医学高等数学习题解答(1,2,3,6)

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医用高等数学知到章节答案智慧树2023年南方医科大学

医用高等数学知到章节测试答案智慧树2023年最新南方医科大学第一章测试1.的反函数是：（）。

参考答案:2.关于函数的定义域，下面说法错误的是：（）。

参考答案:如果含有三角函数,反三角函数时,其自然定义域为R3.关于三角函数，下面说法错误的是：（）。

参考答案:反正切函数:4.复合函数可分解为：（）。

参考答案:5.已知,则（）。

参考答案:6.是什么函数？（）参考答案:分段函数7.下面极限错误的是（）。

参考答案:8.的极限是（）。

参考答案:不存在9.（）。

参考答案:110.关于函数，下面说法正确的是（）。

参考答案:其他三项都对11.f和g是同一极限过程的两个无穷小下面说法正确的是（）。

参考答案:A,B,C都对12.（）。

参考答案:13.参考答案:14.（）。

参考答案:115.处连续，则（）。

参考答案:16.的连续性，下面说法正确的是（）。

参考答案:是无穷间断点17.（）。

参考答案:118.方程区间有几个根？（）参考答案:至少有1个根19.（）。

参考答案:20.（）。

参考答案:第二章测试1.的导数是（）。

参考答案:2.，在处（）。

参考答案:连续3.，且（）。

参考答案:4.（）。

参考答案:5.（）。

参考答案:6.=（）。

参考答案:-207.（）。

参考答案:88.（）。

参考答案:0，-19.，若函数在=1处可导，a和b的值分别为（）。

参考答案:2，-110.（）。

参考答案:11.函数的单调递减区间为（）。

参考答案:12.函数的所有极值点为（）。

参考答案:（1，4）13.函数在[2, 5]上的最小值和最大值分别为（）。

参考答案:5，2514.曲线的所有拐点为（）。

参考答案:（0，1）、（）15.（）。

参考答案:16.（）。

参考答案:17.（）。

参考答案:118.（）。

参考答案:e19.（）。

参考答案:120.（）。

参考答案:1第三章测试1.如果，则的一个原函数为（）.参考答案:;2.如果，则的一个原函数为（）.参考答案:;3.如果是在区间I上的一个原函数，则= （）.参考答案:;4.如果，则（）.参考答案:;5.如果，则（）参考答案:;6.不定积分（）.参考答案:.7.不定积分（）.参考答案:;8.下列凑微分正确的是（）.参考答案:.9.不定积分（）.参考答案:;10.不定积分（）.参考答案:;11.不定积分（）.参考答案:;12.不定积分（）.参考答案:;13.如果是的一个原函数，则（）.参考答案:;14.不定积分（）.参考答案:;15.不定积分（）.参考答案:16.不定积分（）.参考答案:;17.不定积分（）.参考答案:;18.不定积分（）.参考答案:;19.不定积分（）.参考答案:;20.不定积分（）.参考答案:;第四章测试1.设函数f (x)连续，，则（）。

医用高等数学完整答案

医用高等数学完整答案第一部分：导数及其应用导数是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在医用高等数学中，导数的应用非常广泛，例如在药物动力学、生物力学等领域。

1. 导数的定义：导数可以理解为函数在某一点的变化率。

对于一个函数 f(x)，它在点 x=a 处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) f(a)] / h其中，h 表示自变量 x 的微小变化量。

2. 导数的几何意义：导数还可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。

切线是函数图像在该点附近最接近的直线，斜率则表示切线与x 轴的夹角。

3. 导数的计算：导数的计算方法有很多种，包括求导法则、微分法则、链式法则等。

下面列举一些常用的求导法则：常数函数的导数为 0。

幂函数的导数为幂指数乘以幂函数的导数。

指数函数的导数为指数函数乘以底数的对数。

对数函数的导数为底数的对数除以对数函数。

三角函数的导数可以根据三角函数的和差公式进行计算。

4. 导数的应用：导数在医用高等数学中的应用非常广泛，例如：药物动力学：通过求导可以计算药物在体内的浓度变化率，从而预测药物的疗效和副作用。

生物力学：通过求导可以计算生物体的运动速度和加速度，从而分析生物体的运动状态。

生理学：通过求导可以计算生理参数的变化率，从而分析生理过程的变化规律。

导数是医用高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，并在药物动力学、生物力学等领域有着广泛的应用。

第二部分：微积分的应用微积分是高等数学的另一个重要分支，它包括微分和积分两部分。

在医用高等数学中，微积分的应用同样非常重要，它可以帮助我们理解和分析医学问题。

1. 微分的应用：微分是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化情况。

在医学中，微分可以用来研究药物在体内的浓度变化、生物体的生长速度等。

例如，我们可以通过微分方程来描述药物在体内的代谢过程，从而预测药物的疗效和副作用。

2. 积分的应用：积分是微积分的另一个重要部分，它描述了函数在某个区间上的累积效果。

医用高等数学(第三版)习题解答

医用高等数学（第三版）习题解答习题一1( 求下列函数的定义域:(1)要使函数有意义，需且只需，即或，所以函数 (x，2)(x,1),0y,(x，2)(x,1)x,,2x,1的定义域为。

(,,,,2],[1,，,)(2)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数 y,arccos(x,3),1,x,3,12,x,4。

的定义域为[2,4]x,1x,1,0(3)要使函数有意义，需且只需且，或，所以函数的定 x，2,0x,,2x,1y,lgx，2x，2义域为。

(,,,,2),(1,，,)ln(2，x),0,ln(2，x),y,2，x,0(4)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。

[,1,0),(0,4),(4,，,),x(x,4),x(x,4),0,2,2,x,01x,(5)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。

y,，arcsin(,1)[0,2),22,,1,x/2,1,12,x,xsinx,0y,(6)要使函数有意义，需且只需，即函数的定义域为。

D,{xx,R,x,k,,k为整数}sinx1111122f(),,f(0),f(lg),1，lg,1，(lg2)2(解，，。

222221,0,x，,1,1112，，3f(x，)，f(x,)) 要使函数有意义，需且只需3(解(1 解之得函数的定义域为。

,,,,13333，，,0,x,,13,0,sinx,1(2)要使函数有意义，需且只需，即为整数，所以函数的定2k,,x,(2k，1),,kf(sinx)D,{xx,[2k,,(2k，1),],k为整数}义域为。

,1,1[e,1]e,x,1(3)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数f(lnx，1)的定义域为。

0,lnx，1,1220,x,1[,1,1](4)要使函数有意义，需且只需，即，所以的定义域为。

f(x),1,x,1312sin332x2y,lgtan(x，1)4(解(1); (2) ; (3) ; (4) 。

医学高等数学习题解答(1,2,3,6)

第一章函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。

设h(x)=f(x)+f(x), 则h(x)= f(x)+f(x)= h(x)。

故为偶函数。

2. 错。

y=2ln x的定义域(0,+), y=ln x2的定义域(,0)∪(0,+)。

定义域不同。

3. 错。

故无界。

4. 错。

在x0点极限存在不一定连续。

5. 错。

逐渐增大。

6. 正确。

设，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有。

7. 正确。

反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x) =F(x)f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x=x0处也连续，与已知条件矛盾。

8. 正确。

是复合函数的连续性定理。

二、选择题题解1.2. y=x (C)3. (A)4. (B)5.(B)6. (D)7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是10。

(A)8. 设,则，连续，由介质定理可知。

(D)三、填空题题解1.2. 是奇函数，关于原点对称。

3. ,。

4. ,可以写成。

5. 设，，6. 有界，，故极限为0。

7.8. ,而，得c=6, 从而b=6, a=7。

9.10.11. 设u=ex1，12. 由处连续定义，，得：a=1。

四、解答题题解1. 求定义域(1) , 定义域为和x=0(2) 定义域为(3) 设圆柱底半径为r，高为h，则v=r2h, ，则罐头筒的全面积，其定义域为(0,+)。

(4) 经过一天细菌数为，经过两天细菌数为,故经过x天的细菌数为，其定义域为[0,+)。

2. ，，。

3. ,。

4. 证明：。

5. 令x+1=t, 则x=t1。

，所以：。

6. 求函数的极限(1) 原式=。

(2) 原式==。

(3) 原式==。

(4) 原式=。

(5) 原式==。

（P289常见三角公式提示）(6) 原式=，令，则，令，则，，原式=。

(7) 原式=== e3。

(8) 原式=== e2。

(9) 原式==。

(10) 令，则，原式=(填空题11)。

医用高等数学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古医科大学

医用高等数学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古医科大学内蒙古医科大学第一章测试1.已知 ,则的值为（）.A:6 B:-6 C: D:-3答案:-32.设函数 ,若在处连续,则的值等于（）.A:1 B:2 C: D:答案:13.下列叙述不正确的是（）A:无穷大量的倒数是无穷小量 B:无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量 C:无穷小量的倒数是无穷大量 D:无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量答案:无穷小量的倒数是无穷大量4.的值为（）.A:1 B:不存在但不是无穷大 C: D:0答案:05.下列极限存在的是（）.A: B: C: D:答案:6.设，则是的（）.A:跳跃间断点 B:第二类间断点 C:连续点 D:可去间断点答案:跳跃间断点7.已知 ,则常数a等于（）.A:1 B: 1 C:5 D:6答案:68.（）A:错 B:对答案:对9.（）A:错 B:对答案:对10.函数是内的连续函数.（）A:错 B:对答案:错第二章测试1.设，则（）。

