数学物理方法习题
物理数学物理法专项习题及答案解析及解析
物理数学物理法专项习题及答案解析及解析一、数学物理法1．如图所示，在竖直分界线MN 的左侧有垂直纸面的匀强磁场，竖直屏与MN 之间有方向向上的匀强电场。
在O 处有两个带正电的小球A 和B ，两小球间不发生电荷转移。
若在两小球间放置一个被压缩且锁定的小型弹簧（不计弹簧长度），解锁弹簧后，两小球均获得沿水平方向的速度。
已知小球B 的质量是小球A 的1n 倍，电荷量是小球A 的2n 倍。
若测得小球A 在磁场中运动的半径为r ，小球B 击中屏的位置的竖直偏转位移也等于r 。
两小球重力均不计。
(1)将两球位置互换，解锁弹簧后，小球B 在磁场中运动，求两球在磁场中运动半径之比、时间之比；(2)若A 小球向左运动求A 、B 两小球打在屏上的位置之间的距离。
【答案】(1)2n ，21n n ；(2)123rr n n -【解析】 【详解】(1)两小球静止反向弹开过程，系统动量守恒有A 1B mv n mv =①小球A 、B 在磁场中做圆周运动，分别有2A A A mv qv B r =，21B2B Bn mv n qv B r =②解①②式得A2Br n r = 磁场运动周期分别为A 2πmT qB=，1B 22πn m T n qB =解得运动时间之比为AA2B B 122T t n T t n == (2)如图所示，小球A 经圆周运动后，在电场中做类平抛运动。
水平方向有A A L v t =③竖直方向有2A A A 12y a t =④ 由牛顿第二定律得A qE ma =⑤解③④⑤式得2A A()2qE L y m v =⑥ 小球B 在电场中做类平抛运动，同理有22B 1B()2n qE L y n m v =⑦ 由题意知B y r =⑧应用几何关系得B A 2y y r y ∆=+-⑨解①⑥⑦⑧⑨式得123r y r n n ∆=-2．质量为M 的木楔倾角为θ (θ < 45°)，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．当用与木楔斜面成α角的力F 拉木块，木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)．(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）min sin 2F mg θ= （2）1sin 42mg θ 【解析】 【分析】（1）对物块进行受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，在沿斜面和垂直斜面两方向列方程，进行求解．（2）采用整体法，对整体受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，分解为水平和竖直两方向列方程，进行求解． 【详解】木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin mgcos θμθ＝，即tan μθ＝ (1)木块在力F 的作用下沿斜面向上匀速运动，则：Fcos mgsin f αθ＝＋N Fsin F mgcos αθ＋＝N f F μ＝联立解得：()2mgsin F cos θθα=-则当＝αθ时，F 有最小值，2min F mgsin ＝θ(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F 的水平分力，即()f Fcos αθ='+当＝αθ时，12242f mgsin cos mgsin θθθ='= 【点睛】木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含动摩擦因数的值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，求出外力F 的表达式，讨论F 取最小值的条件．3．一玩具厂家设计了一款玩具，模型如下．游戏时玩家把压缩的弹簧释放后使得质量m ＝0.2kg 的小弹丸A 获得动能，弹丸A 再经过半径R 0=0.1m 的光滑半圆轨道后水平进入光滑水平平台，与静止的相同的小弹丸B 发生碰撞，并在粘性物质作用下合为一体．然后从平台O 点水平抛出，落于水平地面上设定的得分区域．已知压缩弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，距离抛出点正下方O 点右方0.4m 处的M 点为得分最大值处，小弹丸均看作质点．(1)要使得分最大，玩家释放弹簧时的弹性势能应为多少?(2)得分最大时，小弹丸A 经过圆弧最高点时对圆轨道的压力大小．(3)若半圆轨道半径R 可调(平台高度随之调节)弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，玩家要使得落地点离O 点最远，则半径应调为多少?最远距离多大? 【答案】(1)2J (2) 30N (3) 0.5m ，1m 【解析】 【分析】 【详解】(1)根据机械能守恒定律得：21p 0122E v mg R m =+⋅ A 、B 发生碰撞的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律有：mv 1=2mv 2200122gt R =x =v 2t 0解得：E p =2J(2)小弹丸A 经过圆弧最高点时，由牛顿第二定律得：21N v F mg m R+=解得：F N =30N由牛顿第三定律知：F 压=F N =30N(3)根据2p 1122E mv mg R =+⋅ mv 1=2mv 2 2R =12gt 2，x =v 2t联立解得：(2)2p E x R R mg=-⋅其中E p 最大为4J ，得 R =0.5m 时落点离O ′点最远，为：x m =1m4．如图所示，在xoy 平面内y 轴右侧有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场方向垂直纸面向外；分成I 和II 两个区域，I 区域的宽度为d ，右侧磁场II 区域还存在平行于xoy 平面的匀强电场，场强大小为E ＝22B qdm，电场方向沿y 轴正方向。
