《弧长和扇形面积》导学案

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人教版初三数学上册弧长与扇形面积导学案

《圆》第四节弧长和扇形面积导学案1【知识与技能】1、理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式2、会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长【过程与方法】1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知识的能力【情感、态度与价值观】1、通过对弧长及扇形的面积公式的推导，理解整体和局部2、通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用【重点】弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积【难点】运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积学习过程:一、自主学习（一）复习巩固1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？（二）自主探究1、如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？BBABB2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)．3、上面求的是110°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对的弧长呢？请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对的弧长。

因此弧长的计算公式为l =__________________________4、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形问：右图中扇形有几个？同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积是面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为S = ___ . 因此扇形面积的计算公式：S =———————— 或 S =——————————（三）、归纳总结：1、叫扇形2、弧长的计算公式是扇形面积的计算公式是（四）自我尝试：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

人教版数学九年级上册 24.4 弧长和扇形面积(导学案设计)

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系： .
知识点三：圆锥的侧面积和全面积
1.连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形面积圆心角为n°，则圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为 .
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）
分析：
A．10cmB．3.5 cm C．4 5 cm D．2.5 cm
6.半径为的圆内接正三角形的面积是（）
A． B． C． D．
7．如图，附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（）
A．△ACF B．△ADEC．△ABCD．△BCF
知识聚焦：
知识点一：弧长公式
1.弧长公式：圆的周长 .圆心角为半径为R的弧长为：
2.注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
∵△ACE中，AC=2，AE= ，CE=1，
∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
∵sinA= =，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，
∴ =sin∠COE，即 = ，解得OC= ，
∵AE⊥CD，∴ = ，

初中数学《弧长及扇形的面积》学历案

九年级数学下册第学历案1、扇形1与扇形2：半径相同，圆心角不同。

2、扇形2与扇形3：圆心角形同，半径不同几何画板展示弧长公式与哪些量相关活动二：探究弧长公式（指向目标1）如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?问题：如果把半径为“10cm”改为半径为R，则以上三问的结果为什么？师：我们通过以上探究过程，可以得到弧长公式，请同学们完成导学案上的归纳：注意：n和180要不要带单位？请完成数学知识应用：（1）半径为3cm，60°的圆心角所对的扇形的弧长是_______cm；（2）已知圆心角为30°，所对的弧长为2π，则圆的半径为_______；（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为___我们通过类比的方法得到弧长公式，我们看一例题精讲例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L。

跟踪练习：1.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长为（）。

变式1.已知弧所对的弧长为2π,半径是4,则圆心角为变式2.已知弧所对的圆心角为90°，则弧长2π,则半径是活动三：“最佳Designer”（指向目标3）R=36mm110°A B在实际的生活中，弧长公式的应用，很广泛，下面我们每个人根据题目要求设计出最美观的水桶标签。

根据导学案上的提示，找出班里的最佳设计者。

在圆柱形包装盒的侧面上设计商品的名称时,为了获得较好的视觉效果,名称的总长度(截面的弧长)所对的圆心角一般定为90°问题：已知水桶的底面径为10cm,要在它的侧面设计“九年级十一班”的字样,商标纸的长应为多少？（Π=3.14）活动四：探究扇形的面积（指向目标2）思考：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？问题：如果绳子长度为R，如何计算扇形的面积呢？推导出扇形面积公式。

24.4.1弧长及扇形面积公式导学案

24.4弧长一、明确目标：1．经历探索弧长计算公式的过程；2．掌握弧长计算公式，并会应用公式解决问题．学习重点会用公式解决问题．学习难点探索弧长计算公式；用公式解决实际问题．二、自主学习：在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？____每位运动员弯路的展直长度相同吗？___________三、合作解疑：1.弧长公式的推导：①半径为R的圆,周长是_____________;②圆的周长可以看作是_______度的圆心角所对的弧;③1°圆心角所对弧长是_____________；④n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？n°的圆心角所对的弧长为l，则l=________________.（这就是弧长公式，请记住）；2.针对训练：②已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为__________②（随州市中考）已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为____。

③750的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是________cm.3.典例分析：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l (单位：mm，精确到1mm，π取3.14) 针对训练：有一段弯道是圆弧形的，道长是12m,弧所对的圆心角是810，求这段圆弧的半径（精确到0.1m，π取3.14）。

