2021届孝感高级中学高三上学期12月联考数学试题及答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}21A x x =≤，{}20B x x =-<<，则A B =（ ）A.[)1,0-B.(]2,1-C.(]1,0- D.[]2,1-2.已知i 是虚数单位，则2ii-=（ ） A.12i + B.12i - C.12i --D.12i -+3.甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%，甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为（ ） A.60% B.50% C.40% D.30%4.92x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ）A.84-B.672-C.84 D .6725.国防部新闻发言人在9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强p （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hkp -=（e 是自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则我战机在1000m 高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ）A.645mmHgB.646mmHgC.647mmHgD.648mmHg6.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，已知AE =，AF =，则AC BD ⋅=（ ）A.6-B.4-C. D.7.在公差为1的等差数列{}n a 中，已知1a t =，1nn n a b a =+，若对任意的正整数n ，9n b b ≤恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A.19,92⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.()9,8--C.1910,2⎛⎫--⎪⎝⎭D.()10,9--8.已知()f x x x =，对任意的x ∈R ，()()2430f ax f x +-≥恒成立，则实数a 的最小值是（ ） A.12B.13 C .16 D .18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.下列命题为真命题的是（ ） A.若a b >，则122a b -> B.若0a b >>，则lg 1lg ab> C.若0a >，0b >2aba b≥+ D.若a b >，则22ac bc >10.将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的32倍，得到函数()()sin A g x ωx φ=+（0A >，0ω>，φπ<）的图象，已知函数()g x 的部分图象如图所示，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（ ）A.()f x 的最小正周期为3π B.()f x 在区间,93ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.()f x 的图象关于直线9πx =对称 D.()f x 的图象关于点,09π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 11.已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >），若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则（ ）A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C 的离心率e =C.点P 为双曲线C 上任意一点，若点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d ，2d ，则1234d d =D.直线1y k x m =+与C 交于A ，B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则1213k k =12.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12C C BC ==，则下列说法正确的是（ ）A.四棱锥11B A ACC -为阳马B.三棱锥1C ABC -为鳖臑C.当三棱锥1C ABC -的体积最大时，AC =D.记四棱锥11B A ACC -的体积为1V ，三棱锥1C ABC -的体积为2V ，则123V V = 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若1sin 63πx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 26πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 14.已知F 为抛物线C ：2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上，且分别位于x 轴的上、下两侧，若BFO△的面积是12（O 为坐标原点），且12OA OB ⋅=，则直线AB 的斜率是______. 15.经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置，经度是个二面角，是两个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角.纬度是个线面角，某一点的纬度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角.城市A 位置东经120°，北纬48°，城市B 位置为东经120°，北纬18°，若地球的半径为R ，则过A ，B 两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧AB 的长为______.16.若函数()e 2xf x x =-图象在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b -的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）在①222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，②1sin cos 62πB B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，③cos cos 2cos c A a C b B ⋅+⋅=⋅这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin A C =，2b =，且______.