2016年10月学而思杯五年级数学解析.pdf
第一讲五年级学而思答案解析
第一讲 金字塔的影子
4 6 k 5 7 k 885 24 k 35k 885 59 k 885 k 15
5 2 k 4 3k 3 5k 91 10 k 12 k 15k 91 7 k 91 k 13
x 26 z 65
2 1 : 4:5 5 2 1 2 2 y， 5 14 5 ， ； （2） 10 : 7 ； （3） 4 : 5 13 9
【例 4】 （难度等级 ※※※）
解下列方程 （1） x :111 99 : 37 （2） (2 x 3) : (4 x 5) 6 : 7 （3） （本题提高班、基础班选做）
第一讲 金字塔的影子
（3） 五年级一班的男生占一半， 五年级二班的男生占五分之二． 已知两个班男生人数相等， 那么一班和二班的总人数之比是________． 【答案】 （1）18，25，15，12.5， 【解析】 （1）略； （2）略； （3）设一班总人数为 x 人，二班总人数为 y 人，则可得： x 那么 x : y
【解析】 （1）
x :111 99 : 37 37 x 111 99 x 111 99 37 x 297
x 8 101 99 99 x 808 x 808 9
（2）
(2 x 3) : (4 x 5) 6 : 7 6(4 x 5) 7(2 x 3) 24 x 30 14 x 21 10 x 51 x 5.1 x y 78
（2）求比值
72 : 24 ________ 2.015 : 4.03 ________ 135 : 60 ________
6 8 : ________ 5 7
31 32 : ________ 32 33
学而思第十届综测素质测评五年级数学考试答案版
绝密★启用前第十届学而思综合考试时间：90分钟考生须知1．请考生务必认真2．请使用蓝色或黑色3．请将答案写在答题在此特别感谢：成康王申，张侠，一、填空题（每题5分，共50分）1.计算：(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5【分析】考点：计算；原式28128=÷=2.一个三位数除以11余1，除以10【分析】考点：数论同余；根据题意，3.如图，长方形ABCD 上有三个点面积为________．【分析】考点：几何图形；割补法，面积4.十个足球队进行单循环比赛，每两个结束后，十个球队的总得分最多是【分析】考点：体育比赛；共要比赛453135⨯=分．5.如下左图，将110 这10个自然数质数．【分析】考点：数阵图；10的两侧只能是能是4和6（如下图，填出一组即可思综合素质测评—五年级数学（答案版考试科目：五年级数学总分：真填写试卷上的考生信息以方便正常通知；或黑色签字笔或者钢笔作答；在答题纸上，在试卷上作答无效；考试结束后需上交答题纸。
成康达，顾伯特，李行，秦祖梁，侍春雷，苏昊，，赵竞择，郑巍等老师为本卷所提供的试题！+6+5+4+3+2+1)128=÷________．1280.52=0也余1．这个数最小是________．，该数最小应为11110111+⨯=．,,E F G ，已知3DE AF ==,4CG =,BC EG =面积为58432232(45)52⨯-⨯÷-⨯÷-+⨯÷每两个队只比一场，规定胜者得3分，负者得0分，平局各多是________分．比赛109245⨯÷=场，若每场都决出胜负，则总得分然数填入圈中，其中1已经填好，要求使得任意相邻两只能是1和3，9的两侧只能是2和4，8的两侧只能是即可）．答案版）：100分。
，5G =,则三角形EFG 的8.5=平局各得1分．所有比赛得分就最多，最多得分两数之和都是小于16的能是3和5，7的两侧只或6.如上右图，这是一个333⨯⨯的立体的共可以构成________个三角形．【分析】考点：图形计数；我们知道，要构成一个三角形需要3个顶从图中33327⨯⨯=个点中任选3个点，但是如果三点共线的情况就不能构成三角从每个方向（上下、左右、前后）看去面对角线有23318⨯⨯=条；体对角线有4条；这样三点共线有2718449++=条．这些点“·”为顶点，一共可以构成292547.学学、思思、乐乐、康康四个大胃王要保证大家都能吃饱，大饼共有____【分析】考点：插板计数；每人先分每个人至少1张，插板法，共有36C =8.从1至30这30个自然数中取出若干个________个数．【分析】考点：抽屉原理；根据自然数被4个，余4共4个，余5共4个，余共和余6的数不能一起取；同理，余么最多可以取前3类的所有数字以及第或或立体的点阵（每条连线上相邻两个点的距离相等），以这个顶点；，有3272726252925321C ⨯⨯==⨯⨯种选法．成三角形，看去，都有9条平行的连线，共9327⨯=条；25492876-=个三角形．胃王喜欢吃大饼，现共有39张大饼，每人至少要吃________种分配方案．8张大饼，还剩39847-⨯=张大饼，问题转化为65420321⨯⨯=⨯⨯种．若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问然数被7除的余数，把130 分为7类，余1的有5个，64个，余0的有4个．为了让任意两个数的和不为2和余5的，余3和余4的不能一起取．而能被7整除的第7组的1个数字，共554115+++=个．以这些点“·”为顶点，一9张大饼才能吃饱．若为7张大饼分给四个人，请问：最多能取出，余2有5个，余3共不为7的倍数，那么余1整除的数只能取一个．那9.若“6433学而思”所代表的七位数是【分析】考点：数的整除；201331161=⨯⨯；如果一个数是2013的倍数，那么这个数一∵2013|6433学而思；∴33|6433学而思；33|6433106+++=+++学而思学而∵1063337÷= ，“学+而+思”最小∴33726=998++=-=+学而思经过试算，64839392013÷=649383920133227÷= 所以只有998=⎧⎪=⎨⎪=⎩学而思符合，即学而思10.一个101010⨯⨯的正方体由1000个小称一个1110⨯⨯的长方体为一个“101010⨯⨯的正方体中每个“条子写的正整数是3，现在我们把小正方体的总和是________．【分析】考点：容斥原理；20110⨯二、解答题（每题10分，共50分）11.以下小数按照一定规律排列：0.10.100，…，0.299，0.300，⑴这串数列的前9个数的和是多少⑵这串数列的前9个数的乘积化成最点后有多少位？【分析】考点：小数与数论；⑴这串数列的前9个数的和0.10.2+()0.100.110.990.100.99+++=+ 前100个数的和是()0.10.20.90++++ ⑵9514÷= ；129⨯⨯⨯ 的乘积中有1个因数5；129⨯⨯⨯ 的乘积的末尾有1个0；这串数列的前9个数的乘积化成最简小数300560÷=，60512÷=，125÷= 12300⨯⨯⨯ 的乘积中有60122++12300⨯⨯⨯ 的乘积的末尾有74个1~300一共有919022013792⨯+⨯+⨯前300个数的乘积化成最简小数，小数点数是2013的倍数，那么“学而思”所代表的三位数是_____个数一定是31133⨯=的倍数；思；最小是0000++=，最大是99927++=；+；322166 ，888，649393820133226÷=；998=．00个小正方体拼接而成，在每一个小正方体内部都填有条子”，我们称一个11010⨯⨯的长方体为一个“面子”中的数之和都是201．对于该正方体中的某个小正方正方体A 所在的“面子”全部去掉．那么余下的所有小正0102011032013314670⨯-⨯⨯+⨯-=．1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，0.301，…．请问：多少？前100个数的和是多少？化成最简小数，小数点后有多少位？前300个数的乘积化()0.90.10.992 4.5++=+⨯÷= ．90249.05⨯÷=；()0.100.110.990.100 4.549.050.1++++=++ 简小数，小数点后918-=位．22；74=个因数5；0；=个数字；小数点后有79274718-=位．________．填有一个正整数．我们子”．现在已知这个小正方体A ，已知A 中填有小正方体里面的正整数0.10，0.11，…，0.99，乘积化成最简小数，小数53.65=．12.甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一钟．如果第一次相遇时甲骑了1440【分析】考点：行程问题；因为()24006400/min V V m +=÷=甲乙，13.一个露天水池底部有若干同样大小的果打开24根进水管，5分钟能注满水多少分钟能将水池注满？【分析】考点：牛吃草问题；设1根进水管池容量为24585160⨯+⨯=，如果打开14.如图，长方形ABCD 的边AD 上有一于点N ，在AE 上取点G ，连接F 求阴影部分的面积．【分析】考点：等积变形；由割补法等积15.现有红、白、黑3种颜色的珠子足够多转或翻转后若相同，则看作同一种项【分析】考点：分类计数；进行分类讨论：1)1种颜色：3种；2)2种颜色：3618⨯=种；3)3种颜色（共18种）：1红1白3黑（2红1白2黑（4种）；综上：共有3181839++=种．上同一地点同时出发，背向而行．这条公路长2400米440米．问：乙骑一圈需要多少分钟？()240010240/min V m =÷=甲，所以1440t =相遇所以()400-240160/min V m ==乙，则乙骑行一圈需要大小的进水管．这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池注满水池；如果打开12根进水管，8分钟能注满水池；如果进水管1分钟进水1份，则雨水的注水速度为(24512⨯打开8根进水管160(88)10÷+=分钟能将水池注满．上有一点E ，BC 上有一点F ，连接,BE AF 交于点,BG FG ，在DE 上取点H 连接,CH FH ，若ABM S c ∆法等积变形得2235S cm =+=阴．足够多，以这些为原料做成有5颗珠子的项链，可做几种一种项链）（2种）；1红2白2黑（4种）；1红3白1黑（种2红2白1黑（4种）；3红1白1黑（2种）0米，甲骑一圈需要10分()2406min ÷=，又因为需要()240016015min ÷=。
2016年10月学而思杯五年级数学样卷解析
数学样卷
考试时间：90 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷（填空题
一、 填空题 A（每题 5 分，共 50 分）
共 90 分）
1、 如下图所示，有 3 条对称轴的图形有__________个．
【考点】轴对称图形，几何 【难度】☆ 【答案】2 【分析】第一个图和第三个图都有 3 条对称轴，第二个图有 4 条对称轴.
【答案】 2009
4、 如下图，正方形 ABCD 的面积是 16，点 F 是 BC 上任意一点，点 E 是 DF 中点，则阴影 部分面积为__________．
A
B
F E D
【考点】几何，一半模型 【难度】☆☆ 【答案】4 【分析】三角形 ADF 的面积是正方形 ABCD 面积的一半，所以 SADF 16
1 1 是 DF 的中点，所以 S阴影 = SADF = 8=4 ． 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
1 8 ，又因为 E 2
5、今天是 2016 年 10 月 7 日，如果要使八位数 2016107□ 恰好是 9 的倍数，那么 □ 内的数 应该填__________． 【考点】数论，整除特征 【难度】☆☆ 【答案】1 【分析】设 □ 填入 a，则八位数 2016107a 的数字和是 2 1 6 1 7 a=17 a
7、 图中有_________个正方形．
【考点】简单的几何计数 【难度】☆☆☆ 【答案】 27 【分析】5 5 的正方形 1 个；4 4 的正方形 4 个；3 3 的正方形 5 个； 2 2 的正方形 4 个； 1 1 的正方形 13 个．共 27 个．
8、一个三角形三条边的长度都是整数，如果它的周长是 16，那么，这三条边乘积的最大值 是_________． 【考点】组合，最值 【难度】☆☆ 【答案】150 【分析】设三条边分别为 a、b、c，则有 a b c 16 ，由和一定差小积大可知，当 a、b、 c 分别为 5、5、6 时， a b c 5 5 6 150 最大．
2016年10月学而思杯六年级数学试卷.pdf
2
二、 填空题（共 5 道小题，每题 8 分，共 40 分） 11. 如下图，正方形 ABCD 的面积是 40 cm2 ，E 是 AD 上的中点，F 是 CE 上的中点，
AG BF ．如果 BF 5cm ，那么， AG __________ cm ．
A
E
D
F G B C
12. 五位数 abcde 各位数字互不相同，且能被 11 整除，其中三位数 abc 是 9 的倍数，三位 数 cde 是 8 的倍数，那么，五位数 abcde 的最大值是__________．
4
五、 解答题（10 分） 18. 如图，三角形 ABC 的面积是 30，D、E 是 BC 上的三等分点，G、F 分别是 AB、AC 上的中点，请求出：
A
G M B
（1）三角形 ABD 的面积； （3 分）
H
O
J N E
F
D
C
（2）三角形 OBC 的面积； （3 分）
（3）五边形 OMDEN 的面积． （4 分）
__________．
4.
