上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库2
上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库10
作业五1、求出下面策略式博弈的全部纯策略和混合策略纳什均衡：(1)(2)(3)答：(1) 无纯策略纳什均衡，混合策略纳什均衡为：32113344((,),(,))。
(2) 纯策略纳什均衡为：(,)T R 和(,)B L ，混合策略纳什均衡为：34115544((,),(0,,))。
(3) 纯策略纳什均衡为：(,)D R ，无混合策略纳什均衡。
2、考虑如下N 个参与人的博弈：每一个参与人i 从集合{1,2,,}K …中选择一个数字i x ，令11ni ni x x ==∑为所有参与人选择的数字的平均值，所选数字最接近23x的参与人将会得到一笔价值1万元的奖金(如果两个或更多参与人的数字都同样离23x最近，那么他们平分奖金)。
证明每个参与人都有唯一的可理性化策略并找出这个策略。
答：首先，对任意的2K ≥，有2233(1)K K K K −−<−。
定义(0){1,2,,}i i R S K ==…，对任意0m ≥，定义{}(1)():(),i i i i i i i R m s R m s R m s s −−−+=∈∃∈使得是的最优反应，则参与人i 的可理性化策略为0()i im R R m ∞==∩。
注意参与人可以选择的最大的数字为K ，因此23x 不会大于23K，故可推得选择K 不是任何策略的最优反应：对于任意一个参与人i ，如果其他参与人都选择K ，那么他可以选择1K −并以1的概率赢得奖金，而如果他选K ，他只能以1/n 的概率赢得奖金；如果其他参与人都选择比K 小的数，那么他若选择K 将不可能赢得奖金，而通过选择其它某个更小的数的话会使他至少以正的概率赢得奖金。
因此，(1){1,2,,1}i R K =−…。
重复这个过程我们得到(1){1}i R K −=，故唯一的可理性化策略为选择1。
L R T 2,1 0,2 B 1,2 3,0L C R T 0,4 5,6 8,7 B 2,9 6,5 5,1L C R U 1,-2 -2,1 0,0 M -2,1 1,-2 0,0 D 0,0 0,0 1,13、说明下列扩展式博弈是否满足“完美回忆”的性质。
高级微观经济学试题
高级微观经济学试题1. 高级微观经济学基础知识1.1 边际效用理论边际效用理论是高级微观经济学中的重要概念。
它描述了消费者在做出决策时，对每个额外单位的商品所感受到的满足程度的变化。
根据边际效用理论，消费者在购买商品时会权衡额外的效用增加与价格的增加之间的关系，以最大化总体效用。
1.2 生产函数与边际生产力生产函数描述了输入与输出之间的关系。
在高级微观经济学中，我们关注的是边际生产力，即每增加一个单位的输入对产出的额外增加。
通过研究边际生产力，我们可以了解在一定条件下最优的生产组合方式，从而实现资源配置的最佳化。
2. 市场结构与竞争2.1 完全竞争市场完全竞争市场是高级微观经济学中的理想市场结构，其特点包括充分的市场信息、足够多的买家和卖家以及自由进出市场等。
在完全竞争市场中，企业面临着相同的市场价格，无法通过调整价格来提高利润，只能通过提高效率和降低成本来实现竞争优势。
2.2 垄断市场垄断市场是指只有一个卖家或者少数几个卖家垄断市场的情况。
垄断市场下，企业能够通过控制供给量和价格水平来实现利润最大化。
高级微观经济学研究垄断市场下的垄断定价策略，并提出如何通过政策手段来减少垄断带来的社会福利损失。
2.3 寡头市场寡头市场是介于完全竞争市场和垄断市场之间的一种市场结构。
在寡头市场中，少数几个大型企业占据着市场份额，并且彼此之间存在竞争。
高级微观经济学研究寡头市场下的竞争策略和市场行为，旨在发现市场竞争对消费者福利的影响以及如何通过政策来维护市场竞争健康发展。
3. 博弈论与市场行为3.1 合作与竞争博弈合作与竞争博弈是高级微观经济学中的重要概念。
在市场经济中，企业之间常常需要进行合作或者竞争，以达到自身最佳利益。
通过博弈论分析，我们可以研究在不同的博弈环境下，各方的最佳策略选择以及合作与竞争之间的平衡关系。
3.2 不完全信息博弈不完全信息博弈是指在博弈过程中，各方面临信息不对称的情况。
在实际市场中，买家和卖家之间往往无法完全获取对方的信息。
上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库1
作业一作业上交日期：1.偏好性质与表示C=(q,t)是一份聘用合同，约定如果工人完成q那么就可以得到t。
令工人的效用函数u(t,q,θ) = t-θ q2, 其中θ是工人的类型；企业的利润函数为π=pq-t（1） 请对θ给一个现实含义，说明类型的含义是什么；（2） 给定θ，请在(q, t)平面上画出分别表示工人不同效用水平（u1>u2）的两条无差异曲线，并表明哪一个效用水平高；并在同一平面画出企业的无差异曲线；（3） 现在有两个工人，类型分别为θH和θL，（θH>θL）。
给定一定合同(q,t)，请画出两人各自经过(q,t)的无差异曲线，并标明每条无差异曲线代表那一类型工人的偏好；（4） 如果两份合同分别为C1=(q1,t1)，C2=(q2,t2)，满足q1-q2，而且对消费者θi有C2 \θi C1。
证明：对于∀θ <θi的消费者，一定有C2\θ C1 [\θi表示类型为θi的工人的偏好关系]。
2.偏好性质证明：如果偏好关系满足传递性、局部非饱和性和弱单调性，则满足单调性。
【单调性定义为：如果x >y，那么 x ; y；弱单调性定义为：如果x ≥y，那么x \y。
】3.无差异集合∈且z ∼ x的所有z的集合。
对于定义在集合X上的偏好关系，定义I(x)为满足z X证明：对于任意属于X的x和y，都有I(x)＝I(y)或I(x)∩I(y)=Φ。
4.显示偏好弱公理试判断下列消费者的选择是否满足现实性偏好弱公理（WA）。
如果满足请予以证明，如果不满组请给出反例。
(1) 将所有的收入都花费在价格最低的商品之上。
(2) 将所有的收入都花费在价格第二低的商品之上。
5.文献阅读阅读Rabin（1998，JEL）论文的“Introduction”和第2部分“preference”回答以下问题：（1）文章重点回顾的是哪些问题的文献？作者在选择topics时主要考虑的是什么？或根据什么原则决定回顾哪些文献？（2）请解释“reference-point-effect”、“Loss aversion”、 “endowment effect”的含义？请列举生活中的例子加以说明。
上海财经大学《高级微观经济学I》题库
证明：必要性：如果 u(x) 是相似函数，则
u(x) > u( y) ⇔ g ( f (x)) > g ( f ( y)) （因为 u(x) = g ( f (x)) ）
⇔ f (x) > f ( y) （因为 g 严格递增）
⇔ tk f (x) > tk f ( y) （因为 t > 0 ）