最新物理数学物理法专项习题及答案解析
最新物理数学物理法专项习题及答案解析一、数学物理法1．如图所示，在竖直边界1、2间倾斜固定一内径较小的光滑绝缘直管道，其长度为L ，上端离地面高L ，下端离地面高2L．边界1左侧有水平向右的匀强电场，场强大小为E 1（未知），边界2右侧有竖直向上的场强大小为E 2（未知）的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出）．现将质量为m 、电荷量为q 的小球从距离管上端口2L 处无初速释放，小球恰好无碰撞进入管内（即小球以平行于管道的方向进入管内），离开管道后在边界2右侧的运动轨迹为圆弧，重力加速度为g ． （1）计算E 1与E 2的比值；（2）若小球第一次过边界2后，小球运动的圆弧轨迹恰好与地面相切，计算满足条件的磁感应强度B 0；（3）若小球第一次过边界2后不落到地面上（即B >B 0），计算小球在磁场中运动到最高点时，小球在磁场中的位移与小球在磁场中运动时间的比值．（若计算结果中有非特殊角的三角函数，可以直接用三角函数表示）【答案】（131；（23(23)m gL -；（3）36gL︒【解析】 【分析】根据题意，粒子先经过电场，做匀加速直线运动，在进入管中，出来以后做匀速圆周运动，画出物体的运动轨迹，再根据相关的公式和定理即可求解。
【详解】（1）设管道与水平面的夹角为α，由几何关系得：/21sin 2L L L α-== 解得：30︒=α由题意，小球在边界1受力分析如下图所示，有：1tan mg qE α=因小球进入边界2右侧区域后的轨迹为圆弧，则有：mg ＝qE 2解得比值：E 1 ：E 2＝3：1（2）设小球刚进入边界2时速度大小为v ，由动能定理有：2113sin302cos302mg L E q L mv ︒︒⋅+⋅=联立上式解得：3v gL =设小球进入E 2后，圆弧轨迹恰好与地面相切时的轨道半径为R ，如下图，由几何关系得：cos30+2L R R ︒= 代入数据解得：(23)R L =+洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：20v qvB m R=代入数据解得：03(23)m gLB -=（3）如下图，设此时圆周运动的半径为r ，小球在磁场中运动到最高点时的位移为：2cos15S r ︒=⋅圆周运动周期为：2rT vπ=则小球运动时间为：712t T =解得比值：362cos15cos15712gL S r t T︒==︒【点睛】考察粒子在复合场中的运动。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法+吴崇试+习题解答
arg ( z
+1−i)
=
arg
⎡⎣ x
+1+
i(
y
−1)⎤⎦
=
π 2
⇔
x
+1=
0且
y
−1 >
0
。
（4） 0
<
arg (1−
z)
=
arg
⎡⎣(1 −
x)
−
iy ⎤⎦
<
π 4
⇔
0
<
−y
<1−
x；
0
<
arg (1+
z)
=
arg ⎡⎣(1+
x)
+
iy ⎤⎦
<
π 4
⇔
0
<
y
<1+
x
；
π 4
<
arg (
z
把 z 写成 ρeiϕ ，则 iz = ρei(ϕ+π 2) ，即把 z 逆时针旋转 90 度。 −z = ρei(ϕ+π ) ，即把 z 逆时针 旋转 180 度。 z = ρe−iϕ ，即 z 关于实轴的对称点。 1 = 1 eiϕ ，即 z 关于单位圆的对称点。
zρ
1 = 1 e−iϕ ，即 z 关于单位圆的对称点。 zρ
正整数；（6） z2 + 2z cos λ +1 = 0 ， 0 < λ < π 。
（1） z = ±i ；
±iπ
±iπ ±i 3π
（2） z = 2e 3 , −2 ； （3） z = ±1, ±i ； （4） z = e 4 , e 4 ；
数学物理方法习题及解答
2. 试解方程：()0,044>=+a a z44424400000,0,1,2,3,,,,i k iiz a a e z aek aez i i ππππωωωωω+=-=====--若令则1．计算：（1）iii i 524321-+-+ （2）y =（3）求复数2⎝⎭的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ(1) 原式=()()()123425310810529162525255i i i i i i +⋅+-⋅+-++=+=-+--（2） 332()102052(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式(3)2223221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,23i i i e r ππππππθπ⎛⎫==+=+==-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=-===+=±±原式所以：，3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数.(1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++-3.()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y ue x y y y e y x ue x y y y y y ve y y x y e y y x ve y y y x y yu v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+∂=-+∂∂=---∂∂=++∂∂=-+∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂=+∂'=∂证明：所以：。
由于在平面上可微所以在平面上解析。
