费米分布函数电子的总数
固体物理学：第五章 第一节 费米分布函数和自由电子气比热容
N(E)是能态密度函数。
二、基态（T=0K）下的分布函数 和自由电子气的费米能
在零温下，分布函数：
其中 function)
称为亥维赛单元函数(Heaviside step
在基态下，所有能量小于或等于费米能的态都被占 据，而所有能量高于费米能的态都空着，费米面就 是价电子的最高能量，有
第五章 金属电子论
§5.1 费米分布函数和自由电子气比热容
一、费米分布函数
金属的物理性质主要取决于导带电子。在单电子近似 下，导带电子可以看作是一个近似独立的粒子系统。 系统中的电子具有一系列确定的本征态，这些态由能 带理论确定。 系统的宏观状态，可以用电子在这些本征态的分布来 描述，其平衡态分布函数就是费米分布函数：
温度高于德拜温度，晶格比热容其主导作用。 只有在低温下，电子对金属的比热容才有显著贡献。
在T趋近于0时，电子比热容按照T的线性函数趋于0， 而晶格比热容按照T3趋于0：
令
得到一个温度
以铜为例，取 得到
低于此温度电子比热容占优势。
测金属的低温比热容，一般做Cv/T和T2的曲线，我们 将得到一个直线，斜率即系数b，截距就是γ。
，估算值和计算值只差一个常数
从5.1.27，得到自由电子气的比热容：
利用
得到
因此
与经典气体不同，电子气的比热容与温度成正比。在室温 附近，它只是经典比热的1%左右，电子对比热容的贡献 微乎其微。这是因为大多数低于费米能的电子不参与热激 发，只有费米面附近的电子才对比热有贡献。 金属的总比热容应该包括晶格比热容和电子比热容：
它给出在温度T时，一个能量为E的量子态被电子占据的概率。 EF是费米能，也就是系统的化学势。它与系统温度和电子浓度有关。
费米狄拉克分布函数解析图像和应用
费米狄拉克分布函数解析图像和应用文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E)称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、TE fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性:【根据f(E)公式来理解】第一，费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．，E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)f(E)式可画出f(E)的曲线如图所示，但要注意因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
的能级都空着。
因而费米能级E f 是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。
费米分布函数变化曲线T 3>T 2>T 1>T 0第五，在T≠0K时即不处于绝对零度的前提下，若E-E f＞5kT，则f(E)＜0.007；在T≠0K 前提下，若E-E f＜-5kT，则f(E)＞0.993。
(k、T分别为波耳兹曼常数和绝对温度)可见，温度T高于绝对零度的前提下，能量比E f高5kT的能态被电子占据的几率只有0.7%，几率很小，能级几乎是空的；而能级比E f低5kT的能态被电子占据的几率是99.3%，几率很大，该能级范围几乎总有电子。
一般可以认为，在T不为绝对零度但也不很高时，能量小于E f的能态基本上为电子所占据，能量大于E f的能态基本上没有被电子占据；而电子占据费米能级E f这个能级的概率是(不论任何温度下)都是1/2。
电子在各量子态中的分布
k BT 范围内
第五章 金属电子论
§5.4 电子热容
π 2 (k BT ) 2 3 电子的平均能量为 E = E F + 5 4 EF
单位体积中自由电子气的总能量为
N N 3 π 2 (k B T ) 2 E = E = [ EF + ] V V 5 4 EF
对热容的贡献为： 对热容的贡献为
，
γ =
N 1 2m 3 / 2 ∞ E 1 / 2 dE 电子密度 n = = 2 ( 2 ) ∫0 ( E − µ ) / k BT V 2π ℏ e +1
式中的积分无法严格积出， 式中的积分无法严格积出，通常只能近似求解 可以看出 µ 与
n
和T有关 有关
µ ( n, T ) 针对某种金属 n 是一定的，所以 µ 是一定的，