四、检测：A组1.已知扇形的圆心角为150o，半径为6，则扇形的弧长是（）A. 3πB.4πC.5πD.6π2.（枣庄中考)钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( )A. B. C. D.3.(泰安中考）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC 若∠ABC=120°， OC=3，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．5π4.如图同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（）（A）1∶1 （B）1∶2 （C）2∶1 （D）1∶45.制作弯形管道需要先按中心线计算“展直长度”再下料。

弧长和扇形面积导学案

2.7弧长及扇形的面积导学案学习目标：1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；2、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。

教学重点、难点：重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用难点：弧长与扇形的计算公式的应用教学过程：一、情境创设1、小学里我们已经学习过圆的周长计算公式为__________、圆面积计算公式为_________。

2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积怎样计算呢？二、探索活动活动一、探索弧长计算公式因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=_________，所以1°的圆心角所对的弧长是_________，即_________。

这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：l =_________。

注：引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，它揭示了l 、n 、R 这3个量之间的一种相等关系。

如果这三个量中，任意知道两个量，就可以根据公式求出第三个量。

活动二、探索扇形面积计算公式圆心角是1°的扇形面积是_______。

这样，在半径为R 的圆中，圆心角为n ° 的扇形面积的计算公式为：S=________。

注：类似于弧长的计算公式，扇形面积的计算公式也是表示三个量之间的相等关系，在S 、n 、R 中任意知道两个量都可以根据公式求出第三个量的值。

2、扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式： S=360n πR 2化为S=_______·21R=_______·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式： S 扇=_______。

三、小试牛刀（1）圆的周长为12π，这个圆的直径为_______。

（2）圆弧的半径为24，所对的圆周角为60°，则圆心角所对的弧长为_______。

九年级上册《弧长及扇形面积》导学案

§12 弧长、扇形◆导学目标：理解并掌握弧长、扇形面积的计算公式◆课前预习：通过预习，解决下列问题：（设n 为圆心角的度数,R 为圆的半径） 1、半径为R 的圆的周长c= ，面积S= 2、弧长公式：180Rn l π=3、扇形的面积公式lR R n S 213602==π． ◆课堂导学：例1、1、在半径为3的⊙O 中，弦AB=3，则AB 的长为 2．扇形的周长为16，圆心角为1200，则扇形的面积为3．如图，把直角三角形 ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A ″B ′C ″的位置，设BC=1，AC= 3 ，则顶点A 运动到 A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是______（计算结果不取近似值）4、已知扇形的圆心角为 120°，弧长为10π㎝，则这个扇形的半径为___cm5、弧长为20π㎝的扇形的面积是240π㎝2，则这个扇形的圆心角等于度。

例2、如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm ，10cm 、∠AOB＝1200，求这个广告标志面的周长和面积。

例3、如图，在⊙O 中，AB 是直径，半径为R ，弧长R AC 3π=，求：(1)∠AOC 的度数.(2)若D 为劣弧BC 上的一动点，且弦AD 与半径OC 交于E 点.试探求当△AEC≌△DEO 时D 点的位置右手栏◆当堂导练：1、已知圆的半径为15，那么圆心角30 0所对的弧长为。

2、一圆中，弧长是18π㎝，该弧所对的圆心角是120 0，则这条弧所在的圆的半径为。

3、弧长为3π㎝，半径为12㎝，则弧所对的圆心角的度数是_________。

4、一个扇形的半径为30㎝，圆心角为1200，则这个扇形的面积为___________。

5、已知一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于_________。

6、如图，已知，扇形AOB 的圆心角为600，半径为6，C 、D 分别是AB 的三等分点，则阴影部分的面积等于_________。

人教版九年级数学上24.4《弧长和扇形面积(2)》导学案

第15课时24.4 弧长和扇形面积(2)
［学习目标］
1．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式.
2．理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题.
［学习流程］
一、依标独学
1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点。

2．一种太空囊的示意图如图所示，•太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．
二、围标群学
1．什么是圆锥的母线？
2．圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？
若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面积可表示为，圆锥的全面积为。

3．圆柱的侧面展开图是什么图形？若圆柱底面圆的半径为r，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积可表示为，全面积可表示为。