()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x vi e x y y y e y i e y y x y e y x x∂+=-++++∂由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-=解：()()()()()()()222222222212,2,212,2,,,2112,22111,0,1,1,,221112.222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ϕϕϕϕ∂∂==+∴=++∂∂∂∂∂''=+=-=-+∴=-=-+∂∂∂⎛⎫=-+++-+ ⎪⎝⎭=-+==+==⎛⎫=-++-++ ⎪⎝⎭而即所以由知带入上式，则则解析函数2. ()21,3,,.ii i i i i e ++试求()()(((()()()2(2)Ln 144(2)4ln32Ln32ln32ln1222Ln 21cos ln sin ,0,1,2,3cos(ln 3)sin(ln 3),0,1,2,i i k k i ii i k i i k i i k i k i k i ii ii eeeei k e e e e i k i eeeππππππππππππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪-+++⎝⎭⎝⎭-++-+-⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+====+=±±====+=±±=== 解：()222,0,1,2,cos1sin1.k i i k e e e e i π⎛⎫ ⎪⎝⎭+=±±=⋅=+3. 计算 2,:122c dzc z z z =++⎰()2222220110,1,1,11,220,022z z z z i z i z c z z z c z z ++=++=+==-+=≤++≠=++解：时，而在内，故在内解析，故原式 1.计算221(1),21c z z dz c z z -+=-⎰： ()2221(2),21cz z dz c z z -+=-⎰：（1）212(21)=4 z i z z i ππ==-+解：原式 （2）2112(21)=2(41)6z z i z z i z i πππ=='=-+-=解：原式. 计算2sin()114,(1):1,(2):1,(3): 2.122c z dz c z c z c z z π+=-==-⎰其中1sin (1)sin 442.112c z z z z i i z z πππ=-⎡⎤-⎢⎥===⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎰解：(1)原式1sin (1)sin 442.11c z z z z i i z z πππ=⎡⎤+⎢⎥===⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎰(2)原式 12(3):2,1,11,.c z z z c c ===-以分别以为中心，为半径，做圆1222sinsin44.11c c z zdz dz i i i z z ππ=+=+=--⎰⎰原式 3、将下列函数按()1-z 的幂级数展开，并指明收敛范围。
物理解题方法：数学物理法习题知识点及练习题及答案
物理解题方法：数学物理法习题知识点及练习题及答案一、高中物理解题方法：数学物理法1．如图，在长方体玻璃砖内部有一半球形气泡，球心为O ，半径为R ，其平面部分与玻璃砖表面平行，球面部分与玻璃砖相切于O '点。
有－束单色光垂直玻璃砖下表面入射到气泡上的A 点，发现有一束光线垂直气泡平面从C 点射出，已知OA =32R ，光线进入气泡后第一次反射和折射的光线相互垂直，气泡内近似为真空，真空中光速为c ，求： （i ）玻璃的折射率n ；（ii ）光线从A 在气泡中多次反射到C 的时间。
【答案】（i ）3n =；（ii ）3t R c= 【解析】 【分析】 【详解】（i ）如图，作出光路图根据折射定律可得sin sin n θα=① 根据几何知识可得3sin OA R θ==② 90αθ+=︒ ③联立解得3n =玻璃的折射率为3。
（ii ）光从A 经多次反射到C 点的路程322R Rs R R R =+++=⑤ 时间st c=⑥ 得3t R c=光线从A 在气泡中多次反射到C 的时间为3R c。
2．［选修模块3-5］如图所示，玻璃砖的折射率23n =，一细光束从玻璃砖左端以入射角i 射入，光线进入玻璃砖后在上表面恰好发生全反射．求光速在玻璃砖中传播的速度v 及入射角i ．(已知光在真空中传播速度c =3.0×108 m/s ，计算结果可用三角函数表示)．【答案】83310/v m s =；3sin i =【解析】 【分析】 【详解】 根据c n v =，83310/2v m s = 全反射条件1sin C n=，解得C=600，r =300， 根据sin sin i n r =，3sin i =3．一玩具厂家设计了一款玩具，模型如下．游戏时玩家把压缩的弹簧释放后使得质量m ＝0.2kg 的小弹丸A 获得动能，弹丸A 再经过半径R 0=0.1m 的光滑半圆轨道后水平进入光滑水平平台，与静止的相同的小弹丸B 发生碰撞，并在粘性物质作用下合为一体．然后从平台O 点水平抛出，落于水平地面上设定的得分区域．已知压缩弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，距离抛出点正下方O 点右方0.4m 处的M 点为得分最大值处，小弹丸均看作质点．(1)要使得分最大，玩家释放弹簧时的弹性势能应为多少?(2)得分最大时，小弹丸A 经过圆弧最高点时对圆轨道的压力大小．(3)若半圆轨道半径R 可调(平台高度随之调节)弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，玩家要使得落地点离O 点最远，则半径应调为多少?