三角函数 正切、余切图象及其性质
高一正弦、余弦、正切函数的图像与性质复习课
2.设函数f(x)＝sin(2x－ )，x∈R，则f(x)是 ( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数
D.最小正周期为 的偶函数
练习 3.函数y＝sin(2x＋ )的图象 ()
A.关于点( ,0)对称 B.关于直线x＝
对称
C.关于点( ,0)对称 D.关于直线x＝ 对称
对称中心 ( ，0)， k∈Z
无
2π
πቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求下列函数的定义域：
变式：求函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域.
已知函数f(x)＝log2[
(2x－ )].
(1)求函数的定义域；
(2)求满足f(x)＝0的x的取值范围；
(3)求函数f(x)的单调递减区间. 变式：求函数y＝sin ( －2x)，x∈[-π,π]的单调减区间.
例 3. 求函数 y sin x tan x 在[ , ]上最大值和最小值.
44
例 4. 求函数 y 3 tan x 的定义域和值域.
例
5.已知函数
f
(x)
tan(
2x) .
3
⑴求函数的单调区间；
⑵求函数图象在 x (0, 2 ) 上的对称点坐标.
例 6.已知函数 f ( x) tan( x )( 0)
ymin＝－1(k∈Z)
x＝2kπ 时 ， yXm＝aπx＝＋12(kkπ∈Z时)；， ymin＝－1(k∈Z)
无最值
函数 奇偶
性
对称 性
周期 性
y＝sinx 奇
y＝cosx 偶
y＝tanx 奇
对称中心 (kπ，0)，k∈Z
对称轴l： x＝kπ＋ ，
常见三角函数图像及其性质
常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。
函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。
6-2.余弦,正切,余切函数的图象和性质(15
解
在本节课的最后一个例题中出现了图象变换对函数性质的影响．有关这个问题在下节课还要详细分析．总之，学习了函数的性质，特别是学习正弦函数、余弦函数独特的性质周期性后，使我们对它们的其它性质有了进一步的认识，也使我们对两个函数有了较为全面的了解．
4．增减性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间．引导学生从图象上先标出一个增区间，
5．最值：最大值为1，最小值为-1，但取得最值的时刻不唯一．例
取到最小值．
函数值取最值．而如前面讨论的正弦函数取得最大值时，对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．
所以它们的定义域相同，都为R．值域也相同，都是［-1，1］．最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）值的时刻不同．它们的周期相同，最小正周期都是2π．它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变．
再比如奇偶性的讨论：
奇非偶函数.
函数的有些性质利用函数图象来讨论既直观又简明，所以熟记基本的正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象，并利用它们作出有关的三角函数图象是分析函数性质的关键．
四、小结
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质一、正弦函数的图象与性质1、正弦函数图象的作法：（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。
注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。
2、正弦函数的性质（1）定义域为，值域为；（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。
函数的最小正周期是；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。
3、周期函数函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。
4、关于函数的图象和性质（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。
5、正弦型图象的变换方法（1）先平移后伸缩的图象的图象的图象的图象的图象。
（2）先伸缩后平移的图象的图象的图象的图象的图象。
二、余弦函数、正切函数的图象与性质1、余弦函数的图象和性质（1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。
（2）余弦函数的性质可类比正弦函数的性质得到。
2、正切函数与正、余弦函数的比较（1）正切函数的定义域不是全体实数，这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较大的差别；（2）正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；（3）正、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断的点；而正切函数在定义域上不连续，它有无数条渐近线（垂直于x轴的直线），其图象被这些渐近线分割开来；（4）正、余弦函数的图象既是中心对称图形（对称中心分别为），又是轴对称图形（对称轴分别为）；而正切函数的图象只是中心对称图形，其对称中心为；（5）正、余弦函数既有单调递增区间，又有单调递减区间；而正切函数只有单调递增区间，即正切函数，在每一个区间上都是单调递增函数。
