上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库2
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3. 无差异集合 对于定义在集合 X 上的偏好关系，定义 I(x)为满足 z ∈ X 且 z ∼ x 的所有 z 的集合。
证明：对于任意属于 X 的 x 和 y，都有 I(x)＝I(y)或 I(x)∩I(y)=Φ。
答案：
证明：根据定义， I (x) = {z | z ∼ x,z ∈ X } ， I ( y) = {z | z ∼ y,z ∈ X }。 如果 x ∼ y ，由 ∼ 的传递性知， I (x) = {z | z ∼ x,z ∈ X } = {z | z ∼ y,z ∈ X } = I ( y) 。 如果 x ∼ y 不成立，我们用反证法证明 I (x) ∩ I ( y) = φ 。 假设 I (x) ∩ I ( y) ≠ φ ，则存在 w ∈ I (x) ，且 w ∈ I ( y) 。
因 x >y，所以，存在 y 的邻域 Bε(y), 使得该邻域内所有的 z 都有 x > z 由局部非饱和性知，在领域 Bε(y)内存在 y′，使得 y′ ; y。 而且因为 x > y′，由弱单调性知，x \ y′ 假设 x∼y，由传递性知，y′; x，这与 x \ y′矛盾。 所以假设 x∼y 不成立，只能是 x ; y。
由 I (x)和I ( y) 的定义知， w ∼ x 且 w ∼ y 。由 ∼ 的传递性知， x ∼ y ，矛盾。
4 . 显示偏好弱公理
试判断下列消费者的选择是否满足现实性偏好弱公理（WA）。如果满足请予以证明，如果
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不满组请给出反例。 (1) 将所有的收入都花费在价格最低的商品之上。 (2) 将所有的收入都花费在价格第二低的商品之上。 答案：
现在有两个工人，类型分别为 θH 和 θL，（θH>θL）。给定一定合同(q,t)，请画出 两人各自经过(q,t)的无差异曲线，并标明每条无差异曲线代表那一类型工人的 偏好；
（4） 如果两份合同分别为 C1=(q1,t1)，C2=(q2 ,t2)，满足 q1-q2，而且对消费者 θi 有 C2
\θi C1。证明：对于∀ θ < θi 的消费者，一定有 C2 \θ C1 [\θi 表示类型为 θi 的工
接显示偏好于 x 。所以消费者的选择不满足 WA。
5、略
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人的偏好关系] 答案：（1）θ 可以理解为个人的类型，比如刻画努力成本或能力的参数；
（2）
（3）
（4）证明
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源自文库
2. 偏好性质
证明：如果偏好关系满足传递性、局部非饱和性和弱单调性，则满足单调性。（单调性 定义为：如果 x >y，那么 x ; y；弱单调性定义为：如果 x ≥y，那么 x \y。） 答案： 证明：如果 x >y，则 x ≥y，由弱单调性知 x \y。下面证明只能一定是 x ; y。
解：(1) 消费者的选择满足 WA。因为消费者的选择可以用效用函数 u = max{x1, x2 ,..., xn} 表
示。效用函数存在意味着消费者是理性的，而理性等价于显示性偏好强公理（SARP）， 后者又意味着显示性偏好弱公理成立。
(2) 该消费者的偏好不满足 WA。假设价格 p = (0,1, 2) ，在此价格下消费者的选择为 x = (0,1, 0) ；如果价格变为 p ' = (1, 0, 2) ，在该价格下消费者的选择为 x ' = (1, 0, 0) 。 因为 p ⋅ x = 1 ≥ p ⋅ x ' = 0 ，所以 x 直接显示偏好于 x ' 。WA 要求，如果 x 直接显示 偏好于 x ' ，就不能有 x ' 直接显示偏好于 x 。但 p '⋅ x ' = 1 ≥ p '⋅ x = 0 ，这表明 x ' 直
作业 一
1. 偏好性质与表示
C=(q,t)是一份聘用合同，约定如果工人完成 q 那么就可以得到 t。令工人的效用函数
u(t,q,θ) = t-θ q2, 其中 θ 是工人的类型；企业的利润函数为π=pq-t
（1） （2）
（3）
