两个向量的数量积习题课

求AC '的长.
D'
解:
Q
uuuur AC'

uuur uuur uuur AB AD AA',
A'
uuuur uuur uuur uuur
D
| AC' |2 (AB AD AA')2
uuur uuur uuur
uuur uuAur
| AB |2 | AD |2 | AA' |2 2( ABgAD
uuur uuur uuur uuur
ABgAA' ADgAA' )
C'
B'
C
B
42 32 52 2(0 10 7.5) 85.
2、前面我们学过了利用两个向量 的数量积解决立体几何中的哪 些类型的问题？
小 结：
到目前为止，我们可以利用向量数量积解决 立体几何中的以下几类问题：
1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离 或线段长度。
（3、证明线面垂直。）4、求两直线所成角的 余弦值等等。
由DBD' 300
uuur uuur CA, BD
1200.
b2 a2 b2
uuur uuur uuur uuur | CD |2 (CA AB BD)2
uuur uuur uuur uuur uuur | CA |2 | AB |2 | BD |2 2CAgAB
C 运用二：求线段长度常把线
段表示成向量形式，然后通
过向量运算求解.
E
运用三：常运用向量数量积的 变形公式求异面直线所成的角. A
D
D' B
例4.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中.AB 4, AD
3, AA' 5, BAD 900, BAA' DAA' 600,
uuur uuur uuur uuur 2CAgBD 2ABgBD
2b2 cos1200.
b2 a2
CD
b2 a2 .
例３、如图所示，已知线段AB在平面α内，线段 AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD' 交于 D',DBD’=30.如果AB＝a，AC＝BD＝b，
（1）求C、D间的距离; （2）求异面直线DC,BD' 所成的角．
即可。本题可考虑
D
证明D1F AD, D1F AE
A
E
F
C
B
例3.已知线段AB在平面内,线段AC ,线段
BD AB,线段DD' , DBD' 300,如果AB a,
AC BD b,求C, D间的距离. C
b
D
解:
b D'
由AC AC AB. A a B
|a||b|
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一、复习提问： a
b
1、空间两个向量 和 的数量积如何表示？
其结果是向量还是实数？
2、前面我们学过了利用两个向量的 数量积解决立体几何中的哪些类型 的问题？
二、练习（线线垂直问题） 1、如图，三角形ABC是正三角形，AE和CD都垂 直于平面ABC，AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中
小结
空间向量数量 积的定义
空间向量的夹角
空间向量数量积 的性质
(1)a e | a | cos a, e (2)a b a b 0 (3) | a | a a
空间向量数量积 的运用
用a b＝0证垂直 用|a|2 a a求距离 用cos a,b a b 求夹角
点，求证：AF BD
E
D F
A
C
B
三、例题讲解： 1、利用向量的数量积可以证明两直线垂直，因而
也可以证明线面垂直问题。
例1、正方体ABCD A1中B1C，1DE1、F分别是
BB1,C的D中点。求证： D1F 平面AED
分析：要证明线面
垂直，只需证明直
D1
A1
C1 B1
线和已知平面内的
两条相交直线垂直