数学分析第一章
数学分析第一册第一章
S的最小的上界 称作 的上确界 的最小的上界,称作 的上确界. 的最小的上界 称作S的上确界 满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数 η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； (ii) 对任何 α < η , 存在x0 ∈ S , 使得 x0 > α , 即 则称数
事实上，对任何正数 无论多么大 无论多么大)， 事实上，对任何正数M(无论多么大 ，取 则 n0 ∈ N + , 且 n0
n0 = [ M ] + 1, ([ M ]表示对M 取整)
问题: 问题 设 S
有无上界; 有无上界 = [0,1]. (1) S有无上界 (2) S若有上界 有几个上界 若有上界,有几个上界 若有上界 有几个上界; (3) S有无最小的上界 有无最小的上界. 有无最小的上界
数集.确界原理 §2数集 确界原理 数集 一 区间与邻域 为开区间， 设 a, b ∈ R, 且 a < b. 称数集 {x | a < x < b} 为开区间，记作 ( a, b) 称为闭区间，记作 数集 称为闭区间，
{x | a ≤ x ≤ b}
(a, b)
数集
{x | a ≤ x < b} [a, b) 都称为半开半闭区间， 都称为半开半闭区间，分别记作 ( a, b] { x | a < x ≤ b} b
例2 设
满足： 定义2 定义 设S是R中的一个数集 若数η 满足： 是 中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是 的上界； 即是S的上界 的上界； η 又是 的最小上界， 的最小上界 (ii) 对任何 α < η , 存在x ∈ S , 使得 x0 > α ,即 又是S的最小上界， 则称数 证明: S = [0,1]. 证明 sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； (ii) 对任何 α < 1, 取 x0 = 1 ∈ S , 则有 x0 > α , 故 sup S = 1. 例2 设 证明: = [0,1).证明: sup S = 1. 的上界； 的上界 证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； 则有任取 x0 ∈ S , (ii) 对任何 α < 1. 若 α < 0, 1+ α , 有 α < x0 . 有 α < x0 . 若 0 ≤ α < 1, 取 x0 = 2 sup S = 1. 例3 设 S 所以
华东师大第五版数学分析第一章第一节
令 = − , 则为正数且 = + , 但这与假设 < + 相矛盾. 从而
必有 ≤ .
1.2 绝对值与不等式
,
≥ 0,
定义: = ቊ
−, < 0.
实数绝对值的性质：
➢ 正定性: = − ≥ 0; 当且仅当 = 0时有 = 0.
其中0 , 0 为非负整数, , ( = 1,2, ⋯ )为整数, 0 ≤ ≤ 9, 0 ≤
≤ 9, 若有
= ,
= 0,1,2, ⋯
则称与相等，记为 = ；若0 > 0 或存在非负整数，使得
= ( = 0,1,2, ⋯ ) 而+1 > +1 ，
• 实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何, ∈ R, 若 > >
0, 则存在正整数, 使得 > .
• 实数集具有稠密性, 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实
数, 且既有有理数，也有无理数.
• 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.
例2 设, ∈ R. 证明：若对任何正数, 有 < + , 则 ≤ .
似分别规定为
= −0 . 1 2 ⋯ − 10− 与ҧ = −0 . 1 2 ⋯ .
注：
0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ ⋯
ҧ0 ≥ ҧ1 ≥ ҧ2 ≥ ⋯
实数的不足近似与过剩近似是用有限小数研究无限小数的重要
工具.
命题
设 = 0 . 1 2 ⋯ 与 = 0 . 1 2 ⋯为两个实数，则 >
的等价条件是：存在非负整数，使得
数学分析(考研必看)
数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。
2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。
②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。
③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。
④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。
⑥实数集R 与数轴上点一一对应。
二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、 区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域，记作();U a 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。
数学分析教案(第一章)
第一章 实数集与函数（12学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示.{}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：，则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０例：2.001 2.0009999→ 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01nx a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01n x a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-.注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥． 命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得nn x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩． ２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）．［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
数学分析讲义(第一章)
Ⅱ 典型例题与方法
1. 利用极限定义验证极限
前提：知道数列（函数）的极限值；
关键：寻找 N (δ ) .