10正切与余切函数的图象与性质
正切与余切函数图像与性质一、一周内容概述（一）、正切函数的图象1、“三点两线法”作上的简图.2、左、右平移π的整数倍即得正切曲线.注：正切曲线是被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.（二）、函数y=tanx与y=tan(ωx＋φ)的性质对比：二、重难点知识归纳及讲解（一）、利用正切函数的图象及图象变换规律作有关函数的简图.例1、作下列函数的简图（1）y=tan(－x) （2）y=|tanx|（3）y=tan|x|（二）、利用正切函数的单调性比较大小及求单调区间.例2、比较下列各组数的大小. （1）tan2和tan9 （2）例3、求函数单调区间（三）正切函数性质的综合运用例4、已知函数f(x)是以3为周期的奇函数，且f(－1)=1，若，求f(tan2α).选择题1、下列命题中，正确的是（）A．y=tanx是增函数B．y=tanx在第一象限是增函数C．y=tanx在每个区间上是增函数D．y=tanx是某一区间内的减函数2、正切函数的定义域是（）A．B．C．D．3、下列不等式中正确的是（）A ．B．C ．D ．4、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx(ω为常数，且ω＞0）相交的相邻两点间的距离是（）A．πB ．C ．D．与a值有关5、将函数y=tan2x 的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式是（）A ．B ．C ．D ．6、以下四个函数：①y=sinx＋cotx；②y=xtanx－cotx；③；④，其中奇函数的个数是（）A．1B．2 C．3D．47、同时满足在上递增，以π为周期，是奇函数的是（）A．y=|tanx|B．y=tanxC．y=|cotx|D．y=cotx8、若tanα＞sinα＞cosα，且，则α∈（）A ．B ．C ．D ．9、若，则（）A．α＜βB．α＞βC．α＋β＞3πD．α＋β＜2π10、如图所示为函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx在上的图象，则它们所对应的图象的编号顺序是（）A．①②③④B．①③②④C．③①②④D．③①④②综合题1、函数的定义域是_______________.2、已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c的大小关系为______ ____.3、已知（1）用定义判断f(x)的奇偶性；（2）在[－π,π]上画出y=f(x)的简图；（3）指出f(x)的最小正周期及在[－π,π]上的单调区间.4、已知函数（1）求出函数的定义域和值域；（2）判断函数是否为周期函数，若是，则求出周期；（3）讨论这个函数的单调性.5、有两个函数，它们的周期之和为，求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间.。
高考数学中的三角函数图像及解析式
高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念之一，而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。
在本文中，我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式，帮助读者更好地掌握这一知识点，提高高考数学的成绩。
一、正弦函数的图像及解析式正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数，其通式为：y = sin x正弦函数的图像为一条波形曲线，波峰和波谷交替出现，形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。
正弦函数的图像以 y 轴为对称轴，且有一个最高点和最低点，最高点为(π/2，1)，最低点为(3π/2，-1)。
而整张图像的周期为2π，也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。
二、余弦函数的图像及解析式余弦函数也是一个基础的三角函数，通式为：y = cos x余弦函数的图像也是一条波形曲线，波峰和波谷也是交替出现，但是与正弦函数的图像不同，余弦函数图像是以 x 轴为对称轴，它也有一个最高点和最低点，最高点为(0，1)，最低点为(π，-1)。
余弦函数的周期也是2π。
三、正切函数的图像及解析式正切函数是三角函数中比较特别的一个函数，通式为：y = tan x正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线，它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。
除此之外，还有一个水平渐近线 y=0。
正切函数的周期为π。
四、余切函数的图像及解析式余切函数是正切函数的倒数，通式为：y = cot x余切函数的图像是一条波形曲线，它也有一个垂直和水平的渐近线。
余切函数的周期也是π。
总之，三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点，掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩，还能增进我们对数学知识的理解和掌握。
正切函数和余切函数的图像与性质(二)(学生版)
