二阶与三阶行列式

a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32(6)
a 31 a 32 a 33
a 1a 1 2a 3 3 2a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 3 2a 2 3,1
（ 3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22
(4)
表达a式 11a22a12a21称为数4） 表所 （确定的 行列式，并 a11记a1作 2 (5)
a21 a22
即
Da11 a21
a a1 22 2a1a 122 a1a 22.1
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22a12a21.
a 22
对于二元线性方程组 a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
若记
Da11 a12,
系数行列式
a21 a22
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,. Da11 a12, a21 a22
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
b1, b2,
a31x1 a32x2 a33x3 b3;
若记
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
或
b 1 b2
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
b 1
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 2
D
3(4)70,
21
12 D1 1
2
3
1 14, D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有 9个数排3行 成3列的数表
a11 a12 a13
两式相减x消 2，去 得
（ a 1 a 2 1 a 2 1 a 2 ） 2 x 1 b 1 a 2 a 2 1 b 2 ; 2
类似地，消 x1，去得 （ a 1 a 2 1 a 2 1 a 2 ） 2 x 1 2 a 1 b 2 1 b 1 a 2 ,1
当 a1a 1 22 a1a 2 21 0时方， 程组的解为 x1 ab111aa2222aa1122ba221，x2aa 11a 1b 1 222 a b1 1aa 2 2211.
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
b1, b2,
a31x1 a32x2 a33x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
b1, b2,
a31x1 a32x2 a33x3 b3;
b1 a12 a13
记
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
b1 a12 a13
即
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
b1, b2,
a31x1 a32x2 a33x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
b1, b2,
a31x1 a32x2 a33x3 b3;
a11 b1 a13
D1
b1 b2
a12, a22
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a 11 a 12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a 21 a 22
a31 a32 a33 a 31 a 32 D a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 a 1 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 a 1 3 3 a 2 1 a 2 a 2 3 1 a 3 1 a 2 a 3 3 2 .1
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a133a1a 12a 33.2
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
D1
b1 b2
a12, a22
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
Da11 a12, a21 a22
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
一、二阶行列式的引入
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用消元法解二元线性方程组
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
1 2
1a22: a 1 a 2 1 x 1 2 a 1 a 2 2 x 2 2 b 1 a 2 ,2 2a12: a 1 a 2 2 x 1 1 a 1 a 2 2 x 2 2 b 2 a 1 ,2