基本方法：
（1）求最小的 N ：从不等式 an − a < ε 直接解出 n ；
（2）适当放大法：不等式 an − a < ε 较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，
为此先将表达式 an − a 进行化简，并适当放大，使之成为关于 n 的简单函数 H (n) （仍为无
(5). lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时，有 f (x) − A < ε . x→+∞
(6) lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x < −M 时，有 f (x) − A < ε . x→−∞ 2
特别地，若函数以零为极限，则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定
义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用，熟记常用的等价无穷小量：当 x → 0
时，
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x −1，
1 − cos x ~ x2 , (1 + x)α ~ αx, a x − 1 ~ x ln a . 2
n →∞
yn xn
= ⎪⎨+ ∞， ⎪⎩− ∞.
二 函数极限
1 定义 函数极限的六种形式：
(1)
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <
x → x0
x − x0
< δ 时，有
《数学分析》第一章 实数集与函数 1
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x obxFra bibliotek区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的 常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
数学分析第一章
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设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k +1 n
> a.
于是, a < k + 1 < k + 2 < b, 则 k + 1, k + 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k + 1 + π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 > 0，a < b + ，则 a b.
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c.
4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数 都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯 一的代表一个实数.
证 倘若a > b，设 a b > 0, 则 a b + ,
与 a < b + 矛盾.
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（6）实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n + 1之间，则 a0 n. 把(n, n + 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, L . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 L an L .
大学数学《数学分析》第一章_实数集与函数
数学分析(mathematical analysis)课程简介一、背景:从切线、面积等问题引入.1极限 (limit) —— 变量数学的基本运算.2数学分析的基本内容：数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科（仅在实数范围内进行讨论）.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.3 数学分析的形成过程：孕育于古希腊时期:在我国很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期:十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期.二、内容安排1.课时分配: 第一学期16×6=96; 第二学期18×6=108;第三学期18×4=72.2.内容分配: 第一学期一元函数微分学; 第二学期一元函数积分学与级数论; 第三学期二元函数微积分学.第一章 实数集与函数（计划课时：6 时）P1—22§1 实 数（1时）一．实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义.1. 实数用无限小数表示的方法:为了把有限小数(包括整数)表示为无限小数, 规定: 对于正有限小数(包括正整数)x ,n a a a a x 210. 时,其中,90 i a ,0,,,2,1 n a n i 0a 为非负整数,记 9999)1(.210 n a a a a x ; 而当0a x 为正整数时,则记 9999).1(0 a x ;对于负有限小数(包括负整数)y ,则先将y 表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号;又规定数0表示为 000.0.