⇔ f (tx) > f (ty) （因为 f (x) 是 k 次齐次函数）
《高级微观经济学 I》题库
目录
第一部分 数学基础
第一节 齐次函数与欧拉方程 第二节 凹函数与拟凹函数 第三节 向量与矩阵 第四节 优化问题与包络定理
第二部分 偏好与效用
第一节 偏好与选择 第二节 效用函数 第三节 需求函数与显示偏好弱公理
第三部分 生产与消费理论
第一节 效用最大化问题 第二节 支出最小化问题 第三节 对偶问题与 Slutsky 方程 第四节 利润最大化问题 第五节 成本最小化
第四部分 不确定性下的选择
第一节 彩票与期望效用 第二节 风险厌恶
第五部分 博弈论
第一节 完全信息静态博弈 第二节 不完全信息静态博弈 第三节 完全信息动态博弈 第四节 不完全信息动态博弈 第五节 重复博弈
第六部分 市场结构
第一节 垄断定价 第二节 寡头竞争 第三节 产业结构 第四节 进入合作与退出 第五节 外部性和公共品
3
因为 g(1) = f (x) ，所以 C = f (x) ，从而 g(t) = tk f (x) ，即 f (tx) ≡ tk f (x) ， f (x) 是 k 次齐次函数。
4. [简单][来自 Sydsaeter，Strom，and Berck]证明：对于 k 次齐次函数 f (x) 有
上海财经大学经济学试题与笔记
上海财经大学经济学试题与笔记(总24页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除上海财经大学经济学试题与笔记2003年一、判断题（每小题2分，10题，共20分）1. 经济人概念的内容之一是理性人在经济活动中追求其经济利益。
2. 在生产者理论中，当边际成本递增时，平均成本也是递增的。
3. 外部经济的存在必然导致行业的供给曲线向右下方倾斜。
4. 所有商品的需求都与其替代品价格的变动成正比。
5. 如果消费者的效用函数是U=XY，那么，他总把他的收入的一半花费在X 上。
6. 加速数指投资增减会引起收入更大幅度增减。
7. 如果边际消费倾向递减，平均消费倾向也一定递减。
8. “流动性陷阱”指LM曲线呈水平状，此时财政政策最有效。
9. 总供给曲线越平坦，货币供给增加对国民收入的影响越大。
10. 在新古典增长理论框架内，稳定状态意味着△Y/Y=△N/N=△K/K。
（Y：产量，N：劳动，K：资本）二、单项选择题（每小题2分，20题，共40分）11．在跨入21世纪的时候，国际社会提出了在全世界消除贫困的具体目标。
而在贫困研究上作出特殊成就并获得诺贝尔纪念奖（简称诺贝尔奖）的经济学家是A. Stiglitz（斯蒂格利茨） B. Sen（森）C. Arrow（阿罗）D. Samuelson （萨缪尔森）12．商品的需求价格由（）决定。
A. 消费者的收入 B. 消费者的偏好 C. 该商品的边际效用 D. 该商品的生产成本13.假定需求函数为Q=10-2P (Q：需求，P：价格)，则在P=1处需求弹性系数是A. 0.25 B. 0.5 C. 1 D.1.2514．完全竞争市场中厂商的总收益曲线的斜率为A. 固定不变B. 经常变动C. 1D. 015．提高工资会使个人的劳动时间A. 增加 B. 减少 C. 不变D. A或B16．如果MPL/MPK>w/r，那就应该A. 用更多的劳动替代资本B. 用更多的资本替代劳动C. 降低工资D. 降低利率17．国家监管机构对一个垄断厂商的限价正好使其经济利润消失，则限价要等于该厂商的A. 边际收益B. 边际成本 C. 平均成本 D. 平均可变成本18．对商品的信息不对称会损害A. 消费者利益 B. 生产者利益C. 市场D. 以上各项19．瓦尔拉斯定律意味着A. 所有市场皆供求平衡B. 超额需求等于零C. 相对价格的存在性 D. 以上各项都不对20．科斯定理指的是A. 若交易成本为零，则只要财产权明确，市场交易的结果都是有效率的B. 若交易成本为零，财产权明确与否并不影响市场交易的效率C. 只有当交易成本为零时，市场交易才是有效率的D. 以上各项都对21．经济均衡是指A. 实际储蓄等于实际投资 B. 计划储蓄等于计划投资C. 总支出等于企业收入D.消费加投资等于产出22．在四部门经济中，若投资、储蓄、政府购买、税收、出口和进口都增加，则均衡收入A. 必然增加 B. 不变C. 必然减少D. 不能确定23．当利率很低时，购买债券的风险A. 很小B. 很大C. 可能大也可能小D. 不变24．下列何种行为属于经济学意义上的投资A. 购买公司债券B. 购买公司股票C. 购买国债D. 上述都不是25．在下列那种情况下，“挤出效应”最可能很大A. 货币需求对利率敏感，私人部门支出对利率不敏感B. 货币需求对利率敏感，私人部门支出对利率也敏感C. 货币需求对利率不敏感，私人部门支出对利率不敏感D. 货币需求对利率不敏感，私人部门支出对利率敏感26．在简单凯恩斯乘数中，乘数的重要性依赖于A. 投资函数的斜率B. 消费函数的斜率 C. 实际货币供应量D. 实际利率27．一个经济体系中的失业是指A. 有工作能力的人没有工作 B. 实际工资超过劳动的边际产量C. 失业统计中的失业人数大于0D.上述各项目都不准确28．1997年的亚洲金融危机主要发生在下述国家中A. 韩国、日本、中国B. 印度、印度尼西亚、日本C. 中国、印度、泰国D. 泰国、印度尼西亚、韩国29．菲利浦斯曲线的存在意味着A. 存在工资粘性 B. 预期在短期无效C. 预期在长期无效 D. 短期无工资与失业间的替代30．在IS-LM-BP模型中，IS曲线上每一点所对应的是A. 产品市场均衡B. 货币市场均衡C. 劳动市场均衡D. 国际收支均衡三、计算题（每小题15分，2题，共30分）1.设对一垄断厂商的两种产品的需求函数如下：Q1=40-2P1+P2Q2=15+P1-P2该厂商的总成本函数为C=(Q1)^2+Q1Q2+(Q2)^2请求出该厂商取得最大利润时的Q1、Q2、P1、P2和利润R，其中符号含义为Q：产品产量；P：价格；C：成本；R：利润。
上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库4
∑ 解：（1）通过瓦尔拉斯法则，即
3 i =1
pi xi
=
w ，即可求得第三种商品的需求函数。
（2）容易证明，第一，第二中矩阵满足对称性。所以有 ∂x1h / ∂p2 = ∂x2h / ∂p1 。 由 Slutsky Equation ∂xih / ∂p j = ∂xi / ∂p j + x j i∂xi / ∂w
pix( p, w) = w = 1 = p′ix( p′, w′) ，即 x( p, w) 直接显示偏好于 x( p′, w′) ，
所以此需求函数违背了显示偏好弱公理。
说明：1、如果偏好满足局部非餍足性，那么瓦尔拉斯法则就会成立，即花光收入。 2、如果偏好满足严格单调性，则必定满足局部非餍足性。相对于局部非餍足性，严 格单调性表明了效用增加的方向。
4. 斯勒茨基方程
在一个有三个商品的经济中，消费者拥有财富 w ，他对第一、二种商品的需求函数为：
x1
= 100
−
5
p1 p3
+β
