第二章不可计算性
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华中科技大学计算机科学与技术学院 jrc@tom.com
§4 不可解性的直观理解
1。仿照图灵机编码方法，试给C语言程序编码，从 而证明C语言所写的程序集是r.e.集。 2。试证明不可能用C语言写一个程序A，它能判断任 意一个C语言写的程序X，当输入为Y时是否能最终 正常退出。 3。试证明不可能用C语言写一个程序A，它能判断任 意一个C语言写的程序X，当输入为Y时是否会格式 化系统盘。 4。试证明不可能用C语言写一个程序，用它来判断 任何一个C语言写的程序是否有死循环漏洞。或判 断是否会做任何恶意的事情。
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§5 Gödel不完备性定理
• 每一个形式系统都可以写成一台图灵机。 • 形式系统不过是一种产生定理的机械程序 ，或者说数学家在一个形式系统中进行演 算的过程就是一台图灵机的运行过程。 • 有了图灵机概念以后人们开始期望造出能 证明所有数学定理的机器。 • 但是，既然形式系统就等价于图灵机，那 么图灵机的局限就是形式系统的局限。
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§5 Gödel不完备性定理
哥德尔实际上证明了：任何丰富到足以展开初 等数论的形式系统，至少会遗漏一个数学真 理，数学形式系统不能囊括所有的数学真理。 那么，能不能添加更强的公理扩充原有的系统 以穷尽所有的数学真理呢？ 哥德尔定理的回答：不行！因为，新扩充的系 统也还是一台新的图灵机，还会有新的数学 真命题在其中不可证，…… 继续扩充，情形 依然如此。
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§３ 停机问题的不可解性
定义 停机函数H: N×N →{0,1}
1, 若ϕ x ( y ) ↓; H ( x, y ) = 否则 0, 定理 H(x,y)不是可计算函数。即停机问题不 可计算。 证法1 χK(x)=1 当且仅当x∈K当且仅当H(x,x)=1. 若H(x,y)可计算，则K的特征函数χK也可计算, 与K不是可计算集矛盾。
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§３ 停机问题的不可解性
证法2 假设有程序实现H(x,y)的计算，则存在如下程序： θ (x) { If H(x,x)==1 then while(1){x=x;};//死循环 } 由Church-Turing论题，存在一台图灵机Tz与程序θ功 能完全一样，则H(z,z)=1当且仅当θ(z)永不停机当且 仅当Tz(z)永不停机当且仅当H(z,z)=0，矛盾 因此假设是错的，即没有程序实现H(x,y)的计算。
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§5 Gödel不完备性定理
1997年曾任美国数学会主席的斯梅尔 （S.Smale）效仿数学家希尔伯特向全世界 数学家提出了21世纪需要解决的24个数学 问题，其中的第18个问题是，“人类智能 的极限和人工智能的极限是什么”？并且 指出，这个问题与哥德尔不完全性定理有 关。 哥德尔定理说出了对于形式系统的局限，但 是定理并没有给出人类理性的界限。 人脑是不是计算机？“人心”是不是计算机？ 图灵机的计算模型是否可以超越？
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§３ 停机问题的不可解性
因为A*与N是可以建立一一对应的，可以认为图 灵机的输入都是N中的非负整数。 定义 N的子集K={i|i∈wi}={i|ϕi(i)↓} θ= K = {i | i ∉ wi } = {i | ϕi (i ) ↑} 引理1 θ不是r.e.集。 证 用反证法。假设θ是r.e.集，则存在常数p使得 θ =wp，则p∈wp当且仅当p∈θ当且仅当 p ∉ wp ， 矛盾
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§5 Gödel不完备性定理
定理(Gödel) 初等数论的真命题中至少有一个不可能 从皮亚诺算术系统中得到证明。 证：设命题为假，即初等数论中的任一真命题皆可 从皮亚诺算术系统中得到证明。对于任一给定的 自然数i， ϕi(i)↓与ϕi(i)↑这两个命题都是初等数论 中的命题，且恰有一个真，另一个为假。于是用 枚举出皮亚诺算术系统中的全部真命题的方法， 可以判定问题ϕi(i)↓?是否为真。 我们可以构造一台图灵机，模拟以上枚举算 法。如此则可用一台Turing机判定“ϕi(i)↓ ？”问 题。即K是可计算集，矛盾。
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§5 Gödel不完备性定理
哥德尔的不完备性定理在给出图灵机概 念之后就有了如下几种等价说法： （1）没有定理证明机器（或机器程序） 能够证明所有的数学真理。 （2）数学是算法不可完全的。 （3）数学是机器程序不可穷尽的。 （4）停机问题不可解，因此本质上，计 算机的能力是有局限的。
