第六章 排队系统建模与仿真(New)

Pn P0
n
由： 则：
Pn P0 P0 P0 P0 1 n 1 0 P0 1 1

n
由上式，可得下式：
n 0
Pn 1

令：
n n n
（A） Pn(t)· (1－t) · (1－ t） （B） Pn+1(t ) · (1－t) · t （C） Pn－ 1(t ) · t · (1－ t） （D） Pn(t ) · t · t 以上各式省略了t的无穷小项。
21
由此可得： Pn (t + t) = Pn(t) (1－t－ t）+ Pn+1 (t) t +Pn－1(t) · t+ o (t)
• M——负指数分布 • M/M/1表示相继到达时间为负指数分布，服务时 间为负指数分布，单服务设备的模型。
三、排队系统的分析
1
单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/ ∞/FCFS)
（1）到达模式。动态实体源是无限的，动态实体单个 到达，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布。 （2）排队规则。单对，且队列长度没有限制，先到先 服务。 （3）服务机构。单服务台，各动态实体的服务时间是相 互独立的，服从相同的指数分布。 (4) 到达间隔时间和 服务时间是相互独立
三、排队系统的分析
例题。 到达病人数 到达的病人数n 0 1 2 3 4 5 大于等于6 合计 出现的次数fn 10 28 29 16 10 6 1 100
三、排队系统的分析
例题。 手术时间 完成手术时间t/h 0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 大于1.2 合计 出现的次数ft 38 25 17 9 6 5 0 100
三、排队系统的分析
系统中平均顾客数： 2 L （人） 2 3 2 队列的平均长度为：
2 4 LQ （人） ( ) 3
三、排队系统的分析
系统中平均逗留时间为：
L 2 （小时） 1 2
w


每个顾客在队列中花费的平均时间为：
1 2 wQ w 1 （小时） 3 3 1
二、到达时间间隔和服务时间分布
4
正态分布
1 1 x 2 f ( x) exp[ 2 ( ) ] , x 2
排队规则
1 1 2
2
…
多队-多服务台（并列）排队系统
1 2
…
…
c
c
单队-多服务台（并列）排队系统
C
多服务台（串列）排队系统
1 2 1 2
…
c
多服务台（组合式）排队系统
服务完了（离去）的概率t (t )
没有离去的概率就是1 t (t ) （3）多于一个顾客的到达或离去的概率
(t ) 是可以忽略的。
，
在时刻t+△t，系统中有n个顾客（n>0) 存在下列四种情况
情况 在时刻t顾客数 在区间（t, t+△t) 到达 离去 在时刻t顾客数
时间） W q
W q=Ws－1/ = ρ /(μ-λ)
( )
以上计算可以看出，满足Little公式：
Ls Ws
Lq Wq
三、排队系统的分析
1 服务强度：

2
系统状态为n的概率：
P0 1
Pn (1 ) ,
n
n 1
0 1
案例： 解：
2 3
2 1 P0 1 1 1 3 3
Pn (1 ) n , n 1
1 2 2 P 1 ( 3 )( 3 ) 9
2 2 4 P2 ( 1 )( ) 3 3 27 8 2 3 P3 ( 1 )( ) 3 3 81
三、排队系统的分析
案例2： 假设在一个单座、男女皆宜的美发店中，到达间隔时间和服 务时间都服从指数分布。 和 的值分别为每小时2个和每 小时3个，
1、求系统到达稳态后，系统服务强度 ？
2、没有人到达概率，及达到1个、2个、3个人的概率？ 3、系统中平均顾客数？队列的平均长度？
三、排队系统的分析
5 在系统中顾客逗留时间的期望值Ws
1 Ws
6 在队列中顾客等待时间的期望值
1 Wq ( )

三、排队系统的分析
案例1：
某修理店只有一个修理工，要求提供服务的顾客到 达过程为Poisson流，平均4人/h; 修理时间服从负指 数分布，平均需要6min。 试求（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率； （4） 在店内的平均顾客数；（5）每位顾客在店内的平均 逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每 位顾客平均等待服务时间（8）顾客在店内等待时间 超过10min的概率
(A) (B) (C) (D)
n n+1 n-1 n
× × ○ ○
× ○ × ○
n n n n
• Pn(t）表示t时刻系统中恰有n人。
情况 t 时刻顾客数 在区间［t,t+t） 到达 离去 t +t 时刻 顾客数
A
B C D
n
n＋1 n－1 n
不发生
不发生 发生 发生
不发生
发生 不发生 发生
n
e t , t 0 B(t ) t0 0,
二、到达时间间隔和服务时间分布
1
定长分布
动态实体到达间隔的时间为常数 动态实体接受服务的时间为常数
二、到达时间间隔和服务时间分布
2
泊松分布
满足下列四个条件的到达分布称为泊松到达分布： 平稳性。 独立性。 普通性。 有限性
［Pn (t+t)－Pn (t)］/t = Pn－1(t)+ Pn+1(t)－( +)Pn (t)+o (t)/ t
令 t 趋于0，有下列微分差分方程： d［ Pn (t) ］/ d t = Pn－1(t) +Pn+1 (t)－( + )Pn(t) • （当n=0时只有（A）和（B）） d［ P0(t) ］/ d t = - P0(t) +P1 (t) • 在稳定情况下， d［ Pn (t) ］/ d t = 0。有： － P0 + P1 =0 Pn－1 + Pn+1 －( + ) Pn =0 n≥1 • 求解上面两式的递推方程，得到：
三、排队系统的分析
解：（1）计算 平均到达速度： 平均手术时间： 平均服务速度：
nf Ts tf
t
n
100
2.1人 / 小时 0.37小时 / 人
…
c
排队规则
排队规则
系统处于“忙”时，动态实体进入队列的三种处理方法： 损失制 等待制
先到先服务（FIFO、FCFS）
后到先服务（LIFO） 随机服务（GIRO）
优先权服务（PR）
混合制
队列的度量
队列的度量
（1）服务强度