例如 010999.2011.2 , 999.78 .2. 实数的大小:定义1: (实数大小的概念)见[1]P1.定义2: (不足近似与过剩近似的概念)见[1]P2.命题: 设 210.a a a x 与 210.b b b y 为两个实数,则y x n ,使得n n y x .例1 设x 、y 为实数，y x .证明：存在有理数r 满足y r x . [1]P17E1.3. 实数的性质:⑴.四则运算封闭性:⑵.三歧性(即有序性):⑶.Rrchimedes 性:b na N n a b R b a ,,0,,.⑷.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.⑸.实数集的几何表示 ─── 数轴:⑺.两实数相等的充要条件: . ,0 b a b a二. 区间和邻域的概念:见[1]P5三.几个重要不等式:1. 绝对值不等式: 定义 . , max a a a [1]P2 的六个不等式.2. 其它不等式: ⑴ ,222ab b a .1 sin x . sin x x⑵ 均值不等式: 对,,,,21R n a a a 记,1 )(121 n i i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121n n i i n n i a a a a a G(几何平均值) .1111111)(1121 n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H 等号当且仅当n a a a 21时成立.⑶ Bernoulli 不等式: ,1 x 有不等式 . ,1)1(N n nx x n当1 x 且 0 x , N n 且2 n 时, 有严格不等式 .1)1(nx x n 证 由 01 x 且 111)1(1)1( ,01 nn x n x x).1( )1( x n x n n n .1)1( nx x n ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对,0 h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h 有 n h )1( 上式右端任何一项. Ex [1]P4: 3，4，5，6；§2 确界原理（2时）一、有界数集:定义(上、下有界,有界), 闭区间、b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，如集合 ) , ( ,sin x x y y E 也是有界数集.二、无界数集: 定义, ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( 等都是无界数集,如集合) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 三、确界:给出直观和刻画两种定义.例1 ⑴,) 1(1n S n 则._______inf ______,sup S S⑵.),0( ,sin x x y y E 则._________inf ________,sup E E例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S 和A 是非空数集，且有.A S 则有 .inf inf ,sup sup A S A S .例4 设A 和B 是非空数集. 若对A x 和,B y 都有,y x 则有.inf sup B A证,B y y 是A 的上界,.sup y A A sup 是B 的下界,.inf sup B A 例5 A 和B 为非空数集, .B A S 试证明:. inf , inf m in inf B A S 证 ,S x 有A x 或,B x 由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf 或 . inf , inf m in .inf B A x B x 即 inf , inf m in B A 是数集S 的下界, . inf , inf m in inf B A S 又S A S , 的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界, S inf 是A 的下界, ;inf inf A S 同理有.inf inf B S 于是有inf , inf m in inf B A S . 综上, 有 inf , inf m in inf B A S .四、数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.五、确界与最值的关系:设E 为数集.⑴E 的最值必属于E , 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若E max 存在, 必有 .sup max E E 对下确界有类似的结论.六、确界原理: Th (确界原理).Ex [1]P9: 2，4，5.§3 函数概念 ( 2时 )一. 函数的定义:1. 函数: [1]P10—11的四点说明.2. 定义域: 定义域和存在域.3. 函数的表示法:4. 反函数: 一 一对应, 反函数存在定理.5. 函数的代数运算:二.分段函数:函数1 ,,1 ,2,1 ,1)(2x x x x x x f 和 1 ,,1 ,2)(2x x x x x g ,123)( x x f 去掉绝对值符号.例2 .1 ,1,1 ,)(x x x x x f 求 ).2( ),1( ),0(f f f例3 设 .10 ,)5(,10 ,3)(x x f f x x x f 求 ).5(f三. 复合函数:例4 .1)( ,)(2x x g u u u f y 求 ).()(x g f x g f 并求定义域. 