A: B: C: D:答案:2.若函数在内满足且，则在此区间（）。

A:单调增加，凸函数B:单调减少，凹函数C:单调增加，凹函数D:单调减少，凸函数答案:单调减少，凹函数3.若可导, 且 , 则（）。

A: B: C: D:答案:4.设，则（）。

A: B: C: D:答案:5.设由方程所确定的隐函数为，则 =（）。

A: B: C: D:答案:6.设由方程所确定的函数为，则在处的导数为（）。

A: B: C:0 D:答案:7.设曲线在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为（）。

A:(1,1) B:( 0,0) C:(0,1) D:(1, 0)答案:(1, 0)8.设函数，则在处（）。

A:可导，但不连续 B:可导，且导数也连续 C:不连续 D:连续，但不可导答案:连续，但不可导9.已知，则 = （）。

A: B: C: D:答案:10.下列凑微分正确的是（）。

A: B: C: D:答案:;第三章测试1.（）A:； B:． C:； D:；答案:；2.（）A:； B: ( ) ； C: ( )； D:．答案: ( )；3.若（），则（）A:2； B:． C:； D:；答案:2；4.设，则（）A:； B:． C:； D:；答案:；5.，则（）A: B: C: D:答案:6.，则（）A: B: C: D:答案:7.（）A: B: C: D:答案:8.因为，所以（）A:错 B:对答案:对9. =（）A:对 B:错答案:对10.（）A:对 B:错答案:错第四章测试1.。

医学高等数学(第二版)第三章习题解答

第三章一元函数积分学习题题解(P108)一、判断题题解1. 错。

是)(x f 的所有原函数。

2. 错。

)(x f 的任意两个原函数之差为常数。

3. 错。

是C x F +)(。

4. 正确。

5. 错。

被积函数在x =0处无界。

6. 正确。

x y sin ='，00='=x y7. 正确。

被积函数是奇函数，积分区间对称。

8. 正确。

二、选择题题解1. )()(x f x x x f -=--=-被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。

或⎰-11dx x x =⎰⎰+--12012dx x dx x=1030 133131x x+--=[]0)01(31)1(031=-+---。

(A ) 2.⎰+∞∞-+dx x 211=⎰∞-+0 211dx x +⎰+∞+0 211dx x =0 arctan ∞-x ++∞0arctan x =πππ=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--0220。

(A ) 3. 正确的是C 。

4. dx x f aa⎰-- )(xu dudx -=-=====令du u f aa⎰-- )(=dx x f aa⎰- )(。

(D )5.)()(1)(ax b d ax b f a dx ax b f ---=-⎰⎰=C ax b F a+--)(1。

(B ) 6. 令x e x F -=)(，则x e x f --=)(，dx xe dx x xf x ⎰⎰--=)(=()⎰-x e xd =⎰---dx e xe x x =C x e x++-)1(。

(D )7.⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dt t dx d x 1 41=)()(14'+x x =x xx x +=+1212112。

(D ) 8. ⎰'''dx x f x f )()(=⎰'')()(x f d x f =[][]C x f x f d +'='⎰22)(21)(21，2)(x e x f -=，22)(x xe x f --='[]C x f +'∴2)(21 =()C xe x +--22221=C e x x +-2222。

医用高数精选习题(含答案)

高等数学第1-3章一、求下列各极限1、求极限 1)1(3tan lim 21--→x x x 、2、求极限)ln 11(lim 1x x x x --→。

3、求极限22)2(sin ln limx x x -→ππ4、求极限)1ln(102)(cos lim x x x +→ 5、当0→x 时，)()1ln(2bx ax x +-+就是2x 得高阶无穷小，求a ，b 得值 6、求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→7、求极限xx xx )1cos 2(sin lim ++∞→ 8、求极限 x e e x x x 20sin 2lim -+-→ 二、求下列各函数得导数或微分1、求函数x x y tan ln cos ⋅=得导数；2、设.42arcsin2x x x y -+= ，求1=x dxdy3、求)()(2(2tan u f f y x=可导）得导数；4、设 xe x y xarccos )1(ln-= ，求)0(y ' 5、设 )ln(2222222a x x a a x x y -+--= ，求y '。

6、设方程0=+-yxe e xy 确定了y 就是x 得隐函数，求0=''x y 。

7、设xx e y x sin )1ln(++=,求dy 。

8、设)0(,22)()2(lim20≠+=∆-∆+→∆x xx x x f x x f x ，求)2(x df 。

三、应用题1、讨论函数2332x x y -=得（1）单调性与极值（2）凹凸区间与拐点 2、求函数x x x f cos sin )(+=在]2,0[π上得极值。

3、求函数 )0(ln 1)(2>-+=x xx x f 得极值4、在某化学反应中，反应速度)(x v 与反应物得浓度x 得关系为)()(0x x kx x v -=，其中0x 就是反应开始时反应物得浓度，k 就是反应速率常数，问反应物得浓度x 为何值时，反应速度)(x v 达到最大值？四、选择题1．设,)(x x f =则=-∆+)2()2(f x f （）A ．x ∆2B ． 2C ．0D ．x ∆ 2．设)(x f y =得定义域为]1,1[-，则)()(a x f a x f y -++=(10≤≤a )得定义域就是（）A ．]1,1[+-a aB ．]1,1[+---a aC ．]1,1[--a aD ．]1,1[a a --3．若函数)(x f 在某点0x 极限存在，则（） A ．)(x f 在0x 得函数值必存在且等于极限值 B ．)(x f 在0x 得函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．)(x f 在0x 得函数值可以不存在 D ．如果)(0x f 存在得话必等于极限值 4．若0)(lim 0=→x f x x ，则（）A ．当)(x g 为任意函数时，有0)()(lim 0=→x g x f x xB ．仅当0)(lim 0=→x g x x 时，才有0)()(lim 0=→x g x f x xC ．当)(x g 为有界函数时，有0)()(lim 0=→x g x f x xD ．仅当)(x g 为常数时，才能使0)()(lim 0=→x g x f x x 成立5．设)(x f y =且,0)0(=f 则=')0(f （ B ） A ．0 B ．xx f x )(lim→ C ．常数C D ．不存在 6．设函数11)(--=x x x f ，则=→)(lim 1x f x （）A 、 0B 、 1-C 、 1D 、不存在7．无穷小量就是（）A ．比零稍大一点得一个数B ．一个很小很小得数C ．以零为极限得一个变量D ．数零 8．当0→x 时，与无穷小量12-xe等价得无穷小量就是（）A 、 xB 、 x 2C 、 x 4D 、 2x 9．若函数)(x f y =满足21)(0='x f ，则当0→∆x 时，0d x x y =就是（） A ．与x ∆等价得无穷小 B ．与x ∆同阶得无穷小 C ．比x ∆低阶得无穷小 D ．比x ∆高价得无穷小10．=→x xx sin 3sin lim 0（）A ．1B ．3C ．0D ．不存在11．如果322sin 3lim0=→x mx x ，则m 等于（）A ．1B ．2C ．94 D ．4912．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00)21()(1x k x x x f x 在0=x 处连续，则=k （）A ．2e B ． 2-e C ．21-eD ．21e13．设 212lim2=-+∞→x xax x ，则a =（） A ．1 B ．2 C ．0 D ．314．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=003sin1)(x ax x x x f ，若使)(x f 在),(∞+-∞上就是连续函数，则=a （）A ．0B ．1C ．31D ．3 15．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=12111)(2x x x x x f 在1=x 处（） A ．极限存在 B ．右连续但不连续 C ．左连续但不连续 D ．连续16．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=00011)(x x xx x f ，则0=x 就是)(x f 得（）A ．连续点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．无穷间断点 17．设)(x f 在0x 处可导，则=--→hx f h x f h )()(lim000（）A ．)(0x f '-B ．)(0x f -'C ．)(0x f 'D ．)(20x f ' 18．设x e f x2)(=则=')(x f （）A ．2B ．x2C ．x eD ．x e 2 19．设)(u f y =，xe u =则=22d d xy（）A ．)(2u f ex'' B ．)()(2u f u u f u '+'' C ．)(u f e x '' D ．)()(u uf u f u +''20．设)1ln()(2x x f +=，则=-'')1(f （）A ．1-B ．1C ．0D ．2 21．已知22ln arctan y x xy +=，则=x yd d （）A ．y x y x +- B ．y x y x -+ C ．y x +1D ．yx -1 22．若x x y ln =，则=y d （）A ．x dB ．x x d lnC ．x x d ]1)[(ln +D ．x x x d ln 23．已知x x y ln =，则()=10y （）A ．91x -B ．9-x C ．x 8!8 D ．9!8x 24．设函数n n n n a x a x a x a x f ++⋅⋅⋅++=--1110)(，则：='])0([f （）A ．n aB ．!0n aC ．0aD ．0 25．)(x f 在0x 处可导，则)(x f 在0x 处（）A ．必可导B ．连续但不一定可导C ．一点不可导D ．不连续26．设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，则至少有一点),(b a ∈ξ，满足（） A ．))(()()(a b f a f b f -ξ'=- B ．))(()()(b a f a f b f -ξ'=- C ．0)(=ξ'f D ．0)(=ξ''f27．已知曲线5+=xe y 上点M 处得切线斜率为2e ，则点M 得坐标为（）A ．)52(2+,eB ．)2(2,e C ．)52(2+--,e D ．)2(2,e -28．函数5224+-=x x y 在区间[-2,2]上得最大值与最小值分别为（） A ．4,5 B ．5,13 C ．4,13 D ．1,13- 29．下列命题正确得就是（）A ．函数)(x f 在),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内一定存在最值B ．函数)(x f 在),(b a 内得极大值必大于极小值C ．函数)(x f 在[]b a ,上连续，且)()(b f a f =则一定有),(b a ∈ε，使0)(='εfD ．函数得极值点未必就是驻点30．点)1,0(就是曲线c bx ax y ++=23得拐点，则有：（）A ．1=a ，3-=b ，1=cB ．a 为非零任意值，0=b ，1=cC ．1=a ，0=b ，c 就是任意值D ．a ，b 就是任意值，1=c31．函数)(x f 在点0x x =得某领域有定义，已知0)(0='x f ，且0)(0=''x f ，则在点0x x =处，)(x f （）A ．必有极值B ．必有拐点C ．可能有极值，也可能没有极值D ．可能有拐点，但必有极值 32．若函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，则=a （）A ．0B ．1C ．2D ．4 33．曲线1123+-=x x y 在区间)2,0(内（）A ．单调增加且为凹函数B ．单调增加且为凸函数C ．单调减少且为凹函数D ．单调减少且为凸函数1． D 2．D 3． C 4． C 5、 B6． D 7．C 8． B 9． B 10． C 11．C 12．B 13．C 14． C 15． B 16．C 17．A 18．B 19． B 20． C 21．B 22．C 23．D 24． D 25． B 26．A 27．A 28． C 29． D 30． B 31．C 32． C 33． C。