如下图，扇形 AOB 与扇形 DOC 的圆心角均为 90 度，且 OA : OD 1: 2 ，如果空白部 分的面积是 300 cm2 ，那么，阴影部分的面积是__________ cm2 ．
D A
O
B
C
1
5.
从 1 开始的自然数按照如图所示的规律排列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 那么，第 5 行第 3 个数是__________．
10 x
2
10 x 208 ，整理可得： 2 x 2 200 208 ，解得 x 2 ，所以这两个数分
学而思五年级计算拓展题目+解析
第7天
挑战时间 ______ 分钟 错 ______ 题 ★青铜新人★
7.8 + 2.3 = _________ 1.49 _ 1 = _________
5 × 0.8 = _________
0.3 × 0.078 = _________
35.92 + 1.357 = _________ 60 _ 13.46 = _________ 0.04 × 9 = _________
0.98 × 0.07 = _________
★★黄金高手★★
0.5 × 0.725 = _________ 0.35 × 0.03 = _________ 0.8 × 0.79 = _________ 0.392 ÷ 0.8 = _________
0.45 × 0.54 = _________ 0.08 × 0.09 = _________ 0.93 × 0.92 = _________ 0.51 ÷ 0.85 = _________
★★★王者大神★★★
4.9 + 5.9 _ 3.992 = _________
19.7 + 0.56 × 3.25 = _________
0.36 ÷ 0.72 × 2 = _________
解方程： x + 0.9 =
4.9
x = _________
27.4 _ 2.96 _ 5.004 = _________ 0.48 × 2.55 _ 0.33 = _________ 0.0943 ÷ 0.23 × 6 = _________ 解方程： 9 × x = 306
0.2 × 0.019 = _________
27.1 + 4.226 = _________ 65.99 _ 18.06 = _________ 0.61 × 9 = _________
学而思五年级数学教材
学而思五年级数学教材，小班上课的教材第1讲平均数专题简析把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的输就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数例1某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3，被改的数原来是多少？分析解答：原来三个数的和是2×3=6，后来个数的和是3×3=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4，因此，原来的数应该是4-3=1。
3×3-2×3=34-3=1答：被改的数原来是1。
随堂练习：1、已知九个数的平均数是72 ，去掉一个数后，余下数的平均数是78，去掉的数是多少？2、有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8。
这个改动的数原来是多少？例2把五个数从小到大排列，其平均数时38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？分析解答：先求五个数的和：38×5=190。
在秋初前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：48×3=144。
用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。
27×3+48×3-38×5=35答：中间一个数是35。
随堂练习：1、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲乙的平均年龄是18岁，乙丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？2、十名参赛者平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？拓展训练1、化肥厂在一星期前3天平均每天生产化肥250吨，后4天共生产化肥1126吨，这个星期平均每天生产化肥多少吨？2、修一条渠，第一天修3小时，平均每小时修4.5千米;第二天修5小时,平均每小时修5.3千米,这两天平均每天修多少千米?平均每小时修多少千米?3、三个小组采集树种,第一小组10人,一天采集树种180千克;第二小组12人,一天采集树种240千克;第三小组13人,一天采集树种280千克.平均每人采集树种多少千克?4、张红前三次数学测验平均成绩是92分,第四次得了96分.他四次的平均成绩是多少分?5、下面是某小学五(1)中队第一小队向灾区捐款的情况统计表,请你算出平均每人捐多少元?6、兴华小学四年级有3个班,一、二班的平均人数是55人,二、三班的平均人数是56人,一、三班的平均人数是52人,问这三个班各有多少人?7、 15个同学分连环画,平均每人分到7本,后又来了若干个同学,大家重新分配,平均每人分到5本,问又来了几名同学?8、甲、乙两地相距161千米。
2022-2023学年小学五年级奥数(全国通用)测评卷02《等差数列》(解析版)
【五年级奥数举一反三—全国通用】测评卷02《等差数列》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2011•其他模拟）有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是（）A．47 B．49 C．51 D．53【分析】由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个2．【解答】解：9+（20﹣1）×2＝9+19×2＝9+38＝47．答：第20个数是47．故选：A．2．（2分）下面一列数5、8、11、14、…、第（）个数为2015．A．667 B．668 C．669 D．671【分析】此题首项是5，末项是2015，公差是3，求第几个数为2015，即求项数，根据等差数列的通项公式进行求解即可．【解答】解：首项是5，末项是2015，公差是3，（2015﹣5）÷3+1＝2010÷3+1＝671答：第671个数为2015．故选：D．3．（2分）（2015•创新杯）从小到大排列99个数，每两个相邻数的差都相等，第7个与第93个的和为262，则这列数的第50个数为（）A．50 B．51 C．120 D．131【分析】因为一共有99个，所以正中间的一个数是50，这个数就是这个数列之和的平均数．第93个数是倒数第7个数，所以此题常采用画图的方法解决．【解答】解：262÷2＝131故选：D．4．（2分）（2014•迎春杯）一个12项的等差数列，公差是2，且前8项的和等于后4项的和，那么，这个数列的第二项是（）A．7 B．9 C．11 D．13【分析】找出前8项数字和与后4项数字和相等，列出关系式，求出其中一项即可．【解答】解：根据题意后4项和前8项数字和相等可知，这个数列是递增数列，（a1+a8）×8÷2＝（a9+a12）×4÷2，因为a8＝a1+14，a9＝a1+16，a12＝a1+22，所以代入得（a1+a1+14）×8÷2＝（a1+16+a1+22）×4÷2，解得a1＝5，所以a2＝a1+2＝7．故选：A．5．（2分）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（）A．360 B．340 C．350 D．无法求出【分析】这些自然数是等差数列，紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和比315多5×5，然后进一步解答即可．【解答】解：315+5×5＝315+25＝340故选：B．6．（2分）（2011•其他模拟）有10只盒子，44只羽毛球．能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？（）A．能B．不能C．不确定【分析】这是一个等差数列的应用题，解题关键是由已知数列所有项的个数按最少量算出它们的总和，然后与题意中给的羽毛球的总数44相比较，如果相等，就说明能够将44只羽毛球放到10个盒子中去，且使各盒子里的羽毛球数不相等；否则就不能．【解答】解：由题意，要使10个盒子中羽毛球的数量不相等，最少的放法是：0，1，2…9．计算总和：0+1+2+…+9＝9×5＝45，因为45＞44，所以原题不能．答：不能使各个盒子里的羽毛球数不相等．故选：B．二．填空题（共12小题，满分31分）7．（2分）（2017•走美杯）一箱苹果60个，第一天大家一起吃了17个，以后我每天吃1个，过了几天发现只剩下16个，苹果怎么少这么快？有人告诉我，小张每天都去偷偷地拿2个．请你算一算：这几天小张共拿了18个苹果．【分析】可以先用总数减去大家吃的苹果数和剩下的苹果数，再除以我每天吃的苹果数和小张偷的苹果数之和，就能求得天数，就能知道小张偷了几天，不难求得小张偷拿了多少苹果．【解答】解：根据分析，先求得小张偷拿苹果的天数，故有：（60﹣17﹣16）÷（2+1）＝9（天），小张共偷了：9×2＝18个．故答案是：18．8．（2分）（2016•学而思杯）表中每行，每列分别从左至右、从上至下构成等差数列，那么m×n＝300．4 89 1512 nm25【分析】首先，确定第一行公差，填全第一行；从第二列确定公差，确定m；同样从第四列，确定n．【解答】解：第一行公差为（8﹣4）÷2＝2，第一行数字为：4、6、8、10；确定第二列确定公差为12﹣9＝3，确定m＝12+3＝15；同样确定n＝20．m×n＝300即：填3009．（2分）（2018•陈省身杯）小明去麦当当打暑期工，连续工作了5天后共挣了180元，如果这5天里他每一天所挣的钱都比前一天多6元．那么第1天小明挣了24元．【分析】根据等差数列的规律，第三天小明挣了180÷5＝36元，公差是6，所以第一天小明挣了36﹣6×2＝24元，据此解答即可．【解答】解：180÷5＝36（元）36﹣6×2＝24（元）故答案为：24．10．（2分）（2017•其他杯赛）小明希望通过做一些数学题目来巩固知识，他每天都会比前一天多做2道题目．如果小明第一天做了2道题目，那么前七天他共做了56道题目．【分析】首项是2，末项是2+（7﹣1）×2＝14，然后利用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2求出结果．【解答】解：2+（7﹣1）×2＝14（道）（2+14）×7÷2＝56（道）故填56．11．（2分）（2017•小机灵杯）从1，2，3，4，…，50中取5个不同的数，使这5个数构成一个等差数列，那么，可以得到不同的等差数列的个数为576．【分析】根据题意，分析当得到的等差数列公差为1、2、3时，可以得到的等差数列的数目，依此类推，发现其数目的变化规律，进而根据等差数列的前n项公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，当得到的等差数列公差为1时，有1、2、3、4、5，…，46、47、48、49、50，共46种情况；当其公差为2时，有1、3、5、7、9，…，42、44、46、48、50，共42种情况；…当其公差为12时，有1、13、25、37、49，2、14、26、38、50，共2种情况；综上所述，共有2+6+…+46＝＝288种，考虑到等差数列也可以是从大到小，所以共有288×2＝576种不同的等差数列，故答案为576．12．（2017•春蕾杯）九只小猴子依次去摘桃子，每一只都比前一只多摘2个桃子，摘得最多的一只猴子摘了25个桃子，那么这些猴子一共摘了153个桃子．【分析】九只小猴子摘桃子数，构成一个等差数列，公差是2，末项是25，那么首项是25﹣2×（9﹣1）＝9，然后根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：25﹣2×（9﹣1）＝9（个）（9+25）×9÷2＝153（个）故答案为：153．13．（2016•迎春杯）帅帅背了7天单词，从第2天开始每天都比前一天多背1个单词，且前4天所背单词个数的和等于后3天所背单词个数的和，那么帅帅这7天一共背了单词84个．【分析】首先表示出这7天的数量关系，然后根据前4天等于后3天的数量列出等式，求出每天的数量相加即可．【解答】解：依题意可知：设帅帅背单词的数量为：a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6共7天a+a+1+a+2+a+3＝a+4+a+5+a+6解：a＝9．共背9+10+11+12+13+14+15＝84故答案为：8414．（2015•走美杯）梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，其中高是12，那么梯形的面积是144．【分析】首先根据梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，可得：上底+下底＝高×2，据此求出梯形的上底和下底的和是多少；然后根据：梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，求出梯形的面积是多少即可．【解答】解：（12×2）×12÷2＝24×12÷2＝288÷2＝144答：梯形的面积是144．故答案为：144．15．（2018•迎春杯）四位同学一起讨论一个由无数个自然数组成的等差数列：小叶说：这个等差数列的第一项是个两位数．小刚说：数列中不大于215的数有20多个．小王说：数列的公差小于5．小红说：数列前两项的平均数是102．这四位同学的话中只有一句是错的，那么这个等差数列的第100项是496．【分析】如果小叶和小红说得对，那么前两项的和是102×2＝204，根据小叶说的，可以确定第一个数最大是99，那第二个数就是105，说明公差至少是105﹣99＝6，与小王说的相矛盾，因此可以判断出小叶、小红和小王三人之中肯定有一个是错的，那么小刚说的话肯定是对的．根据小刚说的，那说明公差一定不大于215÷20≈10，假设小王说的是错的，则说明公差大于或等于6，根据小叶和小红说的话可以确定公差是一个偶数，因此接下来验证公差是6、8、10的情况．