5.分子动理论 大学物理习题答案
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解： E
m i m i 5 RT ，又 pV RT ，所以 E pV 2.0 10 5 5.0 10 3 2.5 10 3 J M mol 2 M mol 2 2
5-7 若氢气和氦气的压强、体积和温度均相等时，则它们的质量比
mH 2 m He
和内能比
EH2 EHe
当压强为 p 3 时，
M mol
RT G2 G1 ( ) gV p2 p1
m3 M mol p3 p G G1 3 2 V RT gV p2 p1
压强、温度的微观意义 5-3 将 2.010 2kg 的氢气装在 4.010 3m2 的容器中，压强为 3.9105Pa，则氢分子的平均平动动能为多少？ 解： pV
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大学物理练习册—分子动理论
最概然速率）
N m 3 解：速率区间较小时 f (v) v 4 ( ) 2 e 2 kT v 2 v N 2kT mv 2
令 x
N 4 2 x2 v 2kT , vp ， x e x m vp N
1.01v p时，x 1.01 ； x 0.02 100 100 2 N 4 所以 (0.99) 2 e ( 0.99 ) 0.02 1.66% N 5-10 有 N 个粒子，其速率分布函数为 f (v ) C （0≤v≤v0） f (v ) 0 （v＞v0） 其中 C 为常数。 （1）作速率分布曲线； （2）由 v0 求常数 C； （3）求粒子的平均速率。
1 2d n
2
，n
p 8RT ，v M mol kT
kT 2d 2 p
Z 2d 2
8RT p 16R d 2 p ， M mol kT k T
设原平均碰撞频率为 Z 0 ，平均自由程为 0
Z0 ， 1 20 2 1 (2) 当 P 保持不变，T 降为原值一半时， Z1 2 Z 0 ， 2 0 2 -10 5-14 设氮分子的有效直径为 1010 m。 （1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平均自由程； （2）如 果温度不变，气压降到 1.3310-4 Pa，则平均碰撞次数和平均自由程又为多少?
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(2) 由 v p
M v 2 RT 2 103 (2000) 2 得 T mol p 4.81 102 K M mol 2R 2 8.31
2
碰撞频率与自由程 5-13 （1）如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程 为原来的多少？（2）如果压强保持不变，温度降为原值的一半，则分子的平均碰撞频率和平均自由 程又为原来的多少？ 解： Z 2d 2 v n ，
当 v vp 解：(1) 速率分布曲线如右图。
wk.baidu.com
vp
.099v p时，x 0.99 ； v v p
vp
(2) 由归一化条件
0
v0
1 f (v) d v 1 ， c d v cv 0 1 ，得 c v0 0
v0
f (v)
C
(3) v vf (v) d v v c d v
5-4 体积 V 10 3 m 3 ，压强 p 10 5 Pa 的气体分子平均平动动能的总和为多少？ 解： t N
N 3 pV kT ，其中 N 为总分子数。 p nkT kT ， N 2 kT V pV 3 3 3 t kT pV 105 103 150 J kT 2 2 2
mRT m 1.25 10 2 8.31 273 , 1.25 10 2 kg/m 3 ， M mol 28 10 3 kg/mol pV V 1.0 102 1.013 105
气体是 N2 或 CO
3 3 kT 1.38 1023 273 5.65 10 21 J ，转动自由度 i 5 3 2 2 2 i 转 kT 1.38 1023 273 3.77 10 21 J 2 p 1.0 10 2 1.01 105 (3) p nkT , n 2.69 1023 /m 3 kT 1.38 10 23 273
大学物理练习册—分子动理论
理想气体状态方程 5-1 一容器内储有氧气，其压强为 1.01105Pa，温度为 270C，求： （1）气体分子的数密度； （2）氧气的质 量密度； （3）氧分子的质量； （4）分子间的平均距离（设分子均匀等距分布） 。 解：(1) p nkT ， n
p 1.01 105 2.44 1025 /m 3 kT 1.38 1023 (273 27)
2 RT 可知，在相同温度下， M mol 大的气体 v p 小， M mol
f(v) I II
所以曲线 对应氢气的分布，即 v p H 2000 m/s
2
O
vp O
2
M mol
H2
2
M mol O
2 vp H 2 2000 500 m/s 32
2000
图 5-12
v/(m·s-1)
0 0
c 2 v0 v0 2 2