年级：高一辅导科目：数学课时数：课题正切函数和余切函数的图像与性质1、让学生掌握正切函数的图像，性质教学目的2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等教学内容【知识梳理】正切函数y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线”2余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：x | x k , k z ，22．值域： R3．当xk , k k z 时y0 ，当x k, k k z 时y 0224．周期性：5．奇偶性：Ttan x tan x 奇函数6．单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增22余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的性质：1．定义域：x R且x k , k z2．值域： R，3．当 xk , k k z 时 y 0 ，当 x k, k k z 时 y 0224．周期： T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间k , k 1上函数单调递减【典型例题分析】例 1、用图象解不等式tan x 3 。
变式练习： tan x1。
例 2、作出函数 ytan x , x 0,2 且 x ,3的简图1 tan2 x2 2例 3、求下列函数的定义域。
cot x cot x csc x1、 y2、 ytan x1变式练习：求下列函数的定义域。
（1）y cos x tan x；（2）y log2 (cot x1)1（ 3）y1 tan x例 4、求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3变式练习：画出函数y cot( x)tan x 的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。
2例5、（ 1）求y tan2 x 4tan x1的值域；（ 2）若x,时，y k tan(2x) 的值总不大于零，求实数k 的取值范围。
633变式练习：求函数 y tan2x tan x 1的最大值、最小值，并求函数取得最大值最小值时自变量x 的集合。
三角函数入门什么是正弦余弦和正切
三角函数入门什么是正弦余弦和正切三角函数入门：什么是正弦、余弦和正切三角函数是数学中的重要概念，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
其中，正弦、余弦和正切是三个基本的三角函数，今天我们就来探讨一下它们的定义和性质。
一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，它描述了一个角度对应的正弦值。
在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值。
以角记作θ，那么正弦函数sinθ可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边其中，对边指的是角θ的对边的边长，斜边指的是角θ对应直角三角形的斜边的边长。
在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。
这时，对边就是点P的纵坐标y，斜边则是单位圆的半径1。
因此，我们可以将正弦函数sinθ定义为：sinθ = y正弦函数sinθ的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个基本的三角函数，它描述了一个角度对应的余弦值。
在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值。
以角记作θ，那么余弦函数cosθ可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边其中，邻边指的是角θ的邻边的边长。
在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。
这时，邻边就是点P的横坐标x，斜边仍然是单位圆的半径1。
因此，我们可以将余弦函数cosθ定义为：cosθ = x余弦函数cosθ的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中的第三个基本函数，它描述了一个角度对应的正切值。
在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值。
以角记作θ，那么正切函数tanθ可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边其中，对边指的是角θ的对边的边长，邻边指的是角θ的邻边的边长。
在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。
这时，对边就是点P的纵坐标y，邻边就是点P的横坐标x。
因此，我们可以将正切函数tanθ定义为：tanθ = y / x正切函数tanθ的定义域是所有不等于π/2 + kπ（k为整数）的实数，值域是整个实数集。
三角函数正切与余切的定义
三角函数正切与余切的定义三角函数是数学中非常重要的一类函数，其中正切函数和余切函数在解决三角形相关问题以及在物理、工程等领域中有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨正切和余切函数的定义及其性质。
一、正切函数的定义正切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的正切值。
设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。
