2.1 等式性质与不等式性质
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT
不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
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二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
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二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
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二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
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二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
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二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
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三、 不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证
2.1 等式性质与不等式性质高一数学(人教A版2019必修第一册)
2.1等式性质与不等式性质【考点梳理】考点一：比较大小的方法依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小考点二：重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．考点三：等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .考点四二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>bc>0⇒ac>bcc的符号a>bc<0⇒ac<bc5同向可加性a>bc>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)同正【题型归纳】题型一：已知条件判断所给不等式的大小1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知,a b R∈，且a b>，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．11a b<B ．||||a b >C ．22a b >D ．33a b >2．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b>D ．11a b a>-3．（2022·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））若110a b<<，则下列不等式正确的是（）A ．a b>B ．a b<C ．3311a b >D ．a b ab+<题型二：不等式的性质比较数的大小4．（2022·浙江省淳安中学高一期中）已知实数,a b 满足0a b >>，则“0c b <<”是“1111a b a c b c+<++-”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．b aa b>B ．11b b a a +>+C ．11a b b a->-D ．11ba>6．（2022·山东青岛·高一期末）已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（）A ．ae be >B ．22c d <C ．0e ea c d b+>--D ．()ea d c b->题型三：作差法或作商法比较不等式的大小7．（2022·甘肃张掖·高一期末）若(1)(3)a x x =++，22(2)b x =+，则下列结论正确的是（）A ．a b>B ．a b<C ．a b≥D ．a ，b 大小不确定8．（2021·山东·泰安一中高一期中）设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（）．A ．p q>B ．p q<C ．p q≥D ．p q≤9．（2022·河北沧州·高一期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，c d >，则22a c b d ->-B ．若a ，b ∈R ，则2ab ba +≥C ．若0ab >>，0m n >>，则b b ma a n+<+D ．若||a b >，则22a b >题型四：利用不等式求取值范围10．（2022·吉林延边·高一期末）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤11．（2022·江苏·高一）已知23,21<<-<<-a b ，则2a b -的取值范围为（）A ．(0,2)B ．(2,5)C ．(5,8)D ．(6,7)12．（2021·全国·高一专题练习）下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是（）A ．1x <-B ．10x -<<C ．01x <<D ．1x >题型五：由不等式性质证明不等式13．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若a b <，0c <，则()0a b c ->；(2)若0a <，10b -<<，则2a ab ab <<．14．（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <；(2)若a b >，且a ，b 同号，0c >，则c ca b<；(3)若0a b >>，且0c d >>，则a bd c>．15．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）（1）已知a ，b ，c ，d 均为正数.求证：()a b +()()()16b c c d d a abcd+++≥（2）已知0xy >.求证：1x <1y的充要条件为x >y 【双基达标】一、单选题16．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b =C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b>17．（2022·江苏·高一）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（）A ．x y>B ．x y<C ．x y=D ．无法确定18．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，c d <，则a c b d -<-B ．若0a b >>，0c d <<，则ac bd <C ．若0a b >>，则2211a b >D ．若0a b c >>>，则c c a b>19．（2022·广东珠海·高一期末）对于任意实数a b c d ,,,，给定下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若,a b c d >>，则a c b d ->-C ．若22ac bc >，则a b>D ．若a b <，则11a b>20．（2022·湖南·高一课时练习）已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是（）A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．无法确定21．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)()21m -与()21m +；(2)()()222121x x x x ++-+与()()2211x x x x ++-+．22．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：(1)若0a b <<，0c d <<，则ac bd >；(2)若0a b >>，0c d >>，则22a c b d >．【高分突破】一：单选题23．（2022·湖南永州·高一期末）若m n >，则下列不等式一定成立的是（）A ．m c n c->-B ．m n>C ．mc nc>D ．11m n<24．（2022·北京顺义·高一期末）已知||||0m n >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．m n >B ．||0m n +>C ．0m n +<D ．11m n<25．（2022·山西运城·高一期末）如果,,a b c ∈R ，且0abc ≠，那么下列命题中正确的是（）A ．若11a b<，则a b >B ．若ac bc >，则a b >C ．若33a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b>26．（2022·湖南·高一期末）已知1,0a b c >>>，则下列不等式一定成立的是（）A ．1a bcb ac c+<+B ．1a bcb ac a+<+C ．a bcc b ac+<+D ．a bca b ac+<+27．（2021·四川成都·高一期末（文））若a ，b 为实数，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若22a b >，则a b>D ．若a b >，则22a b >28．（2022·山东滨州·高一期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g 黄金，售货员先将6g 的砝码放在天平左盘中，取出x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g 的砝码放在天平右盘中，再取出y g 黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（）A ．12x y +>B ．12x y +=C ．12x y +<D ．以上选项都有可能29．（2022·上海虹口·高一期末）设a 、b 都是实数，则“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要30．（2022·北京平谷·高一期末）已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a bc c>，则a b >C ．若a b >，0ab <，则11a b>D ．若22a b >，0ab >，则11a b<二、多选题31．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一）下列命题为真命题的是（）A ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-<B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0,0b a m <<<，则m ma b>D ．若,a b c d >>，则ac bd>32．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（）A ．若0a b >>，则11a b<B ．若0a b >>，0m >，则b m ba m a+>+C ．0a b >>，则3322a b a b ab ->-D ．若0a b >>，则22ac bc >33．（2022·贵州贵阳·高一期末）下列说法正确的有（）A ．若,a b c d ><，则a c b d ->-B ．若0,0a b c d >><<，则ac bd <C ．