如果公差是6，则第1项是99，第2项是105，那么第21项就是99+20×6＝219，大于215，所以公差不是6；如果公差是8，那么第1项就是98，第21项就是98+20×8＞215，所以公差也不是8，同样的道理公差也不是10，由此可以判断出小王说的话是对的．那只有小叶和小红两人有一个说错了．根据公差小于5，说明公差最大是4，那第一个数最大是215﹣28×4＝103，最小是215﹣28×4﹣3＝100，说明小叶说错了；同样根据公差是3、2、1，也能得出第一个数是三位数．根据前两项的和的平均数是102，说明这两个数可能是100和104，也可能是101和103，如果是100和104，那么第100项就是100+99×4＝496；如果前两项是101和103，那么215之前就不止20多个数，故不对．【解答】解：根据上面的推理可以知道是小叶说错了．102×2＝100+104＝101+103如果公差是104﹣100＝4，则第100项是100+99×4＝496；如果公差是103﹣101＝2，则第30项是101+29×2＝159＜215，与小刚说的话矛盾．故答案为：496．16．（2016•创新杯）已知数列a1，a2，…，a n为一等差数列，平均数为71，把相邻的4个数相加，其和为新的一列数，这新一列数的总和为28400，则n＝103．【分析】由题意，a1+a2+…+a n﹣1+a n＝71n①，a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4a n﹣4+4a n﹣3+3a n﹣2+﹣2a n﹣1+a n＝28400②，②﹣①可以得到a2+2a3+3a4+3a5+…+3a n﹣4+3a n﹣3+2a n﹣2+a n﹣1＝28400﹣71n③，依次利用①式进行变换最后得出a4+a5+…+a n﹣4+a n﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，a1+a2+…+a n﹣1+a n＝71n①，a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4a n﹣4+4a n﹣3+3a n﹣2+﹣2a n﹣1+a n＝28400②，②﹣①可得a2+2a3+3a4+3a5+…+3a n﹣4+3a n﹣3+2a n﹣2+a n﹣1＝28400﹣71n③，a2+a3+…+a n﹣2+a n﹣1＝71（n﹣2）④，③﹣④可得a3+2a4+2a5+…+2a n﹣4+2a n﹣3+a n﹣2＝28400﹣71（2n﹣2）⑤，a3+a4+…+a n﹣3+a n﹣2＝71（n﹣4）④，⑤﹣④可得a4+a5+…+a n﹣4+a n﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，（n﹣3﹣4+1）×71＝28400﹣71（3n﹣6），解得n＝103，故答案为：103．17．（2014•其他模拟）艾丽斯工作5天后，共挣了65元，其中每一天所挣的都比前一天多2元．她第一天挣了9元．【分析】每天的钱数构成一个公差为“2”的等差数列，首项是要求的数，项数为5．因此本题根据高斯求和公式“S n＝na1+n（n﹣1）÷2”进行计算即可：【解答】解：设她第一天挣了x元，5x+5×（5﹣1）×2÷2＝655x+20＝655x＝45x＝9故答案为：9．18．一个电影院的第一排有15个座位，以后每排都比前排多2个座位，最后一排有53个座位，这个电影院共有20排座位．【分析】把座位数可以看作是一个等差数列：首项是15，末项是53，公差是2，求这个电影院共有几排座位，就相当于等差数列的项数，列式是（53﹣15）÷2+1＝20，然后解答即可求出一共有的排数．【解答】解：根据分析可得，（53﹣15）÷2+1，＝38÷2+1，＝20（排），答：这个电影院共有20排座位．故答案为：20．三．计算题（共1小题，满分3分，每小题3分）19．92+90+88+ (2)【分析】根据等差数列通项公式：项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，（首数+尾数）×项数÷2＝和解答即可．【解答】解：（2+92）×[（92﹣2）÷2+1]÷2＝94×46÷2＝2162四．解答题（共12小题，满分54分）20．（4分）（2012•其他模拟）把一堆苹果分给8个朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？【分析】由题意可知，要使8个人中的每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同，则分到苹果最少的应为1个，而其他人至少分别分到2，3…8个苹果．那么这堆苹果应有的个数为：1+2+3+…+8．计算这个公差为1的等差数列的和即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8＝（1+8）×8÷2＝9×8÷2＝72÷2＝36（个）．答：这堆苹果至少应有36个．21．（4分）小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看5页，最后一天看55页，刚好看完，这本故事书一共有多少页？【分析】根据题意，可得小红每天看故事书的页数是一个等差数列，数列的首项是25，末项是55，公差是5，所以求出等差数列的项数，即可求出这本故事书共多少页．【解答】解：（55﹣25）÷5+1＝30÷5+1＝7（25+55）×7÷2＝80×7÷2＝280（页）答：这本故事书一共有280页．22．（4分）已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【分析】由题可知，本题是一个公差为137﹣131＝6的等差数列，因此本题根据高斯求和的有关公式解答即可：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．【解答】解：公差：137﹣131＝6第1项：131﹣（9﹣1）×6＝131﹣48＝83第19项：83+（19﹣1）×6＝83+18×6＝83+108＝191答：这个数列的第1项是83，第19项是191．23．（4分）某电影院有26排座位，后一排比前一排多1个座位，最后一排有45个座位，求这个影院一共有多少个座位？【分析】因后一排在比前一排多1个座位，可看作是看作一个等差数列，末项是45，所以首项是45﹣26+1＝20，本题可根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：45﹣26+1＝20（个）（20+45）×26÷2＝845（个）答：这个影院一共有845个座位．24．（4分）有一堆粗细均匀的圆木，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，如果最下面一层有98根，那么共堆了多少层？【分析】每层的根数构成了一个等差数列，首项是6，公差是1，末项是98，求项数，根据“项数＝（末项﹣首项）÷公差+1”解答即可．【解答】解：（98﹣6）÷1+1＝92+1＝93（层）答：共堆了93层．25．（4分）求1，5，9，13，…，这个等差数列的第30项．【分析】首先求出1，5，9，13，…，这个等差数列的公差，然后根据：a n＝a1+（n﹣1）d（a1、a n、d 分别是等差数列的第1项、第n项、公差），求出这个等差数列的第30项即可．【解答】解：1+（30﹣1）×（5﹣1）＝1+29×4＝1+116＝117答：这个等差数列的第30项是117．26．（5分）（2012•其他杯赛）把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段都比前一段多3米．三段绳子的长度各是多少？【分析】设第一段绳子长x米，那么第二段，第三段绳子的长度分别是：（x+3）米，（x+3+3）米，根据三段绳子的长度是90米列方程，依据等式的性质即可解答．【解答】解：设第一段绳子长x米，x+（x+3）+（x+3+3）＝90，3x+9＝90，3x+9﹣9＝90﹣9，3x＝81，3x÷3＝81÷3，x＝27，27+3＝30（米），27+3+3，＝30+3，＝33（米），答：第一段绳子长27米，第二段绳子长30米，第三段绳子长33米．27．（5分）（2009•两岸四地）张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第30天做了78个，正好做完．这批零件共有几个？【分析】第一天20个，根据“以后每天都比前一天多做2个”，求得第二天是22个，第三天为24个，第30天为78个，设s＝20+22+24+…+76+78 ①，则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，①+②得，2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20 ）＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20）＝98×30，求得问题的答案．【解答】解：因为第一天20个，第二天是22个，第三天为24个，•，则第30天为78个，设s＝20+22+24+…+76+78 ①，则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，①+②得，2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20），＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20），＝98×30，＝2940，所以s＝1470．答：这批零件共有1470个．28．（5分）（2016•学而思杯）若一个三位数的三个数字a、b、c按从小到大排列后，怡好可组成一个等差数列（公差可以为0），这我们将这样的三位数叫做“和谐数”，如375，102，…．（1）100至199之间，有多少个“和谐数”？（2）总共有多少个“和谐数”？（3）将所有的“和谐数”排成一列，546排在第几位？【分析】将公差分类，求出相应的“和谐数”，即可得出结论．【解答】解：（1）公差为0：111；公差为1：102，120，123，132；公差为2：135，153；公差为3：147，174；公差为4：159，195，所以100至199之间，有11个“和谐数”；（2）公差为0：111，222， (999)公差为1，（0，1，2），（1，2，3），…，（7，8，9），共8组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+7×6＝46个；公差为2，（0，2，4），（1，3，5），…，（5，7，9），共6组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+5×6＝34个；公差为3，（0，3，6），（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9），共4组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+3×6＝22个；公差为4，（0，4，8），（1，5，9），共2组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+1×6＝10个；总共有9+46+34+22+10＝121个“和谐数”；（3）将所有的“和谐数”排成一列，100～199：11个；200～299：公差为0：222；公差为1：201，210，213，231，234，243；公差为2：204，240，246，264；公差为3：258，285，共13个；300～399：公差为0：333；公差为1：312，321，324，342，345，354；公差为2：315，351，357，375；公差为3：306，360，369，396，共15个；400～499：公差为0：444；公差为1：423，432，435，453，456，465；公差为2：402，420，426，462，468，486；公差为3：417，471；公差为4：408，480，共17个；500～599：公差为0：555；公差为1：534，543，546，564，567，576；公差为2：513，531，537，573，579，597；公差为3：528，582；公差为4：519，591，共17个；11+13+15+17+8＝64，所以546排在第64位．29．（5分）从一列数1，5，9，13，…，93，97中，任取14个数．证明：其中必有两个数的和等于102．【分析】首先根据题意可知这列数是一组公差是4等差数列，根据项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，求出这组等差数列一共有几项，据此分析解答即可．【解答】解：（97﹣1）÷4+1＝25（个）将这25个组分成13组：{1}，{5，97}，{9，93}，{13，89}，…，{45，57}，{49，53}．在这25个数中任取14个数来，必有二数属于上述13组中的同一组，故这一组二数之和是102．30．（5分）一个项数是偶数的等差数列，奇数项和偶数项的和分别是240和300．若最后一项超过第一项105，那么，该等差数列有多少项？【分析】设给出的数列有2n项，由偶数项的和减去奇数项的和等于n倍的公差，再根据最后一项比第一项多105得到一个关于项数和公差的式子，联立后可求项数．【解答】解：假设数列有2n项，公差为d，因为奇数项之和与偶数项之和分别是240与300所以S偶﹣S奇＝300﹣240＝nd，即nd＝60①．又因为a2n﹣a1＝105即a1+（2n﹣1）d﹣a1＝105所以（2n﹣1）d＝105②．联立①②得：n＝4．则这个数列一共有2n项，即8项．答：该等差数列有8项．31．（5分）一堆电线杆，共有5层，第一层有8根，下面每层比上层多一根，这堆电线杆一共有多少根？【分析】根据题意，把第一层的根数看作梯形的上底，最下层的根数看作梯形的下底，层数看作梯形的高，由梯形的面积公式就可以求出结果．【解答】解：根据题意可得最下面的一层的根数是：8+5﹣1＝12（根），由梯形的面积公式可得：这垛电线杆的总数为：（12+8）×5÷2＝100÷2＝50（根）；答：这一堆电线杆共有50根．。
学而思杯五年级数学
隔是 4 分钟． 【答案】4 分钟．
15. 在 5 5 的棋盘的左下角的格子中放置一个“国王”，规定“国王”每一步只能向右、向上或向右上方走一格，那
么走到棋盘右上角的格子的方法一共有________种． 【解析】标数法，如图． 1 9 7 5 3 1 41 25 13 5 1 129 63 25 7 1 321 129 41 9 1
6.