0
v0
v
5-11（1）某气体在平衡温度 T2 时的最概然速率与它在平衡温度 Tl 时的方均根速率相等，求 T2／T1； （2） 如已知这种气体的压强 p 和密度ρ，试导出其方均根速率表达式。 解：(1) v p
2 RT 3RT ， v2 ， 由题意 M mol M mol
G G1 m， 放气后容器中气体质量为 m2 2 m 。 g g
G1 m m1 g p1V RT RT ， M mol M mol
上面两式相减得
p2V
m2 M mol
G2 m g RT RT M mol
RT (G2 G1 ) ( p2 p1 )V ， M mol g
Z 2d 2 v n 2 (1.0 10 10 ) 2 454 2.69 1025 5.42 108 s 1
1 v 454 8.38107 m 8 2 2d n Z 5.42 18
p' 1.33 10 4 3.53 1016 m 3 KT0 1.38 1023 273
(2) p ' 1.33104 Pa 时， n
Z 2d 2 v n 2 (1.0 1010 ) 2 454 3.531016 0.712 s 1
1 v 454 638 m 2 2d n Z 0.712
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m M pV RT ，T mol M mol mR
t
3 3 M pV 3 2 10 3 3.9 105 4.0 103 kT k mol 1.38 10 23 3.88 1022 J 2 2 mR 2 2 102 8.31
1eV 1.6 1019 J ， 分子具有 1eV 平均动能时，气体温度为
2 t 2 1.6 1019 7.73 103 K 23 3K 3 1.38 10 能量均分、理想气体内能 5-6 容积 V=5.010 3m3 的容器中装有氧气，测得其压强 p=2.0105Pa，求氧气的内能。 T
各为多少？
解： pV
M H2 M mol H 2
RT
pV
M H 2 M mol H 2 2 1 M He RT ， M mol He M He M mol He 4 2
又 E
EH 2 iH2 5 M i i i RT RT pV ， M mol 2 2 2 EHe iHe 3
T 3 2 RT2 3RT1 ，得 2 M mol M mol T1 2
(2) 由理想气体状态方程 pV
m m M p RT p RT ， mol ，即 M mol V RT M mol
v2
3RT 3p M mol
5-12 图 5-12 是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中的数据求： （1）氢气分子和 氧气分子的最概然速率； （2）两种气体的温度。 解：(1) 由 v p
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5-5 温度为 0℃和 100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于 1eV，气 体的温度需多高？（1eV=1.610 19J） 解： 0 C 时， t 0
3 3 kT 1.38 10 23 273 5.65 10 21 J 2 2 3 3 100C 时， t 100 kT 1.38 10 23 373 7.72 10 21 J 2 2
(2) t
Ek n t 2.69 1023 5.65 1021 1.52 103 J
(4) E
m i 5 RT 0.3 8.31 273 1.70 103 J M mol 2 2
速率分布定律、三种速率 5-9 计算气体分子热运动速率介于（vp-vp/100）和（vp+vp/100）之间的分子数占总分子数的百分比。 （vp 为
(1) 当 T 保持不变， p 降为原值一半时， Z1 解： (1) P0 1.013105 Pa ， T0 273 K ，
v
8RT0 8 8.31 273 454 m s 1 M mol 28 10 3
n
p 1.013 10 5 2.69 10 25 m 3 23 KT0 1.38 10 273
-
5-8 容器内盛有理想气体，其密度为 1.2510 2kg/m3，温度为 273K，压强为 1.010 2atm。求： （1）气体的 摩尔质量，并确定是什么气体； （2）气体分子的平均平动动能和平均转动动能； （3）容器单位体积内 分子的总平动动能； （4）若该气体有 0.3mol，其内能是多少？ 解：(1) M mol
(2)
pV m m pM mol 1.01 105 32 10 3 R ， 1.30 kg/m 3 T M mol V RT 8.31 (273 27)
(3) mO2 n ， mO2
1.30 5.33 10 26 kg 25 n 2.44 10
(4) d 3
1 3 1 3.45 109 m n 2.44 10 25
5-2 在容积为 V 的容器中的气体，其压强为 p1，称得重量为 G1。然后放掉一部分气体，气体的压强降至 p2， 再称得重量为 G2。问在压强 p3 下，气体的质量密度多大？ 解： 设容器的质量为 m ， 即放气前容器中气体质量为 m1 由理想气体状态方程有