最远距离多大? 【答案】(1)2J (2) 30N (3) 0.5m ，1m 【解析】 【分析】 【详解】(1)根据机械能守恒定律得：21p 0122E v mg R m =+⋅ A 、B 发生碰撞的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律有：mv 1=2mv 2200122gt R =x =v 2t 0 解得：E p =2J(2)小弹丸A 经过圆弧最高点时，由牛顿第二定律得：21N v F mg m R+=解得：F N =30N由牛顿第三定律知：F 压=F N =30N(3)根据2p 1122E mv mg R =+⋅ mv 1=2mv 2 2R =12gt 2， x =v 2t联立解得：(2)2p E x R R mg=-⋅其中E p 最大为4J ，得 R =0.5m 时落点离O ′点最远，为：x m =1m4．质量为m 的物块，以同一大小的初速度0v 沿不同倾角的斜面向上滑动，物块与斜面间的动摩擦因数恒定，当斜面与水平面所夹倾角θ不同时，物块沿斜面上滑至速度为0时的位移x 也不同，其x θ-关系如图所示。
数学物理方法习题
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电路练习题一、选择题（第1组）1、图示电路，求i 。
A ：1/2 A B: 1/3 A C ：3/2 A D ：2/3 A2、图示电路，求u 。
A ：2VB ：4VC ：6VD ：8V3、图示单口网络，其端口VCR 关系为:A: u =5i +3 B: u =-5i +3 C ：u =-5i -3 D: u =5i-34、图示电路，求i 。
A ：2AB ：1.5AC ：1AD ：3A5、图示电路，求i 。
A ：1AB ：9/13 AC ：1/7 AD ：2/11 A6、图示电路，问R L 能获得的最大功率。
A ：1/3 W B ：2W C ：2/9 W D ：4W7、图示稳态电路，求i 。
A ：2A B ：1AC ：3AD ：1.5Ai 4ΩR L4Ω6Ω 10Ω1H108、图示稳态电路，问电容中的储能。
A ：4J B ：2JC ：8JD ：1J9、图示电路，t < 0时处于稳态, t = 0时，开关切到a ， 当t = 5s 时，u c (t )是多少？A ：6.3VB ：5VC ：2.4VD ：3.16V10、图示电路，t < 0时处于稳态，t = 0时， 开关断开，求t = 1s 时u c (t )是多少？ A ：1.47V B ：2.94V C: 5V D ：4V11、图示电路原处于稳态，在t = 0时， 开关断开，求t = 0.1s 时的电流i (t )。
A ：1A B ：0 C ：0.358A D ：0.184 A12、图示正弦稳态电路，求i (t ) 。
A ：)452cos(2°+t A B ：)452cos(2°−t A C ：)452cos(2°−t A D ：)452cos(2°+t A13、图示正弦稳态电路中，有效值： I 是10A ，I R 是8A 。
问I c 是多少？ A ：2A B ：18A C ：6A D ：4Ai(t)1H0.5Ω2ΩA2cos 22t u c1A c (t)2A14、图示正弦稳态电路， 求电阻上的平均功率。
数学物理方法习题集
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
数学物理方法习题解答
第八章习题P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，201.长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。
解：此题的定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =⎧-=<<⎪==⎪⎪-⎧⎪<<⎪⎪⎨=⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎩⎪⎪=⎩)4()3()2()1(令(,)()()u x t X x T t =代入泛定方程(1)中得X T X aTλ''''==- 可得20T a T X X λλ''⎧+=⎨''+=⎩ (0)()0X X l ==求解关于x 本征值问题，得到本征值和本征函数()2/n l λπ= (1,2,3,n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅()sinn X x C x lπ= 将本征值代入关于t 的常微分方程，得到22220a n T T lπ''+= 其解为 ()cossin n n n n a n aT t A x B t l lππ=+ 1(,)()()cos sin sin n n n n a n a n u x t X x T t A t B t x l l l πππ∞=⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∑将u 的级数解代入初始条件(4)得到001|sin cos sin t t n n t n n a n a n a n a n u A x B t xl l l l l πππππ∞===⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑1sin 0nn n a n B x l lππ∞===∑ 0n B ∴=则1(,)cossin n n n a n u x t A t x l lππ∞=∴=∑ 根据初始条件(3)有0001000,(0),(,0)sin (),(),n n F l x x x x n T lu x A x F x l l x x x l T l π∞=-⎧<<⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩∑02()sin l n n A d l l πϕξξξ=⎰ 000000022sin ()sin x l