高中数学三角函数的诱导公式(1) 例题解析
02三角函数诱导公式(含经典例题+答案)
三角函数诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．例1．sin 585°的值为 ( )A ．－2 B.2 C ．－3 D.3例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( )A ．－πB ．－π C.π D.π例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝31，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．例9：△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝223.例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π. A ．B ．C ．D ．2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°4.已知，则下列各式中值为的是（ ）A ．B ．sin （π+α）C ．D ．sin （2π﹣α）换元法与诱导公式例11：已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ 。
高中数学：三角函数的诱导公式 (88)
1.3.1三角函数的诱导公式（一）学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．思考给定角α，角α的终边与单位圆的交点P，如何用角α三角函数来表示？知识点一诱导公式二思考角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？公式二sin(π＋α)＝－sin αcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tan α知识点二诱导公式三思考角－α的终边与单位圆的交点P2 (cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？公式三sin(－α)＝－sin αcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tan α知识点三诱导公式四思考1角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？公式四sin(π－α)＝sin αcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tan α思考2 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？类型一 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值．(1)cos210°；(2)sin 114π；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1920°)．反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值： (1)sin1320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°)．类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( ) A.m 2－12 B.m 2＋12 C.1－m 22 D ．－m 2＋12(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．反思与感悟 1.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．2．可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 类型三 三角函数式的化简 例3 化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.反思与感悟 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练3 化简下列各式． (1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).1．计算sin 2150°＋sin 2135°＋2sin210°＋cos 2225°的值是( ) A.14 B.34 C.114 D.94 2．sin ⎝⎛⎭⎫－236π的值是( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 3．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于( )A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k 1－k 24．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．5．化简：(1)cos (α－π2)sin (5π2＋α)·sin (α－2π)·cos(2π－α)；1．明确各诱导公式的作用诱导公式 作用公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三 将负角转化为正角求值 公式四将角转化为0～π2之间的角求值2.这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．1.3.1三角函数的诱导公式（一）学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．思考给定角α，角α的终边与单位圆的交点P，如何用角α三角函数来表示？知识点一诱导公式二思考角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？公式二sin(π＋α)＝－sin αcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tan α知识点二诱导公式三思考角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？公式三sin(－α)＝－sin αcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tan α知识点三 诱导公式四思考1 角π－α的终边与单位圆的交点P 3(cos(π－α)， sin(π－α))与点P (cos α，sin α)有怎样的关系？ 公式四 sin(π－α)＝sin α cos(π－α)＝－cos α tan(π－α)＝－tan α 思考2 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？类型一 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值． (1)cos210°；(2)sin 114π；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1920°)．反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值： (1)sin1320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°)．类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( ) A.m 2－12B.m 2＋12C.1－m 22D ．－m 2＋12(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33， 求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．反思与感悟 1.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．2．可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．类型三 三角函数式的化简 例3 化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.反思与感悟 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练3 化简下列各式． (1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).1．计算sin 2150°＋sin 2135°＋2sin210°＋cos 2225°的值是( ) A.14B.34C.114D.942．sin ⎝⎛⎭⎫－236π的值是( )A.12B ．－12C.32D ．－323．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k2 D ．－k1－k2 4．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．5．化简：(1)cos (α－π2)sin (5π2＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α)；1．明确各诱导公式的作用诱导公式 作用公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三 将负角转化为正角求值 公式四将角转化为0～π2之间的角求值2.这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．提醒：完成作业§1.3(一)★答案★精析 问题导学思考 由三角函数的定义知y ＝sin α，x ＝cos α. ∴交点P (cos α，sin α) . 知识点一思考 关于原点对称．知识点二思考 关于x 轴对称．知识点三思考1 答 关于y 轴对称．思考2 2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”． 题型探究例1 解 (1)cos210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin(2π＋3π4)＝sin 34π＝sin(π－π4)＝sin π4＝22.(3)sin(－43π6)＝－sin(6π＋7π6) ＝－sin 7π6＝－sin(π＋π6)＝sin π6＝12.(4)cos(－1920°)＝cos1920°＝cos(5×360°＋120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12. 跟踪训练1 解 (1)方法一 sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. 方法二 sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.例2 A [sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m ，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12＝m 2－12.] (2)解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23， ∴cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－33－23＝－2＋33. 例3 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式 ＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1. 跟踪训练3 解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1. (2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)] ＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin30°－tan45°＝12. 达标检测1．A 2.A 3.B4．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.5．解 (1)原式＝cos (π2－α)sin (π2＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α；。
【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)
【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】三角函数的诱导公式【知识点1诱导公式】【知识点2诱导公式的记忆】诱导公式一: sin(α+2kπ) = Sin a ,cos(α + 2kπ) = COSα, taιι(α + 2kπ) = xana ,其中 k ∈Z 诱导公式二: sin(∕r + G) = -Sin a,cos(∕r+α) =—COSα, tan(∕r+α) = tana,其中keZ 诱导公式三: sin(-a) =-Sina, cos(-a) = COSa , tan(-a) = -taιιa ,其中k ∈Z诱导公式四:cos(∕F -a) = -cosa, taιι(^∙-a) = -tana,其中k ∈Z 诱导公式五: Sin π ——a 2 COS π ——a 2 = Sina ,其中R ∈Z诱导公式六:Sin π —+a 2 COS —+a =-sinα ,其中k ∈Z U 丿记忆11诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角k-90 ±a(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数 时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视Q 为锐角 时原函数值的符号.【考点1利用诱导公式求值】【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化 过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完 成求值.【例1】(2018秋•道里区校级期末)已知点P(l,l)在角Q 的终边上，求下列各式的值.T 、 COS (Λ^ + α)sin(^∙ - a)(I )------------------------------------- ；tan(∕r + α) + sin 2 (彳-a)sin(- + α)cos(- 一 a) (II) 、 2 、——召——cos^ a - sm^ a + tan(;T - a)【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα, cosα, Sna 的值，再利用诱导公式即可求得要 求式子的值.【答案】解：∙.∙角α终边上有一点P(l,l),.x = l , y = l , r =|OP I= √7,Sill CL = — = _ , COS Ct = — = — , tan Ct — -- = It r 2 r 2 X([) cos(∕r + α)sin(%-α)、 -、，兀、 tan(^∙ + α) + sιn^ (― 一 a) ./3∕r 3π([[)SInq-+Q )COS (T _Q ) _ (γosα)(-smα) cos 2 a - sin 2 a + tan(∕r -a) cos 2a - sin 2a 一 tan a【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.