若0a b c >>>，则c ca b >D ．若0a b c >>>，则a a cb b c+<+34．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（）A ．若0b a >>，则11a b>B ．若a b >，则ac bc >C ．若a b >，c d >，则a c b d+>+D ．若22ac bc >，则a b>35．（2022·辽宁·育明高中高一期末）若实数a b <，则下列不等关系正确的是（）A ．若1a >，则log 2a ab >B ．若0ab ≠，则11a b>C ．若0a >，则2211b a a b>++D ．22ac bc <36．（2022·湖南衡阳·高一期末）下列命题为假命题的是（）A ．若a b >，则11a b<B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+C ．若a b <，c d <，则ac bd<D ．若0a b c <<<，则b bc a a c+<+37．（2022·辽宁丹东·高一期末）如果a ，b ，c ，d R ∈，那么（）A ．若a b >，则11a b<B ．若22ac bc >，则a b>C ．若a b >，c d >，则ac bd>D ．若a b >，c d >，则a c b d+>+38．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）下列命题是真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <C ．若11a b>，则a b <D ．若0a b c >>>，则a c ab c b+<+39．（2022·江苏镇江·高一期末）对于实数a ，b ，c ，正确的命题是（）A ．若a b >，则2a ba b +>>B ．若0a b >>，则a ab b >>C ．若11a b>，则0a >，0b <D ．若0a b >>，0c >，则a a cb b c+>+40．（2022·湖南张家界·高一期末）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则a c b c ->-B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若a b >，则33a b >D ．若0a b >>，则22a ab b >>三、填空题41．（2022·全国·高一）下列四个代数式①4mn ，②224+m n ，③224m n +，④22m n +，若0m n >>，则代数式的值最大的是______．（填序号）．42．（2022·全国·高一）已知14a -<<，12b <<，则-a b 的取值范围是__________．43．（2022·全国·高一）若a 、b ∈R ，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是__________．(填序号)44．（2021·天津市滨海新区大港第八中学高一期中）比较大小：239x x -+___(2)(1)x x --.（填;≤≥<>；；）45．（2021·全国·高一专题练习）给出以下四个命题：①*()n n a b a b n N >⇒>∈；②*||()n n a b a b n N >⇒>∈；③110a b a b<<⇒>；④110a b a b a <<⇒>-．其中真命题的序号是________．46．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材.已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元.设1个排球的价格为A 元，1个足球的价格为B 元，则A ___________B （填“>”､“<”或“=”）.47．（2022·江苏·高一）若0a b <<，则下面有六个结论：①22a b >，②33a b >，③11a b <，④1a b>，⑤11a b a >-，⑥a b >-中，正确结论的序号是_______．四、解答题48．（2021·湖北·车城高中高一）（1）已知23x <<，23y <<，求x y -和xy的取值范围；（2）已知24<+≤x y ，13x y -<-<，求3x y +的取值范围.49．（2021·全国·高一专题练习）（1）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a b b +≤c dd+；（2）已知c >a >b >0，求证：a bc a c b>--50．（2021·全国·高一）已知0a b >>，0c d <<，0m <，求证：(1)11a cb d<--；(2)m ma cb d>--.51．（2021·全国·高一）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：a bb+≤c dd+；（2）已知c>a>b>0，求证：a bc a c b>--；（3）观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由【答案详解】1．D 【详解】对A ，当2,1a b ==-时，11a b<不成立，故A 错误；对B ，当1,2a b ==-时，||||a b >不成立，故B 错误；对C ，当1,2a b ==-时，22a b >不成立，故C 错误；对D ，因为3y x =为增函数，故a b >时33a b >一定成立，故D 正确；故选：D 2．D 【解析】【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A ，B ，C 正确，再举例说明D 错误..【详解】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b aa b ab --=>，所以11a b >，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.3．D 【解析】【分析】根据不等式的性质判断．【详解】110a b<<0b a ⇔<<a b ⇒<，A 错，B 错；331111()()a b a b <⇒<即3311a b<，C 错；0a b ab +<<，D 正确．故选：D ．4．A 【解析】【分析】由11a b a b ab++=，()11a c b c ab c b c a a b ++=+-+--，依题意可得只需比较()c b c a --与0的大小，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：因为11a b a b ab++=，()()()11a c b c a c b a a b a b c ab c b c +==+--+++--+又0a b >>，则0a b +>，所以要比较11a b +与11a c b c++-的大小，即比较1ab 与()1ab c b c a +--的大小，即比较()c b c a --与0的大小，当0a b >>且0b c >>时()0c b c a --<，且()()0a c b c +->，即()0ab c b c a ab <+--<，所以()11ab ab c b c a <+--，即1111a b a c b c+<++-，故充分性成立，当0c b >>时()()0c b c a c a b c ⎡⎤--=---<⎣⎦，此时也满足1111a b a c b c+<++-，故必要性不成立；即“0c b <<”是“1111a b a c b c+<++-”充分不必要条件；故选：A 5．D 【解析】【分析】利用不等式的性质可判断ABD ，取特殊值可判断C 选项.【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b>⋅，220a b >>所以a bb a>，故A 错误；选项B ：因为0a b >>，则0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b ba a+>+，故B 错误；选项C ：当11,23a b ==时，此时0a b >>，115322a b -=-=-，115233b a -=-=-，11b aa b -<-，故C 错误；选项D ：因为0a b >>，所以0a b >>，则11b a >，故D 正确.故选：D.6．C【详解】解：因为0,0,0a b c d e >><<<，所以ae be <，22c d >，故AB 错误；0c d ->->，所以0a c b d ->->，所以11a c b d <--，所以e e a c b d >--，即0e e a c d b+>--，故C 正确；对于D ，若12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-时，则()2e a d c b-==，故D 错误.故选：C.7．B【详解】解：因为22(2)(1)(3)b a x x x -=+-++()2228843x x x x =++-++245x x =++()2210x =++>，所以a b <．故选：B.8．D【解析】【分析】首先配方判断p 、q 均大于零，然后作商即可比较大小.()1222110132411p a a a a a -==>⎛⎫++ ⎪⎭+⎝=+++，22131024q a a a ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，则()()()222121111a a a a a a a q a p --+-++++=+=()()222222111a a a a =+-=++≥.故p q ≤，当且仅当0a =时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.9．C【解析】【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【详解】A ：令2a =，1b =；1c =，0d =，则20a c -=，21b d -=，不满足22a c b d ->-，故A 错误；B ：a ，b 异号时，不等式不成立，故B 错误；C ：()()()()b m b b m a b a n ma nb a n a a n a a n a++-+--==+++，0a b >>，0m n >>，0am bm ∴->，即b m b a n a+>+，故C 正确；D ：令1a =，2b =-，22a b >不成立，故D 错误.故选：C10．A【解析】【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围.【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤，由12a ≤≤，得724a b -≤-≤.故选：A.【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】23,21<<-<<-a b ，故426a <<，12b <-<，得528<-<a b 故选：C12．A【解析】【分析】根据给定条件解不等式2x x <，再分类等价转化即可求解作答.【详解】因21x x x<<，则有2x x <，解得：0x <或1x >，当1x >时，22311x x x x x ⇔<<<<，显然21x <不成立，无解，当0x <时，22311x x x x x⇔>><<，不等式31x >恒成立，解21x >得1x <-或1x >，则有1x <-，所以使不等式21x x x <<成立的x 的取值范围是1x <-.故选：A13．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）可知0a b ->，而0c <，即可得证；（2）可知2101b b >>>>-，而0a <，即可得证；(1)证明：a b >，0a b ∴->，又0c <，()0a b c ∴-<；(2)证明：10b -<<，201b ∴<<2101b b ∴>>>>-，又0a <，2a ab ab ∴<<．14．