方差分析几个案例
方差分析举例
方差分析举例一、什么是方差分析例1：某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同，先从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表10-1。
表10-1 该饮料在五家超市的销售情况单位：箱问饮料的颜色是否对销售量产生影响。
解：从表10－1中看到，20个数据各不相同，其原因可能有两个方面：一是销售地点不同的影响。
即使是相同颜色的饮料，在不同超市的销售量也是不同的。
但是，由于这五个超市地理位置相似、经营规模相仿，因此，可以把不同地点产品销售量的差异看成是随机因素的影响。
二是饮料颜色不同的影响。
即使在同一个超市里，不同颜色的饮料的销售量也是不同的。
哪怕它们的营养成分、味道、价格、包装等方面的因素都相同，但销售量也不相同。
这种不同，有可能是由于抽样的随机性造成的，也有可能是由于人们对不同颜色的偏爱造成的。
于是，上述问题就归结为检验饮料颜色对销售量是否有影响的问题。
我们可以令μ1、μ2、μ3、μ4分别为四种颜色饮料的平均销售量，检验它们是否相等。
如果检验结果显示μ1、μ2、μ3、μ4不相等，则意味着不同颜色的饮料来自于不同的总体，表明饮料颜色对销售量有影响；反之，如果检验结果显示μ1、μ2、μ3、μ4之间不存在显著性差异，则意味着不同颜色的饮料来自于相同的总体，可认为饮料颜色对销售量没有影响。
这就是一个方差分析问题。
在方差分析中常用到一些术语。
1．因素因素是一个独立的变量，也就是方差分析研究的对象，也称为因子。
如：例1中，我们要分析饮料的颜色对饮料的销售量是否有影响，在这里，“饮料的颜色”是所要检验的对象，它就是一个因素。
在有的书中把因素称为“因子”。
2．水平因素中的内容称为水平，它是因素的具体表现。
如：例1中“饮料的颜色”这一因素中的水平有四个，即饮料的四种不同颜色：无色、粉色、桔黄色、绿色；它们是“饮料的颜色”这一因素的四种具体表现。
方差分析几个案例
方差分析方式方差分析是统计分析方式中，最重要、最常常利用的方式之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1. 方差分析的意义、用途及适用条件方差分析的意义方差分析又称为变异数分析或F查验，其大体思想是把全数观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部份，再作分析。
即把全数资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部份，其自由度也分为相应的部份，每部份表示必然的意义，其中至少有一个部份表示各组均数之间的变异情形，称为组间变异（MS组间）；另一部份表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性不同。
方差分析在环境科学研究中，常常利用于分析实验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各类因素的改变都可能对实验和监测结果产生不同程度的影响，因此，能够通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是不是存在影响及影响的程度和性质。
方差分析的用途两个或多个样本均数的比较。
分离各有关因素，别离估量其对变异的影响。
分析两因素或多因素的交叉作用。
方差齐性查验。
方差分析的适用条件各组数据均应服从正态散布，即均为来自正态整体的随机样本（小样本）。
各抽样整体的方差齐。
影响数据的各个因素的效应是能够相加的。
对不符合上述条件的资料，可用秩和查验法、近似F值查验法，也能够通过变量变换，使之大体符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson散布的计数资料常常利用平方根变换法；属于二项散布的百分数可用终归弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）按照某一实验因素，将实验对象按完全随机设计分为若干个处置组（各组的样本含量可相等或不等），别离求出各组实验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
方差分析实例
让4名学生前后做3份测验卷，得到如下表的分数，运用方差分析法可以推断分析的问题是：3份测验卷测试的效果是否有显著性差异？1、确定类型由于4名学生前后做3份试卷,是同一组被试前后参加三次考试，4位学生的考试成绩可看成是从同一总体中抽出的4个区组，它们在三个测验上的得分是相关样本。
2、用方差分析方法对三个总体平均数差异进行综合性地F检验检验步骤如下：第一步，提出假设：第二步，计算F检验统计量的值:因为是同一组被试前后参加三次考试，4位学生的考试成绩可看成是从同一总体中抽出的4个区组，它们在三个测验上的得分是相关样本，所以可将区组间的个别差异从组内差异中分离出来，剩下的是实验误差,这样就可以选择公式（6.6）组间方差与误差方差的F比值来检验三个测验卷的总体平均数差异的显著性。
①根据表6。
4的数据计算各种平方和为：总平方和:组间平方和：区组平方和：误差平方和：②计算自由度总自由度：组间自由度：区组自由度 :误差自由度：③计算方差组间方差：区组方差:误差方差:④计算F值第三步，统计决断根据，α=0.01,查F值表，得到，而实际计算的F检验统计量的值为，即P(F 〉10.9）〈0.01，样本统计量的值落在了拒绝域内，所以拒绝零假设，接受备择假设，即三个测验中至少有两个总体平均数不相等。
3、用q检验法对逐对总体平均数差异进行检验检验步骤如下：第一步，提出假设：第二步，因为是多个相关样本，所以选择公式（6.8）计算q检验统计量的值：在为真的条件下，将一次样本的有关数据及代入上式中，得到A和B两组的平均数之差的q值，即:以此类推，就可得到每对样本平均数之间差异比较的q值，如下表所示：第三步，统计决断为了进行统计决断，在本例中，将A，B，C共3组学生英语单词测验成绩的等级排列为：A与C之间和B与C之间包含有1,2两个组，a=2；A与B之间包含有1，2，3三个组,a=3.根据，得到当a=2时，q检验的临界值为;当a=3时,q检验的临界值为；将表（6。
