函数极限概念
函数极限的直观理解
函数极限的直观理解函数极限是微积分中一个非常重要的概念，它在描述函数在某一点附近的表现时起着至关重要的作用。
理解函数极限的概念对于深入学习微积分以及解决实际问题具有重要意义。
在本文中，我们将从直观的角度出发，深入探讨函数极限的含义和性质，帮助读者更好地理解这一概念。
### 什么是函数极限？在介绍函数极限之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在数学中，我们通常用符号$f(x)$来表示函数，其中$x$是自变量，$f(x)$是对应的因变量。
函数极限是指当自变量$x$趋向于某个特定的值时，函数$f(x)$的取值趋近于一个确定的值的过程。
具体来说，对于函数$f(x)$，当$x$的取值无限接近于某个数$a$时，如果$f(x)$的取值也无限接近于一个数$L$，那么我们就说函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
这里的$L$可以是一个实数，也可以是无穷大。
函数极限的概念可以帮助我们研究函数在某一点附近的性质，揭示函数的变化规律和趋势。
### 函数极限的直观理解要理解函数极限的概念，我们可以从直观的角度出发，通过几何图形和实例来帮助我们把握这一概念。
首先，我们以一些简单的函数为例，来说明函数极限的直观理解。
#### 例1：$f(x) = x^2$考虑函数$f(x) = x^2$，我们来看当$x$趋近于某个数$a$时，$f(x)$的取值会如何变化。
我们可以通过绘制函数$y=x^2$的图像来直观地观察。
```pythonimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npx = np.linspace(-2, 2, 100)y = x**2plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.title('Graph of f(x) = x^2')plt.grid(True)plt.show()```从图中我们可以看出，当$x$趋近于0时，$f(x)$的取值也趋近于0。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
极限的概念和求解方法
极限的概念和求解方法在数学中，极限是一个重要的概念。
它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、特性以及求解方法。
一、极限的定义极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于一个确定的值。
通常用符号x→a来表示自变量x趋于a的极限。
如果当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近某个值L，我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记作lim_(x→a)f(x)=L。
二、极限的特性1. 唯一性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L，那么极限L 是唯一确定的。
2. 保号性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时的极限L大于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也大于0；同理，如果极限L小于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也小于0。
3. 夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)与h(x)满足在x趋近于a的过程中，存在一点x_0使得当x靠近x_0时，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，那么lim(x→a)g(x)=L。
三、求解极限的方法1. 代入法：当函数在某个点存在定义时，可以直接将自变量的值代入函数中计算。
例如，对于函数f(x)=2x+3，当x趋近于2时，可以将x=2代入函数中计算，得到极限值为7。
2. 分析法：利用函数的性质和极限特性，通过分析函数在极限点附近的取值趋势，来求解极限。
例如，对于函数f(x)=x^2+3x-1，当x趋近于2时，可以将函数化简为lim_(x→2)(x^2)+lim_(x→2)(3x)-lim_(x→2)(1)=6+6-1=11。
3. 套用已知极限：有时可以利用已知的一些常见极限来求解复杂函数的极限。
常见的一些极限包括sinx/x和e^x的极限值。
例如，对于函数f(x)=(e^x-1)/x，当x趋近于0时，可以套用已知的极限lim_(x→0)(e^x-1)/x=1。
4. L'Hôpital法则：对于一些特殊的函数形式，如0/0或∞/∞，可以使用L'Hôpital法则来求解极限。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
微积分(6)函数极限的概念
5.自变量 x 从有限值 x0 的左侧无限地接近于 x0 ， 或者说自变量 x 从有限值 x0 的左侧趋于 x0 ，记作 x x0 ； 6.自变量 x 从有限值 x0 的右侧无限地接近于 x0 ， 或者说自变量 x 从有限值 x0 的右侧趋于 x0 ，记作 x x0 。
f ( x) A 来表示，其中 是事先任意给定的一个正数。由于函数值 f ( x) 无限
地接近于 A 是在 x 这一过程中实现的，于是，对于任意给定的正数 ，只 要求充分接近于 的 x 所对应的函数值 f ( x) 满足不等式 f ( x) A 。与数列 中的 n 类似，充分接近于 的 x 可“翻译”为 x X ，其中 X 是某个充分 大的正数。显然， X 刻画了 x 接近 的程度。
x x
lim f ( x) A 0 ， X 0 ，当 x X 时，有 f ( x) A 。
x
类似地，我们也可以写出函数极限 lim f ( x) A 的否定形式：
x
lim f ( x) A 0 0 ， X 0 ， x0 X 时，使得 f ( x0 ) A 0 。
y f ( x) 的图像位于这两条直线之间；
5
（3）函数极限 lim f ( x) A 的的几何意义：不论给定的正数 有多小，作两
x
条直线 y A 与 y A ， 总可以找到某个正数 X ， 使得当 x X 或 x X 时， 函数 y f ( x) 的图像位于这两条直线之间（如图） 。
根据上述三个定义，注意到 x X x X 或 x X ，我们即可得到以下 结论： 定理： 函数 f ( x) 当 x 时极限存在的充分必要条件是函数 f ( x) 当 x 时以及当 x 时极限都存在，并且相等，即
函数极限概念
x 情形 :
lim f ( x) = A
x
0, $M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x 情形 : lim f ( x) = A x
0, $M 0,使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x
x
x
例1 证明lim 1 = 0.