【变式1-1】 (2019春•龙潭区校级月考)己知tan(^+ «) = -!,求下列各式的值:-COSa ∙smα ton a + cos 2(x(]) 2COS (Λ∙-α)-3sin(∕r+ α)4cos(α - 2πy ) + sin(4∕r - a)(2) siιι(α-7π)cos(a + 5π).【分析】(1)由诱导公式化简后，原式分子分母除以cosα,利用同角三角函数间的基本关系化简，将tana 的值代入计算即可求出值；(2)由诱导公式化简后，原式分母“1”化为sin 2a + ∞s 2a,然后分子分母除以∞s 2a,利用同角三角函数间的基本关系化简，>'J tana 的值代入计算即可求出值.【答案】解：∙.∙tan(∕r + a) = tana =-扌,【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的 考查.【变式1-21(2018春•陆川县校级月考)若COSa = - , a 是第四象限角，求sm(d_2”) + sin(--3∕τ)cos(-3”) 3 COS (龙-a)-COS (-Λ∙ - a) COS(a - 4π)的值.【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.【答案】解：∙.∙cosa =扌，a 是第四象限角，- -sina = 一JI-COS 订=_£ ,Sin(Q - 2π) + siιι(-a -3π)cos(a- 3π) _ Sillcr + Siila ・(一COS a) _ Sin a(l- COS a) _3 3 _ ∙√5 cos(∕r — a)-cos(-x-a)cos(a-4;F) — CoSa+ cosa∙cosa COSa(COSa — 1) 亠(一 1) 2【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题.【变式1-3】 (2019春•沈阳校级月考)己知SlnQ 是方程5√-7x-6 = 0的根，求sin(-a -—龙)∙sin(- π 一 a)∙tan 2 (2π - a) 4 5【分析】把SinQ 代入到方程中解出即可求出Sina 的值进而求出tan'a 的值，然后把所求的式子利用诱导公 式及同角三角函数间的基本关系进行化简，将tan j 的值代入即可求出值.【答案】解：∙.∙sinα是方程SJC-IX-6 = O 的根，二Sina = -O 或Sina = 2 (舍).5+iτ . ■> 9 “16 , 9∣ √ sm^ α = —， cos^ a = — => taιι^ a = —• 25 25 16(1) 2 COS (Λ∙ -Qf)-3 sin(π + a)4cos(α - 2π) + sin(4∕r - a) 3sinα-2cosα 4cosα-siιια 3 tail α - 2 4-tana(2) sin(α — 7π)cos(α + 5π) = Sm a COS a =SlnQCOSa SUra + COS I atanatan 2a + l 的值.「•原式=∞s α∙(-COS α)∙tan^ aSin α∙(- Sin a)∙cos2 asin2 aCOSa•(—COS α) •—____________ COS-CLSill α∙(- Sill α)∙cos2a1cos2a=sec^ a = l +tail" α = l + —=—16 16【点睛】此题要求学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解这道题的思路是利用已知求出正切函数的平方，所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式.【考点2利用诱导公式化简】【方法点拨】灵活应用诱导公式，应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了taιι(Λ∙ - α)cos(2∕τ —α)sin(-α + —)【例2】(2019秋•颍泉区校级期中)化简： ------------- ------ —-------- .cos(-α - π) sm(-∕r - a)【分析】由已知利用诱导公式即可化简得解.tan(∕r —α)cos(2∕r - α)sin(-α + —) 【答案］解： -------- ------ ---------- 一一cos(_a 一π)sιn(-π一a)(一tan a) COS ◎(一COS a) _ -------------------------- =—1.(一COSa)SiiIa【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.【变式2-1] (2019春•兰考县校级期末)化简:sιn(4—⑵ CoS(I■ + ◎) tan(5 一Q) + a) COS(2Λ,-a)sin(3τr —a) sin(- + O)【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.【答案】解sin(4Λ∙-α)cos(-÷α) _ tan(5Λ∙-a) _ sin(-αχ-Sina) _ -tana _ Sin Z a十1 I-Sin Z aSm(爭+ a)cos0-a) sm(3^-a)sin(^÷ a) " <-cosa>cos<-a> SInaCoS八CoSF 品- cos2【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力.sin(8 - 5Λ∙)COS( ------- θ)cos(lπ一θ)【变式2・2】(2019春•东莞市校级期末)化简----------------- F -------------------------sin(8 - #) sin(-3^∙ - θ)【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.【答案】解:sin(8 —5π) cos(-壬一 &)cos(7∕r —θ) Sin(^ - π >cos(y + &)・cos(/r -θ)Sin(O -夢)sin(-3;T — 6)-Sin(^- —8)∙sin(∕r - θ)-siu8»(-sin&)・(一cos8) .；---- =—Sln σ • COS8∙sin θ【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题.【变式2-3】(2019春•西安月考)化简：血Sr)SIn(-2—&)CoS(6”也cos(8 - π)siιι(5Λ∙ + θ)【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果.r M tan(2∕r-8)sin(-2 広一 &) COS(6兀一&) - tan 0∙(-Sill ^)∙cos θ sin 8L ⅛ 杀J W • ----------------------------------------------- = ----------------------------- =-------- = t∩ιι θ ‘COS(O - π)sin(5∕r + θ)- COS 8・(一Sm θ) COS θ【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题.【考点3诱导公式在函数中的应用】cos(- + x) cos(-x) siιι(- - x)【例3】(2019春•怀化期末)已知/(X) = 一 -------------------- - -- 2——sm(-Λ- - X)CoS(2/T - x)(I )化简/(x)；(II)若X是第三象限角，且tmιx = 2,求/⑴的值.【分析】(【)由己知利用诱导公式即可化简得解；(II)由tanx=2,可得SinX=2cosx,根据角的范围利用同角三角函数基本关系式即可求解.【答案】解：([)∕α)=Eτ∙(⅜χ.SillACOSX(II) ∙.∙ta∏Λ = 2, ..sinx = 2COSΛ'» 代Asin3 x+cos2 x = l,得：5cos2 x = l,∙.∙x是第三彖限角，.■- /(X) = COSX = --Y .【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.【变式3-1】(2019春•大武口区校级期末)己知./(«) =—)su,cos(";)_ sin(-^- - a) cos(y + a) sin(- + a)(1)化简/(«)：(2)若/(a) = *,求3sin2α-4siιιαcosof + 5cos2a的值.【分析】(1)直接利用诱导公式化简求解即可.(2)求出正切函数值，利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可.【答案】解：(1)弘)=一Smgm"(Yθsα)=toιm-COS a∙(- Sm QXOS a3 f(a)=-,可得：taιια = -,r . “° 3siιF α — 4sinαcosα + 5cos% 3tan 2α-4taιια + 53SIn- α-4sιnαCOS a + Scos~a = ----------------- ； -------； ----------- = ------------ ； ---------- ,siιι^ a + cos~a taιι^ α + l 将tanα =丄代入， 3Jg得 3siιι2 α-4siιιαCOS a + 5cos 1a = 一 •5 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查转化思想以及计算能力•【变式3-2】 （2018秋•红塔区校级期末）己知/（α）=泅（2兀一Q ）述S + ?COS （FF ）cos （∕r - a ） tan （3;T - a ）（1） 将/（◎）化为最简形式；（2） f （a ）- f （rγ + α） = » 且 Qe （O ,兀），求 tana 的值.【分析】（1）由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果.（2）由题意可得Sina+cosa 的值,再利用同角三角函数的基本关系，求得Sina-CoSa 的值，可得Sina 的 COSa 的值，从而求得tana 的值.【答案】解：(1)由题意可得，f(a) = (~SmQf)tanQfeCOSQf) =Sinα . (-cos α)(-taιια)(2) f(a)-f(rγ + Qf) = Sina-Sm(^ + α) = Sinα + COSa = 4©»] 24平方可得 1 + 2SinaCOSQ = ----- .. 2siιιαcosα = -一<0, 25 25π 49 7因为α e (0,兀)，所以 α∈(-,Λ-) ∙ SinQ-COSa>0 , (Sina-COSa)2 =1-2SmaCOSa =—,所以SinQ-COSQ = E ②， 由①②可得：Sma = —,cosα = --,5 5 4 结果.（2）利用诱导公式化简要求的式子为sin&-cos0>0,再计算（Sin^-CoS^）2的值，可得要求式子的值.4所以taιια =——• 3【点睛】本题主要考查利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.【变式0 （沁秋•汕头校级期中）己知函数蚀少二：（穿1 (1)若 f(θ)×siii — -COS^ = 0,求SineCOSe 的值.(2)若/(B)MosO= £ ,且彳v&v 普，求/(2019Λ--θ)-∞S (2018Λ∙-θ)的值; 【分析】 （1）由题意利用诱导公式求得诚=2,再根据SineCOSe = sin8cos8 sin 2 8+cos' θ总’计算求得【答案】解：(I)函数fg = (SE • +迓哄E = SIn“OS"S1∏Λ∙=若 f(0)×siιι--COS θ = sin&・--COSe = 0 •则 tan 。
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
数学一轮复习第4章三角函数解三角形第1讲三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系与诱导公式试题1理
第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关;③若sin α=sin β，则α与β的终边相同；④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是（）A.1B.2 C。
3 D。
42。
sin 2·cos 3·tan 4的值（）A。
小于0 B。
大于0C。
等于0 D.不存在3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α—cos α= （）A.√32+12B。
-√32+12C。
√32−12D。
-√32−124.[2019全国卷Ⅰ,7，5分]tan 255°= （）A.-2—√3B。
—2+√3C。
2—√3 D.2+√35.[2020全国卷Ⅱ，2,5分］［理]若α为第四象限角,则 （ ) A 。
cos 2α>0 B 。
cos 2α〈0 C 。
sin 2α>0 D.sin 2α<06。
已知sin α+cos α=12，α∈(0,π),则1-tanα1+tanα= ( )A.—√7B.√7C.√3 D 。
-√3图4-1—17。
[2019北京,8,5分］如图4—1-1，A ，B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 （ ） A 。
4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β8.[2018全国卷Ⅰ，11，5分］已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A （1，a ）,B （2,b )，且cos 2α=23，则｜a -b ｜=（ ）A.15B .√55C 。
2√55D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图4-1—3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短，则方案更优.2.（1）［2021洛阳市联考］已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y=3x重合,且sin α<0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜=√10(O为坐标原点）,则m-n 等于（）A.2B.-2C.4 D。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。
【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。
试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。
（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。
高中数学：三角函数的诱导公式 (16)