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§２ 不可计算函数的存在性
考虑从N到N的全函数，即映射f：N→N。 引理 记 NN={f| f：N→N}，则NN与N之间不存 在一一对应的关系。 定理 NN中至少有一个函数不是可计算的。 引理 记 2N={A| A⊆N}，则2N与N之间不存在 一一对应的关系。 定理 2N中至少有一个集合不是r.e.集。
jrc@tom.com
§5 Gödel不完备性定理
一阶逻辑（又称谓词逻辑）的所有公理和规则， 加上Peano给出的自然数系统的五条公理。这 就形成了皮亚诺算术系统(Peano’s Arithmetic system)。 该系统中用如下符号来表示自然数。 数： 0 1 2 3 …… 符号：0 S0 SS0 SSS0 …… 这里的S表示后继者。 “6是偶数”表示成“∃e(SS0·e) ＝SSSSSS0”
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§5 Gödel不完备性定理
计算机科学研究受到的启发： 模拟人类智能，超越图灵机概念，探讨以自然 为基础的生物计算、量子计算等新的计算模 式，实施一种“算法+自然机制”的方法论策 略。 对于能够归为传统算法解决的问题，依然使用 算法手段解决，不能归为传统算法解决的问 题，借助自然的生物、化学、物理的机制解 决，并期望借助这种“半人工”手段制造出 堪与人脑匹敌的所谓“半人工智能”来。如: 拟物拟人算法、人工神经网络、遗传进化算法、 模拟淬火算法、蚁群算法
Kurt Gödel, 1906－1978
华中科技大学计算机科学与技术学院 jrc@tom.com
§5 Gödel不完备性定理
1900年巴黎数学家会议上，希尔伯特遵从 “世界上没有不可知”，“人类理性提出 的问题人类理性一定能够回答”的哲学信 念，提出23个数学问题，其中的第二个问 题就是建立整个数学的一致性（即无矛盾 性或称协调性）。 1920年代希尔伯特本人曾提出了一个使用有 穷方法建立实数和分析的一致性的方案， 称为希尔伯特元数学方案。
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§5 Gödel不完备性定理
皮亚诺（Peano,1858-1932）公理 关于自然数的 五条公理。用非形式化的方法叙述如下： ①0是自然数； ②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后 继数a ' ， a ' 也是自然数； ③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c； ④0不是任何自然数的后继数； ⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自 然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可 以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数 都真。 华中科技大学计算机科学与技术学院
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§5 Gödel不完备性定理
1930年获得博士学位之后，哥德尔开始沿着 希尔伯特方案的路线着手解决希尔伯特第 二问题。 哥德尔最初是想寻此方案首先建立算术理论 的一致性，然后再建立相对于算术而言更 复杂的实数理论的一致性，但出乎意外的 是，他得到了与希尔伯特预期完全相反的 结果。
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§３ 停机问题的不可解性
引理2 K是r.e.集，但不是可计算集。 证 可构造一台机器(图灵机)M接受集合K： M：对任意输入x∈N，（1）将x解码为 图灵机Tx；（2）模拟Tx以x为输入的 运行。 故K是r.e.集。 因为可计算集的补集一定是可计算集， 可计算集一定是r.e.集，但K的补集不 是r.e.集，故K不是可计算集。
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§5 Gödel不完备性定理
在一个形式系统中，各种陈述都表示成有穷长度的 符号串。 系统的形成规则指明什么样的符号串是合法的公式： 一些符号串被当作公理。系统中还包括一系列推理 规则。 一个证明就是从公理出发，对公式按推理规则进行 变形而形成的有穷长的公式序列。序列中的每一 个公式，要么是公理，要么是由在前的公式依照 推理规则形成的公式，而且系统中每一个定理都 是这样经过有穷步骤得到的结果。
第二章 不可计算性
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§１ 胜奕机之不存在性
假设存在一个计算机系统A，它下国际象棋能 击败任何对手。 于是存在一个被另一个人掌握的与A同样的计 算机系统B，它下国际象棋能击败任何对手。 现在让A与B下国际象棋。有如下三种可能： i>Ａ击败B；ii>下成平局；iii>B击败Ａ； 在任何情况下与假设矛盾。 因此，根本不存在胜奕机。