二、扣标展示
例1：蒙古包可以类似的看成由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？（结果取整数）
例2：已知扇形的圆心角为120°，面积为300 cm2．
（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
三、达标测评
1．已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为（）A．πB．3πC．4πD．7π
2．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，•则圆锥的底面半径为（）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
五、课后反思。

弧长和扇形面积导学案

《§24.3.1弧长和扇形面积》教学设计学习目标：1．掌握弧长、扇形面积的计算公式2．会用弧长、扇形面积的计算公式解决实际问题一、导学探究1．问题引入．2．圆周长公式为C= ，圆面积公式为S= ．3．1°圆心角所对弧长为l = ，n°圆心角所对弧长为． 4．归纳弧长公式l=180n πγ． 5．阅读教材可知由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． 6．1°圆心角扇形面积为，n°圆心角扇形为．7．归纳扇形面积S=2360n πγ．8．可以用弧长l ，半径γ表示扇形面积吗？S=180n πγ·1122r lr ＝．二、精讲多动例1：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m ，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两）例2：如图△ABC 是正△，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其,,CD DE EF …的圆心依次按A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB=1，那么曲线CDEF 的长是多少？练一练：1．弧长相等的两段弧是等弧吗？2．有一段弯道是圆弧形的，道长是12m ，弧所对圆心角是81°，求这段圆弧的半径R ． 3．如图正△ABC 的边长为a ，分别以A 、B 、C 为圆心，以2a为半径的圆相切于点D ，E ，F ，求圆中阴影部分面积．4．若一个扇形的弧长是12π，它的圆心角是120°，那么这个扇形的面积是多少？三、优选精练基础演练：1．两个半径为1的⊙O 1与⊙O 2相外切，又同时分别与⊙O 相切，切点分别为A 、B 、C 且∠O=90°，则AB BC AC ++的长为（） ABC D ．2πAO2第1题第2题第3题第4题图2．如图⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且它们的半径都是0.5cm ，则图中三个扇形的面积之和为（）A ．212cm π B ．28cm πC ．26cm πD ．24cm π3．如图，已知扇形OAB 的半径为12，OA ⊥OB ，C 为OB 上一点，以OA 为直径的半圆O 1和以BC 为直径的半圆O 2相切于点D ，则图中阴影部分的面积为：（）A ．6πB ．10πC ．12πD ．20π4．如图，已知扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 与Q 关系为（）A ．P=QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．不能确定5．已知⊙O 的半径为6，扇形OAB 的面积等于12π，则AB 所对的圆周角的度数是（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°γ=，则这个扇形的面积为cm26．如果一扇形的圆心角为60°，半径4cm7．如果一扇形弧长为10πcm，半径为36cm，则该弧的所对的圆周角度数为度．二、能力提升1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AC=2，∠CAB=30°，求图中阴影部分面积．A2．如图⊙O的半径为12cm，以⊙O的半径OA为直径作⊙O’交半径OC于B点，若∠与围成的阴影图形的面积．AOC=45°，求AC AB Array3．如图，AB为半圆O的直径，C、D为半圆弧的三等分点，若AB=12，求阴影部分面积．4．半圆O1和半圆O2内切于点P，如图，大圆的弦AB切小圆于点Q，AB∥O1O2，且AB=l，求S阴．15．如图，已知点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，切点为A，AB为⊙O的直径，PB交⊙O于C，若PA=4cm，PC=2cm，求S阴．P6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆P合好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．（1）求证：△AOC≌△AOD；（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．7．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AC于点E，交⊙O于点C、D，OF⊥AC于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠DOB=30°，BC=1，求S阴．A《§24.3.2圆锥的侧面积和全面积》教学设计学习目标：掌握圆锥的相关概念，掌握圆锥和圆柱的侧面展开图，会计圆锥的侧面积和全面积．一、导学探究1．举出日常生活中具有圆锥形象的物体，圆锥由一个和一个围成的． 2．教师讲解相关概念：（1）母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，所有母线长相等．高：圆锥的顶点和底面圆圆心的连线段的长．（2）探究圆锥的侧面展开图a ．将一圆锥的侧面沿一条母线剪开可知圆锥的侧面展是以为半径，弧长为为扇形．b ．圆锥的侧面展开图面积S 侧=1,2cl 其中C 为底面圆周长，l 为圆锥母线长． c ．圆锥的全面积为S 全=212cl r π+（r 为底面圆半径）二、精讲多动例1：一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比（2）锥角的大小（3）圆锥的全面积例2：如图，直角梯形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AB=2cm ，BC=7cm ，AD=3cm ，以BC 为轴把直角梯形ABCD 旋转一周，求所得几何体的表面积．B练一练：1．如图，把半径为1的四分之三圆形纸片沿半径OA 剪开，依次用得到的半圆纸片和四分之一圆形纸片做成两个圆锥的侧面，则这两个圆锥的底面积之比为（）A ．5：1 B ．4：1 C ．3：1 D ．2：12．在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周，求所得到的几何体的全面积．BA三、优选精练基础演练：1．已知圆锥的母线为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为．2．现有一个圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆半径为．3．小红同学要用纸板制作一个高4cm ，底面周长是6πcm 的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是．4．如右上图，有一个圆心角为120°，半径为6cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一个圆锥侧面，那么圆锥的高是．5．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是． 6．已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°，底面积为15cm 2，则圆锥侧面积S= cm 2． 7．小明用一个半径为3cm ，圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形模型的侧面，则这个圆锥底面半径是 cm ．能力提升：8．某厂要选一块矩形铁片用来加工成一个底面半径为10cm ，高为cm 的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计），要想用料最省，矩形的边长应分别是． 9．将半径为2的圆形纸片裁成面积为1：3的两个扇形，用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为． 10．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬长的最短路线的长度是．11．李明同学和马强同学合作，将半径为1m ，圆心角为90°的扇形薄铁板围成一个圆锥筒，在计算圆锥的容积（接缝忽略不计）时，李明认为圆锥的高就等于扇形的圆心O 到弦AB 的距离OC 如图，马强说这样计算不正确，你同意谁的说法？写出正确的计算过程．ODAOA12．已知圆锥的底面半径OA=10cm，母线PA=30cm，由底面圆周上一点A出发，绕其侧面一周的最短路线的长度是多少？13．如图，在菱形ABCD中，∠A=135°，，以点C为圆心的EF分别与AB、AD相切于点G、H，与BC、CD分别相交于点E、F，用扇形CEF做成圆锥的表面，圆锥的高是多少？14．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若两个圆锥的表面积之比为1：6，求两圆锥底面半径之比．15．如图（1），O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD=24cm，AB=25cm，若AMD的长为底面周长的23，如图（2）所示．（1）求⊙O的半径；_C_D B（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果保留和根号）。

