线性代数练习册第三章答案(本)
线性代数习题答案第三章
所以当1时 方程组有无穷多解此时，增广矩阵为
B~ 方程组的解为
或 (k1 k2为任意常数) 18 证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT
使T 证明 必要性 由R(A)1知A的标准形为
3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
(1) 解~ ~~ ~ 故逆矩阵为 (2)
解 ~ ~ ~ ~ ~
故逆矩阵为 4 (1)设 求X使AXB 解 因为
所以 (2)设 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为
所以 从而
5 设 AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为
所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 (1) 解 (下一步 r2(2)r1 r3(3)r1 )
~(下一步 r2(1) r3(2) ) ~(下一步 r3r2 ) ~(下一步 r33 ) ~(下一步 r23r3 ) ~(下一步 r1(2)r2 r1r3 ) ~ (2) 解 (下一步 r22(3)r1 r3(2)r1 ) ~(下一步 r3r2 r13r2 ) ~(下一步 r12 ) ~ (3) 解 (下一步 r23r1 r32r1 r43r1 ) ~(下一步 r2(4) r3(3) r4(5) ) ~(下一步 r13r2 r3r2 r4r2 ) ~ (4) 解 (下一步 r12r2 r33r2 r42r2 ) ~(下一步 r22r1 r38r1 r47r1 ) ~(下一步 r1r2 r2(1) r4r3 ) ~(下一步 r2r3 ) ~ 2 设 求A 解 是初等矩阵E(1 2) 其逆矩阵就是其本身 是初等矩阵E(1 2(1)) 其逆矩阵是 E(1 2(1))
线性代数练习册第三章部分答案（本）
线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。
1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。
1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线代第3章习题答案
第3章1. 34(30,10,20,16)γαβ=-=---.2. (1) 能，唯一一种表示：12323βααα=--. (2) 不能.(3) 能，很多种表示：123(21)(35)c c c βααα=-+-++，c 为任意常数. 3. 证明略，唯一表达式为：12123234344()()()b b b b b b b βαααα=-+-+-+. 4. (1) 线性无关. (2) 线性相关.(3) 线性相关，因为4个向量，每个向量维数3维. (4) 若a ,b ,c 均不相等，线性无关，否则线性相关. 5. (1) 线性无关 (2) 线性无关 (3) 线性相关.6. 解：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=，整理可得141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=，因为已知1234,,,αααα是线性无关的，故有 141223340,0,0,0,k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩系数矩阵1001100111000101011000110011000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =. 故12233441,,,αααααααα++++是线性相关的.7. 证：因为任意1n +个n 维向量必线性相关，故12,,,,n αααβ 线性相关，存在 不全为零的1n +个数121,,,n k k k + ，使得112210n n n k k k k αααβ+++++= . 若10n k +=，12,,,n ααα 线性相关，矛盾.所以10n k +≠，β可由12,,,n ααα 线 性表出.下证表达式唯一，类似于定理3.5的证明.8. 证：（反证法即得）.假设1234,,,k k k k 不全为零，其中某个为零，其他的不为零.不妨假设10k =，则2233440k k k ααα++=，其中234,,k k k 均不为零，则可推出 234,,ααα是线性相关的，这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成 立.由假设的任意性可知112233440k k k k αααα+++=，其中1234,,,k k k k 全不为 零.9. 证：设前一向量组的秩为r ，则显然r s ≤，又后一组的秩也为r ，则有1r s s ≤<+，故后一向量组是线性相关的.若r s =,则前一组是线性无关 的，后一组是线性相关的，则由定理3.5知，β可由1α,2α, ,s α线性表出， 且表达式唯一.若r s <，则两组均是线性相关的，且两个向量组的秩是相等 的，也可推出β可由1α,2α, ,s α线性表出. 10. 证：因为12,,n εεε 能由12,,n a a a 线性表示, 所以 1212(,,,)(,,,)n n r r a a a εεε≤ ，而12(,,,)n r n εεε= ，12(,,,)n r a a a n ≤ ，所以12(,,,)n r a a a n = ，从而 12,,n a a a 线性无关.11. 证：因为任一向量β可由12,,,s ααα 线性表出，故n 维基本向量组12,,s εεε能由12,,,s ααα 线性表出，又知12,,,s ααα 可由基本向量组12,,s εεε 表出，故12,,,s ααα 与12,,s εεε 等价，所以12,,,s ααα 的秩为s ，即 12,,,s ααα 线性无关.12. 证：由于123,,ααα线性无关，而1234,,,αααα线性相关，故一定存在123,,k k k , 使得4112233k k k αααα=++.若其中某个i k 不为零，假定10k ≠，则1422331()/k k k αααα=--，知423,,ααα也是极大线性无关组，唯一性矛盾. 故一定有1230k k k ===，即40α=.13. 证：必要性.若12,,,s βββ 线性无关，则12,(,,)s r s βββ= ，又因为 12,12(,,)min{(),(,,,)}s s r r A r βββααα≤ ，而12(,,,)s r s ααα= ，故12,(,,)()s r s r A βββ=≤ ，又因为()r A s ≤，则一定有()r A s =，即矩阵A 可 逆.