m i m i 5 RT ，又 pV RT ，所以 E pV 2.0 10 5 5.0 10 3 2.5 10 3 J M mol 2 M mol 2 2
5-7 若氢气和氦气的压强、体积和温度均相等时，则它们的质量比
mH 2 m He
和内能比
EH2 EHe
当压强为 p 3 时，
M mol
RT G2 G1 ( ) gV p2 p1
m3 M mol p3 p G G1 3 2 V RT gV p2 p1
压强、温度的微观意义 5-3 将 2.010 2kg 的氢气装在 4.010 3m2 的容器中，压强为 3.9105Pa，则氢分子的平均平动动能为多少？ 解： pV
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最概然速率）
N m 3 解：速率区间较小时 f (v) v 4 ( ) 2 e 2 kT v 2 v N 2kT mv 2
令 x
N 4 2 x2 v 2kT , vp ， x e x m vp N
1.01v p时，x 1.01 ； x 0.02 100 100 2 N 4 所以 (0.99) 2 e ( 0.99 ) 0.02 1.66% N 5-10 有 N 个粒子，其速率分布函数为 f (v ) C （0≤v≤v0） f (v ) 0 （v＞v0） 其中 C 为常数。 （1）作速率分布曲线； （2）由 v0 求常数 C； （3）求粒子的平均速率。
1 2d n
2
，n
p 8RT ，v M mol kT
kT 2d 2 p
Z 2d 2
8RT p 16R d 2 p ， M mol kT k T
设原平均碰撞频率为 Z 0 ，平均自由程为 0
Z0 ， 1 20 2 1 (2) 当 P 保持不变，T 降为原值一半时， Z1 2 Z 0 ， 2 0 2 -10 5-14 设氮分子的有效直径为 1010 m。 （1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平均自由程； （2）如 果温度不变，气压降到 1.3310-4 Pa，则平均碰撞次数和平均自由程又为多少?
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(2) 由 v p
M v 2 RT 2 103 (2000) 2 得 T mol p 4.81 102 K M mol 2R 2 8.31
2
碰撞频率与自由程 5-13 （1）如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程 为原来的多少？（2）如果压强保持不变，温度降为原值的一半，则分子的平均碰撞频率和平均自由 程又为原来的多少？ 解： Z 2d 2 v n ，
当 v vp 解：(1) 速率分布曲线如右图。
wk.baidu.com
vp
.099v p时，x 0.99 ； v v p
vp
(2) 由归一化条件
0
v0
1 f (v) d v 1 ， c d v cv 0 1 ，得 c v0 0
v0
f (v)
C
(3) v vf (v) d v v c d v
5-4 体积 V 10 3 m 3 ，压强 p 10 5 Pa 的气体分子平均平动动能的总和为多少？ 解： t N
N 3 pV kT ，其中 N 为总分子数。 p nkT kT ， N 2 kT V pV 3 3 3 t kT pV 105 103 150 J kT 2 2 2
mRT m 1.25 10 2 8.31 273 , 1.25 10 2 kg/m 3 ， M mol 28 10 3 kg/mol pV V 1.0 102 1.013 105
气体是 N2 或 CO
3 3 kT 1.38 1023 273 5.65 10 21 J ，转动自由度 i 5 3 2 2 2 i 转 kT 1.38 1023 273 3.77 10 21 J 2 p 1.0 10 2 1.01 105 (3) p nkT , n 2.69 1023 /m 3 kT 1.38 10 23 273
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理想气体状态方程 5-1 一容器内储有氧气，其压强为 1.01105Pa，温度为 270C，求： （1）气体分子的数密度； （2）氧气的质 量密度； （3）氧分子的质量； （4）分子间的平均距离（设分子均匀等距分布） 。 解：(1) p nkT ， n
p 1.01 105 2.44 1025 /m 3 kT 1.38 1023 (273 27)
2 RT 可知，在相同温度下， M mol 大的气体 v p 小， M mol
f(v) I II
所以曲线 对应氢气的分布，即 v p H 2000 m/s
2
O
vp O
2
M mol
H2
2
M mol O
2 vp H 2 2000 500 m/s 32
2000
图 5-12
v/(m·s-1)
0 0
c 2 v0 v0 2 2