课时提升作业六三角函数的诱导公式(一)(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2018·聊城高一检测)sin的值是( )A. B.- C.- D.【解析】选B.sin=sin=sin=-sin=-.【补偿训练】tan300°= ( )A. B.- C. D.-【解析】选B.tan300°=tan(360°-60°)=tan(-60°)=-tan60°=-.2.如果α,β满足α+β=π,那么下列式子中正确的个数是( )①sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③cosα=-cosβ;④cosα=cosβ;⑤tanα=-tanβ.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.α+β=π,则β=π-α,从而sinα=sinβ,cosα=-cosβ,tanα=-tanβ正确.3.(2018·绵阳高一检测)已知sin=,则sin的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.sin=sin=sin=.【补偿训练】若sin(-α)=,且α∈(-,),则cos(π+α)的值为( )A. B.-C.±D.以上都不对【解析】选B.由sin(-α)=可得sinα=-,因为α∈,所以cosα=,cos(π+α)=-cosα=-.二、填空题(每小题4分,共8分)4.若cos(-100°)=a,则tan80°=________.【解析】cos(-100°)=cos100°=-cos80°=a,所以cos80°=-a,sin80°=,故tan80°==-.★答案★:-【补偿训练】(2018·重庆高一检测)若sin(7π+α)=,α∈,则tanα=________.【解析】因为sin(7π+α)=-sinα=,所以sinα=-,又α∈,所以α=-,tanα=tan=-.★答案★:-5.(2018·新乡高一检测)下列三角函数:①sin;②cos;③sin;④cos.其中与sin数值相同的是________(填序号).【解析】sin=cos=cos=sin;sin=sin;cos=cos;所以应填②③.★答案★:②③三、解答题6.(10分)(2018·临清高一检测)已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,求sin(α+125°)的值.【解析】因为cos(α-55°)=-<0,且α为第四象限角,所以α-55°是第三象限角,所以sin(α-55°)=-=-,所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=.【延伸探究】本题中若条件不变,求cos(α+125°)+tan(α-55°)的值.【解析】cos(α+125°)=cos[180°+(α-55°)]=-cos(α-55°)=,tan(α-55°)==-2,所以cos(α+125°)+tan(α-55°)=-2.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【解析】选B.a=-tan=-,b=cos=cos=,c=sin=-sin=-,所以b>a>c.2.(2018·嘉兴高一检测)已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-2π)的值是( )A. B.-C.±D.【解析】选A.因为sin(π+α)=-sinα=,所以sinα=-;所以cos(α-2π)=cosα==.【误区警示】本题容易因为α是第四象限角,而出现cos(α-2π)=-cosα的错误.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2018·南京高一检测)化简=________. 【解析】====1.★答案★:14.已知sin(α+π)=,且sinαcosα<0,则=________.【解析】因为sin(α+π)=-sinα=,且sinαcosα<0,所以sinα=-,cosα=,tanα=-,所以===-.★答案★:-【补偿训练】(2018·嘉兴高一检测)已知cos=-,则cos的值为________.【解析】cos=cos=-cos=-=.★答案★:【误区警示】解答本题易忽视-α++α=π,忘记用公式cos(π-α)=-cosα.三、解答题5.(10分)(2018·哈尔滨高一检测)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+7,α,β均为实数,若f(2008)=8,求f(2017)的值.【解题指南】本题主要考查诱导公式及整体代换的思想,化简f(2008)、f(2017),寻求两者之间的关系.【解析】因为f(2008)=asin(2008π+α)+bcos(2008π+β)+7=asinα+bcosβ+7,所以asinα+bcosβ+7=8,所以asinα+bcosβ=1,又因为f(2017)=asin(2017π+α)+bcos(2017π+β)+7=-asinα-bcosβ+7.=-1+7=6.所以f(2017)=6.。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案1教材分析：高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》是一节基础性课程，课本中主要包含了三角函数诱导公式的定义、常见角度的三角函数值以及相应的推导方法等内容。
教师需要全面了解教材的内容，并对教材的组织结构、难易程度及与之相应的教学资源进行细致的分析和处理。
教学目标：通过本节课的教学，学生应该能够掌握诱导公式的基本概念、运用方法及其相关定理，能够熟练地计算一些常见角度的三角函数值，并能够对不同情况下的三角函数值进行求解。
教学重点：本节课教学的重点主要集中在诱导公式的定义及其相关定理的理解和运用上，同时也需要教师在教学过程中重点关注学生对于诱导公式的记忆和运用情况。
教学难点：本节课教学难点在于对于一些相对较为复杂的求解题目的讲解和理解，尤其是在涉及到三角函数值之间的相互替换问题时需要引导学生注重方法逻辑的分析和运用。
学情分析：本节课所涉及到的内容主要是在初中阶段所学习的三角函数知识的基础上进一步推广和延伸，对于新生来说可能需要花费一定的时间来加深对于三角函数概念的理解和记忆。
教学策略：教师可以通过引入案例以及图像的呈现等方式来促进学生对于三角函数概念以及诱导公式的理解和记忆，同时也需要关注学生在解题过程中的思维逻辑和分析方法的引导。
教学方法：本节课教学方法需要注重理论掌握和实践操作的结合，可以通过练习习题，讲解案例和互动讨论等方式来提高学生的思维能力和实际操作水平。
同时也可以通过个性化的辅导方式注重对于学生的学习经历和个体差异进行分析和处理。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案2本节课的教学过程如下：一、导入环节（约5分钟）教学内容：复习三角函数的基本概念，介绍本节课的主题——三角函数的诱导公式。
教学活动：1.学生们通过手写练习纸，复习三角函数的基本公式和图像；2.老师引导学生们思考有哪些角的三角函数值已知，而另外一个角的三角函数值不易计算；3.通过引导，学生们提出了需要学习三角函数的诱导公式的需求；4.老师介绍三角函数的诱导公式的含义和作用，引发学生们兴趣。
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三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tanα.2.三角函数的诱导公式总结：1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45B.－45C.35D.－35解析 由同角三角函数关系得cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.答案 B3.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( ) A.－35B.35C.－45D.45解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A5.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( ) A.125B.－125C.512D.－512解析 ∵sin α＝－513，α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，因此tan α＝sin αcos α＝－512. 答案 D6.(2018·上海嘉定区月考)化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin(－α－2π)＝________.解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 1考点一 同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13，则cos α＝( ) A.－223 B.223 C.±223 D.23解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13>－22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，所以α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. 答案 A角度2 关于sin α，cos α的齐次式问题 【例1－2】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.角度3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 【例1－3】 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0， 所以cos x >0，则sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A.－32B.32C.－34D.34(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35B.－35C.－3D.3解析 (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.答案 (1)B (2)A考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 解析 (1)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tan 76π＝1tan π6＝ 3. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0.答案 (1)3 (2)0【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，则cos(π－2α)＝( )A.29B.59C.－29D.－59 (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________. 解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，得sin α＝23.∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×29－1＝－59. (2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. 答案 (1)D (2)13考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝( ) A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－（－22）2＝427. (2)由已知得⎩⎨⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 答案 (1)A (2)C(3)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝( ) A.－1213 B.－513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 (1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－513，∴sin α＝1213，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.(2)由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 (1)C (2)－43三、课后练习1.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－5 C.1± 5D.－1－5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45. 答案 35 453.已知k ∈Z ，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）＝________.解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α＝－sin α（－cos α）－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α）＝sin α·cos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1. 答案 －14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由. 解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.5.已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(π－α)＝________，cos 2α＝________.解析 cos(π－α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－73，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－732－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝59.答案 －73 59。
高二数学三角函数的诱导公式1
M'
O
M
x
cos( ) x cos sin( ) tan( ) tan cos( )
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
cos x sin( ) y sin
x sin( ) _____, 2
O
M
由同角三角函数关系得 sin( ) cos 2 tan( ) cot 2 cos( ) -sin 2 sin( ) cos 2
x
-y cos( ) __ 2
讨 论
观察我们学过的四组诱导公式它们能否通 过一句话概括出来呢？
、 、 2 2 的三角函数值，等于 的异名三角函数值前面 加上把 看作锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名改变，符号看象限”
• 奇变偶不变，符号看象限
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三角函数的诱导公式
（第一课时）
（一）复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ？
150
y
30
想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.