充分性,若矩阵A 可逆，则在等式两边左乘1A -，然后根据矩阵秩的不等 式可得11212,(,,,)min{(),(,,)}s s r r A r αααβββ-≤ ，显然有112(,,,)()s r s r A s ααα-=≤= ，可推出1212,(,,,)(,,)s s r s r αααβββ=≤ ， 又12,(,,)s r s βββ≤ ，故只能12,(,,)s r s βββ= ，即12,,,s βββ 线性无关. 14. 证：因为向量组12,,,s ααα 的秩为1r ，则其中有1r 个线性无关的向量，设为 112,,,r c c c .向量组12,,,t βββ 的秩为2r ，则其中有2r 个线性无关的向量，设 为212,,,r d d d .则向量组1212,,,,,,s t αααβββ 中线性无关的向量一定在 121212,,,,,,r r c c c d d d 中选取，所以312r r r ≤+. 15. 定义即得.16. （例题）12(,,,)s r r ααα= ，且12,,,r i i i ααα 为其中r 个线性无关的向量.设 k α是向量组中任意一个向量，则12,,,,r i i i k αααα 线性相关，否则向量组的 秩会大于r .所以，由定理3.5，k α可由12,,,r i i i ααα 线性表出，故 12,,,r i i i ααα 为向量组的一个极大线性无关组.17. (1) 11311322601003000004000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故123()(,,)2r A r ααα==, 1α 2α 3α故一个极大线性无关组是1α，2α.(2) 24611231123100013691000012310000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，4α.(3) 12341234234501233456000045670000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，2α.18. (1) 11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,x x x x x x x ⎧-+-=⎨-+=⎩方程组的一般解为:34343432722x x x x X x x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可得方程组的一个基础解系为：137,,1,022Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，[]21,2,0,1T η=--.通解为1122X k k ηη=+，1k ，2k 为常数.(3) 212112133112054736290010A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，于是得阶梯形方程组12342343230,5470,0,x x x x x x x x ---=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩方程组的一般解为44417,,0,55TX x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，可得方程组的一个基础解系：117,,0,155Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，通解为11X k η=.(4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:()23423413,,,4TX x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系：11,1,0,04Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，23,0,1,04Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31,0,0,14Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.通解为112233X k k k ηηη=++，1k ，2k ，3k 为常数.19. 证:首先由定理3.9知AX O =的基础解系含有n r -个线性无关的解向量.设 12,,,r ηηη 是AX O =的任意n r -个线性无关的解向量，要证12,,,r ηηη 是 AX O =的基础解系，只需证AX O =的任一解向量β都可由12,,,r ηηη 线性 表出.事实上，12,,,,r ηηηβ 必线性相关（否则AX O =的基础解系至少含有 1n r -+个线性无关的解向量，与已知矛盾），所以β都可由12,,,r ηηη 线性 表出，故12,,,r ηηη 是AX O =的基础解系.20. 证:假定一个基础解系为12,,s ηηη ,向量组12,,,s βββ 与其等价，故也含 有s 个向量.已知向量组12,,,s βββ 满足线性无关性，又因为每一个解向量 都可以由12,,s ηηη 线性表出，而12,,s ηηη 和12,,,s βββ 是等价向量组， 根据线性表出的传递性，每个解向量都可以由12,,,s βββ 线性表出，故 12,,,s βββ 也是一个基础解系.21. 证：先证122331,,ηηηηηη+++线性无关.设存在123,,k k k ,使得 112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=，又因为123,,ηηη线性无关，则1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 可得只能1230k k k ===，即122331,,ηηηηηη+++线性无关.由于112223331()()()X k k k ηηηηηη=+++++ 131122233()()()k k k k k k ηηη=+++++，可知任意一个向量都可由122331,,ηηηηηη+++线性表出， 即122331,,ηηηηηη+++也是AX O =的一个基础解系.22. 证:（1）反证法，若12,γγ线性相关，则12,γγ一定成倍数关系，不妨令12k γγ=. 又因为12γγ≠,故1k ≠.由于12γγ-为齐次线性方程组AX O =的解，并且 122(1)k γγγ-=-，所以有22(1)(1)A k k A O γγ-=-=，而1k ≠，则有2A O γ=， 这与2A γβ=矛盾，所以假设不成立，即12,γγ线性无关.