大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念 • 二、Cramer法则 • 三、应用 • 复习小结
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性 方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
解
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. r1 2r2 r4 r2
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
67 , 3
3 3 2 0 4 0 D2 1 11 6 1 1 5 6 系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 A13 , A23 , A33 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
《线性代数》1.5第五节 克莱姆法则
按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数 余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列 互换，有 所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线 性 代 数
(第二版)
第五节 克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则 定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
线性代数—克莱姆法则
线性代数—克莱姆法则
克莱姆法则是由现代数学家狄里克·克莱姆在十九世纪二十年代初发现的一种数学方法，用于快速地解决某些复杂的非线性方程组。
该法则主要有四步：（1）假设一组未知量；（2）求解该组方程；（3）核查解的有效性；（4）如果解有效，则接受该解；否则更改第1步中的未知量，然后重新开始这一过程。
克莱姆法则的运用是基于线性代数中最优化方程组的求解，即确定未知连续变量的值来最大程度地满足非线性方程组限制条件的过程。
由于该法则具有容易理解、计算方便、解结构同构完整、解复杂度小等特点，因而迅速受到业界的欢迎，成为现代线性代数常用的求解方法之一。
克莱姆法则应用于显式多元线性方程组中，它假设这一方程组具有唯一的解，并通过将该方程组映射到另一个虚拟方程组来解决。
它也可以用来求解隐式的多元线性方程组，其优点是能够有效规避数值问题。
实际应用中，克莱姆法则也往往与其它数值技术相结合，如子程序法、减法法等，为解决最优化问题提供了更强大的解决方案。
同时，该法则也被拓展应用到其它领域（如运筹学），并在控制工程和机器人学等领域大量使用。
求解线性方程组的方法探究
求解线性方程组的方法探究作者：杨伍梅来源：《新丝路杂志（下旬）》2018年第04期摘要：线性方程组的求解是大学数学中一个非常基础也很重要的问题，它的求解方法多种多样，在具体问题中如何选择合适的方法正确求解尤其重要。
本文对常用的几种方法进行分析探究，分析出每种方法的优越性与局限性，以便学生正确选择。
关键词：线性方程组;克莱姆法则;高斯消元法;Matlab;逆矩阵线性方程组的求解是线性代数这门课程中的一个很重要的基础部分，它的求解方法多种多样，主要有克莱姆法则、逆矩阵法、高斯消元法、Matlab仿真法等[1]。
下面分别介绍每一种方法的使用条件、解题方法、优越性及局限性，以便具体求解过程中选择合适的方法。
一、用克莱姆（Gramer）法则求解线性方程组1.使用条件要求线性方程组中未知量的个数等于方程的个数，且系数行列式的值不等于零[2]。
2.克莱姆法则当线性方程组（1）满足上述条件时，则可写出线性方程组的系数行列式为：4.优越性与局限性用克莱姆法则求解线性方程组时必须满足方程组的未知量的个数等于方程的个数，且系数行列式的值不等于零两个条件，对于二元与三元线性方程组的求解用这种方法比较方便，但对于三元及三元以上的线性方程组的求解时，由于每次需计算n+1个行列式，计算量较大，因此用这种方法求解不太适应。
二、用逆矩阵求解线性方程组1.使用条件与克莱姆法则的条件相同，即要求线性方程组中未知量的个数等于方程的个数，且系数行列式不等于零。
2.思路分析4.优越性与局限性此种方法在思路上比较简单，但牵涉到逆矩阵的求解与矩阵乘法两种非常基础而又比较复杂的运算[5]，比较容易出错，往往容易出现一步错而导致步步错，最终无法正确求解。
但如果系数矩阵为正交矩阵时其逆矩阵就是其转置（）[6]，所以用这种方法求解时比较容易。
三、用高斯（Gauss）消元法求解线性方程组1.使用条件所有的线性方程组都适应，无特殊要求。
4.优越性与局限性利用高斯消元法解线性方程组适应范围广泛且计算较简便，但对于未知量较多或系数较复杂时往往计算量较大，很难直接计算出结果。
1-7克莱姆(Gramer)法则
的两边,
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A11 b1 A11 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A21 b2 A21 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A31 b3 A31
将3个方程的两边相加，得
而其余x1 ,x3的系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 1 A2 A A 3 , 3 ,3 3 依次乘方程组的3个方程
11
跳转到第一页
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
0 1
67
0,
1 1 3 2
3 5 2 4 3 0 D1 11 6 1 1 5 6 1 3
由上页
21
跳转到第一页
1 4 1 2
67 , 3
3 D2 0 1
3 4 56
2 0 1
1 4 1
1 11 6
0,
3 2
3 D3 0 1
5 3 1
3 4 56
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
3
解
5 3 1
2 0 1
1 4 1
D
证:显然一定有零解， 当系数行列式D ≠ 0，由定理1，
x1 D D1 D D , x2 2 , x3 2 , , x n n . D D D D 其中 D j 0 j 1, 2, , n . xj 0
线性代数—克莱姆法则
D 0,则(2)必有非零解.