则正切函数tanA定义为tanA=y/x。
在直角三角形中，角A的角度为θ，则tanθ可以表示为对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。
二、余切函数的定义余切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的余切值。
同样设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。
则余切函数cotA定义为cotA=x/y。
在直角三角形中，角A的角度为θ，则cotθ可以表示为邻边与对边的比值，即cotθ=adjacent/opposite。
三、正切和余切函数的性质1. 定义域和值域正切函数和余切函数的定义域为所有实数，除了使分母为零的点，因为在这些点上，函数无定义。
正切函数的值域为所有实数，而余切函数的值域也是所有实数。
正切函数和余切函数的值可以是正无穷、负无穷或任意实数。
2. 周期性正切函数和余切函数均具有周期性。
正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
余切函数的周期也为π，即cot(θ+π)=cotθ。
3. 奇偶性正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ，而余切函数是奇函数，即cot(-θ)=-cotθ。
这意味着对于正切函数和余切函数，如果角度取负，函数值的符号会改变。
4. 关系式正切函数和余切函数之间存在着一种关系，即tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。
这可以通过函数定义推导得出。
5. 图像特点当角度增大时，正切函数和余切函数都会体现出图像上升或下降的趋势。
正切函数的图像曲线在每个周期内交替地上升和下降，且在θ=π/2的点上有一个正无穷的间断点。
高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)
(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。
（工 W R ）7Tcos 卯=。
=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。
5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质_知识点总结
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质_知识点总结
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质正切函数的图像：余切函数的图像：
正切函数的性质：
（1）定义域：；
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π；
（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是（k∈Z），无对称轴；
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。
但要注意在整个定义域上不具有单调性。
余切函数的性质:
（1）定义域：x
（2）值域：实数集R；
（3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π
（4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心（5）单调性：在每一个开区间（kπ,课前预习，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。
三角函数的广义定义与性质
三角函数的广义定义与性质三角函数是数学中一类重要的特殊函数，在数学、物理、工程等学科中有着广泛的应用。
它们的广义定义和性质对于深入理解和应用三角函数是至关重要的。
本文将对三角函数的广义定义和性质进行讨论。
一、正弦函数和余弦函数的广义定义在直角三角形中，正弦函数和余弦函数是首先被引入并定义的。
对于任意给定角度θ，我们定义正弦函数sinθ和余弦函数cosθ如下：sinθ = 垂直边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边其中，斜边表示直角三角形的斜边长度，垂直边和邻边分别表示与给定角度θ相关的直角三角形中垂直于θ的边和与θ相邻的边的长度。
二、正弦函数和余弦函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即在每个2π的区间内，函数的值重复。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3. 介于-1和1之间：对于任意角度θ，-1 ≤ sinθ ≤ 1，-1 ≤ cosθ ≤ 1。
4. 正交性：正弦函数和余弦函数在不同角度上是正交的，即∫[0, 2π] sinθcosθ dθ = 0。
三、正切函数和余切函数的广义定义基于正弦函数和余弦函数的广义定义，我们可以引入正切函数和余切函数，它们分别定义如下：tanθ = sinθ / cosθ = 垂直边 / 邻边cotθ = cosθ / sinθ = 邻边 / 垂直边其中，正切函数tanθ等于正弦函数sinθ与余弦函数cosθ的比值，余切函数cotθ等于余弦函数cosθ与正弦函数sinθ的比值。
四、正切函数和余切函数的性质1. 周期性：正切函数和余切函数的周期均为π，即在每个π的区间内，函数的值重复。
2. 对称性：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ；余切函数也是奇函数，即cot(-θ) = -cotθ。