（2）若()1r A n =-，则齐次线性方程组AX O =的基础解系中只有一个解向 量，又12()A O γγββ-=-=，故112()k γγ-即为基础解系，其中1k 为某个非 零常数，又已知η是齐次线性方程组AX O =的解，则一定有2112()k k ηγγ=-， 即说明12,,ηγγ是线性相关的.23. (1)[]27316121123522401151109417200000A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：123423422,11510,x x x x x x x --+=-⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为：()()3434341129,105,,1111TX x x x x x x ⎡⎤=-+--+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：0210,,0,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，291,,0,11111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：01122122191111111051111111010001X k k k k ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1k ，2k 为常数. (2) []15231115231131425021131901170091475361100000A β----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 于是得阶梯形方程组：12342343452311,23,9147,x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为：()444431751,,714,29189TX x x x x ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01770,,,099Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：13514,,,12189T η⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数.(3) []211331321451010407551132121000152A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：12342344324,75511,152,x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取3x 为自由变量，可得方程组一般解为：333131552,,,1573715TX x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01352,,0,15315Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,077Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数. (4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为: []2345234544236,,,,TX x x x x x x x x =+-+-, 可得一个特解为：[]04,0,0,0,0Tη=， 一个基础解系：[]14,1,0,0,0Tη=，[]22,0,1,0,0Tη=-，[]33,0,0,1,0Tη=,[]46,0,0,0,1Tη=- 通解为011223344X k k k k ηηηηη=++++，1k ，2k ，3k ,4k 为常数.24. 解:[]2211230112302325012112020000A βλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 当20λλ-=，即0λ=或1λ=时有解. 当20λλ-≠，即0λ≠且1λ≠时无解.若有解，得阶梯形方程组：1234234230,2,x x x x x x x λ+-+=⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为： []34343444,2,,TX x x x x x x λλ=-+--+， 可得一个特解为：[]0,,0,0Tηλλ=-，一个基础解系为：[]14,2,1,0Tη=-，[]24,1,0,1Tη=-. 则方程组的通解为：01122X k k ηηη=++，其中1k ，2k 为常数，0λ=或1λ=.25. 解:[]11321113211316301121151010001053115230002226A b b a a b β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---+--⎣⎦⎣⎦，若220a -+=且260b --≠时，即1a =且3b ≠-时，无解. 若1a ≠时，有唯一解为：263420,6,5,11Tb b X b b b a a ++⎡⎤=--+-+⎢⎥--⎣⎦. 若1a =且3b =-时，有无穷多解.此时阶梯形方程组为：12342343321,21,2,x x x x x x x x +++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为： []448,32,2,TX x x =--， 可得一个特解为：[]08,3,2,0Tη=-， 一个基础解系为：[]10,2,0,1T η=-.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数 26. 证法1：单位矩阵E 的每一列都是AX O =的解，故A AE O ==. 证法2：假设A O ≠，则()0r A r =≠，所以AX O =只有n r -个线性无关的解， 显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AX O =的系数矩阵的秩为()r r n <，则AX O =的基 础解系中含有n r -个线性无关的解向量.反证法假设12(,,,)t r n r ααα>- ， 则其中有大于n r -个线性无关的解向量，并且其中每个解向量都可由这 12(,,,)t r ααα 个解向量线性表出，这说明AX O =的基础解系中含有大于 n r -个线性无关的解向量，这与已知矛盾，故假设不成立.则 12(,,,)t r n r ααα≤-28.证:(1)AX O =的基础解系中含有()n r A -个线性无关的解向量，BX O =的基 础解系中含有()n r B -个线性无关的解向量.若AX O =的解均为BX O =的解，即有()()n r A n r B -≤-，故()()r A r B ≥.(2)若AX O =与BX O =同解，通过(1)的结论，基础解系中含有相同个数的 线性无关的解向量，则()()n r A n r B -=-，故()()r A r B =. (3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，但这些解向 量不一定相等.。
