数字信号处理实验-采样的时频域分析

实 验 报 告
学生姓名： 学 号： 指导教师：
一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理：
1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。

1. A 、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘
B 、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可近似为周期脉冲串。

根据傅里叶变换性质
00
0()()
()()
ˆˆ()()()()()()(())
FT
FT
a a T n n FT
a a T a T a a
n n x t X j T j x
t x t T x nT t nT X j X
j n ωδωδδδω=+∞=+∞=-∞
=-∞
←−→Ω←−→Ω==-←−→Ω=Ω-Ω∑
∑式中T 代表采样间隔，01
T
Ω=
由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以0Ω为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。

)
(t T δ^
T ^)t
C 、低通采样和Nyquist 采样定理
设()()a a x t X j ⇔Ω且()0,2a M M X j f πΩ=Ω>Ω=当，
即为带限信号。

则当采样频率满足2/22s M M f f π≥Ω=时,可以从采样后的
^
()()()a a
s
s
n x t x nT t nT δ∞
=-∞
=
-∑信号无失真地恢复()a
x t 。

称2M
f
为奈奎斯特频率，
1
2
N M T f =
为奈奎斯特间隔。

注意：
实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在ADC 前加一个滤波器（防混迭滤波器）。

2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。

低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率2s M f f = 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≤ 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≥ 设一带限信号的频谱如下：
)
()
a G j Ω0 m -ΩΩ
m Ω0
T
T
（1）临界采样
（2）过采样
（3）欠采样
由上图可知，当为临界采样和过采样时，理论上可以无失真的恢复采样信号，但是实际在临界采样时，由于实际滤波器的性能限制，无法无失真的恢复，在欠采样时只能部分恢复原信号的频谱特性。

因此过采样时使用最为广泛的采样方
0 T ΩT T
ΩT 0 T T T -ΩT ΩT -ΩT Ω
式，当需要注意的是对临界采样和欠采样由于采样频率可以降低，在不需要恢复出信号的全部频谱特征时，则往往使用这两种采样方式。

随着信号处理技术的发展，信号的频率越来越高，这两种方式也有着广泛的应用前景。

在理论分析中使用的带限信号在实际应用是并不存在的，因为要求该信号在时域上是无限长的，因此无论采样频率有多大，实际采样的信号都是会发生混叠的，如下图所示：
在实际应用中，我们只需使采样频率满足能够恢复出我们需要的信号即可。

3、带通采样过程及带通采样定理。

带通采样是对于带通信号进行采样的过程。

L H H L 0<||,Ω<Ω<Ω∆Ω=Ω-Ω称为带通信号的带宽。

此时采样频率为
2()1221H L s f m πΩ+Ω=
+其中m 是当采样频率满足1
22s f π≥∆Ω时最大的正整数。

此
时信号可以被无失真的恢复，这就是带通采样定理。

原理：采样后的带通信号同样是原信号的周期搬移叠加，但由于带通信号在某个频带不存在信号分量，采样后得到信号频谱存在间隔，当采样频率满足一定条件（不满足底通采样定理）时，同样可以无失真的恢复。

示意图如下： （1）当最高频率H Ω是带宽的整数倍，即()H M Ω=∆Ω，而选择的抽样频率
T T T
T ()
a G j Ω0 m -ΩΩm Ω
22()H
T M
ΩΩ=∆Ω=
，此时有
从图中可以看出，当把该采样信号通过一个理想带通滤波器时，可以恢复出原信号。

（2）当最高频率H Ω不是带宽的整数倍，我们可以认为的扩展带宽，使得该带通信号的()H M Ω=∆Ω，而选择的抽样频率22()H
T M
ΩΩ=∆Ω=，此时有
()
a G j Ω0 H ΩL ΩH -ΩL -Ω
T T ()
p G j Ω0 H ΩL ΩH -ΩL -ΩH
ΩL ΩL -Ω0-Ω0Ω
从上图可以看出同样能无失真的恢复出原带通信号
(拓展知识):
4、变采样率的数字信号处理
A 、降采样率（整数倍抽取）的实现原理，时域和频域的变化情况。