x x
证 0, 取M = 1 ,
则当 x M时有
1 0 = 1 1 =,
x
xM
y
O
x
所以lim 1 = 0. x x
例2 证明:1) lim arctan x = p ; 2) lim arctan x = p .
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
M 0, x M 表示x 的过程.
一般地,当 x趋于时函数极限的精确定义如下：
定义1 设 f 定义在[ a,)上的函数，A为定数.若对任给的 0,存在 正数M( a) ,使得当 xM 时有 f (x)A , 则 称函数 f 当 x 趋
x
2
x
2
证 任 给 0 ,由于
arctan
x
p
2
等价于 - - p arctan x p ,
2
2
而此不等式的左半部分对 任何 x
x都的成变立化,所范以围只。要为考此察,先其限右制半部分p
2
则有
x
tan
p
2
=
tan
第三章 函数极限
函数极限概念
函数的极限初步定义性质与计算方法
函数的极限初步定义性质与计算方法函数的极限是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点逐渐趋于的值。
在本文中，我们将初步介绍函数的极限的定义性质以及常用的计算方法。
一、函数的极限初步定义性质1. 极限的定义对于函数$f(x)$，当$x$无限接近于$a$时，如果存在一个实数$L$使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0 < |x-a| < \delta$时，$|f(x)-L| < \varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
2. 左极限和右极限对于函数$f(x)$在$x=a$处的极限，如果函数在$a$的左侧存在且有限，那么称其为左极限，记作$\lim_{x \to a^-} f(x)$。
类似地，如果函数在$a$的右侧存在且有限，那么称其为右极限，记作$\lim_{x \to a^+} f(x)$。
3. 极限的唯一性函数的极限如果存在，则极限唯一。
也就是说，如果$\lim_{x \to a} f(x)$和$\lim_{x \to a} g(x)$都存在，且它们的值不相等，那么函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处的定义不相同。
4. 无穷极限当$x$逼近某个数$a$时，如果函数$f(x)$的值趋于正无穷或负无穷，那么称$\lim_{x \to a} f(x)$为无穷极限。
二、函数极限的计算方法1. 代入法对于简单的多项式函数或分式函数，可以直接代入给定的$x$值计算极限。
2. 四则运算法则对于函数$f(x)$和$g(x)$，如果$\lim_{x \to a} f(x)=A$且$\lim_{x \to a} g(x)=B$存在，那么以下结果成立：- $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$- $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$- $\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}$ (其中$B\neq 0$)3. 复合函数法则如果存在函数$g(x)$在$x=a$处的极限为$b$，且函数$f(x)$在$x=b$处的极限为$L$，那么复合函数$f(g(x))$在$x=a$处的极限为$L$。
§1 函数极限的概念
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0; x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
x x0
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A.
lim f ( x ) A 0, 时刻, 从此时刻以后 , 恒有 f ( x ) A .
(见下表)
过 时
程 刻
从此时刻以后
n x x x N n N x N x N x N
x 0
o
1
x
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x0 x
f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x0
三、函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下 , f ( x ) 有极限 , 则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.