方差分析例题讲解
例题讲解例3。
1、某灯泡厂用４种不同材料的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中随机抽取若干只观测其使用寿命（单位：小时）。
观测数据如下：甲灯丝：1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 乙灯丝：1580 1640 1640 1700 1750丙灯丝：1540 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 丁灯丝：1510 1520 1530 1570 1600 1680问这四种灯丝生产的灯泡的使用寿命有无显著差异（0.05α=）？ 第一种方法：直接用手工计算解：由题意知要检验的假设为H0： 四种灯丝生产的灯泡的使用寿命无显著差异。
为了简化计算，把各观测值都减去一个数1600，简化后的数据及有关计算如下：其中i t 表示重复次数；2221111111,,,,ii i t t t rr i i i ij i i ij ij i j j i j i n t t x x t x x K x P K t n =====⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑，2211111,;ii t t rrij ij i j i j i W x R x t ====⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑∑所以2180549.297044360.726A S R P =-=-=，21231900970195711.526T S W P =-=-=，151350.8E T A S S S =-=.最后填写方差分析表。
因为2.15<3.05，接受H0，故四种灯泡的使用寿命无显著差异。
第一种方法：用SPSS 软件操作 操作过程与结果如下： 操作步骤1、建立数据文件。
假设在SPSS环境下建立数据文件，该文件中定义两个数值型变量：一个变量为寿命time，宽度按默认值设置；另一个是属性变量kind，宽度为3，无小数位，它表示四批灯丝的类别，例如用1表示甲、2表示乙、3表示丙、4表示丁。
其部分数据见图3—1所示。
方差分析-案例
问： （1）该资料采用的是何种统计分析方法？ （2）使用的统计分析方法是否正确？若不正确，可以采 用何种正确的统计分析方法？ （3）采用该统计分析方法应满足什么条件？该资料是否 满足？若不满足，应用什么方法？
案例2 下表为某研究者比较四组Wistar大鼠经大气混合污染 物染毒后血中WBC总数（×109）的结果。该分析是否正确？ 为什么？若不正确，可以采用何种统计分析方法？ 4组大鼠染毒后血中WBC总数比较
组别 低剂量组 中剂量组 高剂量组 对照组 n 24 24 24 24 x—±s 4.27±3.13 6.81±13.71 5.74±4.28 3.20±1.64 t -1.45 -1.28 -2.71 P >0.05 >0.05 <0.05
案例3 利舍平具有使小鼠脑中去甲肾上腺素（NE）等递质下降的作用，为 考察某种新药MWC是否具有对抗利舍平降递质的作用，某研究者将24只 小鼠随机等分为4组，给予不同处理后，测定其脑中NE的含量，结果如下 表。经完全随机设计的方差分析得F=59.306，P=0.000，差异具有统计学 意义，可以认为不同处理组NE的含量不同。结合下表得出结论，即新药 MWC具有对抗利舍平使递质下降的作用 蒸馏水组 630 760 687 676 892 523 小鼠经不同处理后脑中NE的含量 利舍平组 MWC组 181 103 138 141 197 193 715 663 638 887 625 648 利舍平+MWC组 407 397 378 363 438 412
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
该研究属于何种设计方案？统计方法是否正确？为什么？若不正确， 应该用何种方法？
案例1 《脑积液磷酸己糖检测用于脑膜炎诊断的探讨》一文 为比较三组患儿CST中PHI值是否不同，数据及分析结果见 下表。 三组患儿CST中PHI值的比较
方差分析举例范文
方差分析举例范文方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种用于比较两个或以上样本均值是否存在显著差异的统计方法。
它通过分析变量的方差来推断不同处理条件（或不同组）之间的均值是否差异显著。
下面将给出三个不同领域的方差分析举例。
1.生物学实验：假设我们对一种新药的有效性进行测试，研究对象分为三组，分别服用不同剂量的药物A、B、C。
我们想要知道不同剂量的药物是否对指标变量（例如疼痛程度）产生显著影响。
我们将随机选取若干个人，将他们分配到三组中，并测量他们的疼痛程度。
在完成实验后，我们可以使用方差分析来比较每个组的均值差异是否显著。
如果方差分析结果显示剂量组之间的差异是显著的，那么我们可以得出结论：不同剂量的药物会对疼痛程度产生显著影响。
2.教育研究：假设我们正在比较两种不同的教学方法对学生学习成绩的影响。
一个学校将两个班级随机分配到两个教学组，一组采用传统的讲授式教学方法，另一组采用互动式教学方法。
在教学实验结束后，我们可以通过方差分析来比较两组学生的平均成绩是否有显著差异。
如果方差分析结果显示两个组之间的差异是显著的，那么我们可以得出结论：互动式教学方法对学生成绩的影响较传统教学方法更好。
3.工程研究：假设我们正在评估两种不同材料的耐磨性能。
我们可以将两种材料随机分配到两个实验组，并通过对每个组进行多次磨损实验来测量其耐磨性能。
然后，我们可以使用方差分析来比较两组材料的平均耐磨性能是否有显著差异。
如果方差分析的结果表明两种材料之间的差异是显著的，那么我们可以得出结论：这两种材料的耐磨性能是不同的，其中一种材料更加耐磨。