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）将0c d <<变为0c d ->->，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；（2）由a b >以及0c >，可得ac bc >，再根据a ，b 同号，得10ab >，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；（3）由0c d >>可得110d c >>，继而可得0a b d c >>,利用不等式的性质可得结论.(1)证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又0a b >>，故()()0a c b d ->->，即ac bd <；(2)证明：因为a b >，0c >，所以ac bc >，因为a ，b 同号，所以0ab >，10ab >，故11ac bc ab ab ⨯>⨯，即c c b a >，所以c c a b <；(3)证明：因为0c d >>，所以110d c >>，又0a b >>，所以0a b d c>>，故a b d c >.15．详见解析.【解析】【分析】（1）利用基本不等式即证；（2）利用不等式的性质，由x y >，0xy >可得1x <1y ，由1x <1y，0xy >，可得x y >，即证.【详解】（1）∵a ，b ，c ，d 均为正数，∴20,a b ab +≥>当且仅当a b =时取等号，同理可得20,20,20b c bc c d cd d a da +≥>+≥>+≥>，∴()()()()16a b b c c d d a abcd ++++≥，当且仅当a b c d ===时取等号；（2）充分性，因为x y >，0xy >，10xy >，∴1x <1y，必要性，因为1x <1y ，0xy >，所以x y >，综上，1x <1y的充要条件为x >y .16．D【解析】【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.17．B【解析】【分析】作差可得x-y 的表达式，根据题意，分析可得x-y 的正负，即可得答案.【详解】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B18．B【解析】【分析】利用不等式的性质逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若a b >，c d <，则c d ->-，故a c b d ->-，A 错；对于B 选项，若0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，所以，ac bd ->-，故ac bd <，B 对；对于C 选项，若0a b >>，则220a b >>，则2211a b <，C 错；对于D 选项，若0a b c >>>，则110b a >>，所以，c c a b<，D 错.故选：B.19．C【解析】【分析】利用特殊值判断A 、B 、D ，根据不等式的性质证明C ；【详解】解：对于A ：当0c =时，若a b >则0ac bc ==，故A 错误；对于B ：若0a =，1b =-，1c =-，10d =-，满足,a b c d >>，则1a c -=，9b d -=，a c b d ->-不成立，故B 错误；对于C ：若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故C 正确；对于D ：若1a =-，1b =满足a b <，但是11a b<，故D 错误；故选：C20．B【解析】【分析】采用作差法，将M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1相减，根据条件判断差的符号，即可比较大小.【详解】∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选：B.21．(1)22(1)(1)m m ≤-+(2)()()222121x x x x ++-+()()2211x x x x ≤++-+【解析】【分析】利用作差法得出大小关系.(1)()()()()221121214m m m m m m m --+=-+-++=-因为0m ≥，所以22(1)(1)0m m --+≤，当且仅当0m =时，取等号.即22(1)(1)m m ≤-+(2)()()222121x x x x ++-+()()2211x x x x -++-+()()2222222121x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+--+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为0x ≥，所以()()2222221210x x x x ⎡⎤⎡⎤+--+-≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当0x =时，取等号.故()()222121x x x x ++-+()()2211x x x x ≤++-+.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】【分析】（1）利用不等式的性质可证得结论；（2）由0a b >>，知220a b >>，利用0c d >>，即可证得结论；(1)0a b <<Q ，两边同乘以0c <，则ac bc>又0c d <<，两边同乘以0b <，则bc bd>即ac bd>(2)0a b >>，两边同乘以0a >，得20a ab >>；两边同乘以0b >，得20ab b >>，所以220a ab b >>>又0c >，则220a b c c >>，又0cd >>，则22b c b d >，即22a c b d>23．A【解析】选项A.根据不等式的基本性质可判断；选项B.当,m n 为负数时，根式无意义可判断；选项C.当0c ≤时的情况可判断；选项D.举特例可判断.【详解】选项A.由m n >，根据不等式的基本性质可得m c n c ->-成立，故选项A 正确.选项B.当,m n 为负数时，根式无意义，则m n >不成立.故选项B 不正确.选项C.当0c ≤时，mc nc >不成立.故选项C 不正确.选项D.取2,1m n ==-，显然m n >满足，但11m n <不成立，故选项D 不正确.故选：A24．B【解析】【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，分0,0n n ><两种情况判断【详解】对于A ，若2,1m n =-=时，满足||||0m n >>，而不满足m n >，所以A 错误，对于B ，当0n >时，则||0m n +>一定成立，当0n <时，由||||0m n >>，得m n >-，则||0m n +>，所以B 正确，对于C ，若2,1m n ==时，满足||||0m n >>，而不满足0m n +<，所以C 错误，对于D ，若2,1m n =-=-时，则满足||||0m n >>，而不满足11m n<，所以D 错误，故选：B25．D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.【详解】对于A ，若1a =-，1b =，满足11a b <，但a b >不成立，错误；对于B ，若0c <，则a b <，错误；对于C ，若2a =，1b =-，满足33a b >，但11a b<不成立，错误；对于D ，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.【解析】【分析】通过作差法来判断每一个选项.【详解】对于A ，()()()2211b c a bc ac bc b ac b ac c b ac c b ac c -++---==+++，当1c >时，()()210b c b ac c ->+，即1a bc b ac c +>+，则A 错误；对于B ，()()()()211a a c b ac a bc a abc b ac b ac a b ac a b ac a-+-++---==+++，当1a c >>时，0,1a c ac ->>，则()()()10a a c b ac b ac a -+->+，即1a bc b ac a+>+，则B 错误；对于C ，()221a c a bc a bc bc ac c b ac b ac b ac -++---==+++，当01c <<时，210c ->，则()210a c b ac ->+，即a bc c b ac+>+，则C 错误；对于D ，()()221a b b a c a bc a bc ab a c a b ac b ac b ac -+-++---==+++，因为1,0a b c >>>，所以()()210,0a b b a c -<-<，所以()()210a b b a cb ac -+-<+，即a bc a b ac+<+，则D 正确.故选：D27．D【解析】【分析】据特值可说明ABC 不正确；根据不等式的性质可得D 正确.【详解】对于A ，当1,2a b =-=-时，满足a b >，不满足22a b >，故A 不正确；对于B ，当1,2a b =-=-时，满足||a b >，不满足22a b >，故B 不正确；对于C ，当2,1a b =-=-时，满足22a b >，不满足a b >，故C 不正确；对于D ，若a b >0≥，则222||a b b >=，故D 正确.故选：D.28．A【解析】【分析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >，先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ，利用杠杆的平衡原理可得16a m b=，26b m a =，再利用作差法比较12m m +与12的大小即可．【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设)a b >，先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m ，由杠杆的平衡原理：16bm a =⨯，26am b =⨯，解得16a m b =，26b m a=，则1266a b m m b a +=+，下面用作差法比较12m m +与12的大小，212666()()1212a b b a m m b a ab-+-=+-=，又a b ≠，∴26()0b a ab->，1212m m ∴+>，∴顾客实际购买的黄金大于12克．故选：A ．29．A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合不等式性质即可判断作答.【详解】a 、b 都是实数，若1a >且2b >，由不等式性质得：3a b +>且2ab >成立，若3a b +>且2ab >成立，取1,52a b ==，而1a >且2b >不成立，所以“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的充分非必要条件.故选：A30．C【解析】【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析．【详解】A ．若a b >，当0c =时，22ac bc =，所以A 不成立；B ．若a b c c>，当0c <时，则a b <，所以B 不成立；C ．因为0ab <，将a b >两边同除以ab ，则11a b >，所以C 成立D ．若22a b >且0ab >，当00a b <⎧⎨<⎩时，则a b <，所以11a b >，则D 不成立．故选：C ．31．ABC【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加，即可证明；对于B 、C ：利用不等式的可乘性可以证明；对于D ：取特殊值2,1;2,3a b c d ===-=-即可否定结论.【详解】对于A ：因为12b <<，所以21b -<-<-.因为23a -<<，利用同向不等式相加，则有42a b -<-<.故A 正确；对于B ：因为22ac bc >，所以20c ≠，所以210c >，对22ac bc >两边同乘以21c，则有a b >.故B 正确；对于C ：因为0b a <<，所以110a b <<.因为0m <，所以0m ->.对11a b <两边同乘以m -，有m m a b --<，所以m m a b >.故C 正确；对于D ：取2,1;2,3a b c d ===-=-，满足,a b c d >>，但是4,3ac bd =-=-，所以ac bd >不成立.