弧长和扇形的面积导学案

O B AO B AA BO A B O A BO 图 124.4 弧长和扇形的面积第1课时弧长和扇形的面积（1）学习目标：1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积。

2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养运用已有知识探究问题获得新知的能力。

3、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，体验数学与人类生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。

重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题．难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。

课前预习1：1．圆的周长公式是。

2．圆的面积公式是。

3．什么叫弧长？。

4．扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________ 5．扇形面积的计算公式为S=______________或S=______________6．一段长为2的弧所在的圆半径是3cm ，则此扇形的圆心角为_________，扇形的面积为_________。

7．已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，此圆弧的长度为_____。

课前预习2：一、创境激趣如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的41,所以铁轨的长度l ≈（米）. 二、自主探究1、发现弧长和扇形的面积的公式（1）弧长公式的推导。

问题：如下图，你能计算出各圆心角对的弧长分别是圆周长的几分子之几吗？180° 下图圆心角分别为180°、90°、45°、1°、n °探索：①圆心角是180°，占整个周角的21，因此它所对的弧长圆周长的_____________；②圆心角是90°，占整个周角的41，因此它所对的弧长圆周长的_____________；③圆心角是45°，占整个周角的_______，因此它所对的弧长圆周长的____________； ④圆心角是1°，占整个周角的________，因此它所对的弧长圆周长的____________； ⑤圆心角是n °，占整个周角的______ ，因此它所对的弧长圆周长的____________；（这里关键是1°圆心角所对的弧长是多少？进而求出n °的圆心角所对的弧长。

弧长和扇形的面积导学案 OK

2180n R π2360n R π《弧长和扇形的面积》导学案教学目标1、了解扇形的概念，理解n •°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．2、通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L= 和扇形面积S 扇= 的计算公式，并能熟练的运用公式解题。