O
（二）新课讲授
由三角函数的定义我们可以知道：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（公式一）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（公式二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)
【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】【知识点1 诱导公式】诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈ 诱导公式二： sin()sin παα+=-， cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈ 诱导公式三： sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式四：sin()sin παα-=， cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 【知识点2 诱导公式的记忆】记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.【考点1 利用诱导公式求值】【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．【例1】（2018秋•道里区校级期末）已知点(1,1)P 在角α的终边上，求下列各式的值． （Ⅰ）2cos()sin()tan()sin ()2παπαππαα+-++-；（Ⅱ）2233sin()cos()22cos sin tan()ππααααπα+--+-． 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sin α，cos α，tan α的值，再利用诱导公式即可求得要求式子的值．【答案】解：角α终边上有一点(1,1)P ，1x ∴=，1y =，||r OP ==sin 2y r α∴==，cos 2x r α==，tan 1yxα==， ∴（Ⅰ）22cos()sin()cos sin 1tan 3tan()sin ()2cos παπαααπααπαα+--===-+++-； （Ⅱ）222233sin()cos()(((cos )(sin )1222211cos sin tan()tan 2122cos sin ππααααααπαααα+-⨯--===--+-----． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【变式1-1】（2019春•龙潭区校级月考）已知1tan()2πα+=-，求下列各式的值：（1）2cos()3sin()4cos(2)sin(4)παπααππα--+-+-；（2）sin(7)cos(5)απαπ-+．【分析】（1）由诱导公式化简后，原式分子分母除以cos α，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值；（2）由诱导公式化简后，原式分母“1”化为22sin cos αα+，然后分子分母除以2cos α，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值．【答案】解：1tan()tan 2παα+==-，∴（1）2cos()3sin()3sin 2cos 3tan 274cos(2)sin(4)4cos sin 4tan 9παπαααααππαααα--+--===--+---；（2）222sin cos tan 2sin(7)cos(5)sin cos 15sin cos tan ααααπαπααααα-+====-++． 【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．【变式1-2】（2018春•陆川县校级月考）若2cos 3a =，a 是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)a a a a a a ππππππ-+--------的值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 【答案】解：2cos 3a =，a是第四象限角，sin a ∴=，∴51sin(2)sin(3)cos(3)sin sin (cos )sin (1cos )53321cos()cos()cos(4)cos cos cos cos (cos 1)()33a a a a a a a a a a a a a a a ππππππα-+---+--====------+--．【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．【变式1-3】（2019春•沈阳校级月考）已知sin α是方程25760x x --=的根，求2233sin()sin()tan (2)22cos()cos()cos ()22αππαπαππααπα-----+-的值． 【分析】把sin α代入到方程中解出即可求出sin α的值进而求出2tan α的值，然后把所求的式子利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系进行化简，将2tan α的值代入即可求出值．【答案】解：sin α是方程25760x x --=的根，∴3sin 5α=-或sin 2α=（舍)．故29sin 25α=，22169cos tan 2516αα=⇒=．∴原式22222222sin cos (cos )cos (cos )tan 1925cos sec 1tan 1sin (sin )cos sin (sin )cos cos 1616αααααααααααααααα--=====+=+=-- 【点睛】此题要求学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解这道题的思路是利用已知求出正切函数的平方，所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式． 【考点2 利用诱导公式化简】【方法点拨】灵活应用诱导公式，应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了【例2】（2019秋•颍泉区校级期中）化简：3tan()cos(2)sin()2cos()sin()ππαπαααππα---+----．【分析】由已知利用诱导公式即可化简得解．【答案】解：3tan()cos(2)sin()(tan )cos (cos )21cos()sin()(cos )sin ππαπααααααππααα---+--==------．【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．【变式2-1】（2019春•兰考县校级期末）化简：9sin(4)cos()tan(5)211sin()cos(2)sin(3)sin()22ππααπαππαπαπαα-+--+--+．【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【答案】解：222229sin(4)cos()tan(5)sin()(sin )tan 112111(cos )cos()sin cos cos cos sin()cos(2)sin(3)sin()22sin sin cos ππααπααααααππααααααααπαπαα-+------=-=+==---+--+． 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．【变式2-2】（2019春•东莞市校级期末）化简sin(5)cos()cos(7)23sin()sin(3)2πθπθπθπθπθ-------．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 【答案】解：sin(5)cos()cos(7)sin()cos()cos()sin (sin )(cos )22sin 33cos sin sin()sin(3)sin()sin()22ππθπθπθθπθπθθθθθππθθθπθθπθ-----+----===-------．【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．【变式2-3】（2019春•西安月考）化简：tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)πθπθπθθππθ-----+．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果． 【答案】解：tan(2)sin(2)cos(6)tan (sin )cos sin tan cos()sin(5)cos (sin )cos πθπθπθθθθθθθππθθθθ------===-+--，【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题． 【考点3 诱导公式在函数中的应用】【例3】（2019春•怀化期末）已知3cos()cos()sin()22()sin()cos(2)x x x f x x x ππππ+--=--- （Ⅰ）化简()f x ；（Ⅱ）若x 是第三象限角，且tan 2x =，求()f x 的值． 【分析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式即可化简得解；（Ⅱ）由tan 2x =，可得sin 2cos x x =，根据角的范围利用同角三角函数基本关系式即可求解． 【答案】解：（Ⅰ）(sin )cos (cos )()cos sin cos x x x f x x x x--==．（Ⅱ）tan 2x =，sin 2cos x x ∴=，代入22sin cos 1x x +=，得：25cos 1x =，x 是第三象限角， ∴()cos f x x ==． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【变式3-1】（2019春•大武口区校级期末）已知sin()sin cos().()3sin()cos()sin()222f πααπααπππααα++=-++（1）化简()f α；（2）若1()3f α=，求223sin 4sin cos 5cos αααα-+的值．【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可．（2）求出正切函数值，利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可． 【答案】解：（1）sin sin (cos )()tan cos (sin )cos f αααααααα--==--．（2）1()3f α=，可得：1tan 3α=，222222223sin 4sin cos 53tan 4tan 53sin 4sin cos 5sin tan 1cos cos cos ααααααααααααα-+-+-+==++， 将1tan 3α=代入，得22183sin 4sin cos 55cos αααα-+=． 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查转化思想以及计算能力． 【变式3-2】（2018秋•红塔区校级期末）已知sin(2)tan()cos()()cos()tan(3)f παπααπαπαπα-+--=--．（1）将()f α化为最简形式； （2）若31()()25f f παα-+=，且(0,)απ∈，求tan α的值． 【分析】（1）由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果．（2）由题意可得sin cos αα+的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sin cos αα-的值，可得sin α的cos α的值，从而求得tan α的值．【答案】解：（1）由题意可得，(sin )tan (cos )()sin (cos )(tan )f ααααααα--==--．（2）331()()sin sin()sin cos 225f f ππαααααα-+=-+=+=①， 平方可得112sin cos 25αα+=，∴242sin cos 025αα=-<， 因为(0,)απ∈，所以(,)2παπ∈，sin cos 0αα->，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=，所以7sin cos 5αα-=②，由①②可得：43sin ,cos 55αα==-，所以4tan 3α=-．【点睛】本题主要考查利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题． 【变式3-3】（2018秋•汕头校级期中）已知函数(sin tan )cos ()1cos()x x xf x x +=+-．（1）若()sincos 06f πθθ⨯-=，求sin cos θθ的值．（2）若1()cos 8f θθ=，且344ππθ<<，求(2019)cos(2018)f πθπθ---的值； 【分析】（1）由题意利用诱导公式求得tan 2θ=，再根据222sin cos tan sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ==++，计算求得结果．（2）利用诱导公式化简要求的式子为sin cos 0θθ->，再计算2(sin cos )θθ-的值，可得要求式子的值．【答案】解：（1）函数(sin tan )cos sin cos sin ()sin 1cos()1cos x x x x x xf x x x x++===+-+，若1()sincos sin cos 062f πθθθθ⨯-=-=，则tan 2θ=， 222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθ∴===++． （2）1()cos sin cos 8f θθθθ==，且344ππθ<<， (2019)cos(2018)sin(2019)cos(2018)sin cos 0f πθπθπθπθθθ∴---=---=->，23(sin cos )12sin cos sin cos 4θθθθθθ-=-=∴-=，即(2019)cos(2018)f πθπθ---=【点睛】本题主要考查三角恒等变换，诱导公式的应用，属于基础题． 【考点4 分类讨论思想】 【例4】化简：4141sin()cos()()44n n n Z παπα-+-+-∈． 【分析】对n 分当2n k =与21()n k k Z =+∈讨论，利用诱导公式化简求值即可． 【答案】解：4141sin()cos()sin()cos()4444n n n n πππαπαπαπα-+-+-=--++-， 当2()n k k Z =∈时，上式sin()cos()sin[()]cos()044244πππππαααα=-++-=---+-=；当21()n k k Z =+∈时，上式35sin()cos()sin()cos()cos()cos()0444444ππππππαααααα=-+-=+--=---=． 【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，分类讨论是关键，是基本知识的考查． 【变式4-1】（2019春•集宁区校级月考）设k 为整数，化简sin()cos[(1)]sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα---+++．【分析】分k 为偶数和奇数两种情况，分别利用诱导公式进行化简求值． 【答案】解：当k 为偶数时，sin()cos[(1)]sin()(cos )1sin[(1)]cos()sin cos k k k k παπαααπαπααα-----==-+++-．当k 为奇数时，sin()cos[(1)]sin cos 1sin[(1)]cos()sin (cos )k k k k παπαααπαπααα---==-+++-，综上可得，sin()cos[(1)]1sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα---=-+++．【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 【变式4-2】（2019•广东模拟）化简sin()cos()cos[(1)]n n n παπαπα+-+-，n Z ∈．