8
例2 问 取何值时，齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 0
x1
x2
x3
0
x1 x2 x3 0
有非零解？
解 1 1 2 1 1
11 1
D 1 1 2 1 ( 2) 1 1
3 2
0 1
9 27,
5
14 0 6
1 4 7 0
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
7
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
称方程组 a21x1a22x2a2nxn 0
D 27,
8 1 5 1
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6
1
2 81, D2 0
9 5
0 1
6 108,
2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
27, D4
1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
0,
an1 an2 ann
《线性代数》精品课件：1-4-克莱姆(Gramer)法则
其中
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b2 a23 , D3 a21 a22 b2
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2,L ,bn不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、 Gramer法则
a22 x2 L LLLL
L
a2n xn 0 LLLL
2
an1 x1 an2 x2 L ann xn 0
一定有零解，当系数行列式D ≠0，只有零解
证:显然一定有零解， 当系数行列式D ≠ 0，由定理1，
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,L
,
xn
Dn D
.
其中 Dj 0 j 1, 2,L , n .
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
, x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a a b a a 11
线性代数-克莱姆(Gramer)法则
a31 x1 a32 x2 a33 x3 A32 b3 A32
将3个方程的两边相加，得
(a11 A12 a21 A22 a31 A32 ) x1 (a12 A12 a22 A22 a32 A32 ) x2 (a13 A12 a23 A22 a33 A32 ) x3 b1 A12 b2 A22 b3 A32
0 67
0,
x4
D4 D
67 67
1.
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
推论： 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
二、重要定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
定理2 齐次线性方程组
a21
x1
a22
解线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 其中系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
由
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
21 8 1
由上 页
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
14 0 6
27,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
线性代数—克莱姆法则
取何值时， 例2 问 λ 取何值时，齐次线性方程组 λ x 1 + x 2 + x 3 = 0 有非零解？ 有非零解？ x1 + λx 2 + x 3 = 0 x + x + λx = 0 2 3 1 解
1 1 1 λ+2 1 1 D = 1 λ 1 = λ + 2 λ 1 = ( λ + 2) ⋅ 1 λ 1 1 1 λ λ+2 1 λ 1 1 λ 1 1 1 1 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , = ( λ + 2) ⋅ 0 λ − 1 0 0 λ −1
解
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 1 4 −7 6
r1 − 2r2 r4 − r2
− 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 0 7 −7 12
4
− 5 13 7 − 5 13 1 −3 0 −6 = −2 −1 2 = 0 2 −1 2 7 − 7 12 0 7 − 7 12 0 7
第四节
音 乐
如果线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
λ
所以当 λ = −2 或 λ = 1 时,方程组有非零解. 方程组有非零解.
9
练习： 练习：
P28 习题一
10
END
线性代数 克莱姆(Cramer)法则
其中 b j 称为右端项 (或常数项)；
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
简记为
ai j x j bi ,
j 1
n
i 1 , 2 , , n .
称为系数行列式 .