求ABC △的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()112323122n n a a a na n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（n *∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若log 2n n a b =，则在数列{}n b 中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分12分）电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务，通过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格（不管发送到哪里，都只需负担网费）、非常快速的方式（几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地），与世界上任何一个角落的网络用户联系，我们在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少，为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字. （1）根据以上数据填写22⨯列联表：（2）能否有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关"？（3）用样本估计总体，将频率视为概率，在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为1P ，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字"的概率为2P ，试比较1P 与2P 的大小. 附：临界值参考表与参考公式（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，2AB =，3PA AD ==，点E 在线段PC 上（端点除外），平面ABE 交PD 于点F .（1）求证：四边形ABEF 为直角梯形；（2）若AF =，求直线PC 与平面ABEF 所成角的正弦值. 21.（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，过1F 且斜率为4的直线与椭圆的一个交点在x 轴上的射影恰好为2F .（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，下顶点为A ，过点()0,2B 作一条与y 轴不重合的直线，该直线交椭圆E 于C ，D 两点，直线AD ，AC 分别交x 轴于点H ，G .求证：ABG △与AOH △的面积之积为定值，并求出该定值.22.（本小题满分12分）已知函数()()111ln f x x a x x =-+--⎡⎤⎣⎦（a ∈R ）. （1）当0a ≥时，求函数()f x 的极小值；（2）当0a <时，若1x =是函数()f x 的极大值点，求a 的取值范围.高三数学参考答案、提示及评分细则1.B因为集合{}11A x x =-≤≤，{}20B x x =-<<，所以{}21A B x x =-<≤.故选B.2.C()()()2i i 2i 12i i i i ---==--⨯-.故选C. 3.A设{}A =甲胜获，{}B =甲不输，{}C =甲乙和棋，则A ，C 互斥，且B A C =+，则()()()()P B P A C P A P C =+=+，即()()()40%P A P B P C =-=，乙获胜的概率为10%，则乙不输的概率为60%.故选A. 4.B()93921992C2C rrrr rrr T x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令930r -=，得3r =，所以常数项为()3392C 884672-⨯=-⨯=-.故选B.5.A当500h =时，700p =，即50035e 38k -=，所以1000m 高空处的大气压强约为()2210005003512250760e 760e7606453819k k p --⎛⎫===⨯=≈ ⎪⎝⎭.故选A.6.B设AD a =，AB b =，则12AF a b =+，12AE a b =+.两式相加、相减易得()23A a AE b F =++，()2A a F AE b --=，则()()()()()22242433AC BD a b a b AF AE AF AE AF AE ⋅=+⋅-=+⋅-=-=-.故选B. 7.D由题意知1n a n t =+-，所以111n n t b n t n t +-==-++，所以点(),n n b 在函数()11tx x f =-+的图象上；由9n b b ≤知，9b 数列{}n b 的最大项，所以910t <-<，所以109t -<<-.故选D. 8.C因为()22,0,,0,f x x x x x x x -<≥⎧⎪==⎨⎪⎩所以()f x 为奇函数，且在(),-∞+∞上单调递增，所以()()()24326f ax f x f x ≥--=-，所以226ax x ≥-，所以问题转化为“对任意的x ∈R ，2260ax x -+≥恒成立”.当0a =时显然不成立，则0a ≠时，()20,2460.a a >⎧⎪⎨--⨯⨯≤⎪⎩解得16a ≥.故选C. 9.AC对于A ，因为a b >，所以0a b ->，所以1212a b ->>，故A 正确；对于B ，10a =，110b =，lg 1lg a b>不成立；对于C ，因为0a >，0b >，所以ab +≥2aba b=≥+，故C 正确；对于D ，当0c =时不成立.故选AC. 10.BC由图象可得2A =，T π=，212πg ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2ω=，262ππφk π-+=+（k ∈Z ），所以223πφk π=+（k ∈Z ），由φπ<，即23πφ=，得()22sin 23πx g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()g x 的图象上的所有点的横坐标变为原来的23倍，再向右平移6π个单位长度得到函数()f x 的图象，即()2sin 36πx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为23π，当9πx =时，()f x 取最大值，所以()f x 的图象关于9πx =对称，当,93ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，73,626πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()2sin 36πx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，故选BC. 11.BCD由题意知C 的渐近线方程为0x ay ±=1=，解得a =2c =，所以3e ==，故A 错误，B 正确；设()00,P x y，所以1d =2d =，所以2200123344x y d d -===，故C 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，由点差法易得1213k k =，故D 正确.故选BCD. 12.ABC堑堵111ABC A B C -为直三棱柱，其中侧棱1A A ⊥平面ABC ，11A ACC 为矩形，AB AC ⊥，则四棱锥11B A ACC -为阳马；三棱锥1C ABC -中，1C C ⊥平面ABC ，BA ⊥平面1ACC ，则三棱锥1C ABC -的四个面均为直角三角形，所以三棱锥1C ABC -为鳖臑；三棱锥1C ABC -的体积最大时，由于高12C C =，则ABC △的面积最大，而2BC =，所以224AB AC +=，所以2222AB AC AB AC +⋅≤=，当且仅当AB AC ==取等号，即当AC =时，ABC △面积取得最大值，三棱锥1C ABC -的体积最大；1113V AC CC AB =⨯⨯⨯，211132V AB AC CC =⨯⨯⨯⨯，则122V V =.