数学建模-概率模型案例

设有 k 个人误机的概率是 Pk ，
Pk Cmk pk qmk , q 1 p
平均利润 S 即 ( s 数学期望值)，
mn1
m
S(m) Pk[ng r (m k n)b] Pk m k g r
k 0
k mn
m
由 kPk mp, k 0
m
Pk 1
k 0
mn1
得 S(m) qmg r b g Pk m n k k 0
p(r)dr
dn
0
n
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b bc
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为
0
pr dr
1
n
0
pr dr
n
pr dr
1
n p(r)dr a b
0
ac
因为当购进 n 份报纸时，
售不完的 概率
n
p(r)dr
0
p(r)dr
a b bc
n
售完的 概率
E(X ) xi pi (i 1,2,, n)
连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x) 则随机变量 X 的数学期望值为
E( X ) xf (x)dx
期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！
传送系统的效率
在机械化生产车间里，你可以看到这样的 情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张的 生产同一种产品，工作台上方一条传送带 在运转，带上若干个钩子，工人们将产品 挂在经过他上方的钩子上带走，当生产进 入稳态后，请大家构造一个衡量传送系统 效率的指标，并建立模型描述此指标与工 人数量、钩子数量等参数的关系。
考虑到社会声誉，应该要求被挤掉的乘客不能太多。 而由于被挤掉者的数量是随机的。 用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为衡量标准。 设被挤掉的乘客数超过 j 人的概率为 Pj (m) ，则
mn j 1
Pj (m)
Pk
k 0
j
n
m-n
m-n-j
被挤掉的乘客数超过 j 人等价于m位预订票的乘客中 不按时前来登机的不超过 m-n-j 人。
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)dr
n
(a
b)np(r
)dr
dG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
dG
(b c)
n
p(r)dr (a b)
每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b。
4 模型建立
先不考虑社会声誉的影响。
公司的经济利益用平均利润（数学期望）S 来衡量
订票的总人数是 m ，m 有可能超出 n
当有 k 个人误机时，
航空公司可能从航班中得到的利润为
s m kg r,
s ng r (m k n)b,
mk n mk n
设计变量所受的限制
若每天购进 0 份， 则收入为 0。
若每天购进 1 份， 售出，则收入为 a-b。 退回，则收入为 –(b-c)。
若每天购进 2 份，售出1份，则收入为 a-b –(b-c) 。 售出2份，则收入为 2(a-b) 。 退回，则收入为 –2(b-c)。
收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量
概率模型
（一）传送系统的效率问题 （二）报童的诀窍 （三）航空公司的超额订票问题
随机模型
确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
数学期望 离散型随机变量 X 的概率分布为
P( X xi ) pi (i 1,2,, n) 则随机变量 X 的数学期望值为
所建模型为双目标的优化模型
mn1
max S(m) pmg r b g Pk m n k k 0
mn j 1
min Pj (m)
Pk
k 0
模型变形
航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是 航班载客量的60%，即 0.6ng r
S
r
1 0.6n
pm
1
b g
mn1 Pk
在图中用 P1, P2 分别表示曲线 pr 下的两块面积，则
P1 a b
P2 b c
结论
P1 P2
O
n
r
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大
时，报童购进的份数就应该越多。
注意
建模方法：从特殊到到一般
1998年B题 灾情巡视路线 单旅行商到多旅行商
归纳抽象
1999年B题 钻井布局 网格的平行移动到旋转运动
0.0030 0.6193
0.0093 0.6283
0.0243 0.6365
0.0547 0.6436
0.1074 0.6492
0.1869 0.6533
0.2922 0.6559
结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和36时，可以达到 最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为 36%和54%。 当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期 利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和 30%。
P1
n pr dr是需求量 r 不超过 n的概率
0
P2
pr dr是需求量 r 超过 n 的概率
n
上式意义为：购进的份数 n 应该使卖不完与卖完的概率
之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a b 与退回一份赔的钱 b c
之比。
n
p(r)dr
0
p(r)dr
a b bc
n
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n
n
0
p(r)dr p(r)dr
ab bc
n
n
0
1
p(r)dr
n
p(r)dr
ab bc
0.25 0.15
5 3
0
n
0
p(r)dr p(r)dr
ab bc
n
n
0
1
p(r)dr
n
p(r)dr
ab bc
0.25 0.15
5 3
0
n
5
0
p(r)dr 8
0.625
( n 500) 0.625 0.5 50 0.125
k 0
k 0
mn1
m
m
S(m) (b g) Pk (m k n) kPk g Pk (mg r)
k 0
k 0
k 0
mn1
S(m) (b g) Pk (m k n) mpg mg r
k 0
mn1
S(m) qmg r b g Pk m n k
k 0
从社会声誉和经济利益两方面考虑
m
n
k
k0
1
max J (m)
S r
1 0.6n
pm
1
b g
mkn01Pk
m
n
k
1
mn j 1
min Pj (m)
Pk
k 0
max J (m)
S r
1 0.6n
pm
1
b g
mn1 Pk
m
n
k
1
k0
mn j 1
s.t.