x F l x F x n n d l d l T l l l T l l ππξξξξξξ-=+-⎰⎰ 02000022222sin cos cos x lx F l x F x l n l n n l n l T l n l n l l T l n l ππξππξξξπππ⎧⎡⎤-⎪=--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎩020022sin cos lx F x l n n n T l n l l l ππξπξξπ⎫⎪⎡⎤--⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎭000000000220()2sin cos cos cos xF l x l n x n x n x F x n x n l T n l l l T n l πππππππ⎧-⎪⎡⎤⎡⎤=---⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎩0000022cos sin cos F x l n x n x n x n n T n l l l ππππππ⎫⎡⎤---+⎬⎢⎥⎣⎦⎭ 002221sin F l n x T n lππ=∴ 00221121(,)cos sin sin cos sin n n n F l n x n a n n a n u x t A t x t x l l T n l l l ππππππ∞∞==∴==∑∑2.求解细杆热传导问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20/)(l x l bx u t -==。
数学物理方法_汪德新答案
⎪ ⎪ a rc ta n
y
+ 2π ，
z在
第
IV象
限
⎩
x
6. 设 b
< 1,
a
=
1,
试证明
a−b 1− a∗b
=1
解 ： 以 a = 1乘 分 母 ， 得
. a−b 1 − a∗b
=
a−b a 1 − a∗b
=
a−b a − aa∗b
=
a−b a−b
=1
7.设复数
z1,
z2 ,
z3满足
z2 z3
− −
z1 z1
=
z1 − z3 ，试证 z2 − z3
z2 − z1
=
z3 − z1
=
z2 − z3
解 令分式等于 C.若 C=0，则 z1 = z2 = z3 ，结论得证；若 C ≠ 0
c = 1 只要证明
即可。原式取模，得 z1 − z3 2 = z2 − z1 z2 − z3
①
原式两边分别减 1 通分后取模得 z2 − z3 2 = z1 − z2 z3 − z1
2
2
取对数整理后可得
n>- lnε . ln 2
今取N=- lnε ，当n > N (ε )时 ln 2
即可满足上述要求。按极限的定义，即有
lim（
n→∞
1+i 2
）n
=
0
11.求下列序列的聚点和极限。
（1）zn =（3+4i）n 6
（2）zn
=（−1）n n 2n +1
（3）zn
=
in−1 n
(4)zn =（−1）n 1 2n +1
数学物理方法题目
2 5
3 5
51、求解 ⎪ ⎨
⎧ ∇ 2u = 0
2
( r < a, 0 < θ < π )
⎪ ⎩u r = a = cos θ , u r →0 = 有限值
(0 < θ < π )
。
⎧ ∇ 2u = 0 ( r > a, 0 < θ < π ) ⎪ 52、求解 ⎨ 。 2 ⎪ ⎩u r = a = cos θ , u r →0 = 有限值 ( 0 < θ < π )
i
b．证明 ∫i
2+i
dz ≤ 2 积分路径是直线段。 z2
10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中 c 均为圆心在原点， 半径为 1的单位圆周。 a． v ∫c
e z dz dz ； b． v ∫c z 2 + 5z + 6 。 cos z 2z2 − z +1 v ∫ c z − 1 dz ez z
z ( z + 1)
2
z −1
2
； （2） cos
1 1 ； （3） 。 z +i sin z + cos z
1 − ez 在孤立奇点处的留数。 23、求 f ( z ) = 1 + ez
24、求下列函数在指定点处的留数。
3
1 − e2 z （1） 在 z = ±1, ∞ ； （2） 4 在 z = 0, ∞ 。 2 z ( z − 1)( z + 1)
u t =0 = ρ 2 − R 2 ，求此物体的温度分布随时间的变化规律。 （无限长
→ u 与 ϕ 无关）
58、圆柱体半径为 R 而高为 H ，上底面保持温度 u1 ，下底面保持温度
数学物理方法习题
数学物理方法习题一、 复变函数1、 填空题（1）函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。
（2）ln1=_________. (3)=ix e _________。
（4）求积分 dz zzz ⎰=12sin =______ . (5) 求积分=⎰=1cos z dz zz_________。
(6)设级数为∑∞=1n nnz ,求级数的收敛半径_______________。
(7).设级数为)211nn n n zz +∑∞=（ ,求级数的收敛区域_________。
(8)求积分⎰=1z zdz=___________.(9) 求积分⎰=1z zdz=____________. （10）设f (z)=9cos z z, 求Resf (0)= _________。
2、计算题（1）导出极坐标下的C- R 条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11(2) 己知解析函数的实部u(虚部v)，求此解析函数：a 、,cos x eu y-= b 、22y x yv +-=c 、()y y y x e v xsin cos +=-（3）设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f (z) 的模∣f (z)∣为常数，证明 f (z) 在D 内为常数。