故选ABC.13.7927sin 2sin 2cos 212sin 662669πππππx x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.14.13-设()11,A x y ，()22,B x y .由抛物线2y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，而()2111242BFO S y =⨯⨯-=△，得24y =-，则216x =，由12121116412OA OB x x y y x y ⋅=+=-=，则1143x y -=，又211y x =，结合10y >，解得11y =，11x =，所以直线AB 的斜率是13-.15.6πR设球心为O ，由题意和劣弧所对的圆心角4818306πAOB ∠=-==°°°，所以弧长为6πR . 16.12e--切点为()000,e 2x x x -，()e 2xf x '=-，所以()00e 2xf x ='-，则()f x 图象在()()00,x f x 处的切线的斜率为0e 2xk =-，则所求切线的方程为()()000e 2e2x x y x x x =--+-，即()0000e 2e e x x x y x x =--+，则0e 2xk =-，000e e xxx b -+=，则00e 2xk b x -=-.对于函数e 2xy x =-，()e 1x y x '=+，当1x <-时，y '<0；当1x >-时，0y '>；所以函数e 2x y x =-在1x =-取得极小值，亦即最小值，则k b -的最小值为12e--. 17.解：若选择条件①，由正弦定理，得222a c b ac +-=.由余弦定理知2221cos 222a cb ac B ac ac +-===. 由0B π<<，得3πB =， 由sin 2sin A C =及正弦定理，得2a c=，将2a c =和2b =代入222a c b ac +-=，解得243c =，所以c =，2a c ==所以11sin 22S ac B ===.11cos cos 22B B B +=+，11cos 22B B -=，所以1sin 62πB ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由0B π<<，得3πB =，由余弦定理，得222a c b ac +-=.由sin 2sin A C =及正弦定理，得2a c =， 将2a c =和2b =代入222a c b ac +-=，解得243c =，所以c =，2a c ==所以11sin 223323S ac B ==⨯⨯=. 若选择条件③，由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos C A A C B B ⋅+⋅=， 所以()sin 2sin cos A C B B +=.由A C πB +=-，得sin 2sin cos B B B =， 由sin 0B ≠，解得1cos 2B =. 由0B π<<，得3πB =， 由余弦定理，得222a c b ac +-=.由sin 2sin A C =及正弦定理，得2a c =， 将2a c =和2b =代入222a c b ac +-=，解得243c =，所以c =，2a c ==所以11sin 22S ac B ===. 18.解：（1）由题意，得()112323122n n a a a na n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+，当2n ≥时，()()1231231222nn a a a n a n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+， 两式相减，得()()11222n n n na n n +=-⋅--⋅，即2n n a =.当1n =时，12a =，也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式2nn a =.（2）22111log 2log log 2n n a n n b a n====，法一：11b =，212b =，显然不适合； 212b =，313b =适合，即212b =，313b =，616b =构成公差为16-的等差数列；313b =，414b =适合，即313b =，414b =，616b =构成公差为112-的等差数列；当4n ≥时，假设n b ，1n b +，n k b +（2k ≥）成等差数列，则12n n n k b b b ++=+， 即12211122121n k n n n b b b n n n n n n ++-=-=-==++++-， 而当4n ≥时，21n *∉-N ，所以n k b +不是数列{}n b 中的项，所以当4n ≥时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列. 综上，2b ，3b 和3b ，4b 适合条件. 法二：11b =，212b =显然不适合； 当2n ≥时，设n b ，1n b +，n k b +（2k ≥）成等差数列，则12n n n k b b b ++=+，即2111n n n k =+++，解得221k n =+-. 当2n =时，4k =，则212b =，313b =，616b =构成公差为16-的等差数列；当3n =时，3k =，则313b =，414b =，616b =构成公差为112-的等差数列；当4n ≥时，21n *∉-N ，则k *∉N ，所以n k b +不是数列{}n b 中的项，所以当4n ≥时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列. 综上，2b ，3b 和3b ，4b 适合条件. 19.解：（1）填写22⨯列联表如下：（2）()()()()()()2224015155510.000 6.63520202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯. 因为根据临界值表可知，所以有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”.（3）用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中22⨯列联表，中国人邮箱名称里含数字的概率为153204=，外国人邮箱名称里含数字的概率为51204=. 设“6个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量ξ，“6个外国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量η，根据题意，得3~6,4ξB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1~6,4ηB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则36333331663331C 1C 4444P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，36333332661113C 1C 4444P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12P P =.20.（1）证明：因为//AB CD ，AB ⊂平面ABEF ，CD ⊄平面ABEF ， 所以//CD 平面ABEF .又CD ⊂平面PCD ，平面ABEF 平面PCD EF =，所以//CD EF .