例5 ⑴ ._______________)( ,1)1(2 x f x x x f⑵ .1122x x x x f则) ( )( x fA. ,2xB. ,12 xC. ,22 xD. .22 x四. 初等函数:1. 基本初等函数:2. 初等函数:3. 初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则⑴ )( x f 是初等函数, 因为 .)( )( 2x f x f⑵ )( , )(m ax )(x g x f x 和 )( , )(m in )(x g x f x 都是初等函数, 因为 )( , )(m ax )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f ,)( , )(m in )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f .⑶ 幂指函数 0)( )()( x f x f x g 是初等函数,因为 .)()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g五. 介绍一些特殊函数:1. 符号函数2. Dirichlet 函数3. Riemann 函数4. 取整函数5. 非负小数部分函数Ex [1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7, 8；§4 具有某些特性的函数 ( 1时 )一、有界函数: 有界与无界函数的概念. 例1 验证函数 325)(2 x xx f 在R 内有界.解法一 由,62322)3()2(32222x x x x 当0 x 时,有.3625625325325 )( 22 x xx xx xx f 30 )0( f ,对 ,R x 总有 ,3 )( x f 即)(x f 在R 内有界. 解法二 令 3252 x xy 关于x 的二次方程 03522 y x yx 有实数根.22245 y .2 ,42425,02 y y解法三 令2,2 ,23t tgt x 对应). , ( x 于是tt tt tg tgt tgt tgtx x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)(.6252sin 625)( ,2sin 625t x f t例2 见[1]P17.例3 见[1]P17.二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数 (略) ，参阅[1]P17—19， Ex [1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；。
数学分析第一章
第一章 实数集与函数§1 实数Ⅰ.教学目的与要求1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用. Ⅱ.教学重点与难点重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式.难点: 实数的定义及其应用.Ⅲ.讲授内容一 实数及其性质实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成．有理数的表示:有理数可用分数形式q p(p ˛q 为整数，q ≠0)表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示.无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数．有限小数(包括整数)也表示为无限小数．规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=a 0.a1a 2n a K 时，其中0,9≤≤i a i=1,2,K n, ｎa ,0≠０a 为非负整数，记x=a 0.a 1a 2-n a (K 1)̣.999 9,K而当x=a 1为正整数时，则记x=(a 0—1)．999 9…，例如2．001记为2．000 999 9…；对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将—y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．999 9…；又规定数0表示为0．000 0…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系． 定义1 给定两个非负实数x= 0a .a a 1n a K ,K y=,.210K K n b b b b其中00,b a 为非负整数，k k b a ,(k=1，2，…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0，1，2，,K 则称x 与y 相等，记为x=y ；若00b a >或存在非负整数L ，使得 a k =b k (k=0，1，2，…，L)而11++>l l b a ，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x>y 或y<x ．对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有y x -=-与y x ->-，则分别称x=y 与x<y(或y>x)．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．定义2 : x =a 0.a 1a 2n a K K 为非负实数．称有理=n x a 0.1a a 2n a K K 为实数x 的n 位不足近似，而有理数=n x nn x 101+称为x 的n 位过剩近似，n=0,1,2,K . 对于负实数ΛΛn a a a a a x 3210.