x x0 0 ( x x0 )
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x x0
x 例6 验证 lim 不存在. x0 x
x x lim lim 证 x 0 x x 0 x
y
1
lim (1) 1
lim 1 1,
n
1 sin 不存在. 二者不相等, 故 lim x 0 x
四、小结
函数极限的统一定义
lim f ( n) A;
极限的几个概念
极限的几个概念极限是微积分的重要概念之一，它是描述函数在某一点处趋向于某个特定值的性质。
在数学中，我们通常用极限来刻画函数的变化趋势，为我们研究函数的性质和解决实际问题提供了有力的工具。
在这篇文章中，我将对极限的几个概念进行详细阐述。
首先，我们来介绍一下函数在某点的极限。
设函数f(x)定义在区间(a, b)上，如果对于任意给定的ε> 0，存在δ> 0，使得对于任意满足0 < x - a < δ的x，都有f(x) - L < ε成立，那么我们就说函数f(x)在点a的极限为L，记作lim(f(x)) = L，即：lim(x→a)〖f(x) = L〗这个定义可以解释为：当自变量x趋近于a时，函数f(x)的值趋近于L。
如果函数在点a左右两侧的极限不相等，或者不存在，我们称之为函数在点a处的间断点。
接下来，我们介绍一下无穷极限的概念。
在函数的定义域中，如果x逼近于无穷大时，函数f(x)的极限存在且有确定的值L，那么称这个极限为无穷大。
如果x 逼近于无穷小时，函数f(x)的极限存在且有确定的值L，那么称这个极限为无穷小。
无穷大和无穷小是解决函数在无穷远处的行为问题非常有用的工具。
极限还有一些重要的性质。
首先是极限的唯一性。
如果函数在某一点的极限存在，那么这个极限是唯一的，即函数不能同时趋近于两个不同的值。
其次是四则运算的极限性质。
假设lim(x→a)〖f(x) = L〗，lim(x→a)g(x) = M，那么有以下结果：lim(x→a)〖(f(x) ±g(x)) = L ±M〗、lim(x→a)〖(f(x) ×g(x)) = L ×M〗和lim(x→a)〖(f(x) ÷g(x)) = L ÷M〗。
最后是复合函数的极限。
设f(x)在点a的一个去心领域内有定义，而g(x)在点L的一个去心领域内有定义，并且lim(x →a)f(x) = L，lim(y→L)g(y) = M，那么有lim(x→a)〖g(f(x)) = M〗。
极限的基本概念
极限的基本概念在数学中，极限是一个基本概念，它在微积分以及其他许多数学领域中扮演着重要的角色。
极限使我们能够研究函数的性质和行为，并解决实际问题。
本文将介绍极限的基本概念及其应用。
一、极限的定义在数学中，极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的值的趋势。
常用的极限符号是lim。
具体来说，对于一个函数f(x)，当自变量x无限接近于某个实数c时，如果函数f(x)的值无限接近于一个常数L，我们就将L称为函数f(x)在x趋于c时的极限。
用符号表示为：lim (x→c) f(x) = L其中，lim表示极限，x→c表示x趋向于c，f(x)表示函数f关于x的取值，L表示极限的值。
二、极限的性质极限有一些基本的性质，我们可以利用这些性质来求解极限。
1. 极限的唯一性定理：如果函数f(x)在x趋于c时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 极限的四则运算法则：- 两个函数的极限之和等于极限的和：lim (x→c) [f(x) + g(x)] = lim (x→c) f(x) + lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之差等于极限的差：lim (x→c) [f(x) - g(x)] = lim (x→c) f(x) - lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之积等于极限的积：lim (x→c) [f(x) * g(x)] = lim (x→c) f(x) * lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之商等于极限的商（假设除数不为0）：lim(x→c) [f(x) / g(x)] = lim (x→c) f(x) / lim (x→c) g(x)3. 极限的复合运算法则：如果g(x)在x趋于c时的极限存在且lim (x→c) g(x) = L，而f(x)在x趋于L时的极限存在，则复合函数f(g(x))在x趋于c时的极限也存在，且lim (x→c) f(g(x)) = lim (x→L) f(x)。
三、极限的应用极限在微积分中具有广泛的应用。
高等数学第3章第1节函数极限的概念
第三章 函数极限§1 函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势．此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞．但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？为此，考虑下列函数:1,0;()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、x →+∞时函数的极限１．引言设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如 1(),f x x x=无限增大时，()f x 无限地接近于０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势．我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. 2. x →+∞时函数极限的定义定义１ 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数．若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限．记作lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.３．几点注记 （１）定义１中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n ． （２） lim ()x f x A →+∞=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈（３）lim ()x f x A →+∞=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域．“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()y f x =全部落在这个带形区域内．如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内． （４）现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作， lim ()x f x A →-∞=或()()f x A x →→-∞，lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：lim ()x f x A →-∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，lim ()x f x A →∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<．（５）推论：设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==．４．利用lim ()x f x →+∞＝Ａ的定义验证极限等式举例例１ 证明 1lim0x x→∞=. 例２ 证明 １）lim 2x arctgx π→-∞=-；２）lim 2x arctgx π→+∞=.二、0x x →时函数的极限１．引言上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ．本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，．