2
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 二、克莱姆(Cramer)法则 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 定理 考虑线性方程组 行 列 P 18 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 定理 式 1.3 若系数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解
再将 n 个方程相加，得
n n n n ak 1 Ak 1 x1 ak 2 Ak 1 x2 ak n Ak 1 xn bk Ak 1 . k 1 k 1 k 1 k 1
4
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 一 章 行 列 式
6
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 三、齐次与非齐次线性方程组 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 行 定义 设线性方程组为 列 P 21 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 式 (1) 若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零， 则称此方程组为非齐次线性方程组; (2) 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零， 则称此方程组为齐次线性方程组; 注 通常还称齐次线性方程组为它所对应的非齐次线性 方程组的导出(方程)组. 7
03-第三节-克莱姆法则
03-第三节-克莱姆法则克莱姆法则，又称克莱姆-高尔德定理，是线性代数中的一个基本定理。
它是由瑞典数学家Thomas Joannes Stieltjes的工作启发得到的，是Sylvester定理的推广。
它表明对于一个n元线性方程组，其解向量的每一维可以表示为n个由原方程组变换而来的n-1元线性方程组的行列式比值，而这个比值只与原方程组的系数矩阵有关，与常数向量无关。
克莱姆法则的核心是求解一个n元线性方程组Ax=b，其中A为n×n的方阵，b为n 元常数向量。
假设原方程组的系数矩阵为A=[a1,a2,…,an]，则对于解向量x=[x1,x2,…,xn]，可以表示为：x1 = (det(A1)/det(A))……其中，A1=[b1,a2,…,an], A2=[a1,b2,…,an]，An=[a1,a2,…,bn]，det(A)为A的行列式，det(Ai)为将A中的第i列替换为向量b后得到的矩阵的行列式。
换句话说，x1、x2、…、xn是由Ai中的元素和bi组成的行列式，除以A的行列式得到的。
克莱姆法则适用于系数矩阵非奇异的情况，即det(A)≠0的情况。
当det(A)=0时，原方程组可能无解，也可能有无穷多解，无法使用克莱姆法则求解。
克莱姆法则的优点在于简单，直观，易于使用。
但是，它也有一些缺点。
首先，它只适用于小规模的方程组，因为计算每个Ai和det都需要指数级的时间复杂度。
其次，由于对每个解分别计算行列式比值，因此克莱姆法则对于数值误差非常敏感，可能产生较大的舍入误差。
因此，在实际应用中，一般使用其他更为鲁棒的方法，如高斯消元法、LU分解法等。
总之，克莱姆法则是一个强大且简单的工具，可以用于分析和解决一些线性方程组问题。
线性代数 克莱姆(cramer)法则
而其余xi i j 的系数均为 0; 又等式右端为D j .
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克莱姆法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn (1)
在把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
轴平行,故可设其方程为
y c bx ax 2 ,
此方程的系数行列式是范德蒙得行列式,而
1 D 1 1 1 2 3 1 9 1 1 1 2 4 1 3 3 2 3 12 1 2 0. 9
41
所以方程组有唯一解, 又
D1 14, D2 16, D3 4,
故 c 14 2 7,b 16 2 8,a 4 2 2.
2 y 7 8 x 2 x . 即所求的抛物线方程为
cramer法则
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
2、如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。
即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
线性代数 克莱姆(Cramer)法则
克莱姆(Cramer) 法则◼克莱姆(Cramer) 法则克莱姆(Cramer) 法则◼概念◼n阶线性方程组的解在这一节里,⚫克莱姆（Cramer ）法则我们讨论用n 阶行列式解n 元线性方程组的问题.设n 个未知量,n 个方程的线性方程组为11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.1)⚫克莱姆（Cramer ）法则称为方程组(1.4.1) 的系数行列式.111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =定义1.4.1b1,b2,…,b n不全为零时，当线性方程组(1.4.1)右端的常数项当b1,b2,…,b n全为零时，称为非齐次线性方程组；称为齐次线性方程组.如果线性方程组则方程组有唯一解，11112211211222221122 1.4.1n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（）的系数行列式D ≠0,定理1.4.1 (克莱姆(Cramer)法则)非齐次线性方程组n n D x D =( 1.4.2 )并且解可以用行列式表示为22,D x D =11,D x D =33,D x D =,其中D j (j =1,2,…,n ) 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组（1.4.1）右端的常数项b 1,b 2,…,b n 代替后所得到的n 阶行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=11112211211222221122 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩证先求x 1,分别用A 11,A 21,⋯,A n1同时A 11A 11A 11A 21A 21A 21A n1A n1A 11A 21A n1A n1乘以第1个方程到第n 个方程两边,得：将这n 个方程两边分别相加，得：Dx 1+0x 2+⋯+0x n =D 1即Dx 1=D 1.因D ≠0，所以x 1=D1D .同理可求.j j D x D =然后将11,D x D =22,D x D =33,D x D =nn D x D=,带入原方程组验证即可.证毕.因为显然齐次线性方程组总是有解的, 如果齐次线性方程组的解x 1, x 2,…, x n 不全零解.则称为非零解.