故D 错误.故选：ABC32．ABC【解析】【分析】根据不等式的性质判断AD ，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A 选项，因为0a b >>，故10ab>，故110a b <<，正确；对于B 选项，由于0a b >>，0m >，故0a b ->，0a m +>，故()()()()()0a b m b a m m a b b m b a m a a a m a a m +-+-+-==>+++，即b m b a m a+>+，正确；对于C 选项，由于0a b >>，故0a b ->，故()()()()332222220a b a b ab a a b b a b a b a b --+=-+-=-+>，即3322a b a b ab ->-，正确；对于D 选项，当0c =时，220ac bc ==，故错误.故选：ABC33．AB【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加可以证明；对于B ：利用同向不等式相乘可以证明；对于C ：利用不等式的可乘性可以判断；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===可以判断.【详解】对于A ：因为c d <，所以c d ->-，利用同向不等式相加可以得到：a c b d ->-.故A 正确；对于B ：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，利用同向不等式相乘可以得到：ac bd ->-，所以ac bd <.故B 正确；对于C ：因为0a b c >>>，所以11a b <.因为0c >，所以c c a b<.故C 错误；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===满足0a b c >>>，但是32a b =，43a cbc +=+，所以a a c b b c +>+.故D 错误.故选：AB34．ACD【解析】【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B 中c 为0的情况.【详解】选项A ：0b a >>，0.ab ∴>在不等式b a >两边同除以ab 得11a b>，A 正确；选项B ：当0c =时，ac bc =，B 错误；选项C ：同向不等式相加，不等号方向不变，C 正确；选项D ：22ac bc >，20c ∴>，两边同除以2c 得，a b >，D 正确.故选：ACD.35．AC【解析】【分析】直接利用不等式的性质、构造函数、作差法等进行逐项判断即可．【详解】对于A ：由于1b a >>，∴22log 2log log log 0a a a aab ab ab a a -=-=>，故A 正确；对于B ：由于a b <，且0ab ≠，则b －a ＞0，∴11b a a b ab --=不一定大于0，故B 错误；对于C ：设2()(1)f x x x =+，由于函数在(0,)+∞上单调递增，故f (b )＞f (a )，可得2211b a a b>++成立，故C 正确；对于D ：当0c =时，22ac bc =，故D 错误．故选：AC ．36．AC【解析】【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用不等式的性质判断，对于D ，利用作差法判断【详解】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，c d >，所以由不等式的性质可得a c b d +>+，对于C ，若2,1,1,2a b c d =-=-==，则2ac bd =-=，所以C 错误，对于D ，因为0a b c <<<，所以()0,()0c a b a a c ->+>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b b c a a c+<+，所以D 正确，故选：AC37．BD【解析】【分析】根据举例说明即可判断选项A 、C ，根据不等式的基本性质即可判断选项B 、D.【详解】A ：令11a b ==-，，满足a b >，但11a b>，故A 错误；B ：因为2220ac bc c >>，，所以a b >，故B 正确；C ：令11a b ==-，，11c d ==-，，满足a b >，c d >，但ac bd =，故C 错误；D ：因为a b >，c d >，由不等式的性质，得a c b d +>+，故D 正确.故选：BD38．BD【解析】【分析】举出反例可判断AC ，利用不等式的性质即可判断B ，利用作差法即可判断D.【详解】解：对于A ，若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；对于B ，若0a b >>，且0c d <<，则0c d ->->，所以ac bd ->-，所以ac bd <，故B 正确；对于C ，若11a b>，当1,1a b ==-时，a b >，故C 错误；对于D ，若0a b c >>>，则()()()()()0b a c a b c c b a a c a b c b b b c b b c +-+-+-==<+++，所以a c a b c b+<+，故D 正确.故选：BD.39．ABD【解析】【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a b b +--=>，所以2a b a b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>，1aaab b =>，所以a ab >，因为1ab a b b=>，所以ab b >，即a ab b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <.对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==>+++，故D 正确.故选：ABD40．ACD【解析】【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.【详解】由不等式性质知若a b >，则+()()a c b c ->+-，即a c b c ->-，A 对，取2,1,1,2a b c d ===-=-，则a b >，c d >，=ac bd ，B 错，因为a b >，所以0a b ->，所以2332223=()()()024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫---+=--+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(当且仅当0a b ==时等号成立)，而a b >，故33a b >，C 对，因为0a b >>，所以2a ab >，2ab b >，所以22a ab b >>，D 对，故选：ACD.41．③【解析】【分析】利用作差法比较大小即可．【详解】∵0m n >>，令②-①得：()2224042mn m n m n -=-+＞，∴②＞①，令③-②得：22222244330m n m n m n +--=-＞，∴③＞②，令③-④得：22222430m n m n m +--=＞，∴③＞④，∴代数式的值最大的是③.故答案为：③42．()3,3-【解析】【分析】利用不等式的基本性质可得答案.【详解】因为14a -<<，12b <<，则21b -<-<-，所以1241--<-<-a b ，即-a b 的取值范围是33a b -<-<．故答案为：()3,3-.43．①②【解析】【分析】利用作差法及不等式性质，即可作出判断.【详解】①a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，正确；②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，正确；③a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)，若a ＝b ，则上式＝0，不正确；④若a ＜0，则a ＋1a＜0不正确.∴①②一定成立.故答案为：①②44．>【解析】【分析】利用差比较法确定正确答案.【详解】()()()2223921393270x x x x x x x x -+---=-+--+=>，所以()()23921x x x x -+>--故答案为：>45．②③【解析】【分析】利用不等式的基本性质及特殊值法，判断命题的真假即可．【详解】解：①当1a =-，2b =-，2n =时，满足a b >，当时n n a b <，所以①不正确；②因为0b >，所以*||()n n a b a b n N >⇒>∈，所以②正确；③1100a b a b <<⇒>>；所以③正确；④110a b a b a<<⇒>-．反例2a =-，1b =-，满足条件但是结论不成立．所以④不正确；故答案为：②③．46．>【解析】【分析】依题意可得4540063450A B A B +<⎧⎨+>⎩，再根据不等式的性质即可得到25A B ->，即可判断；【详解】解：由题意得4540063450A B A B +<⎧⎨+>⎩，所以4540063450A B A B -->-⎧⎨+>⎩，所以250A B ->>，则A B >.故答案为：>47．①④⑥【解析】【分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.【详解】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故①正确；由22a b >，不等式两边同时乘a 时，32a b a <，对于a b <，两边同乘2b ，可得23b a b <，故323a b a b <<，即33a b <，则②错误；因为0a b <<，所以0ab >，则10ab >，所以11a b ab ab ⋅<⋅，即11b a <，则③错误；由11b a <，不等式边同时乘a ，得1a a b a>=，故④正确；由()()()11a a b b a b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a-<-，即11a b a <-，故⑤错误；由0a b <<可得，a b b >=-，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥.故答案为：①④⑥.48．（1）11x y -<-<，2332x y <<；（2）3311x y <+<.【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解【详解】（1）23y <<，32∴-<-<-y又23x <<，11∴-<-<x y 23y <<，11132y <<又23x <<，2332∴<<x y （2）设3()()x y a x y b x y +=++-，得3211a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩即32()()+=++-x y x y x y 而42()8<+≤x y ，13x y -<-<3311∴<+<x y 49．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由不等式的性质，先得到c ad b ≥，两边同时+1，即得证；（2）由不等式的性质，先得到11a b <，两边乘以c,可得c c a b <，两边同时-1，可得c a c b a b --<，再两边取倒数，即得证.【详解】证明：（1）∵bc ≥ad ，bd >0，∴c ad b ≥，∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a b b +≤c d d+.（2）∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.∵a >b >0，∴11a b <又∵c >0，∴c c a b <，∴c a c b a b--<，又c －a >0，c －b >0，∴a b c a c b >--.50．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.(1)证明：因为0a b >>，0c d ->->，所以0a cb d ->->所以11a c b d <--；(2)证明：由（1）得11a c b d <--，又0m <，所以m m a c b d>--.51．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1≤a 1b 2＋a 2b 1＋a 3b 3≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【详解】证明：（1）因为0bd >，所以10bd >，又0bc ad -≥，即bc ad ≥，所以c a d b ≥，所以11c a d b +≥+，即a b b +≤c d d+；（2）因为0c a b >>>，所以0,0,c a c b c a c b ->->-<-，11a b <，所以c a c b a b --<，所以a b c a c b>--；（3）解：①成立，证明如下：∵a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，又a 1≤a 2，b 1≤b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)≥0，即a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1；②a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1≤a 1b 2＋a 2b 1＋a 3b 3≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3。
