功和能习题

4-1 判断正误

（1）质点系的总动量为零，总角动量也一定为零。错 （2）一质点做直线运动，质点的角动量一定为零。错 （3）一质点做直线运动，质点的角动量一定不变。错

（4）一质点做匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以角动量的方向也随之不断改变。错

4-2 两个自由质点，其质量分别为m 1和m 2，它们之间的相互作用符合万有引力定律，开始时，两质点间的距离为l ，它们都处于静止状态，试求当它们的

距离变为l 2

1

时，两质点的速度各为多少？

解：把两个质点当一个系统考虑，没有外力作用，动量和机械能守恒。

:2211=+v m v m 动量守恒2

22211212121212

0v m v m L m m G L m m G

++-=+-机械能守恒

解得：)

(2,)(2211

2212

1m m L G

m v m m L G m v +-=+= 4-3 如附图所示，一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离y 时对桌面的瞬时作用力。

解：在落到桌面前，链条个部分为自由落体，当链条下落y 时，下落部分速

率满足：gy v mgy mv 22

1

2=⇒=

d t 时刻内将会有d y 长度的链条落到桌面上，此时桌面上的链条受到支持力

N 和重力G 的作用，二者的合力改变了链条的动量，若指定向上为正，则

)](d [0d )(v y t G N --=-λ即2v dt

dy

v

yg N λλλ==- 所以gy gy gy yg v N λλλλλ322=+=+=

4-4 作用在质量为10kg 的物体上的力为F =（10+2t ）N ，式中t 的单位为s 。（1）求4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。

（2）为了使这力的冲量为200Ns ，该力应在这物体上作用多久，试就一原

来静止的物体和一个具有初速度-6m/s 的物体，回答这两个问题。

解：（1）根据动量定理，

m /s kg 56)

10()()()210(40

24

0⋅=+=∆=⇒∆=+=⎰t t mv I mv t t I x x

m/s 6.510

56

m/s kg 56==

∆⇒⋅=∆=∆v v m mv （2）当物体原来静止时，在x 方向

s 10020010200)210(02=⇒=-+⇒=+=⎰t t t dt t I t

x

当初速度为m/s 60v -=时，

t

t v m t t v m p p v m p t

t

d )210(]d )210([,

00

00100⎰⎰+=-++=-==

由于y 方向无力作用，y 方向动量为恒矢量，故仍为10s 。

4-5 一颗子弹由枪口射出时速率为v 0m/s ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F =（a -bt ）N （a ，b 为常数），其中t 以s 为单位：

（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量；（3）求子弹的质量。

解：（1）子弹到枪口时，有

b

a

t bt a F =⇒=-=0)( （2）子弹受的冲量

2021)(bt at dt bt a I t

⎰-=-=，将b

a

t =带入得b a I 22=

（3）由动量定理，得0

2

02bv a v I m =

= 4-6 求实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为m p ）和一个氦核（质量为4m p ），沿一直线相向运动，速率都是v 0，求二者能达到的最近距离R 。

解：如图

当质子和氦核相距最近时，它们的速度一定同方向且相等，由动量守恒得

0005

3

)4(4v V V m m v m v m p p p p =⇒+=-

质子带电量为e ，氦核带电量为2e ，它们相距为r 时具有的势能为

r

ke r e e k E p 2

22=⋅=，其中k 为静电力常量。

由能量守恒得min 22

20202)4(2121421r ke V m m v m v m p p p p ++=+⋅

得：2

2

min

45v m ke r p = 4-7 F x =30+4t （式中F x 的单位为N ，t 的单位为s ）的合外力作用在质量为

m =10kg 的物体上，试求：（1）在开始2s 内此力的冲量；

（2）若冲量I =300Ns ，此力作用的时间；

（3）若物体的初速度v 1=10m/s ，方向与F x 相同，在t =时，此物体的速度

v 2。解：（1）0-2s 内此力的冲量

s N 68)

302(d )430(d 20

2

22

⋅=+=+==⎰⎰t t t t t F I x

（2）s N 300⋅=I 时，3003022=+t t ，解得 s 86.6=t （3）0300mv mv I -==，解得 m/s 40=v

4-8 如附图所示，在水平地面上，有一横截面S =的直角弯管，管中有流速为v =s 的水通过，求弯管所受力的大小和方向。

解：水在竖直方向和水平方向分别利用冲量定理求冲力分量，弯管所受力大小为水所受的冲力合力。在竖直方向：tv Sv mv t F d )(d d 1ρ-==

在水平方向：tv Sv t F d d 2ρ= 水所受的冲力合力大小为：

N 105.2N 0.320.0101223232221⨯=⨯⨯⨯⨯==+=Sv F F F ρ，

方向沿直角平分线指向弯管内侧。由牛顿第三定律，弯管所受力大小为N 105.23⨯，方向沿直角平分线指向弯管外侧。

4-9 如附图所示，一做斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为。爆炸后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出