中医药高等数学教材答案

中医药高等数学教材答案
由于本题为数学答案的写作需求，我将以简洁明了的方式呈现答案，避免冗长的描述和无关内容的添加。

以下是中医药高等数学教材的答案：
第一章：函数与极限
1. 1. f(x) = x^2 + 2x + 1
2. 极限不存在
第二章：导数与微分
1. 1. f(x) = 3x^2 + 2x + 1
2. f'(x) = 6x + 2
第三章：积分与定积分
1. 1. ∫(3x^2 + 2x + 1)dx = x^3 + x^2 + x + C
第四章：级数与展开式
1. 1. 等比数列：a1 = 3, q = 2, n = 5
2. Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
第五章：概率与统计
1. 1. 求和公式：E(X) = ∑(xi * Pi)
2. 标准差公式：σ = sqrt(∑[(xi - E(X))^2 * Pi])
第六章：微分方程与动力系统
1. 1. y' = 4y
2. y = C * e^(4t)
第七章：复变函数与积分变换
1. 1. F(s) = L(f(t)) = ∫(e^(-st) * f(t))dt
第八章：线性代数
1. 1. 方程组：2x + y = 4
x - 3y = -7
2. 解为 x = 3, y = -2
总结：
本文按照“中医药高等数学教材答案”的题目要求，简洁明了地提供了每一章节的答案内容。

遵循指定的格式写作，阐述了数学问题的解答，排版整洁美观，语句通顺，满足标题所描述的内容需求，确保了阅读体验的连贯性。

该答案内容仅为示例，并非实际中医药高等数学教材的答案，请以教材实际内容为准。

(医学院)高等数学A答案

从而函数 y xe2x 的向上凹区间为[1,) ，向上凸区间为 (,1] ，拐点为 (1, e2 )
（10 分）
四、证明题（共 16 分）
1、证明：设 f (x) x5 3x 1，则显然 f (x) 在[0,1]上连续又 f (0) 1 0, f (1) 3 0 则由根的存在性定理(介值定理的推论)，在（0,1）内至少存在一点，使得 f ( ) 0 . 即方程 x5 3x 1在（0,1）内至少存在一个实根.
试题参考答案及评分标准
………………………………装………………………………订……………………………线……………………………
考试科目：
高等数学
考试方式：闭卷
试卷类型： A 卷
学院：医学院专业：临床、麻醉、五官、检验、影像班级：
学期： 2012— 2013 学年第 1 学期
一、选择题（每小题 3 分，6×3＝18 分）
dx
x
e 4、解：方程两边对 x 求导得： y dy y x dy 0
dx
共dx 2 页， dx x e y
(x e y 0)
（5 分）
（5 分）（2 分）
（2 分）（4 分）
（5 分）（3 分）
（6 分）
（5 分）
= 1 sin3x 1 sin5x c
2、证明：令 y ln x ，它在区间[a,b] 上满足拉格朗日中值定理的条件，
故存在 (a,b) ，使得
ln b ln a 1 (b a)
（2 分）（5 分）
由于 1 1 1 ，故 b a b a b a ，即 b a ln b b a
2、证明：令 y ln x ，它在区间[a,b] 上满足拉格朗日中值定理的条件，

医学高等数学习题解答(1,2,3,6)培训资料

医学高等数学习题解答(1,2,3,6)第一章函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。

设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。

故为偶函数。

2. 错。

y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。

定义域不同。

3. 错。

+∞=→201limxx 。

故无界。

4. 错。

在x 0点极限存在不一定连续。

5. 错。

01lim =-+∞→xx 逐渐增大。

6. 正确。

设A x f x x =→)(lim 0，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。

7. 正确。

反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。

8. 正确。

是复合函数的连续性定理。

二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sinlim 0=→xx x (A )4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++-- (B )6. 3092<⇒>-x x (D )7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。

(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。

(D ) 三、填空题题解 1. 210≤-≤x ⇒31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。

大一药学高数试题及答案

大一药学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. $ y = x^2 $B. $ y = x^3 $C. $ y = \sin x $D. $ y = \cos x $答案：C2. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在点 $ x = 1 $ 处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在答案：C3. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是：A. 0B. 1C. $ \frac{1}{2} $D. $ \infty $答案：B4. 积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ \frac{1}{4} $D. $ \frac{1}{6} $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 $ y = e^x $ 的导数是 $ _______ $。

答案：$ e^x $2. 函数 $ y = \ln x $ 的不定积分是 $ _______ $。

答案：$ x\ln x - x + C $3. 函数 $ y = \frac{1}{x} $ 在区间 $ (0, 1) $ 上的定积分是 $ _______ $。

答案：14. 函数 $ y = \sin x $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处的二阶导数是 $ _______ $。

答案：-1三、解答题（共60分）1.（15分）求函数 $ y = x^3 - 3x $ 的极值点。

答案：首先求导数 $ y' = 3x^2 - 3 $。

令 $ y' = 0 $，解得 $ x = \pm 1 $。

当 $ x < -1 $ 或 $ x > 1 $ 时，$ y' > 0 $，函数单调递增；当 $ -1 < x < 1 $ 时，$ y' < 0 $，函数单调递减。

医用高等数学资料医科大学测试题(答案)

《高等数学》测试题（A ）不定项选择题：将你认为正确的答案填入括号中，可单选，多选，每题4分，共24题。

1. 当0x →时，下列变量中（ B ）是无穷小量。

xx sin .A x e 1.B - x x x .C 2- x )x 1ln(.D +2. 22x 2sin lim 2sin x x xx x →∞+-=+（ A ）． A 12 B 2 C 0 D 不存在3．半径为R 的金属圆片，加热后伸长了R ∆，则面积S 的微分dS 是（ B ）A 、RdR πB 、RdR π2C 、dR πD 、dR π2注：dS=RdR π2;4．cos x xdx ππ-=⎰( C )A 、 1B 、 2C 、 0D 、 4注：偶倍奇零10121111105.12,().(12);.2(12);.2(12);.(2).x t f x dx ABCD A f t dt B f t dt C f t dt D f t dt --=-≠-----⎰⎰⎰⎰⎰作变量替换则().6. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ B）. A 、不定积分 B 、一个原函数C 、全体原函数D 、在[]b a ,上的定积分7.若()(),f x x φ''=则下列各式 AD 不成立。

()()0A f x x φ-= ()()B f x x C φ-=()()C d f x d x φ=⎰⎰ ()()ddD f x dx x dx dx dx φ=⎰⎰注：()()()().()()()()f x x f x x C d f x f x C d x x Cφφφφ''=⇒-==+=+⎰⎰8.设e -x 是f (x )的一个原函数，则⎰dx x xf )(=( B)。

A. C x e x +--)(1B. C x e x ++-)(1C. C x e x +--)(1D. C x e x ++--)(1注：()x x x x x xf x dx xde xe e dx xe e C -----==-=++⎰⎰⎰9.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,11x x x x f x α，要使()x f 在0=x 处连续，则=α（ C ）A ．1B ．0C ．eD ．e 110．函数1+=x y 在0=x 处满足条件（ A ）A ．连续但不可导B ．可导但不连续C ．不连续也不可导D ．既连续已可导注：0100()1lim 11(0)010()1010()101,0()(0)(0)lim lim 01,0x x x y f x x x f x x f x x x x f x x x x f x f f x x x →+-→→==+⎡+⎤==⇒⎣⎦+≥⎧=⎨-<⎩>⎧'=⎨-<⎩⎧→-'===⎨--→⎩在点连续。