现在讨论当00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列． 先看下面几个例子：例１ ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →）例２ 24()2x f x x -=-.（()f x 是定义在0(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）例３ 1()f x x=.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →） 由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势．我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0lim ()x x f x A →=．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了．即对0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<．此即0lim ()x x f x A →=．２．00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义 定义２ 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()00;Ux δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→.3．说明如何用εδ-定义来验证这种类型的函数极限 ４． 函数极限的εδ-定义的几点说明：（１）|()|f x A ε-<是结论，00||x x δ<-<是条件，即由00||x x δ<-<推出．（２）ε是表示函数()f x 与Ａ的接近程度的．为了说明函数()f x 在0x x →的过程中，能够任意地接近于Ａ，ε必须是任意的．这即ε的第一个特性——任意性，即ε是变量；但ε一经给定之后，暂时就把ε看作是不变的了．以便通过ε寻找δ，使得当00||x x δ<-<时|()|f x A ε-<成立．这即ε的第二特性——暂时固定性．即在寻找δ的过程中ε是常量；另外，若ε是任意正数，则2,2εε 均为任意正数，均可扮演ε的角色．也即ε的第三个特性——多值性；（|()|f x A ε-<|()|f x A ε⇔-≤） (3) δ是表示x 与0x 的接近程度，它相当于数列极限的N ε-定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的0ε>，都有一个δ与之对应，所以δ是依赖于ε而适当选取的，为此记之为0(;)x δε；一般说来，ε越小，δ越小．但是，定义中是要求由00||x x δ<-<推出|()|f x A ε-<即可，故若δ满足此要求，则,23δδ等等比δ还小的正数均可满足要求，因此δ不是唯一的．这即δ的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数f 在0x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求f 在0x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑f 在点a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“00||x x <-”．（５）定义中的不等式00||x x δ<-<00(,)x U x δ⇔∈；|()|()(;)f x A f x U A εε-<⇔∈．从而定义２⇔0,0εδ∀>∃>，当00(,)x U x δ∈时，都有()(;)f x U Aε∈⇔0,0εδ∀>∃>，使得()00(,)(;)f U x U A δε⊂． （６）εδ-定义的几何意义．例１．设24()2x f x x -=-，证明2lim ()4x f x →=.例２．证明 １）00lim sin sin x x x x →=；２）00lim cos cos x x x x →=.例３．证明 22112lim 213x x x x →-=--.例４．证明 0x x →=0(||1)x <.练习：１）证明 311lim31x x x →-=-; ２）证明 65lim 6x x x→+∞+=. 三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如21,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩或函数在某些点仅在其一侧有定义，如2()0f x x ≥．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论1()f x 在0x →时的极限．要在0x =的左右两侧分别讨论．即当0x >而趋于０时，应按21()f x x =来考察函数值的变化趋势；当0x <而趋于０时，应按1()f x x =来考察函数值的变化趋势；而对2()f x ，只能在点0x =的右侧，即0x >而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念． ２．单侧极限的定义定义３ 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义，Ａ为定数．若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00x x x δ<<+时有|()|f x A ε-<, 则称数Ａ为函数f 当x 趋于0x 时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→或0(0)f x A +=．类似可给出左极限定义（00(;)U x δ-，00x x x δ-<<，0lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→或0(0)f x A -=）.注：右极限与左极限统称为单侧极限． ３．例子例5 讨论sgn x 在0x =的左、右极限．例6 1±处的单侧极限．４．函数极限0lim ()x x f x →与00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→的关系．定理３.１ 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：10lim ()0x f x →=．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知0lim sgn x x →不存在．２）0(0)f x +，0(0)f x -，0()f x 可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3， 7。
数学分析3.1函数极限概念
第三章 函数极限 1 函数极限概念一、x 趋于∞时的函数极限定义1：设f 为定义在[a,+∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限， 记作：lim x→+∞f (x )=A 或f(x)→A(x →+∞).定义1的几何意义如右上图：正数ε越小时，一般x=M 越大；f(x)的图象右边落在x=M 与y=A+ε和y=A-ε围成的带形区域里。