【分析】利用诱导公式化简．应分当n 为偶数时和为奇数时两种情况．因为这两种情况正余函数的正负值不同．【答案】解：当2()n k k Z =∈时，原式sin cos sin cos αααα==--；当21()n k k Z =-∈时，原式(sin )(cos )sin cos αααα--==．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用．注意三角函数的正负号的判断． 【变式4-3】已知222cos ()sin ()()()cos [(21)]n x n x f x n Z n x πππ+-=∈+-，（1）化简()f x 的表达式； （2）求502()()20101005f f ππ+的值． 【分析】（1）看n 为奇数和偶数时，分别根据诱导公式化简整理，最后综合可得答案． （2）把2010x π=和5021005π代入函数解析式，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求得答案． 【答案】解：（1）当n 为偶数，即2n k =，()k Z ∈时，2222222222cos (2)sin (2)cos sin ()cos (sin )()sin cos [(221)]cos ()(cos )k x k x x x x x f x x k x x x ππππ+---====⨯+---，()n Z ∈ 当n 为奇数，即21n k =+，()k Z ∈时2222222222222cos [(21)]sin [(21)]cos [2()]sin [2()]cos ()sin ()(cos )sin ()sin ,()cos {[2(21)1]}cos [2(21)()]cos ()(cos )k x k x k x k x x x x x f x x n Z k x k x x x ππππππππππππ+++-+++-+--=====∈⨯++-⨯++--- 2()sin f x x ∴=；（2）由（1）得225021004()()sin sin 2010100520102010f f ππππ+=+ 2222sin sin ()sin cos ()120102201020102010πππππ=+-=+=【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和诱导公式化简求值．在利用诱导公式时注意根据角的范围，确定三角函数的正负． 【考点5 利用诱导公式进行证明】【例5】（2019春•凉州区校级月考）证明下列等式：（1）2cos()2sin(2)cos(2)sin 5sin()2πααππααπα---=+ （2）tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++【分析】（1）利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简，最后约分即可求得答案．（2）利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简，注意符号的判断．【答案】证明：（1）左边2cos()sin 2sin(2)cos(2)sin cos sin 5cos sin()2παααππααααπαα-=--===+右边． （2）左边tan(2)sin(2)cos(6)tan (sin )cos tan 33cos sin sin()cos()22παπαπαααααππαααα------===-=-++右边．【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简求值．可采用“奇变偶不变，正负看象限”的口诀记忆． 【变式5-1】（2019秋•岳池县校级月考）求证： （1）22sin()cos 1tan(9)112sin tan()1πθθπθθπθ+-++=-+-； （2）2tan sin cos (tan sin )tan sin sin θθθθθθθθ+=-． 【分析】（1）原式左边利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，右边利用诱导公式化简，得到两结果相等，即可得证；（2）原式左边与右边分别利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后得到两结果相等，即可得证． 【答案】证明：（1）左边2222sin cos 1(sin cos )(sin cos )tan 1sin cos tan 1tan 1(sin cos )cos sin )(sin cos )tan 1cos sin 1tan tan 1cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ---+++----+=======-+------； 右边tan(8)1tan 1tan 1tan 1ππθθθθ++++==--， ∴左=右，得证；（2）左边2sin sin sin cos sin sin (1cos )1cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ===---，右边22sin cos (sin )sin (1cos )sin cos 11cos sin cos θθθθθθθθθθ++===--，∴左=右，得证．【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．【变式5-2】已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，求证： （1）cos(2)cos A B C A ++=-； （2）sincos 22B C A +=；（3）3tantan44A B Cπ++=-． 【分析】（1）由已知条件利用cos()cos παα+=-进行证明． （2）由已知条件利用sin()cos 2παα-=进行证明．（3）由已知条件利用tan()tan παα-=-进行证明． 【答案】证明：（1）A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，A B C π∴++=，cos(2)cos()cos A B C A A π∴++=+=-， cos(2)cos A B C A ∴++=-．（2）A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，A B C π∴++=，sin sin()sin()cos 22222B C A A Aππ+-∴==-=， sincos 22B C A+∴=． （3）)A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，A B C π∴++=，3tan tan tan()tan4444A B C C Cππππ+--+∴==--=-． 3tantan44A B Cπ++∴=-． 【点睛】本题考查三角函数的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形内角和定理和诱导公式的合理运用．【变式5-3】设8tan()7a πα+=，求证：1513sin()3cos()37720221sin()cos()77a a ππααππαα++-+=+--+．【分析】由条件利用诱导公式求得tan()7a πα+=，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简等式的左边为tan()37tan()17παπα++++，再把tan()7a πα+=，从而得到要证的等式的右边．【答案】证明：8tan()tan()77a ππαα+=+=，∴1513sin()3cos()sin()3cos()sin()3cos()tan()3377777772022681sin()cos()sin()cos()sin()cos()tan()17777777a a πππππππαααααααπππππππααααααα++-+++++++++====+--+--++++++， 故要证的等式成立．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．【考点6 角的灵活拆分问题】【例6】已知1sin 3β=，sin()1αβ+=，求sin(23)αβ+的值． 【分析】由已知sin()1αβ+=，得22k παβπ+=+，再将2αβ+化为2()αββ++，利用三角函数的诱导公式求解．【答案】解：sin()1αβ+=，22k παβπ∴+=+． 又1sin 3β=， 1sin(23)sin[2()]sin 3αβαβββ∴+=++=-=-． 【点睛】本题考查了三角函数求值，利用整体代入是常用的技巧，是基础题．【变式6-1】已知3cos(75)5α︒+=，且75α︒+是第四象限角，求cos(105)sin(105)sin(15)ααα︒-+-︒+︒-的值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(75)α︒+的值，利用诱导公式即可化简求值． 【答案】解：3cos(75)5α︒+=，且75α︒+是第四象限角，4sin(75)5α∴︒+=-， cos(105)sin(105)sin(15)ααα∴︒-+-︒+︒-cos(75180)sin(75180)sin(7590)ααα=︒+-︒++︒-︒-︒+-︒cos(75)sin(75)cos(75)ααα=-︒+-+︒+︒+343()555=---+ 45=． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式的综合应用，属于基础题．【变式6-2】已知1cos(55)3α-︒=-，且α为第四象限角，求sin(125)α+︒的值． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin(55)α-︒的值，再利用诱导公式求得sin(125)α+︒的值．【答案】解：1cos(55)3α-︒=-，且α为第四象限角，55α∴-︒为第三象限角，sin(55)3α∴-︒==-．sin(125)sin(55180)sin(55)ααα∴+︒=-︒+︒=--︒= 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．【变式6-3】（2019秋•秀屿区校级月考）(1，3班做）已知1sin()43πα-=，则5cos()4πα+的值等于( )A ．13-B ．13 C ．3- D ．3【分析】直接对函数的关系式利用诱导公式变换求出结果． 【答案】解：已知1sin()43πα-=， 故：5cos()cos[()]cos()sin[()]44424πππππαπααα+=++=-+=--+1sin()sin()443ππαα=--=-=．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数诱导公式的应用及相关的运算问题．。
高中数学 三角函数诱导公式(带答案)
习题精炼一、选择题1、下列各式不正确的是 （ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．32 m3、⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于（ ） A ．21B ． 21-C ．23 D ． 23-4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ C ）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ5．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－66、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．437．设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 （ ）A ．211aa ++ B ．－211aa ++ C ．211aa +-D ．211aa +-8．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα二、填空题1、求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）= ．2、若sin （125°－α）=1213,则sin （α＋55°）=．3、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 = ．4、已知,1)sin(=+βα则=+++)32sin()2sin(βαβα .三、解答题1、已知 3)tan(=+απ, 求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．2、若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．3、设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π<⎧=⎨-+≥⎩和1cos ,()2()1(1)1,()2x x g x g x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩求)43()65()31()41(f g f g +++的值.4．设)(x f 满足)2|(|cos sin 4)(sin 3)sin (π≤⋅=+-x xx x f x f ,（１） 求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的最大值．《诱导公式》参考答案一、选择题ABAC BABC二、填空题1、1．2、1312．3、0．4、0三、解答题1、7．2、25．3、22)41(=g ， 5312()1,()s i n ()1,6233g f π=+=-+ 1)4sin()43(+-=πf ， 故原式=3．4、解析：（１）由已知等式(sin )3(sin )4sin cos f x f x x x -+=⋅ ①得x x x f x f cos sin 4)sin (3)(sin -=-+ ② 由３⨯①－②，得8x x x f cos sin 16)(sin ⋅=，故212)(x x x f -=．（２）对01x ≤≤，将函数212)(x x x f -=的解析式变形，得2242()2(1)2f x x x x x =-=-+＝22112()24x --+，当22x =时，max 1.f =。
【新课标必修】《三角函数的诱导公式》经典例题
【例1】下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 45π 【分析】本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180º+α或（π+α），α为锐角即可．【解】（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－23； （2）sin 45π=sin(4ππ+)=－sin 4π=－22. 【例2】求下列各式的值：（1）sin(－34π)；(2)cos(－60º)－sin(－210º) 【分析】本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．【解】（1）sin(－34π)=－sin(3ππ+)=sin 3π=23； （2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=21－21=0 【例3】化简：（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-； （2）sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-。
【解析】（1）原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-； （2）①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-。
②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+。
【小结】关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。
考点06 诱导公式及恒等变换(新高考地区专用)(解析版)