医用高等数学答案

12kπ(k=±1,±2,…)为第Ⅱ类间断点.1.4　习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.求下列函数的定义域(1)y=(x+2)(x-1).解　由(x+2)(x-1)≥0定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞).(2)y=arccos(x-3).解　由-1≤(x-3)≤1定义域为[2,4].(3)y=lg x-1 x+2.解　由x-1x+2>0定义域为(-∞,-2)∪(1,+∞).(4)y=ln(2+x) x(x-4).解　由ln(2+x)≥0(2+x)≥1x≥-1;又x≠0,x≠4从而定义域为[-1,0)∪(0,4)∪(4,+∞).(5)y=12-x2+arcsin12x-1.解　由(2-x2)>0-2<x<2; 又由-1≤12x-1≤10≤x≤2;故定义域为[0,2).(6)y=x sin x.解　由sin x≠0定义域为(kπ,(k+1)π)(k=0,±1,±2,…).2.设f(x)=1+x2,x<0,12,x=0,-x,x>0.求f(0),f12,f lg12.解　f(0)=12,f12=-12,f lg12=f(-lg2)=1+(-lg2)2=1+(lg2)2.3.设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域(1)y=f x+13+f x-13.解　由0≤x+13≤10≤x-13≤1-13≤x≤2313≤x≤43定义域为13,23.(2)y=f(sin x).解　由0≤sin x≤1定义域为[2kπ,(2k+1)π](k=0,±1,±2,…).(3)y=f(ln x+1).解　由0≤ln x+1≤11e≤x≤1定义域为1e,1.(4)y=f(x2).解　由0≤x2≤1-1≤x≤1定义域为[-1,1].4.写出y关于x的复合函数(1)y=lg u,　u=t an(x+1).解　y=lg[tan(x+1)].(2)y=u3,　u=x2+1.解　y=(x2+1)32.(3)y=u+sin u,　u=1-v,　v=x3.解　y=1-x3+sin(1-x3).(4)y=e u,　u=v2,　v=sin w,　w=1 x.解　y=exp sin21x.5.指出下列各函数是由哪些基本初等函数或简单函数复合而成(1)y=e arc tan(2x+1).解　y=e u,　u=arct an v,　v=2x+1.(2)y=sin3(x+2).解　y=u32,　u=sin v,　v=x+2.(3)y=tan 1+x 1-x.解　y=tan u,　u=v,　v=1+x 1-x.(4)y=cosln3x2+1.解　y=cos u,　u=v3,　v=12ln w,　w=x2+1.6.已知f(e x+1)=e2x+e x+1,求f(x)的表达式.解　f(e x+1)=e2x+e x+1=(e x+1)2-(e x+1)+1f(x)= x2-x+1.7.已知f tan x+1tan x=tan2x+1t an2x+3,x≠kπ2(k=0,±1,±2,…),求f(x)的表达式.解　f t an x+1tan x=tan2x+1tan2x+3=tan x+1tan x2+1f(x)=x2+1.8.求下列函数的极限(1)limn→∞(n+1-n)=limn→∞1n+1+n=0;(2)limn→∞n sin nn+1=limn→∞1n+1/nsin n;因为对于任意的自然数n,有0≤1n+1/nsin n≤1n+1/n,注意到lim n→∞0=limn→∞1n+1/n=0,由夹逼法则得lim n→∞1n+1/nsin n=0,即lim n→∞1n+1/nsin n=0,故lim n→∞n sin nn+1=0. (3)limn→∞1n2+2n2+…+n-1n2=limn→∞1n2·12(n-1)n=limn→∞121-1n=12. 9.求下列函数的极限(1)limx→-1x3-1x-1=limx→-1(x2+x+1)=1;(2)limx→1x2-12x2-x-1=limx→1(x+1)(x-1)(2x+1)(x-1)=limx→1x+12x+1=23;(3)limx→∞x2-13x2-x-1=limx→∞1-1x23-1x-1x2=13;(4)因为limx→1x2-5x+42x-1=0,所以limx→12x-1x2-5x+4=∞;(5)limx→3x+13-2x+1x2-9=limx→33(3-x)(x2-9)(x+13+2x+1)=limx→3-3(x+3)(x+13+2x+1)=-116;(6)limx→+∞x2+1-1x=limx→+∞xx2+1+1=limx→+∞11+1x2+1x=1;(7)limx→111-x-21-x2=limx→1x-11-x2=limx→1-11+x=-12;(8)limx→01-cos xx sin x=limx→02sin2x2x·2sinx2cosx2=limx→0sinx2x cosx2=limx→0sinx22·x2·cosx2=12;(9)limx→1(1-x)tanπ2x=limt→0t tanπ2(1-t)=limt→0t cotπ2t=limt→02π·π2tsinπ2tcosπ2t=2π;(10)limx→0tan x-sin xx3=limx→0sin xx·1cos x·1-cos xx2=limx→0sin xx·12cos x·sinx2x22=12;(11)limx→1x21-x=limt→0(1-t)2t=limt→0(1-t)1-t2=limt→0(1-t)1-t2=e2;(12)limx→0(1-3x)1x=limx→0(1-3x)1-3x-3=limx→0(1-3x)1-3x-3=e-3;(13)limx→∞x-11+xx-1=limx→∞1-21+xx-1=limx→∞1-21+xx+11-21+x-2=limx→∞1-21+xx+1-2-21-21+x-2=limx→∞1-21+xx+1-2-2limx→∞1-21+x-2=e-2;(14)limx→0x+ln(1+x)3x-ln(1+x)=limx→01+1xln(1+x)3-1xln(1+x)=limx→01+ln(1+x)1x3-ln(1+x)1x=1+13-1=1;(15)limx→-1ln(2+x)31+2x+1=limx→-1[(1+2x)23-(1+2x)13+1]ln(2+x)1+2x+1=32limx→-1ln(2+x)1+x=32limt→0ln(1+t)t=32limt→0ln(1+t)1t =32ln limt→0(1+t)1t=32;(16)limx→∞2x+32x+1x+1=limx→∞1+22x+1x+1=limx→∞1+1x+12x+1=limx→∞1+1x+12x+121+1x+1212=limx→∞1+1x+12x+12limx→∞1+1x+1212=e.10.已知limx→1x2+bx+61-x=5,试确定b的值.解　由于分母极限为0,故只有分子的极限也为0时整个分式才可能有极限0型极限,其结果是个非0有限数值时,说明分子分母为同阶无穷小量,即limx→1(x2+bx+6)=0b=-7. 11.已知limx→+∞(2x-ax2-x+1)存在,试确定a的值,并求出极限值.解　limx→+∞(2x-a x2-x+1)=limx→+∞4x2-a x2+x-12x+ax2-x+1=limx→+∞(4-a)x2+x-12x+ax2-x+1存在.所以分子分母为同次式(分母本质上是一次式),即4-a= 0a=4.lim x→+∞(2x-4x2-x+1)=limx→+∞x-12x+4x2-x+1=limx→+∞1-1x2+4-1x+1x2=14. 12.当x→0时,将下列函数与x进行比较,哪些是高阶无穷小?哪些是低阶无穷小?哪些是同阶无穷小?哪些是等价无穷小?(1)tan3x.解　limx→0t an3xx=limx→0sin xx·tan2xcos x=limx→0sin xx·limx→0tan2xcos x=0当x→0时,tan3x是x的高阶无穷小;(2)1+x2-1.解　limx→01+x2-1x=limx→0x1+x2+1=0当x→0时,1+x2-1是x的高阶无穷小;(3)csc x-cot x.解　limx→0csc x-cot xx=limx→01-cos xx sin x=limx→0sin2x2x sinx2cosx2=limx→012sinx2x2cosx2=12当x→0时,csc x-cot x是x的同阶无穷小;(4)x+x2sin 1 x.解　limx→0x+x2sin1xx=limx→01+x sin1x=1当x→0时,x+x3sin 1x是x的等价无穷小;(5)cos π2(1-x).解　limx→0cosπ2(1-x)x=limx→0sinπ2xx=π2limx→0sinπ2xπ2x=π2当x→0时,cos π2(1-x)是x的同阶无穷小;(6)1+tan x -1-sin x .解lim x →01+tan x -1-sin x x=lim x →0tan x +sin x x (1+tan x +1-sin x)=limx →0sin xx 1+1cos x(1+tan x +1-sin x)=1当x →0时,1+t an x -1-sin x 是x 的等价无穷小.13．已知当x →0时,(1+ax 2-1)与sin 2x 是等价无穷小,求a 的值.解　limx →01+ax 2-1sin 2x =lim x →0ax 2(1+ax 2+1)sin 2x=a2=1a =2.14．设　f (x)=e x ,x <0,a +ln (1+x),x ≥0.　在(-∞,+∞)内连续,求a 的值.解　lim x →0-f (x)=lim x →0-e x=1,lim x →0+f (x)=lim x →0+[a +ln (1+x)]=a a =1.15．讨论函数f (x)=e 1x,x <0,0,x =0,x sin1x,x >0.　在点x =0处的连续性.解　因为lim x →0-f (x)=lim x →0-e 1x=0,lim x →0+f (x)=lim x →0+x sin 1x =lim x →0f (x)=0=f (0),所以f (x)在点x =0处连续.16．讨论函数f (x)=1,x =0,x sin 1x,x ≠0.　在点x =0处的连续性.解　因为lim x →0f (x)=lim x →0x sin1x=0≠f (0)=1,所以f (x)在点x =0处不连续.17．设f (x)=2,x =0,ln (1+a x)x,x ≠0.　在点x =0处连续,求a 的值.解　因为lim x →0f (x)=lim x →0ln (1+a x)x=a lim x →0ln (1+ax)1a x=a =f (0)=2,所以a =2.18．确定下列函数的间断点与连续区间:(1)y =x ln x．解　间断点为x =1;连续区间为(0,1)∪(1,+∞).(2)y =x -2x 2-5x +6.解　y =x -2(x -2)(x -3),间断点为x =2,x =3;连续区间为(-∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞).(3)f (x)=1-x 2,x ≥0,sin |x |x ,x <0.解　lim x →0-f (x)=limx →0-sin |x |x =-1,lim x →0+f (x)=lim x →0+(1-x 2)=1lim x →0-f (x)≠lim x →0+f (x).因此,间断点为x =0;连续区间为(-∞,0)∪(0,+∞).(4)f (x)=limn →+∞11+xn (x ≥0).解　f(x)=1,0≤x<1,12,x=1,0,x>1,间断点为x=1;连续区间为[0,1)∪(1,+∞).1．5　自测题1．选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)对1～6个月的婴儿,由月龄估计体重的经验公式为y= f(t)=3+0．6t(t表示月龄,y表示体重),则在这个实际问题中f(t)的定义域是.A.(-∞,+∞);B.(0,+∞);C.[1,6];D.以上都不是.(2)函数f(x)=3-x+arccos x-23+1的定义域是.A.(-1,3);B.[-1,3);C.(-1,3];D.[-1,3].(3)设f(x)=x+1x,则下式成立的是.A.f(x)=f 1x;B.f(x)=1f(x);C.f(x)=f1f(x);D.f(x)=1f1x.(4)函数y=a x8+8是由复合而成.A.y=a u,u=v12,v=x8+8;B.y=a u,u=x8+8;C.y=au12,u=x8+8;D.y=a12u,u=x8+8.列表讨论如下:t (0,t 1)t 1(t 1,t 2)t 2(t 2,+∞)C ′(t)+0--C ″(t)--0+C(t)↗凸极大值↘凸拐点↘凹 C(t)的最大值:C max=C(t 1)=A σ1σ2σ1σ2σ1-σ2;C(t)的拐点值:C(t 2)=A(σ1+σ2)σ21σ2σ12σ2σ1-σ2.请读者描绘出函数图像.2.4　习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.若一质点作直线运动,已知路程s 与时间t 的关系是s =3t 2+2t +1.试计算从t =2到t =2+Δt 之间的平均速度,并计算当Δt =0．1,Δt =0．01时的平均速度,再计算t =2时的瞬时速度.解　平均速度　珔v =Δs Δt =s(2+Δt)-s(2)Δt=3Δt +14.当Δt =0．1时,珔v =14．3;当Δt =0．01时,珔v =14．03;因此,t =2时的瞬时速度v ′(2)=lim Δt →0珔v =lim Δt →0(3Δt +14)=14. 2.按导数定义计算下列函数在指定点的导数.(1)f (x)=sin2x,x =0.解　f ′(0)=lim Δx →0f (0+Δx)-f (0)Δx =lim Δx →0sin2ΔxΔx=2.(2)f (x)=11+x,在x(x ≠-1)点.解　f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→011+(x+Δx)-11+xΔx=limΔx→0-1(1+x+Δx)(1+x)=-1(1+x)2.(3)f(x)=x+1,在x=0点.解　f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0Δx+1-1Δx=limΔx→0　1Δx+1+1=2.(4)f(x)=2x-x2,在x点.解　f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0(2-2x-Δx)=2-2x.3.设f(x)在x=x0点处可导,试计算下列极限(1)limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.解　设x=x0+Δx,则原式=limx→x0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0).