降采样率是指每次抽样保留输入序列中的第M 个样本，而除去中间的M-1个样本：[][]y n x nM =用框图表示为
可以得到 11/0
1
()()M M
k M k Y z X z
W M
--==
∑，以2倍下抽样器为例，即L=2，可得
/2/2/2(2)/211
(){()()}{()()}22
j j j j j Y e X e X e X e X e ωωωωωπ-=+-=+，如下图所示
H
-Ω0
T
T
()
p G j Ω0
H ΩL ΩH -ΩL -Ω0-Ω0Ω()
j X e ω2π-ω
2ππ-0π
可以知道，在降采样率时，()j X e ω的原形状会丢失，即发生混叠现象。

M 倍下
抽样器的输出和输入之间傅氏变换的关系为：1(2)/0
1
()()M j j k M
k Y e X e
M
ω
ωπ-
-=
=
∑
在下抽样以前，为了避免引起混叠，信号需要通过一个低通滤波器来带限到
||
/M ωπ<即：
B 、升采样率（整数倍内插）的实现原理，时域和频域的变化情况。

升采样率是指通过在对原离散信号的两个连续样本间插入L-1个等距的样本值（不一定为零），亦即抽样因子为
L 的上抽样。

上抽样后的序列长度为原来的L
倍： [/],0,,2[]0,u x n L n L L x n otherwise =±±⎧=⎨⎩，框图表示为
可以得到：()()L u X z X z =，()()j j L u X e X e ωω=，对于L=2时，可得下图：
混叠
()
j X e ω2π
-ω
2π
π
-0
π
如图，2倍的抽样率扩展导致频谱的2倍重复，表明傅里叶变换以2倍压缩。

因此可得输入频谱的一个额外镜像，这个过程也叫做映射。

上采样后不必要的镜像必须用一个称为内插滤波器的低通滤波器H(z)来消除，即：
C 、分数倍变采样率的实现原理，时域和频域的变化情况。

采样率的分数转换可以用M 倍抽取器和L 倍内插器级联而成，其中
M 和L 都是正整数。

这样级联有两种可能的形式
四、实验目的：
深刻理解低通采样中的临界采样的时域及频域变化情况。

深刻理解低通采样中的欠采样的时域及频域变化情况。

深刻理解低通采样中的过采样的时域及频域变化情况 深刻理解带通采样过程及带通采样定理。

（拓展内容）
理解降采样率（整数倍抽取）的实现原理，时域和频域的变化情况。

理解升采样率（整数倍内插）的实现原理，时域和频域的变化情况。

理解分数倍变样率的实现原理，时域和频域的变化情况。

通过具体实践，理解在高倍数变采样率的情况中，应当采用多级实现方案。

学习设计用于抽取和内插的滤波器。

五、实验内容：
本实验要求学生运用MATLAB 编程完成可变采样率采样（抽取）程序，并对提供的离散时间信号分别进行临界采样、过采样、欠采样时信号时域和频域的信号变化情况，以加深对相关教学内容的深刻理解。

进而拓展到可变采样率信号处理的基本方法的MATLAB 实现，得到信号的时频域变化情况，使学有余力的同学进一步加深对变采样率信号处理相关知识的理解。

六、实验器材（设备、元器件）：Pc 机,DSP 试验箱
()
j X e ω2π-ω2ππ-0
π
七、实验步骤：
1、在MATLAB中设计完成可变采样率采样（抽取）程序。

2、对比观察、分析各种采样（临界采样、过采样、欠采样）时域频域的情况。

3、（拓展要求）设计完成整数倍内插的MATLAB程序，观察时域频域的变化情况，提出相应滤波器设计要求。

4、（拓展要求）设计分数倍变采样率的MATLAB程序，观察时域频域的变化情况，提出相应滤波器设计要求。

5、（拓展要求）通过硬件（DSP）实验箱演示上述信号的采样时域（示波器）波形及频域波形（计算结果）。

并与MATLAB程序作比较对照。

八、实验数据及结果分析：
九、实验结论：
十、总结及心得体会：
十一、对本实验过程及方法、手段的改进建议：。