2.1等式性质与不等式性质(教学设计)(2课时)高一数学教学一课到位(人教A版2019)
2.1《等式性质与不等式性质》教学设计（日期：2024年9月4课时第3周）一.教学目标1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.二.教学过程(一)情景问题1（导学）1.情景在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等.类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示.2.问题各位同学，在初中我们已经学习了不等式的定义、基本性质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识进行阐述并运用吗？那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.【设计意图】通过情景问题导入，自然引申出本节课的教学重点——高中不等式的运用及性质.（二）探究新知1——用不等式表示实际问题中的不等关系（互学）1.不等式的定义是什么？用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接表示不等关系的式子就叫做不等式.例如2x−5 >−3 , 6 < 9 等.2.不等式的解集是什么？能使不等式不等关系成立的未知数x的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集.例如：2x −5>−3, 解得 x >1故原不等式的解集为 { x ∣x ＞1 }，将其表示在数轴上如下图所示：3.问题探究：用不等式表示不等关系问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速 40 km ∕ℎ；解：设该路段行驶的汽车速度为 v km ∕ℎ，则“限速40km ∕ℎ ”可用不等式表示为0<v ≤40注：高中不等式的形式可能是三边及其以上（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%；解：由题意可将题中不等关系表示为{f ≥2.5%p ≥2.3%注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示.（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；解：由题意可将题中不等关系表示为{b +c >a b −c <a注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系.（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.解：设 C 是直线 AB 外任意一点，过点 C 作 CD ⊥AB , 垂足为 D ,E 是直线 AB 上不同于 D 的任意一点，则 CD < CE【设计意图】通过复习旧知与用不等式表示实际问题中的不等关系，既为学生学习新知识做好提前铺垫，同时也让学生初步感受高中不等式知识与初中不等式知识的差异性.（三）探究新知2——实数的大小比较1.利用数轴法比较两数的大小(1)实数与数轴上的点是一一对应的．点 A 表示实数3，点 B 表示实数－2 ,点 A在点 B 右边，那么 3 ＞−2 ．(2)思考：当点 P 在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与点 A、点 B 对应的实数的大小．(3)数轴法比较大小由思考及探究可得如下结论：数轴上的任意两点中，①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小；③当两点重合时，这两点对应的数相等.2.利用作差法比较两个实数的大小（1）探究1：比较实数3与2的大小；解法一：∵3 −（− 2）=3+2=5＞0∴3＞−2解法二：∵（− 2）− 3=−5＜0∴− 2＜3（2）探究2：比较实数3 与 3 的大小解：∵ 3 −3=0∴ 3=3（3）利用作差法比较两个实数的大小作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比即：当 a ∈R ,b ∈ R 时 a −b > 0 ⟺ a >b a − b < 0 ⟺a < b较大小的方法称为作差比较法.3.利用作商法比较两个正数的大小（1）探究3：比较正数 3 与 5 的大小解法一：∵ 35 < 1∴ 3＜5解法二：∵ 53 > 1 ∴ 5＞3（2）探究4：比较正数 3 与 3 的大小解：∵ 33 = 1∴3 = 3（3）利用作商法比较两个正数的大小作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.即：当 a ∈R ,b ∈ R 时 a −b > 0 ⟺ a >b a − b < 0 ⟺a < b a −b = 0 ⟺a = b 即：当 a ＞0 ,b ＞0 时 a b >1 ⟺ a >b a b <1 ⟺ a <b a3.小结（1）方法一：数轴法（优点是形象生动）（2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）（3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）【设计意图】通过探究实例，自然引申出实数的大小比较方法——数轴法、作差法与作商法，这样可让抽象的数学知识变得具体形象、简单易知，有效地培养了学生的数学抽象核心素养. （三）小组合作、讨论交流1(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例1 比较 57 与 23 的大小.提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小例2 比较(x +2)(x +3)与(x +1)(x +4)的大小．提示：利用作差法比较大小【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了实数的大小比较方法.（四）成果展示1(迁移变通、检测实践)例1:解法一（作差法）：∵57−23=1521−1421=121>0∴57>23解法二（作商法）：∵57>0，23> 0而57÷23=57×32=1514>1∴57>23例2:解（作差法）：∵(x+2)(x+3)−(x+1)(x+4)=（x2+5x+6)−(x2+5x+4)=x2+5x+6−x2−5= 2＞0∴ (x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握实数的大小比较方法，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养.（五）提升演练1（迁移变通、检测实践）例3.设a、b均为实数，试比较a2+b2−ab与ab的大小.解：∵(a2+b2−ab)−ab=a2+b2−ab−ab=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0∴(a2+b2−ab)≥ab(当且仅当a=b时等号成立)例4已知 a >b , 证明 a>a+b2> b .解（作差法）：∵已知 a >b∴ a −b >0又∵ a−a+b2=2a2−a+b2=2a−(a+b)2=a−b2> 0∴a>a+b2又∵a+b2−b=a+b2− 2b2=(a+b)−2b2=a−b2> 0∴a+b2>b综上所述， a>a+b2> b成立【设计意图】通过提升演练，让学生进一步地掌握实数的大小比较方法，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念.（六）探究新知2——不等式的性质（互学）1.性质1：加法法则（可加性）（1）情景问题2请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）思考：如果a＞b，那么a−c＞b−c成立吗？（3）（3）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质1（可加性）：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变.即：如果a > b , 那么 a±c > b±c简称为：“加减同数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明加法法则成立吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果a > b, 那么a+c > b+c证明：∵已知a > b,∴a − b > 0又∵（a+c）− (b+c)= a + c − b − c= a − b>0∴a + c > b + c成立你们还能求证：如果a > b, 那么 a−c > b−c 成立吗？2.性质2：乘法法则（可乘性）（1）情景问题3请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）思考如果 a > b ，c ＞0, 那么 a c >b c 成立吗？（3）探究3：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质2 （可乘性）（1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.简称为：“乘除正数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则①吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证： 如果 a > b ,c ＞0,那么 ac > bc .证明：∵ 已知 a > b ,c ＞0∴ a − b > 0又∵ac − bc = c ( a − b ) >0∴ ac > bc 成立你们还能证明“如果 a > b ，c ＞0, 那么 a c >b c ”吗？（6）探究4探究3：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（7）探究5：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？① 如果 a > b ，c ＞0, 那么 ac > bc 或a c >b c ;（8）性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.简称为：“乘除负数要变号”（9）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则②吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证： 如果 a > b ,c ＜0,那么 ac ＜ bc证明：∵ 已知 a > b ,c ＜0，∴ a − b > 0又∵ac − bc = c ( a − b ) ＜0∴ ac ＜ bc 成立你们还能证明“如果 a > b ，c <0, 那么 a c <b c ”吗？3.性质3（传递性）（1）情景问题4请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）性质3 （传递性)（3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明传递性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ ②如果 a > b ，c ＜0, 那么 ac ＜ bc 或 a c <bc . 如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c ；从左向右：移负为正 证明：∵ 已知 a > b ,b ＞c ，∴ a − b > 0,b − c ＞0又∵a − c = a − b + b − c = ( a − b ) + ( b − c ) ＞0∴ a ＞ c 成立4. 性质4（对称性）(1) 如果 a ＞ b , 那么 b ＜ a(2) 如果 b ＜ a , 那么 a ＞ b5.性质5（可移性）（1）探究6：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质5 （可移性）（3）思考：你们能利用可加性证明可移性“ a +b > c ⇔ a > c − b ”成立吗？6.性质6（同向可加性）（1）探究7：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？即 ： a > b ⟺ b < aa +b >c ⇔ a > c − b ； 从左向右：移正为负如果a＞b ,c＞d ,那么 a+c ＞b+d；（3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明同向可加性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？证明：∵已知a > b ,c＞d，∴ a+c ＞b+c , b+c ＞b+d （可加性）∴a+c ＞b+d成立（传递性）（4）思考：如果 a＞b ,c＞d,是否有“a−c＞b−d”成立呢？解：不成立，反例为7.性质7（同向同正可乘性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（3）证明∵ a >b ,c >0,∴ ac > bc （可乘性：乘除正数不变号）又∵c>d,b>0 ,∴bc > bd（可乘性：乘除正数不变号）故ac > bd（传递性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质8（同向同正可乘方性）9.性质9（同正可开方性）（1）探究：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质9（同正可开方性）10.性质10（同号可倒性）（1）探究1：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？如果 a > b > 0,n ∈N ∗ ,那么 a n >b n ;如果 a > b > 0,n ∈N ∗ , 那么√a n >√b n ;（2）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（3）性质10（同号可倒性）11.小结：不等式的10条性质如果 ab > 0,且 a > b , 那么 1a <1b ; （1）性质1（可加性） 如果 a > b , 那么 a ±c > b ±c ； （2）性质2（可乘性） ① 如果 a > b ，c ＞0, 那么 ac > bc 或a c >b c ;②如果 a > b ，c ＜0, 那么 ac ＜ bc 或 a c <b c .（3）性质3 （传递性) 如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c ；（4）性质4（对称性） a > b ⟺ b < a ；（5）性质5 （可移性） a +b > c ⇔ a > c − b ；（6）性质6（同向可加性） 如果 a ＞b ,c ＞d ,那么 a +c ＞b +d ；（7）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（8）性质8（同向同正可乘方性）如果 a > b > 0,n ∈N ∗ ,那么 a n >b n ; （9）性质9（同正可开方性）如果 a > b > 0,n ∈N ∗ , 那么√a n >√b n ;（10）性质10（同号可倒性）如果 ab > 0,且 a > b , 那么 1a <1b ;【设计意图】通过情景问题探究与严密证明，让学生经历感性认识到理性认识，从而深刻掌握不等式的10条性质，有效地培养学生的数学抽象核心素养.（七）小组合作、讨论交流2(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例4.已知 a > b > 0 ,c < 0, 求证ca >cb.【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了不等式的10条性质.（八）成果展示2(迁移变通、检测实践)证明：∵已知a > b > 0∴1a ＜1b（同号可倒性）又∵已知 c < 0∴ca >cb（可乘性：乘除负数要变号）【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握不等式的10条性质，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养.四、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？1.了解与认识了不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；3.牢固掌握了比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.4.理解与掌握了不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.五、家庭作业1.记背今天所学知识点；2.完成导学案达标检测题目.。
2.1 等式性质与不等式性质
() () () ()
2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化
课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式组表示就是
()
x≥95， A.y≥380，
z＞45
x≥95， B.y>380，
z≥45
C.xy>>39850，， z＞45
D.xy>≥39850，， z＞45
2．不等式性质
性质
别名
1
对称性
2
传递性
3
可加性
性质内容 a＞b⇔_b_＜__a__ a＞b，b＞c⇒_a_＞__c___ a＞b⇔_a_＋__c_＞__b_＋__c__
注意 可逆 不可逆 可逆
4
可乘性
a＞b，c＞0⇒ac＞bc a＞b，c＜0⇒__a_c_＜__b_c __
c 的符号
5
同向可加性 a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d__
________；3x＋2y 的取值范围为________．
解析：因为－1＜x＜4,2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y ＜2.由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，所以 1＜3x＋ 2y＜18. 答案：－4＜x－y＜2 1＜3x＋2y＜18
3 3．[证明不等式]已知 a＞b＞0，c＜d＜0，求证：
2.1等式性质与不等式性质
第一课时
一、不等关系普遍存在
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为 7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
AB+AC>BC或……
3、a是一个非负实数. a≥0
不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子.
, , , , .
证明： a b a c b c
c
d
b
c
b
d
ac bd
性质6： 如果 a b 0 且 c d 0，那么
ac bd （同向同正可乘性）
a
证明：
c
b，c d，b
0 0
ac bc
bc
bd
ac
bd
性质7： 如果 a b 0，那么 an bn.
(n N且n 1)
(可乘方性 )
1.右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方 路段行驶时，应使汽车的速度v不超过
40 40km/h ，写成不等式是：__v_≤_4__0___
2.这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量（f）
蛋白质含量（p）
不少于2.5％
不少于2.3％
f≥2.5%
p≥2.3%.
例、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可 以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1 元销售量就可能相应减少2000本.若把提价后 杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售 的总收入仍不低于20万元呢？ 分析：若杂志定价为x元，则销售总收入为
(1)a b b a; (对称性) (2)a b,b c a c; (传递性) (3)a b a c b c; (可加性) (4)a b, c 0 ac bc; (可乘性) a b, c 0 ac bc;
2.1 等式性质与不等式性质
四
3.做一做
若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是
.
解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.
答案:x2-1>2x-5
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、重要不等式
1.∀a,b∈R,a2+b2与2ab大小有何关系?
提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0恒成立,所以a2+b2≥2ab.
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号
“>”“<”“≠”“≥”或“≤”表示;而不等式则是用来表示不等关系的式
子,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示,不等关系是
通过不等式来体现的.
2.用不等式(组)表示不等关系的步骤:
(1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数;
的画“×”.
①在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.
(
)
②同向不等式具有可加性和可乘性.(
)
③若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.
(
)
1
1
④当 x>-3 时,一定有<-3. (
1
1
⑤若 a>b,则 < . (
答案:①×
②×
)
)
③×
④×
⑤×
课前篇
自主预习
一
二
三
四
(2)若a>b,则下列各式正确的是(
.
等式性质与不等式性质(基础知识+基本题型)(含解析)
2.1 等式性质与不等式性质（基础知识+基本题型）知识点一不等式的有关概念1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，≥，≤，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．同向不等式和异向不等式对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，f x g x 与S x T x是同向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≤也是同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，f x g x 与S x T x是异向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≥也是异向不等式．提示文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过符号语言≥≤知识点二比较实数大小的依据与方法1．比较实数大小的依据在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图 3.11所示），可以看出a，b之间具有以下性质：如果a b-等于零，那么>；如果a b-是正数，那么a ba b；如果a b<．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证-是负数，那么a b明不等式和解不等式的主要依据．2．比较两个实数大小的方法⑴作差法：对于两个实数a，b，通过比较a b-与0的大小关系，从而得到实数a，b的大小关系，具体方法如下：a b a b-=⇔=；0-<⇔<．a b a b->⇔>；0a b a b⑵作商法：对于任意两个正数a ，b ，通过比较a b与1的大小关系，从而得到正数a ，b 的大小关系，具体方法如下：当0a ，0b 时，1a a bb >⇔>；1aa b b=⇔=；1aa b b<⇔<．知识点三 等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=． 知识点四 不等式的性质性质 具体名称 性质内容注意 1 对称性 a b b a >⇔< ⇔ 2 传递性 a b ，b c a c >⇒> ⇒ 3 可加性a b a c b c >⇔+>+ ⇔4 可乘性 0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭c 的符号0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭5 同向可加性 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭⇒ 6 同向同正可乘性 00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⇒7 可乘方性 0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，1n ≥） 同正8可开方性0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，2n ≥）9 取倒数11a bab a b>⎫⇒<⎬>⎭a，b同号考点一：用不等式表示不等关系180m，拟分割成大、例1.某人有楼房一幢，室内面积共218m，小两类房间作为旅游客房，大房间面积为215m 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
2.1等式性质与不等式性质PPT课件(人教版)
A.P≥Q
B.P＞Q
C.P＜Q
D.P≤Q
解析：P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0， 所以P≥Q.故选A．
学以致用：
2.已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3， 求a＋3b的取值范围．
解：设 a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b， 解得λ1＝53，λ2＝－23. 又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23， 所以－131≤a＋3b≤1. 故 a＋3b 的取值范围为－131≤a＋3b≤1.
（可加性）反之亦然
不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与 原不等式同向。
性质4：如果 a b且 c 0 ，那么 ac bc；
如果 a b且 c 0，那么 ac bc.
（可乘性）
不等式的性质：
性质5：如果 a b 且 c d ，那么
a c b d （相加法则）
两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向。
性质5：如果a=b，c≠0，那么 a b cc
不等式的性质：
性质1：如果 a b ，那么 b a ；如果
b a ，那么 a b. （对称性）
abba
性质2：如果 a b ，b c ，那么 a c.
（传递性）
a b,b c a c
不等式的性质：
性质3：如果 a b，那么 a c b c.
(n N且n 2) （可开方性）
例2：已知 a b 0，c 0，求证：c c . ab
证明： a b 0， ab 0， 1 0 ab
a 1 b 1 ab ab
11 ba
即
11 ab
又 c 0， c c ab
2.1等式性质与不等式性质
性质4 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
如果a＞b，c＜0， 那么 ac＜bc.
文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式
与原不等式 同向；不等式两边同乘一个负数，所得不
等式与原不等式反向.
问题3：不等式两边分别加上不相等的两个实数，
能得到什么不等关系？
性质5 如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质（第1课时）
章节导语
代数学习
数
等式
方程组
函数
式
不等式
一元一 次
不等式（组）
解不等式（组）的理论依据是什么？
方程（组）、不等式与函数之间有什么联系？
复习回顾
问题1：常见的不等关系有哪些？你能用文字语
言和符号语言表达吗？
文字语言
大于
小于
大于或等于（不小于）
2.不等关系的表示；
3.一个重要不等式；
4.等式、不等式的性质；
5.类比、猜想与证明.
前备经验 推理证明（修正）理解表达
探究个性
1.已知2 a 3, 2 b 1, 求2a b的取值范围.
2.证明：c b, b a, c d 0, e 0, 求证
证明：由a＞b，得a+c＞b+c；
问题8：你能想出几种证明方法？
由c＞d，得b+c＞b+d.
则a+c＞b+d.
问题4：不等式两边分别乘上不同的两个实数，你
能得出什么结论？
性质6 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
问题5：如果性质6中 = ， = , 你有何新结论？
12第二章 2.1 等式性质与不等式性质第2课时
5.若 α，β 满足－12<α<β<12，则 α－β 的取值范围是－__1_<__α_－__β_<_0_.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)等式的性质. (2)不等式的性质及其应用. 2.方法归纳：作商比较法，乘方比较法. 3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.
第二章 2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么 b＝a . (2)如果a＝b，b＝c，那么 a＝c . (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么 ac＝bc .
C
A.P<Q
B.P＝Q
C.P>Q
D.不能确定
解析 P2＝2a＋13＋2 a＋6a＋7，
Q2＝2a＋13＋2 a＋5a＋8， 因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8) ＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0， ∴ a＋6a＋7> a＋5a＋8， ∴P2>Q2，∴P>Q.
三、利用不等式的性质求范围
知识点二 不等式的性质
性质 1 2 3
别名 对称性 传递性 可加性
4
可乘性
性质内容 a>b⇔b < a a>b，b>c⇒a>c a>b⇔a＋c > b＋c a>b⇒ac > bc c>0 a>b⇒ac < bc c<0
2.1 等式性质与不等式性质
a>b>0 ⇒___a_n>_b_n__
(n∈N,n≥2)
a>b>0 ⇒__n_a___n_b_
(n∈N,n≥2)
⇒
⇒
a,b同 为正数
4.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言
大于，高 于，超过
小于，低 于，少于
大于等于， 小于等于，
至少，不低 至多，不多
于
于，不超过
符号 语言
＞
＜
≥
≤
5.不等式的基本性质列表
性质
（1） （2） （3）
（4）
具体名称
对称性 传递性 可加性
可乘性
性质内容
a>b ⇔ __b_<__a_
a>b,b>c ⇒ _a_>_c_ a>b ⇔_a_+__c>__b_+_c_
a b
c
0
⇔
_a_c_>_b_c__
a b
c
0
⇔
_a_c_<_b_c__
特别提醒
⇔ ⇒ ⇔
注意c 的符号
性质 具体名称 （5） 同向可加性 （6） 同向同正
可乘性 （7） 可乘方性 （8） 可开方性
性质内容
特别提醒
a c
b d
⇒
_a_+_c_>_b_+_d_
ab cd
00⇒
_a_c_>_b_d_
同正时才成立 !
(可乘方性)
(8) a b 0 a b.
同正时才成立 !
(可开方性)
学以致用
P42/练习2. 用“>”或“<”填空：
(1)若a b, c d 则a c __＞__ b d; (2)若a b 0, c d 0, 则ac __＜__ bd;
2.1等式性质与不等式性质(1)(第二版)
7
二、实数的大小比较
比较实数大小的基本原理
思考1：实数可以比较大小, 对于两个实数a, b, 其大小关系 有哪几种可能？
a＞b，a＝b，a＜b. 思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点, 那么较大数 与较小数所对应的点的相对位置关系如何？
S正方形GHEF=0.
于是有a2+b2 ≥2ab.
一般地，a, b∈R, 有 a2+b2 ≥2ab.
当且仅当a=b时上式取等号 .
D
利用完全平方差公式也可求得 ∵(a-b)2=a2-2ab+b2≥0, ∴ a2+b2 ≥2ab. 当且仅当a=b 时上式取等号 .
A aE
C
b
a2 b2
B
15
3. 已知x≠0, 多少？
变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。
4.重要不等式
a2+b2 ≥2ab .
当且仅当a = b时上式取等号 .
17
9
例1.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 .
分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得 出它们的大小关系.
解：因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2>0 .
←作差 ←变形 ←判号
所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
(3)比较 6 5 与 7 6 的大小.
