0 在 (1, ) 内最多只有一个实数根. 又 f (1) 2 0 ， f ( x) f (1) f '( )( x 1) 2 (3)( x 1) 5 3x ，取 x ，则
根的存在性证明问题的解法
在高等数学中经常会出现一类题：即证明根的存在性。
今天就来借两道经典的母题来对此类题目的证明做个总结。
一、此类题目的两种思路证明连续函数f(x)在区间[a,b]上根的存在性，最常用的思路有两种：1、利用零点定理。
也就是说只要证明f(x)在[a,b]存在两点c<d （可能有c=a,b=d ，但也可能没有），且f(c)*f(d)<0即可，那么f(x)在[c,d]上必存在零根。
2、利用罗尔定理。
首先构造f(x)的原函数F(X)（即F ’(x)=f(x)），然后证明在[a,b]上有点c,d （c<d,可能有c=a,b=d,也可能没有），使得F(c)=F(d)，那么根据罗尔定理，在[c,d]上必有一点t ，使得F ’(t)=0，也就是f(t)=0，因此题目得证。
解答这类题目，关键还在于多练习，多做题目找感觉和经验，尤其是对于F(x)的构造，技巧性较大，更加需要经验的积累。
本文的最后会给出常见的F(x)的构造方法。
二、一道典型例题，小试牛刀下面我我们就来证明一道典型的例题来试一试上面的两种思路吧。
题目：已知()()()()012/2/3/10n a a a a n +++⋯++=，证明方程010n n a a x a x ++⋯+=在(0,1)上至少有一个根。
解法一：我们利用零点定理来解答。
我们直接令()01 n n f x a a x a x =++⋯+然后观察a n x n 与a n /(n+1)这两项的关系，发现有101n n n a a x dx n =+⎰，那么我们就可以得到()11010010 (210)n n n f x dx a a x a x dx a a a n =++⋯+⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭=⎰⎰ 如果f(x)在(0,1)上恒大于0，那必有()100f x dx >⎰矛盾，如果f(x)在(0,1)上恒小于0，则有()100f x dx <⎰矛盾。
因此在（0,1）内必有两点c<d ，使得f(c)*f(d)<0。
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根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续
0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。
证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。
先将[a,b]二等分为],2[],2,
[b b a b a a ++，如果0)2
(=+b a f 。
则定理获证。
如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2
(b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。
又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。
如果中点的函数值为零，则定理获证。
如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为
],[22b a ，它满足[a,b]⊃[11,b a ]],[22b a ⊃，0)()(2222
22<-=-a f b f a b a b 且。
采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。
或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:①
[a,b]⊃[11,b a ]⋅⋅⋅⊃⊃],[22b a ；②n
n n a b a b 2-=-；③0)()(<n n a f b f 。
由单调有界定理，可以得到],[lim lim b a b a n n n n ∈==∞
→∞→ξ，如果0)(=ξf ，则定理获证。
如果0)(≠ξf ，因为f(x)在ξ点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0>δ，使得f(x)在],[),(b a ⋂+-δξδξ上与)(ξf 同号。
根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时，
],[),(],[b a b a n n ⋂+-⊂δξδξ。
根据区间的性质③，0)()(<n n a f b f ，矛盾。
综上所述，只有0)(=ξf ，且],[b a ∈ξ。
定理获证。
注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而n n b a ,实际上是函数零点的近似值。