教育统计与测量 第3章 推断统计

与性别无关
所谓方差分析(analysis of variance) ,是关 于k(k≥3)个样本平均数的假设测验方法，是将总 变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发 现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种 统计分析方法。 在方差分析中，存在两种变异，一种叫做 组间变异，另一种叫做组内变异。引起组间变 异的原因有两种，一种是任何实验都无法避免 的随机误差，一种是实验效应，即实验因素的 作用。
t

X
X
n ＞30
n 1
Leabharlann Baidu
t
X
X
n

某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为 73分，标准差为17分。期末考试后，随机抽取20 人的英语成绩，其平均分数为79.2分。问二年级学 生的英语成绩是否有显著性进步？
t X 79 .2 73 1.63 17 19
第一节
正态分布 第二节 总体平均数的估计 第三节 几种常用统计检验方法 第四节 方差分析
Y
N e 2
( x )2 2 2
Y
1 e 2
Z2 2


已知Z值求面积
Z=0至某一Z值 两个Z值之间 某一Z值以上或者以下的面积



已知面积，求Z值
Z=0以上或以下某一面积相对应Z值 正态曲线上端或下端某一面积对应Z值 求正态曲线中央部位某一面积对应的Z值

问题的分析 检验的步骤
◦ 首先假设学生新、旧教法的教学效果不存在差异（H0） ◦ 检验假设是否成立。差异大否定原假设，差异小肯定原假 设。 ◦ 选择和计算统计量。 ◦ 判定标准：P＜5%或 P＜1%


假设检验不可能绝对准确，它也可能犯错误。 所犯的错误有两种类型：一类错误是原假设H0为真 却被我们拒绝了。犯这种错误的概率用α来表示， 所以也称作α错误或弃真错误。另一类错误是原假 设为伪，却被我们接受了，叫做第二类错误，犯这 种错误的概率用β来表示 ，所以也称作β错误或取 伪错误。 自然，人们希望犯这两类错误的概率越小越好 。但对于一定的样本容量n ，不能同时做到犯这两 类错误的概率都很小。如果减小α错误，就会增大 犯β错误的机会；若减小β错误，也会增大犯α错误 的机会。
计算t值

n 1
查表：df=n-1=19, t(19)0.05=2.093 结论：不存在显著性进步

检验两个样本平均数与其各自代表的总体的差异是 否显著。 双总体t检验分为两类：
◦ 配对t检验（Paired-Samples t Test） 用于检验两个相关样本的平均数与其各自代表的总体的 差异是否显著。分两种情况： （1）自身不同处理结果的检验， （2）同一总体配对后不同处理结果的检验。 ◦ 两组独立样本的t检验（Independent-Samples t Test） 用于检验两个独立样本的平均数与其各自代表的总体的 差异是否显著。
Z X

n
69 66 1.09 11 .7 18
判断：与1.96比较

检验两个独立大样本的平均数的差异是否显著。
Z
X1 X 2

2 X1
n1


2 X2
n2

高一学生英语测验成绩见表。问男女生英语测验成 绩有无显著性差异。
性别 男 女
人数n 180 160
平均分数 76.2 78.2

对170名男女学生进行一项心理测验，其中全体学生 对某问题回答的结果如表所示。问男女学生对这个问 题的回答有无显著性差异。
另一类数据
合格
一类 数据 男生 女生 22 18
不合格
88 42
合计
110 60
合计
40
130
170
2×2列联表下的一般结构
另一类数据 B1 A1 a c a+c B2 b d b+d 合计 a+b c+d N=a+b+c+d
一类数据
合计
A2
计算公式
N (ad bc) 2 2 (a b)(c d )( a c)(b d )

对170名男女学生进行一项心理测验，其中全体学生 对某问题回答的结果如表所示。问男女学生对这个问 题的回答有无显著性差异。
另一类数据
合格
一类 数据 合计 男生 女生 22 18 40
一般可以认为引起组内变异的原因是随机 因素的影响，于是我们用组内MSw去描述组内变 异，以组间方差MSb去描述组间变异。然后以 组内方差为尺度去衡量组间方差，即计算F值 （F=MSb/MSw）。若组间方差大小和组内方差 差不多，或者更小，则认为引起组间变异的原 因主要是随机因素的影响，试验效应不显著； 相反则试验效果显著。



一、原始分数的局限性
（1）相同测验，分值的差异不等值 物理 物理 物理 物理 90 80 60 50 （2）不同测验的分值不等值 语文 外语 物理 数学 90 90 80 80 （3）可比性差、不同测验的分数不具有可加性
二、标准分数

标准分数的定义
Z
X X


Z分布


抽样分布的概念：抽样分布是指某种统计量（如平 均数和标准差）的概率分布。 抽样有无数种结果，每种结果都会有相应的统计量 ，这样这些统计量就构成了概率分布。
从某校高中应届毕业生中抽54人进行体检，健康状况属于良 好的有15人，中等的有23人，差的有16人。问该校高中应 届毕业生健康状况好、中、差的人数比率是否是1：2：1？ 第一步：建立建设H0：好、中、差的人数比率是否是1：2：1 第二步：计算理论频数和χ2值 ， 2 1

f e1 f e3 54


当然，使α、β 同时变小的办法也有，这就是增大 样本容量。但样本容量不可能没有限制，否则就会 使抽样调查失去意义。因此，在假设检验中，就有 一个对两类错误进行控制的问题。 一般地说，哪一类错误所带来的后果越严重，危害 越大，在假设检验中就应当把哪一类错误作为首要 的控制目标。但在假设检验中，大家都在执行这样 一个原则，即首先控制犯α错误原则。从前面假设 检验的步骤中我们会发现，步骤之三“规定显著性 水平”就体现了这样的原则。这样做的原因主要有 两点，一个是大家都遵循一个统一的原则，讨论问 题就比较方便。但这还不是最主要的。最主要的原 因在于，从实用的观点看，原假设是什么常常是明 确的，而备择假设是什么则常常是模糊的。