线性代数第三章习题及解答
解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关， 且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立， 则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n， 则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
2
(0, 0, 0)T , β3 = (−1, −1, 1)T 5. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关
组， 并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 . 25 31 17 43 75 94 53 132 (1) 75 94 54 134 25 32 20 48 25 31 17 43 25 31 17 75 94 53 132 0 1 2 解： 75 94 54 134 −→ 1 3 0 25 32 20 48 0 1 3 α1 α2 α3 α4 25 31 17 43 1 0 0 8 5 0 1 2 3 0 1 0 −1 −→ 0 0 1 2 −→ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3
线性代数习题册(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)
(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X） （X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0
1≤i< j≤n
1
xn
x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；
1
1 0
0
0
a11 a21
a12 a22
a13 a23
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
线性代数第三章习题及解答
43
3 5 5
2 2 1 5 2 0 0 0 −1 1 0 0
−1 3 0
1
3
6. 设 α1 , α2 , . . . , αn 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e1 , e2 , . . . , en 能由它们线性表示， 证明 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关.
4 1 −1 1 −2 −22 1 −2 −1 3 6
−24 −11 3 −2 1 −2 −1 0 11 −→ 10 5 −20 0 0 0
10 0
5 9 1 T T 齐次方程的基础解系为 ξ1 = ( 21 11 , 11 , 1, 0) , ξ2 = (− 11 , 11 , 0, 1)
α4 = 8 α − α2 + 2α3 5 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 (2) 3 2 0 3 −1 1 1 0 4 −1 1 1 2 2 1 1 1 0 2 1 5 −1 0 2 解： 2 0 3 −1 3 −→ 0 0 1 1 0 4 −1 0 0 α1 α2 α3 α4 α5 1 1 0 4 −1 1 0 0 1 0 1 0 3 −1 3 −→ 0 1 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3 α4 = α1 + 3α2 − α3 , α5 = α3 − α2
T
− 20 83
5 83
− 17 83
线性代数第三章答案 唐明主编
(
) (
) (
)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ � � � � ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解：化简上式可得： β = 3α 3 − 6α 2 − 2α1 = 3 ⎜ 3 ⎟ − 6 ⎜ 2 ⎟ − 2 ⎜1⎟ = ⎜ −5 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ −14 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
课 后
答
⎛ 2⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ � � � ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ （2） X = 3β − γ = 3 ⎜ 0 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
案
网
⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛0⎞ � 1 � � 1 ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ 1 ⎜ ⎟ X = ( v − u ) = ⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ ⎥ = ⎜ 1 ⎟ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3⎜ ⎟ ⎢ ⎝ −2 ⎠ ⎣⎝ −1⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎥ ⎦
kh da
w.