二、 填空题Ⅱ（每题 6 分，共 30 分，将答案填在下面的空格处） 7. 图中有________个三角形．
2.
答 题
10 个棱长为 2 的小立方体堆成如下图形，表面积为________．
禁 止
线 内
年级____________________
密
封
【解析】前后各 10 个小正方形，左右各 4 个正方形，上下个 4 个正方形，表面积相当于 36 个小正方形，每个小 正方形的面积是 4，表面积共 144． 【答案】144．
解析边长为1的三角形有16个边长为2的三角形有7个边长为3的三角形有3个边长为4的三角形有一个三位数的2倍它的数字和是原来三位数数字和的一半这样的三位数最小是
绝密※启用前 2015 年学而思综合能力测评（深圳） 五年级 数学
座位号____________________
【解析】倒数第二行的 6 说明第一行的空格可以是 1，可以是 6，枚举尝试， 31 65=2015 或 36 67=2412 ． 【答案】2015 或 2412． 动物王国中有一个奇怪的猫村．已知猫村共有 60 只猫，其中有漂亮尾巴的 27 只，漂亮毛色的 45 只．所有猫 毛色或尾巴至少一项漂亮，则两样都漂亮的有________只． 【解析】 27 45 60 12 ． 【答案】12．
【5年级】2014-2016学而思杯真题+解析合集_14
17
第二部分 解答题 五．解答题（每题 8 分，共 16 分） 17. 计算： （1） 6 6
6 7
1 8
（4 分）
（2） 0.16 1.3 18. （1）解方程：
2.5
3
（4 分）
x 8 3
x 1 5
（4 分）
（2）列方程解应用题：五年一班男生和女生的人数比是 5 : 4，后来又转来 1 名男生和 2 名女生，这时男生和女生的人数比是 7 : 6，请问：这个班原来 共有学生多少人？（4 ．． 分）
14. 某城市交通路线图如下，A、B、C、D 为绿色正方形各边中点，E、F、G、H 为黄色正 方形各边中点，学校在 CG 中点处，学而思在 DH 中点处，已知开车在绿色道路上最大 时速为 60km/h， 在黄色道路上最大时速为 40km/h， 在红色道路上最大时速为 20km/h． 已 知从家到学而思最少需要 22 分钟，从学校到学而思最少需要 20 分钟，那么，从家到学 校最少需要 分钟．
2
1
二．填空题（每题 6 分，共 24 分） 5. 下图中，共有 个等边三角形．
6.
将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后的乘积是
．
0 4 1 2
7. 下图是国际象棋棋盘， 将每一行的棋子数写在了棋盘左边， 将每一列的棋子数写在了棋 盘的上边，已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格 中共有 5 5 6 8 6 4 2 1 枚棋子． 1 2 3 6 6 8 7 4
11. 如右图，正方形 ABCD 的边长为 10，以 A 为囿心 10 为半径作弧交 AC 于 E，以 B 为囿 心 10 为半径作弧交 BD 于 F，以 C 为囿心 10 为半径作弧交 AC 于 G，以 D 为囿心 10 为半径作弧交 BD 于 H，那么，图中阴影部分的面积是
2016年10月学而思杯五年级数学解析.pdf
1
4.
如下图，艾迪从家到学校的最短路线共有__________条．
学校
家
【考点】计数，标数法 【难度】☆☆ 【答案】5 【分析】最短路线问题可以应用标数法，如下：
1 1 1
2 1 2 1
5 3 1
所以艾迪从家到学校的最短路线共有 5 条．
5.
五年一班 41 名同学去公园秋游，他们排成一列，前后两人之间相距 1 米．整个队列以 2 米每秒的速度行进．途中经过一座 60 米长的桥，那么这列同学完全通过这座桥共需 __________秒．
启用前★绝密
2016 年北京市五年级综合能力测评（学而思杯）
数学试卷
考试时间：90 分钟 满分：150 分
考生须知：请将填空题答案填涂在答题卡 上，解答题答写在答题纸 上 ．．． ．．． 第Ⅰ卷（填空题
一、 填空题（共 10 道小题，每题 5 分，共 50 分） 1. 2016 年 8 月 21 日，历时 17 天的第 31 届夏季奥林匹克运动会在巴西里约热内卢圆满落 幕．中国体育代表团在本届奥运会上发挥出色，共获得了 70 枚奖牌．那么，在 8，21， 17，31，70 这 5 个数中，有__________个数是 2016 的因数． 【考点】数论，因数与倍数 【难度】☆ 【答案】2 【分析】 2016 = 25 ´ 32 ´ 7 ，所以只有 8 和 21 是 2016 的因数．
= 5 + 2 + 4 ，4 种；
所以一共有 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 + 4 = 24 种．
第Ⅱ卷（解答题
16. 计算：
5 1 9 4 （1） 6 3 14 3 【考点】计算，分数计算
2016年学而思秋季五年级选拔考试试卷普通答案_98
2.
解方程： （1） 2(2 x 10) ( x 5) 45 ，则 x （2） y6 1 ，则 y y4 2 ▲ ．
▲
；
【答案】 （1）x=20（2）y=16 【解析】 （1）去括号得到 4x-20-x+5=45 整理得到 3x-15=45 移项得到 3x=60 所以 x=20 （2）交叉相乘得到 2（y-6）=y+4 去括号得到 2y-12=y+4 移项得到 y=16 3. 将下面的比化简为最简整数比： （1） 32 : 24 ▲ : ▲
【答案】20 【解析】分类数，由一个组成的有 12 个； 由四个组成的有 6 个； 由九个组成的有 2 个； 所以一共有 20 个．
2 / 8
二、提高题（每题 8 分）
11. 桌上有 0~9 的卡片各一张，甲乙丙从中各挑两张． 甲说： “我的两张卡片上数之和是 7． ” 乙说： “我的两张卡片上数之差是 7． ” 丙说： “我的两张卡片上数之积是 7． ” 那么剩余四张卡片上的数之和是 ▲ ． 【答案】19 【解析】从丙说的话可以得到丙的两张卡片是 1 和 7，所以乙的卡片就只能是 9－2，甲的卡 片就只能是 4+3，所以剩余的数是 0,5,6,8，所以和为 19． 12. 2016 2015 2014 2013 2012 2011 2010 2009 4 3 2 1 ▲ ． 【答案】0 【解析】每连续 4 个分为 1 组，每一组的计算结果都是 0，所以答案是 0． 13. 一个长宽都是自然数的长方形，面积为 2016，那么长和宽一共有 ▲ 种不同 的情况． 【答案】18 【解析】长×宽=2016，而且长和宽都是自然数，所以长和宽都是 2016 的因数．而 2016 分 解质因数得到 2016 25 32 7 ，所以 2016 有 6×3×2=36 个因数，所以对应的长和 宽有 36÷2=18 组（注意，由于 1×2016 和 2016×1 是同一种，所以要除以 2） ． 14. 食堂有一桶油，第一天吃掉一半多 1 千克，第二天吃掉剩下的油的一半多 2 千克，第三 天又吃掉剩下的油的一半多 3 千克，最后桶里还剩下 2 千克油， 问桶里原有油 ▲ 千克． 【答案】50 2 1 2 2 2 3 2千克 ， 【解析】用流程图表示 所以原本有{ [（2+3）×2+2]×2+1}×2=50 千克． 15. 下图是一个正六边形， 连接了四条对角线形成如图所示的阴影部分， 已知正六边形的面 积是 36，那么阴影部分的面积是 ▲ ．
学而思杯五年级数学解析pdf
2015年北京市五年级综合能力测评（学而思杯）考试时间：90分钟满分：150分第Ⅰ卷（填空题共90分）一、填空题A（每题5分，共50分）1.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．整个阅兵式上参加的方（梯）队有：2个抗战老兵乘车方队，11个徒步方队，27个装备方队和10个空中方队，此外还首次邀请了一些外国军队方队代表参加，已知整个阅兵式上所有受阅方队为67个，那么共有__________个外国军队方队参加检阅．【考点】应用题，基础应用题【难度】☆【答案】17【分析】67(2112710)17-+++=（个）．2.君君、嘉嘉、旭旭、宇宇四位同学这次考试的平均分是70分，如果去掉宇宇的成绩，则其他三位同学的平均分是75分，那么宇宇这次考了__________分．【考点】应用题，平均数【难度】☆【答案】55【分析】四个人的总分为704280⨯=分，去掉宇宇后三个人的总分为753225⨯=分，所以宇宇这次考的分数为28022555-=分．3.把""∆定义为一种运算符号，其意义为：ba ba∆=，则213161∆+∆+∆=__________．【考点】计算，定义新运算【难度】☆【答案】1【分析】111 2131611236∆+∆+∆=++=．4.如下图，正方形ABCD的面积是16，点F是BC上任意一点，点E是DF中点，则阴影部分面积为__________．【考点】几何，一半模型【难度】☆☆【答案】4【分析】三角形ADF 的面积是正方形ABCD 面积的一半，所以11682ADF S ∆=⨯=，又因为E 是DF 的中点，所以1=2ADF S S ∆阴影=18=42⨯．5.今天是2015年10月6日星期2，如果要使九位数20151062□恰好是9的倍数，那么□内的数应该填__________．【考点】数论，整除特征【难度】☆☆【答案】1【分析】设□填入a ，则九位数20151062a 的数字和是215162=17a a +++++++920151062917=1a a a ⇒+⇒．6.某幼儿园有三个小班，一班有6个小朋友，二班有9个小朋友，三班有10个小朋友．老师给每个班都买了相同数量的苹果，平均分给班里的小朋友，发现每个班的苹果都恰好够分．那么老师给每个班买的苹果数至少是__________个．【考点】数论，最小公倍数【难度】☆☆【答案】90【分析】每个班里的苹果数都恰好够分，说明这个苹果数分别是6,9,10的倍数，所以至少是[]6,9,1090=个．7.数一数，下图中一共有__________个三角形．【考点】计数，几何计数【难度】☆☆【答案】11【分析】可以分为几类：由一块组成：6个；由两块组成：2个；由三块组成：2个；由六块组成：1个．一共有622111+++=个三角形．8.一个三角形三条边的长度都是整数，如果它的周长是16，那么，这三条边乘积的最大值是___________．【考点】组合，最值【难度】☆☆【答案】150【分析】设三条边分别为a 、b 、c ，则有16a b c ++=，由和一定差小积大可知，当a 、b 、c 分别为5、5、6时，556150a b c ⨯⨯=⨯⨯=最大．9.老师组织五年级同学去图书馆搬书，第一次搬了全部书的25，第二次搬了全部书的37还多10本，两次搬完后还剩下50本书没有搬．那么一共有__________本书要搬．【考点】应用题，分数应用题【难度】☆☆【答案】350【分析】量率对应：23(1050)(1)35057+÷--=本10.掷一大一小两个骰子（骰子是一种正方体形状的玩具，有6个面，每个面上的点数分别是1、2、3、4、5、6），每次掷出的点数之和恰好为质数的的情况有__________种．【考点】计数，枚举法【难度】☆☆【答案】15【分析】两个骰子每次掷出的点数和在2~12之间，其间的质数有2,3,5,7,11，分别枚举得到：211=+312=21=++514233241=+=+=+=+7162534435261=+=+=+=+=+=+115665=+=+所以每次掷出的点数之和恰好为质数的的情况共有15种．二、填空题B （每题8分，共40分）11.请将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后一行的五位数是__________．51250⨯ □□□□□□□□□□ □□□【考点】组合，乘法数字谜【难度】☆☆☆【答案】30975【分析】根据题意：0e =，252,5,1abc d fa c d ⨯=⇒===；1109b b +=⇒= 5 1 25 0 a b cd e f ⨯⇒□ □ □ □ □ □ □ 2 5 1 0 5 1 25 0 b b ⨯⇒□ □ □ □ □ □ □ 2 9 5 1 0 51 475 29530 97 5⨯ 12.