设f 为定义在U(-∞)或U(∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x<-M 或|x|>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于-∞或∞时以A 为极限，记作：lim x→−∞f (x )=A 或f(x)→A(x →-∞)；lim x→∞f (x )=A 或f(x)→A(x →∞).lim x→∞f (x )=A lim x→+∞f (x )=lim x→−∞f (x )=A.例1：证明limx→∞1x=0.证：任给ε>0，取M =1ε，则当|x|>M 时，有|1x −0|=1|x|<1M =ε，∴lim x→∞1x=0.例2：证明(1)lim x→−∞arctan x =−π2；(2)lim x→+∞arctan x =π2.证：(1)任给ε>0，要使|arctan x −(−π2)|<ε，即-ε−π2<arctan x<ε−π2， ∵arctan x ≥−π2>-ε−π2，∴只须使arctan x<ε−π2，即x<tan (ε−π2)= -tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x<-M 时， 便有|arctan x −(−π2)|<ε，∴lim x→−∞arctan x =−π2.(2)任给ε>0，要使|arctan x −π2|<ε，即π2−ε<arctan x<ε+π2， ∵arctan x ≤π2<ε+π2，∴只须使arctan x>π2−ε，即x>tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x>M 时， 便有|arctan x −π2|<ε，∴lim x→+∞arctan x =π2.注：∵lim x→−∞arctan x =−π2≠π2=lim x→+∞arctan x ，∴lim x→∞arctan x 不存在。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
它们在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指函数在某一点无限接近于某个数值。
更正式地说，对于函数 f(x)，当自变量 x 自某一方向趋近于 c 时，如果函数值 f(x) 无限接近于 L，则表明函数 f(x) 在 x 趋近于 c 时的极限为 L。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = L其中 lim 是极限的符号，x→c 表示 x 趋近于 c，f(x) 是函数在 x 处的取值，L 是极限的值。
函数的极限有以下重要性质：1. 当 x 趋近于 c 时，如果 f(x) 的极限存在，则该极限唯一；2. 如果函数 f(x) 在 x=c 处连续，则该函数在 x=c 处的极限等于该点的函数值；3. 两个函数的和、差、积的极限等于各自函数的极限之和、差、积；4. 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商（除数的极限不等于零）；5. 常数与函数的乘积的极限等于常数与函数极限之积；6. 两个函数的复合函数的极限等于内层函数的极限等于外层函数的极限。
二、函数的连续性函数的连续性是指当自变量 x 在某一点连续趋近于 c 时，函数值f(x) 也连续趋近于 f(c)。
更正式地说，对于函数 f(x)，如果函数 f 在 x=c 处连续，则函数值 f(x) 在 x 趋近于 c 时连续趋近于 f(c)。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = f(c)函数的连续性有以下重要性质：1. 函数在定义域内的每一点都连续，则函数在整个定义域内连续；2. 两个函数的和、差、积、商的函数在各自定义域的交集内连续；3. 复合函数的连续函数和内层函数在其定义域内都连续。
三、实际应用函数的极限和连续性在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的实际应用场景：1. 物体的运动：当我们研究物体的运动时，通常会涉及到时间与距离的关系。
函数极限不存在的定义
函数极限不存在的定义1. 函数极限的定义函数极限是一种计算函数值随着自变量无限接近某个值时的情况。
具体来说，函数f(x)在x=a处的极限为L，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
2. 函数极限存在的充分必要条件函数f(x)在x=a处存在极限的充分必要条件是左右极限存在并相等。
即，若limit{x→a⁻}f(x)=L1，则limit{x→a⁺}f(x)=L2且L1=L2。
3. 函数极限不存在的定义如果函数f(x)在x=a处没有极限，那么就称函数极限不存在。
具体来说，函数f(x)在x=a处的极限不存在，当且仅当以下两个条件中至少一个成立：(1) limit{x→a⁻}f(x)和limit{x→a⁺}f(x)中至少一个不存在。
(2) limit{x→a⁻}f(x)和limit{x→a⁺}f(x)存在但不相等。
4. 函数极限不存在的几种情况1）间断点不连续当函数在某个点处的函数值与左右极限不相等时，这个点被称为间断点。
而若该间断点同时满足左极限和右极限都不存在，则该点为间断点不连续的点，函数极限不存在。
2）无穷大或无穷小当函数在x→a时，函数值趋于无穷大或无穷小时，函数极限不存在。
3）震荡变化当函数在x→a时，函数值在一段区间内不停地在两个极限值之间变化时，函数极限不存在。
4）多重值一个函数在某点处多重值，即存在多个极限，那么函数极限不存在。
5）孤立奇点的倾斜情况当函数在x→a时，函数值趋近于一个有限值，但是趋近速度比经典收敛速度慢得多，此时也可以认为函数在此点无极限。
5. 总结函数极限是数学中非常重要的概念。
一个函数在某个点处的极限存在意味着这个点是一个连续点。
如果函数极限不存在，则说明函数在这个点附近出现了某些问题，例如间断、无穷大或无穷小、震荡变化、多重值或者孤立奇点的倾斜情况。
了解函数极限的存在和不存在，对于理解许多数学和科学问题是非常有帮助的。
数学 函数极限知识点总结
数学函数极限知识点总结一、基本概念1.1 函数极限的概念函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体地说，设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么称函数f(x)当x趋于a时的极限为A，记为lim(x→a)f(x)=A。
1.2 函数极限的图像解释在图像上，函数f(x)在点x=a处的极限为A，就是指当x趋于a时，函数曲线逐渐接近点(x，A)。
特别地，如果对于任意给定的ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数曲线都在点(x，A)的ε-邻域内，那么称函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且等于A。
1.3 函数极限的表达方式函数极限通常有三种表达方式，分别是极限右侧、极限左侧和双侧极限。
其中，当x趋于a时，如果函数f(x)的极限只依赖于x大于a时的情况，那么记为lim(x→a+)f(x)=A；如果函数f(x)的极限只依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a-)f(x)=A；如果函数f(x)的极限既依赖于x大于a时的情况，又依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a)f(x)=A。
1.4 无穷大与无穷小当函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大时，即lim(x→a)f(x)=∞或lim(x→a)f(x)=-∞，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大；当函数f(x)在点x=a处的极限为0时，即lim(x→a)f(x)=0，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷小。
二、求解方法2.1 用极限定义求解对于一般的函数极限问题，可以使用极限的定义求解。
具体地说，通过设定ε-δ的方式，利用函数的性质和运算规则，逐步推导出函数在特定点的极限。
通常包括利用夹挤定理、利用三角不等式、利用数列极限等方法来求解函数极限。
函数的极限函数的连续性
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
f(x)→a
常数函数f(x)=c(x∈R)，有lim f(x)=c
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， lim f (x) a；
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
函数极限的概念
函数极限的概念
在数学中，函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数对应的因变量的值趋近于某个值。