2 π 2 nk B
∂E N π 2 kB T Ce = )V = 2 EF ∂T V 4
2
2 EF
=
π2
2
nk B
2
T ≈ γT EF
Ce
成正比， 与T成正比，且随 T → 0K , 成正比
Ce → 0
这与经典理论的结果完全不同。 这与经典理论的结果完全不同。
对于金属，除自由电子对热容有贡献外， 对于金属，除自由电子对热容有贡献外， 晶格振动对热容也有贡献， 晶格振动对热容也有贡献， 在低温度下，可用德拜理论，总的热容可表示为： 在低温度下，可用德拜理论，总的热容可表示为
解出 ：
ℏ2kF EF = 2m
2
其中
k F = (3π n)
2
1/ 3
N n= V
kF
称为费米波矢
电子的状态在 空间中都落在能量不同的等能面上 电子的状态在 k 空间中都落在能量不同的等能面上 对于自由电子气，其等能面都是球面 对于自由电子气， 其中能量等于费米能 的等能面称为费米面 其中能量等于费米能 E F 的等能面称为费米面 显然自由电子气的费米面为球面。 显然自由电子气的费米面为球面。 费米波矢 k F 就是球形费米面的半径 在绝对零度 费米面内所含有的全部量子态都被电子占满， 费米面内所含有的全部量子态都被电子占满， 费米面以外的状态全是空的
固体物理学：第五章 第一节 费米分布函数和自由电子气比热容
费米能 Ef
费米能大小是几个eV （铜: 7eV） 温度 300K对应能量 0.026 eV << Ef
一个量子态只能容纳一个电子，所以费米分布函数实际上给出 了一个量子态的平均粒子占据数，如果体系有N个电子，则：
随着温度升高，费米能略有下降，假设 在0K和300K之间Ef相对下降约为
电子气与经典气体统计性质的差异，称为简并性。泡利原理 使得电子气具有极大的零温能和零温压强，是简并的特点。 下面的条件是简并的判据：
只要温度T比费米温度Tf低得多，电子气就是简并的，判据 5.1.22和5.1.8定义了临界的电子浓度，当
它的大小大约在 50,000 K， 室温T相对而言就很低了
所以分布函数在室温下，与基态时相差不大，仅仅是 费米面附近KBT范围内的电子被激发到费米面上，而 在费米面下留下些空穴。室温和零温下的费米能相差 也很小。
因为
分布函数为
温度的影响：
有
它近似是一个关于EF对称的δ函数。 分布函数的这些特点使得我们可以采用近似方法得到 非零温下的费米能：
对于很多金属，实验测量得到的γ值，与自由电子 模型的符合的很好。也有些材料，两者的偏差是来 自于自由电子气模型过于简单。
理论和实验的电子比热容系数
对于过渡族金属，除了未满的s带之外，还存在未满的 d带，d带是内层电子的窄能带，加之5个d轨道形成的 能带严重交叠，有特别大的特密度。同时d带和s带也 有很大的重叠，费米能位于d带中。因此过渡金属 N(EF)很大，具有很高的电子比热容
费米分布函数对所有量子态求和等于系统中总电子数，由于能 量状态是准连续分布的，可以由求和变为积分：
平均占有数——费米分布函数电子的总数
kBT CV N 0 ( 0 )kB 2 EF
细节
。。。
§费密统计和电子热容量
—— 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看 作是独立的，具有一系列确定的本征态 —— 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都 在一个能带内
1. 费密分布函数
电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计 —— 热平衡下时，能量为E 的本征态被电子占据的几率
2 h 0 EF (3n 2 )2/3 2m
电子的平均能量 —— 5
结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 —— 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子
—— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态
电子的费密能量
总的电子数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
—— 费米分布函数
物理意义：能量为E的本征态上电子的数目 —— 平均占有数 （费米能量？或）化学势 μ —— 体积不变时，系统增加一个电子所需的自由能 电子的总数