学习过程一、知识准备1．圆的周长公式是。

2．圆的面积公式是。

3．什么叫弧长？二、自学指导自学教材P 110----P 112，思考下列内容：1、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______。

2°的圆心角所对的弧长是_______。

4°的圆心角所对的弧长是_______。

……n °的圆心角所对的弧长是_______。

2、什么叫扇形？3、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。

设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。

……设圆的半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。

4、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？二、课内探究．探究一：如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm ． (1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送多少厘米？ (3)转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送多少厘米？总结：结论：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l 。

则 l=练习1．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图示的管道的展直长度，即盈的长(结果精确到0.1mm)（二）探究二：(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m 的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，(1)这头牛吃草的最大活动区域有多大? (2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那∠它的最大活动区域有多大? 分析： 1．设圆的半径为r ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形＝____________； 2．设圆的半径为r ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形＝____________； 3．设圆的半径为r ，n°的圆心角所对的扇形面积S 扇形＝____________；4．在半径为r 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为____________；总结：扇形面积公式为：三、精讲点拨1.一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm 的圆的周长，则该弧所在的圆的半径是___________。

人教版初三数学上册24.4弧长和扇形面积(导学案含作业)

24.4弧长和扇形面积（第1课时）导学案执教：林喜斌学习目标：1、通过复习圆的周长，圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积计算公式，2、应用弧长和扇形面积的计算公式解决问题。

知识回顾：1•圆的周长及面积公式2.__________________________________ （1）圆的周长公式： _________________ （2）圆的面积公式：____________________（一）新知1:弧长引导探究11、圆的周长可以看作______ 的圆心角所对的弧.2、如右图，在半径为R的圆中,1°的圆心角所对的弧长是___________________________2°的圆心角所对的弧长是____________________________3°的圆心角所对的弧长是________________________ ____n°的圆心角所对的弧长是____________________________归纳1:在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长计算公式:例题回解:制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L（单位：mm，精确到1mm）变式：1、已知圆弧的弧长为2n cm，圆心角为30°，求此圆弧的半径。

42已知圆弧的弧长为亍^'半径为稣'求此圆弧的圆心角课堂练习1:1、已知圆的半径为9cm , 60°圆心角所对的弧长为 _____________2、已知半径为3,贝U 弧长为n 的弧所对的圆心角为 _______3、已知圆心角为150°,所对的弧长为20n,贝U 圆的半径为 ___________ <4、有一段弯道是圆弧形的，道长是求这段圆弧的半径R.解：（二）新知2:扇形的面积.扇形的定义：由组成圆心角的两条 _______ 和圆心角所对的引导探究21、如果圆的半径为R ,则圆的面积为 _____________2、如右图，在半径为R 的圆中，l 。

弧长和扇形面积(教案、导学案、课后反思)

24.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积【知识与技能】经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.【过程与方法】通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.【情感态度】通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用.【教学重点】弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.【教学难点】运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.一、情境导入，初步认识问题1 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只羊，问：（1）这只羊的最大活动面积是多少？（2）如果这只羊只能绕过柱子n°角，那么它的最大活动面积是多少？问题2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.如图，根据图中的数据你能计算AB的长吗？求出弯道的展直长度.【教学说明】通过这样两个实际问题引入有关弧长和扇形面积的计算，从而引入课题。