这个值可以是一个常数、正无穷大、负无穷大或不存在。
如果函数在自变量趋近于某个值时，对应的因变量的值无限接近于一个常数，那么这个常数就是该函数在该点的极限。
数学中用符号“lim”表示函数极限，例如lim(x->a) f(x) 表示当x趋近于a时，f(x)的极限。
函数极限的概念是微积分和数学分析中的基本概念，它在求导、积分、级数等数学问题中都有重要应用。
函数与极限知识总结
函数与极限知识总结1、定义极限（Limit）又称微积分的基本概念，它是指当函数f(x)的一些变量x逐渐靠近但又不等于一些特定的常数a时，函数f(x)的值一定要逐渐接近于一个特定的实数L，而接近的程度可以任意接近，即变量x靠近常数a时，函数f(x)的值即靠近常数L，记作$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$这就是极限的定义，a称作极限点，L称作极限值。
2、性质（1）不等式极限性质若$f(x)≥0,a>0$,当x靠近$a^{+}$时，则有$$f(x)≥\lim_{x \to a^{+}}f(x)≥0$$当x靠近$a^{-}$时，则有$$f(x)≤\lim_{x \to a^{-}}f(x)≤0$$（2）加法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=A+B$$（3）乘法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$,当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)g(x)]=AB$$（4）恒等式极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B,f(a)=B,g(a)=A $当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)=g(x)]=A=B$$（5）极限连续性设$\lim_{x \to a}f(x)=L$当x靠近a时，有$$f(a)=L$$这就是极限连续性性质。
3、极限的计算（1）无穷小除以无穷大当$\frac{1}{x}\to 0$时，有$$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$$（2）无穷大除以无穷大当$\frac{x}{y}\to 0$时，有。
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引言在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法.一、函数极限概念定义1[]1设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在正数M （a ≥），使得当M x >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞= 或()().f x A x →→+∞定义2[]1（函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞=或0()()f x A x x →→.定理1[]1设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。
若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作lim ()(lim ())x x x x f x A f x A +-→→==或00()()(()())f x A x x f x A x x +-→→→→.定理2[]1（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的.定理3[]1（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域00()U x 内有界.定理4[]1（局部保号性）0lim ()0x x f x A →=>若（或<0），则对任何正数r <A （或r <-A ）,存在00()U x ，使得对一切00()x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.定理5[]1（保不等式性）0lim ()x x f x →设与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域0'0(;)U x δ内有()()f x g x ≤，则lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤二、函数极限的求解与应用极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对函数极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法.求解函数极限的最基本的方法还是利用函数极限的定义，同时也要注意运用两个重要极限，其中可以利用等量代换，展开、约分等方法化成比较好求的数列，也可以利用函数极限的四则运算法则计算.夹逼性定理和拉格朗日中值定理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用. 洛必达法则是针对某些特殊的函数而言的，还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了.1、利用函数极限的定义根据函数极限的定义，是求极限的最基本的方法之一.例1 证明 1lim0x x→∞=. 证明 ε∀>0，∃M =1ε，则当x >M 时有，10x-=1x <1M =ε.所以有1lim0x x→∞=. 例2 用极限的定义证明20211lim 0x x x x -=-→ 0(||1)x <. 证明 由于||1x ≤, 0||1x <, 因此22=≤≤于是, 对任给的)10(0<<>εε不妨设, 取,212εδx -=则当00||x x δ<-<时,有 .11202ε<---x x注 用极限的定义时, 只需要证明存在)(δ或N , 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有n 的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的N (或δ)一致, 最后结合在一起考虑.2．利用极限的运算法则定理6[]1（四则运算法则） 若极限00lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都存在，则函数f g ±，.f g 当0x x →时极限也存在，且[]0lim ()()lim ()lim ();x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±[]0lim ()()lim ().lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=；lim ()x x g x →又若00,f g x x ≠→则当时极限存在，且有0()limlim ()/lim ().()x x x x x x f x f x g x g x →→→=例3 求221lim1nnn a a a b b b→∞++++++++, 其中1,1<<b a . 解 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bb b b b a a a a a n nn n--=++++--=++++++111,1111212,原式=1111lim111111lim11n n n n a b a a b abb +→∞+→∞----==----例4 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++→20211lim x x x x . 解 原式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--+-++=→)211(41121lim 220x x x x x x x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++--=→)11)(211()11(2lim 2220x x x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-++-=→)11)(211(2lim20x x x x 41-=.