总结：方差分析是一种用于比较多个组之间平均值差异的有力工具，它可以应用于各个领域。
在生物学实验中，方差分析可以用于比较不同处理条件对一些指标变量的影响；在教育研究中，方差分析可以用于比较不同教学方法对学生成绩的影响；在工程研究中，方差分析可以用于比较不同材料性能的差异。
方差分析回归分析
案例二：不同地区教育水平的方差分析
总结词
通过比较不同地区的教育水平，了解各 地区教育发展的差异，为政府制定教育 政策提供科学依据。
VS
详细描述
收集不同地区的教育水平数据，包括学校 数量、教师质量、学生成绩等。利用方差 分析方法，分析各地区教育水平是否存在 显著差异，并探究影响教育水平的因素。 根据分析结果，提出针对性的教育政策建 议，促进教育公平和发展。
应用范围
方差分析主要应用于实验设计、质量控制等领域，而回归 分析则广泛应用于预测、建模和决策等领域。
04
方差分析的实际应用案例
案例一：不同品牌电视销量的方差分析
总结词
通过对比不同品牌电视的销量，分析品牌、型号、价格等因素对销量的影响，有助于企业了解市场需 求和竞争态势。
详细描述
选取市场上不同品牌、型号、价格的电视，收集其销量数据。利用方差分析方法，分析各品牌电视销 量是否存在显著差异，并进一步探究价格、功能等变量对销量的影响。根据分析结果，为企业制定营 销策略提供依据。
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回归分析的实际应用案例
案例一：预测股票价格与成交量的回归分析
总结词
股票价格与成交量之间存在一定的相 关性，通过回归分析可以预测股票价 格的走势。
详细描述
通过收集历史股票数据，分析股票价 格与成交量之间的相关性，建立回归 模型。利用该模型，可以预测未来股 票价格的走势，为投资者提供决策依 据。
详细描述
方差分析在许多领域都有广泛的应用，如心理学、社会科学、生物统计学和经济学等。它可以用于比较不同组数 据的均值差异，探索因子对因变量的影响，以及处理分类变量和连续变量的关系。通过方差分析，研究者可以更 好地理解数据结构和关系，为进一步的数据分析和解释提供依据。
方差分析实例详解
方差分析计算实例一、单因素方差分析二、双因素方差分析一、单因素方差分析（一）完全随机试验设计1、重复数相同（1）实例：不同浇水量对某蔬菜产量的影响试验，设置5个浇水量A、B、C、D、E；每个浇水量设置四个小区，小区采用完全随机试验设计；各小区产量见下表（单位：kg）（2）基本参数计算处理数k=5，重复数n=4220.0250.9750.485,11.143χχ==（3）方差同质性检验2220.0250.975,c χχχ≤≤五个处理的方差无显著差异平方和计算：（4）方差分析自由度计算：方差分析表：22222222/()/()(45.2869.5288.55108.48130.12)/4441.95/(45)1089.89t i ij SS T n x nk =−=++++−⨯=∑∑1107.051089.8917.16e T t SS SS SS =−=−=222222()/()16.6115.9531.11441.95/(45)1107.05T ijij SS x x nk =−=+++−⨯=∑∑1514t df k =−=−=(1)5(41)15e df k n =−=−=145119T df nk =−=⨯−=变异来源平方和自由度均方F 值F 0.05处理间1089.894272.47238.213.056误差17.1615 1.14总变异1107.0519F 值大于F 0.05，五个处理蔬菜产量平均值差异显著。
将五个处理小区产量平均值从大到小排列，采用字母标记法表示各均值间差异是否显著，均值间的差值大于LSD ，差异显著，标记不同的字母；均值间的差值小于LSD ，差异不显著，标记相同的字母。
标记字母时，第一个值标a ，用最大值减第二个值，差值若大于LSD 则标b ，差值若小于LSD 则标a ，再以最大值减第三个值，直到出现大于LSD 值，标记b ，再以该值为标准向上比较，若差值大于LSD 就停止比较，若小于LSD 值则在a 后面加上b ，直至出现差值大于LSD 就停止比较；再以最上面标记b 的均值为标准在向下比较；直到所有的平均值都标记字母。
单因素方差分析经典例题
单因素方差分析经典例题单因素方差分析（AnalysisofVariance，简称ANOVA）是一种统计技术，可以用来确定两个或多个样本组（population）之间是否存在显著差异。
它可以用于研究不同课程在一类学生的表现，不同治疗方案的治疗效果，不同品牌的某一产品性能等等。
经典的单因素方差分析例题通常包括一组由测量数据组成的样本，这些样本可以分为若干组，每组由不同类型的数据组成，用来衡量变量之间的关系。
下面以一个三组数据的单因素方差分析为例，来介绍单因素方差分析的具体步骤。
首先，我们要说明需要分析的数据集。
本例中，数据集由三组数据组成，包括组1、组2和组3，它们的每组样本数目分别为10、15和20。
接下来，我们需要在数据集中定义一些变量，这些变量就是用来衡量两个或多个样本之间差异的指标，我们称之为“因变量”（dependent variables）。
在本例中，因变量可以是某种课程的平均成绩、某种药物的治疗效果或某种产品的性能指标等等。
最后，进行数据分析。
单因素方差分析的基本步骤包括一项假设检验，这项假设检验的目的是判断多组数据的方差是否相等，也就是要判断它们之间是否存在具有统计意义的差异。
如果存在某组数据的方差显著较大，那么就可以说它们之间存在显著差异。
如果多组数据的方差相等，那么就可以说它们之间没有显著差异。
最后，我们还要使用相关技术，如t检验或F检验，进一步确认多组数据之间是否存在显著差异，以及它们之间差异的程度有多大。
综上，我们可以总结单因素方差分析的基本步骤：首先将数据集定义为不同的组别，然后在数据集中定义一些变量，最后使用假设检验和相关技术来判断多组数据之间是否存在显著差异。
此外，单因素方差分析还可以被用来分析数据的分布特征，包括正态分布、偏态分布和椭圆分布等等。
如果实验结果显示数据分布类型有显著差异，那么我们就可以认为多组样本之间存在显著差异。
总之，单因素方差分析是一种统计技术，可以用来衡量两个或多个样本之间的差异，做出有参考价值的判断。