3. 无定义点：正切函数在所有使得余弦函数为零的点上无定义，即在θ = (2n+1)π/2处，n为整数；余切函数在所有使得正弦函数为零的点上无定义，即在θ = nπ处，n为整数。
三角函数与反三角函数公式与图像
三角函数与反三角函数三角函数表三角函数诱导公式公式1ααπsin )2sin =+k （ ααπcos )2cos =+k （ααπtan )2tan =+（ ααπcot 2k cot =+）（公式2ααπ-sin sin =+）（ ααπ-cos cos =+）（ααπtan tan =+）（ ααπcot cot =+）（公式3ααsin -)-sin(= ααcos -cos =）（αα-tan -tan =）（ αα-cot -cot =）（ 公式4ααπsin -sin =）（ ααπ-cos -cos =）（ααπtan )(tan -=- ααπ-cot -cot =）（公式5ααπ-sin -2sin =）（ ααπcos -2cos =）（ααπtan )2(tan -=- ααπ-cot 2(cot =-）公式6ααπcos 2sin =+）（ ααπ-sin 2cos =+）（ ααπcot )2(tan -=+ααπ-tan 2cot =+）（ ααπcos -2sin =）（ααπsin -2cos =）（ ααπcot )2(tan =-ααπtan -2cot =）（推算公式ααπ-cos 23sin =+）（ ααπsin 23cos =+）（ααπcot )23(tan -=+ ααπ-tan 23cot =+）（ααπcos )23sin -=-（ ααπ-sin -23cos =）（ααπcot )23(tan =- ααπtan )23cot =-（三角函数公式一 基本关系式1cos sin 22=+α 1cot tan =⋅αααααcos sin tan = αααsin cos cot = 二 两角和差公式ααβαβαsin cos cos sin sin ⋅+⋅=+）（βαβαβαsin cos -cos sin -sin ⋅⋅=）（βαβαβαsin sin -cos cos cos ⋅⋅=+）（βαβαβαsin sin cos cos -cos ⋅+⋅=）（βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan -tan )-tan(⋅+=三 二倍角的正弦，余弦和正切公式αααcos sin 22sin ⋅=ααααα2222sin 2-11-cos 2sin -cos cos2===ααα2tan 1tan 22tan -=四 半角正弦，余弦和正切公式）（ααcos -1212sin 2= ）（ααcos 1212cos 2+=αααcos 1cos 12tan 2+-=αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=五 三倍角正弦，余弦和正切公式ααα3sin 4-sin 33sin =αααcos 3-cos 43cos 3=ααα233tan 31tan tan 3tan --=六 万能公式2tan 12tan 2sin 2ααα+=2tan12tan-1cos 22ααα+=2tan12tan 2tan 2ααα-=七 辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )cos(22ϕα-+=b a其中：bab a b b a a =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222八 三角函数和差化积公式）（）（2-cos 2sin 2sin sin βαβαβα⋅+=+）（）（2-sin 2cos 2sin -sin βαβαβα⋅+=）（）（2-cos 2cos 2cos cos βαβαβα⋅+=+）（）（2-sin 2sin 2-cos -cos βαβαβα⋅+=九 三角函数积化和差公式[]）（）（βαβαβα-sin sin 21cos sin ++=⋅ []）（）（βαβαβα-sin -sin 21sin cos +=⋅ []）（）（βαβαβα-cos cos 21cos cos ++=⋅ []）（）（βαβαβα-cos -cos 21-sin sin +=⋅反三角函数公式下α可取αα-arcsin -arcsin =）（ απαarccos --arccos =）（ααarctan )(arctan -=- απαarccot )-arccot -=（2arccot arctan arccos arcsin παααα=+=+αα=）（arcsin sin αα=）（arccos cosαα=)(arctan tan αα=）（arccot cotαα=）（sin arcsin ），（22-ππα∈αα=）（cos arccos ），（πα0∈αα=)(tan arctan ），（22-ππα∈αα=）（cot arccot ），（πα0∈αα1arctan arctan = 0>ααα1arccotarccot =0>α)1(arctan arctan arctan αββαβα-+=+ 其中)2,2(arctan arctan ππβα-∈+三角函数图像一 正弦函数x x f sin )(=定义域：R x ∈ 值域：]1,1[)(-∈x f二 余弦函数x x f cos )(=定义域：R x ∈ 值域：]1,1[)(-∈x f三 正切函数x x f tan )(=定义域：Z k k x R x ∈+≠∈,2ππ且 值域：R x f ∈)(四 余切函数x x f cot )(=定义域：Z k k x R x ∈≠∈,π且 值域：R x f ∈)(反三角函数图像一 反正弦函数x x f arcsin )(=定义域：]1,1[-∈x 值域：]2,2[)(ππ-∈x f二 反余弦函数x x f arccos )(=定义域：]1,1[-∈x 值域：],0[)(π∈x f11 三 反正弦函数 x x f arctan )(=定义域：R x ∈ 值域：)2,2()(ππ-∈x f四 反余切函数 x x f arccot )(=定义域：R x ∈ 值域：),0()(π∈x f。