-=,其n 位不足近似与过剩近似分别规定为n n n a a a a a x 101.3210--=Λ与=n x n a a a a a Λ3210.-. 注 不难看出，实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有x 0≤x 1≤x 2≤…，而过剩近似n x 当n 增大时不增，即有0x ≥1x ≥2x ≥…．命题 设x=a 0.a 1a2K 与y=b 0.b 1b 2…为两个实数，则x>y 的等价条件是：存在非负整数n ，使得 x n >n y ，其中x n 表示x 的n 位不足近似，n y 表示y 的n 位过剩近似．例1 设x 、y 为实数，x<y.证明：存在有理数r 满足x y r <<.证 由于x y <,故存在非负整数n,使得n n y x <，令 r=),(21n n y x + 则r 为有理数,且有 x ,y y r x n n ≤<<≤即得 x<r<y ．全体实数构成的集合记为R,即 R =}.|{为实数x x实数的主要性质：1.实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数．2．实数集是有序的，即任意两实数a 、b 必须满足下述三个关系之一：a <b, a =b ,a >b .3．实数的大小关系具有传递性，即若a >b ，b >c ，则有a >c ．4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a 、b ∈R ，若b >a >0，则存在正整数n ，使得n a >b ．5．实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数(见例1)，也有无理数．6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O 作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向)，并规定一个单位长度,则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．因此在以后的叙述中，常把“实数a ”与“数轴上的点a ”看作具有相同的含义﹒例2 设a 、b ∈R ．证明：若对任何正数ε有a <b +ε，则a ≤b ．证 用反证法．倘若结论不成立，则根据实数集的有序性，有a >b ．令a =εb -，则ε为正数且ε+=b a ，但这与假设a <b ε+相矛盾．从而必有a ≤b ．二 绝对值与不等式实数a 的绝对值定义为⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值a 就是点a 到原点的距离．实数的绝对值有如下一些性质：1． a a -=≥0；当且仅当a =0时有a =0．2．a -≤a ≤a ．3．a h <h a h <<-⇔；()0>≤≤-⇔≤h h a h h a ﹒4．对于任何a 、b ∈R 有如下的三角形不等式：b a b a b a +≤±≤-.5．b a ab =．6．()0≠=b ba b a ． 下面只证明性质4，其余性质由学生自行证明．由性质2有.,b b b a a a ≤≤-≤≤-两式相加后得到 .)(b a b a b a +≤+≤+-根据性质3，上式等价于.b a b a +≤+ ()1将(1)式b 换成b -，(1)式右边不变，即得b a b a +≤-，这就证明了性质4不等式的右半部分．又由）式有据（1,b b a a +-=.b b a a +-≤从而得.b a b a -≤- ()2 将(2)式中b 换成b -，即得得性质4.b a b a +≤-证.Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以运用.3、4、5、6、7、8、9.Ⅴ课外作业:P４。
数学分析 第一章 集合与映射
4. 有限集与无限集 若集合S由有限个元素组成，则称集合S为有限集， 不是有限集的集合称为无限集。
例如 N、Z、Q、R都是无限集。
S x x2-3x+2=0 是有限集。
如果无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列
换句话说，这个集合可表示为
a1, a2, , an,
则称其为可列集。 显然无限集并非一定是可列集。
左 邻域 :
右 邻域 :
2. 集合之间的关系及运算
定义1.1.2 设有集合A, B ,若 x A 必有 x B , 则称A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
例如 ,
,
,
若A 是 B 的一个子集，但存在一个元素 xB但 xA,
则称 A 是 B 的一个真子集。
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
显然有下列关系 :Fra bibliotek定义1.1.3 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
补集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
例如：有理数关于实数集的补集是无理数集
容易知道，集合补与差满足如下关系
第一章 集合与映射
§1 集 合 §2 映 射 §3 函 数
第一章
§1 集合
1. 定义及表示法
定义 1.1.1 具有某种特定性质的具体或抽象的对象 的总体称为集合。组成集合的对象称为元素。 通常用大写字母如 A, B, S, T,¨¨表示集合 , 而用小写字母如 a,b,x,y,¨¨表示集合的元素。 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
数学分析讲义全
数学分析讲义全第一章：实数本章主要介绍实数的定义及其性质。
