第五章圆轴的扭转

12
M T 1 0.96kN m
M T 2 2.86kN m
M T 3 1.59kN m
Mt
可见 2-2 截面扭矩 最大，是危险截面。
扭矩图
13
Hale Waihona Puke Baidu.3 扭转时横截面上的应力
确定横截面上应 力的方法与过程
变形 观察
平面假定
应变 分布
物理关系
（虎克定律）
应力 分布
静力方程
应力 公式
要求一般的轴：
[θ] =0.500～1.00/m
要求精密度低的轴：[θ] =1.00～3.00/m
31
【例5-4】传动轴主动轮C输入外力偶矩mC=955N.m， 从动轮A、B、D分别输出 mA=159.2N.m， mB=318.3N m， mD=477.5N.m，已知材料切变弹性模量G=80×103 MPa，许用切应力[τ]=40MPa，单位长度许用扭转角[θ] =1º /m。设计轴的直径。 解：（1）计算扭矩，画扭矩图； AB段：MT1= - 159.2N.m， BC段：MT2=-477.5N.m， CD段：MT3= 477.5N.m。 MTmax= 477.5N.m
第5章 圆轴的扭转
5.1 圆轴扭转的实例与概念 5.2 扭转时的外力和内力 5.3 扭转时横截面上的应力
5.4 扭转的强度条件
5.5 圆轴的扭转变形与刚度条件
1
5.1 扭转变形的实例与概念
2
传动轴
3
Mn A'
A
g
Mn
B j
x
B'
扭转角φ
切应变γ
受力特点：圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的 外力偶作用，力偶作用面垂直圆杆轴线。
横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。
横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，矩形变为
平行四边形，故横截面上有切应力存在。 各横截面半径不变，所以切应力方向与半径垂直。
16
变形几何关系 根据几何关系， 圆周表面任一点 A 的切应变：
在受扭圆轴中取一个微段dx来分析。注意dφ、ABCD
DD' DD' g tang AD dx
g g R
横截面上任一点的切 应变与该点到圆心的 距离ρ 成正比。 18
物理关系 根据剪切胡克定律：
G g G g g g R R
R
切应力分布规律 圆轴扭转时横截面上各点的切应 力与它们离中心的距离成正比。圆心处切应力等于0， 轴表面处切应力最大。切应力沿半径线性分布，方 19 向垂直于半径。
结论：取圆轴直 径d=44mm。
32 M T max 180 0 4 32 477 .5 10 3 180 0 d4 43.2mm 2 3 2 3 G 80 10 1 10
33
作 业
P96 第27、28题
34
35
14
5.3 扭转时横截面上的应力
一、应力分布规律
①变形后圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆 周线之间的距离也没有改变。 ②纵向线仍为直线，都倾斜了同一个角度γ，原来矩形 变成了平行四边形。
15
平面假设 圆轴扭转变形后各个横截面仍为 平面，而且其大小、形状以及相 邻两截面之间的距离保持不变， 横截面半径不变。 推断结论
扭矩一定要按 正向假设
10
外力偶矩的正负号同扭矩，右手，离开截面为正。
m
MT
正
m MT
右手螺 旋法则
负
11
【 例 5 - 1 】 主 动 轮 N A =12 0 kW ， 从 动 轮 N B = 3 0 kW ， NC=40kW，ND=50kW，转速n=300r/min，求截面1-1、 1-2、1-3的扭矩。 解：
max
MT W
强度校核、设计截面与确定许可载荷。
24
【例5-2】某机器传动轴由空心钢管制成，钢管外径D= 90mm，内径d=85mm，材料许用切应力[τ]=60MPa， 轴传递的功率N=16kW，转速n=100r/min。试校核该轴 的扭转强度。 解：（1）计算外力偶矩和扭矩 轴横截面上的扭矩MT等于外力偶矩m，即： N 16 M T m 9550 9550 1527 .8 N m n 100 （2）校核扭转强度 轴内最大切应力为
max
MT M T 1527.8 1610 52.2MPa 3 3 W D1 D1 16
3
3 1527 . 8 16 10 D1 3 53m m 52.2
26
（2）比较空心轴与实心轴的重量
上例空心轴的横截面面积为
A空
(D2 d 2 )
变形特点：任意两个横截面之间都发生绕轴线的相对 转动（轴表面纵线歪成螺旋线）。
B端相对于A端面的转角φ，称为扭转角。
4
5.2 扭转时的外力和内力
一、扭转时的外力偶矩计算
在工程实际中，外力偶矩往往不是直接给出，给出 的是轴所传递的功率 N 和轴的转速 n ，因此需要根 据N、n来计算外力偶矩。
传递功率N
距离圆心为ρ处的 E点切应变（横截 面上任一点E切应 变）：
HH ' HH ' g tang EH 17 dx
在微段中取出一个扇形体放大后的图
DD' DD' g tang AD dx
HH ' HH ' g tang EH dx
g HH ' ' g DD R
NA m A 9550 3.82 kN m n
mB 0.96kN m mC 1.27kN m
mD 1.59kN m
M T 1 0.96kN m
Mt1 Mt2 Mt3
M T 2 3.82 0.96 2.86kN m
M T 3 1.59kN m
转速n
5
5.2 扭转时的外力和内力
输入功率N n 转速n R P v
齿轮、传动链条和皮带的圆周力对轮心的力矩就是使轴发生扭转变形的外力偶矩
①若已知圆周力P和半径R，则外力偶矩
②若已知功率N(kW)和转速n(r/min)，则
m PR
N 10 P v
3
P 2R n / 60 m2n / 60
MT
28
5.5 圆轴的扭转变形与刚度条件
一、圆轴的扭转变形 用两端面相对扭转角表示
j R g l
G g
j
l
GR
MT R 又 J
MT l j G J
29
工程上常用单位长度扭转角表示扭转变形大小。
MT l G J
Pa(N/m2)
N m 9550 , N.m n 6
二、扭转时横截面上的内力
求出所有外力偶矩后，即可用截面法求横截面上 的内力。 m m
x
m
MT
m 0 MT m 0
MT m
取右段，MT方向相反7
作用在横截面上的内 力偶 MT 称为扭矩。
扭矩的正负号规定 为使取左侧和右侧得到的同一截面的扭矩，不仅数值 相等，且符号相同，对扭矩的正负号规定如下。
MT
MT R J MT W
书上有错 因
W 令 ：

