数字信号处理实验-采样的时频域分析

实 验 报 告

学生姓名： 学 号： 指导教师：

一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理：

1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。 1. A 、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘

B 、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可近似为周期脉冲串。

根据傅里叶变换性质

00

0()()

()()

ˆˆ()()()()()()(())

FT

FT

a a T n n FT

a a T a T a a

n n x t X j T j x

t x t T x nT t nT X j X

j n ωδωδδδω=+∞=+∞=-∞

=-∞

←−→Ω←−→Ω==-←−→Ω=Ω-Ω∑

∑式中T 代表采样间隔，01

T

Ω=

由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以0Ω为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。

)

(t T δ^

T ^)t

C 、低通采样和Nyquist 采样定理

设()()a a x t X j ⇔Ω且()0,2a M M X j f πΩ=Ω>Ω=当，

即为带限信号。则当采样频率满足2/22s M M f f π≥Ω=时,可以从采样后的

^

()()()a a

s

s

n x t x nT t nT δ∞

=-∞

=

-∑信号无失真地恢复()a

x t 。称2M

f

为奈奎斯特频率，

1

2

N M T f =

为奈奎斯特间隔。 注意：

实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在ADC 前加一个滤波器（防混迭滤波器）。

2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。 低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率2s M f f = 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≤ 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≥ 设一带限信号的频谱如下：

)

()

a G j Ω0 m -ΩΩ

m Ω0

T

T

（1）临界采样

（2）过采样

（3）欠采样

由上图可知，当为临界采样和过采样时，理论上可以无失真的恢复采样信号，但是实际在临界采样时，由于实际滤波器的性能限制，无法无失真的恢复，在欠采样时只能部分恢复原信号的频谱特性。因此过采样时使用最为广泛的采样方

0 T ΩT T

ΩT 0 T T T -ΩT ΩT -ΩT Ω

式，当需要注意的是对临界采样和欠采样由于采样频率可以降低，在不需要恢复出信号的全部频谱特征时，则往往使用这两种采样方式。随着信号处理技术的发展，信号的频率越来越高，这两种方式也有着广泛的应用前景。

在理论分析中使用的带限信号在实际应用是并不存在的，因为要求该信号在时域上是无限长的，因此无论采样频率有多大，实际采样的信号都是会发生混叠的，如下图所示：

在实际应用中，我们只需使采样频率满足能够恢复出我们需要的信号即可。

3、带通采样过程及带通采样定理。

带通采样是对于带通信号进行采样的过程。

L H H L 0<||,Ω<Ω<Ω∆Ω=Ω-Ω称为带通信号的带宽。此时采样频率为

2()1221H L s f m πΩ+Ω=

+其中m 是当采样频率满足1

22s f π≥∆Ω时最大的正整数。此

时信号可以被无失真的恢复，这就是带通采样定理。 原理：采样后的带通信号同样是原信号的周期搬移叠加，但由于带通信号在某个频带不存在信号分量，采样后得到信号频谱存在间隔，当采样频率满足一定条件（不满足底通采样定理）时，同样可以无失真的恢复。示意图如下： （1）当最高频率H Ω是带宽的整数倍，即()H M Ω=∆Ω，而选择的抽样频率

T T T

T ()

a G j Ω0 m -ΩΩm Ω

22()H

T M

ΩΩ=∆Ω=

，此时有

从图中可以看出，当把该采样信号通过一个理想带通滤波器时，可以恢复出原信号。

（2）当最高频率H Ω不是带宽的整数倍，我们可以认为的扩展带宽，使得该带通信号的()H M Ω=∆Ω，而选择的抽样频率22()H

T M

ΩΩ=∆Ω=，此时有

()

a G j Ω0 H ΩL ΩH -ΩL -Ω

T T ()

p G j Ω0 H ΩL ΩH -ΩL -ΩH

ΩL ΩL -Ω0-Ω0Ω

从上图可以看出同样能无失真的恢复出原带通信号

(拓展知识):

4、变采样率的数字信号处理

A 、降采样率（整数倍抽取）的实现原理，时域和频域的变化情况。

降采样率是指每次抽样保留输入序列中的第M 个样本，而除去中间的M-1个样本：[][]y n x nM =用框图表示为

可以得到 11/0

1

()()M M

k M k Y z X z

W M

--==

∑，以2倍下抽样器为例，即L=2，可得

/2/2/2(2)/211

(){()()}{()()}22

j j j j j Y e X e X e X e X e ωωωωωπ-=+-=+，如下图所示

H

-Ω0

T

T

()

p G j Ω0

H ΩL ΩH -ΩL -Ω0-Ω0Ω()

j X e ω2π-ω

2ππ-0π