(整理)信息光学导论第二章.

第二章

信息光学的数学基础

◆引言

在这一节，我们将以简明的格式，全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质，着重从光学眼光看待那些公式和数学定理，给出相应的光学显示或光学模拟，这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关，其意义就不仅仅限于光学领域了。 2.1傅里叶变换

◆傅里叶级数

首先．让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式，

这里，)(x g 称为原函数，n G 称为博里叶系数或频谱值，它是傅里叶分量n

f x i e

2π的

幅值．

◆频谱的概念

频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。因此，傅立叶分析也称频谱分析。频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。相位型频谱用的较少，通常提到的频谱大都指振幅型频谱。

为了更深刻的理解不同形式的频谱概念，以实例来进一步说明。对于光栅我们可以用透过率函数)(x g 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N 无限大

.

)(x g 是周期性函数

则：

上式表明，图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为 ),

()(md x g x g +=)

,2,1,( ±±=m ++-+=)52cos(52)32cos(32)2cos(221)(000x p x f x f x g ππππππ

这里f 称为空间频率. 0f 是f 的基频.。周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f =0处有直流分量.

透过率函数也可用复数傅里叶级数表示:

再回到光栅装置.由光栅方程,

在近轴条件下

因此透镜后焦面上频率为

当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的.

故傅立叶变换能达到分频的目的。

◆傅里叶变换

在现实世界中，不存在严格意义下的周期函数，非周期变化是更为普遍的现象．从数学眼光看，非周期函数可看作周期∞→d 的函数．据此，可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式．结果如下，

上式(*******)称为傅里叶变换，下式******)称为博里叶逆变换．对于二维情形，傅里叶变换和逆变换的积分式为

简单地表示为 ,5

,3,1,

d

d d f =x

f i n x f i x

f i x f i x p i x f i x f i n e G e e e e e e x

g 25252323222 )(51)(31)(121)(000000ππππππππ

ππ∑

=++++-++=--- ,sin λθn d =)

,2,1,0( ±±=n ,sin 0λλθnf d n f x =='≈λ

f x

nf f '==0

从光学眼光看),(y x g 代表一波前函数，线性相因子)

(2y f x f i y x e

+π代表—平面波成分，

(y x f f ,)代表一空间频率，对应一特定方向的平面波．于是，积分式(******)表明，任一波前可以分解为一系列不同空间频率的平面波前成分的叠加．对于非周期函数，空间频率(y x f f ,)的取值不是离散的，而是连续的，存在于(∞∞-,)．因此，在(y x f f ,)一(y y x x df f df f ++,)频率间隔中，平面波成分的振幅系数dA 表示为

这给出了谱函数G(y x f f ,)的光学意义一一频率空间中单位频率间隔的振幅系数，即振幅的谱密度函数，简称频谱。原函数),(y x g 及其频谱G(y x f f ,)，既可以是实数，也可以是复数。

2.2信息光学中常用的若干典型函数的频谱

(1)方垒函数．

如图*******(a)，(b)所示从变换光学眼光看，方垒函数相当平行光正入射于单缝时的被前函数。其夫琅禾费衍射场正是（******)式给出的sinc 函数形式．

(2)相幅型方垒函数．

如图******(a)，(b)所示．从变换光学眼光看，这相幅型方垒函数，相当于平行光斜入射于

单缝时的波前函数，或相当于平行光正入射于薄棱镜时的波前函数，其夫琅禾费衍射场的o 级班中心移至轴外，两侧依然呈现c sin 函数形式，如(******)式所示．

(3)准单频函数．

如图****所示．准单频函数可以被看作两个相幅

型方垒函数之和，从而造成两支频谱，其频谱中心分别在0f ±处．如果，准单频函数代表纯空

目信息而与时间变量无关，或代表纯时间信息而与空间变量无关，则这正负两支频谱无独立的物理意义，应将它俩合起来看作—支频谱——谱值加倍，而频率区间缩半于(o ，∞)．如果，这准单频函数代表定态波场的复振幅分布，则正负频谱成分有独立含义，各自乘以同一时间因子

t i e ω-，就分别代表两个相反方向传播的行波，而复振幅分布x f A 02cos π就表示那两列行波

叠加的驻波场．

(4)正向准单频函数．

其中

如图*****所示，展现有二支频谱，均系c sin 函数线型，其中心频率分别为0,0f ±．从变换光学眼光看，这)(x g 相当于平行光正入射于一余弦光栅时的波前函数，其夫琅禾费衍射场

有三个离散的亮斑，在亮斑邻近区域有光强的少许扩展，这特点由(******)式所反映．

(5)三角形函数．

如图******所示，其频谱恒为正值．含有明显的高频成分，方能合成带有尖顶的角形原函数．

(6)半椭圆形函数．

这里)(1 J 是一阶贝塞耳目数，如图******所示．

(7)高斯函数．

如图****所示．在函数大家庭中，唯有高斯雨数，其频谱依然是高斯型的，它是一个经傅里叶变换后线型不变的独特函数．凭借这一性质，高斯型光束成为激光器谐振腔中能稳定存在的一种模式．高斯函数也是光源的一种基本的光谱线型，因为由温度引起的谱线的多普勒展宽是高斯型