考点06 诱导公式及恒等变换一．三角函数的诱导公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β三．二倍角公式（1）sin 2α＝2sin αcos α ↔12sin 2α＝sin αcos α （2）cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α 222212cos 1cos2cos 1cos 2212sin 1cos 2sin 1c =22=os α⇔αααααααα⇔＋＝（＋）－＝（－）（3）tan 2α＝2tan α1－tan 2α知识理解考向一 诱导公式【例1】（2020·四川射洪中学高三月考（理））已知角α的终边经过点()12,5P -. （1）求sin α，cos α；（2）求()()()()cos 2cos 2sin 2cos f παπααπαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+-的值. 【答案】（1）5sin 13α=-，12cos 13α=；（2）2919. 【解析】（1）由题意可得：13OP =，由角的终边上的点的性质可得5sin 13α=-，12cos 13α=； （2）由（1）可知5sin 13α=-，12cos 13α=，再结合诱导公式得：()()()()512cos 2cos 2sin 2cos 21313512sin 2cos sin 2cos 213121399f παπααααπαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭====-+-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2919f α=【举一反三】考向分析1．（2020·全国高三专题练习）化简：3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-. 【答案】cos α-.【解析】3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-cos sin cos sin cos sin sin ααααααα-⨯=⨯cos α=-. 2．（2020·全国高三专题练习）若角α的终边上有一点(),8P m -，且3cos 5α=-. （1）求m 的值；（2）求()()()sin cos 2tan cos ππαααπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---的值.【答案】（1）6-；（2）45. 【解析】（1）点P 到原点的距离为r ==根据三角函数的概念可得3cos 5α==-，解得6m =-，6m =（舍去）.（2）原式()()()sin cos (sin )(sin )2sin tan cos (tan )cos ππααααααπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-----，由（1）可得10r ==，84sin 5r α-==-，所以原式4sin 5α=-=. 3．（2020·全国高三专题练习）已知角α的终边经过点1(,33P -- （1）求sin ,cos ,tan ααα的值；（25sin(3)2cos()ππαα-++ 【答案】（1）1sin ,tan 3ααα==-=2） 【解析】（1）由题意角α的终边经过点1(,3P -，可得1r OP ==，根据三角函数的定义，可得1sin ,tan 33ααα=-=-=. （25sin(3)2cos()ππαα-++=tan (14α===-⨯=. 考向二 恒等变化【例2】（1）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）cos80cos130sin80sin130︒︒-︒︒等于（ ） A． B ．12-C ．12D（2）（2020·甘肃高二单元测试）sin15︒=( ) ABCD（3）（2019·广东华南师大附中高三月考（理））若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】（1）A （2）C （3）B【解析】（1）cos80cos130sin80sin130︒︒-︒︒()cos 80130cos 210=+= ()cos 18030=+cos30=-=-.故选：A （2）∈154530︒=︒-︒，∈()1sin15sin 4530sin45cos30cos45sin302︒=︒-︒=︒︒-︒︒==C ． （3）由tan tantan 14tan 41tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+== ⎪-⎝⎭-⋅， 又1tan 2α=，原式1+1tan 12=311tan 1-2αα+==-.故选：B. 【举一反三】1．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（ ） A． B ．12-C ．12D【答案】C【解析】1sin160cos10cos 20sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒==。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.【考点】同角三角函数的关系2.设，向量，若，则______.【答案】【解析】因为，所以，即，所以；因为，所以，故，所以，故答案为.【考点】共线定理；三角恒等变换.3.已知sin(π－α)＝log，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．8【答案】【解析】sin(π－α)＝sin α＝log＝－，8又α ∈，得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4. sin6000等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故D正确.【考点】诱导公式.5. [2014·滨州模拟]sin600°＋tan240°的值等于()A．－B．C．－D．＋【答案】B【解析】sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝，选B项．6.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．7.的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】同角三角函数．8.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．9.已知，则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数同角公式，二倍角的正弦公式.10.已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cosθ＝－，则sinθ＝____________，tanθ＝____________．【答案】－，【解析】cosθ＝＝－，解得x＝sinθ＝＝－，tanθ＝11.已知cos(-α)=,则sin(α-)等于()A．B．-C．D．-【答案】B【解析】∵sin(α-)=-sin(-α)=-sin(+-α)=-cos(-α),而cos(-α)=,∴-cos(-α)=-,故sin(α-)=-.12.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于()A．-2B．2C．-2或2D．0【答案】D【解析】原式=+,由题意知角α的终边在第二、四象限,sinα与cosα的符号相反,所以原式=0.13.已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x.求sinα+的值.【答案】【解析】【思路点拨】利用三角函数定义先确定P到原点的距离r,再代入三角函数公式可解. 解:∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=,又cosα=x,∴cosα==x.∵x≠0,∴x=±,∴r=2.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,有sinα=-,=-,∴sinα+=--=-;当x=-时,同理可求得sinα+=.14.设sin＝，则sin 2θ＝()A．－B．－C．D．【答案】A【解析】因为sin＝，即sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＋cos θ＝，两边平方得1＋2sin θcos θ＝，所以sin 2θ＝－.15.若tan θ＋＝4，则sin 2θ的值 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由tan θ＋＝4，得＝4，∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝.16.已知sin x＝，x∈，则tan＝______.【答案】－3【解析】∵sin x＝，x∈，∴cos x＝－.∴tan x＝－.∴tan＝＝－3.17.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于()．A．B．C．－D．－【答案】C【解析】∵sin α＋2cos α＝，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝＝－.18.若sin＝，则sin＝______.【答案】-【解析】sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－.19.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础图.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为.【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.20.已知，，则的值是 .【答案】【解析】先由，结合的范围，求出，再利用两角和的正切公式可得．【考点】已知一个三角函数值，求其他三角函数值；两角和的正切公式．21.若3cos ＋cos (π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin 2θ的值是______．【答案】【解析】∵3cos ＋cos (π＋θ)＝0，即3sin θ－cosθ＝0，即tanθ＝.∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝=22.在△ABC中，a=15，b=10，A=60o，则cosB= 。
专题48 高中数学诱导公式二、三、四(解析版)
专题48 诱导公式二、三、四1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα；cos(π＋α)＝－cosα；tan(π＋α)＝tanα.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα；cos(－α)＝cosα；tan(－α)＝－tanα.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sinα；cos(π－α)＝－cosα；tan(π－α)＝－tanα.4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．5．四组诱导公式的记忆四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.6．四组诱导公式的作用公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角；公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.题型一 给角求值问题1．求下列各三角函数值：(1)sin 1320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(3)tan(－945°)；(4) tan ⎝⎛⎭⎫－4π3 ；(5) (5)sin 2π3 ；(6) cos ⎝⎛⎭⎫－7π6 [解析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. (4)tan ⎝⎛⎭⎫－4π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋2π3＝tan 2π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－tan π3＝－ 3. (5)sin2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32. (6)cos ⎝⎛⎭⎫－7π6＝cos 7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 2．求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6.[解析] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32. (2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. 3．计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)． (3)tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5；(4)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.(5)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．[解析](1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0.(3)原式＝tan π5＋tan 2π5＋tan ⎝⎛⎭⎫π－2π5＋tan ⎝⎛⎭⎫π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0. (4)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－32－cos45°－tan45° ＝－32－22－1＝－2＋3＋22.(5)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°) ＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝32×32＋12×12＝1. 4．利用公式求下列三角函数值： (1)cos476π；(2)tan(－855°)；(3)sin(－945°)＋cos(－296π)；(4)tan 34π＋sin 116π. [解析] (1)cos476π＝cos(116π＋6π)＝cos 116π＝cos(2π－π6)＝cos π6＝32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°) ＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π－5π6＝sin(－225°)＋cos ⎝⎛⎭⎫－5π6 ＝－sin(180°＋45°)＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin 45°－cos π6＝22－32＝2－32. (4)原式＝tan(π－π4)＋sin(2π－π6)＝－tan π4－sin π6＝－1－12＝－32.5．求下列各三角函数值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(2)tan(－765°)；(3)sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4. [解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°)＝－tan 45°＝－1. (3)sin4π3·cos 25π6·tan 5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－sin π3cos π6tan π4＝－32×32×1＝－34. 6．