p2 p3
+δ
w p3
； x2
=α +β
p1 + γ p3
p2 p3
+δ
w p3
。
其中，这些希腊字母代表非零的常数。
（1）怎样求第三种商品的需求函数？
2/6
（2）第一，第二种商品的需求函数是齐次的吗？ （3）如果这些需求函数是由效用最大化得到的，那么这些希腊字母满足怎样的要求？
。
（2）注意到，
x1
(α
p,
α
w)
=
α α
p2 p3
=
p2 p3
=
x1( p, w) ，
上财研究生高微题库——二、偏好与效用
第二部分 偏好与效用第一节 偏好与选择1. [简单][来自Rubinstein P .10]对于定义在集合X 上的偏好关系，定义()I x 为满足z X ∈且z x ∼的所有z 的集合。
证明：对于任意属于X 的x y 和，都有()()I x I y =或者()()I x I y φ∩=。
证明：根据定义，(){|,}I x z z x z X =∈∼，(){|,}I y z z y z X =∈∼。
如果x y ∼，由∼的传递性知，(){|,}{|,}()I x z z x z X z z y z X I y =∈=∈=∼∼。
如果x y ∼不成立，我们用反证法证明()()I x I y φ∩=。
假设()()I x I y φ∩≠，则存在()w I x ∈，且()w I y ∈。
由()()I x I y 和的定义知，w x ∼且w y ∼。
由∼的传递性知，x y ∼，矛盾。
2. [简单][改编自Rubinstein P .50] 证明：在一个两种商品的世界里，假定偏好满足严格单调、传递且凸，并且对于,x ε∀都有121211212(,)(,)(2,)x x x x x x εδεδδ−+−++∼∼，则21δδ≥。
证明：121211212(,)(,)(2,)x x x x x x εδεδδ−+−++∼∼⇒ 1212(2,)x x εδδ−++<12121(,)(,)x x x x εδ−+∼⇒ 1212120.5(2,)0.5(,)x x x x εδδ−+++<121(,)x x εδ−+⇒ 1212(,0.50.5)x x εδδ−++<121(,)x x εδ−+⇒21δδ≥3. [中等][来自田国强教授《微观经济理论讲义》] 证明：如果偏好满足严格单调，则满足单调；如果偏好满足单调，则满足局部非餍足；如果满足局部非餍足，则满足非餍足。
证明：由严格单调的定义：x y ≥且x y ≠，则x y ，和单调的定义：x y >>，则x y ，易知偏好满足严格单调意味着满足单调。
高级微观经济学试题及答案
高级微观经济学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 消费者剩余是指：A. 消费者支付的价格B. 消费者实际支付的价格与他们愿意支付的价格之间的差额C. 消费者购买的商品数量D. 消费者购买商品的总价值2. 边际效用递减原理说明了：A. 消费者总是希望购买更多的商品B. 随着消费量的增加，每增加一单位商品带来的满足度逐渐减少C. 消费者对商品的需求是无限的D. 消费者对商品的需求是不变的3. 完全竞争市场的特点不包括：A. 市场上存在大量的买家和卖家B. 产品是同质的C. 市场信息完全透明D. 存在市场壁垒4. 以下哪项不是垄断市场的特征？A. 市场上只有一个卖家B. 产品具有独特性C. 存在进入壁垒D. 价格由市场决定5. 价格弹性的计算公式是：A. (价格变化 / 初始价格) / (需求量变化 / 初始需求量)B. (需求量变化 / 初始需求量) / (价格变化 / 初始价格)C. (价格变化 / 初始价格) * (需求量变化 / 初始需求量)D. (需求量变化 / 初始需求量) * (初始价格 / 价格变化)6. 以下哪个选项是正确的消费者需求曲线？A. 垂直线B. 水平线C. 向右下倾斜的线D. 向右上倾斜的线7. 以下哪个选项是正确的生产者供给曲线？A. 垂直线B. 水平线C. 向右上倾斜的线D. 向右下倾斜的线8. 边际成本与平均成本的关系是：A. 边际成本总是高于平均成本B. 边际成本总是低于平均成本C. 边际成本与平均成本相等时，平均成本达到最低点D. 边际成本与平均成本没有关系9. 以下哪个选项是正确的市场均衡价格？A. 仅由消费者决定B. 仅由生产者决定C. 由消费者和生产者共同决定D. 由政府决定10. 以下哪个选项是正确的帕累托效率？A. 至少有一个人可以变得更好而不使其他人变得更糟B. 至少有一个人可以变得更糟而不使其他人变得更好C. 没有人可以变得更好而不使其他人变得更糟D. 没有人可以变得更糟而不使其他人变得更好二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述边际效用递减原理，并举例说明其在日常生活中的应用。
高级微观经济学部分作业参考答案(官方发布)
x y 。强单调性得证。
2）严格单调 ⇒ 弱单调，设
x y 。单调得证。
， x << y 由严格单调性知 x y ，则显然
单调 ⇒ 严格单调，设
w = tx + (1 − t ) y y ，若
， x << y ，由单调性知 x y ，由严格凸， ，则 w = tx + (1 − t ) y ~y 与严格凸定义矛盾，所以
l
l
-1-
高级微观经济学作业
得存在实数 r > 0 使得开球 B ( x, r ) 至少有一个点与 R − X 相交，表明 x 是集合 R − X
l l
的附贴点。③显然，①与②矛盾，假设 X ≠ clX 不成立， X 是闭集是 X = clX 的充分 条件。 再证充分条件：假定 X = clX ，要证 X 是闭集。④假定 X 是开集，根据证明（2）有 结论 X = int X ；又已知 X = clX ，可得 int X = clX ；根据定义， int X 是 X 的全体 内点的集合， clX 是 X 的全体附贴点的集合，显然 int X = clX 不符合上述定义，因此 假设 X 是开集不成立；因此， X 是闭集是 X = clX 的必要条件。 综合③④，得 X 是闭集当且仅当 X = clX ，证毕。 （ 4 ）要证 int X 是包含在 X 中的最大开集。假定存在开集 S ，满足 int X ⊆ S ⊆ X 且
2 2 , ) 是 clX 1 和 clX 2 的交点。因此 clX 1 和 clX 2 的并集 clX 连通。 2 2
④a = (
2 2 , ) 是 X 的附贴点，但不是 clX 的内点。因为对于任意实数 r > 0 ，总有开球 2 2
上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库5
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作业三
作业上交日期：
1. 一个公司用三种要素来生产一种产品。
生产函数为123123(,,)min{,}f x x x x x x =+。
（1） 假定要素价格向量为（2，4，1）。
求生产1个单位产出时的条件要素需求向量？