注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.3．利用迫敛性（夹逼准则）定理7[]1 （迫敛性）0lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==设，且在某0'0(;)U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则 0lim ().x x h x A →=例5 求下列函数的极限.(1)cos lim x x xx→-∞-；(2)2sin lim 4x x xx →+∞-.解 (1)因为-1≤cos 1x ≤，所以当0x <时，1cos 1x x x x-≤≤-， 于是 1cos 111x x x x x-+≤≤-, 又因为 11lim (1)lim (1)1x x x x→-∞→-∞+=-=，由迫敛性得 cos lim1.x x xx→-∞-= （2）因为1sin 1,x -≤≤2-24xx x >≤-所以当时，22sin 44x x x x x ≤--，又因为 2221lim lim 0,lim 04441x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞--===---， 又迫敛性得 2sin lim 4x x xx →+∞-=0.例6 求⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x x 1sin sin 1lim20. 解 当0≠x 时, 有 222111|sin sin ||sin |x x x x x x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,从而 2110|sin sin |||x x x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭, 由夹逼准则得 2011lim |sin sin |0x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以 01sin sin 1lim20=⎪⎭⎫⎝⎛→x x x x . 注1 迫敛性（夹逼准则）多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注2 利用夹逼准则求函数极限的关键：（1）构造函数)(x f , )(x h , 使)(x f ≤)(x g ≤)(x h ； （2）A x h x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0, 由此可得A x g x x =→)(lim 0.4．利用两个重要极限两个重要极限:（1)1sin lim0=→xxx ；(2)e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广: (1)1)()(sin lim0=→x f x f x x ()(,sin ,0)(lim 0x f u uu y x f x x ===→)；(2)e x g x g x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→)()(11lim 0 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞=→)(,11,)(lim 0x g u u y x g ux x . 例7 求下列函数的极限（1）1lim sin ;x x x→+∞（2）30tan sin lim x x xx →- .解（1）令1t x=， 0t 0.1sin lim sin lim 1.x t x tx x t++→+∞→→+∞→==则当 时， 于是 (2)23330002sin sin tan sin sin (1cos )2limlim lim cos cos x x x xx x x x x x x xx x→→→--==220sinsin 12lim ..2cos 211.1.21.2x x x x x x →⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦==例8 求下列函数的极限（1）02lim(1);x x x-→-（2）101lim()1x x x x→+- . 解（1）22221lim(1)=lim 1+-2xx x x e x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）11122100122lim()lim(1)lim(1)111x x x x x x n x x x x x x x--→→∞→+=+=+--- =2112202lim 11x xxx x e x --→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦.5．利用无穷小的性质和等价无穷小代换定理8[]1 设函数(),(),()f x g x h x 在0(,)U x δ'内有定义, 且有 )(~)(x g x f )(0x x →. (1) 若A x h x f x x =→)()(lim 0, 则A x h x g x x =→)()(lim 0；(2) 若B x f x h x x =→)()(lim, 则B x g x h x x =→)()(lim 0.性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理9[]1 设α,β均为无穷小, 且~,~ααββ'', 且αβ''lim 存在,则 αβαβ''=lim lim .例9 求极限22201cos lim sin x x x x →- .解 因为 222()1cos ~;2x x -所以 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=xx x .例10 计算30sin sin tan limxxx x -→. 解 由于 )cos 1(cos sin sin tan x xxx x -=-, 而 )0(~sin →x x x , )0(2~cos 12→-x x x , )0(~sin 33→x x x ,故有 212cos 1lim sin sin tan lim 32030=⋅⋅=-→→x x x x x x x x x .例[]611 计算01lim 1cos x x →-. 解 因为 211cos (0),2xx x -→ 且 22000222sin sin 1cos 22lim lim lim 111222x x x x x x x x x→→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 由定理得，x →()2000221lim lim 111122x x x x x x →→→====.注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换.注2[]7常用等价代换公式: 当0→x 时, x x ~sin , x x ~arcsin , x x ~tan ,x x ~arctan , x e x ~1-, a x a x ln ~1-等.在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题.6.利用恒等变形法在求函数极限时，利用简单的恒等变形可使极限易于计算，恒等变形的手段有约分法有和有理化法. （1）约分法适用于计算0型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子（特别是零因子）时，可通过约简式计算极限值.例12[]3 计算21lim 1n x x x x nx →+++--的值（n 为正整数）.解 原式=21(1)(1)(1)lim1n x x x x x →-+-++--= 121lim 1(1)(1)n n x x x x x --→⎡⎤++++++++⎣⎦12n =+++=(1)2n n+. 