应力状态分析及强度理论优秀课件
合集下载
应力状态分析与强度理论 ppt课件
2 sin cos sin 2
并注意到 t yx t xy 化简得
1 1 s (s x s y ) (s x s y ) cos 2 t xy sin 2 2 2 1 t (s x s y ) sin 2 t xy cos 2 2
19
8-2 解析法分析二向应力状态
应力状态分析就是研究一点处沿各个不 同方位的截面上的应力及其变化规律。
11
应力状态的研究方法
dx dy dz 0
dz
dy
dx
12
13
8-1 应力状态的概念
sz
z
t zy t yz
t zx
x
sx
s3
sy
t xz
s2
t xyt yx
y
s1
s1 s 2 s 3
14
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 s 1 , s 2 , s 3 表示，并且 该单元体称为主应力单元。
22
8-2 解析法分析二向应力状态
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知
s x 60MPa， t xy 30MPa, s y 40MPa, 30。
sy
所以，最大和最小正应力分别为：
s max
s min
s x s y
2
1 2
1 2
s
s
x
2 s y 4t xy 2
s x s y
2
x
2 s y 4t xy 2
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
21
8-2 解析法分析二向应力状态
4. 切应力极值和方向
5-应力状态分析-强度理论-组合变形(共37张)
dt
d
sx
s y
cos2 2t xy sin 2
0
设极值切应力所在平面外法线与x轴正向夹角为α1，则由
上式得
tan
21
s
x s 2t xy
y
第17页，共37页。
（5-7）
17
5 应力状态(zhuàngtài)分析 强度理论（续）
式（5-7）亦有两个解 和1
1
， 说明两个极值
2
切应力所在平面互相垂直。由上式解出sin2α1和cos2α1，
强度条件：
s1 (s 2 s 3 ) s
（5-15）
适用条件：这一理论可较好地解释石料、混凝土等脆性材料压
缩时的破坏现象。
31
第31页，共37页。
5 应力状态分析 强度(qiángdù)理论（续）
2、塑性屈服理论
（1）最大切应力理论（第三强度理论）
观点：最大切应力是引起材料破坏的主要因素。即无论
2
比较式（5-5）和式（5-7），可见
（5-9）
tan 21
1
tan 2 0
cot 2 0
tan
2
0
2
——说明极值切应力所在平面与主平面成45º角。
21
2 0
2
1
0
4
19
第19页，共37页。
5 应力状态分析 强度理论（续）
[例5-2]分析拉伸试验时低碳钢试件出现(chūxiàn)滑移线的原因。
第10页，共37页。
5 应力状态分析(fēnxī) 强度理论（续）
利用三角函数公式
cos2 1 cos2
2
sin2 1 cos2
2
材料力学课件 第八章应力状态与强度理论
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
应力状态分析强度理论组合变形资料课件
弯曲与扭转组合变形的计算公式
根据材料力学和弹性力学的基本理论，通过建立 力和位移的关系式，求解出结构的内力和变形。
拉伸与压缩组合变形的计算公式
根据材料力学的基本理论，通过建立力和位移的 关系式，求解出结构的应力和应变。
3
剪切与弯曲组合变形的计算公式
根据材料力学和弹性力学的基本理论，通过建立 力和位移的关系式，求解出结构的应力和变形。
根据应力方向和大小的不同，可以将应力状态分为 单向应力状态、双向应力状态和三向应力状态。
应力状态对材料强度的影响
01
02
03
04
Hale Waihona Puke 屈服强度在单向应力状态下，材料开始 发生屈服时的应力值。
抗拉强度
在双向应力状态下，材料在拉 力作用下所能承受的最大应力 值。
抗压强度
在三向应力状态下，材料在压 力作用下所能承受的最大应力 值。
剪切强度
在剪切应力状态下，材料能够 承受的最大剪切应力值。
02
强度理论
第一强度理论
最大拉应力理论
第一强度理论认为，材料在单向拉伸时达到的极限应力是其强度极限，而实际应 用中，材料可能因最大拉应力的作用而发生断裂。
第二强度理论
最大伸长应变理论
第二强度理论认为，材料在单向拉伸时达到的极限应变是其强度极限，而实际应用中，材料可能因最大伸长应变的积累而发 生断裂。
组合变形的分析方法
解析法
通过数学公式和定理，对组合 变形进行理论分析和计算。
有限元法
利用离散化的思想，将复杂的 结构分解为若干个小的单元， 通过求解每个单元的平衡方程 来得到整体结构的应力分布。
实验法
通过实验测试，对实际结构进 行加载和测量，获取结构的应 力分布和变形情况。
材料力学课件——应力状态理论和强度理论
Me B
Me
B Me/Wn
P Me
C Me
C
第二节 二向应力状态下斜截面上的应力
目的 — 用一点某个微元上的应力表示其它
无限多微元上的应力 伴随结果
•应力极值 — 主应力状态 •从一个斜截面的应力构造一个单元体的应力
• 分析方法：1 解析法
•
2 图解法
二向应力状态下斜截面上的应力（续）