（2） 成本函数是什么？
（3） 此技术的规模回报是递增、递减、或常数？
2.求下列生产函数的利润函数和供给函数：
（1）()f z =
（2）()f z =（3）1/12()()f z z z ρρρ=+，1ρ≤。
3. 考虑一个公共品供给问题。
一个两商品经济，私人品x 和公共品G ，一个两个消费者A 和B 。
生产转换函数F (x,G)=0，居民的效用函数为：u A (x A ,G )和u B (x B ,G )，满足x A + x B =x 。
（1）如果存在一个中央计划者，其目标函数是u A (x A ,G )＋u B (x B ,G )，请证明：中央计划者资源最优配置满足Smuelson 条件：MRS A GX ＋MRS B GX ＝MRT GX 。
（2）资源配置的Pareto 有效可以表示为：给定居民B 效用水平达到u 0的前提下，最大化A 的效用水平。
（a ）请把上述问题表述为居民A 的最优化问题：目标函数、约束条件和控制变量； （b ）请用图形表示A 可行的资源配置集{((x,G ): (x,G )是可行的)}；并在同一图形中表示A
的可行消费集（哪些((x A ,G )是可行的）；（提示：A 的选择面临技术约束和B 的福利约束）
（c ）证明：A 的最优选择同样满足Smuelson 条件。
上财微观习题
微观经济学习题一、判断1.如果某消费者不具有凸状偏好，那么他的无差异曲线与预算线的交点一定是一个最优消费点。
2.如果某消费者必须以他的保留价格购买商品，那么他就得不到消费者剩余。
3.如果偏好是传递的，则商品越多越好。
4.消费者和生产者谁将承担更多的税负，取决于税负加在谁的头上。
5.如果规模报酬递增，则平均成本是产出的递减函数。
6.在一次性囚徒困境对策里，两人是不会合作的，但是如果这一对策重复100次，那么长期报酬会诱导两人互助合作。
7.在库尔诺模型里，相同企业数量越大，均衡价格便越接近竞争价格。
8.伯兰特模型是价格竞争，以产量为外生变量。
9.实行三级价格歧视的垄断者所得利润一定大于一级价格歧视。
10.完全竞争市场的供给曲线总是水平的。
11.小王的效用函数是：Y X(=，小李的),XYU2效用函数是：X),(2+=，小王和小李具XYXYU2有相同的偏好，因为小李的效用函数是小王的效用函数的单调变换。
12.显示偏好强公理要求如果某个消费者在购买X的时候有能力购买Y，选择Y的时候有能力购买Z，那么他在有能力购买X 的时候，就不会购买Z。
13.如果某人买了15单位的X，同时X的价格下降了4美元，则该消费者的净消费者剩余至少增加了60美元。
14.如果生产函数是)3,XY(YXF=，那么生,min(12)产具备凸性。
15.边际成本曲线穿过平均固定成本曲线的最低点。
16.如果规模报酬不变，单位时间里增加10%的劳动使用量，但保持资本使用量不变，则产出增加10%。
17.无差异曲线是凸状性，意味着对两个消费束的加权平均消费束的偏好是弱胜于端点的消费束。
18.无差异曲线的弯曲程度越大，则两种商品的可替代程度越大。
19.总能对柯布—道格拉斯效用函数做单调变换而使指数和等于1。
20.所有商品的替代效应与价格反方向变动。
21.吉芬商品的收入效应大于替代效应。
22.斯勒茨基替代效应通常小于希克斯替代效应。
23.实际利率变量由于放弃现期消费因而在将来可以得到的那些额外消费。
中国上财大经济学校《高级微观经济学》题库8
较 任 意两 个 彩 票 p =( p(a1), p(a2),… p(an)) 和 q =(q(a 1),q(a2),…q(an)) ， 其 中
∑ ∑ n
n
i=1 p(ai ) =1， i=1 q(ai) =1，按照此标准，
最新高级微观经济学试题练习_ONLY题目（新题标记版）
最新高级微观经济学试题练习_ONLY题目（新题标记版）《高级微观经济学》习题1．一个凸的、单调偏好的消费者消费非负数量的12,x x ：（1）如果121212/(,)a au x x x x -=代表其偏好，那么，对参数值a 的取值有什么限制？请解释。
（2）给定这些约束，计算马歇尔需求函数2．已知柯布－道格拉斯效用函数11212αα(,)u x x x x -=，试回答下列问题：（1）导出马歇尔需求函数(,)x p m 和间接效用函数(,)v p m ，并验证罗伊恒等式（2）验证(,)x p m 在(,)p m 上是零阶齐次的（2）验证(,)x p m 满足瓦尔拉斯定律（3）验证(,)v p m 在(,)p m 上是零阶齐次的（4）验证(,)v p m 在(,)p m 上是拟凹的3．已知 CES 效用函数ρρρ12121x x x x u )(),(+=（10<≠ρ），试回答下列问题：（1）导出的希克斯需求函数(,)h p u 和支出函数(,)e p u ，并验证谢泼德引理（2）验证(,)h p u 在p 上是零次齐次的（3）验证(,)h p u 满足((,))u h p u u =，即没有超额效用（4）验证(,)e p u 在p 上是一次齐次的（5）验证(,)e p u 在u 上是严格递增的（6）验证(,)e p u 在p 上是凹的4．考察下式给出的间接效用函数：1212(,,)mv p p m p p =+，求：（1）马歇尔需求函数（2）支出函数（3）直接效用函数5．(,)i x p m 是消费者对商品i 的马歇尔需求函数（1,...,i k =），其需求收入弹性和需求需求交叉价格弹性分别为：i i i x m m x η?=，j i ij j ipx p x γ?=?，试证明：（1）恩格尔加总规则：11ki i i s η==∑，这里/i i i s p x m =（2）古诺加总规则：1ki ij i s s γ==-∑6．令斯卢茨基方程右端第一项h i j x p ??为ij s ，ij s 为i x 和j x 的净替代效应，设效用函数为12r u x x =，试证明：1111220s p s p +=7．某人的效应函数是1212(,)u x x x x =，他的收入100m =。
杰里 瑞恩 高级微观经济理论(上财版)课后习题答案精编版
x2
O
x1
1.19 定理 1.2：效用函数对正单调变换的不变性
证明：已知 是 R+n 上得一个偏好关系，u(x) 是一个代表此偏好关系的效用函数。在 R+n 中
取两点 x1, x 2 ，令 x1 x 2 ，∴ u(x1 ) ≥ u(x 2 ) 。又∵ f : ℜ → R 在 u 所确定的值集上是严
格递增的，∴ f (u(x1 )) ≥ f (u(x2 )),∵ v(x) = f (u(x)) ， ∴ v(x1 ) ≥ v(x 2 ) ∴ v(x) 也代表偏
1.21
5
解：拉格朗日函数为: L(x1, x2 , λ) = ln A + α ln x1 + (1 − α ) ln x2 + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
因为只有一个内点解，库恩塔克条件正好和普通的拉格朗日一阶条件一致，所以得到以 下方程：
∂L ∂x1
=
α x1
− λp1
=
0
（1）
−