(4) 设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f *(z)也是区域D 内的解析函数，则f (z)必常数。
(5) 求函数 f (z)=)1(12-+z z z 在下列区域 ⅰ) 0<∣z ∣< 1； ⅱ) 1<∣z ∣<∞ 的Laurent 展开。
(6)求出下列函数的奇点,并确定它们的类别a 、zz cos sin 1+ b 、zz e 1-c 、nnz z +12 n 为正整数.(7) 求下列积分a 、,)1(sin 02dx x x x⎰∞+b 、⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-222sin z dzz zπc 、b 且a b a dx x bxax ≠≥≥-⎰∞,0,0,cos cos 02d 、 ⎰∞++022sin cos dx a x xx x a ω(二) 积分变换1、填空题（1）函数f (t) 的Fourier 变换的像函数为()()0ωωδω-=F ， 求f (t)=____________。
专题40 数学物理方法(原卷版)
2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题40 数学物理方法【特训典例】一、辅助角公式求极值1．如图所示，绝缘的水平面上有一质量为0.1kg的带电物体，物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.75，物体恰能在水平向左的匀强电场中向右匀速运动，电场强度E=1×103N/C，g取10m/s2。
则下列说法正确的是（）A．物体带正电B．物体所带的电荷量绝对值为4⨯7.510CC．若使物体向右加速运动，则电场方向应变为斜向左下方且与水平方向成37°角D．若使物体向右加速运动，则加速度的最大值为1.25m/s22．如图，斜面的倾角为30︒，固定在水平面上，将一质量为m的小滑块轻轻的放在斜面上，物体匀速下滑。
现为了使物体匀速上滑，给物体施加一竖直平面内的拉力F。
重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A ．若拉力F 平行于斜面向上，则拉力F 大小为mgB ．拉力F 的最小值为0.5mgC ．如施加的拉力F 为水平方向，把斜面的倾角改为70︒时，无论多大的力，都无法使物体匀速上滑D ．如施加的拉力F 为水平方向，把斜面的倾角改为50︒时，无论多大的力，都无法使物体匀速上滑 3．2022年10月网上一保安用绳子轻松溜石头的视频火了如图所示，石头在保安的拉动下做滚动，石头的运动过程可以简化成匀速运动。
设石头的质量为m ，拉动时石头与地面的动摩擦系数为μ，绳子（质量不计）对石头的拉力大小为F 、与水平方向的夹角为θ。
下列有关说法正确的是（ ）A ．石头受重力、地面的支持力、绳子的拉力B ．石头受到沿水平方向的摩擦力大小为F cos θC ．石头对地面的压力为sin mg F θ-D ．当tan θ=μ时，绳子的拉力最小二、一元二次方程配方法求极值4．内燃机研发小组通过汽缸传感器，调节汽缸内一定质量的封闭气体的压强与体积，其关系如图所示，在p —V 图像中AB 是一条直线，已知A 状态时汽缸内气体温度为27℃，标准大气压强p 0=1×105Pa ，气体由状态A 到状态B 的过程中，汽缸内气体的最高温度设为T ，外界向汽缸传递的热量为Q ，下列说法正确的是（ ）A ．T =468.75K ，750J Q =-B ．T =375K ，750J Q =-C ．T =468.75K ，750J Q =D ．T =375K ，750J Q =5．一不可伸长的轻绳上端悬挂于横梁O 点，另一端系有质量为m 的小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为α的A 点由静止释放，运动到O 点的正下方时绳被烧断，小球做平抛运动，已知O 点离地高度为H ，绳长为L ，重力加速度大小为g ，不计空气阻力影响，下列说法正确的是（ ）A ．小球刚摆到最低点时所受绳子的拉力大小为()32cos mg α-B ．小球刚摆到最低点时处于失重状态C ．若夹角α不变，当2H L =时，落点距O 点的水平距离最远 D ．若夹角α不变，当3H L =时，落点距O 点的水平距离最远 6．质量分布均匀、长度为L 且不可伸长的链条位于光滑水平桌面上，一端位于光滑桌面的边缘，由于微小扰动便开始沿桌面下滑，重力加速度为g 。
数学物理方法习题
第一章 分离变量法1、求解定解问题：200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。
[定解问题为 220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。
数学物理方法习题
z z c ( 0为复常数, c为实常数 )
四川大学数学学院 邓瑾
第二章习题
6. 求下列函数的解析区域: (1)
f ( z ) xy iy
16. cos z在哪些曲线上取实数值. 17. 求下列各值:
(1) Ln( 1), ln( 1); Lni , ln i; L(3 2i ), ln( 2 i ) (2) 1 2 , ( 2) 2 , 2i , (3 4i )1 i (3) cos(2 i ), sin 2i
e d z , 并证明 z
z
0
14. 求积分
6
e cos cos(sin )d .
(1 z
C
z2
2 2
)
dz , 其中C为包围 i 且位于上半
平面的围线.
四川大学数学学院 邓瑾
四川大学数学学院 邓瑾
20. 求解析函数 f ( z ) u iv, 使其分别满足下列条件:
1 sin( n 1 2 ) 1 2 2sin k 1 2 n cos( n 1 1 2 ) (2) sin k cot 2 1 2 2sin k 1 2 (1) cos k
n
0 .