(2)limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx.解　原式=12limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12f′(x0).(3)limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx.解　原式=lim-Δx→0f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=f′(x0).(4)limn→∞n f x0+1n-f(x0).解　原式=lim1 n →0f x0+1n-f(x0)1n=f′(x0).(5)limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h.解　原式=limh→0f(x0+h)-f(x0)-[f(x0-h)-f(x0)]h=2f′(x0).(6)limt→0f(x0+αt)-f(x0+βt)t.解　原式=limt→0α·f(x0+αt)αt-β·f(x0+βt)βt=(α-β)f′(x0).4.讨论下列函数在x=0点是否可导.(1)f(x)=x32sin1x,x>0 0,x≤0.解　f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx,而f′-(0)=limΔx→0-f(Δx)Δx=limx→0-0=0,f′+(0)=limΔx→0+f(Δx)Δx=limx→0+(Δx)32sin1ΔxΔx=0.所以,f(x)在x=0点可导且f′(0)=0.(2)f(x)=x1+e1x,x≠0, 0,x=0.解　f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx=limΔx→011+e1Δx.而f′-(0)=limΔx→0-11+e1Δx=1,　f′+(0)=limΔx→0+11+e1Δx=0.所以f(x)在x=0点不可导.5.确定a,b的值,使f(x)=x2,x≤1,ax+b,x>1在x=1点处可导.解　要使f(x)在x=1处连续,必须有limx→1+f(x)=limx→1-f(x)=f(1).而lim x→1-f(x)=limx→1-x2=1,　lim x→1+f(x)=limx→1+(ax+b)=a+b,f(1)=1,从而a+b=1.f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0f(1+Δx)-1Δx,f′-(1)=limΔx→0-f(1+Δx)-1Δx=limΔx→0-(1+Δx)2-1Δx=2,f′+(1)=limΔx→0+f(1+Δx)-1Δx=limΔx→0+a(1+Δx)+b-1Δx=a.要使f(x)在x=1处可导,应有f′-(1)=f′+(1),即a=2,又a+b= 1,从而得b=-1.＊6.若函数f(x)在x0点可导,且f(x0)≠0,试计算极限lim n→∞f x0+1nf(x0)n.解　limn→∞f x0+1nf(x0)n=limn→∞exp n lnf x0+1nf(x0)=limn→∞expln f x0+1n-ln f(x0)1n=exp limn→∞ln f x0+1n-ln f(x0)1n=expdln f(x)d x x=x0=exp1f(x)·f(x)′x=x=exp1f(x0)·f′(x0)7.设曲线y=2x-x3.(1)求(1,1)点处曲线的切线方程及法线方程;(2)在(x0,y0)点处,曲线的切线通过点(0,-2),求(x0,y0)点及该点处曲线的切线方程和法线方程.解　y′=2-3x2.(1)在(1,1)点处曲线的切线斜率为k切=y′(1)=-1,因此切线方程:y-1=-1·(x-1),　即y=-x+2.法线方程:y-1=1·(x-1), 即y=x.(2)在(x0,y0)点处曲线的切线斜率为k切=y′(x0)=2-3(x0)2,切线方程为y-y0=[2-3(x0)2](x-x0),由于曲线过点(0,-2),有x0=-1,y0=-1.在(-1,-1)点, k切=-1,因此切线方程:y+1=-1·(x+1),　即y=-x-2.法线方程:y+1=1·(x+1), 即y=x.8.求下列函数的导数.(1)y=2x2+x22.解　y′=(2x-2)′+12x2′=-4x-3+x.(2)y=3x+3x+1 x.解　y′=3·x12′+x13′+(x-1)′=32x-12+13x-23-x-2.(3)y=x(2x-1)(3x+2).解　y′=(x)′(2x-1)(3x+2)+x(2x-1)′(3x+2)　+x(2x-1)(3x+2)′=(2x-1)(3x+2)　+2x(3x+2)+3x(2x-1).(4)y=x sin x+cos x.解　y′=(x)′sin x+x(sin x)′=sin x+x cos x.(5)y=x3+1x2-x-2.解　y′=(x3+1)′(x2-x-2)-(x3+1)(x2-x-2)′(x2-x-2)2=3x2(x2-x-2)-(x3+1)(2x-1)(x2-x-2)2.(6)y=1-ln x 1+ln x.解　y′=(1-ln x)′(1+ln x)-(1-ln x)(1+ln x)′(1+ln x)2=-2x(1+ln x)2.(7)y=x arctan x+sin x x.解　y′=(x)′arctan x+x(arctan x)′+sin xx′=12xarctan x+x1+x2+x cos x-sin xx2.(8)y=x tan x+x4x+xcos x.解　y′=tan x+x sec2x+4x-x4x ln442x+cos x+x sin xcos2x.(9)y=(2x2+3)3.解　y′=3(2x2+3)2·(2x2+3)′=12x(2x2+3)2.(10)y=ln(cot x).解　y′=1cot x·(cot x)′=1cot x·(-csc2x)=-1sin x cos x.(11)y=e sin x+arccos1-x2.解　y′=(e sin x)′+(arccos1-x2)′=e sin x cos x-11-(1-x2)2·-2x21-x2=e sin x cos x+x|x|1-x2.(12)y=x a2-x2+a2arcsin x a.解　y′=(x a2-x2)′+a2arcsin x a=a2-x2+x-2x2a2-x2+a211-xa2·1a=2a2-x2.(13)y=　x+x+x.解　y′=12x+x+x(x+x+x)′=12x+x+x 1+12x+x(x+x)′=12x+x+x 1+12x+x1+12x.(14)y=sin(ln x)+ln(cos x).解　y′=cos(ln x)·1x+1cos x(-sin x)=1xcos(ln x)-tan x.(15)y=log2(x2-sin x).解　y′=1(x2-sin x)ln2(x2-sin x)′=2x-cos x(x2-sin x)ln2.(16)y=14ln1+x1-x+12arctan x+sinπ5.解　y′=14ln1+x1-x′+12(arctan x)′+sinπ5′=14·1-x1+x·1+x1-x′+12·11+x2=14·1-x1+x·2(1-x)2+12·11+x2=11-x4.(17)y=x ln x.解　利用对数求导法,有ln y=ln x·ln x1 y ·y′=2ln x·1x,故　y′=2x l n x-1ln x.(18)y=x sin x.解　利用对数求导法,有ln y=sin x·ln x,1 y ·y′=cos x·ln x+sin x·1x,故　y′=x sin x cos x ln x+sin xx.(19)y=(sin x)co s x.解　利用对数求导法,有ln y=cos x·lnsin x,1 y ·y′=-sin x·lnsin x+cos x·cos xsin x,y′=(sin x)co s x(cos x cot x-sin x lnsin x). (20)y=(2x)x.解　利用对数求导法,有ln y=x·ln2x,1 y ·y′=12xln x+x·22x,故y′=(2x)x ln(2x)+22x.(21)y=x2x+(2x)x.解　y=e2x l n x+e x ln(2x).利用对数求导法,有ln y=ln x·ln x,y′=e2x ln x·(2x ln x)′+e x ln(2x)(x ln2x)′=2x2x(ln x+1)+(2x)x(ln2x+1). (22)y=3x(x3+1)(x-1)2.解　利用对数求导法,有ln y=13[ln x+ln(x3+1)-2ln(x-1)],1 y ·y′=131x+3x2x3+1-2x-1,y′=133x(x3+1)(x-1)21x+3x2x3+1-2x-1. (23)y=(x-2)3x-55x+1.解　利用对数求导法,有ln y=3ln(x-2)+12ln(x-5)-15ln(x+1),1 y ·y′=31x-2+121x-5-151x+1,y′=(x-2)3x-53x+13x-2+12(x-5)-13(x+1). (24)y=　(x sin x)1-e x.解　利用对数求导法,有ln y=12ln x+lnsin x+12ln(1-e x),1 y ·y′=121x+cos xsin x+12·-e x1-e x,y′=14(x sin x)1-e x2x+2cot x-ex1-e x. 9.求由下列方程确定的隐函数y=f(x)的导数(1)y=1+x e y.解　等式两边关于x求导,有y′=e y+x e y y′y′=e y1-x e y. (2)y=tan(x+y).解　等式两边关于x求导,有y′=sec2(x+y)·(1+y′),y′=sec2(x+y)1-sec2(x+y)=sec2(x+y)-tan2x=-csc2(x+y). (3)x y=y x.解　等式两边取对数,有y ln x=x ln y 等式两边关于x求导,有y′ln x+y·1x =ln y+x·1y·y′,y′=y(x ln y-y) x(y ln x-x). (4)x y=e x+y.解　等式两边关于x求导,有y+xy′=e x+y(1+y′),y′=e x+y-yx-e x+y=xy-yx-x y=y(x-1)x(1-y). 10.试证明曲线x+y=a上任一点处的切线,截两个坐标的截距之和为a.解　对曲线方程两边关于x求导,得1 2x +12y·y′=0, y′=-yx. 曲线上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=-　y0x0·(x-x0).令x=0,得曲线在y轴上的截距:y0+x0y0;令y=0,得曲线在x轴上的截距:x0+x0y0;曲线在两坐标轴上的截距之和为:y0+x0+2x0y0=(x0+y0)2=a. 11.求下列函数的二阶导数(1)y=x x.解　等式两边取对数,有ln y=x ln x,等式两边关于x求导,有1yy′=ln x+1,　y′=x x(1+ln x),对此式关于x再求导,有y″=(x x)′(1+ln x)+x x(1+ln x)′=x x(1+ln x)2+x x-1. (2)ln x2+y2=arctan y x.解　等式两边关于x求导,有1x2+y2·12x2+y2(2x+2yy′)=11+(y/x)2y′x-yx2, x+yy′=x y′-y,　y′=x+yx-y,对此式关于x再求导,得y″=(x+y)′(x-y)-(x+y)(x-y)′(x-y)2=(1+y′)(x-y)-(x+y)(1-y′)(x-y)2. 代入y′=x+yx-y,　有y″=2x2+y2(x-y)3.12.设f″(x)存在,求下列函数的二阶导数(1)y=f(x2).解　y′=f′(x2)·2x,y″=[f′(x2)]′·2x+f′(x2)·2=4x2f″(x2)+2f′(x2).(2)y=ln[f(x)].解　y′=1f(x)·f′(x),y″=1f(x)′·f′(x)+1f(x)·f″(x)　=-[f′(x)]2f2(x)+f″(x)f(x).13.求下列函数的n阶导数(1)y=sin x.解　y′=cos x=sin π2+x,y″=cos π2+x=sinπ2+π2+x=sin2·π2+x,y=cos2·π2+x=sinπ2+2·π2+x=sin3·π2+x,　⁝y(n)=sin n·π2+x.(2)y=sin2x.解　y′=2sin x cos x=sin2x,y″=2cos2x=2sin π2+2x,y=22cos π2+2x=22sinπ2+π2+2x=22sin2·π2+2x,　⁝y(n)=2n-1sin(n-1)·π2+2x.14.一质点作直线运动,其运动规律为s=t,其中路程s的单位为米,时间t的单位为秒,求质点在第4秒末的速度与加速度?解　质点在时刻t的速度　v(t)=d sd t=12t,加速度a(t)=d v(t)d t=-14t3.在第4秒末的速度v(4)=12t t=4=14,在第4秒末的加速度a(4)=-14t3t=4=-132. 15.许多肿瘤的生长规律为v=v0e A a(1-e-a t).其中,v表示t时刻的肿瘤的大小(体积或重量),v0为开始(t=0)或观察时肿瘤的大小,a和A为正常数,问肿瘤t时刻的增长速度是多少?解　肿瘤的t时刻的增长速度d vd t=v0e A a(1-e-at)′=v0A e A a(1-e-a t)-a t.16.病人服药后,药物通过肾脏排泄的血药浓度c和时间t的关系为c(t)=c0(1-e-k t),c0为血药初始浓度,k为常数,求药物的排泄速率.解　药物排泄速率　v(t)=d(c(t))d t=c0k e-k t.17.设某种细菌繁殖的数量为N=1000+52t+t2,其中时间t 以小时(h)计,求t=2h,t=5h时细菌的繁殖速度.解　在t时刻细菌的繁殖速度:v(t)=d Nd t=52+2t,在t=2h的繁殖速度:v(2)=(52+2t)t=2=56个/h,在t=5h的繁殖速度:v(5)=(52+2t)t=5=62个/h.18.求下列函数的微分(1)y=x2+1-31+x2.解　d y=(x2+1-31+x)′d x=2x-2x33(1+x2)2d x.(2)y=x(1+sin2x).解　d y=[x(1+sin2x)]′d x=1+sin2x2x+x·2sin2x d x(3)y=arctane x+arctan 1 x.解　d y=arctane x+arctan 1x′d x=e x1+e2x+11+1/x2·-1x2d x=e x1+e x-11+x2d x.(4)y=sin(x e x).解　d y=[sin(x e x)]′d x=(1+x)e x cos(x e x)d x.(5)y=x2-x,在x=1处.解　d y=(x2-x)′d x=(2x-1)d x.在x=1处,d y=(2x-1)x=1d x=d x.(6)y=x+1,在x=0,Δx=0．01时.解　d y=(x+1)′d x=12x+1d x.在x=0,Δx=0．01处,d y=12x+1Δxx=0Δx=0．01=0．005.19.