co
m
⎛ 1 0 1⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ 行变换 ⎜ ⎟ � � � （2）由 (α1 ,α 2 ,α 3 ) = ⎜ 1 2 3 ⎟ ⎯⎯⎯→⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � � � 可知 r = 3 ，其中， α1 , α 2 , α 3 自身即为一个极大无关组 1 − 2⎞ 0 −6 ⎛ 1 11 ⎛1 4 5 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 9 4 � � � � ⎜ 2 − 1 − 3 0 ⎟ 行变换 ⎜ 0 5 1 − 5 ⎟ （3）由 (α1 ,α 2 , α 3 , α 4 ) = ⎜ ⎯⎯⎯→⎜ 1 −5 −4 2 ⎟ 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 − 6 − 7 2 ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � � � 11 � 9 � � 6� 4� 可知 r = 2 ，其中， α1 , α 3 即为一个极大无关组， α 2 = α1 + α 3 , α 4 = − α1 − α 3 5 5 5 5 ⎛1 0 3 2 1⎞ ⎛ 1 0 3 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ � � � � ⎜ − 1 3 0 1 − 1⎟ 行变换 ⎜ 0 1 1 0 − 1⎟ （4）由 (α1 ,α 2 , α 3 ,α 4 ) = ⎜ ⎯⎯⎯→⎜ 2 1 7 5 2⎟ 0 0 0 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 14 6 0 ⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � � � � � � � � � � 可知 r = 3 ，其中， α1 , α 2 , α 4 即为一个极大无关组， α 3 = 3α1 + α 2 , α 5 = −α1 − α 2 + α 4
线代第三章习题解答
第三章 行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D ii i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n nn n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M MM O M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)00010000100101n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L LL左321220000100000000100(1)(1)0001000000001001n n n x x x x a a x x +----+-++----LL L L L M M M O M M M M M O M M L L LL21100100()(1)000100nx x x a x x--++--LL M M M O M M L L222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式 （1）11111100((1))((1))x a a a x a ax a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--LL L LLLM M O M M M OM MM O M LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。
高等数学 线性代数 习题答案第三章
第三章习题3-11． 设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim (2)22t g t g →=+= 2． 设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。
解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x xx -=-。
由已知直线过点(3,8),得 00082(3)y x x -=- (1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x = (2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。
也即440x y --=或8160x y --=。
4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=--0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5． 求下列函数的导数： (1) y (2) y ；(3) y 322x ．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x -=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y xx xx -==15661()6y x x-''∴===6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→-===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。
线性代数习题答案第三章
解 R(A)R(B) 这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩
8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵 此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量
B~ 于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解
(2) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k为任意常数)
(3) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k1 k2为任意常数)
(4) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k1 k2为任意常数)
14 写出一个以 为通解的齐次线性方程组
A~D D~B 由等价关系的传递性 有A~B
11 设 问k为何值 可使
(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3 解 (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3
12 求解下列齐次线性方程组: (1) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有
A~ 于是 故方程组的解为
3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
(1) 解~ ~~ ~ 故逆矩阵为 (2)
解 ~ ~ ~ ~ ~
故逆矩阵为 4 (1)设 求X使AXB 解 因为
所以 (2)设 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为
所以 从而
5 设 AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为
所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r
线性代数第三章习题答案
线性代数 (同济四版) 习题参考答案
1 2 3
35
列变换, 即: 两边分别左乘、 右乘了相应的初等矩阵, 那么矩阵 4 5 6 也要进行相应的行变换、 7 8 9 1 0 1 =⇒ 0 0 1 =⇒ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 4 7 4 1 7 2 5 8 5 2 8 5 2 8 3 6 9 6 3 9 2 2 2 0 A 1 0 0 A 1 1 0 = 0 1 0 1 1 0 = 0 1 1 0