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§5 Gödel不完备性定理
2002年美国《时代周刊》 列出“20世纪震撼人类思 想界的四大伟人”: 爱因斯坦（Albert Einstein） 图灵（Alan Turing） 哥德尔（Kurt Gödel） 凯恩斯（John Keynes）
§4 不可解性的直观理解
1。仿照图灵机编码方法，试给C语言程序编码，从 而证明C语言所写的程序集是r.e.集。 2。试证明不可能用C语言写一个程序A，它能判断任 意一个C语言写的程序X，当输入为Y时是否能最终 正常退出。 3。试证明不可能用C语言写一个程序A，它能判断任 意一个C语言写的程序X，当输入为Y时是否会格式 化系统盘。 4。试证明不可能用C语言写一个程序，用它来判断 任何一个C语言写的程序是否有死循环漏洞。或判 断是否会做任何恶意的事情。
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• 每一个形式系统都可以写成一台图灵机。 • 形式系统不过是一种产生定理的机械程序 ，或者说数学家在一个形式系统中进行演 算的过程就是一台图灵机的运行过程。 • 有了图灵机概念以后人们开始期望造出能 证明所有数学定理的机器。 • 但是，既然形式系统就等价于图灵机，那 么图灵机的局限就是形式系统的局限。
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哥德尔实际上证明了：任何丰富到足以展开初 等数论的形式系统，至少会遗漏一个数学真 理，数学形式系统不能囊括所有的数学真理。 那么，能不能添加更强的公理扩充原有的系统 以穷尽所有的数学真理呢？ 哥德尔定理的回答：不行！因为，新扩充的系 统也还是一台新的图灵机，还会有新的数学 真命题在其中不可证，…… 继续扩充，情形 依然如此。
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定义 停机函数H: N×N →{0,1}
1, 若ϕ x ( y ) ↓; H ( x, y ) = 否则 0, 定理 H(x,y)不是可计算函数。即停机问题不 可计算。 证法1 χK(x)=1 当且仅当x∈K当且仅当H(x,x)=1. 若H(x,y)可计算，则K的特征函数χK也可计算, 与K不是可计算集矛盾。
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§３ 停机问题的不可解性
证法2 假设有程序实现H(x,y)的计算，则存在如下程序： θ (x) { If H(x,x)==1 then while(1){x=x;};//死循环 } 由Church-Turing论题，存在一台图灵机Tz与程序θ功 能完全一样，则H(z,z)=1当且仅当θ(z)永不停机当且 仅当Tz(z)永不停机当且仅当H(z,z)=0，矛盾 因此假设是错的，即没有程序实现H(x,y)的计算。
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1997年曾任美国数学会主席的斯梅尔 （S.Smale）效仿数学家希尔伯特向全世界 数学家提出了21世纪需要解决的24个数学 问题，其中的第18个问题是，“人类智能 的极限和人工智能的极限是什么”？并且 指出，这个问题与哥德尔不完全性定理有 关。 哥德尔定理说出了对于形式系统的局限，但 是定理并没有给出人类理性的界限。 人脑是不是计算机？“人心”是不是计算机？ 图灵机的计算模型是否可以超越？
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§３ 停机问题的不可解性
因为A*与N是可以建立一一对应的，可以认为图 灵机的输入都是N中的非负整数。 定义 N的子集K={i|i∈wi}={i|ϕi(i)↓} θ= K = {i | i ∉ wi } = {i | ϕi (i ) ↑} 引理1 θ不是r.e.集。 证 用反证法。假设θ是r.e.集，则存在常数p使得 θ =wp，则p∈wp当且仅当p∈θ当且仅当 p ∉ wp ， 矛盾
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定理(Gödel) 初等数论的真命题中至少有一个不可能 从皮亚诺算术系统中得到证明。 证：设命题为假，即初等数论中的任一真命题皆可 从皮亚诺算术系统中得到证明。对于任一给定的 自然数i， ϕi(i)↓与ϕi(i)↑这两个命题都是初等数论 中的命题，且恰有一个真，另一个为假。于是用 枚举出皮亚诺算术系统中的全部真命题的方法， 可以判定问题ϕi(i)↓?是否为真。 我们可以构造一台图灵机，模拟以上枚举算 法。如此则可用一台Turing机判定“ϕi(i)↓ ？”问 题。即K是可计算集，矛盾。
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哥德尔的不完备性定理在给出图灵机概 念之后就有了如下几种等价说法： （1）没有定理证明机器（或机器程序） 能够证明所有的数学真理。 （2）数学是算法不可完全的。 （3）数学是机器程序不可穷尽的。 （4）停机问题不可解，因此本质上，计 算机的能力是有局限的。