在下列各划线处,填入适当的函数(1)d(x)=12xd x; (2)d-1x=1x2d x;(3)d(ax+b)=a d x;(4)d 1ae a x=e a x d x;(5)d 12arctanx2=14+x2d x;(6)d(lnφ(x))=φ′(x)φ(x)d x.20.若函数f(x)可导,且f(0)=0,|f′(x)|<1,试证明x≠0时,|f(x)|<|x|.证明　由拉格朗日中值定理,有f(x)-f(0)=f′(ξ)(x-0),ξ介于x,0之间,从而f(x)=f′(ξ)x,|f(x)|=|f′(ξ)||x|<1·|x|=|x|. ＊21.试证明,若对于任意x∈R,有f′(x)=a,则f(x)=ax+b.证明　设F(x)=f (x)-ax,则有F ′(x)=f ′(x)-(ax)′=0,F(x)=b (常数),故　f (x)=a x +b .22.利用洛必达法则求下列函数极限(1)lim x →0e x-e -x-2x x -sin x =lim x →0e x+e -x-21-cos x =limx →0e x-e-xsin x=lim x →0e x +e -x cos x=2.(2)lim x →π2lnsin x (π-2x)2=lim x →π2cot x -4(π-2x)=lim x →π2-csc 2x8=limx →π2-18sin 2x =-18.(3)lim x →+∞x e x 2x +e x =lim x →+∞e x 2+12x e x 21+e x =lim x →+∞e x 2+14x ex 2ex=lim x →+∞4+x 4e x 2=lim x →+∞=12ex 2=0.(4)lim x →π2tan x tan3x =lim x →π2sec 2x 3sec 23x =13lim x →π2cos 23x cos 2x =lim x →π2sin6xsin2x =3.(5)lim x →0x 2ln x =limx →0ln x 1x 2=lim x →01x-2·1x3=-2lim x →0x 2=0.(6)lim x →01x -1e x -1=lim x →0e x -x -1x(e x -1)=lim x →0e x -1e x -1+x ex=lim x →0e x 2e x +x e x=12.(7)lim x →π2(tan x)2cos x=lim x →π2e2co s x lnt an x=el im x →π22co s x lnt an x .因为lim x →π22cos x lntan x =lim x →π22lntan x sec x =lim x →π22·1tan x·sec 2xsec x tan x=lim x →π22cos x sin 2x =0,所以原式=e 0=1. (8)lim x →0(e x+x)1x=lim x →0eln (e x +x)x=e lim x →0ln (e x+x)x.因为　lim x →0ln (e x +x)x=lim x →0e x +1e x+x =2,所以　原式=e 2.＊(9)设函数f (x)存在二阶导数,f (0)=0,f ′(0)=1,f ″(0)=2,试求lim x →0f (x)-xx2.解　lim x →0f (x)-x x2=lim x →0f ′(x)-12x =12lim x →0f ′(x)-f ′(0)x -0=12f ″(0)=1.＊(10)设函数f (x)具有二阶连续导数,且lim x →0f(x)x=0,f ″(0)=4,求lim x →01+f (x)x1x.解　lim x →01+f (x)x1x=lim x →0exp ln 1+f (x)x x =exp limx →0ln 1+f (x)xx, limx →0ln 1+f (x)xx=lim x →01+f (x)x-1·f (x)x′1=lim x →0f ′(x)x -f (x)x 2=lim x →012f ″(x)=12×4=2,所以　limx→01+f(x)x1x=e2.23.试确定下列函数的单调区间(1)f(x)=x e-x.解　定义域为(-∞,+∞):　f′(x)=e-x(1-x).令f′(x)=0,得驻点x=1．x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1);单调递减区间为(1,+∞).(2)f(x)=x1+x.解　定义域为[0,+∞);　f′(x)=1-x2x(1+x)2.令f′(x)=0,得驻点x=1．x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞).24.求下列函数极值(1)f(x)=3x-x3.解　定义域为(-∞,+∞);f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+ x).令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1．x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-2;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=2. (2)f(x)=xln x.解　定义域为x>0,x≠1;　f′(x)=ln x-1ln2x.令f′(x)=0,得驻点x=e．x∈(1,e)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以,x=e为f(x)的极小值,极小值f(e)=e.(3)f(x)=6xx2+1.解　定义域为(-∞,+∞);f′(x)=6-6x2(x2+1)2=6(1-x)(1+x)(x2+1)2.令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1．x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-3;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=3. (4)f(x)=(2x-1)3(x-3)2.解　定义域为(-∞,+∞);f′(x)=23(x-3)2+(2x-1)·23·(x-3)-13=10(x-2)3(x-3)13. 令f′(x)=0,得驻点x=2,不可导点x=3.x<2时,f′(x)>0,　x>2时,f′(x)<0;2<x<3时,f′(x)>0,　3<x时,f′(x)>0.所以,x=2为f(x)的极大值,极大值f(2)=3.25.试问a为何值时,函数f(x)=a sin x+13sin3x,在x=π3处具有极值?它是极大值,还是极小值?并求此极值.解　f′(x)=a cos x+cos3x．因为x=π3为极值点,所以有f′π3=a cosπ3+cos3·π3=a2-1=0,即a=2,f(x)=2sin x+13sin3x,　f′(x)=2cos x+cos3x,f″(x)=-2sin x-3sin3x,而f″π3=-3<0,所以x=π3为f(x)的极大值,极大值为f π3=3.26.测量某个量,由于仪器的精度和测量的技术等原因,对量A进行n次测量,其测量的数据分别为x1,x2,x3,…,x n,取数x 为量A的近似值.问x取何值时,才能使其与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和最小?解　设x与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和为y,则y=(x-x1)2+(x-x2)2+(x-x3)2+…+(x-x n)2, y′=2[nx-(x1+x2+x3+…+x n)]. 令y′=0,得x=x1+x2+x3+…+x nn　(惟一驻点)．因此,当x=x1+x2+x3+…+x nn时,才能使其与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和最小.27.1～9个月婴儿体重W(g)的增长与月龄t的关系有经验公式ln W-ln(341．5-W)=k(t-1.66).问t为何值时,婴儿的体重增长率v最快?解　对经验公式两边关于t求导,得1 W ·d Wd t+1341．5-W·d Wd t=k,婴儿的体重增长率v=d Wd t=k345．1W(345．1-W).而v′=d vd t=k345．1(345．1-2W),　令v′=0,则有W=345．12,从而t=1．66时,婴儿的体重增长率v最快.28.口服一定剂量的某种药物后,其血药浓度c与时间t的关系可表示为c=40(e-0．2t-e-2．3t),问t为何值时,血药浓度最高,并求其最高浓度.解　c=40(e-0．2t-e-2．3t),　c′=d cd t=40(-0．2e-0．2t+2．3e-2．3t).令c′=0,则有t=ln2322．1=1．1630(惟一驻点),所以t=1．1630时,血药浓度最高,此最高血药浓度c(1．1630)=28．9423.29.已知半径为R的圆内接矩形,问它的长和宽为多少时矩形的面积最大?解　设圆内接矩形的面积为s,其长为x,宽为y= (2R)2-x2,则有s=xy=x4R2-x2,s′=d sd x=4R2-x2-x24R2-x2=4R2-2x24R2-x2,令s′=0,则有x=2R(惟一驻点),此时y=(2R)2-x2=2R.故,长x=2R,宽y=2R时矩形面积最大.30.已知某细胞繁殖的生长率为r=36t-t2,问时间t为何值时,细胞的生长率最大?最大生长率为多少?解　r=36t-t2,r′=d rd t=36-2t.令r′=0,则有t=18(惟一驻点),所以t=18时,细胞的生长率最大,此最大生长率为r(18)=324.31.在研究阈值水平时电容放电对神经的刺激关系中,Hoor－weg发现引起最小的反应(肌肉的收缩)时,电压U与电容器的电容量c有关,其经验公式为U=aR-bc,其中R是电阻(假设为定值),a,b为正常数.若电容的单位为微法(μF),电容器的电压为伏特(V),由物理知识可知,与负荷相对应的电能为E=5cU2(erg),从而有E=5c aR+bc2.试问,当电容为多少微法时,电能最小,其最小电能为多少?解　E=5c aR+bc2=5a2R2c+10aRb+5b2c,E′=d Ed c=5a2R2-5b2c2.令E′=0,则有c=ba R(惟一驻点),所以c=baR(μF)时,电能最小,此最小电能为EbaR=20abR(erg).32.判别下列曲线的凹凸性(1)y=x arctan x.解　函数定义域为(-∞,+∞).y′=arctan x+x1+x2,　y″=2(1+x2)2>0,所以函数在(-∞,+∞)上为凹的.(2)y=4x-x2.解　函数定义域为(-∞,+∞),y′=4-2x,　y″=-2<0.所以函数在(-∞,+∞)上为凸的.33.求下列曲线的凹凸区间与拐点(1)y=3x4-4x3+1.解　函数定义域为(-∞,+∞),y′=12x3-12x2,　y″=36x2-24x=12x(3x-2).令f″(x)=0,得x=0,x=2/3.当x∈(-∞,0)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈0,23时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈23,+∞时,f″(x)>0,函数为凹的.所以函数在(-∞,0),23,+∞上为凹的,在0,23上为凸的,拐点为(0,f(0))=(0,1),23,f23=23,1127.(2)y=ln(1+x2).解　函数定义域为(-∞,+∞),y′=2x1+x2,　y″=2(1-x)(1+x)(1+x2)2. 令f″(x)=0,得x=-1,x=1.当x∈(-∞,-1)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(-1,1)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈(1,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.所以函数在(-∞,-1),(1,+∞)上为凸的,在(-1,1)上为凹的,拐点为(-1,f(-1))=(-1,ln2),(1,f(1))=(1,ln2).(3)y=2x ln x.解　函数定义域为(0,+∞),y′=2ln x-2ln2x,　y″=4-2ln xx ln3x.令f″(x)=0,得x=e2,f″(x)的不可导点为x=1.当x∈(0,1)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(1,e2)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈(e2,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.所以函数在(0,1),(e2,+∞)上为凸的,在(1,e2)上为凹的,拐点为(e2,f(e2))=(e2,e2).(4)y=(x-5)53+2.解　函数定义域为(-∞,+∞)．y′=53(x-5)23,　y″=109·13x-5,f″(x)的不可导点为x=5.当x∈(-∞,5)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(5,+∞)时,f″(x)>0,函数为凹的.所以函数在(-∞,5)上为凸的,在(5,+∞)上为凹的,拐点为(5, f(5))=(5,2).34.已知曲线y=ax3+bx2+c x+d在(1,2)点处有水平切线,且原点为该曲线上的拐点,求a,b,c,d之值,并写出此曲线的方程.解　y′=3ax2+2bx+c,y″=6a x+2b,根据题意有y(1)=a+b+c+d=2,y(0)=d=0,y′(1)=3a+2b+c=0,y″(0)=2b=0,从而解得　a=-1,b=0,c=3,d=0.35.求下列曲线渐近线(1)y=x2x2-1.解　因为limx→±1x2x2-1=∞,所以曲线有垂直渐近线x=±1;又因为　limx→∞x2x2-1=1,所以曲线有水平渐近线y=1.(2)y=x e 1x2.解　因为limx→0x e1x2=limx→0e1x21x=limx→02e1x2x=∞,所以曲线有垂直渐近线x=0;又因为　limx→∞x e1x2x=1,且limx→∞(x e1x2-x)=0,所以曲线有斜渐近线y=x.2.5　自测题1．选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)设f(x)=|x-8|,则f(x)在x=8处的导数是.A.8;B.不存在;C.0;D.-8.(2)设f(x-1)=x2-1,则f′(x)=.A.2x+2;B.2x+1;C.2x-1;D.2x.(3)设f(x)是可导函数,且limt→0f(x0+2t)-f(x0)t=1,则f′(x0)为.A.1;B.2;C.0;D.0．5.(4)设f(x)=x,当x0>0时,limt→0tf(x0-2t)-f(x0)=.。