4 1 7
5 2 8
6
3 9
0 0 0 1 4 5 2 1 2 2 7 8 2
得
A= 1 2 2 7 8 2
或者有下面的解法 . 1 2 3 记B= 4 5 6 . 注意到 A 两边乘以的是初等矩阵, 可知矩阵 B 是把 A 进行初等变换 r1 ↔ r2 7 8 9 和 c3 + c1 得到的. 所以要得到 A, 需要将 B 进行初等变换 c3 − c1 和 r1 ↔ r2 . 即 1 2 3 1 2 2 4 5 2 c3 − c1 4 5 2 r1 ↔ r2 1 2 2 = A B= 4 5 6 7 8 9 7 8 2 7 8 2
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 4 7 1 0 0 4 1 7 2 3 1
0 1
r1 ↔ r2 0 5 6 8 9 0 0 1 0 5 2 8 0 1 c3 − c1 6 3 9 4 5 2 1 1 0
线性代数习题三答案
第三章 线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解： 化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。
2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。
3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。
求向量γ，使βγα=+32。
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组,)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T T T T -===-=ααααT )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。
解：将51,αα 作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=44000000010110213012422101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。
二、练习提高 ⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。
线性代数第三章习题答案
习题三 A 组1. 设1232()3()2()αααααα-++=+，求α，其中1110α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 2011α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，3340α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭。
解123103423221312430103αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关。
(1)131-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，210⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，141⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；（2）230⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，140-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭解（1）121121121101101314077011011011101022000000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭::::, R(A)=2，线性相关（2）210210*********00102002000002-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭::, R(A)=3，线性无关 3. a 取什么值时，下列向量组线性相关？111a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 211a α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，311a α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 解 (法一)求系数行列式3211112(1)(2)11a a a a a a a a-=-+=+-+，令其为0，得1a =-。
由此可知，当1a =-时，R(A)<3，即题给向量组线性相关。
(法二)()23121212311110110101,,111101101111111111r r r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a ααα-+--+-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭:::向量组线性相关，所以10a +=，即1a =-4. 设123,,ααα线性无关，证明：1α，12αα+，123ααα++也线性无关. 证明：设112123123()()0,k k k αααααα+++++=即123123233()()0.k k k k k k ααα+++++=由123,,ααα线性无关，有1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ 所以1230k k k ===，即112123,,αααααα+++线性无关. 5.设1(1,1,1)α=，2(1,2,3)α=，3(1,3,)t α=，问： (1) t 为何值时向量组123,,ααα线性相关。
线代第三章答案1-3
综合练习题三（A）
1． 填空题： （1） 如 果 向 量 α ＝（1,1,2） ， α ＝ 3, t, 1 , α ＝（0，2，
t＝（5 或 2）
t） 线 性 相 关 ， 那 么
解：以α , α , α 为列作矩阵A α , α , α
13 0 1t 2 21 t
当|A|
13 0
10 0
1 t 2C C 1 t 3 2
0 11
10 1 01 1 0 0 11
kk 0 故k k 0
kk 0
kβ kβ kβ
有非零解 即存在不全为零的k ，k ，k 使得 0 故向量组β ，β ，β 线性相关。
习题 3.3
1． 求下列向量组的秩和一个极大无关组： （1） α ＝（1，1，0），α ＝（0，2，0），α ＝（0，0，3）；
3． 设向量组α α α 线性相关，α α α 线性无关，证明：
（1） α 能由α α 线性表示；
（2） α 不能由α α α 线性表示；
证明：（1）Q α α α 线性相关 ∴ 存在一组不全为零的k ，k ，k 使得k α ＋k α ＋k α ＝0
假设k 0，则α α 线性相关，从而α α α 线性相关，这与已知矛盾，故k 0
1) 当t 为何值时，向量组α , α , α 线性无关？
2) 当t 为何值时，向量组α , α , α 线性相关？
3） 当向量组α , α , α 线性相关时，将α 表示为α , α 的线性组合
解：以α α α 为列作矩阵 A，再作初等行变换
证明： Q α , α ， … , α 的秩为r
∴设 αi1 ,αi1 ,...αir 为 α , α ， … , α 的一个极大无关组。
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第三章 行列式及其应用§3-1 行列式的定义一、填空题。
1、行列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、行列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知行列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.二、选择题。