请对 θ 给一个现实含义，类型的含义是什么？ 给定 θ，请在(q, t)平面上画出分别表示工人不同效用水平（u1>u2）的两条无差 异曲线，并表明哪一个效用水平高；并在同一平面画出企业的无差异曲线；
证明：对于任意属于 X 的 x 和 y，都有 I(x)＝I(y)或 I(x)∩I(y)=Φ。
答案：
证明：根据定义， I (x) = {z | z ∼ x,z ∈ X } ， I ( y) = {z | z ∼ y,z ∈ X }。 如果 x ∼ y ，由 ∼ 的传递性知， I (x) = {z | z ∼ x,z ∈ X } = {z | z ∼ y,z ∈ X } = I ( y) 。 如果 x ∼ y 不成立，我们用反证法证明 I (x) ∩ I ( y) = φ 。 假设 I (x) ∩ I ( y) ≠ φ ，则存在 w ∈ I (x) ，且 w ∈ I ( y) 。
因 x >y，所以，存在 y 的邻域 Bε(y), 使得该邻域内所有的 z 都有 x > z 由局部非饱和性知，在领域 Bε(y)内存在 y′，使得 y′ ; y。 而且因为 x > y′，由弱单调性知，x \ y′ 假设 x∼y，由传递性知，y′; x，这与 x \ y′矛盾。 所以假设 x∼y 不成立，只能是 x ; y。
由 I (x)和I ( y) 的定义知， w ∼ x 且 w ∼ y 。由 ∼ 的传递性知， x ∼ y ，矛盾。
4 . 显示偏好弱公理
试判断下列消费者的选择是否满足现实性偏好弱公理（WA）。如果满足请予以证明，如果
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不满组请给出反例。 (1) 将所有的收入都花费在价格最低的商品之上。 (2) 将所有的收入都花费在价格第二低的商品之上。 答案：
现在有两个工人，类型分别为 θH 和 θL，（θH>θL）。给定一定合同(q,t)，请画出 两人各自经过(q,t)的无差异曲线，并标明每条无差异曲线代表那一类型工人的 偏好；
（4） 如果两份合同分别为 C1=(q1,t1)，C2=(q2 ,t2)，满足 q1-q2，而且对消费者 θi 有 C2
\θi C1。证明：对于∀ θ < θi 的消费者，一定有 C2 \θ C1 [\θi 表示类型为 θi 的工
接显示偏好于 x 。所以消费者的选择不满足 WA。
5、略
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人的偏好关系] 答案：（1）θ 可以理解为个人的类型，比如刻画努力成本或能力的参数；
（2）
（3）
（4）证明
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2. 偏好性质
证明：如果偏好关系满足传递性、局部非饱和性和弱单调性，则满足单调性。（单调性 定义为：如果 x >y，那么 x ; y；弱单调性定义为：如果 x ≥y，那么 x \y。） 答案： 证明：如果 x >y，则 x ≥y，由弱单调性知 x \y。下面证明只能一定是 x ; y。
解：(1) 消费者的选择满足 WA。因为消费者的选择可以用效用函数 u = max{x1, x2 ,..., xn} 表
示。效用函数存在意味着消费者是理性的，而理性等价于显示性偏好强公理（SARP）， 后者又意味着显示性偏好弱公理成立。
(2) 该消费者的偏好不满足 WA。假设价格 p = (0,1, 2) ，在此价格下消费者的选择为 x = (0,1, 0) ；如果价格变为 p ' = (1, 0, 2) ，在该价格下消费者的选择为 x ' = (1, 0, 0) 。 因为 p ⋅ x = 1 ≥ p ⋅ x ' = 0 ，所以 x 直接显示偏好于 x ' 。WA 要求，如果 x 直接显示 偏好于 x ' ，就不能有 x ' 直接显示偏好于 x 。但 p '⋅ x ' = 1 ≥ p '⋅ x = 0 ，这表明 x ' 直
作业 一
1. 偏好性质与表示
C=(q,t)是一份聘用合同，约定如果工人完成 q 那么就可以得到 t。令工人的效用函数
u(t,q,θ) = t-θ q2, 其中 θ 是工人的类型；企业的利润函数为π=pq-t
（1） （2）
（3）
请对 θ 给一个现实含义，类型的含义是什么？ 给定 θ，请在(q, t)平面上画出分别表示工人不同效用水平（u1>u2）的两条无差 异曲线，并表明哪一个效用水平高；并在同一平面画出企业的无差异曲线；