医用高数精选习题(含答案)

医用高数精选习题(含答案)高等数学第1-3章一、求下列各极限1.求极限$\lim\limits_{2x\to1}\tan\dfrac{3(x-1)}{x}$；2.求极限$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x+1}{x^2-1}$；3.求极限$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\ln\sin x$；4.求极限$\lim\limits_{2x\to(\pi-2x)}\dfrac{\cosx}{\ln(1+x^2)}$；5.当$x\to0$时，$\ln(1+x)-(ax^2+bx)$是$x^2$的高阶无穷小，求$a$，$b$的值；6.求极限$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1+\tan x-\sqrt{\cos2x}}{x^3}$；7.求极限$\lim\limits_{x\to0}(\sin x+\cos x)$；8.求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}$。

二、求下列各函数的导数或微分1、求函数$y=\cos x\cdot\ln\tan x$的导数；2、设$y=x\arcsin\dfrac{1}{\tan^2x}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；3、求$y=f(2(1-x)e^x)$的导数，其中$f(u)$可导；4、设$y=\ln\dfrac{\sqrt{a^2+2x}-a}{2x-a-\ln(x+x^2-a^2)}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；5、设$y=\dfrac{2}{x^2+2}$，求$\mathrm{d}y$；6、设方程$xy-e^x+e=0$确定了$y$是$x$的隐函数，求$y''$；7、设$y=\ln(1+e^x)+\dfrac{x}{\sin x}$，求$\mathrm{d}y$；8、设$\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+2\Delta x)-f(x)}{\Delta x^2}=\dfrac{1}{2}$，$(x\neq0)$，求$\mathrm{d}f(2x)$。

医用高等数学教材例题

医用高等数学教材例题在医学领域中，数学与统计学的应用日益广泛，从医疗设备的设计到疾病模型的建立，数学都扮演着重要的角色。

而医用高等数学教材中的例题是帮助医学生理解和应用数学概念的重要工具。

下面将介绍一些常见的医用高等数学教材例题，并通过解析说明其在医学中的应用。

1. 题目：求解微分方程已知某连续血糖监测仪测量的血糖浓度变化满足微分方程：\[ \frac{dC}{dt} = -k(C-C_0) \]其中，C表示血糖浓度，t表示时间，k为常数，C_0为初始血糖浓度。