为零, x 1=0, x 2=0, …, x n =0 就是它的一个解, 称为若齐次线性方程组10nij j j a x ==∑，12,i n =，，(1.4.4)的系数行列式D ≠0 ,又因为常数项均为0,定理1.4.2证因为D ≠0 ，于是0jj D x D ==1,2,,j n =（）.所以方程组(1.4.4)有唯一解.那么D j =0 (j =1,2,…,n ) .则它只有唯一的零解.推论若齐次线性方程组（1.4.4）有非零解，则系数行列式D=0.克莱姆法则解决了方程个数和未知量个数相等且系数行列式不为零的线性方程组的求解问题，在线性方程组的理论研究上具有十分重要的意义.但是当n 元线性方程组中未知量的个数应用克莱姆法则计算量还是比较需要寻求更简单的方法.我们在第四章中讨论.关于一般的n 较大时，大的，线性方程组的解法，例112341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +−+=⎧⎪−−=⎪⎨−+=−⎪⎪+−+=⎩解线性方程组系数行列式D =解2151130602121476−−−=−−270≠又1D =8151930652120476−−−=−−−81，108−2851190605121076−−=−−−2D =3D =27−，4D =27由克莱姆法则，113D x D ==224D x D ==−331D x D ==−441D x D ==方程组有唯一解例21231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+−=⎨⎪−+=⎩有非零解.k 为何值时，方程组解1111211k D k =−−由定理1.4.2的推论知，若齐次线性方程则其系数行列式D =0. 因为(1)(4)k k =+−k = −1或k =4 时，方程组有非零解.所以, 组有非零解，例3解22()0a x y bx cy d ++++=（1.4.5）这个方程含有四个待定系数a ,b ,c ,d , 给定平面上不共线的三个点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3),平面上一般圆的方程为求过这三个点的圆的方程.且a ≠0.点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3)在圆上，应满足方程(1.4.5),于是得到一个以a ,b ,c ,d 为未知量的齐次线性方程组.22221111222222223333()0,()0,()0,()0.a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d ⎧++++=⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩(1.4.6)由于a ≠0 ，齐次线性方程组(1.4.6) 有非零解.经展开后，就为所求圆的方程.222211112222222233331111x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++由定理1.4.2的推论,(1.4.6) 的系数行列式应为零，即例401()n n f x a a x a x =+++(0)n a ≠最多有n 个互异的根.试证: n 次多项式证若不然,将其逐个代入方程f (x )=0,可得设f (x ) 有n +1个互异的根c 0,c 1,…,c n ,010********00n n nn n n n n a a c a c a a c a c a a c a c ⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.7) 把a 0,a 1,…,a n 看作未知量,则(1.4.7)是由n +1个其系数行列式未知量n+1个方程组成的一个齐次线性方程组,200021112111n n nn n nc c c c c c D c c c =为n +1阶范德蒙行列式的转置,故D ≠0 .由定理1.4.2,从而a n =0,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,此与题设条件矛盾. 证毕.ቐa +b −2c =−2a −2b +3c =92a −3b +c =1思考题用行列式求下列方程组中的c 值为1310。
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆法则是线性代数中的一个定理，用于求解n元线性方程组的解。
它有两种证明方法：代数法证明和几何法证明。
1. 代数法证明：
- 首先，假设有一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个
n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
- 根据克莱姆法则，如果A是可逆矩阵，即det(A)≠0，那么方程组有唯一解，解为x=A⁻¹b，其中A⁻¹是A的逆矩阵。
- 现在我们使用线性代数的定理，在矩阵A的逆矩阵存在的条件下，通过线性方程组的变换可以得出唯一解的表达式。
- 我们可以通过对Ax=b两边同时左乘A的逆矩阵A⁻¹，得到x=A⁻¹b。
- 这样就证明了克莱姆法则成立。
2. 几何法证明：
- 首先，我们将n元线性方程组转化为矩阵形式Ax=b，并将其视为方程组的几何表示。
- 根据几何直观，如果矩阵A是可逆的，即行向量或列向量的线性组合不为零，那么方程组有唯一解。
- 当A是可逆矩阵时，矩阵A的行向量或列向量构成一个n维的空间，称为列空间或行空间。
- 如果矩阵A是可逆的，那么由于列空间或行空间的维数等于n，所以方程组有唯一解。
- 因此，几何上的直观理解也证明了克莱姆法则的成立。
这些证明方法都是基于线性代数的基本原理和定理，可以通过严谨的推导和数学推理来证明克莱姆法则的正确性。
线性代数第二章3克莱姆法则.ppt
引理 若n阶矩阵A (aij )nn的元素aij在det A 中
的代数余子式为Aij，则对任意r, s, 1 r, s n 有:
n
arj Asj
j1
det A
第r行的元素乘以第s 行元素对应的代数余子式之和）
n
i1
a ir Ais
det A
x2 2 x2
x3 x3
x4 5x4
0 5
x1 x2 x3 x4 1
1 1 1 2 0
解：系数矩阵A
2
1
1
1
,
b
0
3 2 1 5 5
1
1
1
1
1
1 1 1 2
0 1 1 2
2 1 1 1
0 1 1 1
det A 3
2
9, 15
det A1(b) 5
2
0
当r s 当r s
(2.25)
（用第r列的元素乘以第s列元素对应的代数余子式之和）
证: r=s时,由定理2.1知两式均成立 r s 时,设A ( A1, A2, , An), Ai是列向量（i=1, ,n）
As 被替换为 Ar B (A1, , Ar , Ar , , An)
把det B按第s列展开
在第s列
n
n
0 det B bis Ais air Ais
i 1
i 1
n
所以，
i1
air Ais
det A
0
当r s 当r s
2 1 0 3
例：A
1
3
1 5
1 3
1 0
,
求A41
A42
A43
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齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、 Gramer法则
定理1 如果线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
记
