6线性规划应用举例

解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样 我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
8
2 生产计划的问题
目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为： 利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 （每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。 这样得到目标函数：
Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 – (2(2 300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).
时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 所需售货员人数 28 15 24 25 19 31 28
2
1 人力资源分配的问题
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息 的人数,这样我们建立如下的数学模型。 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 目标函数： Min 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
经整理可得：
Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x1210.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123
9
3 套裁下料问题
例5．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各 一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？ 解： 共可设计下列5 种下料方案，见下表
4
2 生产计划的问题
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两 种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和 产品甲全部自制的利润 产品甲铸造外协，其余自制的利润 产品乙全部自制的利润 产品乙铸造外协，其余自制的利润 产品丙的利润 =23-(3+2+3)=15 =23-(5+2+3)=13 =18-(5+1+2)=10 =18-(6+1+2)=9 =16-(4+3+2)=7
x1 + x2 + x3 + x1 + 2x2 + 2x3 + 3x1 + x2 + 2x3 x1,x2,x3,x4,x5 ≥
x4 + x5 x4 ≥ 100 2x4 + x5 ≥ 100 + 3x5 ≥ 100
0
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3 套裁下料问题
• 用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下 料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。 即 x1=30; x2=10； x3=0； x4=50； x5=0； 只需90根原材料就可制造出100套钢架。 • 注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号 比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会 多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用 等于号，这一方案就不是可行解了。
表 4 --6 表 4 7 ---
标准汽油 1 2 3 4
辛烷数 107.5 93.0 87.0 108.0
蒸汽压力(g/cm2) 蒸汽压力 7.11×10-2 × 11.38 ×10-2 5.69×10-2 × 28.45 ×10-2 蒸汽压力(g/cm2) 蒸汽压力
库存量(L) 库存量 380000 265200 408100 130100 产量需求
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4 配料问题
例6．（续）
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 x312
- x322 = 0 （Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等） = 0 （Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）
xijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
线性规划应用举例 • §1 • §2 • §3 • §4 • §5 人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题
1
§1 人力资源分配的问题
例1．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统 计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人 员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。 问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使 配备的售货人员的人数最少？
x11+ x12+ x13+
x21 + x22 + x23 +
x31 ≤ 100 x32 ≤ 100 x33 ≤ 60
(供应量限制） (供应量限制） (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
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4 配料问题
例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来 定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有 1、2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽 油混合，可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产 量需求列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既 满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最 高？
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4 配料问题
• 利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使 用的原料单价*原料数量，故有 目标函数
Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12百度文库15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
飞机汽油 辛烷数 1 2 不小于91 不小于 不小于100 不小于
不大于9.96 ×10-2 越多越好 不大于 不大于9.96 ×10-2 不少于 不少于250000 不大于
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4 配料问题
解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 目标函数为飞机汽油1的总产量： x11 + x12 + x13 + x14 库存量约束为： x11
5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000 6x1 + 3x1 +
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
6
2 生产计划的问题
例4．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两 道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序； 有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、B 的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加 工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设 备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如 何制定产品加工方案？
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们 建立如下的数学模型。 目标函数： Min 约束条件： s.t.
2 生产计划的问题
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的 数量。建立如下的数学模型: s.t. 5x111 + 10x211 7x112 + 6x121 + 4x122 7x123 8x221 ≤ 6000 （ 设备 A1 ） （ 设备 A2 ） （ 设备 B1 ） （ 设备 B2 ） （ 设备 B3 ） 9x212 + 12x312 ≤ 10000 ≤ 4000 + 11x322 ≤ 7000 ≤ 4000
约束条件： 约束条件： 从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
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4 配料问题
从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原 材料的供应限额，故有 (x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60 通过整理，得到以下模型：
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4 配料问题
例6．某工厂要用三种原料1、 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、乙、丙，数据如右表。 原材料名称 问：该厂应如何安排生产，使利 1 2 润收入为最大？
3 产品名称 规格要求 单价（元/kg） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 丙 不限 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。
5
2 生产计划的问题
通过以上分析,可建立如下的数学模型:
目标函数： 约束条件：
Max
15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
设备 A1 A2 B1 B2 B3 原 料 （ 元 /件 ） 售 价 （ 元 /件 ） Ⅰ 5 7 6 4 7 0.25 1.25 产品单件工时 Ⅱ Ⅲ 10 9 12 8 11 0.35 2.00 0.50 2.80
7
设备的 有效台时 6000 10000 4000 7000 4000
满负荷时的 设备费用 300 321 250 783 200
3
2 生产计划的问题
例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。 该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加 工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作， 亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。 数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种 产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司 铸造和由外包协作各应多少件？
铸 造 工 时 (小 时 /件 ) 机 加 工 工 时 (小 时 /件 ) 装 配 工 时 (小 时 /件 ) 自 产 铸 件 成 本 (元 /件 ) 外 协 铸 件 成 本 (元 /件 ) 机 加 工 成 本 (元 /件 ) 装 配 成 本 (元 /件 ) 产 品 售 价 (元 /件 ) 甲 5 6 3 3 5 2 3 23 乙 10 4 2 5 6 1 2 18 丙 7 8 2 4 -3 2 16 资源限制 8000 12000 10000