高中函数单调性知识点及习题

函数的简单性质

一、函数的单调性

1、单增函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即：f(x2)> f(x1)那就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，．

2、单减函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)<0，即：f(x2)< f(x1)就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，

2．单调性与单调区间

如果一个函数在某个区间M上是单增函数或是单减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．

3、证明单调性：

用定义证明函数单调性的步骤

(1)设x1，x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1

(2)作差变形(变形方法：因式分解、配方、分子有理化等)或作商变形．

(3)判断差的正负或商与1的大小的关系．

(4)结论．

4．单调性的判定方法

(1)定义法；

(2)图像法；

(3)对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，则y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数；若t＝g(x)与y＝f(t)单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为单增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)单调性相反，则y＝f[g(x)]为单减函数；

5、常用结论：

（1）若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数

（2）若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数

（3）若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数

（4）若f(x)>0,且为增函数，则函数为增函数，为减函数若f(x)>0,且为减函数，则函数为减函数，为增函数练习：

1、（函数单调性的判断）

（1）证明函数x

=

(在定义域上是减函数。（定义法）

)

x

f-

（2）证明函数3

=--在R上是单调递减函数；（定义法）

f x x x

()2

（3）证明函数2

()231

=-+-在区间3

f x x x

-∞上是单调递增函数；（图

(,]

4

像法）

2、（求函数的单调区间）

（1）求函数()1f x x =-的单调区间．

（2）求函数y x x =的单调区间

（3）函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为．

（4）指出函数322++-=x x y 的单调区间.

（5）求函数()221

f x x x

=++的单增区间.

（6

）函数y=__________．

（7）函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是

3、（复合函数单调区间）

（1）y=log0.5|x2-x-12|; (2)y=ln(x2-2x-3).

4、（应用单调性求参数的取值范围)

（1）若函数y=(a ＋1)x ＋b ，x∈R 在其定义域上是增函数，则（ ）

A ．a ＞－1

B ．a ＜－1

C ．b ＞0

D ．b ＜0

（2）函数()3122+--=x a x y 在(]1,∞-内单调递减，则a 的取值范围是____ ____．

（3） 若函数ax x y -=3在区间[)+∞,1上为增函数，则a 的取值范围是

（4） 已知函数1

()2

ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．

5、（应用单调性解抽象不等式）

（1）已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛的实数x 的取值范围是（ ）

A.()1,1-

B.()1,0

C.()()1,00,1 -

D.()()+∞-∞-,11,

（2）)(x f 为),(+∞-∞上的减函数，R a ∈，则 （ ） A )2()(a f a f < B )()(2a f a f < C )()1(2a f a f <+ D )()(2a f a a f <+