anova方差分析
anova方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种常用于比较多个样本均值差异的统计方法。
它通过分析样本之间的方差差异来推断总体均值是否存在显著差异。
在实际应用中，ANOVA有多种不同的形式，其中之一就是ANOVA方差分析。
本文将详细介绍ANOVA方差分析的原理、步骤以及应用。
一、ANOVA方差分析的原理ANOVA方差分析是一种通过将总体方差进行分解，来比较多个样本均值差异的统计方法。
其基本原理是将总体方差分解为两部分：组内方差和组间方差。
组内方差是指同一组内个体之间的方差，反映了个体之间的差异程度。
组间方差是指不同组之间个体均值的差异，反映了组间的差异程度。
ANOVA方差分析的核心思想就是通过比较组间方差与组内方差的大小，来判断各组均值是否存在显著差异。
二、ANOVA方差分析的步骤1. 确定假设在进行ANOVA方差分析前，首先需要明确研究的目的，并相应地提出原假设（H0）和备择假设（H1）。
通常情况下，原假设是各组均值相等，备择假设是各组均值存在显著差异。
2. 收集数据收集与研究问题相关的数据，包括各组的观测值。
3. 计算统计量利用收集到的数据，计算ANOVA方差分析所需的统计量。
主要包括组间均方（mean square between groups）、组内均方（mean square within groups）、F值等。
4. 假设检验利用计算得到的统计量，进行假设检验。
通常情况下，采用F检验进行判断，根据F值与临界值的比较结果，判断各组均值是否存在显著差异。
5. 结果解释根据假设检验的结果，给出对各组均值差异的解释。
如果拒绝原假设，则可以认为各组均值存在显著差异。
三、ANOVA方差分析的应用ANOVA方差分析在实际应用中有广泛的应用场景。
以下列举几个常见的实际应用案例：1. 教育领域研究研究不同学习方法对学生考试成绩的影响。
将学生分为几组，分别采用不同的学习方法进行学习，然后通过ANOVA方差分析比较各组学生的考试成绩是否存在显著差异。
R语言-方差分析
R语⾔-⽅差分析⽅差分析指的是不同变量之间互相影响从⽽导致结果的变化1.单因素⽅差分析: 案例:50名患者接受降低胆固醇治疗的药物,其中三种治疗条件使⽤药物相同(20mg⼀天⼀次,10mg⼀天两次,5mg⼀天四次),剩下的两种⽅式是(drugE和drugD),代表候选药物 哪种药物治疗降低胆固醇的最多?1 library(multcomp)2 attach(cholesterol)3# 1.各组样本⼤⼩4 table(trt)5# 2.各组均值6 aggregate(response,by=list(trt),FUN=mean)7# 3.各组标准差8 aggregate(response,by=list(trt),FUN=sd)9# 4.检验组间差异10 fit <- aov(response ~ trt)11 summary(fit)12 library(gplots)13# 5.绘制各组均值和置信区间14 plotmeans(response ~ trt,xlab = 'Treatment',ylab = 'Response',main='MeanPlot\nwith 95% CI')15 detach(cholesterol) 结论: 1.均值显⽰drugE降低胆固醇最多,1time降低胆固醇最少. 2.说明不同疗法之间的差异很⼤ 多重⽐较药品和服药次数1 library(multcomp)2 par(mar=c(5,4,6,2))3 tuk <- glht(fit,linfct=mcp(trt='Tukey'))4 plot(cld(tuk,level=.05),col='lightgrey') 结论:每天复⽤4次和使⽤drugE的时候治疗胆固醇效果最好 评估检验的假设条件1 library(car)2 qqPlot(lm(response ~ trt,data=cholesterol),simulate=T,main='Q-Q Plot',labels=F)3 bartlett.test(response ~ trt,data=cholesterol)4# 检测离群点5 outlierTest(fit) 结论:数据落在95%置信区间的范围内,说明数据点满⾜正态性假设 2.单因素协⽅差分析 案例:怀孕的⼩⿏被分为4各⼩组,每个⼩组接受不同剂量的药物剂量(0.5,50,500)产下⼩⿏体重为因变量,怀孕时间为协变量1 data(litter,package = 'multcomp')2 attach(litter)3 table(dose)4 aggregate(weight,by=list(dose),FUN=mean)5 fit2 <- aov(weight ~ gesttime + dose)6 summary(fit2)7 library(effects)8# 取出协变量计算调整的均值9 effect('dose',fit2)10 contrast <- rbind('no drug vs drug' = c(3,-1,-1,-1))11 summary(glht(fit2,linfct=mcp(dose=contrast)))12 library(HH)13 ancovaplot(weight ~ gesttime + dose,data=litter) 结论:0剂量产仔20个,500剂量产仔17个 0剂量的体重在32左右,500剂量在30左右 怀孕时间和体重相关 ⽤药剂量和体重相关 结论:⼩⿏的体重和怀孕时间成正⽐和剂量成反⽐3.双因素⽅差分析 案例:随机分配60只豚⿏,分别采⽤两种喂⾷⽅法(橙汁或者维C),各种喂⾷⽅法中含有抗坏⾎酸3钟含量(0.5,1,2) 每种处理组合都分配10只豚⿏,⽛齿长度为因变量1 attach(ToothGrowth)2 table(supp,dose)3 aggregate(len,by=list(supp,dose),FUN=mean)4 aggregate(len,by=list(supp,dose),FUN=sd)5# 将dose转换为因⼦变量,这样就不是⼀个协变量6 dose <- factor(dose)7 fit3 <- aov(len ~ supp*dose)8 summary(fit3)9 detach(ToothGrowth) 结论:主效应的对豚⿏⽛齿影响很⼤ 结论:在0.5~1mg的区间中维C的豚⿏的⽛齿长度超过使⽤橙汁的⼩⿏,在1~2的区间内同理,当超过2mg时,两者对豚⿏⽛齿的影响相同4.