正应力符号规定
τα M τβ
σβ (c)
cos2
1
2
sin 2
cos2
1 sin 2
2
应力状态理论（续）
P
B
A
max A
max
M W
y
y
B
B
My
I
QS
Ib
应力状态理论（续）
P
P
A
A P/A
a) 一对横截面，两对纵截面
b)横截面，周向面，直径面 各一对
c) 同b)，但从上表面截取
应力
要指明
哪一点？
•那个面在
• 在哪一个面上？
哪个方位？
• 一点的应力状态：过一点不同方向面上应力的集合
•
称之为这一点的应力状态
•
State of the Stresses of a Given
Point
应力状态理论（续）
三向（空间）应力状态
Three-Dimensional State of Stresses
第七章 应力状态理论和强度理论
Theory of Stress State and Intensity
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
材料力学课件第十一章应力状态分析和强度理论
n
薄壁圆筒的横截面面积
πD 2 F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
第十一章
"
p
应力状态和强度理论
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
2
3 1
1
3 2
第十一章
4.主平面 切应力为零的截面 5.主应力
应力状态和强度理论
主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
F k
n
（2）当 = 45°时， max 2 min （3）当 = -45° 时， （4）当 = 90°时， 0,
x
2 0
k
11.2
二向和三向应力状态的实例
m n
分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
z
y
D
p
m
l
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F
k
F
k n
p cos cos
2
F
沿截面切线方向的切应力
k pα
x
p sin
2
sin2
pα
应力分析强度理论演示稿课件
强度理论通常用于机械、航空航天、土木工程等领域的产品设计和可靠性评估。
强度理论的分类
最大正应力理论（MohrCo…
该理论认为材料在最大正应力 达到或超过其极限值时失效。
最大剪应力理论（Tresca 理…
该理论认为材料在最大剪应力 达到或超过其极限值时失效。
形状改变比能理论（von Mi…
该理论认为材料在形状改变比 能达到或超过其极限值时失效 。
纹扩展和维修策略。
在土木工程领域，断裂力学被 用于研究桥梁和建筑结构的耐
久性和安全性。
在机械领域，断裂力学被用于 研究各种机械零件的疲劳裂纹
扩展和断裂过程。
05
材料的强度准则
最大正应力准则
定义
最大正应力准则是指在给定的应力状态下，材料发生破坏时的最 大正应力值。
描述
根据这个准则，材料会在最大正应力达到某个特定值时发生破坏。 这个值取决于材料类型和应力状态。
能量释放率准则
定义
能量释放率准则是指在给定的应力状态下，材料发生破坏时的能 量释放率值。
描述
根据这个准则，材料会在能量释放率达到某个特定值时发生破坏 。这个值取决于材料类型和应力状态。
应用
能量释放率准则主要用于预测材料在承受复杂应力状态下的破坏 。
米塞斯准则与第四强度理论
01
定义
米塞斯准则是指在给定的应力状态下，材料发生破坏时的米塞斯屈服函
材料在拉伸过程中所能承受的 最大应力，与材料的微观结构 和缺陷有关。
金属材料的抗压强度
材料在压缩过程中所能承受的 最大应力，通常受到材料内部
微裂纹和缺陷的影响。
非金属材料的强度分析
非金属材料的强度概述
非金属材料在不同环境和应力条件下 的强度特性，如塑料、橡胶、陶瓷等 。
强度理论的分类
最大正应力理论（MohrCo…
该理论认为材料在最大正应力 达到或超过其极限值时失效。
最大剪应力理论（Tresca 理…
该理论认为材料在最大剪应力 达到或超过其极限值时失效。
形状改变比能理论（von Mi…
该理论认为材料在形状改变比 能达到或超过其极限值时失效 。
纹扩展和维修策略。
在土木工程领域，断裂力学被 用于研究桥梁和建筑结构的耐
久性和安全性。
在机械领域，断裂力学被用于 研究各种机械零件的疲劳裂纹
扩展和断裂过程。
05
材料的强度准则
最大正应力准则
定义
最大正应力准则是指在给定的应力状态下，材料发生破坏时的最 大正应力值。
描述
根据这个准则，材料会在最大正应力达到某个特定值时发生破坏。 这个值取决于材料类型和应力状态。
能量释放率准则
定义
能量释放率准则是指在给定的应力状态下，材料发生破坏时的能 量释放率值。
描述
根据这个准则，材料会在能量释放率达到某个特定值时发生破坏 。这个值取决于材料类型和应力状态。
应用
能量释放率准则主要用于预测材料在承受复杂应力状态下的破坏 。
米塞斯准则与第四强度理论
01
定义
米塞斯准则是指在给定的应力状态下，材料发生破坏时的米塞斯屈服函
材料在拉伸过程中所能承受的 最大应力，与材料的微观结构 和缺陷有关。
金属材料的抗压强度
材料在压缩过程中所能承受的 最大应力，通常受到材料内部