（2）实际业务强度u‘

' u' 1

P P0 1
1 P2 P0 P P0 P0 P0 1 1
2 3 1 1 P3 P P P P 2 0 P0 1 0 2
模型表达
排队模型的分类（Kendall记号）
X /Y / Z / A/ B /C
其中：X——表示顾客相继到达时间间隔的分布 Y——表示服务时间的分布 Z——表示服务台的个数
A——表示系统容量
B ——表示顾客源的数目 C——表示服务规则
模型表达（例）
• 在排队系统中一般约定：如果Kendall记号中略去 后3项时，即是指 X / Y / Z / / / FCFS
∞
Lq =∑ (n－1)Pn
n=1
=Ls－ρ
= ρ2/(1-ρ)
2 , 0 1 ( )
• 3. 逗留时间
关于顾客在系统中的逗留时间Ws服从为(μ -λ )
的负指数分布。
这样就求到顾客在系统中的平均逗留时间：
1 Ws
4.等待时间：（顾客在系统中平均等待服务
T T0 n
1 n T0 T
（3）到达间隔时间的分布函数A（t）
e t , t 0 A(t ) t0 0,
一、排队系统的基本概念
服务机构
（1）平均服务时间Ts （2）平均服务速度μ
T Ts ns 1 ns Ts T
（3）服务时间的分布函数B（t）
三、排队系统的分析
2
单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/ ∞)
1、分析标准的 M/M/1模型时，首先要求
出系统在任意时刻t的状态n(系统中有n 个顾客）的概率 Pn (t ) ，它决定了系统运 行的特征。
2、因已知到达规律服从参数 的泊松过程， 服务时间服从参数为 的负指数分布，所以 在[t, t+△t)时间区间内分为： （1）有一个顾客到达的概率为 ； t ( t) 没有顾客到达的概率是 1 t (t ) （2）当有顾客在接受服务时，1个顾客被
1 T0 1 Ts
n ns
（3）服务设备利用率
n
三、排队系统的分析
随机排队系统的运行指标： 在系统中动态实体数量的期望值Ls，
在系统队列中等待的动态实体数量（队列长度）的 期望值Lq。 在系统中动态实体逗留时间的期望值Ws， 在队列中动态实体等待时间（排队时间）的 期望值Wq。
第六章 排队系统建模与仿真
一、排队系统的基本概念 二、到达时间间隔和服务时间分布 三、排队系统的分析
四、排队系统的仿真
排队系统？
到达的顾客 要求服务内容 服务机构
1、不能运转的 修理 机器 2、病人 诊断或手术
3、电话呼唤 通话
修理技工
医生（或手术 台） 交换台
4、提货单
提取存货
仓库管理员
跑道 我方高射炮
5、到达机场的 降落 飞机 6、进入我方阵 我方高射炮进 行射击 地敌机
一、排队系统的基本概念
1
排队系统的组成
1 排队系统的三个基本组成部分
到达模式
服务机构
Βιβλιοθήκη Baidu排队规则
到达 按规则接受服务 离开
动态实体
排队
服务机构
一、排队系统的基本概念
到达模式
（1）平均到达间隔时间T0 （2）平均到达速度λ
kt k 1 e k f (t ) ( k ) t ( k 1)!
称T服从k阶爱尔朗分布。其数学期望和方差为：
E (T )
1

1 var[ T ] 2 k
二、到达时间间隔和服务时间分布
f(t)
k
k2 k 1
1/λ
k 3
t
例如：串列的k个服务台。每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分 布，那么以动态实体走完这k个服务台总共需要的服务时间就服从k阶爱尔 朗分布。
三、排队系统的分析
系统的运行指标(p154)： 3 在系统中的平均顾客数（系统的期望值）
Ls

1


4 在队列中等待的平均顾客数（队列长度期望值）
2 Lq , 0 1 ( )
三、排队系统的分析
P0 1 n Pn 1 n 1 1
三、基本计算
1.队长（系统中平均顾客数）Ls
Ls = ∑ n Pn n=0 ∞ ∞ = ∑ nρn － ∑nρn+1 n=0 n=0 = ρ/(1-ρ)= λ/(μ-λ) (ρ=λ/μ)
∞
2.排队长 （系统中等待服务平均顾客 数） ———L q
对于这种到达分布，在时间t内到达k个动态实体的概 率Vk(t)遵从泊松分布，即：
Vk (t ) e t
(t ) k k!
k 0,1
二、到达时间间隔和服务时间分布
3
爱尔朗分布
设v1,v2,…,vk是k个相互独立的随机变量，服从相同参数kλ的负 指数分布，那么T=v1+v2+…+vk的概率密度为：