如果一个五位数能被9整除，且其各个数位上的数字乘积是质数，那么，满足条件的最大五位数和最小五位数之和是__________．【考点】数论，质合与整除【难度】☆☆☆【答案】62226【分析】一个五位数的各个数位上的数字乘积是质数，根据质数的定义可知，这五个数位上只能是4个1和1个质数；又因为这个五位数能被9整除，所以这个质数只能是5．则这个五位数的最大值为51111，最小值为11115，最大值与最小值之和为62226．13.从1~20这20个数中随机选出2个不同的数，并且使这两个数的乘积是偶数，那么，一共有__________种取数的方法．【考点】计数，排列组合【难度】☆☆☆【答案】145【分析】两个数的乘积是偶数有两种情况：奇数⨯偶数，偶数⨯偶数奇数⨯偶数：111010100C C ⨯=种偶数⨯偶数：21045C =种所以一共有10045145+=种．14.如下图，在长方形ABCD 中，30AB =，阴影部分面积是120，那么，CF =__________．【考点】几何，等积变形【难度】☆☆☆【答案】8【分析】连接AC ，因为AB DE ∥，所以由等积变形得：BCE ACE S S ∆∆=，两个三角形有共同部分三角形FCE ，所以120BCE FCE ACE FCE ACF BEF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-⇒==，302120ACF S CF ∆=⨯÷=，所以8CF =．15.甲、乙两人同时从A 地出发开车前往B 地．初始时，甲的速度是乙的1.2倍．在距中点还有20千米的C 地设有一处补给站，甲到达补给站时会休息一段时间，并且在甲刚开始休息和刚结束休息这两个时刻，甲乙两人之间的距离刚好是一样的（乙到达C 处时不休息）．如果甲到达C 地后速度会提升三分之一，乙到达C 地后速度会提升二分之一，结果甲乙两人同时到达B 地．那么，A 、B 两地的距离是__________千米．【考点】行程，方程法解行程【难度】☆☆☆☆【答案】88【分析】可以设AB 之间的距离为2S ，初始时甲的速度为12，则乙的速度为10；过了C 地之后甲的速度提升为1121=163⨯+（），乙的速度提升为1101=152⨯+（）．因为甲乙两人同时到达B 地，所以两人所用时间相同．乙不休息，全程开车用的时间为:20201015S S -++；甲休息了一段时间，所以甲全程时间分为开车时间和休息时间，其中开车的时间为20201216S S -++；休息时间较为复杂，因为甲乙初始的速度比为6:5，所以甲乙的路程比也为6:5．当甲到达C 地开始休息时,甲、乙之间距离为1(20)6S -；当甲结束休息时，甲、乙之间距离仍然为1(20)6S -．所以甲休息的时间为11(20)(20)661015S S --+根据甲乙所用时间相等可列方程：20201216S S -++11(20)(20)661015S S --++20201015S S -+=+，解得：44S =,所以AB 之间的距离为24488⨯=千米．,第Ⅱ卷（解答题共60分）三、解答题：（请将解答过程写在答题纸上，试卷作答无效）16.计算：（每题4分，共16分）（1）12233344445555666778+++++++【考点】整数计算，凑整【难度】☆☆【答案】11106【分析】原式=18227733366644445555+++++++（）（）（）（）=9999999999+++=101001000100004+++-=11106（2）3511273164474712⨯+⨯+÷【考点】分数混合运算，提取公因数【难度】☆☆【答案】24【分析】原式31211212=36447477⨯+⨯+⨯1231=364744⨯++（）12=147⨯=24（3）3(5)177(2)x x +-=-【考点】解方程，一元一次方程【难度】☆☆【答案】3【分析】去括号：31517714x x +-=-移项：14151773x x+-=-合并同类项：124x=系数化1：3x =（4）(32):3(92):5x x +=-【考点】解方程，比例方程【难度】☆☆【答案】43或113【分析】内项积等于外项积：5(32)3(92)x x +=-去括号：1510276x x +=-移项：6102715x x+=-合并同类项：1612x=系数化1：43x =17.列方程（组）解应用题（6分）今年大强的年龄是小强的4倍，8年后大强的年龄比小强年龄的2倍还大2岁，求今年大强和小强分别是多少岁？【考点】列方程解应用题【难度】☆☆【答案】大强20岁，小强5岁【分析】解：设今年小强的年龄是x 岁，则大强的年龄是4x 岁．根据题意有：482(8)2x x +=++解得：5x =则今年大强年龄为：5420⨯=岁答：今年小强是5岁，大强是20岁．18.如下图，三角形ABC 的面积是1，且有2BE AE =，BF FD DC ==，G 是AD 中点．请求出：（1）三角形ADC 的面积．（3分）（2）三角形BFE 的面积．（3分）（3）三角形EFG 的面积．（4分）【考点】，几何，鸟头模型【难度】☆☆☆【答案】（1）13；（2）29；（3）16【分析】（1）根据等高模型：1111333ADC ABC S S ∆∆==⨯=；（2）根据鸟头模型：122339BFE BCA S BF BE S BC BA ∆∆⨯⨯===⨯⨯，所以2221999BFE ABC S S ∆∆==⨯=（3）2221333ABD ABC S S ∆∆==⨯=根据鸟头模型：111326AEG ABD S AE AG S AB AD ∆∆⨯⨯===⇒⨯⨯11216639AEG ABD S S ∆∆==⨯=111224DFG DBA S DF DG S DB DA ∆∆⨯⨯===⇒⨯⨯11214436DFG ABD S S ∆∆==⨯=12111139966EFG S ∆=----=19.我们发现，6、10、15是3个很神奇的数，它们中任意两个数的最大公因数都不是1，但3个数放在一起，最大公因数就变成了1．（1）请你在1~25之间选出另外3个互不相同的数，也满足上述条件．（4分）（2）请你在1~120之间选出4个互不相同的数，满足这4个数中任意三个数的最大公因数都不是1，但这4个数放在一起的最大公因数是1．（4分）（3）在1~30中，挑选出若干个互不相同的数排成一排，并满足：任意相邻两个数的最大公因数不是1，但任意相邻的三个数的最大公因数都是1．那么，最多可以挑选出多少个数？（4分）【考点】数论，分解质因数【难度】☆☆☆☆【答案】见分析【分析】将6、10、15分解质因数：623=⨯，1025=⨯，1535=⨯，发现每个数都是由2,3,5这三个质因数中的两个组成，即只要三个数的分解质因数形式分别为23⨯□□，25⨯□□，35⨯□□，就可以满足任意两个数的最大公因数都不是1，但是三个数的最大公因数却是1．下面按照这个方法来构造即可．（1）在1~25之间选取三个数，所以三个不同的质因数可以取2,3,5或2,3,7①当三个质因数为2,3,5时，三个数的分解质因数形式分别为23⨯□□，25⨯□□，35⨯□□，满足条件的三个数有8组，分别为：（6,10,15）（12,10,15）（18,10,15）（24,10,15）（6,20,15）（12,20,15）（18,20,15）（24,20,15）②当三个质因数为2,3,7时，三个数的分解质因数形式分别为23⨯□□，27⨯□□，37⨯□□，满足条件的三个数有4组，分别为：（6,14,21）（12,14,21）（18,14,21）（24,14,21）．因为是要选出另外三个互不相同的数，所以含有6、10、15的数组都不能取，只能取（12,14,21）（18,14,21）（24,14,21）这三组．（2）在1~120之间选出4个互不相同的数，需要4个不同质因数，可以取2,3,5,7，四个数的分解质因数形式分别为235⨯⨯□□□，237⨯⨯□□□，257⨯⨯□□□，357⨯⨯□□□，满足条件的四个互不相同的数有8组，分别是：（30,42,70,105）（60,42,70,105）（90,42,70,105）（120,42,70,105）（30,84,70,105）（60,84,70,105）（90,84,70,105）（120,84,70,105）（3）根据前面的思路，要想满足条件，这一排数除了前后两端的两个数，其他所有数都应该至少含有2个质因数．在1~30中有6，10，12，14，15，18，20，21，22，24，26，28，30．又因为不能有三个相邻的数都是偶数，所以要想最多中间应该多排奇数，上面的数中只有15和21是奇数，所以两个都选且要隔在中间以保证没有三个连续偶数，排列情况如下：_____,_____,15，_____,_____,21_____,_____但其实还可以排的更多，因为这一排数的两端都可以各自放一个质数，同样可以满足条件，所以最多的情况是可以挑选出10个数．给出一组满足条件的构造如下：11，22，12，15，10，14，21，6，28，7四、阅读材料并回答下列问题（每小题4分，共16分）20.如果一个数列的第n 项n a 与其项数n 之间的关系可用式子来表示，这个式子就称为该数列的通项公式．①通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；②通项公式以数列的项数n 为唯一变量；③并非每个数列都存在通项公式．如果一个数列的第n 项n a 与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个关系就称为该数列的递推公式．例如：对于数列1，3，5，7，9，11……它的通项公式是21n a n =-它的递推公式是12n n a a -=+（其中的n 都表示项数）根据上述材料：（1）请判断下列公式是通项公式还是递推公式（4分，每空2分）n a n =是_________公式．12n n n a a a --=+是_________公式．（2）请根据下面的通项公式，写出这个数列的第2015项（4分）21n a n n =+-（3）请根据下面的递推公式，分别求出这个数列的第2、3、4、6项（4分，每空1分）11a =，11n n a a n -=+-2a =________，3a =________，4a =________，6a =________（4）请写出下面这个数列的通项公式和递推公式（4分）2、5、10、17、26、37、50、65、82、101……【考点】阅读材料【难度】☆☆☆【答案】（1）通项公式；递推公式（2）4062239（3）22a =，34a =，47a =，616a =（4）通项公式：21n a n =+；递推公式：121n n a a n -=+-【分析】（1）通项公式；递推公式（2）22201512015201514062239n a n n a =+-⇒=+-=【分析】（3）21211212a a =+-=+-=32312314a a =+-=+-=43414417a a =+-=+-=545175111a a =+-=+-=6561116116a a =+-=+-=（4）通项公式：21n a n =+；递推公式：121n n a a n -=+-。
2016学而思杯数学解析(5年级)_81
6. 艾迪和薇儿持有的积分卡数量之比为 2:3，艾迪送给薇儿 15 张后，两人积分 卡数量之比变为 1:3，那么，两人共有__________张积分卡．
【考点】应用题，比例应用题
2
【难度】☆☆☆ 【答案】100 【分析】两人的积分卡数量总和不变
三、填空题Ⅲ（每题 7 分，共 28 分） 9. 如果一个三位数的反序数仍为三位数（例如：243 的反序数为 342，754 的反
序数为 457），且这个三位数减去它反序数的差为 594，那么，这样的三位数 共有__________个． 【考点】计数，位值原理 【难度】☆☆☆ 【答案】30
【分析】有题意可得： abc cba 594 ，化简得： a c 6 ，由于 a,c 均不为 0，
【考点】组合，操作类智巧趣题 【难度】☆
第5行 第4行 第3行 第2行 第1行
1
【答案】5 【分析】艾迪每跳一步前进一行，第三步双脚分别站在 3、4 两个格子中，那么，
艾迪第四步前进一行，将站在 5 号格子中．
3. 循环小数 0.2016 小数点后第 2016 位数字是__________． 【考点】计算，循环小数，周期问题 【难度】☆☆ 【答案】6 【分析】周期为 4， 2016 4=504 ，没有余数故小数点后第 2016 位数字是 6．