λ* pi
=
0
⎪ ⎩
y
−
pix*
=
0
6
如果取v(x) = f (u(x))
max v(x)
受约束于pix - y
x∈
n +
L(x,λ) = v(x) + λ[ y − pix]
⎧ ∂L
⎪ ⎨
∂xi
=
∂v( x* ) ∂xi
− λ* pi
=
f
'(u(x*)) ∂u(x*) ∂xi
− λ* pi
=0
高微一 Ch1 习题参考答案（10－67） １.１０
x2 X3 Xp X1
Chapter 1Introduction(高级微观经济学-上海财经大学,沈凌)
Chapter 1: Introductionz How to build an economic model? (Hal R.Varian)1. An economic model: an idealization of the reality, but not the reality.2. Why do we need an economic model?3. How to build an economic model? z Getting ideas from reality: An interesting one? Is the idea worth pursuing? z Don’t look at the literature too soon z Simplifying and Generalizing your model z Making mistakes: team work z Searching the literature z Giving a seminar1z Mathematics 1. Set theoryA Set (A) is a collection of objects called elements (a): a ∈ A The empty set is Φ , and the universal set is U .Binary operations on set: 1. 2. 3. 4. the union of A and B is the set A ∪ B = {x : x ∈ A or x ∈ B} the intersection of A and B is A ∩ B = {x : x ∈ A and x ∈ B} the difference of A and B isA \ B = {x : x ∈ A and x ∉ B}the symmetric difference of A and B is A∆B = ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B )The complement of A is Ac = U \ ATheorem 1Let A, B and C be sets,1. 2.A \ (B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C ) A \ (B ∩ C ) = ( A \ B ) ∪ ( A \ C )ACBCorollary 2 (DeMorgan’s Law)( A ∪ B )c = Ac ∩ B cand ( A ∩ B ) = Ac ∪ B cc2Generalizing theorem 1 to theorem 3: A\⎛ ⎜ ∪ Si ⎞ ⎟ = ∩( A \ S i ) and A \ ⎛ ⎜ ∩ Si ⎞ ⎟ = ∪( A \ S i ) ⎝ i∈I ={1, 2,3...} ⎠ i∈I ⎝ i∈I ={1, 2,3...} ⎠ i∈IGiven any set A, the power set of A, written by Ρ( A) is the set consisting of all subsets of A, i.e., Ρ( A) = {B | B ⊂ A}Question : If a set A has n elements, how many elements are there in Ρ( A) ?The Cartesian Product of two sets A and B (also called the product set or cross product) is defined to be the set of all points (a, b ) where a ∈ A and b ∈ B . It is denoted A × B .Example:R2 ≡ R × RR n ≡ R × R × R × ...R = {( x1 , x2 ,..., xn ) | xi ∈ R, i = 1,2,...n} ,wheretheelement(x1 , x2 ,...xn ) ofR n is an n-dimensional ordered vector. We denote: xS ⊂ R n is a convex set if ∀x, y ∈ S , we have tx + (1 − t ) y ∈ S for all t ∈ [0,1]The intersection of convex sets is convex, but the union of them is not.32. TopologyA metric space is a set S with a global distance function (the metric d ) that, for every pointsx and y in S , gives the distance between them as a nonnegative real number d (x, y ) . Ametric space must satisfy: 1. d (x, y ) = 0 iff x = y 2. d (x, y ) = d ( y, x ) 3. d ( x, y ) + d ( x, z ) ≥ d (x, z ) Example: Euclidean metric in R 2 : d (x, y ) =(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2Open and Closed ε − Balls: let ε be a real positive number, then 1. The open ε − ball with center x 0 and radius ε > 0 isBε x 0 = x ∈ R n | d x 0 , x < ε( ) {() }) }2. The closed ε − ball with center x 0 and radius ε > 0 isBε x 0 = x ∈ R n | d x 0 , x ≤ ε( ) {(Open and Closed sets in R n : A set S ⊂ R n is open if ∀x ∈ S , ∃ε > 0,Bε ( x ) ⊂ S .A set S ⊂ R n is closed if its complement, S c , is open.Some important properties of open and closed sets: 1. The union of open sets is open. 2. The intersection of any finite number of open sets is open. 3. The union of any finite number of closed sets is closed.44. The intersection of closed sets is closed.Question: what if the collection is infinite for 2. and 3.?Theorem 4: Every open set is a collection of open balls.Bounded sets in R n : A set S ⊂ R n is bounded if ∃ε > 0 and x ∈ R n , S ⊂ Bε ( x ) .Let S ⊂ R be a nonempty set of real numbers: 1. Any real number l is a lower bound if ∀ x ∈ S , 2. Any real number u is an upper bound if ∀ x ∈ S ,x ≥ l . The set is bounded from below. x ≤ u . The set is bounded from above.3. The largest number among lower bounds is called the greatest lower bound of S. 4. The smallest number among upper bounds is called the least upper bound of S.A bounded set is bounded both from below and above. We can show that for any bounded subsets of the real line, there always exists a g.l.b. and l.u.b.Let S ⊂ R be a bounded set and let a be the g.l.b of S and b be the l.u.b. of S, then we have: 1. If S is open, then a ∉ S and b ∉ S 2. if S is closed, then a ∈ S and b ∈ SCompact sets : A set is compact if it is closed and bounded.53. Relations and functionsConsider an ordered pair (s, t ) that associated an element s ∈ S to another element t ∈ T . Any collection of such ordered pairs is said to constitute a binary relation between the sets S andT . Note that a binary relation R is a subset of the cross product S × T .Some properties of relations: 1. The relation is complete if either xRy or yRx. 2. 3. 4. transitive if xRy and yRz implies xRz. reflexive if xRx. symmetric if xRy ⇔ yRxExamples: The preference relation ( ≿ ) is complete, transitive and reflexive.The function is a mapping from one set D (domain) to another set R (range) denoted as:f :D→ RThe image of f : I ≡ {y | y = f ( x)} ⊂ R The inverse image of a set of points S ⊂ R is: f −1 (S ) ≡ {x | x ∈ D, f ( x ) ∈ S } The graph of f : G ≡ {(x, y ) | x ∈ D, y = f ( x ) ∈ S } A function is a surjective function if the range ran( f ) = R A function is an injective function (or one to one) if f (a) = f (b) implies a = b A function is bijective if it is both surjective and injective. In a sense, the domain and the range must have the same number of elements.6Homogeneous function A function f ( x1 ,...x N ) is homogeneous of degree r ( for r = ...,−1,0,1,... ) if ∀t > 0 we have:f (tx1 ,...tx N ) = t r f ( x1 ,...x N )Theorem 5 (Euler’s Formula) suppose that f ( x1 ,...x N ) is homogeneous of degree r ( forr = ...,−1,0,1,... ) and differentiable. Then at any (x1 ,..., x N ) we have∑∂f ( x1 ,...x N ) xn = rf ( x1 ,..., x N ) ∂xn n =1NProof: by definition, we have f (tx1 ,...tx N ) − t r f (x1 ,...x N ) = 0 Differentiation this expression with respect to t gives∑∂f (tx1 ,...tx N ) xn − rt r −1 f ( x1 ,..., x N ) = 0 ∂ (txn ) n =1NEvaluating at t = 1 , we obtain Euler’s Formula.