重复测量⽅差 案例:在⼀定浓度的CO2的环境中⽐较寒带植物和⾮寒带植物的光合作⽤率进⾏⽐较1 CO2$conc <- factor(CO2$conc)2 w1b1 <- subset(CO2,Treatment == 'chilled')3 fit4 <- aov(uptake ~ conc*Type + Error(Plant/(conc)),w1b1)4 summary(fit4)5 par(las=2)6 par(mar=c(10,4,4,2))7 with(w1b1,interaction.plot(conc,Type,uptake,type='b',col=c('red','blue'),pch=c(16,18),8 main='Interaction plot for plant type and concentration'))9 boxplot(uptake~Type*conc,data=w1b1,col=c('gold','green'),10 main = 'Chilled Quebec and Mississippi Plants',11 ylab="Carbon dioxide uptake rate (umol/m^2 sec)") 结论:魁北克的植物⽐密西西⽐州的⼆氧化碳的吸收率⾼,随着CO2的浓度体⾼,效果越明显5.多元⽅差分析 案例:研究美国⾷物中的卡路⾥,脂肪,糖分是否会因货架的不同⽽不同1 library(MASS)2 attach(UScereal)3 shelf <- factor(shelf)4 y <- cbind(calories,fat,sugars)5 aggregate(y,by=list(shelf),FUN=mean)6 cov(y)7 fit5 <- manova(y ~ shelf)8 summary(fit5)9 summary.aov(fit5) 找出离群点1 center <- colMeans(y)2 n <- nrow(y)3 p <- ncol(y)4 cov <- cov(y)5 d <- mahalanobis(y,center,cov)6 coord <- qqplot(qchisq(ppoints(n),df=p),d,7 main="QQ Plot Assessing Multivariate Normality",8 ylab="Mahalanobis D2")9 abline(a=0,b=1)10 identify(coord$x,coord$y,labels = s(UScereal)) 结论:在不同的货架上的⾕物营养成分不同,有两个产品不符合多元正态分布1 library(rrcov)2# 稳健多元⽅差分析3 Wilks.test(y,shelf,method='mcd') 结论:稳健检测对离群点和违反MANOVA不敏感,证明了在不同货架的⾕物营养成分不同的结论。
方差的实际应用例子
方差的实际应用例子
以下是 6 条关于方差实际应用例子：
1. 嘿，你知道吗？在股票投资里方差可重要啦！就好比你选股票，有些股票波动那叫一个大呀，一会儿涨得超高，一会儿又跌得很惨，这波动的大小不就是方差在起作用嘛！你想想看，要是方差小的股票，是不是感觉会稳当一些呢？
2. 哎呀呀，学校的考试成绩也和方差有关系哟！比如说一个班级，成绩特别稳定，大家分数都差不多，那这时方差就小。
但要是有的同学考接近满分，有的同学却不及格，那方差可就大啦！这就好像一条平静的小河和波涛汹涌的大海，这比喻形象吧？
3. 你知道吗，方差在质量控制里也是关键呢！比如生产零件，要是方差小，就说明生产的零件质量都很接近，很稳定。
但要是方差大，那可能就会出现很多不合格产品啦！你说这是不是很重要呢？
4. 哇塞，在运动员的训练中也能看到方差的影子呀！像跑步训练，如果运动员每次的成绩相差很小，方差就小，说明状态稳定。
但如果有时候快得惊人，有时候又慢很多，那方差不就大了嘛！这就像开车，平稳行驶和忽快忽慢差别多大呀！
5. 嘿，农业生产也离不开方差呢！比如说种苹果，一棵树上结的苹果大小都差不多，那方差就小。
但要是有的特别大，有的又特别小，那方差肯定就大咯！你说农民伯伯能不关心这个吗？
6. 你想想看，天气预报里头其实也有方差呢！如果每天的温度都很接近，方差小，天气就比较稳定。
但要是今天热得要命，明天又冷得要死，那方差肯定大啦！这不就像心情，时好时坏和一直平和能一样吗？
总之，方差在生活中的好多地方都起着作用呢！真是想不到吧！。
单因素方差分析完整实例
单因素方差分析完整实例假设有一家医院的研究人员想要比较三种不同药物对高血压患者的降压效果。
为了进行实验，他们随机选择了60名患有高血压的病人，并将他们随机分成三组。
第一组患者接受药物A的治疗，第二组患者接受药物B的治疗，第三组患者接受药物C的治疗。
在治疗开始前，研究人员记录了每个患者的收缩压数据。
第一步是对数据进行描述性统计分析。
研究人员计算了每一组的平均值、标准差和样本量。
结果如下：药物A组：平均收缩压150，标准差10，样本量20药物B组：平均收缩压145，标准差12，样本量20药物C组：平均收缩压155，标准差15，样本量20第二步是进行假设检验。
研究人员的零假设是所有药物的降压效果相同，即三组的平均收缩压相等。
备择假设是至少有一组的平均收缩压不同。
为了进行单因素方差分析，我们需要计算组内方差和组间方差，然后进行F检验。
组内方差反映了每一组内部数据的离散程度，组间方差反映了不同组之间平均值的差异程度。
组内方差的计算方法是对每一组的方差进行平均，然后再对所有组的方差进行加权平均。
组间方差的计算方法是对所有组的平均值进行方差分析。