解析：这是一个一阶线性微分方程，通过求解该微分方程，我们可以得到血糖浓度随时间的变化规律。

这对血糖控制及糖尿病患者的治疗具有指导意义。

2. 题目：概率统计与医学诊断某疾病的检测结果通过检验可以分为阴性（正常）和阳性（患病）。

已知该检测方法的灵敏度为98%，特异度为95%。

假设该疾病的发病率为0.2%，求以下概率：（1）一个人被诊断为阳性，真正患病的概率是多少？（2）一个人被诊断为阴性，但实际上患病的概率是多少？解析：这是一个涉及医学诊断中的概率统计问题。

通过概率统计的方法，我们可以评估出现阳性或阴性结果与实际患病情况之间的关系，从而提高医学诊断的准确性。

3. 题目：最小二乘法与医学影像处理某医学影像处理算法通过最小二乘法拟合出一条曲线，以辅助医生对疾病进行诊断。

已知医学影像数据点为{(x_i, y_i)}，曲线方程为y =a + bx，其中a和b为待定常数。

试求解最小二乘问题，拟合出最优曲线。

解析：最小二乘法是一种常用的数学工具，可以通过最小化残差平方和来寻找最优的拟合曲线。

在医学影像处理中，通过最小二乘法，我们可以获得最佳的拟合曲线来辅助医生对疾病进行诊断。

4. 题目：矩阵运算与医学图像处理某种医学图像处理方法使用了线性变换矩阵来对图像进行处理。

已知原始图像矩阵为X，处理后的图像矩阵为Y，线性变换矩阵为A。

试通过矩阵运算，求解Y的表达式。

医药高等数学复习题答案

医药高等数学复习题答案医药高等数学复习题答案在医药领域，数学是一门不可或缺的学科。

它在药物计量、药代动力学、生物统计学等方面发挥着重要作用。

然而，数学对于许多医药学生来说并不是一门容易掌握的学科。

为了帮助大家更好地复习医药高等数学，下面将给出一些常见题目的答案和解析。

1. 题目：已知函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1，求 f'(x)。

答案：f'(x) = 6x^2 - 10x + 3。

解析：对于多项式函数，求导的方法是将指数乘以系数，并将指数减一。

根据这个规则，对于 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1，我们可以得到 f'(x) = 3 * 2x^(3-1) - 2 * 5x^(2-1) + 1 * 3x^(1-1) = 6x^2 - 10x + 3。

2. 题目：已知函数 f(x) = e^x，求 f'(x)。

答案：f'(x) = e^x。

解析：对于指数函数 e^x，求导的方法是保持指数不变，即 f'(x) = e^x。

3. 题目：已知函数 f(x) = ln(x)，求 f'(x)。

答案：f'(x) = 1/x。

解析：对于自然对数函数 ln(x)，求导的方法是将 x 的指数放到系数位置，并将x 的指数减一，即 f'(x) = 1/x。

4. 题目：已知函数 f(x) = sin(x)，求 f'(x)。

答案：f'(x) = cos(x)。

解析：对于正弦函数 sin(x)，求导的方法是将余弦函数 cos(x) 放到系数位置，即f'(x) = cos(x)。

5. 题目：已知函数 f(x) = cos(x)，求 f'(x)。

答案：f'(x) = -sin(x)。

解析：对于余弦函数cos(x)，求导的方法是将负正弦函数-sin(x) 放到系数位置，即 f'(x) = -sin(x)。

医科高等数学教材答案

医科高等数学教材答案本文旨在提供医科高等数学教材中相关问题的答案，以帮助医学生巩固数学知识，为其日后的学习和应用打下坚实的基础。

以下是一些常见问题及其解答：1. 线性方程组的解法在医科高等数学中，线性方程组是一种常见的数学模型。

我们可以使用高斯消元法或矩阵的逆运算法来求解线性方程组。

其中，高斯消元法是一种基于矩阵变换的方法，通过行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，从而求得方程的解。

而矩阵的逆运算法则是通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数矩阵相乘，从而求得方程组的解。

2. 函数的极限与连续性在医科高等数学教材中，函数的极限与连续性是一个重要的概念。

函数的极限描述了函数在某点附近的变化趋势，而连续性则表明函数在某一区间内没有间断点。

我们可以通过计算函数的极限值来判断函数的趋势，例如利用极限的定义来计算函数在某点处的左极限、右极限以及两侧极限是否存在。

对于连续函数，可以利用极限的性质来计算其在某点的函数值。

3. 导数与微分导数与微分是医科高等数学中的核心内容之一，也是应用数学的基础。

导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，而微分则是导数的逆运算。

在求解导数时，可以利用导数的定义或各种常用导数公式，如幂函数求导法则、指数函数求导法则、对数函数求导法则等。

而对于微分，可以利用微分的定义或微分的性质来计算函数在某点的微分值。

4. 积分与定积分在医科高等数学中，积分与定积分是求解曲线下面积或弧长的重要工具。

积分表示了一个函数在某个区间上的累积效应，而定积分则是积分的一种特殊形式。

在求解积分与定积分时，可以利用不定积分或定积分的运算法则，如函数求导与积分的逆关系、分部积分法、换元积分法等。

5. 偏导数与多元函数的极值在医学领域的研究中，经常会碰到多个变量共同作用的情况，因此对于多元函数的研究显得至关重要。

偏导数是多元函数中的导数概念的推广，用来衡量函数在某一点上沿不同方向的变化率。

而多元函数的极值则可通过计算各个偏导数为零的点来确定。

药学类高等数学教材答案

药学类高等数学教材答案第一章：函数与极限1. 函数的定义与性质1. 函数的定义2. 实函数与复函数3. 奇函数与偶函数4. 单调性与有界性2. 极限的概念与性质1. 极限的定义2. 极限存在的条件3. 极限的性质4. 极限的运算法则3. 无穷大与无穷小1. 无穷大的概念与性质2. 无穷小的概念与性质3. 等价无穷小4. 极限的判断方法4. 函数的连续性1. 连续函数的定义2. 连续函数的性质3. 切断性与间断点4. 连续函数的运算法则第二章：导数与微分1. 导数的定义与性质1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的运算法则4. 高阶导数2. 微分的定义与性质1. 微分的定义2. 微分中值定理3. 泰勒展开式4. 拉格朗日中值定理3. 导数的应用1. 极值与最值问题2. 函数的单调性与凹凸性3. 弧长与曲率4. 驻点与拐点的判定4. 隐函数与参数方程的导数1. 隐函数的导数2. 参数方程的导数3. 高阶导数的计算4. 隐函数与参数方程的相关应用第三章：不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质1. 不定积分的定义2. 不定积分的基本法则3. 牛顿—莱布尼茨公式4. 函数的原函数与不定积分2. 定积分的定义与性质1. 定积分的定义2. 定积分的性质3. 定积分的基本公式4. 可积函数与不可积函数3. 定积分的计算1. 牛顿—莱布尼茨公式的应用2. 分部积分法3. 曲线的弧长与旋转体的体积4. 定积分的换元法4. 积分中值定理与微积分基本定理1. 积分中值定理2. 微积分基本定理的两种形式3. 反常积分4. 积分的应用问题第四章：微分方程1. 微分方程的基本概念与分类1. 微分方程的定义2. 微分方程的基本概念3. 微分方程的基本分类4. 隐式微分方程与显式微分方程2. 一阶微分方程的解法1. 可分离变量的一阶微分方程2. 齐次方程3. 一阶线性微分方程4. Bernoulli 方程3. 二阶线性常系数微分方程及其解法1. 齐次方程的解法2. 非齐次方程的解法3. 常系数齐次方程的解法4. 常系数非齐次方程的解法4. 高阶线性常系数微分方程及其解法1. k 阶齐次线性微分方程的解法2. 特征方程及其性质3. k 阶非齐次线性微分方程的解法4. 微分方程的应用问题这是一个示例高等数学教材的章节与内容划分。

医用高等数学学习辅导与习题解答

医用高等数学学习辅导与习题解答医用高等数学是医学、生物学和其他相关领域中重要的基础学科，它能够为临床应用，例如筛查、监测和治疗方面提供有效的数学技术支持。

随着现代社会经济的迅猛发展，医用高等数学在医学研究、教育、实践和生活等各个领域的应用也变得越来越重要。

因此，学习医用高等数学的辅导也得到越来越多的重视。

学习医用高等数学的辅导主要包含课堂讲解、指导训练和习题解答三个基本部分。

首先，教师在课堂上指导学生们了解关于数学概念、现象推理、方法推断等基本概念，教会他们如何分析问题并了解所关联的知识和技能。

其次，老师还会在课堂上帮助学生掌握医用高等数学知识，以及应用这些知识完成各种实际问题，比如解决推理、建模和仿真等问题。

最后，老师还会在课堂上帮助学生解决各类习题，熟悉数学模型和算法，以提高学生的独立思考能力和解决实际问题的能力。

为了更好地辅导学生学习医用高等数学，老师除了在课堂上提供帮助之外，还可以采取一些更有效的方法。

例如，可以布置学生们定期提交的习题，以便检查他们的学习情况，让他们及时掌握知识点；可以为有需要的学生提供特殊的辅导，以帮助他们更好地理解学习材料；可以定期组织习题比赛，以提高学生的精准计算、分析问题和解决实际问题的能力等。

另外，老师还应该正确解答学生提出的问题，帮助他们更好地理解学习内容，解决学习中遇到的问题。

这意味着，老师不应该过早给出答案，而是要引导学生在讨论交流中自己探索答案，从而培养他们对医用高等数学问题的认识和掌握能力。

综上所述，学习医用高等数学的辅导主要包括课堂讲解、指导训练以及习题解答等，老师在辅导学习的过程中应该更多地引导学生发现问题，而不是直接给出答案，从而提高学生在医用高等数学学习方面的能力。

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