Pj (m)
Pk
k 0
0 1
5 模型求解 计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设
则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。
1 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
3 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
r n 售出r 赚(a b)r 退回n r 赔(b c)(n r)
r n 售出n 赚(a b)n
322
324
326
328
330
332
334
P5
0.1931 0.3627 0.5558 0.7295 0.8565 0.9335 0.9730
J1
0.6594 0.6600 0.6592 0.6577 0.6558 0.6537 0.6517
p 0.1 b / g 0.2
m
300
302
304
306
每天的收入函数记为U(n)，则
(a b)r (b c)(n r) U (n, r) (a b)n
收入函数的期望值为
nr nr
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] f (r) (a b)nf (r)
r0
r n 1
求 n 使 G(n) 最大
将r视为连续变量 f (r) p(r) (概率密度）
效率：工人所生产的产品数，
传送系统带走的产品数，
稳态：工人生产一件产品的时间长短相同， 即，生产周期相同，
当生产进入稳态后，工人生产一件产品的 时刻再一个周期那是等可能，
工人的生产是相互独立的。
钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的 钩子为空钩。
模型的建立：工人人数n个 钩子个数 m个 带走的产品数s个
求解技巧：连续化
人口模型，战争模型
2000年B题 钢管的订购与运输 线形到树形
2000年C题 飞越北极 球形到椭球形
随机变量的目标函数：期望值 航空公司的超额订票模型
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价 为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元， 需求量服从均值500份，均方差50份的正态 分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平 均收入最高，最高收入是多少？
当 n, g, r, p,b 给定后，可以求 m 使 S (m) 最大。
mn1
m
S(m) Pk[ng r (m k n)b] Pk m k g r
k 0
k mn
mn1
mn1
Pk m k g r Pk m k g r
k 0
k 0
mn1
m
S(m) Pk[ng r (m k n)b (m k)g r] Pk m k g r
308
310
312
314
316
P5
0
0
0
0
0
0
0
源自文库
0
0
J2
0.5000 0.5100 0.5200 0.5300 0.5400 0.5500 0.5600 0.5700 0.5800
318
320
322
324
326
328
330
332
334
336
0 0.5900
0.0002 0.5999
0.0008 0.6097
挂产品的概率： 任一只钩子非空的概率为
则传送系统效率为：d=s/n=mp/n
= m [1 (1 1 )n ]
n
m
m n
当n＝10,m=40
D
m
[1 (1
n
n(n
1) )]
1
n
1
n
m 2m2
2m
D 87.5%
报童的诀窍
问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上 将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b， 零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出
一份报纸赚a- b，退回一份赔b-c。报童每天购进
报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会 少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量， 以获得最大收入。
1.确定设计变量和目标变量
每天的总收入为目标变量 每天购进报纸的份数为设计变量
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
(n ) (0 ) 0.625
查概率积分表得
(n 500) (10) 0.625 50
n 500 0.32 n 516 50
1 问题的提出
航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业 务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰 等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘 客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降 低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订 好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外 地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救 总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。
试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。
2 问题分析
订票策略：为了航空公司的经济利益与社会声誉，
确定预订票的最佳数量。
公司的经济利益 公司的社会声誉
利润 = 收入-成本-赔偿金 已订票但被挤掉的乘客的数量
问题转化为 怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤 掉的乘客的数量尽可能小。
以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。
3 模型假设
飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为 常数 r。
机票价格按照 g r n 来制订，其中 ( 1) 是利润 调节因子，如 0.6 表示飞机60%满员就不亏本。
预订票数量的限额为常数 m(>n) ，每位乘客不按时前来 登机的概率为 p，各位乘客是否按时登机是相互独立的。
定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统 效率的指标，在一个生产周期内
D＝带走的产品数/生产的产品数 ＝s/n
S的确定：与空钩个数有关
从工人角度：每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率与工人位置有关。
从钩子的角度：钩子无次序，处于同等地 位，在一周期内，m个钩子求出非空 的概率p，则s=mp
P的确定 任一只钩子被一名工人触到的概率： 任一只钩子不被一名工人触到的概率： 工人相互独立，任一只钩子不被n名工人
p 0.05
b / g 0.2
m
300
302
304
306
308
310
312
314
316
P5
0
0
0
0
0
0.0005 0.0044 0.0232 0.0791
J1
0.5833 0.5939 0.6044 0.6150 0.6254 0.6355 0.6445 0.6519 0.6568
m
318
320