同时，这也是本节中最常见的两种类型.二、思考探究，获取新知1.探索弧长公式思考 1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则：圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；∴1°的圆心角所对的弧长是：1/360·2πR=πR/180；2°的圆心角所对的弧长是：2/360·2πR=πR/90；4°的圆心角所对弧长是：4/360·2πR=πr/45；∴n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180；由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180.【教学说明】①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.小练习：①应用弧长公式求出上述弯道展直的长度.②已知圆弧的半径为50cm，圆心角为60°，求此圆弧的长度.答案：①500π+140(mm) ②50π/3(cm)2.扇形面积计算公式如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.小练习：①如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的23/36.②扇形面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的度数是240°；③扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是：2S/r.【教学说明】这几个小练习是帮助学生理解扇形面积公式的推导，加深对公式以及扇形面积和弧长之间的转化关系的记忆.三、典例精析，掌握新知例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.解：连接OA、OB，作弦AB的垂线OD交AB于点C.∵OC=0.6，DC=0.3，∴OD=OC-DC=0.3在Rt△OAD中，OA=0.6，OD=0.3，由勾股定理可知：3Rt △OAD中，OD=1/2OA.∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.∴有水部分的面积为：S=S扇形OAB -S△OAB=0.12π-12×0.63×0.3≈0.22(m2).例2如图，⊙O1半径是⊙O2的直径，C是⊙O1上一点，O1C交⊙O2于点B，若⊙O1的半径等于5cm，AC的长等于⊙O1周长的110，则AB的长是cm.分析：由AC的长是⊙O1周长的1/10可知：∠AO1C=36°，∠AO2B=2∠AO1B=72°，O2A=5/2，∴AB的长l=72π/180×5/2=π.【教学说明】例1是求弓形面积，弓形面积是扇形面积与三角形面积的差或和，因此掌握了扇形面积公式，弓形面积就迎刃而解了，例2是结合弧长公式和圆有关知识进行求解.可由学生合作交流完成.四、运用新知，深化理解完成教材第113页练习3个小题.【教学说明】这几个练习较为简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.五、师生互动，课堂小结通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？【教学说明】教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.1.布置作业：从教材“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，再由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.24.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积一、新课导入1.导入课题：情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.问题：怎样求一段弧的长度呢？这就是这节课我们所要研究的问题(板书课题).2.学习目标：（1）能推导弧长和扇形面积的计算公式.（2）知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算.3.学习重、难点：重点：弧长公式及扇形面积公式与应用.难点：阴影部分面积的计算.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第111页的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：注意公式的推导和记忆.（4）自学参考提纲：①圆的周长公式是什么？C＝2πR.②弧有长度吗？弧的长度和它所在的圆周长有何关系？圆可以看作是360度的圆心角所对的弧.1°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？1360n°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？n360所以在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的公式是n R lπ=180.③由弧长公式可知，一条弧的弧长l、圆心角度数n和圆半径R，在这三个量中，已知其中的两个，就可求出第三个.如已知l 和n ，则R ＝l n π180；已知l 和R ，则n ＝l Rπ180. ④计算图中弯道的“展直长度”.解：由弧长公式，得AB 的长l π⨯⨯=100900180≈1570(mm). 因此所要求的展直长度L=2×700+1×1570=2970(mm).2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生对弧长公式的推导和变形过程.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）弧长公式、公式的书写格式及其变形.（2）有一段弯道是圆弧形的，道长是12米，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R （精确到0.1米）.解：由n l R π=180得l R .n .π⨯==≈⨯180180128581314 (米).1.自学指导：（1）自学内容：教材第112页到第113页“练习”之前的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①圆的面积公式是什么？S ＝πR 2②什么叫扇形？扇形的面积和它所在的圆的面积有何关系？圆的面积可以看作是圆心角为 360 度的扇形面积.圆心角为1°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？1360圆心角为n°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？n 360所以在半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S 扇形的公式是扇形＝n R S π2360. ③试推导扇形的面积公式扇形S lR =12（这里的l 指扇形的弧长，R 指半径）. 扇形n R n R S R lR ππ===21136021802. ④如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（精确到0.01m 2）.a.怎样求圆心角∠AOD 的度数？在Rt △ADO 中，OD=OC-DC=0.3m,OA=0.6m.∴∠A=30°.∴∠AOD=60°.∴∠AOB=2∠AOD=120°.b.阴影部分的面积=扇形AOB 的面积-△AOB 的面积.c.写出本题的解答过程.解：如图，连接OA 、OB,作弦AB 的垂直平分线，垂足为D,交AB 于点C ，连接AC. ∵OC ＝0.6m,DC ＝0.3m,∴OD ＝OC-DC ＝0.3（m ）.∴OD ＝DC.又AD ⊥DC,∴AD 是线段OC 的垂直平分线.∴AC ＝AO ＝OC.从而∠AOD ＝60°，∠AOB ＝120°.∴扇形有水部分的面积＝＝＝（）OAB OAB S S S .AB?OD ....m ππ-⨯--⨯⨯≈2212011060120630302236022. 2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生在推导扇形面积公式及求例2中∠AOD 时遇到的困难情况. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）扇形面积公式及推导过程和公式的变形.（2）求不规则图形的面积的方法：转化为规则图形的面积和或差.（3）练习：已知正三角形ABC 的边长为a ，分别以A 、B 、C 为圆心，以12a 为半径的圆相切于点D 、 E 、F ，求图中阴影部分的面积S.解：连接AD,则AD ⊥BC, AD a =3.∴阴影扇形ABC AFEa S S S BC?AD a a ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯=-⨯=-222160131233236048. 三、评价 1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？还有什么疑惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的主动参与性、小组交流协作能力和状况、存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，然后由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是4π.2.(10分)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm ，则此弧所在的圆半径是6cm.3.(10分)一个扇形的弧长为20πcm ，面积是240πcm 2，则扇形的圆心角是150°.4.(20分)如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度.（π取3.142）解：π⨯⨯+⨯≈901000300026142180（mm ）. 答：图中管道的展直长度约为6142mm.5.(20分)草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射半径是20m ，求它能喷灌的草坪的面积.解：()S m ππ⨯⨯==222202022003609. 答：它能喷灌的草坪的面积为m π222009. 二、综合应用（20分）6.(20分)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，求贴纸部分的面积. 解：扇形ABC S ππ⨯⨯==212030300360 (cm 2), 扇形（）ADE S ππ⨯⨯-==212030*********(cm 2), ∴贴纸扇形扇形ABC ADE S S S πππ=-=-=10080030033(cm 2). 答：贴纸部分的面积是π8003cm 2. 三、拓展延伸（共10分）7.(10分)正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.解：方法一：阴影（）＝a S a a a ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22222122. 方法二：阴影＝a S a a ππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22241222. 答：图中阴影部分的面积为a π⎛⎫- ⎪⎝⎭212.。