□74. ContinuityA function f : R → R is continuous at a point x 0 if ∀ε > 0 , ∃δ > 0 such that d (x, x 0 ) < δ implies that d ( f ( x), f ( x 0 ) ) < ε . Cauchy definition: the function is continuous at the point x 0 ∈ D if ∀ε > 0 , ∃δ > 0 such that f (Bδ ( x 0 ) ∩ D ) ⊂ Bε ( f (x 0 )) A function is continuous function if it is continuous at every point in its domain.Open and closed set in D: A subset S ⊂ D is open in D if for every x ∈ S , there is an ε > 0 such that Bε ( x) ∩ D ⊂ S . A subset is closed in D if its complement S in D, is open in D.Theorem 6The following statements are equivalent: 1.f : D → R n is continuous;2. for every open ball B in R n , f −1 (B ) is open in D; 3. for every open set S in R n , f −1 (S ) is open in D. Remark: the continuous inverse image of an open set is an open set. In short, the inverse mapping of a continuous function can preserve the openness of sets. For what kind of sets the continuous image can preserve its properties? It turns out to be a compact set. The continuous image of a compact set is a compact set.85. Some existence theoremsTheorem 7 (Weierstrass) Existence of Extreme ValuesLet f : S → R be a continuous real-values mapping, where S is a nonempty compact subset of R n . Then there exists two vectors xmax,xmin∈ S such that for all x ∈ S ,f x( ) ≤ f (x ) ≤ f (x )min maxTheorem 8 (Brouwer) Fixed-pointLet S ⊂ R n be a nonempty compact set and f : S → S be a continuous real-values mapping, then there exists at least one fixed point x of f in S . I.e., f ( x ) = x .∗ ∗ ∗96. Real valued functionsSets related to a real valued function f : D → R :L( y 0 ) is a Level set if L( y 0 ) = {x | x ∈ D, f ( x ) = y 0 }, where y 0 ∈ R .Superior and inferior sets: 1. S ( y 0 ) = {x | x ∈ D, f ( x ) ≥ y 0 } is called the superior set (or upper contour set) for levely 0 ∈ R . S ' ( y 0 ) = {x | x ∈ D, f ( x ) > y 0 } is called the strictly superior set for level y 0 ∈ R2. I ( y 0 ) = {x | x ∈ D, f ( x ) ≤ y 0 } is called the inferior set (or lower contour set) for levely 0 ∈ R . I ' ( y 0 ) = {x | x ∈ D, f ( x ) < y 0 } is called the strictly inferior set for level y 0 ∈ RConcave function: ∀x1 , x 2 ∈ D, t ∈ [0,1] , f (tx1 + (1 − t )x 2 ) ≥ tf (x1 ) + (1 − t ) f (x 2 ) Strictly concave function: ∀x1 , x 2 ∈ D, t ∈ (0,1) , f (tx1 + (1 − t )x 2 ) > tf (x1 ) + (1 − t ) f (x 2 ) If the function is differentiable, then it is concave iff f ' ' ( x ) ≤ 0 , and it is strictly concave iff ' ' ( x ) < 0 but the reverse is not true.In the multi-dimensional case, the condition for concavity is equivalent to that the matrix (known as Hessian matrix) of second order derivative is negative semidefinite at every point. If the Hessian matrix of a function is negative definite at every point, then the function must be strictly concave. But the reverse is not true.