J R
称为抗扭截面模量
R
MT J
21
三、极惯性矩和抗扭截面模量
1、实心圆轴
dA 2d
J dA 2
2 A d /2 0
d
3

d
J R
4
32
0.1d
二、横截面上切应力的计算公式
静力关系 各微面积上微内力对中心之矩的总和应等于截面扭矩
M T dA
A


dA
R
MT
o
2


R
A
dA
MT
20
MT

R
A
dA
2
2



dA
令： J dA
A

o
称为截面的极惯性矩，与截 面尺寸有关的几何量。
j
N· m 单位：rad/m m4
工程上中规定的单位长度许用扭转角[θ]常以°/m为 单位，故上式可改写成
M T 180 G J
0
/m
GJρ—抗扭刚度
30
二、扭转的刚度条件
M 180 G J
要求精密度高、运转稳定的轴： [θ]=0.250～0.500/m
4
W

d
3
16
0.2d
3
22
2、空心圆轴
J
D 32


4
d
4
0.1D 1
4 4
d D
3 4
W
D 16D
4
d4

D3
1 0.2 D 1 16
4
o d D
23
5.4 扭转的强度条件
为了保证圆轴安全工作，要求最大切应力不超过材 料的许用切应力。
32
(2)按强度条件设计轴的直径
M T max 16M T max max 3 W d
d 3 16 M T max

3 16 477 . 5 10 3 39 .3mm 40
3、按刚度条件设计轴的直径
M T max 1800 32M T max 1800 4 GJ Gd
m
MT
正
右手螺 旋法则
m
MT
负
8
求扭矩的快捷方法
mB 1 mC mA 2 3 mD
B
1
C
2 A
3
D
MT 1 mB
M T 2 mB mC MT 3 mB mC mA
扭矩的大小等于截面任何一侧所有外力偶矩的代 数和。外力偶矩正负号规定同扭矩。 9
书上的一个问题
m1 mC m2 mC mA
MT MT 1527 .8 16103 max 52.2MPa 3 W D 85 3 4 (1 ) 90 1 <[τ ] 16 90 25 故该传动轴强度足够。
【例5-3】若上例中的传动轴采用实心轴，其它条件 不变，现要求它与原来的空心轴强度相同（即最大切 应力相同），试确定其直径，并比较空心轴与实心轴 的重量。 解：（1）确定实心轴的直径D1 因要求与上例空心轴强度相同，故实心轴的最大切 应力也应为52.2MPa。即
4

(902 852 )
4
687 m m2
实心轴的横截面面积为
A实
D12
4

532
4
2210m m2
在两轴长度相等，材料相同情况下，两轴重量之比 等于横截面面积之比，即
687 0.31 W实 A实 2210 W空 A空
27
687 0.31 W实 A实 2210
W空
A空
可见在相同的外力偶矩情况下，强度相等的空心轴 的重量仅为实心轴的31%，即选用空心轴要比实心 轴更省材料。
解释 从截面应力分布可见，实心轴圆 周上τmax≈[τ]时，中间部分切应 力与[τ]相差甚远，中间材料大 部分没有充分利用。若把中间部 分材料向边缘移，成为空心截面， 就会增大Wρ，提高强度。