1.1 实数的定义实数包括有理数和无理数两部分。
有理数是可以表示为两个整数之间的比，无理数则不能用有理数表示。
1.2 实数的性质实数满足一些基本性质，如实数的加法、乘法满足交换律、结合律和分配律等。
第二章：极限与连续本章主要介绍数列极限、函数极限和连续函数的定义及其相关概念。
2.1 数列极限数列极限是数列逐渐逼近某个确定值的概念。
包括数列迫敛、数列发散等。
2.2 函数极限函数极限是函数在某点逐渐接近某个确定值的概念。
包括左极限、右极限等。
2.3 连续函数连续函数是函数在某点处无间断、无跳跃的性质。
第三章：导数与微分本章主要介绍导数、微分的定义及其相关性质。
3.1 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率。
包括函数的导数定义、导数的性质等。
3.2 微分的定义微分是函数在某点处的线性近似。
包括函数的微分定义、微分的性质等。
第四章：积分与定积分本章主要介绍积分、定积分的定义及其应用。
4.1 积分的定义积分是函数的反导数。
包括不定积分、定积分等。
4.2 定积分的性质定积分具有线性性质、加法性质、区间可加性等。
第五章：级数本章主要介绍级数的概念及其计算方法。
5.1 级数的定义级数是无穷数列之和的概念。
包括级数收敛、级数发散等。
5.2 级数的计算方法级数的计算方法具有求和、判定级数收敛性等。
这份讲义全面介绍了数学分析的基础知识，希望能帮助到您。
高等数学(数学分析)
第一章函数、极限、连续一、极限1.1数列极限的定义：∀ε>0，存在自然数N，使得当n＞N时，就有|x n−a|<ε，那么称数列{x n}收敛于a，记为limn→∞x n=a.称a为此数列的极限；极限不存在的数列称为发散数列.1.2函数极限的定义：设f(x)在a的某个去心领域有定义，A是一个实数。
如果对任一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x−a|<δ时，就有|f(x)−A|<ε，那么称f(x)在a处有极限A，记为limx→af(x)=A或f(x)→A(x→a).海涅定理：limx→af(x)=A的充分必要条件是，对任一满足x n→a(∀n,x n≠a)的数列，均有f(x n)→A.定理：limx→af(x)≠A成立的充分必要条件是，存在一个常数ε0>0，使得在a的任何去心邻域，都可以找到一点，满足|f(x)−A|≫ε0.1.3极限的性质及运算定理：如果f(x)在λ处极限存在，则f(x)比在λ的某去心邻域上有界。
定理：函数的极限若存在，则必唯一。
定理：若limx→λf(x)=A，limx→λf(x)=B，且A>B，则存在λ的某个去心邻域N̂λ(δ)，使得在N̂λ(δ)上，f(x)>g(x)成立。
（反之，也成立。
）定理（夹逼准则）：若f(x)≪ℎ(x)≪g(x)在λ的某个去心邻域上成立，且limx→λf(x)=limx→λg(x)=A，则limx→λℎ(x)=A。
注:（1） limx→af(x)=∞(±∞),函数f(x)为无穷大量；limx→af(x)=0，函数f(x)为无穷小量.（2）若函数极限存在，则函数的极限运算符合四则运算法则。
（3）limx→a f(x)=∞(±∞)，则limx→a1f(x)=0；lim x→af (x )=0，limx→a 1f (x )=∞(±∞).（4）若f (x )在λ的某个去心邻域上有界，g (x )当x →λ时为无穷小量，则f(x)g (x )当x →λ时也为无穷小量。
数学分析 第一章ppt
(1) y log(x 1) arctan 1 cos x
2
(2) y f ( x)
g ( x)
, 其中f ( x) 0, g ( x)为初等函数
3
(3) y 1 x x x
2
2016/8/27
解:
（ 1 ）初等函数 （2）初等函数 因为y f ( x)
2016/8/27
2
; 对于
(5)对于反正弦函数 y arcsin x和反余弦函数
（ 例1：求函数y log （x1 ） 16 x ）的定义域。
2
解:
16 x 2 0 x 1 0 x 1 1
?
1 x 2或2 x 4 定义域为： D (1， 2) （2， 4）
2016/8/27
解:
x （ 1 ）y 与y x是两个不同的函数 ,因为前者 x 的定义域为 (,0) (0,), 后者的定义域为 （ ， ），两个函数定义域不 同.
2
(2) y lg( x )与y 2 lg x是两个不同的函数，
2
因为前者的定义域为 (,0) (0,), 后者的定义域为（ 0， ），两个函数定 义域不同 .
S X \ S，其中S是X的一个子集
C X
有限集与无限集
若集合S由n个元素组成，n是确定的非负整数，则称
集合S为有限集。
不是有限集的集合称为无限集，前面所说的N,Z,Q,R 都是无限集。
无限集:可列集合不可列集
可列集：若一个无限集上的元素可以按某种规律排成一个序列，或者可以表示成 { } 如 正整数集
(4)反余切函数arc cot x
数学分析第一章
设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n + 1之间，则 a0 n.
把(n, n + 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间， 则 a1 i . 类似可得到 an , n 2, 3,
a0 .a1a2 an .
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. 这时, 令点 p 对应于
1 1 < (b a ). n 2
前页 后页 返回
k + 1 设 k 是满足 k a 的最大的正整数， 即 n > a. n k +1 k + 2 k +1 k + 2 于是, a < < < b, 则 , 是 n n n n
k +1 π a 与 b 之间的有理数, 而 + 是 a 与 b 之间 n 4n 的无理数.