微裂纹和缺陷的影响。
非金属材料的强度分析
非金属材料的强度概述
非金属材料在不同环境和应力条件下 的强度特性，如塑料、橡胶、陶瓷等 。
第十章 -应力状态分析 强度理论(材料力学课件)
§10-2 平面应力状态下的应力分析
y y
yx xy x
x
y
y y x
x x
CL10TU8
一、解析法
y
y y
n
x
x
xx x
y
y
CL10TU9
n
x
x
Acos
A
y
A sin
y
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α：逆时针转动为正
CL1
y
2
cos 2 x
sin 2
CL10TU25
解：(一)使用解析法求解
x 80MPa, y 40MPa
x 60MPa, = 30
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin 2
102MPa
x
2
y
sin 2
x
cos 2
22.0MPa
max x y
min
2
x
2
y
2
2 x
105 MPa
65
1 105MPa, 2 0, 3 65MPa
的平面，其中一个是最大正应力所在 平面，另一个是最小正应力所在平面
max x y
min
2
x
2
y
2
2 x
用完 全 相x似2 的y方法 x可2确 定 y c剪os应 2力 的x 极sin值2
x
y
2
sin 2 x
cos 2
d d
( x y ) cos2 2 x sin 2
若
1时，能使
d d
0
( x y ) cos2 1 2 x sin 2 1 0
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的斜截面上的应力
a
解： 建立坐标系
x
10MPa
s x 10 MPa s y 30 MPa
t x 20 MPa
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2
1 0 230 1 0 23c 0o 60stxsi6n 0-2.32MPa
30MPa
20MPa
sa
tasx 2sysina 2txcoas2
sydA sian co a stydA sian sian 0
dA
a
sx txy
sa a
x
ta
t
tyx sy
n 数学整理后，可得
任意斜截面上的正应力和切应力:
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2
tasx 2sysina 2txcoas2
30MPa
a
20MPa
a 例14-1 单元体如图 ，求 30
回顾梁横力弯曲时横截面上点的应力:
z F
x
y
同一面上不同点的 应力各不相同。
此即应力的点的概念
正应力分布 切应力分布
t
中性层
A
B
x tA t s B
s
t
考虑中性层上的A点 考虑梁边缘上的B点 正应力等于0，切应力最大 正应力最大，切应力为0
单向拉伸斜截面上的应力
q
q
经过计算可得到单向拉伸
F
sa aB ta
z F
x
y
正应力分布
切应力分布
中性层
x
A
t
tA t t
三个主应力都不等于0 三向（空间）应力状态
sz sx
sy sx
sy sz
14-2 平面应力状态分析
1 斜截面上的应力
二向应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的
单元体如图：
sy tyx
sy tyx
sx
sx
sx
sx
txy
txy
sy
正应力 拉伸为正
30MPa
30
50MPa
求斜截面上的应力及三个主应力
例14-2
讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破 坏现象。
ttm maaxx
sx
sy
2
2
tx2
t s s max
max min 2
最大正应力所在的平面:
tana20
2tx sx sy
最大切应力所在的平面:
tana21
sx sy 2tx
tana20
1
tana21
2a1
2a0
π 2
a1
a0
π 4
最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°
30MPa
10MPa 1030sin6020co6s0
ta
2
1.34MPa
可见sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，所以 对a求导数可得到其极值。
2 应力极值
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2
tasx 2sysina 2txcoas2
ddsaa2sx 2sysin a 2txcoas2 若a a0时，导数为0
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的 应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
计算应力一定要指明：
哪一个面上？ 哪一点？
围绕一点取单元体
F
A
dz A dy dx
F dxdydz 0
微元单元体
单元体边长无穷小； 应力沿边长无变化； 单元体各个面上的应力是均匀分布的； 两个平行面上的应力大小相等。
应力状态分析及强度理论优秀 课件