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§２ 不可计算函数的存在性
考虑从N到N的全函数，即映射f：N→N。 引理 记 NN={f| f：N→N}，则NN与N之间不存 在一一对应的关系。 定理 NN中至少有一个函数不是可计算的。 引理 记 2N={A| A⊆N}，则2N与N之间不存在 一一对应的关系。 定理 2N中至少有一个集合不是r.e.集。
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§5 Gödel不完备性定理
一阶逻辑（又称谓词逻辑）的所有公理和规则， 加上Peano给出的自然数系统的五条公理。这 就形成了皮亚诺算术系统(Peano’s Arithmetic system)。 该系统中用如下符号来表示自然数。 数： 0 1 2 3 …… 符号：0 S0 SS0 SSS0 …… 这里的S表示后继者。 “6是偶数”表示成“∃e(SS0·e) ＝SSSSSS0”
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计算机科学研究受到的启发： 模拟人类智能，超越图灵机概念，探讨以自然 为基础的生物计算、量子计算等新的计算模 式，实施一种“算法+自然机制”的方法论策 略。 对于能够归为传统算法解决的问题，依然使用 算法手段解决，不能归为传统算法解决的问 题，借助自然的生物、化学、物理的机制解 决，并期望借助这种“半人工”手段制造出 堪与人脑匹敌的所谓“半人工智能”来。如: 拟物拟人算法、人工神经网络、遗传进化算法、 模拟淬火算法、蚁群算法
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1900年巴黎数学家会议上，希尔伯特遵从 “世界上没有不可知”，“人类理性提出 的问题人类理性一定能够回答”的哲学信 念，提出23个数学问题，其中的第二个问 题就是建立整个数学的一致性（即无矛盾 性或称协调性）。 1920年代希尔伯特本人曾提出了一个使用有 穷方法建立实数和分析的一致性的方案， 称为希尔伯特元数学方案。
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§5 Gödel不完备性定理
皮亚诺（Peano,1858-1932）公理 关于自然数的 五条公理。用非形式化的方法叙述如下： ①0是自然数； ②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后 继数a ' ， a ' 也是自然数； ③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c； ④0不是任何自然数的后继数； ⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自 然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可 以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数 都真。 华中科技大学计算机科学与技术学院
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1930年获得博士学位之后，哥德尔开始沿着 希尔伯特方案的路线着手解决希尔伯特第 二问题。 哥德尔最初是想寻此方案首先建立算术理论 的一致性，然后再建立相对于算术而言更 复杂的实数理论的一致性，但出乎意外的 是，他得到了与希尔伯特预期完全相反的 结果。
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§３ 停机问题的不可解性
引理2 K是r.e.集，但不是可计算集。 证 可构造一台机器(图灵机)M接受集合K： M：对任意输入x∈N，（1）将x解码为 图灵机Tx；（2）模拟Tx以x为输入的 运行。 故K是r.e.集。 因为可计算集的补集一定是可计算集， 可计算集一定是r.e.集，但K的补集不 是r.e.集，故K不是可计算集。
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§5 Gödel不完备性定理
在一个形式系统中，各种陈述都表示成有穷长度的 符号串。 系统的形成规则指明什么样的符号串是合法的公式： 一些符号串被当作公理。系统中还包括一系列推理 规则。 一个证明就是从公理出发，对公式按推理规则进行 变形而形成的有穷长的公式序列。序列中的每一 个公式，要么是公理，要么是由在前的公式依照 推理规则形成的公式，而且系统中每一个定理都 是这样经过有穷步骤得到的结果。
第二章 不可计算性
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§１ 胜奕机之不存在性
假设存在一个计算机系统A，它下国际象棋能 击败任何对手。 于是存在一个被另一个人掌握的与A同样的计 算机系统B，它下国际象棋能击败任何对手。 现在让A与B下国际象棋。有如下三种可能： i>Ａ击败B；ii>下成平局；iii>B击败Ａ； 在任何情况下与假设矛盾。 因此，根本不存在胜奕机。
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