第一章 实数集与函数
§1 实数 §2 数集 确界原理 §3 函数的概念
§4 复合函数与反函数
1.1 实数
一 .实数及其性质 二. 绝对值与不等式
记号与术语
R : 实数集 N :自然数集(包含0)
R + : 正实数集 R : 负实数集
Q : 有理数集 Z : 整数集
N+ : 正整数集
: 任意 : 存在
说明:
对于负实数x,y,若有-x = -y与-x > -y, 则 自然规定任何非负实数大于任何负实数. 分别称x = y与x <y (y >x)
2) 通过有限小数比较大小的等价条件 定义2 设 称有理数
x a0 .a1a2 an 为非负实数.
xn a0 .a1a2 an
1 + n 10
《数学分析》第一章 实数集与函数 2
y = ex
y = ax
(a > 1)
( 0 ,1)
4,三角函数 , 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数 y = tan x
y = tan x
3,对数函数 y = log a x ,
(a > 0, a ≠ 1) y = ln x
恒成立 . 则称f ( x )为周 期函数 , l称为 f ( x )的周期 .
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期). 通常说周期函数的周期是指其最小正周期) 周期
3l 2
l 2
l 2
3l 2
三,反函数
y
函数 y = f ( x )
y0
y
反函数 x = ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
y
D : ( 1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时,对应的函数值总 是只有一个, 是只有一个,这种函 W y 数叫做单值函数, 数叫做单值函数,否 则叫与多值函数. 则叫与多值函数.
( x, y)
x
例如, 例如, x + y = a .
2 2 2
o
x
D
定义: 定义: 点集C = {( x , y ) y = f ( x ), x ∈ D} 称为
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间 I ∈ D ,
如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 , 当 x1 < x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) > f ( x 2 ),
数学分析第一章
第一章 函 数§1.1 实 数数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数，为此，我们先简要叙述实数的概念与基本性质。
与基本性质。
一 实数及其性质在中学数学课程中，我们知道实数由有理数和无理数两部分组成。
在中学数学课程中，我们知道实数由有理数和无理数两部分组成。
有理数的特征：全体有理数构成的集合通常记为Q 。
对"q ÎQ （读作任一个有理数q ）可以用一个分数表示，即uv q =（u 、v 为整数，且u ¹0），也可以用有限十进小数或无限十进循环小数表示。
如果一个数不能表示成分数，则称为无理数。
有理数和无理数统称为实数。
全体实数构成的集合记为R 。
实数有如下一些主要性质：实数有如下一些主要性质： 1. 实数集关于四则运算是封闭的，即实数集关于四则运算是封闭的，即 "a ，b ÎR ，则a ± b ÎR ， a ´ b ÎR ，当b ¹0时，有a ¸b ÎR 。
2. 实数集具有有序性，即"a ，b ÎR ，则以下三个关系式a < b ，a > b ，a = b ，当且仅当只有一个成立。
仅当只有一个成立。
3. 实数的大小关系具有传递性，即"a ，b ，c ÎR ，若a > b ，b > c ，则a > c 。
4. 实数具有阿基米德（Archimedes 287—212 B.C ）性，即"a ，b ÎR ，若a > b >0，则$（读作存在）正整数n ，使nb > a 。
5. 实数集R 具有稠密性："a ，b ÎR ，若a > b ，则$c ÎR 使a >c >b 。
其中c 既可以是有理数，是有理数，也可以是无理数。
也可以是无理数。
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第一章 实数集与函数
§1 实数
Ⅰ.教学目的与要求
1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法
2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用
3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用.
Ⅱ.教学重点与难点
重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式.
难点: 实数的定义及其应用.
Ⅲ.讲授内容
一 实数及其性质
实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成．
有理数的表示:有理数可用分数形式q p
(p ˛q 为整数，q ≠0)表示，也可用有限十进
小数或无限十进循环小数来表示.