求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin8π3cos 31π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. [解析] (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π4＝sin 2π3cos 7π6＋tan π4 ＝sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6＋tan π4＝32×⎝⎛⎭⎫－32＋1＝14. 7．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°.[解析]原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°) ＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45°＝32×32＋12×12－1＝0. 8．cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于________． [解析]原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°－(－sin 30°)＝－2222＋12＝2－2. 9．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是[解析]因为sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝12，sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝22，sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12，cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22，所以原式＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＋2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－222＝14＋12－1＋12＝14.10．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为 [解析]由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.11．设sin 160°＝a ，则cos 340°的值是( )A ．1－a 2 B.1－a 2 C ．－1－a 2D ．±1－a 2[解析]因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2. 12．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b[解析]a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .13．已知f (x )＝⎩⎨⎧sin πx (x ＜0)，f (x －1)－1(x ＞0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [解析] f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12， f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫116－1－1＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫56－1－2＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝12－52＝－2. 14．若f (n )＝sinn π3(n ∈Z)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝________． [解析]f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin7π3＝sin π3＝f (1)，f (8)＝f (2)，…， 因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋336×0＝32. 题型二 给值(式)求值问题1．若cos(π＋α)＝－13，则cos α的值为[解析] cos(π＋α)＝－cos α，所以cos α＝13.2．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32D ．－32[解析]由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)． 3．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )A ．－1213 B.1213 C ．±1213D.512[解析]由cos(α－π)＝－513，得cos α＝513.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213.4．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35[解析]因为cos(π－α)＝－cos α，所以cos α＝35.因为α是第一象限角，所以sin α>0.所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45. 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α等于 [解析]因为tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α，所以tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝________． 【解析】)cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝________. [解析]cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝________. [解析])因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.9．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是[解析] 因为sin α＝35且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(π＋α)＝tan α＝－34.10．已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；[解析]∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 11．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是[解析]因为sin(π＋α)＝－sin α＝35，所以sin α＝－35.又α是第四象限角，所以cos α＝45，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45.12．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是[解析]∵sin(π＋α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝35.又∵cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cos α＝3513．若cos(2π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin(π－α)＝ [解析]因为cos(2π－α)＝cos α＝53，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－23， 所以sin(π－α)＝sin α＝－23.14．若sin(π＋α)＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(π－α)等于 [解析]因为sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos α>0， 所以cos α＝1－sin 2α2＝32.所以tan α＝sin αcos α＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tan α＝33.15．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m ，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于 [解析] 因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin α＝－m ，所以sin α＝m 2，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .16．已知sin 5π7＝m ，则cos 2π7＝________.[解析] 因为sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7＝sin 2π7＝m ，且2π7∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2π7＝1－m 2.17．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于 [解析]sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m ，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12＝m 2－12.18．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[解析] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223. 19．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为 [解析]sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32. 20．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.[解析]由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 21．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为 [解析]∵tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝－tan(6π＋π－α)＝－tan(π－α)＝tan α＝－34，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，且tan α＜0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＞0，cos α＜0. 又∵tan α＝sin αcos α＝－34， ①而sin 2α＋cos 2α＝1, ②由①②，解得⎩⎨⎧sin α＝35，cos α＝－45.∴sin α＋cos α＝35－45＝－15.22．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋7，α，β均为实数，若f (2 018)＝8，则f (2 019)的值为________． [解析]因为f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋7＝a sin α＋b cos β＋7， 所以a sin α＋b cos β＋7＝8，所以a sin α＋b cos β＝1，又f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019 π＋β)＋7＝－a sin α－b cos β＋7＝－1＋7＝6. 所以f (2 019)＝6.题型三 化简求值问题1．以下四种化简过程，其中正确的有( )①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°； ③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析]由诱导公式一知①正确；由诱导公式四知②错误；由诱导公式二知③错误；由诱导公式三知④错误．[答案] B2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是[解析]原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2. 3．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为 [解析]∵原式＝sin 2α－(－cos α·cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝24．设f (α)＝2sin （2π－α）cos （2π＋α）－cos （－α）1＋sin 2α＋sin （2π＋α）－cos 2（4π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－236π的值为 [解析]f (α)＝2sin （－α）cos α－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝－cos α（2sin α＋1）sin α（2sin α＋1）＝－1tan α.所以f ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan π6＝－ 3. 5．化简(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α.[解析] (1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)＝sin (180°＋α)·cos αtan α＝－sin α·cos αtan α＝－cos 2α.(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α＝sin α(－cos α)cos αtan α＝－cos α.6．化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(3)sin (1 440°＋α)·cos (1 080°－α)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). [解析] (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝(－tan α)sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝tan α·sin α·cos α－cos α·sin α＝－tan α.(3)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.7．化简下列各式． (1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). (3)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ).[解析] (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin30°－tan45°＝12.(3)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ＝－cos θ.8．已知tan(π＋α)＝－12，则2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)＝________.