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 D3 a21 a31 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
用D中第1列元素的代数余子式 A11 , A21 , A31 依次乘方程组的3个方程
的两边
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A13 b1 A13 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A23 b2 A23 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A33 b3 A33
将3个方程的两边相加，得
(a11 A13 a21 A23 a31 A33 ) x1 (a12 A13 a22 A23 a32 A33 ) x2 (a13 A13 a23 A23 a33 A33 ) x3 b1 A13 b2 A23 b3 A33
由代数余子式的性质可知, 上式中x3的系数等于D ,
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
67 , 3
3 3 2 0 4 0 D2 1 11 6 1 1 5 6 3
1 4 0, 1 2
a11
其中系数行列式 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 0, a33
由
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
而其余x1 ,x3的系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 A13 , A23 , A33 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D4 67 x4 1. D 67
D3 67 2 1 x3 , D 67 2
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 . 推论： 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.
二、重要定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 定理2 齐次线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
3 5 3 0 3 4 D3 1 1 11 6 1 1 5 6
1 4 1 2
67 , D4 2 1
3 5 0 3
2 0
3 4
1 1 11 6 1 1 3 5 6
67,
由上页
D1 67 3 1 x1 , D 67 3
D2 0 x2 0, D 67
j 1, 2, , n .
定理3
2 有非零解,则它 如果齐次线性方程组
的系数行列式必为零. 系数行列式 D 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
3x x x 0 2 3 1
解
1
1 1 1
2
D 1 3
2
1
3 1 3 1 ( 1)
当 1 时只有零解。
三、小结
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
a11
(1)
a12 a1 n a 22 a 2 n a n 2 a nn
的系数行列式不等于零，即 D
a 21 a n1
0
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , x n . D D D D
3 4
0
0 0
• 有非零解？方程组只有零解？
为便于理解一般性证明，先对n=3给出证明, 其方法与一般性证明类同. 解线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13
由 上 页 2 1 2 7 7 12
c1 2c2
3 5
3
c 3 2c 2
0 1 0 7 7 2
3 3 27, 7 2
8 9 1 5 1 3 0 6 2 4 1 7 2 6 2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6
(a11 A12 a21 A22 a31 A32 ) x1 (a12 A12 a22 A22 a32 A32 ) x2 (a13 A12 a23 A22 a33 A32 ) x3 b1 A12 b2 A22 b3 A32
由代数余子式的性质可知, 上式中x2的系数等于D ,
解
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. r1 2r2 r4 r2
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念 • 二、Cramer法则 • 三、应用 • 复习小结
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性 方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
有非零解.
• • • • • • •
对于齐次线性方程组（2），如下条件等价 1） 系数行列式D不等于0 2） 齐次线性方程组（2）只有零解 3） 齐次线性方程组（2）存在唯一解 4) 齐次线性方程组（2）没有非零解 问题：讨论 D＝0 的等价条件
例3 问 取何值时，如下方程组只有零解？ x1 x 2 x 3 0 x1 x 2 x 3 0
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
的两边,
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A11 b1 A11 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A21 b2 A21 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A31 b3 A31
将3个方程的两边相加，得
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , x n . D D D D
也是方程组的 1 解.
同理,
用D中第2列元素的代数余子式 A12 , A22 , A32 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 的两边,
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1n D j a n1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
例1 用克莱姆法则解方程由上页 D3 0 1 27,
1 8 1 3 9 6 2 5 2 4 0 6
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A12 b1 A12 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A22 b2 A22 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A32 b3 A32