差分方程模型的基本概念

平衡点及渐进稳定性能够描述动态模型的长期 变化之后的结局.
3.1.2 一阶差分方程
差分（difference）用来刻画数列的变化率. 定义 数列{xk } (k 0,1, 2,) 的一阶差分为： xk xk1 xk . xk 刻画了数列{xk }从第 k 时段到第 k+1 时段的在单 位时段内的改变量. 显然一阶差分也构成一个数列
为二阶差分方程. 满足(3.1.4)式的数列{xk } 称为二阶 差分方程的解. 不同的初始值，导致不同的解；但给 定初始值 x0 和 x1 以后，解就是唯一确定的.
给定初始值 x0 和 x1 ，然后用循环语句实现二阶差 分方程所给出的迭代过程，可以计算出有限步内的数
值解.
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
xk x, k 0,1, 2,
是(3.1.2)式的常数解，并且有 xk 0, k 0,1, 2, .
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
对于二阶差分方程(3.1.4)式，令 xk2 xk1 xk x
就得到一元代数方程 x F(x, x)
(3.1.6)式的解 x x 就是(3.1.4)式的平衡点.
3.1.1 动态模型
平 衡 点 （ equilibrium point ）， 又 称 为 临 界 点 （critical point），是指当系统的状态处于该点时，状 态的变化率为零.
按照系统在平衡点附近的状态的变化趋势，又把 平衡点区分成渐进稳定的（asymptotic stable）和非 渐进稳定的两类：如果系统在平衡点的附近的状态将 趋向该平衡点，该平衡点为渐进稳定的（简称为稳 定），否则为非渐进稳定的（简称为不稳定）.
3.1.3 二阶差分方程
定义数列{xk } (k 0,1, 2,) 的二阶差分为：
2 xk xk1 xk xk2 2xk1 xk
2 xk 刻画了一阶差分数列{xk } 从第 k 时段到第 k+1 时段的在单位时段内的改变量，显然二阶差分也构成
一个数列{2xk } (k 0,1, 2,) . 二阶差分方程就是形如
差分方程的解
{xk
}
的极限
lim
k
xk
刻画了动态过程
长期变化之后的结局.
极限
lim
k
xk
与差分方程的平衡
点及渐进稳定性有密切关系.
对于一阶差分方程(3.1.2)式，令 xk1 xk x ，就
得到一元代数方程
x F(x)
(3.1.5)
(3.1.5)式的解 x x 就是(3.1.2)式的平衡点.
2 xk f (xk1, xk ), k 0,1, 2,
的方程，其中 f 是与 k 无关的二元函数.
(3.1.3)
3.1.3 二阶差分方程
(3.1.3)式即数列递推关系
xk2 F (xk1, xk ), k 0,1, 2,
(3.1.4)
其中二元函数 F(x, y) 2x y f (x, y) . (3.1.4)式也称
{xk } (k 0,1, 2,) . 一阶差分方程就是形如
xk f (xk ), k 0,1, 2, 的方程，其中 f 是与 k 无关的一元函数.
(3.1.1)
3.1.2 一阶差分方程
(3.1.1)式也就是数列递推关系
xk1 F (xk ), k 0,1, 2,
(3.1.2)
其中 F(x) x f (x) . (3.1.2)式也称为一阶差分方程.
3.1.1 动态模型
有一些动态过程的状态适合在离散时段上描述， 用数列{xk }表示动态过程在第 k 个时段的状态. 这类 动态过程称为离散动态过程，所建立的模型称为离散 动态模型，也称为离散动力系统，例如差分方程模型.
另一些动态过程的状态随时间连续变化，用连续 函数 x=x(t)表示动态过程在时刻 t 的状态. 这类动态 过程称为连续动态过程，所建立的模型称为连续动态 模型，也称为连续动力系统，例如微分方程模型.
满足(3.1.2)式的数列{xk }称为一阶差分方程的解.
不同的初始值，导致不同的解；但给定初始值 x0 以后， 解就是唯一确定的. 当 F 是线性函数时，可以给出解
析解；当 F 是非线性函数时，则通常给不出解析解.
给定初始值 x0 ，然后用循环语句实现差分方程所
给出的迭代过程，可以计算出有限步内的数值解.
是 int(D)（D 的全体内点组成的集合）的真子集，称
平衡点 x x 是局部渐进稳定的；如果邻域 U 可以是
int(D)，称平衡点 x x 是全局渐进稳定的.
(3.1.6)
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
平衡点的渐进稳定性的定义：如果在使问题有意
义的定义域 D 内，存在平衡点 x x 的邻域 U，对于
所有的初始值
x0
U
，虽然
x0
x
，但平衡点 x x 是渐进稳定的（简称为稳定）.
对于渐进稳定的平衡点 x x ，如果邻域 U 只能
第3章 差分方程模型
3.1节 差分方程模型的基本概念
3.1.1 动态模型
有许多实际问题包含着随时间发展的过程，例如 投资、还贷、养老金、种群增长、疾病传播、化学反 应、污染控制、空间飞行、军事战斗等. 我们对这些 动态过程建立动态模型，表现这些过程的演变，并给 出预测和控制的答案.
动态模型包括差分方程模型、微分方程模型、随 机过程模型等. 动态模型与优化模型相结合的，还有 动态规划模型等.
函数F的不动点(fixed point)
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
事实上，如果当 k=0 时，由(3.1.2)式描述的离散 动态过程的初始状态值为 x0 x 时，就有
x1 F (x0 ) F (x ) x 并且一阶差分
x0 x1 x0 x x 0
即解{xk }从第 0 时段到第 1 时段的在单位时段内的改 变量等于 0. 进一步容易证明：常数数列