又EF CD AB <=，所以四边形ABEF 为梯形. 因为AB AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD .所以AB ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，所以AB AF ⊥， 所以四边形ABEF 为直角梯形.（2）解：法一：在直角三角形PAD 中，PD =2AF =，则2PD AF =， 所以F 为PD 的中点，又//CD EF ，所以E 为PC 的中点. 因为PA AD ⊥，又由（1）知，AB ⊥平面PAD ，所以AB ，AD ，AP 两两垂直.以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,3,0C ，()0,0,3P ，从而331,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以331,,22BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,0,0AB =，()2,3,3PC =-.设平面ABEF 的法向量为(),,m a b c =，则0,0,m AB m BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩即330,220,2a b c a -++==⎧⎪⎨⎪⎩ 取1b =，则()0,1,1m =-.设直线PC 与平面ABEF 所成的角为θ，则sin cos ,1122PC m θPC mPC m⋅====⨯， 故直线PC 与平面ABEF. 法二：因为PA AD ⊥，3PA AD ==，所以PD =2AF =，所以2PD AF =， 所以F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥. 由（1）知AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥， 又AFAB A =，所以PD ⊥平面ABEF ，所以直线PC与平面ABEF 所成的角就是PEF ∠，又因为//EF CD ，所以PEF PCD ∠=∠. 又//AB CD ，所以CDPD ⊥， 所以sin 11PDPCD PC∠====直线PC 与平面ABEF所成角的正弦值为11. 21.解：（1）过()11,0F -的直线方程为)1y x =+， 令1x =，则2y =，由题意可得22221,111,2a b a b -=+=⎧⎪⎨⎪⎩解得22a =，21b =， 所以椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）由题意知，直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为2y kx =+.设()11,D x y ，()22,C x y ，将2y kx =+代入2212x y +=，得()2212860k x kx +++=， 所以122812k x x k -+=+，122612x x k =+，由2Δ16240k =->，232k >， 所以()121224412y y k x x k +=++=+，()()()2212121212242222412k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=+，直线AD 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，解得111xx y =+， 则11,01x H y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可得22,01x G y ⎛⎫⎪+⎝⎭， 所以121211132121ABG AOH x x S S y y ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯++△△ ()()12123411x x y y =++121212341x x y y y y =+++22226312442411212k k k k +=-++++ 2236361412442492k k =⨯=⨯=+++-. 所以ABG △与AOH △的面积之积为定值，该定值为12. 22.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()11ln a a a f xx x +=++-'. 设()11ln a a a x g x x +=++-，则()2211a a ax a x x g x x+++='+= 当0a ≥时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞上为增函数，且()10g =，当01x <<时，()0g x <，即()0f x '<；当1x >时，()0g x >，即()0f x '>， 所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点，且()f x 的极小值为()10f =.（2）当0a <时，由（1）知()2211a a x a g ax a x xx +⎛⎫+ ⎝=='⎪++⎭. （ⅰ）当10a a+≥，即1a ≤-时，()0g x '<，则()g x 在()0,+∞上为减函数，又()10g =. 当01x <<时，()0g x >，即()0f x '>；当1x >时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以1x =是()f x 的极大值点，满足题意. （ⅱ）当10a a +<时，令()0g x '=得1a x a+=-， ①当101a a +<-<，即112a -<<-时，取1,a x a +⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，得()0g x '<，则()g x 在1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，当11a x a+-<<时，()()10g x g >=，即()0f x '>；当1x >时，()()10g x g <=，即()0f x '<，所以()f x 在1,1a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以1x =是()f x 的极大值点，满足题意. ②当11a a +-=，即12a =-时，()212x g x x-'-=，当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数，所以()()()10f x g x g '=≤=，从而()f x 在()0,+∞上为减函数，此时，()f x 无最大值.③当11a a +->，即102a >>-时，取11,a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得()0g x '>，则()g x 在11,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，当11a x a+<<-时，()()10g x g >=，即()0f x '>，这与“()f x 在1x =处有极大值”矛盾，此时不满足题意.综上，所求实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. （说明：若学生由题易知()10f '=，根据()10f ''<转化求解，这不是充要条件，没有运用数学语言和数学符号进行代数推理，可扣2/3的分）。