复变函数教案12.doc

第一章复数与复变函数

教学课题：第二节复平面上的点集

教学目的：1、理解关于平而点集的儿个基本概念；

2、理解区域勾约当曲线这W个重要概念；

3、了解约当定理和区域的连通性。

教学重点：平血点集的几个基木概念

教学难点：区域与约当曲线

教学方法：启发忒教学

教学手段：多媒体与板15相结合教材分析：理解关于〒面点集的儿个基本概念、掌握区域与约当llh线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。

教学过程：

1、平面点集的几个基本概念：

定义1.1 设6/ e C,r G (0,+oo), tz 的r-邻域［/(fz，r)定义为

{z\\z-a\< r,zeC},

称集

{z\\z-a\

为以tz为中心，r为半径的闭定义 1.2 设£cC,rzeC，

若Vr〉0,(；(tz,r)n£中冇无穷个点，则称a为E的极限点；

若3r〉0，使得C/0,r)cz£，则称6?为£的内点；

若Vr〉0，"(/7,r) n £屮既有属于£的点，又有不属于£的点，则称6/力£的

边界点；

集£的全部边界点所组成的集合称为£的边界，记为d£ •，

称为£的闭包，记为£;

若3/、〉0,使得= 则称6/为£的孤立点(是边界点但不是聚

点）;

定义1.3开集：所冇点为内点的集合；

闭集或者没冇聚点，或者所冇聚点都展于£;则任何集合£的闭包互一定是闭集；

定义1.4如果3r〉0，使得£c=t/（O，r），则称£是有界集，否则称£是无界

集；

复平面上的宥界闭集称为紧集。

例1、岡盘［/（^，r）是有界开集；闭闢盘fGz，r）是宥界闭集；

例2、集合｛z||z-

例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界幵集。

例4、集合£ = ｛z|O<|z-a|

无穷远点的邻域：Vr>0,集合Mz|〉r，zeCJ称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。

C；我们也称为C的一点紧化。

2、区域、约当（Jordan）曲线：

定义1.5复平面C上的集合£>，如果满足：

（1）、是幵集；

（2）、Z）中任意两点可以用宥限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于£>。

则称Z）是一个区域。

结合前面的定义，有有界区域、无界区域。

性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的丌集。

区域Z）内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。

扩充复平面C、上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C 上的一个区域与无

穷远点的一个邻域的并集。

设已给

z = z(t\(a

如果Rez⑴和Imz⑴都在闭区间［a y b］上连续，则称集合(z(z) | Z e［^］｝为一条连续曲线。如果对［^刎上任意不同两点［及~ ,但不同时是k，/?］的端点，我们有2(^)^2(^2),那么上

述集合称为一条简单连续曲线，或约当曲线。若还有z(a) = z(b),则称为一条简单连续闭曲线，或约当闭曲线。

约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。

光滑曲线:如果Rez(z)和Imz(z)都在闭区间［6/，/?］上连续，且有连续的导函

数，在［a，办］上，z’(r)矣0则称集合｛z(r)|fe［a，Z?］｝为一条光滑曲线;类似地，可以定义分段光滑曲线。

设£>是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线的内区域屮每一点都属于则称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。

C、中区域的连通性：如果D内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于则称£>是单连通区域，否则称£>是多连通区域。

例1、集合｛z|(l-z*)z + (l + Of〉O｝为半平面，它是一个争连通无界区域，其边界为直线

(l-/)z + (l + z)z=O

艮P x + y = 0 o

例2、集合｛到2

例3、集合｛z 12 < arg(z -Z) < 3｝为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线

arg(z -，•)= 2 及arg(z - z) = 3。

例4、集合｛z|2<|z-/|<3｝为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为

岡|z-/|=2 及|z-/|=3。

例5、在上，集合｛2丨2<|到<+00｝与｛2|2<|2|<+0)｝分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为｛| z 2｝及｛| z |= 2｝｛co｝。

定义1.6设连续弧AB的参数方程为z = z⑴，(a

任取实数列H n

汉=，0 <，1

并且考虑AB弧上对应的点列：

z,. =z(Z z)，(/ = l，2,3 …")

将它们用以折线2,,连接起来，2,,的讼度

/=!

如果对于所有的数列，上述都有界，责成AB弧为可求长的。上确界/L = sup/,,称为AB弧的松度。

定义1.7设简单(或简单闭)曲线C的参数方程为

z = x(t) +

乂在上，YdjO存在、连续且不全为零，则C称为光滑(闭)曲线。

定义1.8宥宥限条光滑曲线衔接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线。

特别，简单折线是逐段光滑曲线。

定理(约当定理)任意简单闭曲线C将平面z惟一地分成C、I (C)、

E (C)三个电集，它们具有如下性质：

(1)、彼此不交；

(2)、I (C)是一个宥界区域(称为C的内部)；

(3)、E (C)是一个无界区域(称为C的外部)；