高考数学专题：空间向量与立体几何(含解析)

立体几何中的向量方法

1.（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,

2和a ,且长为a 的

棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是 （ ）

A ．(0,2)

B ．(0,3)

C ．(1,2)

D ．(1,3)

[解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴, 则22cos 4

AO PO AOP R •∴∠=

=,A

)0,23

,21(),22,0,22(R R P R R 42arccos =∠∴AOP ,

4

2

arccos ⋅=∴R P A

2. （2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱

111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ）

A ．

5

5

B ．

53

C ．

25

5

D ．

35

解析:不妨设122CA CC CB ===,

1

1(2,2,1),(0,2,1)

AB C B

,

111111(2)0

2(2)115

cos

,5

95AB C B AB C B

AB C B

,直线1BC 与直线1AB 夹角为锐角,所以余弦值为

5

5

,选A. 3.（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄

AD ,AB 丄BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC .

(Ⅰ)证明PC 丄AD ;

(Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值;

(Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为0

30,求AE 的长.

P

【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线

与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

方法一:（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22

D C B P -

(0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥

（2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =

则0

202200n PC y z y z x y x z n CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩ 取1(1,2,1)z n =⇒= (2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量

630

cos ,sin ,66

AD n AD n AD n AD n

<>=

=

⇒<>= 得：二面角A PC D --的正弦值为

30

6

（3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22

BE h CD =-=-

2

3310

cos ,210

1020BE CD BE CD h BE CD

h <>=

⇔

=

⇔=+ 即1010AE =

方法二:(1)证明,由PA ⊥平面ABCD ,可得PA AD ⊥,又由

,AD AC PA AC A ⊥⋂=,故AD ⊥平面PAC ,又PC ⊂平面

PAC ,所以PC AD ⊥.

(2)解:如图,作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,由

,PC AD PC AH ⊥⊥,可得PC ⊥平面ADH .因此,DH PC ⊥,从而AHD ∠为二面

角A PC D --的平面角.

在Rt PAC ∆中,2,1PA AC ==,由此得2

5

AH =

,由(1)知AD AH ⊥,故在Rt DAH ∆中,222305DH AD AH =+=

,因此30

sin 6

AD AHD DH ∠==,所以二

面角A PC D --的正弦值为

306

.

4.（2012年高考（新课标理））如图,直三棱柱111ABC A B C -中,11

2

AC

BC AA ==

,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1

(1)证明:BC DC ⊥1

(2)求二面角11C BD A --的大小.

第一问省略 第二问：如图建系:

A (0,0,0),P (0,0,26),M (32-,3

2

,0), N (3,0, 0),C (3,3,0).

设Q (x ,y ,z ),则(33)(3326)CQ x y z CP =--=--，，，，

，. ∵(3326)CQ CP λλλλ==--，

，,∴(333326)Q λλλ--，，. 由0OQ CP OQ CP ⊥⇒⋅=,得:13λ=

. 即:2326

(2)33

Q ，，. 对于平面AMN :设其法向量为()n a b c =，，. ∵33

(0)=(300)22

AM AN =-

，，，，，. 则3333

00122

30

300a AM n a b b AN n a c ⎧=

⎪⎪

⎧⎧⋅=-

+=⎪⎪⎪⇒⇒

=⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪

⎩=⎩

=⎪⎪⎩

. ∴31

(0)33n =，，. 同理对于平面AMN 得其法向量为(316)v =-，，

. 记所求二面角A —MN —Q 的平面角大小为θ, 则10

cos 5

n v n v

θ⋅=

=⋅.