⎛ ∂ 2 f (x ) ∂ 2 f (x ) ⎞ ⎜ ⎟ ... ⎜ ∂x1∂x1 ∂x1∂xn ⎟ ⎟ D 2 f (x ) = ⎜ ..... ⎜ ⎟ ⎜ ∂ 2 f (x ) ∂ 2 f (x ) ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎝ ∂xn ∂x1 ∂xn ∂xn ⎠1011 Convex function: []1,0,,21∈∈∀t D x x , ()()()()()212111x f t x tf x t tx f −+≤−+ Strictly convex function: ()1,0,,21∈∈∀t D x x , ()()()()()212111x f t x tf x t tx f −+<−+ If the function is differentiable, then it is concave iff ()0''≥x f , and it is strictly concave if ()0''>x f but the reverse is not true.In the multi-dimensional case, the condition for concavity is equivalent to that the matrix (known as Hessian matrix) of second order derivative is positive semidefinite at every point. If the Hessian matrix of a function is positive definite at every point, then the function must be strictly concave. But the reverse is not true.()x f is a (strictly) concave iff ()x f − is (strictly) convex.The following statements are equivalent:1. R D f →: is Quasiconcave Function2. []1,0,,21∈∈∀t D x x , ()()()()[]2121,min 1x f x f x t tx f ≥−+3. ()x f − is quasiconvex4. ()y S is convex set for all R y ∈ Quasiconvex Function ?• A function R A f →: is quasiconcave if its upper contour sets (){}t x f A x ≥∈: are convex sets; i.e., if ()t x f ≥ and ()t x f ≥′, then ()()t x x f ≥′−+αα1 for any R t ∈, A x x ∈′, and []1,0∈α.• A function R A f →: is strictly quasiconcave if ()()t x x f >′−+αα1 for x x ′≠ and()1,0∈α.。
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（2）
（3）
（4）证明
1/3
2. 偏好性质
证明：如果偏好关系满足传递性、局部非饱和性和弱单调性，则满足单调性。（单调性 定义为：如果 x >y，那么 x ; y；弱单调性定义为：如果 x ≥y，那么 x \y。） 答案： 证明：如果 x >y，则 x ≥y，由弱单调性知 x \y。下面证明只能一定是 x ; y。
接显示偏好于 x 。所以消费者的选择不满足 WA。
5、略
3/3
3. 无差异集合 对于定义在集合 X 上的偏好关系，定义 I(x)为满足 z ∈ X 且 z ∼ x 的所有 z 的集合。
证明：对于任意属于 X 的 x 和 y，都有 I(x)＝I(y)或 I(x)∩I(y)=Φ。
答案：
证明：根据定义， I (x) = {z | z ∼ x,z ∈ X } ， I ( y) = {z | z ∼ y,z ∈ X }。 如果 x ∼ y ，由 ∼ 的传递性知， I (x) = {z | z ∼ x,z ∈ X } = {z | z ∼ y,z ∈ X } = I ( y) 。 如果 x ∼ y 不成立，我们用反证法证明 I (x) ∩ I ( y) = φ 。 假设 I (x) ∩ I ( y) ≠ φ ，则存在 w ∈ I (x) ，且 w ∈ I ( y) 。
现在有两个工人，类型分别为 θH 和 θL，（θH>θL）。给定一定合同(q,t)，请画出 两人各自经过(q,t)的无差异曲线，并标明每条无差异曲线代表那一类型工人的 偏好；
（4） 如果两份合同分别为 C1=(q1,t1)，C2=(q2 ,t2)，满足 q1-q2，而且对消费者 θi 有 C2
\θi C1。证明：对于∀ θ < θi 的消费者，一定有 C2 \θ C1 [\θi 表示类型为 θi 的工
因 x >y，所以，存在 y 的邻域 Bε(y), 使得该邻域内所有的 z 都有 x > z 由局部非饱和性知，在领域 Bε(y)内存在 y′，使得 y′ ; y。 而且因为 x > y′，由弱单调性知，x \ y′ 假设 x∼y，由传递性知，y′; x，这与 x \ y′矛盾。 所以假设 x∼y 不成立，只能是 x ; y。
作业 一
1. 偏好性质与表示
C=(q,t)是一份聘用合同，约定如果工人完成 q 那么就可以得到 t。令工人的效用函数
u(t,q,θ) = t-θ q2, 其中 θ 是工人的类型；企业的利润函数为π=pq-t
（1） （2）
（3）
请对 θ 给一个现实含义，类型的含义是什么？ 给定 θ，请在(q, t)平面上画出分别表示工人不同效用水平（u1>u2）的两条无差 异曲线，并表明哪一个效用水平高；并在同一平面画出企业的无差异曲线；
解：(1) 消费者的选择满足 WA。因为消费者的选择可以用效用函数 u = max{x1, x2 ,..., xn} 表
示。效用函数存在意味着消费者是理性的，而理性等价于显示性偏好强公理（SARP）， 后者又意味着显示性偏好弱公理成立。
(2) 该消费者的偏好不满足 WA。假设价格 p = (0,1, 2) ，在此价格下消费者的选择为 x = (0,1, 0) ；如果价格变为 p ' = (1, 0, 2) ，在该价格下消费者的选择为 x ' = (1, 0, 0) 。 因为 p ⋅ x = 1 ≥ p ⋅ x ' = 0 ，所以 x 直接显示偏好于 x ' 。WA 要求，如果 x 直接显示 偏好于 x ' ，就不能有 x ' 直接显示偏好于 x 。但 p '⋅ x ' = 1 ≥ p '⋅ x = 0 ，这表明 x ' 直
由 I (x)和I ( y) 的定义知， w ∼ x 且 w ∼ y 。由 ∼ 的传递性知， x ∼ y ，矛盾。
4 . 显示Βιβλιοθήκη 好弱公理试判断下列消费者的选择是否满足现实性偏好弱公理（WA）。如果满足请予以证明，如果
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不满组请给出反例。 (1) 将所有的收入都花费在价格最低的商品之上。 (2) 将所有的收入都花费在价格第二低的商品之上。 答案：