[解析]tan(π＋α)＝－12，则tan α＝－12，原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.9．已知tan(π＋α)＝3，求2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （－α）＋sin （2π－α）的值．[解析]因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3. 故2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （－α）＋sin （2π－α）＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.10．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值：(1)2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)；(2)sin(α－7π)cos(α＋5π)． [解析]由tan(π＋α)＝－12，得tan α＝－12.(1)原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.(2)原式＝sin(－6π＋α－π)cos(4π＋α＋π)＝sin(α－π)cos(α＋π)＝－sin α(－cos α) ＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 11．2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________． [解析]2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ)＝sin 2θ－2sin θ＋1＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.12．2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________．[解析]原式＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ)＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.13．化简：1＋2sin (π－2)·cos (π－2)＝________.[解析]1＋2sin (π－2)·cos (π－2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|，因2弧度在第二象限，故sin2>0>cos2，所以原式＝sin2－cos2.14．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝________. [解析]因为sin(α＋π)＝－sin α＝45，且sin αcos α＜0， 所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43， 所以2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73. 15．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为 [解析]由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ，∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin (3π－α)－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1. 16．已知tan(7π＋α)＝2，求2cos (π－α)－3sin (3π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值． [解析]∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，∴2cos (π－α)－3sin (3π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×24－2＝2. 17．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sin （π－α）＋5cos （2π＋α）3cos （π－α）－sin （－α）＝－35. [解析]因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sin α＝2cos α，所以sin α＝－2cos α.所以左边＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝3cos α－5cos α＝－35＝右边，所以原式得证． 18．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． [解析] (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12. 19．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．sin(α－2π)＝sin βC ．cos α＝cos βD ．cos(2π－α)＝－cos β[解析]由α和β的终边关于x 轴对称，故β＝－α＋2k π(k ∈Z)，故cos α＝cos β.[答案] C20．在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[解析]①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin [2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin [2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos [2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos [2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C .故选B.21．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[解析]由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π. 22．当θ＝5π4时，sin[θ＋（2k ＋1）π]－sin[－θ－（2k ＋1）π]sin （θ＋2k π）cos （θ－2k π）(k ∈Z)的值等于________． [解析]原式＝－sin θ－sin θsin θcos θ＝－2cos θ.当θ＝5π4时，原式＝－2cos 5π4＝2 2. 23．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3.其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( ) A ．①②B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤ [解析]①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3； ②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3； ③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3； ④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3； ⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 24．设k 为整数，化简：(1)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α); (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°；(3)sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3cos ⎝⎛⎭⎫k π＋4π3(k ∈Z)． [解析]法一：(分类讨论)当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z)，则原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1； 当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2k π，故cos [(k －1)π－α]＝cos [(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)，sin [(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)， sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．所以原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)]－sin (k π＋α)cos (k π＋α)＝－1. (2)原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70° ＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70° cos 70°－sin 70°＝－1. (3)当k 为偶数时，原式＝sin 2π3cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3cos π3＝－34. 当k 为奇数时，原式＝sin 2π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3cos π3＝34. 25．化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z)． [解析]当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α.当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α. 所以原式＝⎩⎨⎧ 2cos α(n 为偶数)，－2cos α(n 为奇数).26．已知函数f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )，且f (m )＝2，试求f (－m )的值． [解析]因为f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ， 又因为f (－x )＝－6cos (－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ＝f (x )， 所以f (－m )＝f (m )＝2.27．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22， 求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． [解析]由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝2＋224＋22＝22. 故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.。
高二数学诱导公式1
5
2
解： 因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
cot c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
求 cot( 11 ) 的值
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角 的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角 的终边所在的象限
是
.
3.角 的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos
2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
（三）例题分析：
例1．化简: sin( ) cos( )
4
4
解：原式
sin(
)
cos[
( )]
424ຫໍສະໝຸດ sin( ) sin( ) 0
4
4
（三）例题分析：
例2．化简: tan (cos sin ) sin tan
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三角函数的诱导公式（1）例题解析
一、重点、难点剖析
会借助于单位圆推导正弦、余弦的诱导公式，诱导公式二、三、四的推导都体现了对称思想，其中公式二直接对应着三角函数的奇偶性，正确运用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并能解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题，初步掌握从未知到已知、复杂到简单的转化过程。
二、典型例题
例1、已知παπαπ22
321)cos(<<-=+，．求：)2sin(απ-的值． 解：已知条件即2
1cos =α，又παπ223<<， 所以：)cos 1(sin )2sin(2αααπ---=-=-=2
3)21(12=- 说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角α的范围，因此，α的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据α的范围确定三角函数的符号．
例2、已知()()7
11sin 2sin 21=--++θθπ，求()()πθπθ--cos tan 的值。
解：()()7
11sin 2sin 21=--++θθπ 711sin 2sin 21=+-∴θθ 53sin -=∴θ ()()()5
3sin cos tan cos tan =-=-=--∴θθθπθπθ 例3、若函数())
cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223x x x x x x f -++++---+-=πππ， （1）求证：()x f y =是偶函数；
（2）求f (3
π)的值． 解：（1）x
x x x x x f cos cos 221cos 2sin cos 2)(223++++-= =x
x x x x cos cos 221cos 2)cos 1(cos 2223++++-- =x x x x x cos cos 22cos 2cos cos 2223++++ =x x x x x x cos 2
cos cos 2)2cos cos 2(cos 22=++++ 即()()R x x x f ∈=,cos 则()()x f x x x f ==-=-cos )cos(，()x f y =∴是偶函数。
（2）f (3
π)=21 例4、已知cos 32=
β，角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，求cos ()βα32-的值． 解：因为角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，所以：βα-=)(22Z k k ∈+ππ
，
于是 2（βα-）=)(4πππ∈+k k 从而 ，)(432Z k k ∈++-=-ππββα 所以 ]4)cos[()32cos(πβπβαk +-=-=)cos(βπ-=βcos -=32- 说明：本题求解中，通过对角βα-的终边在y 轴的非负半轴上的分析而得的βα-=)(22Z k k ∈+ππ
，还不能马上将未知与已知沟通起来．然而，当我们通过观察，分析
角βα32-的结构特征，并将它表示为2（βα-）β-后，再将βα-=
ππ
k 22+代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍。