函数极限概念

引言

在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法.

一、函数极限概念

定义1[]1

设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在

正数M （a ≥），使得当M x >时有

()f x A ε-<，

则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作

lim ()x f x A →+∞

= 或()().f x A x →→+∞

定义2[]1

（函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0

U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有

()f x A ε-<，

则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作

lim ()x f x A →∞

=或0()()f x A x x →→.

定理1[]1

设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。若

对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有

()f x A ε-<，

则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作

lim ()(lim ())x x x x f x A f x A +-→→==

或

00()()(()())f x A x x f x A x x +-→→→→.

定理2[]1

（唯一性）若极限0

lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的.

定理3[]1

（局部有界性）若0

lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域00()U x 内

有界.

定理4[]1

（局部保号性）0

lim ()0x x f x A →=>若（或<0），则对任何正数r

r <-A ）,存在00()U x ，使得对一切00()x U x ∈有

()0f x r >>（或()0f x r <-<）.

定理5[]1

（保不等式性）0lim ()x x f x →设与0

lim ()x x g x →都存在，

且在某邻域0'0(;)U x δ内有()()f x g x ≤，则

lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤

二、函数极限的求解与应用

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对函数极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法.求解函数极限的最基本的方法还是利用函数极限的定义，同时也要注意运用两个重要极限，其中可以利用等量代换，展开、约分等方法化成比较好求的数列，也可以利用函数极限的四则运算法则计算.夹逼性定理和拉格朗日中值定理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用. 洛必达法则是针对某些特殊的函数而言的，还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了.

1、利用函数极限的定义

根据函数极限的定义，是求极限的最基本的方法之一.

例1 证明 1

lim

0x x

→∞=. 证明 ε∀>0，∃M =

1ε，则当x >M 时有，1

0x

-=1x <1M =ε.

所以有1

lim

0x x

→∞=. 例2 用极限的定义证明2

0211lim 0

x x x x -=-→ 0(||1)x <. 证明 由于||1x ≤, 0||1x <, 因此

22=

≤

≤

于是, 对任给的)10(0<<>εε不妨设, 取,212

εδx -=则当00||x x δ<-<时,

有 .112

02ε<---x x

注 用极限的定义时, 只需要证明存在)(δ或N , 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有n 的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的N (或δ)一致, 最后结合在一起考虑.

2．利用极限的运算法则

定理6[]1

（四则运算法则） 若极限00

lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都存在，则函数f g ±，

.f g 当0x x →时极限也存在，且

[]0

lim ()()lim ()lim ();x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±

[]0

lim ()()lim ().lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=；

lim ()x x g x →又若00,f g x x ≠→则当时极限存在，且有

0()

lim

lim ()/lim ().()x x x x x x f x f x g x g x →→→=

例3 求221lim

1n

n

n a a a b b b

→∞+++

+++++, 其中1,1<

b

b b b b a a a a a n n

n n

--=++++--=++++++111,1111212

,

原式=

1111

lim

111111lim

11n n n n a b a a b a

b

b +→∞+→∞----==----

例4 求⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--++→20211lim x x x x . 解 原式⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-++--+-++=→)211(41121lim 2

20x x x x x x x

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+-++--=→)11)(211()11(2lim 22

20x x x x x x ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+-+-++-=→)11)(211(2lim

20x x x x 4

1

-=.

注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.

注2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.

3．利用迫敛性（夹逼准则）

定理7[]1 （迫敛性）0

lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==设，且在某0'0(;)U x δ内有

()()()f x h x g x ≤≤，