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数sin y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
常见三角函数图像表
常见三角函数图像表正弦函数正弦函数是一个周期性的波动函数，其图像呈现出类似波浪的形状。
正弦函数的定义域是整个实数集，值域在[-1,1]之间。
在图像上，正弦函数在每个周期内经过最高点（峰值）和最低点（谷底），且在零点处过原点。
余弦函数余弦函数也是一个周期性的波动函数，其图像是正弦函数的平移。
余弦函数的定义域也是整个实数集，值域同样在[-1,1]之间。
和正弦函数不同，余弦函数在每个周期内经过最高点和最低点的中点，且在初始点处为最高点。
正切函数正切函数是一个奇函数，其图像在每π的间距处有一个无穷值点。
正切函数的周期是π，定义域为全体实数，值域为实数。
在图像上，正切函数呈现出不断递增或递减的特点，交替穿过零点。
余切函数余切函数是正切函数的倒数，也具有奇函数的特点。
它的周期同样是π，定义域为全体实数，值域是实数。
余切函数的图像呈现出在正切函数无穷值点处的连续性，交替穿过零点。
正割函数正割函数是余弦函数的倒数。
它的周期和余弦函数一样为2π，定义域为{x | x ≠ (2n + 1)π / 2, n ∈ Z}，值域为实数。
在图像上，正割函数在余弦函数的无穷点处有一个不连续点。
余割函数余割函数是正弦函数的倒数，图像为正弦函数图像的镜像。
它的周期也是2π，定义域为{x | x ≠ nπ, n ∈ Z}，值域同样为实数。
在图像上，余割函数呈现出和正弦函数相反方向的波浪形状。
通过以上对常见三角函数图像的描述，我们可以更直观地理解不同三角函数之间的关系和特点，为数学学习提供更多可能性。
三角函数的反正弦、反余弦与反正切
三角函数计算：在数学、物理等领 域中，反余弦函数常用于求解三角 函数方程或不等式
图像处理：在计算机视觉和图像处 理领域，反余弦函数用于图像的旋 转、缩放和变换等操作
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信号处理：在通信、雷达、音频处 理等领域，反余弦函数用于对信号 进行滤波、调制和解调等操作
控制系统：在自动化和控制系统领域， 反余弦函数用于分析和设计控制系统 的稳定性、响应速度和精度等性能指 标
定义域：角度x的取值范围是-π到π
周期性：三角函数 具有特定的周期， 可以在一定范围内 重复。
奇偶性：三角函数 具有奇偶性，即函 数图像关于原点对 称或关于y轴对称。
振幅与相位：振幅是函 数图像离原点的最大距 离，相位是函数图像相 对于x轴的偏移量。
定义域与值域：定义 域是函数可以取值的 范围，值域是函数可 能的取值集合。
三角函数在几何学中的应用：用于解决直角三角形中的角度和边长问题。 三角函数在物理学中的应用：描述周期性运动，例如简谐振动和交流电。 三角函数在信号处理中的应用：用于分析信号的频率和振幅。 三角函数在金融和经济中的应用：用于计算复利、评估风险和进行统计分析。
反正弦函数
反正弦函数是正弦函数的反函数 定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2] 图像关于直线y=x对称 反正弦函数在区间[-π/2,π/2]上是单调递增的
反正切函数
反正切函数是三角函数中的一种，表示为 arctan(x)，其定义域为全体实数，值域为 π/2 到 π/2 之间的弧度。
反正切函数是正切函数的反函数，即对于任意实数 x，arctan(x) 的值等于正切函数在 x 处的函数值。
反正切函数的图像是一个连续的曲线，其图像关于原点对称。
余切函数图像与性质
余切函数的图像和性质
（一）余切=余弦/正弦
在直角三角形中，指的是临边/对边，它与正弦是倒数，另外，它的定义域是角不能落在X轴上~
反函数简单来说就是知道Y的值，求解X~
比如说函数Y=2X+1，它的反函数是X=（Y-1）/2
（二）扩展资料
(1)、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}；
(2)、值域：R
(3)、奇偶性：奇函数；
可由诱导公式cot(－x)=－cotx推出。
图像关于(kπ/2,0)k∈z对称，实际上所有的零点和使cotx无意义的点都是它的对称中心。
(4)、周期性；
是周期函数，周期为kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期T=π；
(5)、单调性；
在每一个开区间（kπ，(k+1)π)，k∈Z上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。
(6)、对称性。
中心对称：关于点(kπ/2,0)k∈Z 成中心对称。
三角函数的正切与余切比值解析
三角函数的正切与余切比值解析三角函数是数学中的重要概念，其中正切和余切比值是其关键性质之一。
正切(tan)和余切(cot)是由三角形的两个边所决定的比值。
本文将对正切和余切比值的解析进行详细说明，以帮助读者更好地理解这一概念。
一、正切和余切的定义在一个直角三角形中，正切比值(tanθ)等于直角边的斜边上的线段与该直角边的线段的比值。
具体公式为：tanθ = 对边 / 邻边其中，θ为指定角度，对边为直角边对应回直角角度的对边长度，邻边为直角边对应回直角角度的邻边长度。