我们通过公式计算出组内方差为10.08，组间方差为58.67、接下来我们计算F值，F值是组间方差除以组内方差的比值。
F=组间方差/组内方差=58.67/10.08=5.81第三步是通过查找F分布表来计算p值。
根据自由度为2（组数-1）和df = 57（总样本量-组数）的F分布表，我们可以找到在F = 5.81条件下的p值。
假设我们选择显著性水平为0.05，我们发现在F分布表上，F=5.81对应的p值小于0.05、因此，我们拒绝零假设，接受备择假设。
这意味着至少有一组的平均收缩压与其他组有显著差异。
最后一步是进行事后检验。
由于我们有三组进行比较，我们可以使用事后检验方法来确定哪两组之间存在显著差异。
常用的事后检验方法包括Tukey HSD检验、Duncan检验等。
综上所述，单因素方差分析可以帮助我们判断不同组之间是否存在显著差异。
方差分析案例
“地域”与“抑郁”朱平辉改编自西南财大网（案例分析者刘玲同学）一、案例简介美国人作了一项调查，研究地理位置与患抑郁症之间的关系。
他们选择了60个65岁以上的健康人组成一个样本，其中20个人居住在佛罗里达，20个人居住在纽约、20个人居住在北卡罗来纳。
对中选的每个人给出了测量抑郁症的一个标准化检验，搜集到表1中的资料，较高的得分表示较高的抑郁症水平。
研究的第二部分考虑地理位置与患有慢性病的65岁以上的人患抑郁症之间的关系，这些慢性病诸如关节炎、高血压、心脏失调等。
这种身体状况的人也选出60个组成样本，同样20个人居住在佛罗里达，20个人居住在纽约、20个人居住在北卡罗来纳。
这个研究记录央视主持人崔永元对外公开其患有抑郁症后，使人们对这种精神疾病有了更多的关注。
通过对以上两个数据集统计分析，你能从中看出什么结论？你对该疾病有什么认识？二、抑郁症的相关知识抑郁症有两种含义，广义的抑郁症包括情感性精神病、抑郁性神经症、反应性抑郁症、更年期抑郁症等；狭义的则仅指情感性精神病抑郁症。
抑郁症在国外是一种十分常见的精神疾病，据报告，其患病率最高竟占人群的10％左右，而且社会经济情况较好的阶层，患病率越高。
世界卫生组织预测，抑郁症将成为21世纪人类的主要杀手。
全世界患有抑郁症的人数在不断增长，而抑郁症患者中有10—15%面临自杀的危险……引起抑郁症的原因有很多，为了了解地理位置对抑郁症是否有影响,我们做如下的案例分析：三、地理位置与患抑郁症之间是否有关系作为对65岁以上的人长期研究的一部分，在纽约洲北部地区的Wentworth医疗中心的社会学专家和内科医生进行了一项研究，以调查地理位置与患抑郁症之间的关系。
选择了60个相当健康的人组成一个样本，其中20人居住在佛罗里达，20人居住在纽约，20人居住在北卡罗米纳。
对中选的人给出了测量抑郁症的一个标准化实验，搜集到表1中的资料，较高的分表示较高的抑郁症水平。
研究的第二部分考虑地理位置与患有慢性病的65岁以上的人患抑郁症之间的关系，这些慢性病诸如关节炎、高血压、心脏失调等。
spss 多因素方差分析例子
作业8：多因素方差分析1，data0806-height是从三个样方中测量的八种草的高度，问高度在三个取样地点,以及八种草之间有无差异？具体怎么差异的？打开spss软件，打开data0806-height数据，点击Analyze—〉General Linear Model —>Univariate打开：把plot和species送入Fixed Factor（s)，把height送入Dependent Variable，点击Model 打开:选择Full factorial，Type III Sum of squares,Include intercept in model（即全部默认选项)，点击Continue回到Univariate主对话框，对其他选项卡不做任何选择,结果输出：因无法计算MM e rror,即无法分开MM intercept和MM error，无法检测interaction的影响，无法进行方差分析，重新Analyze—〉General Linear Model-〉Univariate打开：选择好Dependent Variable和Fixed Factor（s)，点击Model打开：点击Custom，把主效应变量species和plot送入Model框，点击Continue回到Univariate主对话框，点击Plots：把date送入Horizontal Axis，把depth送入Separate Lines，点击Add，点击Continue回到Univariate对话框，点击Options：把OVERALL,species, plot送入Display Means for框,选择Compare main effects,Bonferroni，点击Continue回到Univariate对话框，输出结果:可以看到:SS species=33.165，df species=7，MS species=4.738；SS plot=33.165，df plot=7，MS plot=4.738；SS error=21。
单因素方差分析 案例
单因素方差分析案例雌性老鼠和雄性老鼠，在注射毒素后，经过一段时间，观察老鼠死亡和存活情况。
研究的问题是：老鼠在注射毒液后，死亡和存活情况，会不会跟性别有关？样本数据如下所示：（a代表雄性老鼠b代表雌性老鼠0代表死亡 1 代表活着tim 代表注射毒液后，经过多长时间，观察结果）点击“分析”——比较均值———单因素AVOVA, 如下所示：从上图可以看出，只有“两个变量”可选, 对于“组别（性别）”变量不可选，这里可能需要进行“转换”对数据重新进行编码，点击“转换”—“重新编码为不同变量”将a,b"分别用8,9进行替换，得到如下结果”此时的8 代表a(雄性老鼠）9代表b雌性老鼠，我们将“生存结局”变量移入“因变量列表”框内，将“性别”移入“因子”框内，点击“两两比较”按钮，如下所示：“勾选“将定方差齐性”下面的LSD 选项，和“未假定方差齐性”下面的Tamhane's T2选项点击继续点击“选项”按钮，如下所示：勾选“描述性”和“方差同质检验”以及均值图等选项，得到如下结果：结果分析：方差齐性检验结果，“显著性”为0，由于显著性0<0.05 所以，方差齐性不相等，在一般情况下，不能够进行方差分析但是对于SPSS来说，即使方差齐性不相等，还是可以进行方差分析的，由于此样本组少于三组，不能够进行多重样本对比从结果来看“单因素ANOVA”分析结果，显著性0.098，由于0.098>0.05 所以可以得出结论：生存结局受性别的影响不显著很多人，对这个结果可能存在疑虑，下面我们来进一步进行论证，由于“方差齐性不相等”下面我们来进行“非参数检验”检验结果如下所示：（此处采用的是“Kruskal-Wallis "检验方法）通过“Kruskal-Wallis ”检验方法，我们得出“sig=0.098" 跟我们先前分析的结果一样，都是0.098，事实得到论证。
