(完整版)高考数学文化题目：阿波罗尼斯圆问题

高考数学文化内容预测三：阿波罗尼斯圆问题
一、高考考试大纲数学大纲分析及意义：
普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。

针对这一修订提出以下建议：
建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。

其主要意义为：
（1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.
（2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.
二、往年新课标高考实例解析及2017年高考数学文化试题预测：
往年新课标高考实例分析：
分析一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景
近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景．
（1）2015年高考全国卷Ⅰ，此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合．
（2）2015年高考全国卷Ⅱ，此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损术”．
（3）2015年高考湖北卷，此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出.
分析二：课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景
从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等.
数学文化题型背景预测：
预测1：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化类题目.
预测2：高等数学衔接知识类题目.如微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接.
预测3：课本阅读和课后习题的数学文化类题目.如必修3中，辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。

预测4：中外一些经典的数学问题类题目.如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题值得注意。

A
P B 三、直击高考经典
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=，
则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆，
后世称之为阿波罗尼斯圆． 证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ．
又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2222)()(y m x y m x +-=++λ， 两边平方并化简整理得）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，
当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；
当1>λ时，22222222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11
(22m -+λλ为圆心，
122-λλm
长为半径的圆．
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．
高考经典试题分析：
【2013江苏，17】
如图，在平面直角坐标系中，点，直线．
设圆的半径为，圆心在上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，
求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐
标的取值范围．
解：（1）联立：，得圆心为：C (3，2)
．
设切线为：，
d ＝，得：．
xOy )3,0(A 42:-=x y l C 1l C 1-=x y A C
C M MO MA 2=C a ⎩⎨⎧-=-=421x y x y 3+=kx y 11|
233|2==+-+r k k 430-==k or k
故所求切线为：． （2）设点M (x ，y )，由
，知：，
化简得：，
即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ．
又因为点在圆上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切．
故：1≤|CD |≤3，其中．解之得：0≤a ≤125 ．
四、数学文化领悟
高考数学试卷中,我们可以见到阿波罗圆的一般形式, 阿波罗圆是一个重要的题根,在历次高考中累累出现.我们说“评10年高考,看一个题根”,其实这个圆哪里只考了10年.今年湖北卷中出现的,只不过是其更新颖的形式罢了。

注：1.波罗尼斯（Apolloning,约公元前260~170），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。

著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书。

五、高考试题预测
高考预测1：与圆有关的面积问题
例1 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是 ．
解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），
，（01-A ），（01B ，设），（y x C ，由BC AC 2=得2222121y x y x +-⋅=++）（）（，
平方化简整理得883162
22≤+--=-+-=）（x x x y ，∴22≤y ，则 2222
1≤⋅⨯=∆y S ABC ，∴ABC S ∆的最大值是22． 高考预测2：与圆有关的范围问题
例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．
解：设(,)P x y =
， 整理得22(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心，为半径的圆上运动．
34
30+-==x y or y MO MA 2=22222)3(y x y x +=-+4)1(22=++y x M C 22)32(-+=a a CD
另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动，因而问题就转化为直线1y a =+与圆22
(5)8x y -+=有交点，
所以1a +≤a 的取值范围是[1,1]-．
例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1 ，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
解： 设(),24C a a -，则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 又设00(,)M x y ， 2MA MO = ()2
2220000344x y x y ∴+-=+， 即()220014x y ++=
这说明M 既在圆()()22241x a y a -+-+=上，又在圆()2214x y ++=上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，
2121∴-≤
+， 解得1205a ≤≤，即a 的取值范围是12[0,]5
． 高考预测3：与阿圆有关的探索性问题问题
例4 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .
（1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；
（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；
（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是 否存在一定点R ，使得
PQ PR 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|
24|2=+-k k ，解得k =，
∴切线l 方程为82(4)15
y x -=-．
（2）圆心到直线12-=x y r ，则9)5(2222=+=r
∴⊙M 的方程为9)2()4(2
2=-+-y x
（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ， 根据题意可得122-+=
y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x ， 即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），
又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即11482
2-+=+y x y x ，代入（*）式得： []
)11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ 若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩
⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ， 解得3
10,51,522,1,2======λλb a b a 或， ∴可以找到这样的定点R ，使得PR
PQ 为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2； 点R 的坐标为)51
,52(时，比值为3
10．。