余切比值(cotθ)则是正切比值的倒数，即：cotθ = 1 / tanθ二、正切和余切比值的性质1. 周期性：正切和余切比值在相邻的两个全周期内保持不变。
这是因为正切和余切是周期函数，其周期为π。
2. 正负性：正切比值在不同象限的角度上具有不同的正负性。
在第一和第三象限，正切比值是正的；而在第二和第四象限，正切比值是负的。
余切比值则与正切比值的正负性相反。
3. 渐近线：正切比值和余切比值在一些特殊角度上的比值会趋于无穷大。
例如在直角三角形中，当角度接近90°时，正切比值会趋于无穷大，而余切比值会趋于零。
三、正切和余切比值的计算方法正切和余切比值可以通过计算器、三角函数表和数学公式来求得。
以下是一些常见角度的正切和余切比值：角度 | 正切比值 | 余切比值--------------------0° | 0 | 无穷大30° | √3/3 | √345° | 1 | 160° | √3 | √3/390° | 无穷大 | 0需要注意的是，当角度为90°时，正切比值会趋于无穷大，而余切比值会趋于零。
四、正切和余切比值的应用正切和余切比值在数学和物理中有广泛的应用。
以下是一些应用的示例：1. 几何学：正切和余切比值可用于计算角度和边长之间的关系，帮助解决三角形和其他几何形状的问题。
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正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点]
1．正切函数、余切函数的图象与性质
2．反三角函数的图象与性质
3．已知三角函数值求角
[目的要求]
1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.
2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.
3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.
4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.
[重点难点]
1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角
[内容回顾]
一、正切函数与余切函数图象
由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.
作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”.
若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案.
二、正、余切函数的性质
由图象可得:
y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z)
20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z)
20 对称轴；无
注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.
2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:
1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数.
y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.
y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数.
y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数.
2．反三角函数的图象
由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.
注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是
（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.
（3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和.
（4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象，有
y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数
20对称轴；无10对称中心非奇非偶
20对称轴；无10对称中心
（0，0）奇函数
20对称轴；无10对称中心非奇非偶
20对称轴；无周期性无无无无
另外:
1．三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π])
arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π))
2．反三角的三角运算
sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])
tan(arctanx)=x (x∈R)cot(arccotx)=x (x∈R)
3．x与-x的反三角函数值关系
arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])
arccos(-x)=π-arccosx (x∈[-1,1])
arctan(-x)=-arctanx (x∈R)
arccot(-x)=π-arccotx(x∈R)
4．。