方差分析实例
方差分析实例
案例分析一：
方差分析实例
某化工厂化验室检验过程中要确定温度（记为因子A)对检验结果的影响。
现让同一个检验人员从同一批样品中随机抽取三个样品，用同一种测量方法、同一台仪器，在四个温度水平（记为A1、A2、A3、A4）下对三个样品主要成分进行测量，数据如下表，其中，含量的单位为％，温度单位为℃，测定结果的显著性水平α＝0.05。
温度和含量的数据分析图含量（％）
从数据图可清晰得知，温度对样品中主要成分的含量的测量结果有着显著的影响，即温度越高，样品含量越大。
为了减少决策风险，对于
该结论还需进行方差分析。
（二）组间方差齐性检验
1、计算A1~A4的极差R1~R4,
2、平均极差R ,
3、根据α＝0.05，m＝3，查“均值－极差控制图系数表”得D3、D4，
4、计算上临界值：D4*R；下临界值：D3*R
5、验证R1~R4是否在上下临界值直间，即D3R﹤R1,R2,R3,R4﹤D4R，则证明每个水平内样品的测定数据方差是一致的。
（三）计算因子A在每一温度水平下不同样本测定数据的和Ti及总和Tn
（四）依次计算平方和Sr、S A、Se及自由度fr、f A、fe
（五）计算各均方及F比值并列出方差分析表
F＝105.685
（六）根据F＝105.685，对于给定的显著性水平α＝0.05，查F 分布表F1-α（F A，Fe），可得1-α＝0.95，F0.95（3，8）＝4.07，F﹥F0.95（3，8），因此，温度对含量测定结果的影响是显著的。
双因素方差分析实例
❖ 温度sig.=0.016，0.01＜P＜0.5………… 不同处理温度之间有差 异。
❖ 时间*温度sig.=0.000，P＜0.01………… 不同时间与温度的交互 作用对得率有极显著差异。
❖ 温度A3与A1差异显著，A2与A1差异显著，A2和A3差异 不显著。
取时间（B）对产品得率的
影响。提取温度（A）有3个
水平，A1为80℃、A2为90℃、
A3为100℃；提取时间B有3
A1
个水平，B1为40min，B2为
30min，B3为20min，共组成
9个水平处理组合，每个水
平组合含3个重复。实验结
A2
果如表所示，试分析提取温
度和提取时间对该产品得率
的影响。
提取时间/min
说明3个化验员的检验技术没有显著差异。
❖ B2与B5、B1与B9，B4与B3、B8与B4、B3、B10与B8差异不显著； ❖ 不同贮酒罐内葡萄酒的酒精度均差异显著。 ❖ 酒精度最高的B7，最低的是B5和B2。
双因素方差分析（有重复）
为了提高某产品的得率， 提取温 研究了提取温度（A）和提 度/℃
双因素方差分析（无重复）
某葡萄酒企业有化验员3人，担任葡萄酒酒精度检验。每
人从B1到B10 10个贮酒罐随机抽样1次进行检验，检验结果如 表所示，试分析3名化验员的化验技术有无差异，以及每罐葡
萄酒的酒精度有无差异。
化验
贮酒罐编号
员
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
A1
11.71 10.81 12.39 12.56 10.64 13.26 13.34 12.67 11.27 12.68
方差分析(F检验)
10
因组间变异数大小与组数（组间自由度K-1）有关，故用 组间变异数除以自由度所得组间均方来表示组间变异。
ss 组间 ms 组间 k 1
k=组数
因组内变异数大小与各样本含量大小即组内自由度∑(ni –1) 有关，故用组内变异数除以组内自由度所得组内均方来表示 组内变异。
ms 组内
ss 组内 1 ) (n i
I
2019/2/11
23
15例患者体温降至正常 所需要的天数 甲法 乙法 丙法 5 5 7 5 5 9 5 7 9 7 7 9 7 7 9
[ 问题 2] 例 2 的总变异来源与例 1 有何异同点？ [ 答案 2] 共同点是其总变异来源都是来自于 处理因素变异和抽样误差变异，这不仅是它们 的共同点，而且是所有方差分析资料总变异来 源的共同点。
2019/2/11
17
随机区组设计资料 方差分析
研究酵解作用对血糖 受试者号 放置时间（分） 浓度的影响，从8名健康 45 90 135 人中抽取了血液并制备成 （区组） 0 1 5.27 5.27 4.94 4.61 血滤液，每个受试者的血 2 5.27 5.22 4.88 4.66 滤液分成四份，再随机把 3 5.88 5.83 5.38 5.00 4 5.44 5.38 5.27 5.00 4份血液分别放置0、45、 5 5.66 5.44 5.38 4.88 90、135分钟后测定其血 6 6.22 6.22 5.61 5.22 糖浓度，试分析放置不同 7 5.83 5.72 5.38 4.88 时间的血糖浓度有无变化。 8 5.27 5.11 5.00 4.44
2
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15例患者体温降至 正常所需要的天数 甲法 乙法 丙法 5 5 7 5 5 9 5 7 9 7 7 9 7 7 9
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方差分析方法
方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1. 方差分析的意义、用途及适用条件
1.1 方差分析的意义
方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。