【分析】由题意得： 1 r2 100 ，可得 r2=200 ，设小圆的半径为 a ，则根据勾 2
股定理可以列得方程： a2 +(2a)2=r2 ，化简得： a2 = 1 r2 ，所以阴影面积为 5
a2 = 1 r2 = 1 200=40 ． 55
学而思杯数学试题(五年级)答案解析
2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（五年级）详解一．填空题（每题5 分，共20 分）1. 两个质数的和是9，那么这两个质数的乘积是．【考点】数论，质数性质【难度】☆【答案】14【分析】两质数和为奇数，必有偶质数2，另一质数为7，故答案为2 ⨯ 7 = 14 .2. 如右图，共有个正方形．【考点】组合，几何计数【难度】☆【答案】10【分析】1⨯1的正方形有4 个，2 ⨯ 2 的正方形有5 个，4 ⨯ 4 的正方形有1 个，共10 个.3. 学而思教研部一共购买了300 本书，其中有五分之二是数学书，三分之一是语文书，其余是英语书．那么，英语书共有本．【考点】应用题，分数应用题【难度】☆【答案】80【分析】300 ⨯ (1 - 2-1) = 300 - 120 - 100 = 80 （本）.5 34. 如右图，正方形ABCD 边长为40 厘米，其中M、N、P、Q 为所在边的中点；分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形，那么形成图中阴影部分的面积是平方厘米．（π取3.14）【考点】几何，圆与扇形面积【难度】☆☆【答案】344【分析】阴影面积的实质是整体减空白：边长40 厘米的正方形面积减去半径为20 厘米的圆的面积（4 个扇形刚好拼成一个整圆），故答案为402 - 3.14 ⨯ 202 = 400 ⨯ (4 - 3.14) = 344 平方厘米.5. 对一个大于1 的自然数进行如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则先减去1 再除以2，如此进行直到得数为1，操作停止．那么，所有经过3 次操作结果为1 的数中，最大的数是．【考点】数论，奇偶性，倒推【难度】☆☆【答案】15【分析】从1 向前倒推，寻找原数的最大值；但发现若上一步是偶数，则须本数⨯2 ；若上一步是奇数，则须本数⨯2 + 1 ；明显每次向前推出奇数可使原数更大，倒推过程为：1→3→7→15；故15 为原数的可能达到的最大值.6. 定义：∆( A, B,C, D) = A ⨯ 4 + B ⨯ 3 + C ⨯ 2 + D ⨯1 ，那么，∆(2, 0,1, 3) =_ ．【考点】计算，定义新运算【难度】☆【答案】13【分析】按定义式，∆(2, 0,1,3) = 2 ⨯ 4 + 0 ⨯ 3 + 1⨯ 2 + 3 ⨯1 = 13 .7. 一项工程，由甲队单独做10 天后，乙队加入，甲、乙两队又合作了8 天完成；这项工程，如果全部由乙队单独做，20 天可以完成．那么，如果全部由甲队单独做，天可以完成．【考点】应用题，工程问题【难度】☆☆【答案】30【分析】把总工作量看做单位“1”，则乙队的工作效率为每天做120，故可在甲乙合作的条件中求出甲队的工作效率为每天做(1 - 1⨯ 8) ÷ (10 + 8) =3÷18 =1；故答案为30.20 5 308. 如右图，大正方体的棱长为2 厘米，两个小正方体的棱长均为1厘米，那么，组合后整个立体图形的表面积为平方厘米．【考点】几何，立体几何，表面积【难度】☆☆【答案】32【分析】三个立方体原总表面积为12 ⨯ 6 + 12 ⨯ 6 + 22 ⨯ 6 = 36 平方厘米，之后放在一起时缺失了4 个1⨯1 的表面，故答案为36 - 12 ⨯ 4 = 32 平方厘米；或者可用三视图法求表面积：(5 + 5 + 6) ⨯ 2 = 32 平方厘米.9.甲、乙、丙 3 人共有 2013 块巧克力，甲拿走了乙、丙各 3 块巧克力后，甲、乙、丙 3 人的巧克 力数比为 4: 2: 5 ，那么，甲原．有．【考点】应用题，比例应用题 【难度】☆☆☆ 【答案】726块巧克力．【分析】之后甲的巧克力块数易由 3 人的块数比求得，为 2013 ⨯732 - 3 ⨯ 2 = 726 块.4 4 + 2 + 5= 732 块，故甲原有巧克力10. 在 5×5 的方格中，将其中的一些小方格染成红色，使得对于图中任意的2×2 的方格中，均有至少 1 个小方格是红色的．那么，至少要将个小方格染成红色． 【考点】组合，构造与论证 【难度】☆☆ 【答案】4【分析】论证：为了保证 4 个角上的互不重叠的 4 个 2 ⨯ 2 的方格中都至少有 1个红色方格，可知答案必不小于 4； 构造：如右图，4 是可能的； 综上，答案为 4.11. 一个五位数，各．位．数．字．互．不．相．同．，并且满足：从左往右，第一位是 2 数是 3 的倍数，前三位组成的三位数是 5 的倍数，前四位组成的四位数是 7 的倍数，这个五位数 是 11 的倍数．那么，这个五位数最小是 ．【考点】数论，整除特征，最值 【难度】☆☆☆ 【答案】21076【分析】考虑最值确定各位数字：万位是 2 的倍数，故万位最小应为 2； 前两位组成的数是 3 的倍数，故前两位最小应为 21； 前三位组成的数是 5 的倍数，故前三位最小应为 210；前四位组成的数是 7 的倍数，最小为 2100，但要求各位数字不同，故应为 2107； 这个五位数是 11 的倍数，故此数应为 21076.12. 右边的乘法竖式中，相．同．汉字代表相．同．数字，不．同．汉字代表不．同．数字，那么，“大自然”代表的三位数是．【考点】数论，数字谜【难度】☆☆☆☆【答案】958我爱大自然⨯ 4 大自然爱我【分析】由个位可知“我”为偶数，再分析最高位即可知“我”只能为2；故“然”为3 或8；（还可分析知五个汉字所代表的数字之和必为3 的倍数，这个小结论可以辅助之后的分析）若“然”= 8，①则分析万位知“大”只能为9，故千位“爱”乘以4 后向万位进1，可知“爱”为3 或4；②若“爱”= 4，此时十位：“自⨯4 + 3 ”的末位数字为4，这表示“自⨯4 ”的末位数字为1，奇偶性矛盾！故确定“爱”只能为3；③若“爱”= 3，此时十位：“自⨯4 + 3 ”的末位数字为3，这表示“自⨯4 ”的末位数字为0，“自”为0或5；若“自”= 0，千位要接受进位8，这不可能；若“自”= 5，则有答案23958 ⨯ 4 = 95832 ；若“然”= 3，①分析万位知“大”为9 或8；②若“大”= 9，则千位“爱”乘以4 后向万位进1，可知“爱”只能为4；此时十位：“自⨯4 + 1 ”的末位数字为4，这表示“自⨯4 ”的末位数字为3，奇偶性矛盾！故知只能“大”= 8；③若“大”= 8，分析十位可知“爱”为奇数，再分析千位可知“爱”= 1；④此时无论十位的“自”为0 还是为5，式子的百位和千位都是错误的（21803 ⨯ 4 = 80312 错误；21853 ⨯ 4 = 85312 错误），故知“然”= 3 时无解；综上，本数字谜只有唯一解：23958 ⨯ 4 = 95832 ，本题答案为958.四．填空题（每题8 分，共32 分）13. 有A、B、C、D、E、F 六个人围坐在圆桌吃饭，A 会讲英语，1B 会讲汉语、英语和法语，C 会讲汉语、英语和德语，D 会讲6 2汉语和德语，E 会讲汉语，F 会讲法语和德语．如果每个人都能与他相邻的两个人交流，那么，共有种不同的排座位方式．（经过旋转、对称后重合的方式不．算．做．一．种．）【考点】组合，逻辑推理 5 3【难度】☆☆☆4【答案】24【分析】本题突破口在于A，由于A 只会说英语，英语也只有A、B、C 三人会说，故座位顺序中必然有紧邻的BAC（或CAB），此时分析F 可知F 必须与B 或C 中的一个相邻，E 必须在D、F 的中间；综上，得到两种圆排列方式：①BACEDF；②BACFDE；每种圆排列方式都有旋转、对称的12 种排座方式，故答案为12 ⨯ 2 = 24 种.⎨ ⎩ Q14. A 、B 两地相距 120 千米．甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行．当甲、丙相遇时，乙行了 20 千米．甲到达 B 地后立即原路返回，当乙、丙相遇在途中 C 地时，甲也恰好到达 C 地． 那么，当丙到达 A 地时，乙共行了 千米．【考点】行程问题，比例法解行程问题 【难度】☆☆☆ 【答案】72【分析】本题关键点在于甲丙速度之和与乙的速度之比为 120 : 20 = 6 :1 ；设甲、乙、丙三人到达 C 点⎧z + y = 120时各走了 x 、y 、z 千米，则有方程组：⎪x - z = 120，解得 y = 3 （可以解出 x 、y 、z 的具体值， ⎪(x + z ) : y = 6 :1 z 5但其实不必要）；故丙走了 120 千米时，乙走了120 ⨯ 3= 72 千米.515. 如右图，三角形 ABC 是直角三角形，M 是斜边 BCA 的中点，MNPQ 是正方形，N 在 AB 上，P 在 AC 上． NP如果，AB 的长度是 12 厘米，AC 的长度是 8 厘米． 那么，正方形 MNPQ 的面积是 平方厘米．Q【考点】几何，面积，弦图 BMC【难度】☆☆☆ 【答案】20【分析】如下图，过 M 点作 AB 的垂线，垂足为 D ；以 AD 为外围正方形的一边，做出以 MNPQ 为内含正方形的弦图，；则 MD 为△ABC 的中位线， MD = AC = 4cm ， AD = AB= 6cm ；故弦图中外2 2围正方形边长为 6cm ， AN = MD = 4cm ， DN = 6 - 4 = 2cm ；故所求面积为 62 - 2 ⨯ 4⨯ 4 = 20cm 2 .2AANP NPDD FBMCMQE16. 有一个自然数A，它的平方有9 个约数，老师把9 个约数写在9 张卡片上，发给学学三张、思思三张．学学说：“我手中的三个数乘积是A3 ．”思思说：“我手中的三个数乘积就是A2 ，而且我知道你手中的三个数和是625．”那么，思思手中的三个数和是．【考点】数论，约数个数定理，幻方【难度】☆☆☆☆☆【答案】55【分析】A2 有9 个约数，故由约数个数定理可逆推出：A 的质因数分解形式为p4 或pq （p、q 为不相同的质数）；若A = p4 ，那么可把A2 的9 个约数写成如下的表格形式（幻方）：学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、p 、p7 ）（1、p2 、p6 ）（1、p3 、p5 ）（p 、p2 、p5 ）（p 、p3 、p4 ）；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两组所确定的数需要1 + p4 + p8 = 625 或1 + p5 + p7 = 625 ，可是这两种情况p 均无解；故知A 的质因数分解形式不能为p4 ，只能为pq ；若A = pq ，那么可把A2 的9 个约数写成如下的表格形式思思手中拿到的可能是（1、p 、pq2 ）（1、q 、p2 q ）（1、p2 、q2 ）（p 、q 、pq ）；经分析可知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为（1、p2 q 、pq2 ），故1 + p2 q + pq2 = 625 ，（可用枚举法，或因数分析）解得A 的两个质因数p、q 为3 和13，故思思手中的牌为（3、13、39），所求答案为3 + 13 + 39 = 55 .五． 解答题（每题 8 分，共 16 分）17. 计算：（1） 0.27 ⨯103 + 0.19 （4 分）（2） 2013⨯ 2.3+ 201 3÷ 0.4 - 2013 ⨯ 1（4 分） 10 4 【考点】计算、巧算 【难度】☆☆ 【答案】28；4697【分析】（1）原式 = 0.27 ⨯100 + (0.27 ⨯ 3 + 0.19) = 27 + 1 = 28 ；（2）原式 = 2013 ⨯ 7 + 2013 ÷ 4 - 2013 ÷ 4 = 2013 ⨯ 7= 4697 .3 318. 解方程：（1） 4(2x - 1) - 3(x - 2) = 7 （4 分） （2） 2 x + 5 = 4 x - 7 （4 分） 3 5【考点】计算、解方程【难度】☆☆ 【答案】 x = 1 ； x = 23【分析】（1）注意去第 2 个括号时要变号；原方程化为： 8x - 4 - 3x + 6 = 7 ，即 5x = 5 ，解得 x = 1 ；（2）通分，原方程化为：5(2x + 5) = 3(4x - 7) ，即10x + 25 = 12x - 21 ，即 2x = 46 ，解得 x = 23 .