1、方程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）214、n 阶行列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、行列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列行列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)12012301231234101412024003r r +--=按c 展开3、1132101123011002-- 解：4141132113010111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--， 所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a 或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --.）§3-2 行列式的性质与计算一、填空题。
1、行列式111111111x y y+++=_____xy _____.2、行列式232629242730252831=_____0______. 3、若0,1,2,3i i a b i ≠=，则行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______0______.4、若行列式2342342341111a a a a D b b b b c c c c =,则21222324A A A A +++=____0_____. 5、若行列式11001010001x y z x y z =，则x =__0__;y =___0___;z =__0____.二、选择题。
1、行列式0000000a b a b b a ba的值为_____C___. （A ）44a b -; （B ）4()a b -; （C ）222()a b -; （D ）4()a b +.2、行列式33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231111a a a a a a a a a a a a ---------的值为__A___.（A ）12; （B ）11;（C ）13; （D ）14.3、若行列式12000221312151011D -=，则4243442M M M +-的值为__D__. （A ）-6; （B ）6; （C ）40; （D ）0;4、若行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a a =，则行列式41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a =___B__.（A ）0; （B ）a ; （C ）4a ; （D ）a -.5、行列式212322212223()333245354435743x x x x x x x x f x x x x x x x x x --------=-------，则()0f x =的根的个数为____B___.(A ）1; （B ）2; （C ）3; （D ）4.三、解方程2211231223023152319x x -=-解：222143222222321123112312230100231523152319000412312(1)215(1)(4)210043(1)(1)(2)(2)r r x x r r x x r x r x x x x x x x ----------=--+-+按展开按展开所以，12341,1,2, 2.x x x x =-==-=四、计算下列行列式1、1123010130231211----解：314113111123112330101010130230346121103341110034634333433143531r r r r c c ----------------+---------=--按c 展开按c 展开2、1210030200101000002400061解：1210012130200243022(22)4410100611010002400061==--=3、12345222225123453333312345555551234511111x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x = 解：12345222222123453333331234544444435124555555123455115111111()()i j i i i j yx x x x x y x x x x x D x x x x x y x x x x x y x x x x x y y x x x =≤≤≤=--∏∏由范德蒙德行列式而123452222221234533333312345444444351245555551234554326665646362616111111yx x x x x y x x x x x D x x x x x yxx xxxy x x x x x yA y A y A y A y A y A =+++++按c 展开所以，5561234515()()j i i j D A x x x x x x x ≤≤≤=-=++++-∏4、000n x x x xD x x =解：12121110(1)(1)(1)000(1)00(1)(1)(1)0n nn nn x x n x n x n x x x x x D r r r x x xxr n x x x r r x n n x r r x----=+++÷----=----5、12312111111111111(0)1111n n na a D a a a a a ++=+≠+解：1212112311311111212123132311211111111111111100000000100000111000001(1).nn nn nnnnn i ia a D a a r r a a r r a a r r a a a a a a a a a r r r r a a a a a a a a a a a =++=++------++++-------=+∑6、计算行列式112200000000011111n n n a a a a D a a --=-解：112212212121121200000000011111000000000011111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n na a a a D a a a a a c c c a a n n a a a n a a a ++--=--++-++-=+-按c 展开五、证明：1100100,(1),0001n n n n a b ab a b a b a b D a b n a a b a b ab a b++++⎧-≠⎪==-⎨⎪+=+⎩+. 证明：1111100000r ()0000001001n n n a bababa b a b D a b ab a b ab a b ab a b a b --++++-++++按展开12()n n a b D abD --=+-所以，212112121()()()n nn n n n n n n n n D a b D abD D bD a D bD D bD a D bD a -------=+-⇒-=-⇒-=-=212112121()()()n nn n n n n n n n n D a b D abD D aD b D aD D aD b D aD b -------=+-⇒-=-⇒-=-=于是，11()n n n a b D a b ++-=-1）当a b ≠时， 11n n a b a b++--2）当a b =时，将n D 按r 1展开得：2122n n n D aD a D --=-，2212112*********()()()2(1)n nnnnnn n n n n n n n n n n n n n D aD a D D aD a D aD D aD aD aD aD aD a a aD a a a D a n a-----------=-⇒-=-⇒-=-=⇒=+=++=+==+§3-3 行列式的应用一、填空题。