人教版九年级上册24.4弧长和扇形面积(2)导学案

郾城区第二实验中学导学案
二次备课：（4)一个直角三角形两直角边分别为4cm和3cm，以它的一直角边为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的表面积为________。

（5)圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm,求它的全面积.
三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．
1、圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2
2、如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
3、如图所示的扇形中，半径R=10
，圆心角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高(精确到0.1)
四、知识归纳拓展延伸
1、圆锥的侧面展开图是一个扇形
2、圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长.
3、圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

4、圆锥的侧面积公式：S 侧 =πrl
5、圆锥的全面积(或表面积)：S全＝πr2＋πrl
五、作业布置
教后反思：。

人教版九年级上册数学《弧长和扇形面积》教学导学案

24.4弧长和扇形面积( 第 2 课时 )教课内容1．圆锥母线的观点．2．圆锥侧面积的计算方法．3．计算圆锥全面积的计算方法．4．应用它们解决实质问题．教课目的认识圆锥母线的观点，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．经过设置情形和复习扇形面积的计算方法探究圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实质问题．重难点、要点1．要点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．2．难点：探究两个公式的由来．3．要点：你经过剪母线变为面的过程．教具、学具准备准备好的圆锥。

教课过程一、复习引入1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．2．赏识图片，抽象出几何体------ 圆锥幻灯片2）二、探究新知活动一：同学们取出自制的圆锥，谈谈你对圆锥的认识。

圆锥是由一个侧面﹝曲面﹞和一个底面﹝圆﹞构成的。

﹝幻灯片3﹞活动二：对圆锥的再认识：母线、圆锥的高。

思虑：圆锥的母线和圆锥的高有什么性质？﹝圆锥的母线长都相等；圆锥的高垂直于底面圆﹞。

﹝幻灯片4﹞假如用 r 表示圆锥底面的半径, h 表示圆锥的高线长, 表示圆锥的母线长,那么 r,h, 之间h l222r +h = l r5﹞有如何的数目关系呢？﹝幻灯片练习：填空 : 依据以下条件求值（此中r、h、分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）﹝幻灯片 6﹞圆锥的侧面睁开图是一个扇形。

A﹝幻灯片 7﹞B O C其侧面睁开图扇形的半径 =母线的长 l ；侧面睁开图扇形的弧长=底面周长；S 侧 =π rl(r 表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长)；全面积 = rL+r2﹝幻灯片 8—幻灯片 10﹞要求：不要死记公式，造作业一定画出侧面睁开图的表示图。

练习： (1) 已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这个圆锥的母长为_______(2)已知一个圆锥的底面半径为 12cm，母线长为 20cm，则这个圆锥的侧面积为 _________ ，全面积为 _______。