从总体中随机抽出容量为n的一切可能样本的平均 数的平均数等于总体的平均数。 容量为n的平均数在抽样分布上的标准差等于总体 标准差除以n的方根。 从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能样 本平均数的分布也呈正态分布；即使总体不呈正态 分布，如果样本容量较大，则样本平均数的抽样分 布也接近于正态分布。（中心极限定理）
t
X1 X 2
x x 2r x x
2 2
1 2 1
2
n 1
注意：t检验和z检验都要是方差齐的情况下， 总体都要求正态分布

用于检验两个相互独立的样本方差是否存在差异
一种研究多项分类计数数 据的统计方法。通常用于： 1、检验一个因素两项或多项 分类的实际观察数与某理论 次数分布是否相一致。 2、检验两个或者两个以上因 素各有多项分类之间是否存 在关联或者是否独立。 3、适用于计数资料的检验。


1．以0为中心，左右对称的单峰分布； 2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由 度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自由 度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线 ，如图.
一、统计检验的一般概念 例：某学校高中一年级试用一种新 的语文教学法，已知用原来的教学法，语 文考试的平均分数为79分（μ）标准差为 11分（σ）。使用新教学法后，从一年级 全体学生中随机抽取了30人（n），其平 均成绩为84分（X ）。问：新、旧教法的 教学效果是否存在差异。
经过方差分析所得的F值能表明各样本所取 自的总体均值之间的差异显著情况，但各对平 均数间何者显著，何者不显著尚未得知，因此 在F检验后，对各样本平均数之间仍需进行分析 比较，有必要进行各个平均数差异的显著性检 验。 等级数a：平均数从小到大排列的顺序中， 每对平均数间包含的组数（包括被比较的两个 组在内）。 1.完全随机设计的q检验 2.随机区组设计的q检验
1.完全随机设计的方差分析 为了检验某一个因素多种不同水平间差异的 显著性，可从同一个总体中随机抽取被试，再 随机的分入各实验组，施以各种不同实验处理 之后，用方差分析法进行分析。 2.随机区组设计的方差分析 在检验某一因素多种不同水平之间差异的显 著性时，为了减少被试间个别差异对结果的影 响，把从同一个总体中抽取的被试按条件相同 的原则分成各个组，使每个区组内的被试尽量 保持同质，或是同组被试反复作不同实验处理。
从某校高一学生中随机抽取60人进行调查，问他们高中要不 要实行文理分科，回答赞成的39人，反对的21人，问该校 高中生对实行文理分科的态度是否显著性差异？ 第一步：建立建设H0： f0＝fe＝30 第二步：计算理论频数和χ2值

( f 0 f e ) 2 (39 30 ) 2 (21 30 ) 2 2 5.4 fe 30 30



总体平均数的参数估计是指由样本平均数对总体平 均数进行的估计，它分为点估计和区间估计。 点估计是指用某一样本的平均数的值来估计总体平 均数的值。 区间估计是指以样本平均数的抽样分布为理论依据 ，按一定概率要求，由样本平均数的值来估计总体 平均数所在的区间范围。

总体标准差已知或总体标准差未知但n>30 总体标准差未知且n<30
( f0 fe ) fe
2

2
这里：
f0
实得次数 理论次数
fe

又称为配合度检验，用于检验一个因素两项或多项


分类的实际观察数与某理论次数分布是否相一致 。统计假设为： H0: f0-fe=0; 或 f0＝fe H1: f0-fe≠0; 或 f0 ≠ fe
如果χ2》 02.05 ，拒绝H0 ， 此时推论错误的概率为0.05
样本标准差 11.50 10.50
Z
X1 X 2
2 X
1
n1

2 X

2
76.2 78.2 11.5 2 10.50 2 180 160
1.425
n2
Z 1.96

无显著性差异
三、t检验
◦ 单总体t检验
检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。 适用于：t分布；n ＜ 30的样本。 检验统计量： n ＜ 30
不合格
88 42 130
合计
110 60 170
N (ad bc) 2 2 (a b)(c d )( a c)(b d ) 170 (22 42 88 18) 2 40 130 110 60 2.1577

df=1,
(21) 0.05 3.84
第三步： 推断 查χ2值 df=2-1=1, ， 5.4>3.84, P<0.05, 原假设不成立。
(21) 0.05 3.84
检验双向分类数据结构中两类分类特征或 属性之间是否具有独立性。 按惯用计算方法的不同，这种检验通常又 可分为2×2列联表下的χ2检验以及r×k列 联表下的χ2检验
2
4
13.5
f e 2 54
4
27
2 第三步： 推断 查χ2值 df=k-1=3-1=2, ( 2) 0.05 5.99 ， 1.22<5.99, P>0.05, 原假设成立。
( f 0 f e ) 2 (15 13.5) 2 (23 27 ) 2 (16 13.5) 2 1.22 fe 13 .5 27 13 .5
三、Z检验
◦ 单总体Z检验
检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数是否存在显 著差异。 计算统计量为： X Z

n X ：样本平均数、μ：总体平均数 σ：总体标准差、n ：样本数 判断标准：Z＜还是＞1.96


如果Z＜ 1.96，接受假设； 如果Z ＞1.96，拒绝假设。
某小学历届毕业生汉语拼音测验的平均分数为66 分，标准差为11.7。现用同样的试题测验应届毕业 生，并从中随机抽18份试卷，算得平均份为69分 。问该校应届与历届毕业生汉语拼音测验成绩是否 一样？