六．解答题（每题 15 分，共 30 分）19. 如图，将 1、2、3……按规律排成一个沙漏型的数表，那么，12 13 14 15上 3 行（1）下 5 行从左向右数的第 5 个数是多少？（4 分） （2）上 6 行最左边的数是多少？（4 分）（3）2013 排在哪一行的从左向右数的第多少个？（7 分） 【考点】计算、数列与数表6 7 82 3 1 5 4 11 10 9上 2 行 上 1 行 0 行下 1 行下 2 行 【难度】☆☆☆☆【答案】37；42；上 44 行从左向右第 34 个19 18 17 16下3 行【分析】（1）下 n 行从左向右第 (n + 1) 个数（即最右数）为 (n + 1)2 ；故下 5 行从左向右第 6 个数为 36，下 5 行从左向右第 5 个数为 37；（2）上 n 行从左向右第 1 个数（即最左数）为 n (n + 1) ；故上 6 行最左数为 42； （3）上 44 行从左向右第 1 个数为 44 ⨯ 45 = 1980 ，故 2013 为上 44 行从左向右第2013 - 1980 + 1 = 34 个数.20. 思思编了一个计算机程序，在屏幕上显示所有由0、1、2、3 组成的四位编码（数字可以重复使用），每个四位编码都是红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种．并且，如果两个编码的每一位数字均不相同，那么这两个编码的颜色也不相同．如果，0000 是红色的、1000 是黄色的、2000 是蓝色的，那么：（1）下列编码中，一定不是红色的是（）（2 分）A. 0102B. 0312C. 2222D. 0123（2）编码3111 是什么颜色的？（5 分）（3）编码2013 是什么颜色的？（8 分）【考点】组合，构造与论证【难度】☆☆☆☆【答案】C；绿色；蓝色【分析】（1）2222 与0000 的每一位数字均不相同，故2222 一定不是红色的，选C；（2）3111 与0000、1000、2000 的每一位数字均不相同，故3111 不是红色的，不是黄色的，也不是蓝色的，故3111 是绿色的；（3）0222 与1000、2000、3111 的每一位数字均不相同，故0222 是红色的；1222 与0000、2000、3111 的每一位数字均不相同，故1222 是黄色的；3222 与0000、1000、2000 的每一位数字均不相同，故3222 是绿色的；2013 与0222、1222、3222 的每一位数字均不相同，故2013 是蓝色的.。
学而思杯五年级数学考试范畴(共2页)
学而思杯五年级数学考试范畴
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学而思杯五年级数学考试范畴
2016年10月学而思杯五年级数学考试大纲
计算应用题行程几何数论计数组合模块具体内容整数、分数、小数、次方的基本混合计算
凑整、公式等巧算方法
等差数列、正方形数表的熟练应用
一元一次方程、二元一次方程组
定义新运算
植树、周期、鸡兔同笼
年龄、平均数、和差倍
归一、还原、盈亏
牛吃草、分数应用题
列方程解应用题
简单的相遇与追及问题
环形跑道、火车过桥、流水行船、电梯与发车
列方程解行程问题
线、角、三角形、四边形的基础概念
割补、平移、对称、旋转等方法
等积变形、一半、等高、鸟头等模型勾股定理
整除定义、特征及性质
奇数与偶数、质数与合数、因数与倍数试除法、分解质因数、位置原理
枚举法、树形图
加乘原理、标数法、传球法
排列组合问题
容斥原理；几何计数
逻辑推理与体育比赛
数字谜与数阵图
最值问题
棋盘中的数学
找规律、构造与论证
学而思杯五年级数学考试范畴。
第九届学而思综合能力测评五年级数学试卷及答案解析
量为： (20 + 10) × 5 = 150 ；10 天吃完需要牛的头数是：150 ÷10 −10 = 5 (头)．
第二大题（解答题共 4 道，其中两题为必做题，两题为附加题选做.请同学们把解题过程写清楚）
1. （10 分）8 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光 和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？ 答案：2400 提示：冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留 给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇． 小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑 只满足第一、三个条件的站法总数为：
能是最后一名．”丙说：“我绝对不会得最后一名．”丁说：“我肯定得第一名．”赛后，发现他们 4 人的预
测中只有一人是错误的．那么
的预测是错误的.
答案：丁
提示：假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一
名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾．所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预
时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了 15 30 45= + 千米，故小张的速度是 45 ÷3 =15 千
米/时，小王的速度是 15 ＋30 =45 千米/时．全程是 45 ×3 =135 千米，小张走完全程用了 135 ＋15=9 小时，
所以他是上午 10 点出发的。
5. 4 名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名．”乙说：“我不可能是第一名，也不可
C73 × P22 × C41 × P22 × P33 = 3360 （种）
2016年学而思年测五年级数学解析
110011323 340 191，余 191 也可以看成不足 323 191 132 。
所以当132 323n 是 100 的倍数时，才能保证只改动 110011 的千位、百位数字，而得
到 3223 的倍数。
所以有 323n 的末位只能是10 2 8 ，所以 n 只能是 6，16，26， 验证有 n 16 时，132 32316 5300 ，所以原题的方框内填入 5,3 得到的 115311
2016 年第六届学而思年度质量监测五年级解析
一、填空题（共 5 道小题，每题 6 分，共 30 分） 1. 今天是 2016 年 8 月 23 日，以上出现的所有数字和能被两位质数__________整除．（例
如：2015 年 7 月 29 日，数字和 26 能被两位质数 13 整除） 【考点】质数合数 【难度】☆ 【答案】11
3
12. 甲已知 Y 分解质因数后，只有两个质因数 a 和 b，且因数个数为 24，则 8Y 分解质因数 后，因数个数最少有__________个．
【考点】因倍质合 【难度】☆☆☆ 【答案】30 【分析】Y= ambn ，且 (m 1)(n 1) 24 ，则 Y = a1b11 、 a2b7 或 a3b5 .则 8Y= 23 a1b11 、 23 a2b7
【考点】容斥原理 【难度】☆☆ 【答案】16
【分析】画出韦恩图，容易得到带了和其正的人中有 50 14 8 12 16 人没有带王老吉．
王老吉 8
12
14
加多宝
？
和其正
2
9. 从 0，1，2，3，4，5，6 中选出 4 个数组成四位数，每个数只能选一次，那么一共可以
学而思杯五年级数学试卷
L(12)=4，R(12)=3．
根据题意，解下列问题：
（1）判断对错(每空 1 分，共 4 分)：
L(4)=3
（）
L(20)=5
（）
R(4)=2 R(20)=3
（） （）
（2）若 n=1000，计算： L(n)= ________．（2 分） R(n)= ________．（3 分）
（3）若 n 201744 ，计算 L R n 的结果，并写出分析过程．（6 分）
链．的．长．度．，R(n) 表示 n 的最．长．因．数．链．的．条．数．．
例如：当 n 6 时，有1, 2, 6 和1, 3, 6 共 2 条最长因数链，所以有 L(6)=3，R(6)=2．
当 n 12 时，有 1, 2, 4,12 、 1, 2, 6,12 和 1,3, 6,12 共 3 条最长因数链，所以有
1
1
1
（1） 666 666 666
2
3
6
1 1 1
（2）
1
2
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
120
18. 解下列方程或者方程组，写出简要的解方程过程与方程的解：
x 1 x 1 （1）
23
2x y 5 （2）
x 2 y 20
六、 解答题（共 2 道小题，每题 15 分，共 30 分） 19. 如图一所示，梯形 ABCD 中 AB∥CD 且 CD=2AB，E 为 BC 边中点，连接 AC 和 BD 相
绝密★启用前
2017 年第十一届北京市小学生综合能力测评（学而思杯）
五年级数学试卷
考试时间：90 分钟 满分：150 分
考生须知：请将填空题答案填涂在答．题．卡．上，解答题答写在答．题．纸．上 第Ⅰ卷（填空题共 104 分）
2016年5年级学而思杯试题解析
2016年南京五年级学而思杯答案解析1.2016年清明节是在4月4日星期一，明年的清明节恰好也在4月4日，那么明年清明节是星期__________．【考点】周期问题【答案】星期二【解析】今年4月4日到明年4月4日，一共365天，365÷7＝52……1，因此明年清明节是星期二．2.学校组织同学郊游，星星收了9名同学的费用（每人交的钱一样多）交给老师，老师给了星星一张纸条，上面写着“交来郊游费136□元”．其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了．明明看了看，很快就算出了方格处的数字．那么方格处的数字应该是__________．【考点】数论问题，9的整除特征【答案】8【解析】根据题目意思，136□是9的倍数，那么其数字和为9的倍数，那么□＝8．3.中国古代使用的铜钱，无论大小，都是圆形中间有一个正方形的孔眼，如图所示．如果铜钱直径为28毫米，内部正方形的边长为8毫米，那么该铜钱的面积是__________．（其．中．π．取．3．计算．．）【考点】几何问题，求面积方法【答案】524平方毫米【解析】阴影部分面积相当于圆面积减去正方形面积，22148524π⨯-=平方毫米．4.下面图形中，共有__________个三角形．【考点】计数问题【答案】155.在144、253、80、64、200、361、450、687、1111中，有__________个完全平方数．【考点】数论问题，完全平方数【答案】3个【解析】214412=，2648=，236119=．6.A 、B 两地之间相距360千米，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行．甲每小时走80千米，乙每小时走100千米，那么两人相遇的时候乙比甲多走__________千米．【考点】行程问题请计算：4!!6!!3!!5!!+=__________．【考点】定义新运算【答案】8815【解析】根据题意直接计算4!!6!!42642848883!!5!!3153131515⨯⨯⨯+=+=+=⨯⨯⨯．13.红光小区中的每一户人家都至少订了A、B、C三种报纸中的一种，已知订了A报纸的有50户，订了B报纸的有40户，订了C报纸的有35户，至少订阅两种报纸的有20户，三种报纸都订阅的有8户，那么红光小区中共有__________户人家．【考点】容斥原理【答案】97户正方形BCDE和正方形ACFG【考点】几何问题【答案】50【解析】如图二，过点C作边AB的高CM，设AM＝x，MB＝y，那么x＋y＝24，在直角三角形AMC 中，2222505CM AC AM x =-=-，在直角三角形BMC 中，2222169CM BC BM y =-=-，那么可以得到方程组2224505169x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得195x y =⎧⎨=⎩，利用勾股定理可以得到CM ＝12．（1）求FO ：OC ；（2）如果6OEC S ∆=平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少？【考点】几何问题【答案】（1）1:1；（2）72平方厘米【解析】连接BF 和EF ，△BEF 是平行四边形ABED 的一半，△BEC 也是ABED 的一半，因此::1:1BEF BEC FO OC S S ∆∆==；如果6OEC S ∆=，那么6OEF S ∆=，12EFD S ∆=，由于F 是AD 中点，那么ABED 的面积为48，BEC 的面积为24，所以梯形ABCD 的面积为72平方厘米．。