解：(1)∵ x2+3-3x= (x 3)2 3 3
-第一章 -2.1等式性质与不等式性质
我成立，你不 一定成立！
为什么 啊？
c≠0时，你成立； c=0时，你不一定 成立！
那可不一定，你 是不是成立，得 问问c，c=0时， 你就不成立！
不等式有什么性质？ ★【对称性】 ★【传递性】
证明：
不等式有什么性质？
★【可加性】 不等式两边同时加上一个数，不变号
★【可乘性】 不等式两边同时乘上一个正数，不变号；
到 100 米以外的安全区，导火索的长度 x(厘米)应该满足的不等
式为( )
A.4×2x≥100
B.4×2x≤100
C.4×2x＞100时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为(4×2x)
米，为了保证安全，有4×2x＞100.
答案 C
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
课堂小结
1.比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大 小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比 较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些 易判断符号的因式积的形式.
2.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行， 千万不可想当然.
第二章 2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.理解不等式的概念. 2.了解不等式（组）的实际背景. 3.掌握不等式的性质. 核心素养：数学抽象、逻辑推理
新知学习
不等关系及其表示 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不 少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等 式表示不等用不等式表示。
A.a－b>0
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［生］方法一(作差法)
ac－bc＝c（a－b）
∵0＜a＜b∴a－b＜0
又∵c≠0
∴当c＞0时c（a－b）＜0即ac＜bc
当c＜0时c（a－b）＞0即ac＞bc.
方法二(作商法)
∵c≠0＝∴
∵0＜a＜b∴ ＜1
本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项.
［生］由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
［例2］已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.
［师］同例1方法类似，学生在理解基础上作答.
解：（ －1）2－（ ＋1）2
＝［（ －1）＋（ ＋1）］［（ －1）－（ ＋1）
或［（x－2 ＋1）－（x＋2 ＋1）］＝－4
∵x＞0∴ ＞0∴－4 ＜0
∴（ －1）2＜（ ＋1）2
5.已知a≠0，比较（a2＋ a＋1）（a2－2 a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小.
解：（a2＋ a＋1）（a2－ a＋1）－（a2＋a＋1）（a2－a＋1）
Ⅱ.讲授新课
(一)打出投影片§6.1.1 A，让同学们解决下列问题：
［师］数轴的三要素是什么?
［生］原点、正方向、单位长度.
［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列：
, ,0,- ,
［生］
∴ ＜- ＜0＜ ＜｜－５｜.
［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
●教学难点
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号(注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的基本方法，通常的步骤是：作差→变形→判断差值的符号.
●教学方法
启发式教学法
●教具准备
投影片两张.
第一张:作§６.1.1 A
问题1：数轴的三要素是什么?
本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.
［生］由题意可知：
（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）
＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）
＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1
＝x2
∵x≠0∴x2＞0
∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0
∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1.
例2引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?
(三)德育渗透目标
1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力.
3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯.
●教学重点
理解在两个实数a、b之间具有以下性质：a＞b a－b＞0；a＝b a－b＝0；a＜b a－b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据.
2.1等式性质与不等式性质
(一)教学知识点
1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系(教材中方框内的三个等价关系).
3.差值比较法比较两个实数的大小.
(二)能力训练要求
1.掌握差值比较法.
2.会用差值比较法比较两个实数的大小.
(二)1.预习内容：课本P５～６定理1，2，3及其推论.
2.预习提纲：
(1)预习定理1，理解不等式的反对称性；
(2)预习定理2，理解不等式的传递性；
(3)预习定理3，理解不等式的移项法则.
●板书设计
等式性质与不等式性质
一、三个等价关系
a＞b a－b＞0
a＝b a－b＝0
a＜b a－b＜0
二、两实数大小比较的方法——作差法.
∴ac＜bc
［师］这一结论显然是错误的，其原因主要在于ac＜0，bc＜0，两负数作商比较是没有根据的.(下一节我们具体研究作商比较法的依据)
［师生共析］此题用作商法作答其正确步骤如下：
∵0＜a＜b
∴0＜ ＜1
∵c≠0∴
∴0＜ ＜1
∴当c＞0时，ac＞0，bc＞0
∴ac＜bc
当c＜0时，ac＜0，bc＜0
［师］此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写.
［生］在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即：
当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1
［生］显然，“a＞b”与“a－b＞0”等价.
［师生共析］
a＞b a－b＞0
a＝b a－b＝0
a＜b a－b＜0
此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.
(三)课本例题
［例1］比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.
［师］比较两个实数a与b的大小，可归纳为判断它们的差a－b的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.
第一步：作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式.
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论.
第三步：得出结论.
在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小.它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系. ＜1
∴ac＞bc(不等式基本性质3)
故当c＞0时ac＜bc；c＜0时，ac＞bc.
Ⅲ.课堂练习
1.在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（ ＋ ）2６＋2 ；
（2）（ － ）2（ －1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，log alog b.
答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜
2.选择题
若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
本题知识点：因式分解，分子有理化.
［生］由题意可知：
=
∵x1＜x2＜0
∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0且
∴ ＞0
即 .
［师］此题解答时，学生若在第一步就根据函数y＝ 的单调性对 与
进行比较，就失去了作差比较的意义；通过有理化、因式分解后再加以判断，这是作差比较的实质.
［例2］若0＜a＜b，c≠0，试比较ac与bc的大小.
当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1
［师生共析］例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要.
(四)精选例题
［例1］当x1＜x2＜0时，比较 与 .
［师］作差法适用于任何两实数的大小比较，但是要注意恒等变形彻底后，才能作出差是大于零或小于零，然后判定两个数的大小.
(二)请同学们预习课本，(教师打出投影片§6.1.1 A，§６.1.1 B)，在解决了投影片
§６.1.1 A问题基础上解决下列问题：
［师］若a＞b，则a－b0；若a＝b，则a－b0；若a＜b，则a－b0.
［生］若a＞b，则a－b＞0；若a＝b，则a－b＝0；若a＜b，则a－b＜0，反之亦然.
［师］“a＞b”与“a－b＞0”等价吗?
例题
课堂练习
课时小结
课后作业
A.a＞ab＞ab2B.ab2＞ab＞a
C.ab＞a＞ab2D.ab＞ab2＞a
分析：利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可.
∵a＜0，－1＜b＜0
∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0
∴ab－a＝a（b－1）＞0 ab＞a
ab－ab2＝ab（1－b）＞0 ab＞ab2
问题2：把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列： ，
，0，- ， .
第二张:记作§６.1.1 B
问题1：若a＞b，则a－b0；若a＝b，则a－b0；若a＜b，则a－b0.
问题2：“a＞b”与“a－b＞0”等价吗?
●教学过程
Ⅰ.课题导入
在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
＝［（a2＋1）2－（ a）2］－［（a2＋1）2－a2］＝－a2
∵a≠0，∴a2＞0∴－a2＜0
故（a2＋ a＋1）（a2－ a＋1）＜（a2＋a＋1）（a2－a＋1）.
［师］4、5题的解答过程中，注意利用平方差公式、完全平方公式灵活变形，对提高解题效率起了重要作用.
Ⅳ.课时小结
本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：
a－ab2＝a（1－b2）＜0 a＜ab2
故ab＞ab2＞a.
答案：D
3.比较大小：
(1)（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2；
(2)log 与log .
解：(1)（x＋５）（x＋７）－（x＋６)2
＝（x2＋12x＋3５）－（x2＋12x＋3６）
＝－1＜0
∴（x＋５）（x＋７）＜（x＋６）2
(
4.如果x＞0，比较（ －1）2与（ ＋1）2的大小.