3. 利用复数的三角式或指数式计算下列各题:
(1) i (1 3i )( 3 i ); (2) ( 3 i )3 ; (3) 3 1 i
一、必做题 5i 1. 计算 2 3i 2. 用三角式及指数式表示下列复数,并求辐角一般值:
z 2 2i; z 3i; z 1 cos i sin
第一章习题
二、选做题 5. 如果是1的立方根的一个复根,求证: 1 2 0. 7. 用复数的指数式证明下列等式:
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3，1+解：代数式即：1z =+；2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
7，1i 1i-+解：21i (1i)2i i 1i(1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin22z i ππ=+；指数式：322i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2，解：将被开方的i 用指数式表示：22ei k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈ 。
那么2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈ 。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++ 解：因为，cos R e (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos R e R e R e R e (1)R e R e 1cos cos(1)sin sin(1)R e 1cos sin 222sin sin cos 222R e 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e eeee e eeeee n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭= 222(1)2sin 2R e sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222R e sin sin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
数学物理方法考试试题
数学物理方法考试试题一、选择题1. 在坐标系中，以下哪个曲线表示了函数 y = e^x 的图像？A. y = x^2B. y = eC. y = e^(-x)D. y = ln(x)2. 一个小球从地面上方以速度 v0 抛下，忽略空气阻力。
以下哪个公式正确地描述了小球的下降高度 h(t) 随时间变化的关系？A. h(t) = v0 * t - 0.5 * g * t^2B. h(t) = v0 * t + 0.5 * g * t^2C. h(t) = v0 * t + g * t^2D. h(t) = v0 * t - g * t^23. 空间中有一个电场 E = 2x i + 3y j + 4z k。
一个电子从点 (1, 2, 3) 处开始沿电场方向运动，电子的加速度大小是多少？A. 7B. 5C. 6D. 44. 一个质点在平面上做匀速圆周运动，其角速度大小为 2 rad/s。
质点的速度大小和圆周半径分别是多少？A. v = 2rB. v = 4rC. v = 6rD. v = 8r5. 一辆汽车以匀加速度 a 行驶，在时刻 t1 时起动，时刻 t2 时速度为 v2。
以下哪个公式可以用于计算汽车在时间区间 [t1, t2] 内行驶的距离？A. s = v2 - v1B. s = a * (t2 - t1)C. s = v1 * (t2 - t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2D. s = v1 * (t2 + t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2二、计算题1. 计算下列函数的导数：(1) f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4(2) g(x) = e^x * sin(x)2. 一个弹簧的劲度系数为 k，质量为 m 的物体悬挂在弹簧上。
当物体受到外力 F(t) = 2cos(t) 作用时，确定物体的运动方程并解释物体的运动特性。
3. 一个半径为 R 的圆形铁环在匀强磁场 B 的作用下，磁通量在时间区间 [0, t] 内以恒定速率增大。
数学物理方法习题解答（完整版）
数学物理方法习题解答（完整版）数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux=?，0v y ?=?，u v x y ??≠??。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ??= =??。
v vx y==0 ??。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y, 在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ===='=+=-= ? ?????????。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z→?→?=?=?'==?=?-?=?。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=?→?→?→+?+?+??==+??→。
【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z zz z==??】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ?+++≠?=+，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ?-+≠?=+?+??， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ?++≠?=+?+??。
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数学物理方法习题
第一章：
应用矢量代数方法证明下列恒等式
1、
2、
3、
4、
5、 第二章：
1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1）
（2）
;
2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。
3、计算数值（和为实常数，为实变数）
4、函数
将平面的下列曲线变为平面上的什么曲线？
（1）
（2）
5、已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。
（1）
； （2）
6、已知等势线族的方程为
常数，求复势。
第三章：
1、计算环路积分：
3r ∇= 0r ∇⨯= ()()()()()A B B A B A A B A B ∇⨯⨯=∇-∇-∇+∇ 21()0
r ∇=()0A ∇∇⨯=
0;
2
Z a Z b z z -=--=0arg
4z i z i π
-<<+1Re()2
z
=1;1i i e ++a b
x sin5i
i ϕsin sin()
iaz ib z
a i
b e -+1
W z =
z W 224x y +=y x =()f z (,)u x y (,)x y υ22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ϕ==-+==
=(00)
f υ==22
x y +=
2、证明：其中是含有的闭合曲线。
3、估计积分值
第四章： 1、泰勒展开
（1） 在 （2）在 （3）函数在 2、（1）
在区域展成洛朗级数。
（2）
按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以为中心展开；
②在的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。
3、确定下列函数的奇点和奇点性质
第五章： 1、计算留数
（1） 在点。
（2） ，在点；
（3）
在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
2211132124sin
4(1).(2).11sin (3).
(4).
()
231
(5).