无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数．
有限小数(包括整数)也表示为无限小数．规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=a 0.a
1a 2n a 时，其中0,9≤≤i a i=1,2, n, ｎa ,0≠０a 为非负整数，记x=a 0.a 1a 2-n a ( 1)̣.999 9,
而当x=a 1为正整数时，则记x=(a 0—1)．999 9…，
例如2．001记为2．000 999 9…；对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将—y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．999 9…；又规定数0表示为0．000 0…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．
我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系．
定义1 给定两个非负实数
x= 0a .a a 1n a , y=,.210 n b b b b
其中00,b a 为非负整数，k k b a ,(k=1，2，…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0，1，2，, 则称x 与y 相等，记为x=y ；若00b a >或存在非负整数L ，使得 a k =b k (k=0，1，2，…，L)而11++>l l b a ，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x>y 或y<x ．
对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有y x -=-与y x ->-，则分别称x=y 与x<y(或y>x)．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．
定义2 : x =a 0.a 1a 2n a 为非负实数．称有理=n x a 0.1a a 2n a 为实数
x 的n 位不足近似，而有理数=n x n
n x 101+称为x 的n 位过剩近似，n=0,1,2, . 对于负实数 n a a a a a x 3210.-=,其n 位不足近似与过剩近似分别规定为
n n n a a a a a x 10
1.3210--= 与=n x n a a a a a 3210.-. 注 不难看出，实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有x 0≤x 1≤x 2≤…，而过剩近似n x 当n 增大时不增，即有0x ≥1x ≥2x ≥…．
命题 设x=a 0.a 1a
2 与y=b 0.b 1b 2…为两个实数，则x>y 的等价条件是：存
在非负整数n ，使得 x n >n y ，
其中x n 表示x 的n 位不足近似，n y 表示y 的n 位过剩近似．
例1 设x 、y 为实数，x<y.证明：存在有理数r 满足x y r <<.
证 由于x y <,故存在非负整数n,使得n n y x <，令 r=
),(2
1n n y x + 则r 为有理数,且有 x ,y y r x n n ≤<<≤
即得 x<r<y ．
全体实数构成的集合记为R,即 R =}.|{为实数x x
实数的主要性质：
1.实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数．
2．实数集是有序的，即任意两实数a 、b 必须满足下述三个关系之一：a <b, a =b ,a >b .
3．实数的大小关系具有传递性，即若a >b ，b >c ，则有a >c ．
4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a 、b ∈R ，若b >a >0，则存在正整数n ，使得n a >b ．
5．实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数(见例1)，也有无理数．
6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O 作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向)，并规定一个单位长度,则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．因此在以后的叙述中，常把“实数a ”与“数轴上的点a ”看作具有相同的含义﹒
例2 设a 、b ∈R ．证明：若对任何正数ε有a <b +ε，则a ≤b ．
证 用反证法．倘若结论不成立，则根据实数集的有序性，有a >b ．令a =εb -，则ε为正数且ε+=b a ，但这与假设a <b ε+相矛盾．从而必有a ≤b ．
二 绝对值与不等式
实数a 的绝对值定义为
从数轴上看，数a 的绝对值a 就是点a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1． a a -=≥0；当且仅当a =0时有a =0．
2．a -≤a ≤a ．
3．a h <h a h <<-⇔；()0>≤≤-⇔≤h h a h h a ﹒
4．对于任何a 、b ∈R 有如下的三角形不等式：b a b a b a +≤±≤-.
5．b a ab =．
6．()0≠=b b
a b a ． 下面只证明性质4，其余性质由学生自行证明．
由性质2有
两式相加后得到 .)(b a b a b a +≤+≤+-
根据性质3，上式等价于
将(1)式b 换成b -，(1)式右边不变，即得b a b a +≤-，这就证明了性质4不等式的右半部分．又由）式有据（1,b b a a +-=
从而得
将(2)式中b 换成b -，即得得性质4.b a b a +≤-证.
Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以运用.
Ⅴ 课外作业:P ４3、4、5、6、7、8、9.。