0
v0
v
5-11（1）某气体在平衡温度 T2 时的最概然速率与它在平衡温度 Tl 时的方均根速率相等，求 T2／T1； （2） 如已知这种气体的压强 p 和密度ρ，试导出其方均根速率表达式。 解：(1) v p
2 RT 3RT ， v2 ， 由题意 M mol M mol
G G1 m， 放气后容器中气体质量为 m2 2 m 。 g g
G1 m m1 g p1V RT RT ， M mol M mol
上面两式相减得
p2V
m2 M mol
G2 m g RT RT M mol
RT (G2 G1 ) ( p2 p1 )V ， M mol g
Z 2d 2 v n 2 (1.0 10 10 ) 2 454 2.69 1025 5.42 108 s 1
1 v 454 8.38107 m 8 2 2d n Z 5.42 18
p' 1.33 10 4 3.53 1016 m 3 KT0 1.38 1023 273
(2) p ' 1.33104 Pa 时， n
Z 2d 2 v n 2 (1.0 1010 ) 2 454 3.531016 0.712 s 1
1 v 454 638 m 2 2d n Z 0.712
19
m M pV RT ，T mol M mol mR
t
3 3 M pV 3 2 10 3 3.9 105 4.0 103 kT k mol 1.38 10 23 3.88 1022 J 2 2 mR 2 2 102 8.31
1eV 1.6 1019 J ， 分子具有 1eV 平均动能时，气体温度为
2 t 2 1.6 1019 7.73 103 K 23 3K 3 1.38 10 能量均分、理想气体内能 5-6 容积 V=5.010 3m3 的容器中装有氧气，测得其压强 p=2.0105Pa，求氧气的内能。 T
各为多少？
解： pV
M H2 M mol H 2
RT
pV
M H 2 M mol H 2 2 1 M He RT ， M mol He M He M mol He 4 2
又 E
EH 2 iH2 5 M i i i RT RT pV ， M mol 2 2 2 EHe iHe 3
T 3 2 RT2 3RT1 ，得 2 M mol M mol T1 2
(2) 由理想气体状态方程 pV
m m M p RT p RT ， mol ，即 M mol V RT M mol
v2
3RT 3p M mol
5-12 图 5-12 是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中的数据求： （1）氢气分子和 氧气分子的最概然速率； （2）两种气体的温度。 解：(1) 由 v p
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5-5 温度为 0℃和 100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于 1eV，气 体的温度需多高？（1eV=1.610 19J） 解： 0 C 时， t 0
3 3 kT 1.38 10 23 273 5.65 10 21 J 2 2 3 3 100C 时， t 100 kT 1.38 10 23 373 7.72 10 21 J 2 2
(2) t
Ek n t 2.69 1023 5.65 1021 1.52 103 J
(4) E
m i 5 RT 0.3 8.31 273 1.70 103 J M mol 2 2
速率分布定律、三种速率 5-9 计算气体分子热运动速率介于（vp-vp/100）和（vp+vp/100）之间的分子数占总分子数的百分比。 （vp 为
(1) 当 T 保持不变， p 降为原值一半时， Z1 解： (1) P0 1.013105 Pa ， T0 273 K ，
v
8RT0 8 8.31 273 454 m s 1 M mol 28 10 3
n
p 1.013 10 5 2.69 10 25 m 3 23 KT0 1.38 10 273
-
5-8 容器内盛有理想气体，其密度为 1.2510 2kg/m3，温度为 273K，压强为 1.010 2atm。求： （1）气体的 摩尔质量，并确定是什么气体； （2）气体分子的平均平动动能和平均转动动能； （3）容器单位体积内 分子的总平动动能； （4）若该气体有 0.3mol，其内能是多少？ 解：(1) M mol
(2)
pV m m pM mol 1.01 105 32 10 3 R ， 1.30 kg/m 3 T M mol V RT 8.31 (273 27)
(3) mO2 n ， mO2
1.30 5.33 10 26 kg 25 n 2.44 10
(4) d 3
1 3 1 3.45 109 m n 2.44 10 25
5-2 在容积为 V 的容器中的气体，其压强为 p1，称得重量为 G1。然后放掉一部分气体，气体的压强降至 p2， 再称得重量为 G2。问在压强 p3 下，气体的质量密度多大？ 解： 设容器的质量为 m ， 即放气前容器中气体质量为 m1 由理想气体状态方程有