14-1 应力状态的概念
构件在拉伸扭转弯曲基本变形情况下，并不都 是沿横截面破坏出现滑移线
如铸铁压缩时，试件沿轴线45的斜截面破坏
再如铸铁轴扭转时，沿45的螺旋面破坏
为了分析各种破坏现象，建立组合变形的强度条 件，还必须研究各个不同斜截面上的应力。
斜截面上的应力为:
saF Aco2assco2as
ta
s
2
sin2a
q
BA
q
即使同一点在不同
方位截面上，它的应力
s As
也是各不相同的，此即 应力的面的概念。
sy t
B
sx t
sx
t t sy
主单元体、主应力与主平面
sz
sx sy
sz
主单元体(Principle body)：
sy
各侧面上切应力均为零的单元体。
tasx 2sysina 2txcoas2
tana20
2tx sx sy
得到以下结论:
1) 切应力为0的平面上，正应力为最 大或最小值；
2) 切应力为0的平面是主平面，主平 面上的正应力是主应力，所以主应力 就是最大或者最小的正应力。
将a0代入sa的计算公式， 计算得到最大和最小正应力
s sm mai nxsx 2sy sx 2sy2tx2
主平面(Principle Plane)：
sx
切应力为零的截面。
主应力(Principle Stress ）： 主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s2s3
单向、二向、三向应力状态 三个主应力中只有一个不等于0 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
三个主应力中有两个不等于0 二向（平面）应力状态
采用同样的方法对ta式求导
tasx 2sysina 2txcoas2
d dtaasxsycoas2txsia n2
若a
a1时，
dt a da
0
则a1确定的斜截面上的切应力是最大值或最小值。
ss at a x yco 1 2 s x s2 i1 n 02
tana21
sx sy 2tx
代入公式:
sy 压缩为负
切应力 绕单元体顺时针转为正，反之为负
斜截面上的应力 通过截面外法线的方位定义截面的位置
sy
X轴正向到斜截面外法线逆时针转角为正
tyx
dA
n
n
sa a
sx
a
sa a
sx
x
ta
txy
sx
x
txy
ta
t
sy
tyx sy
Fn 0 s a dA sxdAcoascoastxdAcoas sina
Ft 0 tadA s yds Ax sdiA nacso ia nassia tn ydtAxsdA inacco a oa c sso a0s
sydA sian co a stydA sian sian 0
Fn 0 s a dA sxdAcoascoastxdAcoas sina Ft 0 tadA s yds Ax sdiA nacso ia nassia tn ydtAxsdA inacco a oa c sso a0s
sx 2sysin a0 2txcoas0 20
tana20
2tx sx sy
通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0，它们确定两个相互
垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最
小正应力所在平面。
若将a0的值代入切应力公式:
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2 可得:ta00
a
解： 建立坐标系
x
10MPa
s x 10 MPa s y 30 MPa
t x 20 MPa
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2
1 0 230 1 0 23c 0o 60stxsi6n 0-2.32MPa
30MPa
20MPa
sa
tasx 2sysina 2txcoas2
sydA sian co a stydA sian sian 0
dA
a
sx txy
sa a
x
ta
t
tyx sy
n 数学整理后，可得
任意斜截面上的正应力和切应力:
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2
tasx 2sysina 2txcoas2
30MPa
a
20MPa
a 例14-1 单元体如图 ，求 30
回顾梁横力弯曲时横截面上点的应力:
z F
x
y
同一面上不同点的 应力各不相同。
此即应力的点的概念
正应力分布 切应力分布
t
中性层
A
B
x tA t s B
s
t
考虑中性层上的A点 考虑梁边缘上的B点 正应力等于0，切应力最大 正应力最大，切应力为0
单向拉伸斜截面上的应力
q
q
经过计算可得到单向拉伸
F
sa aB ta
z F
x
y
正应力分布
切应力分布
中性层
x
A
t
tA t t
三个主应力都不等于0 三向（空间）应力状态
sz sx
sy sx
sy sz
14-2 平面应力状态分析
1 斜截面上的应力
二向应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的
单元体如图：
sy tyx
sy tyx
sx
sx
sx
sx
txy
txy
sy
正应力 拉伸为正