注 要首先将分子分母因式分解，找到公因子（特别是零因子），接着即可约去公因子，求函数极限. （2）有理化法在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题.例13[]4 计算：0lim x a x→ （其中0a >）.解 原式=0x →=22x →=x →=12a注 此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化.7.利用洛必达法则（1）0型不定式极限定理10[]1 若函数)(x f 和)(x g 满足： (i ) 0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ'内两者都可导, 且0)(≠'x g ；(iii ) A x g x f x x =''→)()(lim 0(A 可为实数, 也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. （2）∞∞型不定式极限 定理 11[]1 若函数f 和g 满足： (i ) ∞==→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ内两者都可导, 且0)(≠'x g ； (iii ) A x g x f x x =''→)()(lim 0(A 可为实数,也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. 注[]8洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限. 但是, 对于其他不定式的极限（如,0∞⋅ 001,0,,∞∞∞-∞等类型）如果无法判断其极限状态, 则洛必达法则失败, 但只需经过简单变换, 它们一般可以化为00型和∞∞型的极限. 例 12[]3 计算：（1） 3arcsin lim;(arcsin )x x x x →- （2） 0lim ln x x x +→; （3）()1ln lim xx x →+∞.解 （1）这是一个型的不定式极限, 直接应用洛必达法则得:3000arcsin lim x x x x xx→→→-==)11(13lim2222+---=→x x x x x 61-=.（2）这是一个∞⋅0型的不定式极限, 用恒等变形xxx x 1ln ln =将它转化 为∞∞型不定式极限, 并应用洛必达法则得到 x x x ln lim 0+→0)(lim 11lim 1ln lim 0200=-=-==+++→→→x xx x xx x x .（3）这是个0∞型不定式极限.类似地先求其对数的极限（∞∞型）：(+ln limlim1ln x x x xx→∞→+∞+== 于是有()1ln lim xx x →+∞=e .注1 要注意条件，也即是说，在没有化为0,0∞∞时不可求导.注2 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.注3 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误.8.利用泰勒展开式泰勒展开式[]9：若()f x 在0x =点有直到1n +阶连续导数,那么,,()2(0)(0)()(0)(0)...()2!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：(1)21()2!!n xn x x e x o x n =+++++ (2) 352112sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n --=-+++-+-(3)24221cos 1(1)()2!4!(2)!nnn x x x x o x n +=-+++-+(4)21ln(1)(1)()2nn n x x x x o x n -+=-++-+ (5)2(1)(1)(1)(1)1()2!!nn n x x x x o x n ααααααα---++=+++++(6)211x x ()1n n x o x x=+++++-上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例13[]1 计算 2240cos limx x x e x -→- .解 利用泰勒公式求解 245cos 1()224x x x o x =-++22521()28x x xeo x -=-++2452cos ()12x x x e o x --=-+ 因而求得2452440010()cos 112limlim 12x x x x x x e x x -→→-+-==-.9.利用拉格朗日中值定理定理12[]1 若函数f 满足如下条件： (1)f 在闭区间上连续;(2)f 在(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()()().f b f a f b aξ-=-此式变形可为:)10( ))(()()('<<-+=--θθa b a f ab a f b f例14[]10 求x x e e xx x sin lim sin 0--→.解 令x e x f =)( 对它应用中值定理得sin '()(sin )(sin )(sin (sin )) (01).x x e e f x f x x x f x x x θθ-=-=-+-<< 即sin '(sin (sin )) (01).sin x xe ef x x x x xθθ-=+-<<-xe xf =)(' 连续, ''0lim (sin (sin ))(0) 1.x f x x x f θ→∴+-==从而有 sin 0lim1.sin x xx e e x x →-=-结论求解函数极限时，不同的函数类型所采用的技巧是各不相同的.对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，所以我们必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法.这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求我们要吃透其精髓，明了其中的道理，体会出做题的窍门.达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时才可能得心应手.从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析,不能机械地用某种方法，对具体题目要具体分析，有时解题时可多种方法相结合，要学会灵活运用.参考文献：[1] 华东师范大学数学系. 数学分析[M].第三版. 北京: 高等教育出版社, 2001.[2] 彭辉. 高等数学辅导[M].北京: 高等教育出版社, 2003.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 1995.[4] 丁家泰. 微积分解题方法[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1981.[5] 刘三阳. 高等数学典型题解[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2003.[6] 吉米多维奇. 数学分析习题集解题[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999.[7] 钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003, 4(17):24-26.[8] 张敏捷. 函数极限的几种特殊求法[J]. 黄石理工学院学报, 2008, 4(24):56-58.[9] 程鹏, 张洪瑞, 李占现. 求函数极限的方法[J]. 河南科技学院学报, 2008,9(36):133-134.[10] Rudin W. Principle of Mathematical Analysis[M]. New York: John Pearson Edution, 1990.致谢在本次论文的撰写中，我得到了崇金凤老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；同时也显示了老师高度的敬业精神和责任感.在此，我对崇金凤教授表示诚挚的感谢以及真心的祝福.四年大学生活即将结束，回顾几年的历程，老师们给了我们很多指导和帮助。