即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。
方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。
1.2 方差分析的用途
1.2.1 两个或多个样本均数的比较。
1.2.2 分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。
1.2.3 分析两因素或多因素的交叉作用。
1.2.4 方差齐性检验。
1.3 方差分析的适用条件
1.3.1 各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。
1.3.2 各抽样总体的方差齐。
1.3.3 影响数据的各个因素的效应是可以相加的。
1.3.4 对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）
根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
用方差分析比较多个样本均数的目的是推断各种处理的效果有无显著性差异，如各组方差齐，则用F检验；如方差不齐，用近似F值检验，或经变量变换后达到方差齐，再用变换值作F检验。
如经F检验或近似F值检验，结论为各总体均数不等，则只能认为各总体均数之间总的来说有差异，但不能认为任何两总体均数之间都有差异，或某两总体均数之间有差异。
必要时应作均数之间的两两比较，以判断究竟是哪几对总体均数之间存在差异。
在环境科学研究中，常常要分析比较不同季节对江、河、湖水中某种污染物的含量
有无显著性影响；各种气象条件如风向、风速、温度对大气中某种污染物含量的影响等问题。
我们把季节、风向、风速、温度等称为因素。
仅按不同季节，或不同的风向，或不同的温度来分组，称为单因素。
例1 某年度某湖不同季节湖水中氯化物含量（mg/L）测定结果如表—6.1所示。
试比较不同季节湖水中氯化物含量有无显著性差异。
从表—1的测定结果可见有三种变异：
1. 组内变异：每个季节内部的各次测定结果不尽相同，但显然不是季节的影响，而只是由于误差（如个体差异、随机测量误差等）所致。
2. 组间变异：各个季节的均数也不相同，说明季节对湖水中氯化物的含量可能有一定的影响，也包括误差的作用。
3.总变异：32次测定结果都不尽相同，既可能受季节的影响，也包括误差的作用。
不同季节湖水中氯化物含量的均数之间的变异究竟是由于误差所致，还是由于不同季节的影响，可以用方差分析来解决此问题。
方差分析可表示：
⑴从总变异中分出组间变异和组内变异，并用数量表示变异的程度。
⑵将组间变异和组内变异进行比较，如二者相差甚微，说明季节影响不大；如二者相差较大，组间变异比组内变异大得多，说明季节影响不容忽视。
以下是三种变异的计算方法：
3.1 多个方差的齐性检验
已知多个样本（理论上均来自正态总体）方差，可以据此推断它们所分别代表的总体方差是否相等，即多个方差的齐性检验。
其常用于：
⑴说明多组变量值的变异度有无差异。
⑵方差齐性检验。
以例1为例（各组样本含量相等），如表—4所示。
3.确定P值：根据υ=4—1=3，查附表—12得P<0.005。
4.判断结果：由于P<0.005，因此，四组方差不齐。
3.2 近似F值检验（F'检验）
以例2为例，如表—6所示。
公式26最常用，公式27适用于原数据中有小值和零时。
K为常数，可以根据需要选用合适的数值。
⑵对数变换的用途：
①当几个样本均数作比较时，如样本方差不齐，尤其是当标准差与均数之比的比值接近时，必须经对数变换以缩小各方差之间的差别，达到方差齐后才能进行t检验或方差分析。
②适用于呈对数正态分布的资料。
③在曲线拟合中，对数变换常常是直线化的重要手段，如指数曲线、双曲线、logistic 曲线的直线化等。
例3 欲用t检验比较某河丰水期和枯水期的河水BOD5（mg/L）含量均数，资料如表—7所示。
此数据能否直接用t检验方法？如不能，试作变量变换。
二者比较接近，可以试用对数变换。
⑶将X作“lgX +1”变换后，再作方差齐性检验，得F=1.72，P>0.05，两组方差齐，可以用变换值作两样本均数比较的t检验。
2.平方根变换
以原数据的平方根作为统计分析的变量值，称为平方根变换。
⑴平方根变换的形式：
⑶百分数的概率单位变换：主要用于S形或反S形曲线的直线化、正态性检验，尤其适用于剂量反应曲线的直线化。
⑷百分数的logit变换：主要用于S形或反S形曲线的直线化。
⑸反双曲正切变换：用于两直线相关系数的比较与合并。
4. 两因素方差分析（双因素多个样本均数的比较）
将试验对象按性质相同或相近者组成配伍组，每个配伍组有三个或三个以上试验对象，然后随机分配到各个处理组。
这样，分析数据时将同时考虑两个因素的影响，试验效率较高。
例5 某市为了研究一日中不同时点以及不同区域大气中氮氧化物含量的变化情况，该市环保所于某年1月15～19日，在市区选择了7个采样点，对大气中氮氧化物的含量进行测定。
表—9为各个采样点每个时点五天的平均含量，试分析不同时点、不同区域氮氧化物含量之间有无显著性差异。
5. 多因素方差分析（多因素多个样本均数的比较）
在环境科学研究中，所研究的事物或现象往往是比较复杂的多因素问题，而各种因素本身尚有程度的差别，其间往往又存在交互作用。
当研究的因素在三个或三个以上时，可以用正交试验法。
正交试验是一种高效、快速的多因素试验方法。
正交试验的设计与分析见另外章节。
“多因素多个样本均数的比较”不仅可以用于正交试验，也可以用于拉丁方试验分析与析因试验分析等。
6．多个样本均数间的两两比较（多重比较）
经方差分析后，如果各总体均数有显著性差异时，常需进一步确定哪两个总体均数间有显著性差异，哪两个之间无显著性差异。
因此，可以利用方差分析提供的信息作样本均数间的两两比较。
以例5为例：（每组样本含量相等）经方差分析后，认为不同时点以及不同区域的氮氧化物含量之间均有高度显著性差异。
现在需要进一步检验不同时点的氮氧化物含量均数两两之间有无显著性差异。
检验步骤如下：
1.检验假设：各时点的氮氧化物含量均数之间两两相等。
⑷q值的计算方法与上例相同。
3.确定P值与判断结果如表—13所示。