30MPa
30
50MPa
求斜截面上的应力及三个主应力
例14-2
讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破 坏现象。
ttm maaxx
sx
sy
2
2
tx2
t s s max
max min 2
最大正应力所在的平面:
tana20
2tx sx sy
最大切应力所在的平面:
tana21
sx sy 2tx
tana20
1
tana21
2a1
2a0
π 2
a1
a0
π 4
最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°
30MPa
10MPa 1030sin6020co6s0
ta
2
1.34MPa
可见sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，所以 对a求导数可得到其极值。
2 应力极值
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2
tasx 2sysina 2txcoas2
ddsaa2sx 2sysin a 2txcoas2 若a a0时，导数为0
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的 应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
计算应力一定要指明：
哪一个面上？ 哪一点？
围绕一点取单元体
F
A
dz A dy dx
F dxdydz 0
微元单元体
单元体边长无穷小； 应力沿边长无变化； 单元体各个面上的应力是均匀分布的； 两个平行面上的应力大小相等。
应力状态分析及强度理论优秀 课件
14-1 应力状态的概念
构件在拉伸扭转弯曲基本变形情况下，并不都 是沿横截面破坏出现滑移线
如铸铁压缩时，试件沿轴线45的斜截面破坏
再如铸铁轴扭转时，沿45的螺旋面破坏
为了分析各种破坏现象，建立组合变形的强度条 件，还必须研究各个不同斜截面上的应力。
斜截面上的应力为:
saF Aco2assco2as
ta
s
2
sin2a
q
BA
q
即使同一点在不同
方位截面上，它的应力
s As
也是各不相同的，此即 应力的面的概念。
sy t
B
sx t
sx
t t sy
主单元体、主应力与主平面
sz
sx sy
sz
主单元体(Principle body)：
sy
各侧面上切应力均为零的单元体。
tasx 2sysina 2txcoas2
tana20
2tx sx sy
得到以下结论:
1) 切应力为0的平面上，正应力为最 大或最小值；
2) 切应力为0的平面是主平面，主平 面上的正应力是主应力，所以主应力 就是最大或者最小的正应力。
将a0代入sa的计算公式， 计算得到最大和最小正应力
s sm mai nxsx 2sy sx 2sy2tx2
主平面(Principle Plane)：
sx
切应力为零的截面。
主应力(Principle Stress ）： 主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s2s3
单向、二向、三向应力状态 三个主应力中只有一个不等于0 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
三个主应力中有两个不等于0 二向（平面）应力状态
采用同样的方法对ta式求导
tasx 2sysina 2txcoas2
d dtaasxsycoas2txsia n2
若a
a1时，
dt a da
0
则a1确定的斜截面上的切应力是最大值或最小值。
ss at a x yco 1 2 s x s2 i1 n 02
tana21
sx sy 2tx
代入公式:
sy 压缩为负
切应力 绕单元体顺时针转为正，反之为负
斜截面上的应力 通过截面外法线的方位定义截面的位置
sy
X轴正向到斜截面外法线逆时针转角为正
tyx
dA
n
n
sa a
sx
a
sa a
sx
x
ta
txy
sx
x
txy
ta
t
sy
tyx sy
Fn 0 s a dA sxdAcoascoastxdAcoas sina
Ft 0 tadA s yds Ax sdiA nacso ia nassia tn ydtAxsdA inacco a oa c sso a0s
sydA sian co a stydA sian sian 0
Fn 0 s a dA sxdAcoascoastxdAcoas sina Ft 0 tadA s yds Ax sdiA nacso ia nassia tn ydtAxsdA inacco a oa c sso a0s
sx 2sysin a0 2txcoas0 20
tana20
2tx sx sy
通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0，它们确定两个相互
垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最
小正应力所在平面。
若将a0的值代入切应力公式:
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2 可得:ta00