2016年10月学而思杯六年级数学样卷解析
启用前★绝密2016年北京市六年级综合能力测评（学而思杯）数学样卷考试时长：90分钟满分：150分考生须知：请将填空题结果填涂在答题卡．．．上,解答题答写在答题纸．．．上第Ⅰ卷（填空题共90分）一，填空题（共10道小题,每题5分,共50分）1.2016年是“丙申”猴年,这种纪年方式采用地是中国著名地“干支纪年法”,即将年份用十天干（甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸）和十二地支（子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥）来表示．那么,10和12地最小公倍数是__________．【考点】数论,因数倍数【难度】☆【结果】60【思路】210125 6,故10和12地最小公倍数是60．2.10艘轮船4小时航行108千米,照这样地速度,继续航行270千米,共需__________小时．【考点】归一问题【难度】☆【结果】14【思路】先求每小时航行多少千米,再求航行270千米需要几小时,最后求出共需多少小时。
每小时航行多少千米：108÷4=27（千米）,270千米需航行多少小时：270÷27=10（小时）共需多少小时：10+4=14（小时）,综合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+4=10+4=14（小时）.3. 幼儿园地老师给班里地小朋友送来40只桔子,200块饼干,120块奶糖.平均分发完毕,还剩4只桔子,20块饼干,12粒奶糖．这班里共有_________位小朋友． 【考点】数论,余数 【难度】☆☆ 【结果】36【思路】40-4=36,200-20=180,120-12=108。
小朋友地人数应是36,180,108地大于20地公约数,只有36.4. 如右图,正六边形内接于圆．假如圆地面积是300平方厘米,那么图中阴影部分地面积是_______平方厘米．【考点】几何，圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【结果】100【思路】如下图所示：阴影分成两部分来看,弓形+三角形,两个弓形是6个弓形地13。
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以 b 可以是 a, 2a,5a ． 当 b = a 时， ( a ´ a ) (10a + a ) a 11 a = 1 ，则 ab = 11 ； 当 b = 2a 时， (a ´ 2a ) (10a + 2a ) a 6 a = 1, 2,3 ，则 ab = 12, 24,36 ； 当 b = 5a 时， ( a ´ 5a ) (10a + 5a ) a 3 a = 1 ，则 ab = 15 ． 所以所有这样的好数 ab 之和是 11 + 12 + 24 + 36 + 15 = 98 ．
A
E
D
B
F
C
二、 填空题（共 5 道小题，每题 8 分，共 40 分） 11. 如下图，在长方形 ABCD 中， BC 6cm ， AB 4cm ， CE 6cm ， BF CE ，那么， BF __________ cm ．
A
E F
D
B
【考点】几何，一半模型 【难度】☆☆☆ 【答案】4
15. 将数字 1~6 分别写到 6 张牌上，每张牌上的数字都不相同．艾迪和薇儿两人轮流抓牌，
从艾迪开始，每人每次抓 1 张，直到把牌抓完．在抓牌过程中，艾迪手中牌的数字之和 一直比薇儿手中牌的数字之和大， 但当薇儿抓完最后一张牌后， 手中牌的数字之和反而 比艾迪大 1．那么，两人共有__________种不同的抓牌顺序． 【考点】计数，有序枚举 【难度】☆☆☆☆ 【答案】24 【分析】6 张牌上总的数字之和是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ，且最后薇儿手中牌的数字之和 比艾迪大 1，所以最后薇儿手中牌的数字之和是 11，艾迪手中牌的数字之和是 10． 根据题意有序枚举可得： 当艾迪顺序是 10 = 2 + 5 + 3 时，薇儿顺序是 11 = 1 + 4 + 6 ，1 种； 当艾迪顺序是 10 = 3 + 5 + 2 时，薇儿顺序是 11 = 1 + 4 + 6 = 1 + 6 + 4 ，2 种；
A
E
D
B
【考点】几何，几何基本知识 【难度】☆☆☆ 【答案】3
C
【分析】过 D 点作 BE 的平行线与 BC 相交于点 F，可以得到四边形 EBFD 为平行四边形， 且三角形 ABE 与三角形 CDF 的面积完全相同．所以梯形 EBCD 与三角形 ABE 的面积 之差正好是平行四边形 EBFD 的面积，即为 30 cm2 ．所以 DE 30 10 3cm ．
启用前★绝密
2016 年北京市五年级综合能力测评（学而思杯）
数学试卷
考试时间：90 分钟 满分：150 分
考生须知：请将填空题答案填涂在答题卡 上，解答题答写在答题纸 上 ．．． ．．． 第Ⅰ卷（填空题
一、 填空题（共 10 道小题，每题 5 分，共 50 分） 1. 2016 年 8 月 21 日，历时 17 天的第 31 届夏季奥林匹克运动会在巴西里约热内卢圆满落 幕．中国体育代表团在本届奥运会上发挥出色，共获得了 70 枚奖牌．那么，在 8，21， 17，31，70 这 5 个数中，有__________个数是 2016 的因数． 【考点】数论，因数与倍数 【难度】☆ 【答案】2 【分析】 2016 = 25 ´ 32 ´ 7 ，所以只有 8 和 21 是 2016 的因数．
b=5．
□ □ □
要想使最后一行的乘积最大，那么 a 应该尽量大： 当 a = 9 时，不符合题意； 当 a = 8 时，符合题意．
5
所以最后一行乘积是 86802．
´
a d
b e
c 2
´
a 1
5 0 0
1 2 2
´ 8 8 1 5 6
8 1 7 1 8
5 0 0 0
1 2 2 2
【考点】数论，分解质因数 【难度】☆☆ 【答案】9 【分析】 2016 = 25 ´ 32 ´ 7 = 4 ´ 7 ´ 8 ´ 9 ，所以三只熊猫的年龄分别是 9 岁，8 岁，7 岁，那 么“学学”的年龄是 9 岁．
8.
有一块匀速生长的草地，可供 7 头牛吃 8 天，或可供 12 头牛吃 4 天，那么，这块草地 可供 10 头牛吃__________天．
□ □ □ □ 1 □
0 □
□ □ □ 5 1 □
6 □ □ □
6 □ □ □
14. 一个两位数如果能被它两个数位上的数字的乘积整除，我们就称这个两位数为“好数”，
那么，所有这样的“好数”之和是__________． 【考点】数论，位值原理与整除 【难度】☆☆☆☆ 【答案】98
ì ïa (10a + b) ì ïa b 【分析】设这个两位数是 ab ，则有 ( a ´ b) ab ( a ´ b) (10a + b) ï ，所 ï í í ï ï 10 + b a b 10 b a ( ) ï ï î ï î
9.
G20 峰会中，外宾选择“西湖十景”中的 3 个景点依次进行游览，那么共有___________ 种不同的游览方法．
【考点】计数，排列组合 【难度】☆☆ 【答案】720
3 = 10 ´ 9 ´8 = 720 种不同的游览方法． 【分析】共有 A10
3
10. 如下图，正方形 ABCD 的面积是 100 cm2 ，梯形 EBCD 的面积比三角形 ABE 的面积大 30 cm2 ，那么 DE __________ cm ．
【考点】应用题，牛吃草 【难度】☆☆ 【答案】5 【分析】牛吃草问题的核心是“原草量＋新长的草＝牛吃的草” ； 草的生长速度为： (7 ´8 -12 ´ 4) ¸ (8 - 4) = 2 （份/天） ； 这块草地的原草量为： 7 ´ 8 - 2 ´ 8 = 40 （份） 可供 10 头牛吃： 40 ¸ (10 - 2) = 5 天．
【考点】行程，火车过桥 【难度】☆☆ 【答案】50 【分析】可以把这队同学看成一列火车，则火车长度是 (41 -1)´1 = 40 米，火车速度是 2 米 /秒，那么就转化成了基本的火车过桥问题．所以这列同学完全通过这座桥的时间是
(40 + 60) ¸ 2 = 50 秒．
6.
如下图，正六边形中共有__________个四边形．
94 = 5 + 89 = 2 ´ 47 ，所以满足条件的最大两位数是 94；
所以最大数与最小数之和是 10 + 94 = 104 ．
13. 下面的乘法数字谜中，最后一行乘积的最大值是__________．
□ □ □ □ □ 2
□ □ 0 □ □ □ 1 □ 6
【考点】组合，数字谜 【难度】☆☆☆ 【答案】86802 且发生错位， 所以 e = 0 ，d = 1 ，c = 1 ， 【分析】 因为 abc ´ 2 = □□0□ ，abc ´ d = □□1 ，
2
【考点】计数，几何计数 【难度】☆☆ 【答案】12 【分析】平行四边形有 6 个，梯形有 6 个，所以一共有 6 + 6 = 12 个四边形．
7.
动物园里有 3 只熊猫“学学”“而而”“思思”， 已知“学学”比“而而”大 1 岁， “而而”比“思思” 大 1 岁， 并且它们三个年龄乘积的 4 倍恰好等于 2016， 那么“学学”的年龄是__________ 岁．
= 5 + 2 + 4 ，4 种；
所以一共有 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 + 4 = 24 种．
第Ⅱ卷（解答题
16. 计算：
5 1 9 4 （1） 6 3 14 3 【考点】计算，分数计算
共 60 分）
三、 计算题（共 4 道小题，每题 4 分，共 16 分）
5 x 20 6 12 x 12 7 5 x 26 12 x 5 26 5 12 x 5 x 21 7 x x3
2x 1 x 5 2 3 6 【考点】计算
（4）
【难度】☆☆ 【答案】2 【分析】 6
2x 1 x 5 6 6 2 3 6
8 7 7 8
方法二：原式
8 35 8 49 8 7 7 16 7 16 7 4
5 7 2 2 2 8
7
（3） 5( x 4) 6 12( x 1) 7 【考点】计算，解方程 【难度】☆☆ 【答案】3 【分析】 5( x 4) 6 12( x 1) 7
菲菲说：“我的年龄是亮亮的 3 倍．” 亮亮说：“我比菲菲小 10 岁．”那么，菲菲的年龄 是__________岁．
【考点】应用题，年龄问题 【难度】☆ 【答案】15 【分析】菲菲比亮亮的年龄大 2 倍，对应是大 10 岁，所以 1 倍量是 10 ¸ 2 = 5 岁，那么菲菲 的年龄是 5 ´ 3 = 15 岁．
C
4
【分析】连接 BE．则可以得到 SDEBC =
1 1 S长方形ABCD = ´ 6 ´ 4=12 ,所以 BF 12 2 6=4cm ． 2 2
A
E F
D
B
C
12. 有一些自然数， 它们既可以写成两个不同质数的和， 又可以写成两个不同质数的乘积． 例 自然数中，最大数与最小 如： 21=2+19=3 7 ， 74=7+67=2 37 ，那么所有这样的两位 ．． 数之和是__________． 【考点】数论，质数与合数 【难度】☆☆☆ 【答案】104 【分析】 10 = 3 + 7 = 2 ´ 5 ，所以满足条件的最小两位数是 10；