(1)(3)z
z z i z
z z z z e dz dz
z z z e dz dz
z z z dz
z z π
π+=+====-+--+-⎰⎰⎰⎰⎰ 21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ
πξξ=⎰ l 0ξ=222i
i
dz
z +≤⎰
ln z 0
z i =1
1z
e -0
0z =21
1z z -+1z =1
()(1)f z z z =
-01z <<1
()(3)(4)f z z z =
--0z =0z =521
(1);(2)(1)sin cos z z z z -+2
(1)(1)z
z z -+1,z =±∞3
1sin z e z -0z =31
cos
2z z -
（4） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
2、计算围道积分
（1） （2）
3、计算实变函数的定积分
（1）
（2）（3）
4、计算实变函数的定积分
（1） （2）
5、计算实变函数的定积分
（1） （2）
（3）
第六章：
1、在
的邻域上求解
2、在
的邻域上求解
3、在的邻域上求解
第七章：
1、长为的均匀弦，两端和固定，弦中张力为。
在点以横向力拉弦，达到稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。
2、一均匀细棒长，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当
1z
e z
+51
;:2(3)(1)l dz l z z z =--⎰ 1
;:2(1)(2)2l z dz l z z z -=--⎰ 20
2cos dx
x π
+⎰2
20sin (0)
cos xdx a b a b x
π>>+⎰22
cos (1)
12cos xdx x π
εεε<-+⎰2411x dx x ∞
-∞++⎰4401
dx x a ∞+⎰40
cos (0)1mx dx m x ∞
>+⎰
22220cos ()()x dx x a x b ∞++⎰22
sin x
dx x ∞
⎰
00x =0y xy ''-=00x =2(1)660x y xy y '''--+=00x =2
0y y ω''-=l 0x =x l =0T x h =0
F l
电梯速度达到时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么？
第八章：
1、长为的均匀弦，两端和固定，弦中张力为。
在距一端为的一点
以力
把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。
2、一均匀细棒长，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当
电梯速度达到
时突然停止，秋节竿的振动。
3、求解薄膜限定浓度的扩散问题
薄膜厚度为，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为
，此外不再有杂
质进入薄膜。
在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。
4、在矩形区域上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件
5、细圆环，半径为
，初始温度分布已知为，是以环心为极点的极角，环
表面绝热，求解环内的温度变化。
6、求解绕圆柱的水流问题。
在远离圆柱出水流是均匀的，流速为
，圆柱半径为。
7、半圆形薄板，半径为
，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为，
求稳定状态下的板上温度分布。
8、一均匀细棒长，一端固定，另一端在纵向力的长期作用下，求解
杆的稳恒振动。
9、用冲量定理法求解
0υl 0x =x l =T 0x 0F l 0υl 0Φ0,0x a y b <<<<00();0;sin
,0
x x a y y b x
u Ay b y u u B u a
π=====-===0ρ()f ϕϕ0υa 0ρ0u l 0()sin F t F t ω=200sin 00()t xx x x x l t u a u A t
u u u x ωϕ===⎧-=⎪⎪
==⎨⎪
=⎪⎩
10、用冲量定理法求解 为常数
第十章：
1、用一层不导电的物质把半径为
的导体球壳分隔为两个半球壳，并分别充电到和
，计算电势分布。
2、一空心圆球区域，内半径为，外半径为，内球面上有恒定电势外球面上有
电势保持为
均为常数，试求内外球壳之间、空心球区域中的电势分布。
3、在本来均强的静电场中，放置半径为的导体球，使求解球外的静电场。
4、将按照求函数展开。
5、设有一均匀球体，在球面上温度为 ，试在稳定状态下球球内的温度分布。
6、求证：
7、试证平面波能用柱面波展开，即
其中为平面波的振幅因子。
8、计算积分（反复利用递推关系）
9、半径为，高位的圆柱体，其下底和侧面保持零度，上底温度分布为
求解柱体内各点的温度分布。
20000
()(0)t xx x x x l t u a u bu u u u x x l ϕ===⎧-=-⎪⎪
==⎨⎪=<<⎪⎩b
0r 1υ2υ1r
2r 0,u 210,1
cos ,u u u θ0E
0r (,)(13cos )sin cos f θϕθθϕ=+,(,)
l m Y θϕ(13cos )sin cos θθϕ+021
210
cos ()2()()
sin 2()()
m m m m m m x J x J x x J x ∞
=∞
+==+-=-∑∑cos 01
()2()()cos ik n n n e
J k i J k n ρϕ
ρρϕ
∞
==+∑cos ik e
ρϕ
4
1
()x J x dx ⎰a h 2
(),f ρρ=
10、有均匀圆柱，半径为
，高位
，柱侧面绝热，上下底温度分别保持为
和
，求柱内稳定的温度分布。
a
h
1()
f ρ2()f ρ。