N f (Ei )
i
—— 对所有的本征态求和
两本书的差别
黄昆：
f (E ) e
1
E EF k BT
1
—— 温度升高 费密能(=化学势)下降
2 k BT 2 E F E [1 ( 0 ) ] 12 E F
0 F
胡安：
f (E ) e
1
E k BT
1
—— 化学势 费密能 = 0温化学势
2 k BT 2 T E F [1 ( ) ] 12 E F 0 EF
经典电子论的成就 解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等 经典电子论的困难 按照经典能量均分定理，N个电子的能量 对热容量的贡献 大多数金属
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各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)exp[(11)(kT E E E f F -+=f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。
根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。
上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。
而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适用于非平衡状态随着温度的升高，能量略低于E f的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f的量子态被电子占据的概率增大。
半导体物理2.1状态密度及费米分布函数
状态密度及费米分布函数
N f (E)g(E)dE Ec f(E):电子的分布函数 g(E):状态密度
导带
价带
状态密度 ：单位能量间隔内的状态数目 g(E) dZ
dE
K空间状态密度为 V ，考虑电子自旋后为 2V
K空间状态密度为 V ，考虑电子自旋后为 2V
gv(E )
gvl(E ) gvh(E )
4V h3
(2m
* hd
)3
/
2(Ev
E )1 / 2
(mh*d )3/ 2 (ml*h )3/ 2 (mh*h )3/ 2 空穴状态密度有效质量
Si : mh*h 0.49m0 , ml*h 0.16m0 m*hd 0.55m0
Ge : mh*h 0.28m0 , ml*h 0.044m0 m*hd 0.29m0
f
T=0
f(E)
1
* 电子的费米统计分布函数
1
fe
(E)
1
exp
EE KT
f
E-Ef>>KT
fe (E)
exp
E Ef KT
* 空穴的费米统计分布函数
fh (E) fe (E) 1
1
1
fh (E)
1
1
exp
E Ef KT
1
exp
Ef KT
E
1
fh
(E)
1
exp
Ef KT
E
m*ed 1.08m0 m*ed 0.56m0
半导体的价带：极值在k=0，分重空穴和轻空穴两支能带
重空穴能带的状态密度:
gvh(E )
费米系统的微观状态数
费米系统的微观状态数是指费米子在特定条件下所占据的微观状态的数量。
费米系统的微观状态数与系统的尺寸、温度、粒子数等参数有关。
下面将对费米系统的微观状态数进行简要的说明。
费米系统的微观状态数可以按照统计物理中的费米分布来计算。
费米分布是一种描述粒子在给定粒子数和能量条件下分布的统计分布。
在费米系统中，粒子被视为费米子，其占据的微观状态的数量遵循费米分布。
当系统处于费米温度下时，费米子占据的微观状态的数量遵循费米分布函数，即每个费米子占据一个微观状态的概率与其能量成反比。
具体来说，对于一个具有相同能量的费米子，它们在系统中占据不同微观状态的数量的概率相等。
为了计算费米系统的微观状态数，我们需要知道系统的尺寸、粒子的数目以及能量边界条件。
这些参数将影响微观状态的数目，因为它们决定了系统内可利用的粒子位置和相互作用的可能性。
假设我们有一个由有限数量的粒子组成的二维矩形系统，其中每个粒子具有相同的能量和动量。
我们还需要考虑粒子之间的相互作用，例如库仑相互作用。
根据这些参数，我们可以使用统计物理中的费米统计方法来计算费米系统的微观状态数。
具体来说，我们可以使用费米子占据的微观状态的能量作为变量，并使用费米分布函数来计算每个能量范围内的微观状态的数量。
这个过程需要考虑到系统的边界条件和粒子的数目，以确保计算的准确性。
总之，费米系统的微观状态数是一个复杂的问题，需要考虑系统的尺寸、温度、粒子数、相互作用等多个因素。
通过使用适当的统计物理方法和计算方法，我们可以得到准确的微观状态数，为研究费米系统提供重要的基础数据。
《固体物理·黄昆》第七章(1)(1)
(2) 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信 息。
一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多。 在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的，热容量基 本是一个常数。
低温范围下不能忽略电子的 热容量。
C Metal V
CVPhonon bT 3
CVElectron T
EF0 kB
物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高
温度下的振动能。
金属：TF： 104 ~ 105 K
对于金属而言，由于T << TF总是成立的，因此，只有 费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能态，而 离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0）的状态， 我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然金属 中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并 不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一 小部分。
EF
E
0 F
[1
2
12
(
kBT EF0
)2
]
温度升高，费米能 级下降
EF
EF0
[1
2
12
(
kBT
E
0 F
)
2
]
T 300 K
kBT 2.6 102 eV
kBT
E
0 F
1
EF0 ~ several eV
EF EF0
三、 电子热容量
根据电子的能量分布得电 U f (E)EN (E)dE
子总能量：
由于（-f/E）具有类似函数特征，改变积分下限并
不会改变积分值
N
Q(EF ) (
f )dE E
Q '(EF ) (E
EF )(
什么是费米函数
什么是费米函数(Fermi Function)某小学由一班学生,学生人数为50人,班上所提供的座位有60个.老师以学生的身高进行座位的分配.经分配后,班上身高较高的学生将配往后座,而且经分配后,班上将留下10个空位.这是一般我们小时候常经历的生活经验.电子在原子内分布的情形与分布的规则,与上面这个例子十分的相似.电子的能级,好比是例子里的座位;而电子的能量,则好比是例子里学生身高.能量较高的电子,就好像是身高较高的学生一般,将占往高位的能级(即例子里的后座),并使低位能的能级留下空缺(即空位).因为材料的导电性与位于导带的导电电子密度(或数量)有关,为了了解这一点,我们势必要先了解电子的量子状态分布(如例子里的座位分配),及电子的能量分布(即学生的身高分布)后,才能让我们掌握有多少自由电子位于导带内(即有多少身高较高的学生能坐在后座).在材料科学上,我们通常称前者(即电子的量子状态分布)为状态密度(Density of Status),以N(E)表示;后者(即电子的能量分布)称为费米函数(Fermi Function),以P(E)来表示;而电子的分布函数(Electron Distribution Function),用F(E)来表示,并可以写为:F(E)=2*N(E)*P(E)----------------------------------(式2-16)其中电子分布函数F(E),可以简单的定义为: "能量为E的外围电子数量". (式2-16)之所以乘上2,式因为每个量子状态(Quantum State)可以被两个转动方向相反的电子所占,以符合Pauli不相容原理.至于表示电子能量分布的费米函数,则可以以下式表示:P(E)=1/(exp[(E-Ef)/kT]+1)----------------------(式2-17)其中T为绝对温度,k为波兹曼常数,而Ef则称为费米能量. 费米能量Ef可以定义为:" 在绝对温度零度(0 k)时,原子内电子所能占住的最高能级的能量". 也就是说,在0 k时,所有低于Ef的能级将完全为电子所占满,而高于Ef的能级则完全空着,如图2-22的实线所示.当物体所在的环境温度高于0 k后,虽然大多数的电子依然处于低能级上,但是一小部分的电子将因环境所提供的能量,而开始转往较高的能级,使电子的分布不再局限于Ef的下方,如图2-22的虚线所示.至于费米函数,则可以定义为:" 当物体所在的环境温度高于绝对零度时,在能量为Ef的能级上,发现电子的几率为50%", 如图2-22所示.。
半导体中电子的费米统计分布
半导体中电子的 费米统计分布
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一、 载流子的统计分布
电子系统：服从费米-狄拉
克统计
Ec
Ev
EF
但对金属和半导体，具体
EF
情况不同——
半导体
导体
在金属中，电子填充空带的部分形成导带，相应的费米能 级位于导带中，EF以下能级几乎全满
对于半导体(掺杂不太多)，热平衡下，施主电子激发到导 带中，同时价带中还有少量的空穴
导带底附近的电子和价带顶附近的空穴可以用简单的有效
质量mn*和mp*描述，则可直接 引用自由电子能态密度公式
(E)4V 3m 2k4k2
导带底附近： c(E)4h3V(2mn*)3/2 EEc
价带顶附近：
最v新(版E整)理pp4t h允3V许(的2m量*p子)3态/2按E能v量如E何分布
11
二、 载流子浓度
de2导带中电子的浓度2导带中电子的浓度二载流子浓度载流子浓度有效能级密度2导带中电子的浓度2导带中电子的浓度二载流子浓度载流子浓度2导带中电子的浓度2导带中电子的浓度二载流子浓度载流子浓度3价带中空穴的浓度3价带中空穴的浓度二载流子浓度载流子浓度得得单位体积中价带空穴数就是如同价带顶e个能级所应含有的空穴数价带顶附近有效能级密度把费米能级的位置和载流子浓度把费米能级的位置和载流子浓度很简单地联系了起来4费米能级4费米能级二载流子浓度载流子浓度温度不变导带中电子越多空穴越少温度不变导带中电子越多空穴越少反之亦然二载流子浓度载流子浓度至此我们获得了载流子浓度随温度变化的一般规律
O. 引言 一. 载流子的统计分布函数 二. 载流子浓度 三. 杂质激发 四. 本征激发
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o. 引言
半导体——许多独特的物理性质
4-4 费米统计1
2 (
f )d
第一项积分为1，第二项由于被积函数为奇，对称区域积分为0。
f 1 1 2 2 ( )d e 1 e 1 d 20 e 1 e 1 d 2
2 2e (1 2e 3e 2 ....)d
关于二价金属的费米面
X射线发射谱
• 阴极射线打击原子内层电子产生激发空出内层能级，价电 子向内层跃迁发射光子，表现为X射线的连续谱，谱线强 度取决于能态密度和发射几率。
• T>0K时，随温度升高，靠近费米面 EF0（几个kBT范围）的电子部分跃 迁到费米面之上，EF略小于EF0。
N f ( E ) N ( E )dE f ( E )Q( E ) 0 Q( E )(
• 只有当温度大于绝对零度时，由于热激发，费米面附 近的电子才可能跃迁到费米海以上的空态，但是费米 海深处的电子由于泡利原理的限制，如果没有足够的 能量是不可能跃迁到费米海以上的。当然费米面附近 电子的激发可以是其它形式的能量。
四、电子热容量
电子总能量U Ef ( E ) N ( E )dE f ( E ) R ( E ) 0
1 ds V 4k 2 m V 2m E 2 CE K E 4 3 2 k 2 2 m • 以近自由电子为例，周期性势场的影响主要表现在布里渊区边界 附近，在其它地方只对自由电子情况有较小的修正。因此，第一 布里渊区的等能面从原点向外，开始基本上保持为球面，在接近 布里渊区边界时，同样的 k，E(k)减小了，等能面将向边界凸出， 达到同样的E，需要更大的k。当E 超过在边界上的A 点的能量EA， 一直到 E接近于在顶角 C点的能量 EC，即第一能带顶时，等能面 将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附近的曲面。 N(EA)取极大值，而N(EC)将为零。
费米狄拉克分布函数
费米狄拉克分布函数费米-狄拉克分布（Fermi-Dirac distribution）全同和独立的费米子系统中粒子的最概然分布。
简称费米分布，量子统计中费米子所遵循的统计规律。
这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。
不过费米在数据定义比狄拉克稍早。
费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。
除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。
费米子是自旋为半整数( 即自旋为/2，=h/2π，h是普朗克常量）的粒子，如轻子和重子，全同费米子系统中粒子不可分辨，费米子遵从泡利不相容原理，每一量子态容纳的粒子数不能超过一个。
对于粒子数、体积和总能量确定的费米子系统，当温度为T时，处在能量为E的量子态上的平均粒子数为[2]费米-狄拉克分布公式式中，k是玻耳兹曼常量，εf是化学势。
在高温和低密度条件下，费米-狄拉克分布过渡到经典的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
对费米-狄拉克分布公式的理解：是各能级被电子占据的数目服从的特殊的统计规律。
费米能级：用来描述电子的能级填充水平的假想能级，E越大，高能级的电子越多，反之FE反映整体平均水平）。
对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。
费米能则越少（F级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。
只要知道了它的值，在一定温度下，就能确定电子在各量子态下的统计分布。
它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。
n型半导体费米能级靠近导带边，过高掺杂会进入导带。
p型半导体费米能级靠近价带边，过高掺杂会进入价带。
将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。
高二物理竞赛课件：费米统计和电子热容量
第一节 费米统计和电子热容量
若干概念及计算表达式
EF
2
k
2 F
2m
kF
2mEF
2
pF kF
vF
kF m
TF
EF kB
费米能(Fermi Energy)
费米半径(Fermi Wave Vector) 费米动量(Fermi Momentum) 费米速度(Fermi Velocity) 费米温度(Fermi Temperature)
E
3/
2
f E
dE
因为 所以
1
f (E) eEEF /kBT 1 f 0
N
2C 3
0
E
3/
2
f E
dE
很复杂, 只能近似求解！
第一节 费米统计和电子热容量
费米分布函数
1 f (E) eEEF / kBT 1
对其求导可得
f (E) 1
eEEF / kBT
E
kBT
eEEF / kBT
EF0
5/2 C N
E0 3/2 F
EF EF0
2
C
4N
kBT 2
E0 1/2 F
N 2 C 3
EF0
3/ 2
EF
EF0
1
2
12
kBT EF0
2
E
3 5
EF0
2
4
EF0
kBT EF0
2
3 5
EF0
1
5 2
12
T TF0
2
平均一个电子对比热容的贡献为
E 2 T
) kBT
2
半导体中电子的费米统计分布
半导体中电子的费米统计分布
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费米统计分布理论
04
实验研究与结果分析
06
半导体基本概念 半导体中电子的费米统计分布
结论与展望
Hale Waihona Puke 01添加章节标题02
半导体基本概念
定义与分类
定义：半导体是指介于导体和绝缘体之间的材料，具有导电性 分类：根据导电性质不同，半导体可分为N型半导体和P型半导体
06
结论与展望
研究结论总结
半导体中电子的费米统计分布是描述半导体中电子分布的重要理论。
通过实验验证了费米统计分布的正确性，为半导体物理研究提供了重要依 据。
研究结果揭示了半导体中电子分布的规律，为半导体器件设计和应用提供 了理论支持。
未来研究方向包括深入研究半导体中其他粒子的分布规律以及探索新的统 计分布理论。
添加标题
表达式：费米分布函数通常用费米能级EF表示，其 表达式为EF=kTln(N+1)+EFnN+1\text{EF} = kT \ln(N+1) + \frac{E_F}{N+1}EF=kTln(N+1)+N+1EF
添加标题
应用：费米分布函数在半导体物理、材料科学等领 域有着广泛的应用
费米能级与费米温度
半导体器件性能的优化
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纳米材料中的电子行为研究
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不同温度下的费米分布曲线
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实验误差来源与修正方法 应用前景
第3章费米分布及玻耳兹曼分布-zhaowr-2010
h
h
h
24
3.2.2 半导体中的状态密度 等能椭球面包围的k空间的体积为：
3 4ab 3 4c(m 8x m * ym * z)1 h /2 3(E E C )3/2
乘以k空间的状态密度2V，得到椭球内包含的量子态数：
Z8 3V(m 8x m * ym * z)1 h /2 3(EE C)3/2
量子态：一个微观粒子允许的状态。对费米子来说，一个量子 态只能容纳一个粒子。
量子统计理论指出：对于一个包含有众多粒子的微观粒子系统， 如果系统满足量子力学的粒子全同性原理和泡里不相容原理， 则没有必要追究个别粒子落在哪个量子态，而是考究在给定能 量E的量子态中有粒子或没有粒子的概率即可。
费米分布：
－1
等能面为球面时，价带顶附近电子能量E（k）与k的关系为：
E(k)EVh2(k122m k*p22k32)
m*p为价带顶空穴有效质(量 正值)。
E 通过类似的计算，得到以下结果：
价带顶附近状态密度：
EC
3
gVE4V2m h3 P 2
1
EVE 2
EV
gc(E) gV(E)
27
3.2.2 半导体中的状态密度
则：
gc(E)4V(m 2hn 3)3/2(EE C)1/2
mdn: 导带底电子状态密效 度质 有量。
对，硅 导带6底 个共 对， 有 称 d mn 状 1.0m 8 0 态 ; 对，锗 s8 ，d mn 0.5m 6 0
26
3.2.2 半导体中的状态密度 (3) 半导体价带顶附近的状态密度
30
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度 对旋转椭球形等能面:
gc(E)4V(m 2hn 3)3/2(EE C)1/2
费米分布函数电子的总数
3
—— 不能忽略电子的热容量
研究金属热容量的意义
0 C V [ N ( E F )( k B T )] k B 3
2
—— 许多金属的基本性质取决于能量在 EF 附近的电子，电 子的热容量与 成正比
—— 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信息
把能带考虑进来是必须的！
过渡元素 —— Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热容量 — 附近有较大的能态密度
因为
2 d 0 E F E F {1 0 [ ln N ( E )] E 0 ( k B T ) 2 } F 6 E F dE
对于近自由电子
2 k BT 2 0 E F E F [1 ( 0 ) ] —— 温度升高 12 E F 费密能级(化学势)下降
2 k BT 2 0 E F E F [1 ( 0 ) ] 12 E F
引入积分变数
( k BT ) d N Q (EF ) Q ''( E F ) 2 ( e 1)( e 1)
2 2
令 对于一般温度 将 按泰勒级数在 附近展开，只保留到第二项
2 N Q ( E F ) Q ''( E F )( k B T ) 2 6
量子力学对金属中电子的处理 —— 索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生 的平均势场中运动，电子气体服从费密 — 狄拉克分布 —— 计算了电子的热容，解决了经典理论的困难
原子中的电子能级 → Pauli不相容原理 → Fermi-Dirac分布 那么，金属中的自由电子气呢？ → 费米面！
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2.
的确定 之间状态数 之间的电子数
回忆态密度
金属中总的电子数
N f ( E ) N ( E ) dE
0
—— 取决于费密统计分 布函数和电子的能 态密度函数
N (E )
2V
2
2
(
2m
2
) 3/ 2 E 1/ 2
费米能级
金属中总的电子数
自由电子的能态密度
自由电子的费密能级
结论有多可靠？
晶格周期性的影响：能带纳入考虑 紧束缚模型观点的能带：s, p, d, f 电子
这是一个什么问题？
这是一个统计物理问题（3d，1d，2d？）
这是一个量子力学问题
1 V
e
r r ik r
1 V
e
i r r p r h
这是一个量子统计（量子多体）问题
凝练的理论问题
出发点（自由） 什么系综？
kBT CV N 0 ( 0 )kB 2 EF
细节
。。。
§费密统计和电子热容量
—— 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看 作是独立的，具有一系列确定的本征态 —— 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都 在一个能带内
1. 费密分布函数
电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计 —— 热平衡下时，能量为E 的本征态被电子占据的几率
量子力学对金属中电子的处理 —— 索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生 的平均势场中运动，电子气体服从费密 — 狄拉克分布 —— 计算了电子的热容，解决了经典理论的困难
原子中的电子能级 → Pauli不相容原理 → Fermi-Dirac分布 那么，金属中的自由电子气呢？ → 费米面！
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固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 金属电子论 电子的能带论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 电子的费米统计 2 电子输运
电子是量子的么？
常温常压下是的，确切来说，~106K以下 都是 像声子那样，有经典模型对应么？
有！ 就是经典自由电子气体，不幸的是我们是在常 温常压下检验它，所以它表现得很糟
交代一下内容逻辑顺序
金属中的电子是怎样存在着的？
矩形盒子：金属电子论
经典理想电子气体：Drude model 量子理想电子气体：Pauli exclusion principle
原子呢？晶格结构呢？
下一章。。。电子的能带论
2 h 0 EF (3n 2 )2/3 2m
电子的平均能量 —— 平均动能
E Kin
3 0 EF 5
结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 —— 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子
—— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态
电子的费密能量
总的电子数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
—— 费米分布函数
物理意义：能量为E的本征态上电子的数目 —— 平均占有数 （费米能量？或）化学势 μ —— 体积不变时，系统增加一个电子所需的自由能 电子的总数
N f (Ei )
i
—— 对所有的本征态求和
两本书的差别
黄昆：
f (E ) e
2 2 h k ˆ ˆ ˆk H ck c 2m k
主要讨论方法和技巧（分 T = 0 和 T > 0 ）
Tr (e ( H N ) ),
0 F
主要结论
f (E) e
1 k BT
1
E EF k BT
12Leabharlann 2 k BT 2 E F E [1 ( 0 ) ] 12 E F
费米分布函数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
电子填充能量
几率
f (EF ) 1 / 2
f (E ) 0
f (E ) 1
费米分布函数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
f (E ) 1 f (E ) 0
3) 在较低温度时，分布函数在 处发生很大变化
引入函数 —— 能量E以下的量子态总数 能态密度 应用分部积分
因为
f N Q ( E )( ) dE E 0
1
E EF k BT
1
—— 温度升高 费密能(=化学势)下降
2 k BT 2 E F E [1 ( 0 ) ] 12 E F
0 F
胡安：
f (E ) e
1
E k BT
1
—— 化学势 费密能 = 0温化学势
2 k BT 2 T E F [1 ( ) ] 12 E F 0 EF
把《统计物理》放旁边
量子统计物理学好没有？
费米子。。。
1 电子的费米统计和比热容
出发点是什么？
经典理想电子气体Drude模型的问题：比热容不符合实验 泡利不相容原理：从原子级别到固体级别 量子理想电子气体Sommerfeld模型：费米-狄拉克分布
中间推导过程 … …
态密度复习 粒子数密度条件 计算费米能： EF 是温度的函数？ （化学势） 能量，比热的低温行为
经典电子论的成就 解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等 经典电子论的困难 按照经典能量均分定理，N个电子的能量 对热容量的贡献 大多数金属
3 N k BT / 2 3NkB / 2
C
E x p e r im e n ta l V
/C
C la s s ic a l V
0 .0 1
k空间的费米面
的费米面内所有状态均被电子占有
一部分电子被激发到费密面外附近
以下推导，我们在做一件什么事情？
f (E ) e
1
E EF k BT
1
约束：
N f ( E ) N ( E ) dE
0
积分方程！
求解积分方程： E F E F T ? 分两步走: (1) T=0; (2) T>0
金属电子论
自由电子模型 —— 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用 特鲁特(Drude) — 洛伦兹金属电子论 （在2电子输运中介绍） —— 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程
—— 电子气体服从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计分布规律， 对电子进行统计计算, 得到金属的直流电导、金属电子的 弛豫时间、平均自由程和热容